Derivace součinu a podílu

Transkript

1 5 Derivace součiu a podílu Předpoklad: Pedagogická pozámka: Následující odvozeí jsem převzal a amerického fzikálího kursu Mechaical Uiverse Možá eí dostatečě rigorózí, ale mě osobě se strašě líbí spojitost mezi ořezáváím prkéka a chováím ekoečě malých veliči Stejě tak vžd zdůrazňuji, jak je fatastické, že se vzorec pro ásobeí má v sobě schovaé správé postup a derivováí moci uv u v Z miulé hodi víme, že pro derivováí součiu eplatí přirozeý vzorec Jak alézt správý vzorec? Derivace je limitou z poměru ( d lim ) ajdeme příklad veliči, která je d rova součiu dvou jiých veličia prozkoumáme její změu Obsah ploch: S ab Jak se změí obsah ploch v čase (při ořezáváí ebo obrušováí)? a b b a Z obrázku je vidět, že platí: S a b + b a a b (červeý čtvereček je započítá dvakrát) S a b b a a b Změa probíhá v čase vdělíme t : + t t t t ( ab) b a a b Použijeme: S ab : a + b t t t t Se zmešující velikostí a a b se červeý čtverečk vůči obdélíkům čím dál meší ( ab) b a (zmešují se obě jeho stra) pro malé t platí: a + b t t t d ( ab) db da pro ekoečě malé dt : a + b ( ab) ab + ba dt dt dt Věta o derivaci součiu: Nechť jsou dá fukce u, v Jestliže fukce u, v mají v bodě derivaci, má v bodě derivaci i fukce u v platí: ( u v ) u ( ) v ( ) + u ( ) v ( )

2 Zkráceý zápis: u v u v + u v Pedagogická pozámka: Ve svých třídách opravdu použití vzorců z této hodi a tabuli eukazuji Je to zbtečě víc ež čtři, pět lidí chbu eudělá Př : Urči derivaci ( si ) + + si si si si cos Je vidět, že derivováím se mohou fukce i komplikovat Př : Ověř platost vzorce pro derivaci součiu derivováím fukce 6 Derivace podle pravidla pro mociou fukci: ( ) Fukci můžeme a souči rozdělit růzými způsob: ( ) Zvolili jsme tři růzé způsob, přesto jsme pokaždé dostali správý výsledek Pedagogická pozámka: Předchozí příklad rozdělujeme a každé odděleí počítá jedu z variat Př : Urči derivaci ( si cos ) ( si cos ) ( si ) cos + si ( cos ) cos cos + si ( si ) cos si Ještě horší vzorec musíme používat a derivováí podílu: Věta o derivaci podílu: Nechť jsou dá fukce u, v Jestliže fukce u, v mají v bodě derivaci a v( ), má v bodě derivaci i fukce u v platí: ( ) ( ) ( ) ( ) u u v u v ( ) v v u u v u v Zkráceý zápis: v v

3 si Př : Urči derivaci si si si cos si ( cos si ) cos si ( ) Př 5: Ověř platost vzorce pro derivaci podílu derivováím fukce Derivace podle pravidla pro mociou fukci: ( ) Fukci ( ) můžeme a podíl rozdělit růzými způsob: ( ) ( ) ( ) 5 5 ( ) ( ) 6 6 ( ) ( ) ( ) Zvolili jsme tři růzé způsob, přesto jsme pokaždé dostali správý výsledek Pedagogická pozámka: Předchozí příklad rozdělujeme a každé odděleí počítá jedu z variat Pomocí vzorce pro podíl můžeme odvodit i vzorce pro derivaci dalších goiometrických fukcí: Př 6: Urči derivace fukcí: a) tg b) cotg si a) tg cos si ( si ) cos si ( cos ) cos cos si ( si ) ( tg ) cos cos cos cos + si cos cos cos b) cotg si

4 ( cotg ) cos ( cos ) si cos ( si ) ( si ) si cos cos si si si si si si cos V obou případech musíme dát pozor a taková z defiičího oboru, pro která ejsou původí fukce defiovaé Pro fukci tg, π + kπ, k Z, platí cos Pro fukci cotg, kπ, k Z, platí si Pomocí vzorce pro derivaci podílu můžeme odvodit i derivaci mociých fukcí se záporým mocitelem: Př 7: Urči derivaci ( ) Stejý výsledek bchom dostali i pomocí vzorce pro derivováí mocié fukce: ( ) vzorec pro derivaci mocié fukci platí eje pro přirozeý, ale i pro celý a dokoce i pro reálý epoet: Pro fukci R, Z, platí Pro fukci, { } R R, platí +,, Př 8: Urči derivace: a) b ) c) ( ) d ) + + e) Předpis fukcí uprav v případě potřeb tak, ab si emusel používat vzorec pro derivaci součiu ebo podílu a) b)

5 c) d ) e) + + Rada do budouca: Vžd se sažíme o takové úprav předpisu fukce, abchom při derivováí emuseli používat vzorec pro derivaci součiu ebo podílu Př 9: (BONUS) Dokaž platost vzorce pro derivováí mociých fukcí se záporým mocitelem ( ) < položíme m m > m ( ) m m m m m m m m m m m m m m m m + Př : Petáková: straa 55/cvičeí 9 f, f straa 55/cvičeí g, g straa 56/cvičeí h, h, h 5 Shrutí: Vzorce pro derivaci součiu a podílu jsou složité, proto se jim sažíme vhout 5