Konec srandy!!! Mocniny s přirozeným mocnitelem. Předpoklady: základní početní operace

Transkript

1 Koec srady!!!.6. Mociy s přirozeým mocitelem Předpoklady: základí početí operace Pedagogická pozámka: Zápis a začátku kapitoly je víc ež je srada. Tato hodia je prví v druhé části studia. Až dosud ehrálo zásadí roli, zda studeti chápou a pamatují si všecho, co jsme probírali. Od tohoto okamžiku se situace měí. Fakt, že studeti pochopí a budou si pamatovat všechy hlaví pozatky (červeé rámečky), které budeme yí probírat je z hlediska budoucího postupu v matematice zcela zásadí. Od tohoto okamžiku stavíme základy, a kterých bude stát celý zbytek matematického vzděláváí a gymáziu. Zatímco dosud byla hlavím cílem práce o hodiách to, aby se studeti aučili pracovat a chápat probíraou látku, yí je k tomu potřeba přidat ještě zapamatováí si probíraé látky a stavbu kozistetího systému. Dalším cílem výuky v tomto období je získáí mechaických schopostí při úpravě výrazů. Z tohoto důvodu v tomto období trvám a tom, aby studeti opravdu počítali všechy příklady ve sbírkách. Pedagogická pozámka: Podle mě eí možé probrat všechy vzorce pro mociy s přirozeým mocitelem v jedié hodiě. Já jsem látku rozdělil do dvou hodi, avíc logicky k těmto dvěma hodiám patří i hodia 60 KISS, kde se studety sažím aučit základí strategii postupého upravováí bez zbytečého zesložiťováí příkladu. Je uté, aby po každém vzorci i Ti ejpomalejší samostatě vyřešili alespoň ěkolik prvích bodů z ásledujícího příkladu. Ti rychlejší stihou příkladů samozřejmě víc, avíc se mohou zabavit počítáím sbírky. Pedagogická pozámka: Zcela zásadí při řešeí jakýchkoliv problémů je avést žáky k tomu, aby si uvědomili, že chyba evyplyula z toho, že epostřehli ějaké další pravidlo, ale z toho, že dostatečě důsledě euplatili pravidlo dávo probraé. Sažím se žáky vést k tomu, aby veškerá pravidla viděli jako důsledek defiice mociy. Matematika se saží o zestručěí a zpřehleděí zápisu = 6 5 (součet jsme apsali jako souči), = 5 (souči jsme apsali jako mociu). Pro každé a R a N platí: a = a a a... a. krát To eí žádý objev a pochopeí, jde je o zestručěí zápisu. Ve všech ásledujících příkladech se sažíme vidět veškerá odvozeá pravidla a úpravy jako důsledek defiice mociy.

2 Termiologie: a - mocia a základ mociy (mocěec) expoet (mocitel) Pozor: ( ) = 6 Umocňujeme číslo. = 6 Umocňujeme číslo, pak ásobíme (umocňováí má předost před ásobeím). Př. : Doplň větu: Pro každé a R a každé N platí: a =, =, 0 =. Důsledky defiice mociy. Pro každé a R a každé N platí: a = a, =... =, krát 0 = = 0. krát Pedagogická pozámka: Už v předchozím příkladu dělají ěkteří studeti chybu, ejčastěji =. Teto omyl vychází z předpokladu, že číslo v expoetu slouží k ásobeí základu mociy. Př. : Platí apříklad ( ) =, ( ) = 8. Na dalších příkladech zjisti, jak závisí zaméko mociy a hodotách čísel a a. Postřehy co ejexaktěji ověř a zjištěé skutečosti zapiš do přehledé tabulky. Zkoušíme: = ; = ; = 8 ; = 6 = ; = 9 ; = 7 ; = 8 = ; ( ) 8 ( ) = ; ( ) = ; ( ) = 6 ( ) = ; ( ) = 9 ; ( ) = 7 ; ( ) = 8 Postřehy: umocňováím kladého čísla, získáme vždy kladé číslo, umocňováím záporého čísla a lichý expoet, získáme vždy záporé číslo, umocňováím záporého čísla a sudý expoet, získáme vždy kladé číslo. Ověřeí: Umocňováím kladého čísla, získáme vždy kladé číslo. a = a a a... a - souči kladých čísel výsledek je kladý. krát

3 Umocňováím záporého čísla a lichý expoet, získáme vždy záporé číslo. a = a a a... a = a a a a... a - čísla v součiu jsme rozdělil do dvojic, jedotlivé krát (lichý počet) dvojice dají kladá čísla, jedo a zbude (je jich lichý počet) výsledek je záporý. Umocňováím záporého čísla a sudý expoet, získáme vždy kladé číslo. a = a a a... a = a a a a... a - čísla v součiu jsme rozdělili do dvojic, jedotlivé krát (sudý počet) dvojice dají kladá čísla, žádé a ezbude (je jich sudý počet) výsledek je kladý. Zaméka moci: a > 0, N (libovolý expoet) a > 0 a < 0, = k (sudý expoet) 0 a < 0, = k + (lichý expoet) 0 a > ( ) a < ( ) = 6 = 8 Pedagogická pozámka: Myslím, že je velice vhodé echat studety, aby se chvilku trápili sami. I strategie, se kterou zkouší mociy (a vybírají si čísla a umocňováí), je důležitá a je možé ji korigovat během jejich samostaté práce. Při zkotrolováí je pak dobré zmíit, že a zkoušeí vybíráme čísla rozdílá, zkouška a příkladech eí důkaz. Př. : Spočti mociy. a) 6 b)( ) c) d)( ) 5 f) 0 g) 0 5 h) 0 i) e) ( ) 98 j)( ) 60 a) 6 = 6 b)( ) = 6 c) = d)( ) 5 = e) ( ) = ( 9) = 9 f) = = g) 0 5 = 0 h) 0 98 = i) = j)( ) 60 = Pedagogická pozámka: Pokud ěkdo udělá chybu, vždy se sažím, aby si uvědomil, že správé řešeí přímo vyplývá z dodržeí pravidla a = a a a... a. Cílem, je, aby krát studeti uvědomili, že existuje poměrě malé možství základích pravidel, které je uté za všech okolostí dodržovat (a to vede ke správému výsledku) a jejich edodržováí ústí v chyby (a jejich chyby měly stejý prapočátek). Posledí čtyři body předchozího příkladu jsou zároveň opakováím dějepisu. Letopočet 0 (původě 007) připomíá rok, ve kterém jsem se stal matikářem.07 (B0), a je urče k ahrazeí. Př. : Odstraň závorky. a) ( a) b) ( b) 6 c) ( c) 9 d) ( d ) a) ( ) a a = (lichý expoet míus zůstává) b) ( ) 6 6 = (sudý expoet míus mizí)

4 c) ( ) 9 9 c c = (lichý expoet míus zůstává) = ( je určitě sudé číslo sudý expoet míus mizí) d) ( ) d d Př. 5: Vysvětli, proč platí ( ) =. Platí podobá rovost i pro jié expoety? ( b) umocňujeme a sudou mociy míus mizí ( ) =. Podobá rovost bude platit i pro všechy sudé expoety: ( ) b = b, ( ) 6 6 Př. 6: Spočti a kalkulačce ( ) a ( ) ( a b) a ( b a)? ( ) =, ( ) =, =,.... Vysvětli? Co bude platit pro mociy Jde o stejý případ jako v předchozím příkladu. Čísla a se liší pouze ve zaméku, které při umocňováí a druhou zmizí (stejě jako ( ) ( ) = ( ) = ( ) Mociy ( a b) ( b a) (ebo obráceě). = ). = (jde o obecý zápis předchozího příkladu, kde a = a b = ( b a) = ( a b) = ( a b) Př. 7: Vypočti. a) ( ) ( ) a) ( ) ( ) ( ) + b) ( ) ( ) + = = 6 = 6 9 = 9 = 8 8 b) ( ) ( ) ( )( ) Pedagogická pozámka: Pozor při výpočtu bodu b) postupují ěkteří studeti zbytečě složitě: ( ) ( ) = ( 6)( 9) = = 8. Teto postup eí 8 zas takovým zdržeím, pokud mají k dispozici kalkulačku. Pokud e (a já jim pro tyto výpočty kalkulačky zakazuji, protože bez ich je počítáí rychlejší a studeti získávají odhad čísel), jde o začé zdržeí. Zdržeí je avíc zbytečé, protože logické je ejdřív krátit a pak teprve ásobit. Více o logice úprav v hodiě 0060 KISS.

5 5 99 Př. 8: Vypočti. a) 0 ( ) ( ) ( ) + ( ) b) ( ) ( ) a a a + a + a c) 5 99 a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b b b b 0 + = = 9 7 = 8 b) ( ) ( ) c) a a a + a + a = a a + a + a + a = 5a + a ( ) ( ) b b b b b b b b b 6 b = = = b b b b b b b 8 Shrutí: a = a a a a z toho je všecho jasé. 5