DIM PaS Připomenutí poznatků ze střední školy. Faktoriály a kombinační čísla základní vzorce: n = k. (binomická věta) Příklady: 1.

Transkript

1 DIM PaS. Připomeutí pozatků ze středí školy Faktoriály a kombiačí čísla základí vzorce: ( )( 2 )...2.! =. 0! = =! ( k)! k! ( )...( k ). + = k! = k + + = k + k ( a + b) = a + a b+ a b a b ab + b 0 2 i (biomická věta) i i Příklady:. Vypočtěte: a) 7 3, b) 9 6, c) 2 8, d) 0 7, e) 49 6, f) 5 8.

2 2. Zjedodušte výrazy: 9 a)! ( )! ( 2)!, b) ( + 3)! ( + 2)! ( + )! 2 + 6, c) ( 3) ( + ) ( 2) ( + 2) ( ) ( 4)!!! !!! 3. Vypočtěte podle biomické věty: a) ( 2 i) 5, b) ( i 3) Určete třetí čle biomického rozvoje výrazu: ( x i 2 ) 0.,

3 2. Hypergrafy: Koečé možiy a jejich podmožiy: M koečá možia M - počet prvků koečé možiy M a a2 a = {,,..., }- zápis - prvkové možiy pomocí výčtu prvků, v ěmž se prvky esmějí opakovat a ezáleží a pořadí prvků v zápisu. [ a, a,..., a ] azýváme uspořádaá k-tice, v íž se může Zápis 2 k tetýž prvek vícekrát opakovat a záleží a pořadí. Zápis P k (M) vyjadřuje možiu všech k-prvkových podmoži koečé -prvkové možiy M (k-uiformí potečí možia). Platí: P k (M) = k. Zápis P(M) vyjadřuje možiu všech podmoži koečé -prvkové možiy M (potečí možia). Platí: P(M) = 2 = 2 M = + = 2 Zdůvoděí: ( )

4 Defiice hypergrafu: Hypergrafem a možiě X se azývá objekt H= X, H, kde H P(X) X se azývá osá možia hypergrafu, prvky možiy H se azývají hypehraami hypergrafu. Věta : Počet všech hypergrafů a -prvkové možiě X je rove P( X ) 2 2 = 2. Důkaz: každý hypergraf je charakterizová možiou H svých hyperhra, kde H P(X), tedy počet všech hypergrafů je rový počtu všech podmoži možiy P(X). Příklad 5: Zvolte X = {,2}. Určete počet všech hypergrafů a X a zapište jejich sezam. Defiice: k-uiformím hypergrafem a možiě X se azývá objekt H= X, H, kde H P k (X). Jedá se tedy o hypergrafy, jejichž všechy hyperhray mají stejou (uiformí) velikost rovou k. Věta 2: Počet všech k-uiformích hypergrafů a -prvkové možiě ( ) k X je rový 2 (pokud k hypergraf, a to X,. ). Pokud k >, existuje jediý takový Příklad 6: Na možiě { a, b, c } určete počet všech 2-uiformích hypergrafů a akreslete je. Věta 3: Počet všech hypergrafů a -prvkové možiě X, které mají 2 právě m hyperhra je rove. m

5 Věta 4: Počet všech k-uiformích hypergrafů a -prvkové možiě, které mají právě m hyperhra je rove k. m Příklady: 7. Na možiě X = {, 2,3, 4} určete počet všech a) hypergrafů, b) 3-uiformích hypergrafů, c) hypergrafů, majících právě 4 hyperhray, d) 2-uiformích hypergrafů, majících právě 3 hyperhray. 8. O kolik procet se zvýší počet všech 3-uiformích hypergrafů a čtyřprvkové možiě X, zvýšíme-li počet prvků možiy X o jeda. 9. O kolik procet se síží počet všech 2-uiformích hypergrafů s právě třemi hyperhraami a pětiprvkové možiě X, odeberemeli osé možiě X jede prvek. 0. Určete velikost možiy X, jestliže víme, že (a) počet všech hypergrafů a X je (a) rove 2, (a2) rove 64, (b) počet všech 2-uiformích hypergrafů a x je (b) rove 52, (b2) rove Na možiě X = {, 2, 3, 4} akreslete všechy 2-uiformí hypergrafy, mající právě 5 hyperhra. 2. Je dáa možia X = {, 2, 3, 4}. Zapište výčtem všechy 3- uiformí hypergrafy a X mající právě 2 hyperhray. 3. Kolik procet za všech hyperhrafů a možiě { },2,3,4 emá žádou prázdou hyperhrau?

6 3. Rozklad možiy: Defiice rozkladu: Hypergraf R = X, R se azývá rozkladem - prvkové možiy X, právě když všechy hyperhray jsou eprázdé, sjedoceí všech hyperhra z možiy R je rovo možiě X a každé dvě růzé hyperhray mají prázdý průik (jsou disjuktí). Hyperhray z možiy R se azývají rozkladové třídy. Typem rozkladu azýváme uspořádaou -tici [ p, p2,, p ], kde číslo p i udává počet rozkladových tříd o velikosti právě i. Příklady: 4. Nechť R je rozklad osmiprvkové možiy {9, 20, 2, 22, 23, 24, 25, 26} a platí, že velikosti rozkladových tříd jsou 4, 4. Určete počet všech takových rozkladů. 5. Nechť R je rozklad šestiprvkové možiy {7, 8, 9, 20, 2, 22} a platí, že velikosti rozkladových tříd jsou 4, 2. Určete počet všech takových rozkladů. 6. Na možiě { a, b, c, d, e, f, g } ajděte počet všech rozkladů daého typu: (a) [ 7,0,0,0,0,0,0 ], (b) [,3,0,0,0,0,0 ]. 4. Týmováí: Defiice týmováí: Nechť T = X, T je k-uiformí hypergraf, který je zároveň rozkladem možiy -prvkové X. Potom T se azývá k- týmováí a X. Všechy rozkladové třídy mají stejou velikost k a azývají se týmy. Ozačíme-li počet týmů m, musí pro počet prvků možiy X platit = m k.

7 Věta 5: Nechť X je -prvková možia, k, m přirozeá čísla taková, že platí = m k. Potom počet všech k-týmováí a možiě X je ( k m)! rove. m k! m! ( ) 7. Určete, kolika způsoby lze rozdělit (a) 8 lidí a dvě čtveřice, (b) 24 lidí a 2 dvojic, (c) 2 lidí a 4 trojice. 8. Určete, kolika způsoby lze rozdělit 2 dětí a čtyři tříčleé týmy, když Eva, Jaa a Slávka esmí být spolu v jedom týmu. 9. Určete, kolika způsoby lze rozdělit 0 dětí do dvojic, pokud Ja a Jiří musí tvořit jede tým.