I. MECHANIKA 9. Mechanika tekutin

Transkript

1 I. MECHANIKA 9. Mechanka tekutn

2 Obsah Tekutna kaalna a lyn Hydrostatka, ronoáha tekutn Pascalů zákon. Hydraulka Hydrostatcký tlak. Hydrostatcké aradoon Archmédů zákon Hydrodynamka. Proudění deální tekutny Ronce kontnuty Euleroa hydrodynamcká ronce Bernoulloa ronce. Hydrodynamcké aradoon Proudění skózní kaalny. Naeroa-Stokesoa ronce Newtonoská tekutna. Druhá skozta Parabolcký zákon rozdělení rychlostí. Hagenů-Poseullů zákon Lamnární a turbulentní roudění Reynoldsoo číslo. Strouhaloo číslo

3 Tekutna kaalna a lyn tekutna struktura odlšná od ených látek (chybí usořádání na dlouhou zdálenost) molekuly nesou ázány na ené ronoážné olohy, nýbrž se mohou olně osouat nesou taroě stálé dokonalá (deální) tekutna (dokonalá kaalna dokonalý lyn) homogenní šude stené lastnost naětí nenuloá en normáloá naětí tlak nuloá smykoá naětí neestue ntřní tření 0 ř nenuloé deformac nuloý modul ružnost e smyku 3 3 3

4 Tekutna kaalna a lyn dokonalá (deální) kaalna hustota konstantní konst. dokonalá kaalna má stálý obem ytáří olnou hladnu dokonalá kaalna nestlačtelná rní narant tenzoru deformace e 0 modul obemoé ružnost K nekonečný (rotože latí I KeI ) dealzace skutečná stlačtelnost kaaln ětší než u ených látek, zde ale ýrazný kontrast mez stlačtelností a malým odorem ůč taroým změnám dokonalý lyn rozínaý ylní celý uzařený rostor neytáří olnou hladnu lboolně stlačtelný barotroní lyn hustota e en funkcí tlaku (reálný lyn - řblžně slněno en ro malé změny) 4

5 Mechanka tekutn základním úkolem mechanky tekutn e určt tlak hustotu rychlost roudění ako funkc olohy říadně času 5

6 Hydrostatka. Ronoáha tekutn dosazením do ronce ronoáhy za tlak ( ) G 0 G 0 G též grad G ronce hydrostatcké ronoáhy (RHR) nterretace: tlak roste e směru obemoé síly o tlak má charakter otencálu obemoé síly o rozložení tlaku odoídaící RHR se může ustat, en okud obemoá síla e konzeratní (t. lze yádřt ako gradent něakého otencálu) hustota obemoé síly tekutně úměrná hustotě tekutny homogenním tíhoém ol latí G g (dokonalé) kaalně raá strana ronce ronoáhy grad g arametrem řešení, lze stanot ředem lynu () uže se ntenzta obemoé síly nezáslá formulace ronce hydrostatcké ronoáhy (RHR) G I grad I 6

7 Pascalů zákon dokonalá kaalna ( konst. ) grad konst. derace nezásí na tlaku řešením RHR získáme rozložení tlaku až na adtní konstantu (e-l fce ( ) řešením RHR, ak ( ) ( ) k e také řešením) adtní konstanty se určuí z okraoých odmínek (ro určení edné konstanty k stačí znalost tlaku edném lboolném bodě kaalny) změna tlaku ednom bodě ede na změnu konstanty k k a tím také na změnu tlaku každém bodě kaalny Pascalů zákon o šestranném šíření tlaku: Změna tlaku ednom místě kaalny zůsobí stenou změnu tlaku celém obemu kaalny. Elementární formulace Pascaloa zákona: G 0 grad 0 ( r ) konst. Pokud na tekutnu neůsobí obemoé síly, tlak tekutně e šude stený. 7

8 Pascalů zákon. Hydraulka hydraulcká zařízení brzdy, lsy, zedáky točá zařízení elké tlaky možno zanedbat obemoé síly řenos síly, řeod síly F S (ykonané ráce stené F s Fs F S ) 8

9 Hydrostatcký tlak 9 řešení RHR ro dokonalou kaalnu ( konst. ) homogenním tíhoém ol rní osa souřadncoého systému orentoána dolů, očátek na olné hladně kaalny, budeme značt h na olnou hladnu ůsobí barometrcký tlak b g grad a ) g (g,0,0 ) ( h C gh g h okraoá odmínka C g b h 0. 0) ( b C b gh ronce ro hydrostatcký tlak kaalně často nás zaímá rozdíl tlaků na úron hladny a e hloubce h : gh b

10 Barometrcká ronce řešení RHR ro deální lyn ( V nrt ) homogenním tíhoém ol záslost hustoty deálního lynu na tlaku, telotě T a molární hmotnost M m m V V n V RT M M M m m m M m RT rní osa souřadncoého systému orentoána nahoru, budeme značt h grad g a g ( g,0,0) g h 0, 3 M mg RT 0 ( h) d M mg RT dh ntegrace d M m g M mg M mg dh ln h C e h C RT RT RT okraoá odmínka C ( h 0) 0 e m 0 e h M g RT ronce ro barometrcký tlak zotermcké atmosféře ( T konst. ) 0

11 Kaalna rotuící nádobě obemoá síla tíhoá síla odstředá síla k g g ) ( locha konstantního tlaku K g k K g ) ( 3

12 Hydrostatcké aradoon. Marottoa láhe tlak nezásí na množstí kaalny nad lochou, kde se měří hydrostatcký tlak Marottoa láhe o Edme Marotte (Francouz, ) o tlak na ýstuu nezásí na množstí kaalny nádobě o hydrostatcký tlak určen ýškoou odlehlostí h ýstuní trubce a konce zazdušňoací trubce h

13 Archmédů zákon 3 myšlenkoě ymezíme lboolný obem kontnuu ronoáze se ýslednce obemoých a lošných roná nule 0 P V F F obemoé síly ůsobící na ymezený obem dv G F V V obemoou sílu toří en tíhoá síla (rní osa orentoána směrem dolů) 0 3 V V V V F F dv g F okolí ůsobí na ymezený obem na eho hranc lošnou slou ds T F S P z ronoáhy lyne, že okolí ůsobí na hranc myšleného obemu směrem zhůru lošnou slou 0 3 P P V P F F dv g F když bude obem V ylněn eným tělesem, budou na hranc ůsobt stené lošné síly, ako kdyby byl ylněn kontnuem bude tedy na ně směrem zhůru ůsobt síla elkost dv g V, což ředstaue tíhu steného obemu kontnua, ako e obem onořeného tělesa Archmédů zákon: Těleso onořené do tekutny e nadlehčoáno slou, která e rona tíze tekutny tělesem ytlačené.

14 Archmédů zákon Elementární důkaz: založen na secální olbě taru tělesa álec ýšky h h h s odstaam lochy S síly ůsobící na boční stěny sou díky symetr záemně komenzoány mez horní a dolní odstaou rozdíl hydrostatckého tlaku gh rozdíl tlakoých sl F F ghs ůsobí směrem zhůru a e roen tíze kaalny ytlačené álcem. Archmédů zákon latí ro šechny tekutny četně lynů. odle oměru hustot kaalny a onořeného tělesa těleso lae (část tělesa se zedá nad hladnu, tím se ztlakoá síla zmenšue, dokud se neytoří ronoáha mez ztlakoou a tíhoou slou) těleso se znáší těleso klesá ke dnu 4

15 Proudění tekutn. Vl smykoého naětí tekutna ronoáze bez ohybu neestuí smykoá naětí (latí ro skózní tekutny), šechna naětí normáloá lboolná změna taru tekutny ohyb (roudění) tekutny říadě skózní tekutny estuí smykoá naětí, ale nkdy nesou takoého charakteru, aby se trale udržela en brzdí ohyb tekutny roudění tekutny smykoá naětí ouze ř ohybu skózní tekutny ř yšších rychlostech zůsobuí smykoá naětí znk chaotckého roudění a romícháání tekutny, ytáření írů 5

16 Klasfkace roudění tekutn lamnární roudění rychlost se od místa k místu mění hladce, nedochází k mísení tekutny lze zasat f (, t), t. rychlost tekutny lze osat ektoroým olem rychlost lze dobře zobrazt omocí roudnc staconární roudění (ustálené roudění) každém bodě rostoru latí, že rychlost tekutny se nemění s časem, t. 0 t ektoroé ole rychlost nezásí na čase, t. f ) ( roudnce slýaí s traektorem částc turbulentní roudění estue nad určtou krtckou rychlostí reálné kaalny smykoá naětí chaotcké roudění a romícháání tekutny, ytáří se íry rychlost částc se neradelně mění rostoru čase roudnce se buď neradelně mění anebo e nelze zobrazt ždy nestaconární 6

17 Vířé a otencáloé roudění íroé roudění (ířé roudění) ohyb částc tekutny o obecné kruhoé dráze ( rot 0 ) rychlost se lokálně mění neíroé roudění (otencáloé roudění) rot 0 grad ( rot grad 0) znalost rychlostního otencálu (, t) stačí ro stanoení (, t) a určení roudnc Pošmněme s, že odmínka rot 0 e hodně řísná: nař. Couettoě roudění e nenuloá derace Couettoo roudění e íroé (rychlostní otencál neestue) 7

18 Hydrodynamka. Lamnární roudění roudnce (roudočáry) zobrazení ektoroého ole rychlostí tečny k roudncím maí směr rychlost částc roudnce se nerotínaí každým bodem kontnua rochází daném čase ráě edna roudnce zobrazení roudnc daném čase rychlost různých částc určtém okamžku o staconární roudění roudnce se nemění čase o nestaconární roudění roudnce se mění s časem hustota roudnc úměrná rychlost roudění roudoá trubce lášť tořen roudncem (lochou nerotéká žádný tok) roudoé lákno hmotný ntřek roudoé trubce traektore dráha určté částce ouze ř ustáleném roudění slýaí traektore s roudncem 8

19 Ronce kontnuty Elementární odození staconární roudění trubce reálná, myšlená roudoá trubce růřezem S kolmým ke směru rychlost za čas t teče m S t růřezem S kolmým ke směru rychlost za čas t yteče m S t hodnoty rychlost a a hustoty a sou růměrné elčny místech růřezů S a S ; ustáleném roudění de o konstantní hodnoty hustota určtém místě trubce se také s časem nemění ak celkoá hmotnost tekutny trubc zůstáá konstantní m m ronce kontnuty ro staconární roudění tekutny trubc S S ro kaalnu naíc konst. ronce kontnuty ro staconární roudění kaalny trubc S S zhledem k nestlačtelnost latí ro nestaconární roudění 9

20 Obecný tar ronce kontnuty dms zaedeme elčnu hmotnostní tok qm ako hmotnost tekutny, která za dt ednotku času yteče z obemu ymezeného uzařenou lochou S analoge s tokem ektoroého ole zaedeným souslost s gratačním olem za dobu dt roteče loškou elkost ds, eíž směr normály označíme n, obem tekutny dv m nds dt elementární hmotnostní tok dq m loškou ds dq m nds hmotnostní tok celou lochou S ohrančuící obem V q říadě uzařené lochy ektor n označue eí něší normálu, souladu s tím kladná hodnota toku q znamená, že hmotnost untř lochy se zmenšue m m S dv dt m nds 0

21 Obecný tar ronce kontnuty V časoá změna hmotnost uzařeného obemu V ms mv tekutna buď odteče nebo zůstane, hmotnost se zachoá 0 t t dosazením ntegrální tar ronce kontnuty nds dv t S V A nds d A dv řomeňme Gaussou ětu dosazením do leé strany d dv dv t hrance obemu nezásí na čase d dv dv t dm dt S V V t V dv řeedeme na ednu stranu ronce d dv 0 t V obem V zolen lboolně každém bodě musí latt d 0 t obecná formulace ronce kontnuty roudění (stlačtelné) tekutny RK musí být slněna každém bodě rostoru ylněného kontnuem V V V

22 Ronce kontnuty ro kaalnu obecný tar RK d 0 t RK ro kaalnu nestlačtená tekutna konst. RK ro kaalnu d 0

23 Co yadřue oerátor dergence? uažume edný elementární obem dd d 3 rotékaný elementem tekutny tekutna téká rychlostí ř hustotě a ytéká rychlostí d ř hustotě d změna hustoty d a rychlost d e důsledkem změny olohy elementu tekutny loškou dd za čas t teče tekutna hmotnost mn dd 3 t a rotlehlou loškou yteče tekutna hmotnost mout d d ( 3 d3 )( d) t zkoumáme časoou změnu hustoty, t. rozdíl stuuící a ystuuící hmotnost děleno obemem yádříme změnu hustoty mout mn d d ( d )( d ) d d d d d d t 3 3 ro znaménko změny hustoty musí latt m m 0 íme ( d)( d) d d dd d( ) out 0 n d d ( d )( d) 3 d d d 3 d d ( d )( d ) 3 d d d 3 3 d( 3) 3 d( ) d( ) roto latí t t t d d d 3 t t 3

24 Co yadřue oerátor dergence? 3 d( 3) 3 d( ) d( ) uraueme ronc t t t d3 d d A A A3 řomeňme defnc d A 3 d( ) d( ) d ( 3) roto t d( ) t d d d3 ronc d( ) t řešme do taru d( ) t rotože zlomek na leé straně yadřue časoou změnu hustoty kaalny (, t) eném bodě rostoru, můžeme ho lmtním řechodu t 0 nahradt arcální derací ýsledkem e ronce kontnuty (RK) ro tekutnu d( ) 0 t t t 4

25 Ronce kontnuty ro element ohybu 5 sledueme element tekutny růběhu ohybu hustota tekutny e funkcí souřadnc a času ), ( t funkce ) (t osuí ohyb elementu kontnua ) ( ) ), ( ( t t t časoá změna hustoty ohybuícího se elementu t t dt d dt d ronce kontnuty ro ohybuící se element ydeme z obecného taru RK 0 d t zašme dergenc omocí derací 0 t derueme ako součn 0 t řeronáme členy 0 dt d t RK ro ohybuící se element stlačtelné tekutny 0 d dt d

26 Euleroa hydrodynamcká ronce 6 obecná ohyboá ronce kontnua t u G naětí deální tekutně yádříme omocí tlaku zrychlení elementu ako totální derac rychlost dt d t u hustota obemoé síly omocí ntenzty I G ohyboá ronce elementu tekutny dt d I uraeno I dt d rychlost elementu tekutny e funkcí souřadnc a času ), ( t funkce ) (t osuí ohyb elementu kontnua ) ( ) ), ( ( t t t časoá změna rychlost ohybuícího se elementu t dt d dosazením Euleroa hydrodynamcká ronce I t

27 Euleroa hydrodynamcká ronce Euleroa hydrodynamcká ronce t I F EHR ředstaue ohyboou ronc ro element deální tekutny e taru a m na leé straně e celkoé zrychlení, t. změna rychlost zahrnuící časoou změnu rychlost a změnu rychlost odozenou od ohybu elementu na raé straně e ntenzta síly ůsobící na element ýočet ohybu elementu tekutny EHR + RK + () - 5 ronc ro 5 funkcí, a rncálně možné, obecně elm obtížné říadě kaalny se zednoduší na 4 ronce ro 4 funkce 7

28 Odození Bernoulloy ronce Zednodušuící ředoklad: staconární roudění roudnce se s časem nemění 0 t EHR (3 složky) řede do taru Přomeňme: roudnce slýaí s traektorem elementů tekutny EHR e ektoroá ronce ro ntenztu síly okud ektory na obou stranách ynásobíme skalárně elementárním osunutím d elementu e směru roudnce, získáme ronc, eíž leá strana yadřue elementární změnu knetcké energe a raá strana změnu energe otencální (řeočteno na ednotkoou hmotnost elementu) I d I d d 8

29 Bernoulloa ronce ro tekutnu znklé součny (skaláry) na obou stranách ronce budeme ntegroat odél roudnce d I d d uraíme ntegrand na leé straně d d d d d d d d dt dt ( ) ole obemoých sl ředokládáme konzeratní I grad yádříme složky gradentu otencálu z ronost ntegrálů odél roudnce získáme Bernoullou ronc ro tekutnu (stlačtelnou) I d d d d d d d d konst. 9

30 Bernoulloa ronce ro kaalnu Danel Bernoull (Šýcar, ) - fyzk a matematk BR ro kaalnu ( konst. ) konst. ný tar BR konst. součet knetcké energe elementu, eho otencální energe a tlaku se zachoáá odél roudnce (odlšné roudnce maí obecně různé konstanty) ZZE otencál tíhoém ol E gh m BR ro kaalnu tíhoém ol gh konst. neíroém roudění ( rot 0) latí BR se solečnou konstantou ro celý rostor, němž kaalna roudí 30

31 Hydrodynamcké aradoon důsledky BR: roudění zúžené odoroné trubc BR + RK S S, S S zúženém místě roudí kaalna od sníženým tlakem hydrodynamcké aradoon (aerodynamcké aradoon) alkace: ýěy, čeradla, karburátory a rozrašoače 3

32 Příčna aerodynamckého ztlaku h out orchoá locha S zakřená roudnce n tlakoá síla S( ) out n na element tekutny ohybuící se o zakřené traektor ůsobí dostředá síla F m R hmotnost elementu yádříme omocí rozměrů a hustoty m Sh dostředá síla dána rozdílem tlaků ůsobících na něší a ntřní lochu F S( out n ) S d rozdíl tlaků určíme z hodnoty gradentu tlaku kolmého ke směru ohybu d hgrad oronáním obou yádření dostředé síly Sh grad Sh R tlak stouá s rostoucí zdáleností od středu rotace grad R 3

33 Aerodynamcký ztlak ř obtékání křídla udržení ztlaku olňuí také síly tření, které zabezečí řlnutí roudnc ke křídlu do ýočtů nutno zahrnout co neřesněší os choání tekutny ra e nezbytné eermentální oěření Často se ztlak zednodušeně ysětlue omocí Bernoulloy ronce ro roudnce těsně nad a od křídlem (horní hrana křídla e delší, a roto tam částce roudí rychle ř nžším tlaku); ukažme s některá eho úskalí: BR ředstaue zákon zachoání ro ednotlou roudnc; eermenty s dýmem ukazuí, že roudnce nad a od křídlem se za křídlem nesoí, takže nelze ednoduše oronáat odoídaící tlaky ysětlení omocí BR e založeno na tom, že roudnce od křídlem e kratší (křídlo letadla), takže yoláá otázku, ak znká ztlak na křídle s tenkým roflem (tačí křídlo) sloé ůsobení yoláá obtékání ednoho orchu Přesto BR může osloužt ř rozboru eermentů s dýmem: rozumný smysl má oronáat choání sousedních roudnc blížících se ke křídlu shora a zdola nad křídlem ozoru zrychlení a od křídlem zomalení ohybu částc, což odle BR ede na očekáané změny tlaku okolí křídla eerment s dýmem: nad křídlem roudí zduch rychle než od ním roudnce se za křídlem nesoí Holger Babnsky: How do wngs work?, 003 Phys. Educ (htt://oscence.o.org/003-90/38/6/00/df/003-90_38_6_00.df) 33

34 Proudění skózní tekutny ohyb reálné kaalny ntřní tření (roeue se en za ohybu) - skózní tekutny ředstaa ř lamnárním roudění mez rstam smykoá naětí smykoá naětí nerací částce do ronoážných oloh, en brzdí mezní rsta řléhaící ke stěně se nehýbe (lne k orchu) gradent rychlost kolmo na směr ohybu eerment: aralelní desky e zdálenost d horní deska o rychlost V o locha S o síla F F V zákontost S d yhoue (asoň řblžně) ro ětšnu tekutn zobecnění newtonoská tekutna konstanta úměrnost dynamcká skozta (knematcká skozta ) ntřní tření zůsobue ztrátu tlaku d 34

35 Tenzor naětí e skózní tekutně. Newtonoská kaalna hledá se modfkace tenzoru naětí tekutny do tenzoru naětí dolněna část yolaná rouděním analogcky k Hookeou zákonu ředokládáme úměrnost odoídaícím částem tenzoru rychlost deformace D D ( ) ( d) ( ) ( ) ( ) ( ) Newtonoská kaalna.narant tenzoru rychlost deformace nuloý ( RK) DI d 0 roto také zároeň ak latí aby o dosazení za tenzor rychlost deformace byl ýsledek souladu s D 0 3 ( d ) D D D D 3 () DI I naětí newtonoské kaalně yádřeno římo omocí tenzoru rychlost deformace D 0 D 35

36 Newtonoská tekutna. Druhá skozta 36 ohyboá ronce kontnua (uraena analogcky k EHR) I t dosadíme za tenzor naětí D I t dalším úraam Naeroa-Stokesoa ronce I t ýočet ohybu elementu nestlačtelné kaalny NSR + RK - 4 ronce ro 4 funkce a nelnearta ronc neatrné fluktuace mohou zcela změnt ýo systému (efekt motýlích křídel) Newtonoská tekutna obecně stlačtelná 0 I D zotroní část tenzoru rychlost deformace nenuloá ( ) ( ) D konstanta úměrnost tz. druhá skozta (odor rot obemoým změnám)

37 Parabolcký zákon rozdělení rychlostí lamnární roudění skózní newtonoské kaalny álcoá trubce oloměru R rsty kaalny souosé trubce oloměru r rychlost kaalny smykoé naětí na lochách mez rstam d dr uažueme osouání celého obemu álce oloměru r na eho něší stěně třecí síla rot ohybu F rl na odstay ůsobí tlaky a, hnací rozdíl tlakoých sl F ( ) r ustálený sta ýsledná síla na každou roudoou trubc nuloá F F (r) 37

38 Parabolcký zákon rozdělení rychlostí dosazením d ( ) r l dr aké znaménko derace rychlost? na ntřní stěně trubce rychlost shodná s rychlostí trubce 0 ro r R untř trubce rychlost kladná d d d 0 dr dr dr dosazením d ( ) r l dr searace roměnných ( d ) rdr l ( ntegrály odoídaících mezích d ) rdr l ( ) ntegrací získáme arabolcký zákon rozdělení rychlost ( R r ) 4l 0 R r 38

39 Jean L. M. Poseulle ([wazœ] ; France) Gotthlf H. L. Hagen ( ; Německo) obem kaalny Q, který roteče trubcí za ednotku času S ds Q řeedeme na ntegrac olárních souřadncích 0 0 R r dr d Q ntegrací řes úhloou souřadnc (na úhlu nc nezásí) R r dr Q 0 dosazením za rychlost R r dr r R l Q 0 ) ( 4 ) ( nt. řes oloměr R l R R l dr r r dr R l Q R R obem V newtonoské skózní kaalny o skoztě roteklý za čas t trubcí oloměru R a délky l, mez eímž konce e rozdíl tlaku (Hagenů-Poseullů zákon) t R l V 4 8 Hagenů-Poseullů zákon 39

40 Lamnární a turbulentní roudění reálné tekutně znkaí íry ždy ncméně ro konkrétní tekutnu estue oblast rychlost roudění, kde o ednotlé rsty roudící tekutny kolmé ke směru roudění maí stálou rychlost e směru rsty o rsty se nemísí o lamnární roudění nad určtou mezní rychlostí o se rsty díky smykoým naětím začnou romícháat o rychlost kolísá s časem o oruší se soté rozložení rste o znkaí íry o turbulentní roudění mez těmto děma oblastm rychlostí řechodoé roudění 40

41 Reynoldsoo číslo choání různých tekutn se oronáá omocí tz. odobnostních čísel charakterzuící elčny bezrozměrném ztahu odráží strukturu říslušných ohyboých ronc e to ednoduché, ětšnou to fungue často nc lešího nemáme není to řesné, šroká oblast neurčtost l Reynoldsoo číslo Re rozlšení lamnárního ( Re ReK ) a turbulentního roudění ( Re ReK ) charakter se oronáá na základě o růměrné rychlost roudění o tyckého rozměru l o knematcké skozty ro různá geometrcká usořádání e nutno hodnotu Re K stanot eermentálně 4

42 Strouhaloo číslo f l Strouhaloo číslo Sr Vncenc Strouhal (850 9) český eermentální fyzk, rektor UK ro střední rozsah Reynoldsoa čísla má řblžně konstantní hodnotu umožní řblžně určt frekenc írů úlau za ohybuící se řekážkou očítá se na základě o růměrné rychlost roudění o tyckého rozměru l o frekence írů za řekážkou f hodnoty ro konkrétní geometrcké usořádání se určí oět eermentálně záslost Strouhaloa čísla na Reynoldsoě čísle ro álec 4