Hydromechanika Hydrostatika

Transkript

1 Hydromechanika Hydrostatika Ing. Kamil Fojtášek, Ph.D. 0

2 Doporučená literatura DRÁBKOVÁ, S. a kolektiv: Mechanika tekutin, dostupné na JANALÍK, J., ŠŤÁVA, P.: Mechanika tekutin. Skriptum. VŠB-TU Ostrava 00, dostupné na DRÁBKOVÁ, S., KOZUBKOVÁ, M.: Cvičení z Mechaniky tekutin. Sbírka příkladů. VŠB- TU Ostrava 004, dostupné na BIRD, B.R, STEWART, W.E, LIGHTFOOT, E.N.: Přenosové jevy. Academia 1968 ŠOB, F.: Hydromechanika. Skriptum. VUT Brno 00 JEŽEK, J.,VÁRADIOVÁ, B.: Mechanika tekutin pro pětileté obory. ČVUT Praha,1983, 1991 JEŽEK, J.: Hydromechanika v příkladech. ČVUT Praha, 1975, 1988 MAŠTOVSKÝ, O.: Hydromechanika. SNTL Praha 1956, 1963 NOSKIEVIČ, J. A KOL.: Mechanika tekutin. SNTL/ALFA Praha 1990

3 Z historie Mechaniky tekutin (hydromechaniky) Archimédes (87-1, př.n.l.) - zkoumal měření nepravidelného objemu těles jejich ponořením do vody. Zavedl pojmy těžiště, tíhová síla a statický moment. Je vynálezcem šroubového čerpadla, jež je využíváno, hlavně v čistírnách odpadních vod. Leonardo da Vinci ( ) - Jeho tvůrčí činnost zasahovala do různých vědních oborů. V oboru proudění je nutno uvést návrh mlýna s vodním kolem, objevení zákona rychlosti a průřezu v.s=konst, návrhy vhodných tvarů pro čluny. Evangelista Torricelli ( ) - italský matematik, žák G. Galileiho, zkoumal účinky zemské tíže na kapaliny, definoval vztah pro rychlost výtoku z nádoby v hloubce h pod hladinou, zavedl označení atmosférický tlak vzduchu, vynalezl rtuťový barometr. Isaac Newton ( ) - Zakladatel moderní fyziky, zkoumal velikost odporu těles pohybujících se v kapalině a objevil zákon třecích napětí v pohybující se kapalině.

4 Leonhardo Euler ( ) - švýcarský matematik, tvůrce moderní hydromechaniky. Objevil pojem ideální (neviskozní) kapaliny a sestavil její základní diferenciální pohybovou rovnici. Mimo to vynalezl vodní turbínu, pro níž odvodil základní vztah. Daniel Bernoulli ( ) - Položil základy hydrodynamiky. Jeho stěžejní dílo Hydrodynamica vyšlo r Zintegroval Eulerovu pohybovou rovnici a experimentálně prokázal její platnost. Vytvořil první kinetickou teorii plynů. J. L. M. Poiseuille ( ) - Vyvinul metodu měření krevního tlaku. Zkoumal také proudění tekutin trubicemi. Společně s G.H.L. Hagenem ( ) se zabývali laminárním prouděním a v roce 1838 formulovali Hagen- Poiseuilleův zákon. Gabriel Stokes ( ), jeden z nejvýznamnějších irských vědců. Určil metodu pro měření kinematické viskozity (Stokesův viskozimetr). Ukázal na prostou lineární závislost napětí na deformační rychlosti, čímž zobecnil Newtonův zákon a společně s Louisem Navierem ( ) tak přispěli k odvození obecné pohybové rovnice pro proudění vazké kapaliny.

5 Osborn Reynolds ( ) Reynolds zkoumal změny proudění uvnitř potrubí při přechodu mezi laminárním a turbulentním prouděním. Určil kritérium pro přechod laminárního proudění na turbulentní, které bylo později označeno jako Reynoldsovo číslo. V roce 1886 formuloval teorii mazání. O tři roky později vytvořil důležitý teoretický model pro turbulentní proudění. Ludwig Prandtl ( ) Průkopník v oblasti aerodynamiky. Je objevitelem mezní vrstvy, odvodil diferenciální rovnici pro její popis, působil v oboru měření dynamického tlaku proudění tekutiny. Podílel se na vývoji aerodynamických tunelů. James Bicheno Francis ( ) - britský technik, žijící od roku 1833 v USA. V roce 1849 vynalezl a zkonstruoval radiální přetlakovou vodní turbínu, která nese jeho jméno. V této oblasti se dále prosadili Lester Allen Pelton ( ) a Victor Kaplan ( ), profesor na brněnské technice

6 Předmět hydromechanika: Tekutina Hydromechanika se zabývá se rovnováhou a účinkem sil v tekutině a to jak v klidu, tak za pohybu tekutiny. Spojité prostředí (kontinuum) Stejnorodé (izotropní ) prostředí Snadný pohyb molekul, velké deformace Nemá vlastní tvar, zaujímá tvar nádoby Kapaliny Tekutiny Plyny Vzdušiny Páry Vzdušnina Kapalina Velká změna objemu v závislosti na tlaku a teplotě. Neexistuje hladina, vyplní celý objem nádoby (páry a plyny) Malá změna objemu v závislosti na tlaku a teplotě. Tvoří hladinu.

7 Pracovní metody: Základní vztahy jsou odvozeny z: momentové a silové rovnováhy zákona zachování hmoty zákona zachování energie změny hybnosti Pro co jsou tyto rovnice sestavovány? Mechanika tuhého tělesa hmotný bod Mechanika tekutin elementární objem kapaliny (makroskopická částice) Elementární objem kapaliny - Elementárním objemem kapaliny (makroskopickou částicí) rozumíme velmi malý objem vzhledem k proudu kapaliny, ale dostatečně velký vzhledem k délce volné dráhy molekuly. Proto pro počet molekul obsažených v tomto objemu platí statistické střední hodnoty kinetické energie kapalin.

8 Síly působící na kapalinu

9 Síly působící na kapalinu G Tíhová síla G od hmotnosti tělesa, působí v těžišti objemu tělesa G = m g

10 Síly působící na kapalinu Tlak kapaliny p působí na všechny plochy (stěny) tělesa p G Tíhová síla G od hmotnosti tělesa, působí v těžišti objemu tělesa G = m g

11 Síly působící na kapalinu Tlak kapaliny p působí na všechny plochy (stěny) tělesa F p F p F p Tlaková síla F p vniká od tlaku kapaliny, působí v těžišti plochy F p = p S Tyto síly působí i na nás. Kolem nás je vzduch s atmosférickým tlakem, tlak vzduchu působí na každou část našeho těla. Gravitační síla nás drží nohama na zemi, někdy až příliš.. G Tíhová síla G od hmotnosti tělesa, působí v těžišti objemu tělesa G = m g

12 G Síly působící na elementární objem kapaliny Plošné (tlakové) Hmotnostní (objemové) F p Tlaková síla F p vniká od tlaku kapaliny, působí v těžišti plochy F p = p S F p F p Tíhová síla G od hmotnosti tělesa, působí v těžišti objemu tělesa G = m g

13 Síly působící na elementární objem kapaliny Plošné (tlakové) tlaková síla, třecí síla, síla od povrchového napětí Hmotnostní (objemové) Vnější hmotnostní síly tíhová síla Síly od pohybu kapaliny setrvačná síla, odstředivá síla

14 Skalár vs. vektor Skalár je veličina, která je určena pouze svojí velikostí její hodnota je popsána jedním číslem. (např. hmotnost, objem, teplota..) Vektor lze chápat jako orientovanou úsečku, která je definována svojí velikostí a směrem. Směr vektoru je dán jednotlivými složkami, v trojrozměrném prostoru je definován pomocí tří složek Ԧa = a x, a y, a z = a Velikost vektoru lze určit za pomocí Pythagorovy věty Plošné (tlakové) síly df p = n p ds Hmotnostní (objemové) síly df o = Ԧa ρ dv a = Ԧa = a x + a y + a z Velikost vektoru je skalár. kde n je normálový vektor Podmínky rovnováhy sil diferenciální rovnice 13

15 Stavové veličiny Tlak p - Silový účinek molekul na jednotku plochy, resp. tlak je síla působící na jednotku plochy ve směru normály. Jednotka tlaku je Pa Pacsal (Pa = N m = kg m 1 s ), odvozená jednotka soustavy SI. V praxi se často používají násobky (předpony) této hodnoty a také jednot bar. y df p= ds df 1 bar = Pa = 0,1 MPa ds x p 1 p 0 p 0 atmosférický (barometrický) tlak p rel - podtlak p abs absolutní nula absolutní vakuum přetlak podtlak p 1rel - přetlak p 1abs z Ve výpočtech musíme rozlišovat jestli se jedná o absolutní, nebo relativní tlak. Absolutní tlak je vztažen k absolutní nule. Relativní tlak je vztažen k atmosférickému tlaku.

16 Stavové veličiny Teplota (T) - Je to veličina intenzivní (neaditivní), stejně jako tlak a hustota nezávisí na rozměrech tělesa. Jednotka t [ C] - stupeň Celsiův, T [K] Kelvin (absolutní teplota) T K tc 73, 15

17 Hustota (měrná hmotnost): Hustota plynů je funkcí stavových veličin tj. tlaku p a teploty T stavová rovnice pro hmotnost m ideálního plynu pv m r T, p r T kde r (J.kg -1.K -1 ) je měrná plynová konstanta p V = n R T Hustota kapalin se mění s tlakem a teplotou jen nepatrně a budeme ji považovat za konstantní: dm x, y,zdv. Homogenní látky - je nezávislé na poloze makroskopické částice m V (kg/m 3 ) x, y,z dm dv

18 Hustota některých kapalin a zkapalněných plynů při teplotě 4 C Kapalina Kapalina Benzín Čpavek Glycerín Chlór Mléko Ocet Olivový olej Rtuť Kyselina sírová Petrolej Metylalkohol Voda Nafta (motorová) Mořská voda

19 Stlačitelnost: schopnost zmenšovat objem při zvýšení vnějšího tlaku, V V p p V V p V p V V V V V 1 0 Součinitel stlačitelnosti 1 Pa. 1 p V V d p dv V konst T na počátku: p, V, po stlačení p 0, V 0 p V V p p V V V p p V V V p p V m V m změna objemu: objem po stlačení: hustota po stlačení:

20 Neznáme objem..

21 K V p 1 V Modul objemové stlačitelnosti K - převrácená hodnota součinitele stlačitelnosti (objemové pružnosti). [Pa] Má podobný význam, jako modul pružnosti E, pro vodu je jeho hodnota K= [Pa]. Mění se v závislosti na teplotě a tlaku. Rychlost zvuku a t - rychlost kterou se šíří tlakové vlny v mediu. m V konst. V dm d. V. dv 0 dv d Po dosazení do výchozího definičního vztahu K dp dp K dp V 1 a t ms dv d d

22 Objem válce: δ = 1 K V = S l = π d 4 l a t = K ρ Vtlačený objem δ = V V p V = δ V p

23 Teoretická rychlost zvuku a součinitel objemové stlačitelnosti kapaliny stejně, jako v předchozím příkladu: δ = 1 K a t = K ρ Tlak ve válci p za využití obecného vztahu z Pascalova zákona: p = F S Posunutí pístu l vlivem stlačitelnosti kapaliny. Původní objem válce: π d V = S l = l 4 Objem po stlačení: π d V = S l = l 4 δ = V V p V = δ V p π d π d l = δ l p 4 4 l = δ l p

24 Teplotní roztažnost: - schopnost měnit objem se změnou teploty. (Předpokládáme, že děj probíhá za konstantní ho tlaku) t V V t V V 1 O 1 C, K. 1 t V V dt dv V konst p na počátku: t, V, po zahřátí t 0, V 0 t V V t t V V V změna objemu: t V t V V V V V 1 0 t t V m V m objem po zahřátí: hustota po zahřátí:

25

26 Viskozita Viskozita - odpor částic kapaliny při pohybu. Pohybují-li se sousední vrstvy kapaliny různými rychlostmi, vzniká na jejich rozhraní smykové napětí, které brání pohybu. Pomalejší vrstva je zrychlována a naopak zase rychlejší zbržďována. ds df t První formulaci uvedl v roce 1687 anglický fyzik Isaac Newton pro laminární proudění. Nm dv dy Tečné napětí je úměrné změně rychlosti ve směru kolmém na směr pohybu.

27 Viskozita Dynamická Viskozita dy dv Pas kg ms V technické měrové soustavě Poise, což je 1P = 1gcm -1 s -1 = 0,1 Pa.s. Kinematická viskozita n n m s V technické měrové soustavě Stokes, platí 1S = cm s -1 = 10-4 m s -1. Newtonské kapaliny - Dynamická viskozita je konstantní (př. voda a ostatní běžné kapaliny). NeNewtonské kapaliny -Viskozita není konstantní, je závislá na tečném napětí, nebo na změně rychlosti ve směru kolmém na směr rychlosti. (Př. hydrosměsi, krev, tečení plastů, saponáty, různá maziva, atd.)

28 U plynů roste vazkost s rostoucí teplotou. Tepelný pohyb molekul převládá nad silami mezimolekulárními, se zvýšením teploty vzrůstá rychlost tepelného pohybu molekul a tím vzroste i viskozita plynu. Tento poznatek je ve shodě se skutečností U kapalin je tomu obráceně. U nich jsou ještě dosti výrazné mezimolekulární síly proti tepelnému pohybu molekul. Zvýšením teploty dochází k intenzivnější výměně hybností částic v pohybujících se vrstvách kapalin a tečné napětí se zmenšuje. U kapalin klesá vazkost s rostoucí teplotou. Viskozita je obecně funkcí veličin stavu, tj. tlaku a teploty. Mimo závislosti pro vodu a vzduch jsou technicky důležité závislosti dynamické viskozity na teplotě pro minerální oleje. e 0 ( kt ), 0 A et B kde 0, 0, k, A, B jsou konstanty, které je nutno pro jednotlivé druhy olejů určit experimentálně

29 Povrchové napětí Povrchové napětí - je to energie vrstvy molekul kapaliny E pn na rozhraní s jinou látkou vztažená na jednotku plochy rozhraní. E S pn pn J m m kg 1 s m Rozhraní kapaliny s jinou látkou se jeví jako potaženo velmi tenkou a napjatou vrstvou. Příčinou povrchového napětí jsou síly působící mezi molekulami kapaliny. N m F pn N m kde F pn je výsledný účinek povrchových sil mezi molekulami kapaliny a jiné látky a je délky rozhraní.

30 Povrchové napětí Účinky povrchového napětí se projeví : vzlínáním u stěn nádoby, v kapiláře stoupáním, nebo klesáním sloupce kapaliny vůči hladině, při rozprašování kapaliny - tvorba kuliček, zúžení paprsku kapaliny a jeho rozpad, tvorba bublin v kapalině - kavitace, při vytváření vln na hladině, má významný vliv na tvorbu hladinových vírů s přisáváním vzduchu, umožňuje pohyb vodoměrek po hladině.

31 Kapilární jevy Předpoklad! Vnitřní průměr trubičky je velmi malý Kapilární jevy jsou důsledkem povrchového napětí. Vyskytují u trubiček velmi malého průměru kapilár, nebo v porézním prostředí. Když adhezní síly jsou větší než kohezní, vystupuje kapalina v kapiláře do výšky. V opačném případě, kdy kohezní síly jsou větší než adhezní, zůstává kapalina v kapiláře o výšku níže než je hladina okolní kapaliny. O jakou výšku h tedy vystoupí, nebo klesne kapalina v kapiláře? Vyjdeme z rovnováhy síly povrchové a tíhové: 4 d d hg odtud h 4 gd Povrchové napětí vody je = 0,07 Nm -1 h h

32 Tlak a jeho působení Tlak kapaliny je dán velikostí tlakové síly, působící kolmo na jednotku plochy. Je-li tlaková síla rovnoměrně rozložena, je tlak dán poměrem velikosti síly a plochy F p S Při nerovnoměrném rozložení síly je dán obecně df p ds Tlak je funkcí polohy: p = p(x,y,z) dp p p dx x y p dy dz z Tlak působí vždy kolmo na plochu a v určitém místě je ve všech směrech stejný, nezávisí tedy na sklonu plochy, na niž působí. Obě tvrzení si nyní dokážeme.

33 Tlaková síla na elementární plochu Kdyby síla df na plochu ds ve směru normály, dala by se rozložit na složku normálovou df n a tečnou df t. Tečná složka tlakové síly df t by vynutila pohyb částic kapaliny, které nekladou proti vzájemnému posunutí odpor. df ds df df t df n ds Jelikož je tekutina v klidu, musí tlaková síla df působit kolmo na plochu. df ds 3

34 Zákon o šíření tlaku v kapalinách df x y 0 df z df x Předpokládáme určitý objem v rovnováze, částice kapaliny se nepohybují vůči sobě ani stěnám nádoby. Abychom dokázali, že tlak v libovolném místě kapaliny nezávisí na směru působení, zvolíme elementární objem kapaliny ve tvaru čtyřstěnu. Jeho tři stěny leží v rovinách os x, y a z. Účinek okolní kapaliny na plochy čtyřstěnu se nahradí tlakovými silami df x, df y, df z a df. Tíha kapaliny ve čtyřstěnu df g = ρ g dv se může zanedbat, jelikož je o řád menší veličinou, než tlakové síly. z df y 33

35 Zákon o šíření tlaku v kapalinách Při odvozování se předpokládá, že tlak na stěnách čtyřstěnu p x, p y a p z je různý. p x ds z pz df x = p x ds x df y = p y ds y df z = p z ds z Tento tlak p působí ve směru normály plochy ds, která svírá s osami x, y, z úhly α, β, γ. y ds x ds y p y ds Na šikmou stěnu ds působí tlak p a tlaková síla je df = p ds β df p 0 γ α x z 34

36 Zákon o šíření tlaku v kapalinách y Vzhledem k tomu, že tekutina je v klidu, musí být splněny všechny podmínky statické rovnováhy sil: σ F x = 0, σ F y = 0, σ F z = 0, σ M x = 0, σ M y = 0, σ M z = 0 z df x 0 α df x Jelikož tlaky na plochy čtyřstěnu jsou konstantní, působí výsledné tlakové síly v těžištích trojúhelníků. Plochy trojúhelníků ds x, ds y a ds z jsou průměty plochy ds, což platí i o jejich těžištích. Také výsledné tlakové síly se protínají v jednom bodě a momentové podmínky rovnováhy jsou splněny. Stačí tedy uvažovat jen zbývající podmínky rovnováhy sil. Ve směru osy x působí tlaková síla df x a složka tlaku df do směru osy x, tedy df cosα. Ostatní síly jsou kolmé na osu x a proto jsou jejich složky nulové. 35

37 Zákon o šíření tlaku v kapalinách y Vzhledem k tomu, že tekutina je v klidu, musí být splněny všechny podmínky statické rovnováhy sil: σ F x = 0, σ F y = 0, σ F z = 0, σ M x = 0, σ M y = 0, σ M z = 0 Jelikož tlaky na plochy čtyřstěnu jsou konstantní, působí výsledné tlakové síly v těžištích trojúhelníků. Plochy trojúhelníků ds x, ds y a ds z jsou průměty plochy ds, což platí i o jejich těžištích. z df x 0 df cosα x Také výsledné tlakové síly se protínají v jednom bodě a momentové podmínky rovnováhy jsou splněny. Stačí tedy uvažovat jen zbývající podmínky rovnováhy sil. Ve směru osy x působí tlaková síla df x a složka tlaku df do směru osy x, tedy df cosα. Ostatní síly jsou kolmé na osu x a proto jsou jejich složky nulové. První podmínka statické rovnováhy sil je dána rovnicí df x df cosα = 0 Po dosazení p x ds x p ds cosα = 0 36

38 Zákon o šíření tlaku v kapalinách y O plochách ds x a ds bylo uvedeno, že ds x je průmětem plochy ds, pro nějž platí ds x = ds cosα Podmínka rovnováhy se upraví podle předchozí rovnice, tedy p x ds cosα p ds cosα = 0 df x df cosα p = p x 0 x z 37

39 Zákon o šíření tlaku v kapalinách y df cosβ df z O plochách ds x a ds bylo uvedeno, že ds x je průmětem plochy ds, pro nějž platí ds x = ds cosα Podmínka rovnováhy se upraví podle předchozí rovnice, tedy p x ds cosα p ds cosα = 0 df x df cosα p = p x Obdobně by se postupovalo pro osy y a z df cosγ 0 x df y df cosβ = 0 df z df cosγ = 0 p y ds y p ds cosβ = 0 p z ds z p ds cosγ = 0 z df y ds y = ds cosβ ds z = ds cosγ p y ds cosβ p ds cosβ = 0 p z ds cosγ p ds cosγ = 0 p = p y p = p z Z podmínek statické rovnováhy sil plyne rovnost tlaků na plochách čtyřstěnu p = p x = p y = p z 38

40 Zákon o šíření tlaku v kapalinách y Z podmínek statické rovnováhy sil plyne rovnost tlaků na plochách čtyřstěnu p = p x = p y = p z p z Šikmá plocha ds byla zvolena libovolně, tedy nezávisle na úhlech α, β, γ. Výsledek lze proto zevšeobecnit: p x 0 p p y x Tlak působí v daném místě kapaliny všemi směry stejně a nezávisí na sklonu plochy. Tento zákon platí obecně a byl objeven Pascalem. z Je třeba poznamenat, že v jiném místě kapaliny bude hodnota tlaku obecně jiná, matematicky vyjádřeno funkcí p = p x, y, z, která se označuje jako funkce pro nestlačitelnou kapalinu. 39

41 Zákon o šíření tlaků v kapalinách Tlak v určitém místě kapaliny působí všemi směry stejně a nezávisí na sklonu plochy, tzn. že tlak je směrově nezávislý. Tlak je skalární veličina! Silová rovnováha ve směru x: df px 0 p bdy p x n dl sin dy bdl sin p x p n Blaise Pascal ( ) y: df py 0 p y bdx p dl cos n b dl cos dx p z p n p x p y p n p

42 Eulerova rovnice hydrostatiky y Eulerova rovnice hydrostatiky je obecná rovnováha sil působících na kapalinu za klidu. F p + F o = 0 kde F p jsou síly plošné (tlakové) např. F p = p S a F o jsou síly objemové (hmotnostní) např. F o = m g z 0 dy dx dz x Zvolíme elementárním objemu kapaliny dv ve tvaru hranolu o stranách dx, dy a dz, rovnoběžných se zvolenými osami x, y, z. Tlakové síly působí na povrch hranolu ve třech kolmých směrech. Protože plochy hranolu jsou nekonečně malé, můžeme uvažovat tlak konstantní. 41

43 Eulerova rovnice hydrostatiky Eulerova rovnice hydrostatiky je obecná rovnováha sil působících na kapalinu za klidu. F p + F o = 0 ds x1 kde F p jsou síly plošné (tlakové) např. F p = p S a F o jsou síly objemové (hmotnostní) např. F o = m g Zvolíme elementárním objemu kapaliny dv ve tvaru hranolu o stranách dx, dy a dz, rovnoběžných se zvolenými osami x, y, z. Tlakové síly působí na povrch hranolu ve třech kolmých směrech. Protože plochy hranolu jsou nekonečně malé, můžeme uvažovat tlak konstantní. Na plochu ds x1 = dy dz působí tlaková síla ve směru osy x a proto je označena df x1. 4

44 y df z1 Eulerova rovnice hydrostatiky Eulerova rovnice hydrostatiky je obecná rovnováha sil působících na kapalinu za klidu. F p + F o = 0 df x1 kde F p jsou síly plošné (tlakové) např. F p = p S a F o jsou síly objemové (hmotnostní) např. F o = m g z 0 dy dx df y1 dz x Zvolíme elementárním objemu kapaliny dv ve tvaru hranolu o stranách dx, dy a dz, rovnoběžných se zvolenými osami x, y, z. Tlakové síly působí na povrch hranolu ve třech kolmých směrech. Protože plochy hranolu jsou nekonečně malé, můžeme uvažovat tlak konstantní. Na plochu ds x1 = dy dz působí tlaková síla ve směru osy x a proto je označena df x1. Podobně v ostatních směrech působí síly df y1 a df z1. 43

45 Eulerova rovnice hydrostatiky y Podmínka rovnováhy vyplývá opět z obecných podmínek statické rovnováhy sil. Protože všechny síly působící na hranol procházejí jedním bodem (těžištěm hranolu), jsou splněny podmínky momentové rovnováhy. df x1 df x Ve směru osy x působí na zvolený hranol tlakové síly df x1 a df x na dvě stejné plochy dy dz, jejichž normály jsou rovnoběžné s osou x. z 0 dy dx dz x Tlaková síla na levou plochu ds x1, je určena velikostí této plochy a tlakem p df x1 = p dy dz Na pravou plochu ds x, která je vzdálena od levé plochy o délku dx působí tlak p + dp x neboť obecně je tlak kapaliny funkcí polohy p = p x, y, z. Tlaková síla df x je určena vztahem df d y x1 p d x df x p + dp x df x = p + dp x dy dz Tlak z pravé strany působí opačným směrem, než je kladný směr osy x, proto výslednice uvedených sil: dfp x = df x1 df x 44

46 Eulerova rovnice hydrostatiky y Kromě plošných (tlakových) sil, působí na zvolený hranol kapaliny hmotnostní síla. Její složka ve směru osy x bude dána vztahem df x1 a y a x df x df ox = a x dm Kde dm je hmotnost hranolu kapaliny a a x je složka zrychlení (hmotnostní síla na jednotku hmoty) ve směru osy x. Hmotnost se dá vyjádřit pomocí objemu hranolu dy a z df ox = a x dm = a x ρ dv = a x ρ dx dy dz z 0 dx dz x Pro rovnováhu ve směru osy x musí platit Po dosazení df px + df ox = 0 df x1 df x + df ox = 0 p dy dz p + dp x dy dz + a x ρ dx dy dz = 0 df d y x1 a x df x Po úpravě ρa x dx dp x = 0 p d x p + dp x 45

47 Eulerova rovnice hydrostatiky ρa x dx dp x = 0 z y 0 df x1 dy df d y x1 p dx a y a z a x d x a x df x dz x df x p + dp x Protože tlak je obecně funkcí polohy, platí p = p x, y, z přírůstek tlaku je dp = p p p dx + dy + x y z dz Každý člen poslední rovnice udává změnu tlaku při diferenciální změně příslušných souřadnic. Jejich fyzikální význam je tedy přírůstek tlaku. Při posunutí ve směru osy x je dp x = p x dx dp x se dosadí do odvozené rovnováhy sil ρa x dx p x dx = 0 Po úpravě je obecná podmínka rovnováhy sil ve směru osy x a x 1 p ρ x = 0 46 a

48 Eulerova rovnice hydrostatiky y df y df z1 Po úpravě je obecná podmínka rovnováhy sil ve směru osy x a x 1 ρ p x = 0 Obdobně by se postupovalo ve směrech osy y a z. df x1 a y a x df x a y 1 ρ p y = 0 a z 1 ρ p z = 0 a z dy df z dx df y1 dz Tyto tři rovnice vyjadřují podmínky rovnováhy kapalin za klidu a jsou to Eulerovy rovnice hydrostatiky. Jestliže tyto tři rovnice zapíšeme vektorově a sečteme, dostaneme jednu rovnici z 0 x Ԧa 1 grad Ԧp = 0 ρ df d y x1 a x df x p d x p + dp x 47

49 Na objem kapaliny dv dx. dy. dz působí síly hmotnostní a plošné. Jejich výslednice je rovna nule. o d F d F p 0

50 Eulerova rovnice hydrostatiky Eulerova rovnice hydrostatiky vyjadřuje rovnováhu sil působících na makroskopickou částici, za předpokladu, že kapalina se nachází hydrostatické rovnováze. d F p Leonhardo Euler ( ) d F o adm a dv pnds Podmínka rovnováhy sil df x df y 0 0 df z 0

51 Eulerova rovnice hydrostatiky Eulerova rovnice hydrostatiky vyjadřuje rovnováhu sil působících na makroskopickou částici, za předpokladu, že kapalina se nachází hydrostatické rovnováze. Leonhardo Euler ( ) d F o adm a dv a a, a, a x y F o V z a dv Protože tlaková síla v hydromechanice je definována ve směru vnitřní normály, je nutno tuto tlakovou sílu definovat se znaménkem mínus, tedy d F F p p pnds S pnds

52 F o F p 0 V a dv S pn ds 0 Plošný integrál součinu skaláru a vnější normály je možno nahradit objemovým integrálem gradientu skaláru: a dv grad p dv 0 p p p, kde gradp,, x y z V V Rovnice platí pro libovolný objem, bude tedy platit i pro výraz pod integrálem a gradp 0 a po vydělení hustotou 1 a gradp 0 Síly hmotnostní Síly tlakové

53 Rovnici lze po vydělení hustotou rozepsat souřadnicemi do klasického diferenčního tvaru: ve směru x: a 1 p 0 x p x x a x ve směru y: a 1 p 0 y p y y a y ve směru z: a 1 p 0 z p z z a z Eulerova rovnice hydrostatiky je základní rovnicí k určení tlaků v poli tlakových sil. Z Eulerovy rovnice vyplývá, že tlak v kapalině závisí na hmotnostních silách.

54 Diferenciální rovnice pro tlakovou funkci Obecně lze psát změnu tlaku pomocí totálního diferenciálu dp p x dx p y dy p z dz Poněvadž derivace tlaku ve všech směrech se dají vyjádřit hmotnostními silami z Eulerových rovnic, dostaneme po dosazení obecnou diferenciální rovnici funkce tlaku dp a x dx a y dy a z dz Integrací pak dostáváme funkci tlaku p a. dx a. dy a. dz px, y z x y z,

55 Tlakové hladiny Tlaková hladina je plocha, kde je tlak konstantní. Platí pro ni tato diferenciální rovnice: dp a dx a dy a dz tedy 0 0 x y z, a x dxa y dya z dz 0 Objemové zrychlení (objemová jednotková síla) je na tlakovou hladinu kolmé Hladinové plochy mají v úlohách hydrostatiky velký význam, především však hladinová plocha rozhraní mezi okolním ovzduším a kapalinou. Jsou to plochy konstantního potenciálu, teploty, hustoty.

56 Přírůstek tlaku v kapalině Nestlačitelná kapalina v klidu za působení zemské tíže dp a a Přírůstek tlaku můžeme vyjádřit již zmiňovanou rovnicí: y x a g a z x 0 dx dp gdy a y dy a z dz Po integraci: p gykonst Okrajové podmínky: y h 0, p p0 konst p 0 gh 0 p h y p g h g y p0 gh0 p0 g 0 0 p gh hydrostatický tlak

57 U tohoto typu příkladu můžeme U-trubici rozdělit vertikálně na dvě části levou a pravou Následně sčítáme tlaky na jednotlivých stranách trubice Platí rovnost tlaků na obou stranách, využijeme vztah pro výpočet hydrostatického tlaku p L = p P p L = p P p 1 + ρ v g h = p + ρ v g h h + ρ Hg g h Chceme vypočítat rozdíl tlaků p = p 1 p, převedeme tlaky na jednu stranu p 1 p = ρ v g h h + ρ Hg g h ρ v g h p L p P Po roznásobení závorky na pravé straně rovnice p 1 p = ρ v g h ρ v g h + ρ Hg g h ρ v g h Červené výrazy se od sebe odečtou, jsou stejné. Ze zbytku na pravé straně můžeme vytknout před závorku g a h p = g h ρ Hg ρ v

58 Řešení je obdobné jako v předchozím příkladu, u pravé U- trubice je obecný vztah z rovnosti tlaků p + ρ lih g h = p 0 p = p 0 ρ lih g h Pro zjištění, do jaké výšky vystoupí hladina vody ve spodní trubici, budeme opět využívat tlakových ploch a můžeme si představit, jakoby spodní trubice byla také U-trubicí a sčítat tlaky na obou stranách. p + ρ v g t = p 0 t = p 0 p ρ v g V plynojemu je podtlak, to je patrné už z obrázku.

59 Pascalův zákon a hydraulický lis U hydraulických lisů, hydraulických pohonů, hydraulického akumulátoru, atd. můžeme objemové síly zanedbat vůči silám plošným (tlakovým). 1 a gradp Eulerova rovnice HS: 0 1 F o F a gradp 0 p Blaise Pascal ( ) Předpokládáme-li že = konst., pak Eulerova rovnice hydrostatiky má tvar: grad( p) 0 p konst Tlak vyvolaný vnější silou v kapalině je ve všech směrech a ve všech místech stejný

60 Hydraulický lis nádoba se písty různých průměrů p konst. 1 F F S S F F S F S F p 1 1 S S F F h h F F h F h F h S S h F F h Pascalův zákon je základem hydraulických zařízení, která využívají přenosu tlaku a tím i tlakové síly od jednoho pístu k druhému. Velikostí plochy pístu lze ovlivnit i velikost tlakové síly. Tlak na obou pístech je stejný, síla na výstupu je mnohonásobně větší.

61 Mezi písty je tuhá vazba, tedy síly na obou stranách pístu musí být stejné. F 1 = F Z Pascalova zákona p = F S F = p S p 1 S 1 = p S p = p 1 S 1 S

62 Velmi jednoduchý, u studentů problematický příklad. Využijeme Pascalův zákon a hydrostatický tlak. Aby byly oba písty v rovnováze, znamená to že síly na obou stranách musí být stejné. F 1 = F p 1 S 1 = p S π D π d ρ g H h = ρ g H 4 4 D = 3 D = 3d d ρ g H h π 3 d π d = ρ g H H h = H 9H 9h = H 9h = 8H h = 8 9 H = 3 9

63 Síly na rovinné plochy Síla na vodorovnou rovinnou plochu Síla na šikmou rovinnou plochu Síla na svislou rovinnou plochu Síly na křivé plochy Metoda složková Metoda náhradních ploch Archimédův zákon

64 Síla na vodorovnou plochu Příklad: Síla na vodorovné dno nádoby S Tlak je na ploše rovnoměrně rozložen.

65 Síla na vodorovnou plochu Příklad: Síla na vodorovné dno nádoby S Tlak je na ploše rovnoměrně rozložen. p g h konst h konst, F p S g h S g V V je zatěžovací objem, který je vymezen: 1) plochou, na níž počítáme tlakovou sílu ) tlakovou hladinou tlaku ovzduší 3) pláštěm (válce nebo hranolu), který vytvoří přímky rovnoběžné s vektorem síly po obvodu plochy S. F je síla, která má směr normály k ploše a je orientovaná z kapaliny. Síla F prochází těžištěm zatěžovacího objemu Působiště síly F je v těžišti plochy S.

66 Hydrostatické paradoxon Velikost síly F na dno nezávisí na tvaru bočních stěn nádoby. h a h b h c h d S a S b S c S d F a F b F c F d

67 Tlaková síla na šikmou plochu Na šikmé rovinné stěně nádoby je tlak proměnný

68 Tlaková síla na šikmou plochu Na šikmé rovinné stěně nádoby je tlak proměnný h konst p konst df p ds h sin h xsin x g hds Výslednou sílu musíme určit integrací: F kde S pds g M y F g h S t S x ds hds gsin x S p S t t S S x ds je statický moment plochy S k ose y.

69 Působiště určíme z momentové rovnováhy k osám x,y: M x y p Fx p S g sin J F dm y y S xdf g sin g sin Jy Jy gx sin S M Podle Steinerovy věty je J y = J yt + S.x t, takže x p J yt Sx J t yt Sx J yt t xt, M Sx S x M y t t t y y S x ds g sin J kde J M yt y y x Podobně se určí druhá souřadnice působiště tlakových sil z momentů k ose x: y M p x Fy p g sinj F S xy dm x S gx t ydf g sinj xy sins g sin J M xy y S xyds g sin J xy J xy je deviační moment plochy S k osám x, y,

70 F = ρ g h t S h t α x t sinα = h t x t h t = sinα x t x p = x t + J yt M y π D4 J yt = 64 M y = x t S F x F x F y α α α α α cosα = F y F F y = F cosα F α F y

71 h = h t F = ρ g h t S = ρ g h t π D 4 h = x p h x p = x t + J yt M y π D4 J yt = 64 M y = x t S

72 F = ρ g h t S = ρ g h t a x p = h p = h t + J yt M y J yt = a4 1 M y = x t S = h t a p = ρ g h t nebo p = F S

73 Síla na křivou plochu-složková metoda Na zvolený plošný prvek působí tlaková síla df ghds kolmo na ds ds Velikost síly počítáme po složkách. dfx pds x, dfy pds y, df kde plochy Celkové složky síly získáme integrací: Sx Sy Velikost výsledné síly pak je F F x F y F z případně pro rovinnou úlohu F ds, ds, ds x ds y F x F y z ve směru x,y,z. jsou průměty F x p ds x,. Fy p ds y, F p z ds z p z ds z S z,

74 Vodorovná složka F x tlakové síly je určena rovnicí F x S x ghds x g V x dv x gv x gh S x t S x je plocha průmětu křivé plochy do svislé roviny. Vodorovná složka na křivou plochu se rovná tlakové síle na kolmý průmět křivé plochy do svislé roviny.

75 Svislá složka F y tlakové síly je určena rovnicí F y g S hds y g S dv y gv y Objem zatěžovacího obrazce V y je omezen následujícími plochami:. křivou plochou S, na niž se počítá svislá složka tlakové síly hladinovou plochou tlaku ovzduší ( p 0 ) pláštěm vytvořeným svislými přímkami rovnoběžnými se složkou F y nad obrysem křivé plochy S.

76 Obecně však na křivé plochy může působit i síla vztlaková, pak musí platit Archimédův zákon a objem určíme jako objem kapaliny tělesem vytlačené Směr výslednice tlakových sil je dán vztahem tg F F y x

77 Vodorovná složka tlakové síly F x = ρ g h t S x h t T S x R B Svislá složka tlakové síly F y = ρ g V y h t = h R S x = B R V y = objem hranolu objem čtvrtiny válce V y = R h B π R B 1 4 F = F x + F y tgα = F y F x α

78 Vodorovná složka tlakové síly F x = ρ g h t S x h t T S x R h t = R F = F x + F y B S x = B R Svislá složka tlakové síly F y = ρ g V y V y = objem čtvrtiny válce V y = π R B 1 4 tgα = F y F x α

79 Vodorovná složka tlakové síly F x = ρ g h t S x h t S x T R h t = h S x = π R Svislá složka tlakové síly F y = ρ g V y V y = objem poloviny koule V y = π R3 F = F x + F y tgα = F y F x α

80 Síla na křivou plochu- metoda náhradních ploch křivá plocha se nahradí rovinnou plochou (nebo více rovinnými plochami) tak, aby křivá plocha a náhradní plocha uzavíraly objem. Tíha kapaliny v tomto objemu je G. vypočte se tlaková síla na náhradní plochu (případně se určí vektorovým součtem vypočtených tlakových sil na všechny náhradní plochy) tíha kapaliny se vektorově odečte nebo přičte, jestliže náhradní plochou se objem přidal nebo odečetl od celkového objemu tekutiny v nádobě. F F F F N S F G N G F F S N N n G G F N Gcos

81 Vztlak a plavání těles Archimédův zákon Na těleso ponořené do kapaliny působí obecně síly ve třech na sobě kolmých směrech, tj. ve svislém směru a ve dvou směrech vodorovných na sebe kolmých. df1 gh1ds df y gds 1 df ghds h h gdv F y F v gv G k

82 Vztlak a plavání těles Na těleso ponořené do kapaliny působí dvě síly, a to vztlaková síla F v v těžišti objemu vytlačené kapaliny, a vlastní tíha tělesa G, působící v těžišti tělesa: G gv Fv gv G k, Mohou nastat obecně tři případy: G m = F v tíha tělesa je v rovnováze se vztlakovou silou, výslednice je nulová a těleso setrvává v libovolné poloze vznáší se v kapalině G > Fv tíha tělesa je větší než vztlaková síla, takže výslednice působí ve směru svislém dolů a těleso klesá ke dnu. G < Fv vlastní tíha tělesa je menší než vztlaková síla, takže výslednice působí svisle nahoru a těleso vznáší k hladině. Vynořením tělesa se zmenší vztlaková síla až nastane rovnováha s vlastní tíhou tělesa, které plave. m m

83 Stabilita ponořeného tělesa Po vychýlení z rovnováhy se těleso navrátí do rovnovážně polohy pouze tehdy, leží-li působiště vztlakové síly nad působištěm síly tíhové. F v F v G G Návrat do rovnovážné polohy

84 Kapalina v relativním klidu Pohyb přímočarý, rovnoměrně zrychlený/zpomalený, ve vodorovném směru Pohyb přímočarý rovnoměrně zrychlený/zpomalený ve svislém směru Válcová nádoba rotující kolem svislé osy

85 Při pohybu nádoby s kapalinou mohou nastat případy, kdy kapalina je vůči stěnám nádoby v klidu. Na kapalinu působí další hmotnostní síly, které je nutno zahrnout do podmínek hydrostatické rovnováhy: Eulerova rovnice hydrostatiky a 1 grad( p) Jejich účinek se projeví změnou tlakové hladiny p=konst a rozložením tlaků v nádobě. Dosazením zrychlení vnějších objemových sil do diferenciální rovnice tlakové hladiny a určíme xdxaydyazdz 0 její tvar. 0 Tlak určíme integrací diferenciální rovnice tlakové funkce dp a dxa dya dz x y z

86 Pohyb přímočarý, rovnoměrně zrychlený/zpomalený ve vodorovném směru Na každou částečku kapaliny v nádobě působí ve svislém směru tíhové zrychlení a ve vodorovném směru zrychlení setrvačné síly. ar a ; g ; 0 Tvar hladiny odvodíme dosazením do diferenciální rovnice hladinové plochy adx gdy 0 a po integraci ax gy konst y konst a g x konst xtg rovnice nakloněné roviny

87 Pohyb přímočarý, rovnoměrně zrychlený/zpomalený ve vodorovném směru Z okrajové podmínky: pro x = 0 je y = h 0 a relativní tlak v tomto místě je p = 0 konst p ax gy gh 0 p 0 0 ax gy gh g h y x gh a g Výraz je formálně shodný s tlakem v kapalině, na niž působí jen tíže zemská! Tlak kapaliny v libovolném místě se vypočte po dosazení dříve uvedených podmínek a do diferenciální rovnice tlakové funkce dp adx gdy a po integraci p ax gy konst

88 V případě, kdy zrychlení je velké, vystoupí rozhraní kapaliny s ovzduším (p 0 = konst) nad okraj nádoby a část kapaliny vyteče z nádoby. Hladinová plocha tlaku ovzduší prochází tedy v tomto případě místem, přes které kapalina začala vytékat Vyšetřením hladiny tlaku ovzduší (rozhraní kapaliny a ovzduší) stává se relativní klid kapaliny případem hydrostatickým. Lze proto použít všechny dříve odvozené poznatky o výpočtu tlaku, tlakové síle na plochy.

89 Výpočet tlakové síly na dno a víko u uzavřené nádoby zcela naplněné kapalinou Pro výpočet tlakové síly platí vztah obrazce. F gv gh S t, kde V je objem zatěžovacího Ten je omezen plochou S, na níž působí tlaková síla, hladinovou plochou p o a pláštěm, který vytvoří přímky rovnoběžné s výslednicí tlakové síly F nad obrysem plochy S.

90 Otevřená nádoba Síla F 1 je vodorovná tlaková síla F 1 = ρ g h t1 S 1 Vzdálenost těžiště plochy S 1 po nakloněnou hladinu h t1 = h 1 + x 1 α x 1 h 1 + x 1 S 1 T B h t1 Platí vztah odvozený výše tgα = a g 1 3 L Z vyznačeného pravoúhlého trojúhelníku můžeme vypočítat výšku posunutí hladiny x 1 tgα = a g = x L x 1 = a g 1 3 L

91 Otevřená nádoba Síla F je také vodorovná tlaková síla F 1 = ρ g h t S Vzdálenost těžiště plochy S po nakloněnou hladinu h t = h + x x L α h x S T B h t Z vyznačeného pravoúhlého trojúhelníku můžeme vypočítat výšku posunutí hladiny x tgα = a g = x 1 6 L x = a g 1 6 L Výsledná tlaková síla F je rozdíl sil působících od kapaliny zleva a zprava (vždy odečítáme menší sílu od větší) F = F F 1

92 Uzavřená nádoba Síla na dno nádoby F 1 je svislá tlaková síla F 1 = ρ g V 1 Zatěžovací objem V 1 je objem kapaliny nad působištěm tlakové síly F 1 (objem v nádobě + imaginární objem od pohybu nádoby) V 1 = c b (h + x 1 ) tgα = a g = x 1 c x 1 = a g c a x h x 1 F 1 α a x 1 α c x h c α b c

93 Síla na dno nádoby F je svislá tlaková síla F = ρ g V Zatěžovací objem V je objem kapaliny nad působištěm tlakové síly F (imaginární objem od pohybu nádoby) V = c b x 1 tgα = a g = x 1 c x 1 = a g c a x h x 1 F α a x 1 α c x h c α b c

94 Síla na zadní (levou) stěnu nádoby F 3 je vodorovná tlaková síla F 3 = ρ g h t S Plocha S je skutečná plocha (boční stěna nádoby) na kterou působí tlaková síla S = b h h t je vzdálenost těžiště plochy S po hladinu (imaginární hladinu) S h t x h t = h + x α a tgα = a g = x c x = a g c nebo v tomto případu x = x 1 x α a T h F 3 h b c c b

95 Válcová nádoba rotující kolem svislé osy Otevřená nádoba Válcová nádoba naplněná zčásti kapalinou se otáčí rovnoměrně kolem svislé osy. na kapalinu působí ve vodorovném směru síla odstředivá, reprezentovaná odstředivým zrychlením r ve svislém směru působí síla tíhová, vyjádřená gravitačním zrychlením g

96 V = konst, z nádoby kapalina nevytéká

97 Otevřená válcová nádoba rotující kolem svislé osy 0, gdy dr r Diferenciální rovnice hladinové plochy : gy r konst konst gy r h y g r parabola H h h 1 g u g R h y H R R 0 g u g r h y h r r r 0 1 h h g R H Výška rotačního paraboloidu 0 ; ; g r ar ; 0 konst gh

98 Výpočet tlaku Diferenciální rovnice tlakové funkce : dp r dr gdy ar r p r dr gdy r p g y konst, Pro x = 0 je y = h 0 a relativní tlak v tomto místě je p = 0 ; g ; 0 H h 1 h konst = gh 0 p g h 0 y r g gh kde h je opět svislá vzdálenost daného místa od hladinové plochy tlaku ovzduší za rotace

99 Uzavřená nádoba V= konst, nádoba je zaplněná z části V= konst, nádoba je zcela zaplněná H d g gv F y 4 1 H d h d g gv F y H h 0

100 Otevřená nádoba Určení podmínky jestli kapalina vyteče z nádoby: Platí že původní (nebo aktuální) hladina vždy půlí výšku rotačního paraboloidu. V našem případě je podmínka kdy se hladina dotkne dna, to je ve chvíli kdy má paraboloid výšku, která odpovídá výšce nádoby h. h 0 h kapalina nevyteče h 0 > h kapalina vyteče h 0 V h h

101 Objem kapaliny, který vyteče z nádoby - je původní objem kapaliny mínus objem poloviny nádoby: V = π d 4 h 0 π d 4 h h 0 V h h

102 Určení otáček: výška rotačního paraboloidu H p = h H p = r ω g ω = ω = π n n = g H p r ω π Tlak v místě A se rovná hydrostatickému tlaku, je potřeba určit výšku aktuální hladiny h A h A p A = ρ g h A Výška h A při daných otáčkách nádoby odpovídá výšce paraboloidu na poloměru r A h A = r A ω g

103 Otevřená nádoba H p = H p = h h 0 r ω g ω = ω = π n n = g H p r ω π H p

104 Uzavřená nádoba ω = π n H p = r ω g H p H p H p V s V i Síla F 1 působící na dno nádoby je svislá tlaková síla. Sčítáme celý objem kapaliny nad působištěm síly (skutečný objem kapaliny v nádobě V s + imaginární objem od rotace nádoby V i ) V y = V s + V i F 1 F 1 = ρ g V y = ρ g π d 4 h + H p

105 Uzavřená nádoba Síla F působící na víko nádoby je svislá tlaková síla. Nad působištěm síly je pouze imaginární objem od rotace nádoby V i. π d F = ρ g V i = ρ g H p 4 H p F H p H p V s V i Pro výpočet tlaků se využije vtah pro výpočet hydrostatického tlaku. Musíme uvažovat výšku hladiny nad daným místem. p 1 = ρ g h + H p p = ρ g H p