Obsah. 1. Komplexní čísla

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Obsah. 1. Komplexní čísla"

Transkript

1 KOMPLEXNÍ ANALÝZA - ZÁPISKY Z PŘEDNÁŠEK JAN MALÝ Obsah 1. Komplexní čísla 1 2. Holomorfní funkce 3 3. Elementární funkce komplexní proměnné 4 4. Křivkový integrál 7 5. Index bodu vzhledem ke křivce 9 6. Cauchyova věta a její důsledky Mocninné řady v komplexním oboru Laurentova řada Reziduová věta Použití komplexní analýzy k výpočtu jednorozměrných integrálů Komplexní čísla 1.1. Definice (Komplexní čísla). Číslo ve tvaru a + ib se nazývá komplexní číslo Komplexní čísla. Obor C komplexních čísel je struktura (R 2, krát, R, i), po algebraické stránce těleso. Eukleidovský prostor R 2 bereme s kompletní strukturou normovaného lineárního prostoru, včetně jeho metrických vlastností (okolí, konvergence, otevřená množina,...). Geometricky je tedy množina C rovina, pro takovéto geometrické znázornění komplexních čísel se používá termín Gaussova rovina. Operace krát je násobení komplexních čísel, v praxi nemá žádný symbol (činitele píšeme vedle sebe). Struktura R znamená způsob, jakým jsou reálná čísla vnořena do komplexních, tedy ztotožnění reálného čísla a a komplexního čísla (a, 0). Struktura i je vyznačený prvek (0, 1). Dá se ukázat, že operace krát je na C určena jednoznačně z následujících pravidel: Komutativní, asociativní, distributivní vzhledem ke sčítání. Na R splývá se starým násobením. i 2 = 1. Každé komplexní číslo z = (z 1, z 2 ) můžeme přepsat do tvaru z 1 + iz 2, (z 1, z 2 R), který je ve vážně míněné matematice běžnější. V tom případě také píšeme z 1 = Re z, z 2 = Im z. Jsou-li u 1, u 2, v 1, v 2 reálná čísla, násobení se odehrává podle formule (u 1 + iu 2 )(v 1 + iv 2 ) = u 1 v 1 u 2 v 2 + i(u 1 v 2 + u 2 v 1 ). Komplexní čísla se dají též zavést pomocí ztotožnění se speciální podtřídou matic ( ) z1 z (1) z 1 + iz 2 2 z 2 z 1 Násobení komplexních čísel pak jde odvodit z maticového násobení. Matice odpovídající nenulovým komplexním číslům jsou matice tzv. konformních lineárních zobrazení, tj. lineárních zobrazení zachovávajících úhly včetně orientace. Konformní lineární zobrazení jsou vesměs podobná, příkladem je stejnolehlost nebo otočení, avšak ne osová symetrie. Násobení komplexních čísel tedy nakonec odpovídá skládání příslušných zobrazení roviny. Ještě poznamenejme, že na rozdíl od reálných čísel na C neuvažujeme uspořádání. V souvislosti s tím je v komplexním oboru jen jedno nekonečno, které značíme důsledně bez jakéhokoli znaménka. Řekneme, že posloupnost {z n } n komplexních čísel má limitu, jestliže lim n z n = +. Podobně definujeme nekonečnou limitu funkce. 1

2 1.3. Některé funkce a vzorce. Mějme komplexní číslo z = z 1 + iz 2, kde z 1, z 2 R. Ze struktury R 2 přebereme pojem normy, z = z1 2 + z2 2, v komplexní analýze se však spíš používá pro normu synonymum absolutní hodnota nebo modulus. Definujme z = z 1 iz 2, to je tzv. číslo komplexně sdružené k z. Platí vzorce (u, v, z C) (2) uv = u v, z = z, Re z = z + z z z, Im z =, 2 2i z = z z Dělení. Ke každému nenulovému komplexnímu číslu z existuje právě jedno komplexní číslo w tak, že wz = 1. Toto číslo w nazýváme převrácená hodnota čísla z a značíme 1/z nebo z 1. Dělení komplexního čísla v nenulovým komplexním číslem z definujeme jako v z = vz 1. Číslo 1/z lze spočítat ze vzorce 1 z = z z 2, na pravé straně už máme dělení reálným číslem, což nečiní potíže Komplexní funkce reálné proměnné. Funkce f : I C, kde I R je interval, nepředstavují z teoretického hlediska velkou novinku, většina úkonů se dá provádět po složkách. Např. derivace takové funkce je derivace podle reálné proměnné, tedy (f 1 +if 2 ) = f 1 +if 2. Pro tento případ lze snadno převést věty o existenci a jednoznačnosti řešení obyčejné diferenciální rovnice Goniometrické funkce. Uvažujme počáteční úlohu Φ(0) = 1 pro diferenciální rovnici Φ = iφ, kde hledaná funkce Φ : R C má být komplexní funkce reálné proměnné. Podle teorie diferenciálních rovnic existuje právě jedno řešení této počáteční úlohy. Nalezená funkce Φ má geometricko-fyzikální význam rovnoměrného kruhového pohybu po jednotkové kružnici {z C : z = 1} jednotkovou rychlostí proti směru hodinových ručiček. Dále definujeme pro takto nalezenou funkci Φ takže cos t = Re Φ(t), sin t = Im Φ(t), Φ(t) = cos t + i sin t. t R, Tento předpis je opravdu vhodné pokládat za definici goniometrických funkcí, neboť je přesnou matematickou interpretací názorné představy o těchto funkcí. Alternativou jsou funkcionální rovnice (pak se stejně potýkáme s existencí a jednoznačností), řada (ta s názornou představou vůbec nesouvisí) či zavedení inverzních funkcí pomocí neurčitého integrálu (vyumělkované). Je vhodné si uvědomit, že příslušná existenční věta a věta o jednoznačnosti z teorie diferenciálních rovnic se dá dokázat bez znalostí goniometrických funkcí, takže nejde o definici kruhem. Dále definujeme číslo π nejmenší kladné řešení rovnice sin t = 0 (existuje). Není tak těžké se přesvědčit, že takto definované goniometrické funkce a číslo π opravdu splňují všechny vztahy, které jsme od nich čekali z dřívějších zkušeností (například součtové vzorce nebo periodické chování) Goniometrický zápis komplexního čísla, argument. Řekneme, že číslo u C je komplexní jednotka, jestliže u = 1. Každé komplexní číslo z 0 můžeme jednoznačně vyjádřit ve tvaru z = ru, kde r je kladné reálné číslo a u je komplexní jednotka, příslušná volba je r = z a u = z z. Funkce cos t + i sin t nabývá všech hodnot z jednotkové kružnice, takže můžeme najít takové t R, že (3) z = r(cos t + i sin t). Každé takové číslo t se nazývá argument komplexního čísla z a má geometrický význam orientovaného úhlu (v kvantitativním slova smyslu), který svírá polopřímka 0z s kladnou reálnou poloosou. Zdůrazněme, 2

3 že argument komplexního čísla není určen jednoznačně, pokud T je argument čísla z, potom (všechny) další argumenty z najdeme ve tvaru t = T + 2kπ, k celé. Relace {[z, t] C R : z 0, z = z (cos t + i sin t)}. se značí Arg a má tvar točitého schodiště. Relace Arg není grafem funkce. Z teorie polárních souřadnic víme, že omezíme-li se na t ( π, π), získáme existenci a jednoznačnost pro (4) z D := {z C : Im z 0 nebo Re z > 0}. Tedy ke každému z D existuje právě jedna dvojice (r, t), r (0, + ), t ( π, π), tak že platí (3). Toto číslo t nazveme hlavní hodnotou argumentu komplexního čísla z 0 a značíme arg z. Funkce arg je spojitá na D. Někdy se definuje arg z = π pro záporná reálná čísla, takové rozšíření však není spojité. Funkci arg můžeme vyjádřit pomocí známých funkcí, například pomocí vzorců (5) arg(z 1 + iz 2 ) = arctg z 2, z 1 Re z > 0, nebo ( (6) arg z = 2 arctg z 2 z 1 + z ), z D. Všimněte si, že vzorec (5) má poměrně malý obor platnosti, zatímco vzorec (6) se zase špatně pamatuje Některé vzorce. Vzorec pro argument (7) arg(uv) = arg u + arg v 2kπ platí pro komplexní čísla u, v D taková, že uv D, a korekční k { 1, 0, 1} dopočítané tak, aby opravený výraz ležel v intervalu ( π, π). Podobně (8) arg(u n ) = n arg u 2kπ platí pro komplexní číslo u D a n Z, jestliže u n D a korekční k Z je dopočítané tak, aby opravený výraz ležel v intervalu ( π, π). Označíme-li Arg z množinu všech argumentů čísla z, můžeme psát u Arg a, v Arg b = u + v Arg ab, (9) u Arg a, n Z = nu Arg a n Geometrický význam násobení. Chceme-li geometricky znázornit součin wz, vyjádříme nejprve w v goniometrickém tvaru w = r(cos t+i sin t). Součin wz zobrazíme tak, že nejprve na bod z aplikujeme stejnolehlost se středem v počátku a koeficientem r a pak jej otočíme okolo počátku o úhel t. Také můžeme nejprve točit a poté natahovat, tyto dvě transformace spolu komutují. Ze vzorce (9) je patrné, že když komplexní čísla spolu násobíme, úhly se sčítají. 2. Holomorfní funkce 2.1. Komplexní derivace a holomorfní funkce. Nechť G C je otevřená množina a f : G C je funkce. Řekneme, že funkce f je holomorfní v bodě w G, jestliže existuje limita f(z) f(w) L = lim. z w z w Tato limita L se nazývá komplexní derivace funkce f v bodě w a značí f (w). Řekneme, že funkce f je holomorfní v G, jestliže je holomorfní v každém bodě w G. Každá funkce holomorfní v bodě w je v bodě w spojitá (viz. níže) Cauchy-Riemannovy podmínky. Množinu G můžeme také chápat jako otevřenou podmnožinu R 2 a funkci f můžeme také chápat jako zobrazení G do R 2. Jestliže f = (f 1, f 2 ) má v bodě z = (z 1, z 2 ) komplexní derivaci f (z), pak f má v bodě z reálný totální diferenciál (odtud pramení spojitost!) a jako vektorová funkce dvou proměnných má Jacobiho matici parciálních derivací, tedy matici ( ) f1 f z 1 (z) 1 z 2 (z) f 2 f z 1 (z) 2. z 2 (z) Z existence totálního diferenciálu však neplyne existence komplexní derivace. K tomu, aby existovala v z komplexní derivace je nutné a stačí, aby Jacobiho matice f v z byla maticí konformního lineárního zobrazení, viz. (1). Tato skutečnost se vyjadřuje tzv. Cauchy-Riemannovými podmínkami, které jsou popsány v následující větě. 3

4 2.3. Věta (O Cauchy-Riemannových podmínkách). Nechť G C je otevřená množina a f : G C je zobrazení reálně diferencovatelné v bodě z G. Potom funkce f = f 1 + if 2 je holomorfní v bodě z = z 1 + iz 2 G, právě když (10) Řešení. Je to zřejmé. f 1 z 1 (z) = f 2 z 2 (z), f 1 z 2 (z) = f 2 z 1 (z) Poznámka. Podmínky (10) ukazují na zásadní rozdíl mezi reálným a komplexním derivováním. Zatímco existence derivace v reálném smyslu vypovídá jen o hladkosti funkce f, komplexní derivace vyžaduje splnění netriviální diferenciální rovnice. Proto některé komplexní funkce, které jsou nekonečně hladké (tedy nekonečněkrát diferencovatelné v reálném smyslu) nejsou ani jednou diferencovatelné v komplexním smyslu (např. funkce z z). Zatímco v mnohém ohledu se komplexní derivace chová stejně jako reálná (např. platí pro ni stejné vzorce), z jiných hledisek existence komplexní derivace způsobuje výjimečné chování holomorfních funkcí Pozorování. Jestliže holomorfní funkce f nabývá jen reálných hodnot, pak je lokálně konstantní. Tedy funkce z, z 2, arg z, Re z, Im z nejsou holomorfní Věta (pravidla pro kalkulus komplexní derivace). Derivace konstanty je nulová funkce. Nechť f, g jsou holomorfní funkce na otevřené množině G C. Potom (f + g) = f + g, (fg) = f g + g f, ( f ) f g g f = g g 2 na {g 0} Věta (derivace složené funkce). Nechť f je holomorfní funkce na otevřené množině G C a h je holomorfní na otevřené množině obsahující f(g). Potom v každém bodě z G máme (h g) (z) = (h (f(z))g (z) Věta (derivace inverzní funkce). Nechť f je prostá holomorfní funkce na otevřené množině G C a funkce h je inverzní funkce k f. Potom f je spojitá a nenulová, f(g) je otevřená množina, h je holomorfní na f(g) a pro každý bod z G platí h (f(z)) = 1 f (z) Poznámka. Zatím jsme schopni větu dokázat, jen když tvrzení o spojitosti a nenulovosti derivace přeneseme na stranu předpokladů Konformní zobrazení. Nechť G C je otevřená množina a f : G C je zobrazení. Řekneme, že f je konformní, jestliže je holomorfní a prosté. Z věty o derivaci inverzní funkce plyne, že inverzní zobrazení je zase konformní. Termín pochází z toho, že konformní zobrazení zachovává úhly, tj. tečné zobrazení v každém bodě je konformní lineární. 3. Elementární funkce komplexní proměnné V této kapitole si zavedeme nejdůležitější elementární funkce komplexní proměnné. Elementární funkce v komplexním oboru mají často mnohoznačné chování, pak to ovšem nejsou funkce v pravém slova smyslu, ale relace. U těchto relací studujeme jednoznačné části, tzv. větve, zvláště spojité větve, a nejdůležitější spojitou větev nazýváme hlavní hodnotou. Tuto situaci už můžeme ilustrovat na relaci Arg. Funkce arg je hlavní hodnota argumentu. Chceme-li ale používat větev argumentu, která je spojitá na okolí komplexního čísla w = r(cos t + i sin t), použijeme funkci A(z) = arg z w t, to je spojitá větev argumentu na {z C : z/w D} Celočíselná mocnina. Funkci z n definujeme podobně jako v reálném oboru pomocí opakovaného násobení (pro n > 0) a inverze (pro n < 0). Je-li n < 0, mohli bychom definovat z n i pro z = 0 jako 4

5 0 n =, pokud neřekneme jinak, budeme však pro záporná n nulu z definičního oboru vynechávat. Pro komplexní číslo tvaru z = r (cos t + i sin t) je z n = r n (cos nt + i sin nt). Pokud z obíhá po jednotkové kružnici jednotkovou rychlostí, z n obíhá po jednotkové kružnici rychlostí n. Funkce z n je holomorfní na svém definičním oboru a splňuje na něm (z n ) = nz n Exponenciální funkce. Exponenciální funkci exp definujeme v komplexním oboru tak, aby platilo Po krátkém výpočtu dospějeme k vyjádření (exp z) = exp z, exp 0 = 1. (11) exp(x + iy) = exp x (cos y + i sin y), x, y R. Dá se dokázat, že toto je jediná možnost holomorfního rozšíření exponenciální funkce reálné proměnné. Stejně jako v reálném případě dostáváme (pro u, v, z C, n Z) exp(u + v) = exp u exp v, (exp z) n = exp nz. Funkce exp má periodu 2πi a nikde nenabývá hodnoty 0. Od této chvíle budeme pro exp z používat i označení e z, speciálně e it = exp it = cos t + i sin t, t R. Výhoda komplexního zápisu goniometrických funkcí spočívá ve snadném kalkulu založeném na vzorcích (s, t R, n Z) e i(s+t) = e is e it, e int = (e it ) n, které jsou přehlednější než součtové vzorce pro goniometrické funkce Goniometrické funkce. Goniometrické funkce máme zatím definovány v reálném oboru. Vzoreček cos t = Re e it, t R není vhodný k rozšíření na C, protože takovéto rozšíření by nesplňovalo Cauchy-Riemannovy podmínky. Když ale (stále ještě v reálném oboru) provedeme úpravu podle vzorce (2), dostaneme cos t = Re e it = 1 2 (eit + e it ) = 1 2 (eit + e it ), což je už použitelná formule. Podobně vyjádříme sinus a máme definici (tzv. Eulerovy vzorce) (12) cos z = 1 2 (eiz + e iz ), sin z = 1 2i (eiz e iz ), z C. Takto rozšířené funkce jsou holomorfní na C a splňují známé formule (např. součtové vzorce a pravidla pro derivování) Logaritmus. Funkce exp není prostá a nemá tedy inverzní funkci v běžném smyslu. Pro z C a k Z platí exp(z + 2kπi) = exp z, funkce exp má tedy periodu 2πi. Naopak, pokud exp z = exp z, pak už se z liší od z od celý násobek 2πi. Inverzní relace k funkci exp se značí Ln a má v počátku šroubovitou singularitu. Každá spojitá funkce L splňující na svém definičním oboru rovnici (13) exp(l(w)) = w se nazývá spojitá větev logaritmu. Tzv. hlavní hodnota logaritmu je na D (viz. (4)) definována vzorcem ( ) z = ln w když Im z < π & exp z = w. Funkce ln je jedno patro inverzní relace k exponenciále. Snadno nahlédneme, že ln w = ln w + i arg w. Funkce ln je holomorfní na množině D a splňuje na této množině (ln w) = 1 w. 5

6 U ostatních vzorců musíme být velmi opatrní, protože ve srovnání s reálnou proměnnou se situace komplikuje. Podobně jako u argumentu (7), vzorce (14) ln(uv) = ln u + ln v 2kiπ, ln(u n ) = n ln u 2kiπ platí pro komplexní čísla u, v D a celé číslo n, když uv D, resp. u n D, a korekční k Z je dopočítané tak, aby opravený výraz na pravé straně ležel v pásu {x + iy : x R, y ( π, π)}. Označíme-li Ln w množinu {z C : exp z = w}, můžeme psát u Ln a, v Ln b = u + v Ln ab, u Ln a, n Z = nu Ln a n Obecná mocnina. Nechť a C. Relaci obecné mocniny definujeme předpisem M a = { [z, w] C C : v C [ z = e v, w = e av]}. Relace M a pro a necelé není grafem funkce. Hlavní hodnotu neceločíselné mocniny definujeme předpisem (15) z a = exp(a ln z), z D. Funkce z a je holomorfní na D, a pokud a / Z, nedá se dál spojitě rozšířit. Platí vzorec (z a ) = az a 1, z D. Pro a = 1/n má relace M a n pater, mezi nimiž se můžeme pohybovat, obíháme-li kolem počátku. Funkce z 1/n je pak hlavní větev n-té odmocniny. Připomeňme, že pro w 0 má rovnice z n = w n-řešení, která tvoří vrcholy pravidelného n-úhelníku se středem v 0. Pokud a je reálné z intervalu ( 1, 1), pak funkce z a zobrazuje D na úhel {z : arg z < aπ}, speciálně z = z 1/2 zobrazuje D na {z : Re z > 0}. Druhá odmocnina z čísla z D je tedy takové komplexní číslo w, že Re w > 0 a w 2 = z. Druhou odmocninu můžeme spočítat také metodou půlení úhlu, je zřejmé, že číslo z + z má poloviční argument ve srovnání se z. Tedy z + z z = z z + z. Někdy se funkce obecná mocnina nebo odmocnina definuje i pro záporná reálná čísla podle úmluvy arg( 1) = π, tuto úmluvu však nectíme, protože takto dodefinované funkce nejsou spojité (natož holomorfní). Platíme za to tím, že nemůžeme napsat rovnost i = 1, která byla historicky první definicí čísla i (máme ale [ 1, i] M 1/2 ). Pokud a Z, vzorec (15) platí také, ale nemá význam definice. Navíc z a pak můžeme holomorfně rozšířit na záporná reálná čísla (a pro n přírozené i do nuly). Při počítání s mocninami v komplexním oboru musíme být značně opatrní a nepoužívat bezhlavě vzorce, které jsou pro kladné reálné základy spolehlivé. Místo vzorce (16) (uv) a = u a v a (obecně neplatí) raději použijeme a vzorci [u, ξ] M a, [v, ζ] M a = [uv, ξζ] M a (17) (u a ) b = u ab (obecně neplatí) se raději vyhneme, jinak můžeme dopadnout třeba takto: 1 = i 4/2 = (i 4 ) 1/2 = 1 1/2 = Arcustangens a arcussinus. Funkce tg z = sin z cos z má periodu π, a tudíž inverzní relace Arctg není grafem funkce. Relace Arctg se šroubovitě omotává kolem bodů ±i podobně jako Log nebo Arg kolem počátku. Funkce tg je prostá na pásu Re z < π/2 a zobrazuje jej na skoro celou komplexní rovinu, jmenovitě na E = {w C : Im w 0 nebo w < 1}. Hlavní hodnotu funkce arctg definujeme tedy pro w E jako jedno patro relace Arctg odpovídající hodnotám Re z < π/2, neboli ) z = arctg w když ( Re z < π2 & tg z = w. 6

7 Počítejme e 2i arctg w = e 2iz = eiz cos z + i sin z = e iz cos z i sin z = 1 + i tg z 1 i tg z = 1 + iw 1 iw. Jelikož levá strana leží v pásu {x + iy : x R, y ( π, π)}, můžeme obě strany zlogaritmovat a dostaneme arctg w = iw ln 2i 1 iw. Funkce arctg je holomorfní na E a splňuje (arctg w) 1 = 1 + w 2. Podobná situace nastává s invertováním sinu. Funkce sin z má periodu 2π, a tudíž inverzní relace Arcsin není grafem funkce. Relace Arcsin má singulární body ±1. Na rozdíl od chování Arctg, pokud obíháme jeden z bodů ±1, pohybujeme se pouze mezi dvěma patry jako u druhé odmocniny. Pokud se chceme přesunout do vzdálenejších pater, je zapotřebí obíhat celou dvojici bodů, třeba po kružnici o poloměru větším než jedna. Ačkoli perioda sinu je 2π, už pás o šířce π se zobrazí na skoro celou komplexní rovinu. Funkce sin je prostá na pásu Re z < π/2 a zobrazuje jej na množinu F = {w C : Re w 0 nebo w < 1}. Hlavní hodnotu funkce arcsin definujeme tedy pro w F jako jedno patro relace Arcsin odpovídající hodnotám Re z < π/2, neboli ) z = arcsin w když ( Re z < π2 & sin z = w. Nejprve zjistíme, že tedy Re cos(x + iy) = cos x ey + e y, x, y R, 2 (18) Re z < π/2 = Re cos z > 0 = cos z = Počítejme e i arcsin w = e iz = cos z + i sin z = 1 sin 2 z. 1 sin 2 z + i sin z = 1 w 2 + iw. Jelikož levá strana leží v pásu {x + iy : x R, y ( π/2, π/2)}, můžeme obě strany zlogaritmovat a dostaneme arcsin w = 1 ln ( 1 w2 + iw ). i Funkce arcsin je holomorfní na F a splňuje (arcsin w) = 1 1 w 2. Na rozdíl od reálného oboru nedefinujeme arcsin ±1 = ±π/2, protože takové rozšíření by nebylo holomorfní. Už v reálném oboru pozorujeme nekonečnou jednostranou derivaci, což vylučuje holomorfnost. 4. Křivkový integrál 4.1. Křivka, řetězec. V komplexní analýze se používají křivky parametrizované uzavřeným intervalem. Předefinujeme tedy C 1 křivku jako spojitě diferencovatelné zobrazení uzavřeného intervalu a, b do C. Předpokládáme tedy existenci spojité derivace na a, b, v bodě a se míní derivace zprava, v bodě b zleva. Pokud bychom chtěli, aby obraz křivky vypadal hladce, museli bychom předpokládat nenulovost derivace. Takový předpoklad bývá leckdy užitečný, pro naše účely však není podstatný. Počáteční bod křivky je (a) a koncový bod je (b). Symbolem značíme křivku t ( t), t b, a ; její počáteční bod je (b) a koncový bod (a). Řetězec se definuje jako uspořádaná m-tice ψ = ( 1,..., m ) C 1 -křivek, j : a j, b j C. Křivky j se nazývají články řetězce ψ. Řetězec o jednom článku ztotožňujeme s tímto článkem. Geometrický obraz řetězce ψ definujeme jako množinu m ψ := j ( a j, b j ). j=1 7

8 Pokud jednotlivé články řetězce na sebe navazují tak, že koncový bod každé neposlední křivky je počátečním bodem následující, tj. j (b j ) = j+1 (a j+1 ), j = 1,..., m 1, nazveme řetězec ψ (po částech hladkou) křivkou. V tom případě používáme značení ψ = m. Bod 1 (a 1 ) se nazývá počátečním bodem křivky ψ a bod m (b m ) koncovým bodem křivky ψ. Pokud koncový bod splývá s počátečním, řekneme, že křivka ψ je uzavřená. Řetězec, který jde rozložit na uzavřené křivky, se nazývá cyklus. Pokud některý článek je křivka j, má symbol též význam spojovacího znaménka a přepisuje na příslušném místě +. Uvažujme ještě množinu G C. Říkáme, že ψ je řetězec v G, resp. křivka v G, jestliže ψ G Křivkový integrál. Nechť : a, b C je křivka, G C je otevřená množina obsahující a f : G C je spojitá funkce. Definujeme b f(z) dz := f((t)) (t) dt. Integrál přes řetězec definujeme jako součet integrálů z jednotlivých článků. Samozřejmě, f(z) dz = f(z) dz. a Komplexní křivkový integrál připomíná křivkový integrál druhého druhu z reálné analýzy. Liší se tím, že násobení činitelů f((t)) a (t) je komplexní násobení. Komplexní křivkový integrál si nepředstavujeme jako úhrn veličiny f přes křivku, ale jako úhrn veličiny fτ, kde τ je jednotkový tečný vektor. Převod na reálný křivkový integrál se děje podle vzorců f(z) dz = f d s + i (i f) d s Užitečný odhad. Křivkový integrál funkce f přes křivku můžeme odhadnout podle vzorce f(z) dz f(z) ds l() sup f(z), z kde integrál uprostřed je křivkový integrál prvého druhu a b l() := ds = (t) dt je délka křivky Příklady křivek. 1. Kružnice, obvod kruhu. Kružnice se středem w a poloměrem r se nejčastěji parametrizuje křivkou (t) = w + r e it, t I, kde I je otevřený interval délky 2π. Je-li U otevřený kruh v C o středu w a poloměru r, výše uvedenou křivku nazveme obvodem U a značíme U. 2. Úsečka. Nechť A, B C. Symbolem AB budeme značit křivku, která spojuje A a B po úsečce, konkrétně podle předpisu (t) = A + t(b A), t 0, Obvod trojúhelníku. Trojúhelníkem budeme rozumět uspořádanou trojici komplexních čísel T = [A, B, C]. Řekneme, že trojúhelník T je degenerovaný, jestliže body A, B, C leží na jedné přímce, v opačném případě je nedegenerovaný a jde o trojůhelník v běžném slova smyslu. Každému trojúhelníku T = [A, B, C] odpovídá trojúhelník-množina T = ABC := {λa + µb + νc : λ, µ, ν 0, λ + µ + ν = 1}. Je-li T degenerovaný, může být T úsečka nebo bod. Křivku T := AB +BC +CA nazveme obvodem trojúhelníku T. Nechť G C. Řekneme, že T je trojůhelník v G, jestliže T G. 8 a

9 4.5. Primitivní funkce. Nechť G C je otevřená množina a f a g jsou komplexní funkce proměnné z G. Řekneme, že f je primitivní funkce ke g na G, jestliže na G platí f = g Hvězdovitá množina. Připomeňme, že množina G C se nazývá hvězdovitá, jestliže existuje A G tak, že pro každý bod B G je celá úsečka AB podmnožinou G. Množiny D, E, F, které jsme zaváděli jako definiční obory elementárních funkcí, jsou hvězdovité Věta (O primitivní funkci). Nechť G C je otevřená množina a f, g : G C jsou spojité funkce. Následující podmínky jsou ekvivalentní: (i) f je primitivní funkce ke g. (ii) Pro každou křivku : a, b G je f((b)) f((a)) = (iii) Pro každou úsečku AB v G je f(b) f(a) = AB g(z) dz. g(z) dz Věta (O existenci primitivní funkce). Nechť G C je otevřená množina a g : G C je spojitá funkce. Uvažujme následující podmínky: (i) g má primitivní funkci v G. (ii) Pro každou uzavřenou křivku v G je g(z) dz = 0, (iii) Pro každý trojúhelník T v G je Potom T g(z) dz = 0. (a) (i) = (ii) = (iii), (b) Pro G hvězdovitou jsou všechny tři podmínky ekvivalentní. 5. Index bodu vzhledem ke křivce 5.1. Přírůstek argumentu. Nechť : a, b C je C 1 -křivka v C \ {0}. Potom existuje spojitá funkce A : a, b R tak, že pro každé t a, b je A (t) argumentem (t) (ne nutně z hlavní větve!) A (t) Arg((t)), t a, b. Číslo A (b) A (a) se nazývá přírůstkem argumentu po křivce. Funkce A je určena křivkou až na aditivní konstantu, na níž přírůstek nezávisí. Přírůstek argumentu po řetězci se definuje jako součet přírůstků argumentu po jednotlivých článcích. Podobně můžeme definovat přírůstek logaritmu, to je pak komplexní číslo a přírůstek argumentu je jeho imaginární část Index bodu vzhledem ke křivce. Nechť w C a ψ je uzavřená křivka, nebo obecněji cyklus, v C \ {w}. Označme ψ w posunutou křivku, tj. každý článek nahradíme článkem w : t (t) w. Uzavřenost křivky(cyklu) ψ se projeví tím, že přírůstek argumentu po ψ w je celý násobek 2π. Existuje tedy celé číslo m, které nazveme index bodu w vzhledem ke křivce (cyklu) ψ, a označíme ind ψ w, tak, že 2πm je přírůstem argumentu po křivce ψ w. Je-li ψ uzavřená křivka (obecně cyklus), značíme Int ψ = {z C : ind ψ z 0}. Uvědomme si, že přírůstek argumentu můžeme zde počítat jako imaginární část přírůstku logaritmu, zatímco reálná část přírůstku logaritmu po uzavřené křivce je 0. Jelikož spojité větve logaritmu jsou primitivní funkce k 1/z, dostaneme následující větu. 9

10 5.3. Věta (o indexu). Nechť w C a ψ je cyklus v C \ {w}. Potom ind ψ w = 1 dz 2πi z w Jordanova křivka. Uzavřená křivka, která neprotíná sama sebe se nazývá Jordanova křivka. Pojem neprotíná sama sebe si pro jednoduchost vysvětlíme na uzavřené C 1 -křivce : a, b C. V tom případě to znamená, že je prosté zobrazení na a, b) (samozřejmě, uzavřenost znamená, že (a) = (b)). J ordanova věta je tvrzení, že pro každou Jordanovu křivku nabývá ind jen hodnot 0 a 1 (nebo jen hodnot 0 a 1) a množiny {z : ind z = ±1}, {z : ind z = 0} jsou neprázdné a souvislé. Jordanova věta vypadá jako intuitivně zřejmá, ale důkaz je těžký. 6. Cauchyova věta a její důsledky 6.1. Věta (Cauchyova pro trojúhelník). Nechť G C je otevřená množina, T je trojúhelník v G a f : G C je holomorfní funkce. Potom f(z) dz = 0. T 6.2. Věta (Cauchyova). Nechť G C je otevřená množina, je cyklus, Int G a f : G C je holomorfní funkce. Potom f(z) dz = Věta (Cauchyův vzorec). Nechť G C je otevřená množina, je cyklus, Int G a f : G C je holomorfní funkce. Nechť w G, ind w = 1. Potom f(w) = 1 f(z) 2πi z w dz Věta (o derivování Cauchyova vzorce). Nechť G C je otevřená množina a f : G C je holomorfní funkce. Potom f má v G (komplexní) derivace všech řádů. Nechť je cyklus, Int G. Nechť w G, ind w = 1. Potom obecně f (w) = 1 2πi ψ f(z) (z w) 2 dz, f (k) (w) = k! f(z) dz. 2πi (z w) k Důsledek. Nechť G C je otevřená množina a f : G C má v G primitivní funkci. Potom f je holomorfní v G Věta (Morera). Nechť G C je otevřená množina a f : G C je spojitá funkce. Jestliže pro každý trojúhelník T v G je f(z) dz = 0, potom je f holomorfní v G Věta (Liouville). Nechť f : C C je holomorfní a omezená. Potom f je konstantní. T 6.8. Věta (Základní věta algebry). Nechť f : C C je nekonstantní polynom. Potom f má v C kořen. 7. Mocninné řady v komplexním oboru 7.1. Mocninná řada. Mocninná řada v komplexním oboru je řada tvaru (19) a n (z w) n, kde w C je střed řady a a n jsou koeficienty. Poloměr konvergence mocninné řady je největší takové číslo r 0, +, že řada (19) konverguje na množině { z C : z w < r }. 10

11 Tedy poloměr konvergence je +, pokud řada (19) konverguje pro všechna komplexní čísla z. Substitucí z = z w se dá vyšetřování mocninných řad převést na řady se středem v nule, tedy na řady (20) a n z n, Při zjišťování konvergence se řídíme stejnými pravidly jako v reálném oboru. Následující postřehy jsou důležité Věta (Speciální Dirichletovo kritérium). Nechť {a n } je posloupnost reálných čísel, a n 0. Potom řada (20) konverguje pro všechna komplexní čísla z splňující z 1, s jedinou možnou výjimkou z = 1. (O konvergenci v bodě 1 kritérium nedokáže rozhodnout.) 7.3. Příklady. V řadě (21) k=1 ( 1) k z2k provedeme substituci v = z 2, která řadu převede na v k (22) k. k=1 Řada (22) konverguje podle Dirichletova kritéria pro každé komplexní číslo v splňující v 1, až na v = 1 (kde diverguje). Tedy původní řada (21) konverguje, když z 1 a z 2 1, tedy pro z ±i ; v bodech z = ±i diverguje. Řada z k k 2 k=1 konverguje podle Dirichletova kritéria pro každé komplexní číslo v splňující v 1, až na v = 1, kde sice také konverguje, ale už ne podle Dirichletova kritéria Věta (holomorfnost součtu mocninné řady). Nechť {a n } je posloupnost komplexních čísel a u, w C. Nechť řada (23) a n (z w) n konverguje v bodě z = u. Potom řada (23) konverguje v kruhu U = {z C : z w < u w }, a její součet f je v U holomorfní, konkrétně platí (24) f (z) = na n (z w) n 1. k 7.5. Věta (Abel). Nechť {a n } je posloupnost komplexních čísel a u C. Nechť řada (25) f(z) = a n z n konverguje v bodě z = u. Potom f(u) = lim r 1 f(ru) Věta (o poloměru konvergence). Nechť {a n } je posloupnost komplexních čísel a w C. Předpokládejme, že existuje limita λ := lim a n 1/n. n Potom poloměr konvergence řady a n (z w) n 11

12 je 1/λ. Pro a n 1/n 0 je poloměr konvergence +. Jestliže existuje limita µ := lim n a n+1, a n potom existuje i limita λ a rovnají se. V tom případě se dá počítat poloměr konvergence jako 1/µ Poznámka. Výpočet pomocí λ je založen na Cauchyově odmocninovém kritériu konvergence řad, výpočet pomocí µ je založen na D Alembertově podílovém kritériu Věta (o rozvoji holomorfní funkce). Nechť f je holomorfní funkce v kruhu U = {z C : z w < r}. Potom existují komplexní čísla a n tak, že f(z) = a n (z w) n, z U. Koeficienty a n jsou (26) a n = f (n) (w). n! 7.9. Taylorova řada. Řada z věty (7.8) se nazývá Taylorova řada funkce f se středem v w. Koeficienty se dají prakticky počítat z vzorce (26) nebo ze známé řady derivováním člen po členu podle vzorce (24) Příklady. Taylorova řada funkce exp z je exp z = n=1 z n n!, z C, odvozuje se z (26). Taylorova řada funkcí sin a cos je sin z = ( 1) k z 2k+1 (2k + 1)!, cos z = ( 1) k z2k (2k)!, z C, k=0 odvodí se z Eulerových vzorců (12). Taylorova řada funkce ln(1 + z) je (27) ln(1 + z) = ( 1) n 1 zn, z 1, z 1. n Zderivováním obou stran s pomocí (24) totiž dostaneme z = ( 1) n 1 z n 1 = ( 1) k z k, což je známý vzorec pro geometrickou řadu. Podobně odvodíme arctg z = ( 1) k z2k+1 2k + 1, z 1, z ±i. Binomickou řadu n=1 k=0 n=1 (1 + z) a = k=0 k=0 ( ) a z n, z < 1, n odvodíme z (26). Připomeňme, že binomické koeficienty jsou definovány i pro necelá (dokonce komplexní) a jako ( ) a a(a 1)... (a n + 1) =. n n! Konvergence binomické řady na hraniční kružnici závisí na exponentu a a její vyšetření není snadné. Dá se ukázat, že binomická řada konverguje pro z = 1, z 1, pokud Re a > 1 a diverguje pro z = 1, když Re a 1. Binomická řada v bodě z = 1 konverguje, jestliže Re a > 0, a diverguje, jestliže Re a 0 (s výjimkou a = 0). Speciální postavení mají exponenty a = 0, 1, 2,..., pro ty má binomická řada jen konečný počet sčítanců a proto konverguje v C. V jiných než výše popsaných případech binomická řada diverguje. Taylorovu řadu pro arcsin odvodíme ze vzorce ( ) 1/2 (arcsin z) = (1 z 2 ) 1/2 = ( z 2 ) k, k 12 k=0

13 tedy (28) arcsin z = ( ) 1/2 z ( 1) k 2k+1, z 1, z ±1. k 2k + 1 k=0 V bodech ±1 nastává zvláštní situace. Řada (28) sice konverguje a její součet je arcsin ±1, ale jde o reálný arkussinus, komplexní arkussinus v těchto bodech není definován. 8. Laurentova řada 8.1. Laurentova řada. Rozvoj holomorfní funkce do mocninné řady se dá zobecnit na holomorfní funkce na prstencové množině P (w, r, R) = {z C : r < z w < R}, 0 r < R. Pro 0 < r < R < je prstencová množina mezikruží. Výsledná řada však není mocninná ve smyslu naší definice, ale v zobecněném smyslu. Jedná se o řadu tvaru f(z) = a n (z w) n, z P (w, r, R), n= tj. sčítá se i přes záporné indexy. Taková řada se nazývá Laurentova řada funkce f se středem v w. Jedna funkce může mít různé Laurentovy řady se stejným středem, např z = ( 1) n z n, z < 1, z = 1 z z = ( 1) k( 1 ) k+1 1 = z k=0 n= ( 1) n 1 z n, z > Věta (o rozvoji v Laurentovu řadu). Nechť funkce f je holomorfní v P (w, r, R). Potom existují a n C, n Z, tak, že f(z) = a n (z w) n, z P (w, r, R). n= 9. Reziduová věta 9.1. Pozorování. Uvažujme cyklus obíhající 0, tedy ind 0 = 1, např. U, kde U = { z < 1}. Potom { z n 2πi, n = 1, dz = 0, n 1. Odtud je jasné, že pro integrování holomorfních funkcí vyjádřených Laurentovou řadou f(z) = a n (z w) n, z P (w, 0, R), n= přes křivky obíhající singularitu v w bude mít význam jen koeficient a Reziduum. Nechť f je funkce holomorfní na prstencovém okolí P (w, 0, R) bodu w. Reziduum funkce f v bodě w definujeme jako koeficient a 1 Laurentova rozvoje f(z) = a n (z w) n, z P (w, 0, R), a značíme res w f. n= 9.3. Věta (reziduová). Nechť G C je otevřená množina, je cyklus, Int G. Nechť M Int je konečná množina a ind w = 1 pro všechna w M. Nechť f je funkce holomorfní na G \ M. Potom f(z) dz = 2πi res w f. w M 13

14 9.4. Násobnost kořenu. Nechť G C je otevřená množina a f je funkce holomorfní v G. Řekneme, že f má v bodě w G kořen násobnosti m N, jestliže f(w) = f (w) =... f (m 1) (w) = 0, f (m) (w) 0. Jestliže f má v bodě w G kořen násobnosti m N, pak existuje holomorfní funkce h v G tak, že f(z) = h(z)(z w) m, z G, h(w) Věta (Princip argumentu). Nechť G C je otevřená množina, je cyklus, Int G a f : G C je holomorfní funkce. Nechť ind nabývá jen hodnot 0 a 1. Nechť m je počet kořenů funkce f v Int počítaných tolikrát, kolik je jejich násobnost. Potom f (z) dz = 2πim. f(z) 9.6. Poznámka. Nyní už umíme dokázat, že prostá holomorfní funkce má všude nenulovou derivaci. 10. Použití komplexní analýzy k výpočtu jednorozměrných integrálů Příklad. Máme spočítat sin x I = (N ) 0 x dx. Symbol (N ) zdůrazňuje, že integrál konverguje jako Newtonův (ale ne Lebesgueův), každopádně Budeme integrovat funkci 2I = lim R R f(z) = eiz 1 z přes křivku := 1 + 2, kde 1 je úsečka od R do R, 2 je kruhový oblouk se středem v počátku orientovaný proti směru hodinových ručiček od R do R. Podle Cauchyovy věty je f(z) dz = 0. Máme R cos x 1 R sin x f(z) dz = dx + i dx 2iI; 1 R x R x kde šipka značí limitní přechod R +. První integrál je totiž nulový z důvodu lichosti integrandu. Dále e f(z) dz = 2 2 iz z dz 2 z 2 = e iz πi πi. z Porovnáním výsledků dostaneme I = π 2. R sin x x dx Příklad. Máme spočítat Budeme integrovat funkci přes křivku kde 1 je úsečka od R do R, I = + e x2 2 cos x dx. f(z) = e z2 /2 := , 14

15 2 je úsečka od R do R + i, 3 je úsečka od R + i do R + i, 4 je úsečka od R + i do R. Podle Cauchyovy věty je f(z) dz = 0. Počítáme limitní přechod pro R +. Máme f(z) dz e x2 2 dx = 2π, 1 f(z) dz e 1 x2 2 (cos x + i sin x) dx e 1/2 I. 3 Porovnáním výsledků dostaneme Příklad. + I = x p 1 2π e. I = dx, 0 < p < 1. 0 x + 1 Použijeme Cauchyův vzorec v bodě 1 pro funkci a křivku kde f(z) = z p 1 := , 1 je úsečka od re i(π ε) do Re i(π ε), 2 je kruhový oblouk se středem v počátku orientovaný proti směru hodinových ručiček od Re i(π ε) do Re i(π ε), 3 je úsečka od Re i(π ε) do re i(π ε), 4 je kruhový oblouk se středem v počátku orientovaný po směru hodinových ručiček od re i(π ε) do re i(π ε) Parametrizace budou Podle Cauchyova vzorce 1 (t) = te i(π ε), 2 (t) = Re it, 3 (t) = te i(π ε), 4 (t) = re it, 2πi = 2πif(1) = t r, R, t ε π, π ε, t r, R, t ε π, π ε. z p 1 z 1 dz. V integrálech provádíme limitní přechod nejprve pro ε 0+, pak pro r 0 a současně R +. Máme 1 z p 1 z 1 podobně zatímco ε 0+ dz R r z 1 dz = 3 z p 1 Porovnáním dostaneme e iπ (p 1) t p 1 R e iπ dt = e iπp t p 1 dt e iπp t 1 t r 0 t p 1 t + 1 dt = e iπp I, z p 1 R ε 0+ e iπ (p 1) t p 1 dz e iπ dt e iπp t p 1 z 1 r t 1 0 t + 1 dt = eiπp I, 2 z p 1 dz 0, z 1 I = π sin πp z p 1 dz 0. z 1

16 10.4. Příklad. Počítejme Budeme integrovat přes křivku kde I = + cos x x dx e iz z dz, := 1 + 2, 1 je úsečka od R do R, 2 je kruhový oblouk se středem v počátku orientovaný proti směru hodinových ručiček od R do R. Budeme předpokládat R > 1. Máme dvě možnosti: (a) Podle Cauchyova vzorce je kde kde π e (b) Podle reziduové věty je Máme = 2πi e 1 i + i = 2πig(i) = neboť imaginární část integrandu je lichá. Dále Porovnáním dostaneme Příklad. g(z) = g(z) z i dz = e iz z dz, eiz z + i. π e = e iz 2πie 1 = 2πi res i f = 2i z dz, I = f(z) = 1 eiz z e iz z 2 dz I, e iz z 2 dz I = π e. cos x (x 2 + 1) 2 dx. (a) Podle Cauchyova vzorce pro první derivaci (věta 6.4) je pro jako v předchozím příkladu πig g(z) (i) = (z i) 2 dz = e iz eiz (z 2 dz, g(z) = + 1) 2 (z + i) 2, a limitní přechod pro R dává Jelikož máme I = 2πi g (z) = I = 2πig (i). ( ie 1 (2i) 2 2 e 1 (2i) 3 ) ieiz (z + i) 2 2 e iz (z + i) 3, (b) Podobně jako v předchozím příkladu 10.4 dostaneme I = 2πi res i f, 16 = 2πi ( 1 e 4i 8i) + 2 = π e.

17 kde e iz f(z) = (z 2 + 1) 2. Zbývá spočítat reziduum f v i. Nejprve rozložíme racionální funkci na parciální zlomky. Máme 2i z = 2i 1 1 z i z + i = 1 z i 1 z + i, umocněním na druhou dostaneme 4 ( 1 z = z i 1 ) 2 ( 1 ) ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 = + 2 z + i z i z i z + i + i = + + z + i z i z + i z + i i z i. Reziduum součtu budeme počítat jako součet reziduí. Sčítance, kde se ve jmenovateli vyskytuje z+i, jsou holomorfní a tudíž nezajímavé. Rozkladem funkce e i(z i) do Taylorovy řady se středem v i, jmenovitě dostaneme takže a e i(z i) = 1 + i(z i) (z i)2 2!..., e iz (z i) 2 = e 1 e i(z i) (z i) 2 = e 1 (z i) 2 + e 1 i (z i) (z i) , i e iz z i = i e 1 e i(z i) = i e 1 z i z i +..., 4 res i f = 2ie 1 I = π e. 17

ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ

ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ OBECNÉ VLASTNOSTI Řady komplexních čísel z n byly částečně probírány v kapitole o číselných řadách. Definice říká, že n=0 z n = z, jestliže z je limita částečných součtů řady z

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,

Více

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik 1 Obsah 1 Přehled použité smbolik 3 Základní pojm matematické logik a teorie množin 4.1 Element matematické logik.........................

Více

11. Číselné a mocninné řady

11. Číselné a mocninné řady 11. Číselné a mocninné řady Aplikovaná matematika III, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2017/18 11.1 Základní pojmy Definice Necht {a n } C je posloupnost komplexních čísel. Pro m N položme s m = a 1 +

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% POJMY, JEJICHŽ ZNALOST SE OČEKÁVÁ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% POJMY, JEJICHŽ ZNALOST SE OČEKÁVÁ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% POJMY, JEJICHŽ ZNALOST SE OČEKÁVÁ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% množina komplexních čísel algebraický zápis komplexního

Více

+ ω y = 0 pohybová rovnice tlumených kmitů. r dr dt. B m. k m. Tlumené kmity

+ ω y = 0 pohybová rovnice tlumených kmitů. r dr dt. B m. k m. Tlumené kmity Tlumené kmit V praxi téměř vžd brání pohbu nějaká brzdicí síla, jejíž původ je v třecích silách mezi reálnými těles. Matematický popis těchto sil bývá dosti komplikovaný. Velmi často se vsktuje tzv. viskózní

Více

Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie

Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie Jiří Kolafa Vektory. Vektorový prostor Vektor je často zaveden jako n-tice čísel, (v,..., v n ), v i R (pro reálný vektorový prostor);

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu

MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z PŘEDNÁŠEK JAN MALÝ Obsah 1. Parciální diferenciální rovnice obecně 1. Kvaazilineární rovnice prvního řádu 1 3. Lineární rovnice druhého řádu

Více

MKI Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0.

MKI Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0. MKI -00 Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0. V jakém rozmezí se může pohybovat poloměr konvergence regulární

Více

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních

Více

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Strojírenství. (platné znění k 1. 9. 2009)

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Strojírenství. (platné znění k 1. 9. 2009) Střední průmyslová škola Jihlava tř. Legionářů 1572/3, Jihlava Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu Strojírenství (platné znění k 1. 9. 09) Tento dodatek nabývá platnosti dne 1. 9. 13 (počínaje

Více

http://user.mendelu.cz/marik, kde je dostupný ve formě vhodné pro tisk i ve formě vhodné pro prohlížení na obrazovce a z adresy http://is.mendelu.

http://user.mendelu.cz/marik, kde je dostupný ve formě vhodné pro tisk i ve formě vhodné pro prohlížení na obrazovce a z adresy http://is.mendelu. Inženýrská matematika Robert Mařík Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg.

Více

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY POMNĚNKA prase Pomni, abys nezapomněl na Pomněnku MSc. Catherine Morris POMNĚNKA Verze ze dne: 14. října 01 Materiál je v aktuální

Více

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2 Matematika 2 14. přednáška Číselné a mocninné řady Jan Stebel Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı Technická univerzita v Liberci jan.stebel@tul.cz http://bacula.nti.tul.cz/~jan.stebel

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

9. Úvod do teorie PDR

9. Úvod do teorie PDR 9. Úvod do teorie PDR A. Základní poznatky o soustavách ODR1 Diferenciální rovnici nazveme parciální, jestliže neznámá funkce závisí na dvou či více proměnných (příslušná rovnice tedy obsahuje parciální

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2003 2004

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2003 2004 PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 003 004 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO M 0030 Vyjádřete jedním desetinným číslem (4 ½ 4 ¼ ) (4 ½ + 4 ¼ ) Správné řešení: 0,5 Zjednodušte výraz : ( 4)

Více

Jednou z nejdůležitějších funkcí, které se v matematice a jejích aplikacích používají je

Jednou z nejdůležitějších funkcí, které se v matematice a jejích aplikacích používají je 74 Příloha A Funkce Γ(z) Úvod Jednou z nejdůležitějších funkcí, které se v matematice a jejích aplikacích používají je nesporně funkce Γ(z). Její důležitost se vyrovná exponenciální funkci i funkcím goniometrickým.

Více

Euklidovský prostor Stručnější verze

Euklidovský prostor Stručnější verze [1] Euklidovský prostor Stručnější verze definice Eulidovského prostoru kartézský souřadnicový systém vektorový součin v E 3 vlastnosti přímek a rovin v E 3 a) eprostor-v2, 16, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c)

Více

(Auto)korelační funkce. 2. 11. 2015 Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada www.fzu.cz/ ~ cada

(Auto)korelační funkce. 2. 11. 2015 Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada www.fzu.cz/ ~ cada (Auto)korelační funkce 1 Náhodné procesy Korelace mezi náhodnými proměnnými má široké uplatnění v elektrotechnické praxi, kde se snažíme o porovnávání dvou signálů, které by měly být stejné. Příkladem

Více

Úvodní informace. 17. února 2018

Úvodní informace. 17. února 2018 Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA A FUNKCE MNOŽINA KOMPLEXNÍCH ČÍSEL C. Alternativní popis komplexních čísel

KOMPLEXNÍ ČÍSLA A FUNKCE MNOŽINA KOMPLEXNÍCH ČÍSEL C. Alternativní popis komplexních čísel KOMPLEXNÍ ČÍSLA A FUNKCE V předchozích částech byl důraz kladen na reálná čísla a na reálné funkce. Pokud se komplexní čísla vyskytovala, bylo to z hlediska kartézského součinu dvou reálných přímek, např.

Více

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015 Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj

Více

Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14

Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Neurčitý integrál 2/14 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní

Více

Kapitola 9. Rezidua. Matematická analýza 4. KMA/MA o12. Definice 9.1. ( izolovaná singularita )

Kapitola 9. Rezidua. Matematická analýza 4. KMA/MA o12. Definice 9.1. ( izolovaná singularita ) Kapitola 9. Rezidua Definice 9.. ( izolovaná singularita ) Bod z 0 2 C nazveme izolovanou singularitou (izolovaný singulární bod) funkce f, jestliže i) f není holomorfní v bodě z 0, ii) existuje prstencové

Více

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Více

Zadání I. série. Obr. 1

Zadání I. série. Obr. 1 Zadání I. série Termín odeslání: 21. listopadu 2002 Milí přátelé! Vítáme vás v XVI. ročníku Fyzikálního korespondenčního semináře Matematicko-fyzikální fakulty Univerzity Karlovy. S první sérií nám prosím

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

Komplexní analýza. Reziduová věta a její aplikace. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze

Komplexní analýza. Reziduová věta a její aplikace. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Komplexní analýza Reziduová věta a její aplikace Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Reziduová věta a její aplikace / Motivace Mějme

Více

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní

Více

13. přednáška 13. ledna k B(z k) = lim. A(z) = M(z) m 1. z m.

13. přednáška 13. ledna k B(z k) = lim. A(z) = M(z) m 1. z m. 13. přednáška 13. ledna 2010 Důkaz. M = n=0 a nz n a N = n=0 b nz n tedy buďte dvě mocninné řady, které se jako funkce shodují svými hodnotami na nějaké prosté posloupnosti bodů z k C konvergující k nule.

Více

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE INTEGRAE KOMPLEXNÍ FUNKE LEKE34-KIN auchyova obecná auchyova auchyův vzorec vičení KŘIVKOVÝ INTEGRÁL Na konci kapitoly o derivaci je uvedena souvislost existence derivace s potenciálním polem. Existuje

Více

ELEMENTÁRNÍ KOMPLEXNÍ FUNKCE SPECIÁLNÍ ELEMENTÁRNÍ FUNKCE

ELEMENTÁRNÍ KOMPLEXNÍ FUNKCE SPECIÁLNÍ ELEMENTÁRNÍ FUNKCE ELEMENTÁRNÍ KOMPLEXNÍ FUNKCE Všechny základní reálné funkce reálné proměnné, s kterými jste se seznámili na začátku tohoto kurzu, lze rozšířit i na komplexní funkce komplexní proměnné. U některých je rozšíření

Více

Přednáška 6, 6. listopadu 2013

Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Kapitola 2. Posloupnosti a řady funkcí. V dalším jsou f, f n : M R, n = 1, 2,..., reálné funkce jedné reálné proměnné definované na (neprázdné) množině M R. Co to znamená,

Více

Exponenciála matice a její užití. fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu

Exponenciála matice a její užití. fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu 1 Tutoriál č. 3 Exponenciála matice a její užití řešení Cauchyovy úlohy pro lineární systémy užitím fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu 0.1 Exponenciála matice a její užití

Více

A0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly

A0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly Matice Matice typu (m, n) je uspořádaná m-tice prvků z řádky matice.. Jednotlivé složky této m-tice nazýváme Matice se zapisují Speciální typy matic Nulová matice všechny prvky matice jsou nulové Jednotková

Více

Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat. Úvod. Róbert Lórencz. http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz

Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat. Úvod. Róbert Lórencz. http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat Róbert Lórencz 1. přednáška Úvod http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz Róbert Lórencz (ČVUT FEL, 2007) Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování

Více

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný

Více

To je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení.

To je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení. STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Zatím nebylo v těchto textech věnováno příliš pozornosti konvergenci funkcí, at jako limita posloupnosti nebo součet řady. Jinak byla posloupnosti funkcí nebo řady brána jako. To

Více

i=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice

i=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných

Více

Kapitola 7: Integrál.

Kapitola 7: Integrál. Kapitola 7: Integrál. Neurčitý integrál. Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f(x) x I nazýváme primitivní funkcí k funkci

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

LEKCE10-RAD Otázky

LEKCE10-RAD Otázky Řady -ekv ne ŘADY ČÍSEL 1. limita posloupnosti (operace založená na vzdálenosti bodů) 2. supremum nebo infimum posloupnosti (operace založená na uspořádání bodů). Z hlavních struktur reálných čísel zbývá

Více

Lineární algebra II. Adam Liška. 9. února 2015. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak. rok 2007/2008

Lineární algebra II. Adam Liška. 9. února 2015. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak. rok 2007/2008 Lineární algebra II Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak rok 2007/2008 Adam Liška 9 února 2015 http://kammffcunicz/~fiala http://wwwadliskacom 1 Obsah 10 Permutace 3 11 Determinant

Více

ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ OBECNÉ VLASTNOSTI

ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ OBECNÉ VLASTNOSTI ŘADY KOMPLEXNÍH FUNKÍ V kapitole si ukážeme, že holomorfní funkce a mocninné řady skoro jedno jsou. Někomu... OBENÉ VLASTNOSTI Řady komplexních čísel z n byly částečně probírány v kapitole o číselných

Více

a n (z z 0 ) n, z C, (1) n=0

a n (z z 0 ) n, z C, (1) n=0 Mocniné řady Nechť 0, a 0, a, a 2,... jsou konečná komplexní čísla. Pak řadu funkcí a n ( 0 ) n, C, () naýváme mocninou řadou. Číslo 0 koeficienty mocniné řady. Onačme dále: se naývá střed mocniné řady,

Více

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 1. Některé základní pojmy: číselné množiny, intervaly, operace s intervaly (sjednocení, průnik), kvantifikátory, absolutní hodnota čísla, vzorce: 2. Algebraické

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY

GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY ARNOŠT VEČERKA VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ

Více

Matice se v některých publikacích uvádějí v hranatých závorkách, v jiných v kulatých závorkách. My se budeme držet zápisu s kulatými závorkami.

Matice se v některých publikacích uvádějí v hranatých závorkách, v jiných v kulatých závorkách. My se budeme držet zápisu s kulatými závorkami. Maticové operace Definice Skalár Představme si nějakou množinu, jejíž prvky lze sčítat a násobit. Pěkným vzorem jsou čísla, která už známe od mala. Prvky takové množiny nazýváme skaláry. Matice Matice

Více

F (x) = f(x). Je-li funkce f spojitá na intervalu I, pak existuje k funkci f primitivní funkce na intervalu I.

F (x) = f(x). Je-li funkce f spojitá na intervalu I, pak existuje k funkci f primitivní funkce na intervalu I. KAPITOLA 7: 7. Úvod Primitivní funkce [MA-6:P7.] Definice: Funkce F je primitivní funkcí k funkci f na intervalu I, jestliže pro každé I eistuje F a platí F f. Poznámky: Obsahuje-li I některý z krajních

Více

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ. Matematika 3. RNDr. Břetislav Fajmon, PhD. Autoři textu:

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ. Matematika 3. RNDr. Břetislav Fajmon, PhD. Autoři textu: FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Matematika 3 Garant předmětu: RNDr. Břetislav Fajmon, PhD Autoři textu: Mgr. Irena Růžičková RNDr. Břetislav Fajmon, PhD

Více

15. Nulové body a póly. Věta. Je-li funkce f : G holomorfní v oblasti G a f(z 0 ) 0 pro z 0 G, pak

15. Nulové body a póly. Věta. Je-li funkce f : G holomorfní v oblasti G a f(z 0 ) 0 pro z 0 G, pak 5. Nulové body a póly Věta. Je-li funkce f holomorfní v oblasti G C, a f(z 0 ) 0 pro bod z 0 G, pak existuje okolí U(z 0 ) bodu z 0 takové, že f(z) 0 pro z U(z 0 ). Definice: Je-li funkce f holomorfní

Více

Matematika 1 pro PEF PaE

Matematika 1 pro PEF PaE Derivace funkcí jedné proměnné / 9 Matematika pro PEF PaE 4. Derivace funkcí jedné proměnné Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Derivace funkcí jedné proměnné Nejjednodušší derivace 2 / 9 Derivace

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

0. Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04

0. Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04 0 Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04 V tomto krátkém textu se budeme zabývat lineárními rekurencemi, tj posloupnostmi definovanými rekurentní rovnicí typu A n+k = c 0 A n + c 1 A n+1 + + c k 1

Více

18 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy

18 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 18: Fourierovy řady 7 18 Fourierovy řady 18.1 Úvod, základní pojmy Otázka J. Fouriera: Lze každou periodickou funkci napsat jako součet nějakých "elementárních"

Více

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť

Více

Regulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím.

Regulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Regulární matice Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Věta. Pro každou čtvercovou matici A = (a ij ) řádu n nad tělesem (T, +, ) jsou následující podmínky ekvivalentní: (i) Řádky matice

Více

3. Derivace funkce Definice 3.1. Nechť f : R R je definována na nějakém okolí U(a) bodu a R. Pokud existuje limita f(a + h) f(a) lim

3. Derivace funkce Definice 3.1. Nechť f : R R je definována na nějakém okolí U(a) bodu a R. Pokud existuje limita f(a + h) f(a) lim 3 a b s = (a + b) 2 f(s) 3,46 4,680 3,93-2,9422 3,93 4,680 4,2962-2,034 4,2962 4,680 4,4886-0,0954 4,4886 4,680 4,5848 3,2095 4,4886 4,5848 4,5367,0963 4,4886 4,5367 4,526 0,427 4,4886 4,526 4,5006 0,508

Více

Kapitola 7: Integrál. 1/17

Kapitola 7: Integrál. 1/17 Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený

Více

. Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim 2015

. Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim 2015 . Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim 0 František Mráz Ústav technické matematiky, Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz I. Mocniny, odmocniny, algeraické výrazy Upravte (zjednodušte), případně určete číselnou

Více

2. Matice, soustavy lineárních rovnic

2. Matice, soustavy lineárních rovnic Matice, soustavy lineárních rovnic Tento učební text byl podpořen z Operačního programu Praha- Adaptabilita Irena Sýkorová Některé vlastnosti matic Uvažujmečtvercovoumatici A=(a ij ) n n Matice Asenazývásymetrická,jestližeplatí

Více

Limita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1]

Limita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1] KAPITOLA 3: Limita a spojitost funkce [MA-8:P3.] 3. Úvod Necht je funkce f definována alespoň na nějakém prstencovém okolí bodu 0 R. Číslo a R je itou funkce f v bodě 0, jestliže pro každé okolí Ua) bodu

Více

Komplexní analýza. Holomorfní funkce. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze

Komplexní analýza. Holomorfní funkce. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Komplexní analýza Holomorfní funkce Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Holomorfní funkce 1 / 8 Derivace Definice Necht f je komplexní

Více

Mezi elementární komplexní funkce se obvykle počítají tyto funkce: f(z) = az + b,

Mezi elementární komplexní funkce se obvykle počítají tyto funkce: f(z) = az + b, Elementární funkce Mezi elementární komplení funkce se obvykle počítají tyto funkce:. Lineární funkce Lineární funkce je funkce tvaru f(z) az + b, kde a a b jsou konečná komplení čísla. Její derivace je

Více

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS )

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) LINEÁRNÍ ALGEBRA Úvod vektor Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) Kartézský souřadnicový systém -je taková soustava

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

4 Integrální počet funkcí více reálných proměnných

4 Integrální počet funkcí více reálných proměnných Dvojné integrály - 61-4 ntegrální počet funkcí více reálných proměnných 4.1 Dvojné a dvojnásobné integrály Dvojné a dvojnásobné integrály na intervalech z Pod uzavřeným intervalem z rozumíme kartézský

Více

6. T e s t o v á n í h y p o t é z

6. T e s t o v á n í h y p o t é z 6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně

Více

Masarykova univerzita. Základy konvexní analýzy a optimalizace v R n.

Masarykova univerzita. Základy konvexní analýzy a optimalizace v R n. Masarykova univerzita Ondřej Došlý Základy konvexní analýzy a optimalizace v R n. První vydání Brno 2004 Došlý Ondřej Název knihy c prof. RNDr. Ondřej Došlý, DrSc., 2005 Největší životní umění je neoptimalizovat

Více

Kapitola 11. Vzdálenost v grafech. 11.1 Matice sousednosti a počty sledů

Kapitola 11. Vzdálenost v grafech. 11.1 Matice sousednosti a počty sledů Kapitola 11 Vzdálenost v grafech V každém grafu lze přirozeným způsobem definovat vzdálenost libovolné dvojice vrcholů. Hlavním výsledkem této kapitoly je překvapivé tvrzení, podle kterého lze vzdálenosti

Více

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............

Více

1 Topologie roviny a prostoru

1 Topologie roviny a prostoru 1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se

Více

Stochastické modely: prezentace k přednášce

Stochastické modely: prezentace k přednášce Stochastické modely: prezentace k přednášce Jan Zouhar Katedra ekonometrie FIS VŠE v Praze 27. října 2015 Obsah 1 Úvod do náhodných procesů 2 MŘ s diskrétním časem a konečným počtem stavů Základní pojmy

Více

Matematika pro studenty ekonomie

Matematika pro studenty ekonomie w w w g r a d a c z vydání upravené a doplněné vydání Armstrong Grada Publishing as U Průhonu 7 Praha 7 tel: + fax: + e-mail: obchod@gradacz wwwgradacz Matematika pro studenty ekonomie MATEMATIKA PRO STUDENTY

Více

Komplexní analýza. Laplaceova transformace. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze

Komplexní analýza. Laplaceova transformace. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Komplexní analýza Laplaceova transformace Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Laplaceova transformace 1 / 18 Definice Definice Laplaceovou

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Přednáška STATISTIKA II - EKONOMETRIE Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Regresní analýza Cíl regresní analýzy: stanovení formy (trendu, tvaru, průběhu)

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplín společného

Více

Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno. Poznámka 1.1. A) první část hodiny (cca 50 minut): představení všech tří metod při řešení jednoho příkladu.

Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno. Poznámka 1.1. A) první část hodiny (cca 50 minut): představení všech tří metod při řešení jednoho příkladu. Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Poznámka 1.1. A) první část hodiny (cca 50 minut): představení všech tří metod při řešení jednoho příkladu. Na jiných příkladech je téma podrobně zpracováno ve skriptech

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (13 15 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (13 15 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (13 15 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14.června

Více

Vybrané problémy lineární algebry v programu Maple

Vybrané problémy lineární algebry v programu Maple UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Vybrané problémy lineární algebry v programu Maple Vedoucí bakalářské práce: RNDr.

Více

UNIVERSITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA. KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY školní rok 2009/2010 BAKALÁŘSKÁ PRÁCE

UNIVERSITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA. KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY školní rok 2009/2010 BAKALÁŘSKÁ PRÁCE UNIVERSITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY školní rok 2009/2010 BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Testy dobré shody Vedoucí diplomové práce: RNDr. PhDr. Ivo

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1.

1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1. 2. Některá důležitá rozdělení Diskrétní rozdělení. Alternativní rozdělení Ap) Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy náhodná veličina X nabývá pouze dvou hodnot a a pro její pravděpodobnostní funkci platí:

Více

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Numerické metody jednorozměrné minimalizace

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Numerické metody jednorozměrné minimalizace UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Numerické metody jednorozměrné minimalizace Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Horymír

Více

Matematika kr sy. 5. kapitola. V hoda pr ce s grupami

Matematika kr sy. 5. kapitola. V hoda pr ce s grupami 5. kapitola Matematika kr sy V hoda pr ce s grupami Původním úkolem geometrie byl popis různých objektů a vztahů, pozorovaných v okolním světě. Zrakem vnímáme nejen struktury tvaru objektů, všímáme si

Více

DERIVACE FUNKCE KOMPLEXNÍ PROMĚNNÉ

DERIVACE FUNKCE KOMPLEXNÍ PROMĚNNÉ DERIVACE FUNKCE KOMPLEXNÍ PROMĚNNÉ vlastnosti holomorfní DERIVACE U reálných funkcí více reálných proměnných nebylo možné definovat derivaci analogicky definici reálné jedné reálné proměnné (nešlo dělit...)

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺın společného

Více

Gymnázium, Brno. Matice. Závěrečná maturitní práce. Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11

Gymnázium, Brno. Matice. Závěrečná maturitní práce. Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11 Gymnázium, Brno Matice Závěrečná maturitní práce Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11 Konzultant: Mgr. Aleš Kobza Ph.D. Brno, 2011 Prohlášení Prohlašuji, že jsem předloženou práci zpracoval samostatně

Více

Jak pracovat s absolutními hodnotami

Jak pracovat s absolutními hodnotami Jak pracovat s absolutními hodnotami Petr Matyáš 1 Co to je absolutní hodnota Absolutní hodnota čísla a, dále ji budeme označovat výrazem a, je jeho vzdálenost od nuly na ose x, tedy je to vždy číslo kladné.

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

1 Množiny, výroky a číselné obory

1 Množiny, výroky a číselné obory 1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou

Více

Matematika 1. 1 Derivace. 2 Vlastnosti a použití. 3. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 16

Matematika 1. 1 Derivace. 2 Vlastnosti a použití. 3. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 16 Matematika 1 3. přednáška 1 Derivace 2 Vlastnosti a použití 3. přednáška 6.10.2009) Matematika 1 1 / 16 1. zápočtový test již během 2 týdnů. Je nutné se něj registrovat přes webové rozhraní na https://amos.fsv.cvut.cz.

Více

Matematické symboly a značky

Matematické symboly a značky Matematické symboly a značky Z Wikipedie, otevřené encyklopedie Matematický symbol je libovolný znak, používaný v. Může to být znaménko pro označení operace s množinami, jejich prvky, čísly či jinými objekty,

Více

zejména Dijkstrův algoritmus pro hledání minimální cesty a hladový algoritmus pro hledání minimální kostry.

zejména Dijkstrův algoritmus pro hledání minimální cesty a hladový algoritmus pro hledání minimální kostry. Kapitola Ohodnocené grafy V praktických aplikacích teorie grafů zpravidla graf slouží jako nástroj k popisu nějaké struktury. Jednotlivé prvky této struktury mají často přiřazeny nějaké hodnoty (může jít

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více