optických skenerů Vysoké učení technické v Brně Fakulta stavební Studentská vědecká a odborná činnost Akademický rok 2011/2012
|
|
- Oldřich Esterka
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Vsoké učení techncké v Brně Fakulta stavební Studentská vědecká a odborná čnnost kademcký rok 0/0 Teoretcké základ jednozrcadlových a dvou-zrcadlových optckých skenerů Jméno a příjmení studenta ročník obor: Vedoucí práce: Katedra / Ústav: etr okorný 4. Geodéze a kartografe rof. RNDr.. Mkš CSc. Katedra fzk / FSv ČVUT v raze
2 Obsah bstrakt... bstract... Úvod...4 Současné komerčně dostupné D skener 4 Optcké sstém D skenerů..5 4 růchod paprsku optckým sstémem 7 5 Dvou-zrcadlové skener.9 6 Jedno-zrcadlové skener.. 7 plkace 7. říklad dvou-zrcadlový skener 7. říklad dvou-zrcadlový skener5 7. říklad jedno-zrcadlový skener Závěr 9 Lteratura...0
3 bstrakt V prác je provedena analýza optckých sstémů jedno-zrcadlových a dvouzrcadlových D optckých skenerů představen současné komerčně dostupné model jsou odvozen vztah umožňující provést návrh obou tpů skenerů v obecném případě tto vztah poté demonstrován na konkrétních příkladech. bstract The paper gves an analss of optcal sstems of one-mrror and two-mrror D optcal scanners a commercall avalable models are ntroduced there are derved relatons allowng to desgn both tpes of scanners n the general case these relatons are then demonstrated on concrete eamples.
4 Úvod D (třírozměrné) optcké skener [-] jsou přístroje umožňujících provádět bezkontaktní velm rchlé a přesné měření třírozměrných objektů. Oblastm aplkace D optckých skenerů jsou např. stavebnctví a archtektura nterér výkopové zemní práce (základ budov měření kubatur tunel kanalzace těžba surovn apod.) D dokumentace uměleckých předmětů a kulturních památek (soch porcelán nábtek apod.) součástk a modul ve strojírenství tvar karosérí automoblů stav slnčních vozovek železnčních tratí detekce a dokumentace trhln vodohospodářství bezpečnost a kontrola slnčního provozu (laserové brán) archeologe atd. []. Dále nacházejí tto sstém šroké uplatnění v bezpečnostní technce jako např. př ochraně objektů detekc přítomnost člověka v bezpečnostních zónách výrobních sstémů (např. obráběcích centrech hutích apod.). Další oblastí šroké aplkace D skenerů jsou laserové technologe (řezání svařování gravírování povrchové zušlechťování materálů apod.) medcína a zábavný průmsl (laserové efekt dvadla) [0]. Estuje celá řada frem [4-9] které se touto problematkou zabývají a komerčně nabízejí D skener pro výše uvedené aplkace. Současné komerčně dostupné D skener V této část je uvedeno několk příkladů současných špčkových D skenerů které jsou komerčně dostupné na trhu. Další nformace je možné dohledat na nternetových stránkách jednotlvých výrobců [-9]. název tp Tabulka arametr skenerů zorné pole dosah rchlost přesnost [ ] [m] bod/s délková úhlová Surphaser 5HSX jednozrcadlový ts. až ml. 0 mm mm Leca ScanStaton C0 Topcon GLS-500 RIEGL VZ- 000 FRO Focus D jednozrcadlový jednozrcadlový jednozrcadlový (polgon) jednozrcadlový ts. 4 mm/50 m " " ts. 4 mm/50 m 6" 6" ts. 8 mm 9" ts. mm/5 m 4
5 Obr. Surphaser 5HSX Leca ScanStaton C0 Topcon GLS-500 RIEGL VZ- 000 FRO Focus D Optcké sstém D skenerů D optcký skener se skládá ze zdroje záření rozmítacího optckého nebo optcko-mechanckého sstému detektoru záření a vhodnocovacího sstému. Světlo vcházející ze zdroje záření je pomocí rozmítacího sstému odchýleno do přesně určeného směru a dopadá na měřený předmět. o odraze od měřeného předmětu se část světla (rozptýleného předmětem) vrací zpět opět prochází rozmítacím sstémem a dopadá na detektor záření. Vhodnocovací sstém potom určí prostorové souřadnce bodu předmětu. Vzdálenost bodu měřeného předmětu od skeneru pak nejčastěj určujeme buď pomocí modulace světelného sgnálu vslaného skenerem nebo změřením času který uplne mez vsláním a zpětným přjmutím sgnálu (metoda TOF "tme of flght"). Estují další způsob určení vzdálenost měřeného předmětu od skeneru např. trangulační [] ale tto se používají v menší míře a proto se jm zde nebudeme zabývat. Optcké D skener jsou nejčastěj založen buď na jedno-zrcadlovém nebo dvou-zrcadlovém optckém sstému pro rozmítání světelného svazku. Jedno-zrcadlové skener jsou používán tam kde je zapotřebí dosáhnout většího úhlového rozsahu (zorného pole) rozmítaného světelného svazku. Jednozrcadlový skener (obr. ) je nejčastěj tvořen laserovým modulem s jedním rotačním zrcadlem které se otáčí kolem vodorovné (horzontální - H) os a rozmítá laserový svazek v rovně kolmé k ose otáčení zrcadla (vertkální rovna). Tento laserový modul se pak otáčí kolem svslé (vertkální - V) os kolmé na osu otáčení zrcadla čímž dochází k rozmítání laserového svazku ve vodorovné (horzontální) rovně. Dosažtelné zorné pole může být např. 60 o 0 o (H V). Dvou-zrcadlové skener jsou používán zejména v oblast laserových technologí ve strojírenství a v dalších oblastech kde není zapotřebí přílš velkého úhlového rozsahu rozmítaného laserového svazku. Optcká soustava dvouzrcadlového skeneru je tvořena dvěma zrcadl které se otáčejí kolem dvou různých os a tím dochází k rozmítání laserového svazku. Estuje několk frem které dodávají jž hotové modul pro dvou-zrcadlové skener např. []. Dosažtelné zorné pole může být např. 80 o 80 o (H V). 5
6 Obr. rncpální schéma jedno-zrcadlového D laserového skeneru Na obr. je znázorněno prncpální schéma jedno-zrcadlového D skeneru sloužícímu k určování souřadnc bodů na měřeném předmětu např. vzhledem k průsečíku os a skeneru. Světlo z laserové dod se odráží na otočném zrcadle Z a dopadá na měřený předmět. ředmět světlo rozptýlí část světla se vrátí zpět do skeneru a po odraze na zrcadle Z a po průchodu kondenzorem dopadá na detektor. Vzdálenost předmětu od vztažného bodu se určí pomocí času t který uplne od vslání sgnálu k jeho detekc detektorem (metoda "tme of flght"). Je-l c =.0 0 cm/s rchlost světla potom pro vzdálenost d měřeného bodu předmětu od vztažného bodu platí d t = c. () Za dobu τ urazí světlo vzdálenost L = τ c. Chceme-l určt vzdálenost d s přesností d potom musíme umět změřt čas s přesností Je-l např. δ t = ns = 0 9 δ t = d / c. () s potom chba měření bude 0 cm 9 d =.0.0 s = 0 cm. s Chceme-l ted vzdálenost d určt s přesností d = 5 cm musíme umět změřt čas s přesností 9 0 δ t = 07 ns = 07.0 s.0 s. 6
7 Měření pomocí skeneru na obr. pak probíhá tím způsobem že laserová doda vsílá sled pulsů a měří se čas který uběhne mez vsláním pulsu a jeho zpětnou detekcí detektorem. Zrcadlo se přtom otáčí kolem os a zároveň se kolem os otáčí horní část skeneru (na obr. je to čárkovaný bo). Úhlové odměřovací sstém na ose a ose nám udávají směrové úhl α a α paprsku vslaného směrem k měřenému předmětu. Známe-l ted tto úhl a čas t potom můžeme snadno vpočítat souřadnce "bodu" předmětu na který paprsek světla vslaný skenerem dopadl. řesnost α a α s jakou musíme určt směrové úhl α a α určíme z podmínk ab chba souřadnc měřeného bodu bla v nám požadovaných mezích. Je-l D vzdálenost měřeného bodu od skeneru potom platí α = d D α = d D. () / / Volíme-l D = 50 m = 5000 cm a požadujeme-l d = d = 5 cm potom dostáváme α = α = 0 00rad =. Tím máme určen základní vztah a hodnot nutné pro návrh skeneru. 4 růchod paprsku optckým sstémem ro odraz paprsku majícího jednotkový směrový vektor od zrcadla majícího jednotkový směrový vektor normál N směřující k dopadajícímu paprsku platí (obr. ) [6 7] = N( N) = M (4) kde je jednotkový vektor paprsku odraženého od zrcadla a (N) značí skalární součn vektorů. ro matc M a vektor a N platí N N N N Nz M = N N N N Nz N Nz N Nz N z = z = z N N = N (5) Nz zrcadlo Obr. Odraz od rovnného zrcadla 7
8 ř odraze na k zrcadlech pak opakovaným použtím vztahu (4) dostáváme N k = N 0 ( N N ) ( N N ) (6) N k ( N 0 ) ( N ( N N 0 ) ) 0 ( N ( N N kde k je jednotkový vektor paprsku odraženého od soustav k zrcadel. ro v pra nejčastěj používanou soustavu dvou zrcadel ze vztahu (6) dostáváme ( N ) ( N ) = N ( N N ) = N ( N ) N ( N ) + 4N ( N N )( N ) (7) N 0 Otáčíme-l nní zrcadlem kolem nějaké os bude se směr odraženého paprsku měnt v závslost na úhlu otočení zrcadla a na směru os kolem které se zrcadlo otáčí. Bude se ted př otáčení zrcadla měnt směr jednotkového vektoru normál N zrcadla. Uvažujme nní otočení vektoru N kolem os dané jednotkovým směrovým vektorem C procházejícm počátkem souřadné soustav o úhel ϕ. Jak je známo z matematk [4] platí pro vektor N(ϕ) vznklý otočením vektoru N o úhel ϕ kolem os dané jednotkovým směrovým vektorem C následující vztah N ( ϕ) = Ncosϕ + C( CN)( cosϕ) + ( C N) snϕ. (8) ro nekonečně malé otočení dϕ (cos dϕ sn dϕ dϕ) pak platí N ( dϕ) = N + ( C N) dϕ. (9) ř rotac zrcadla Z skeneru na obr. se vektor N jeho normál bude transformovat podle vztahu (8). odle vztahu (9) se pak určí vlv chb os rotace na chbu skeneru. k k k ) ) 8
9 5 Dvou-zrcadlové skener Obr. 4 Soustava dvou zrcadel Na prvním místě s uvedeme tto skener protože v pra se pro přesná měření vužívají nejvíce a jedno-zrcadlové jsou co se týče popsu průchodu paprsku zjednodušeným případem dvou-zrcadlových skenerů. Uvažujme ted soustavu dvou rovnných zrcadel Z a Z znázorněnou na obr. 4. ředpokládejme že zrcadlo Z prochází bodem O a otáčí se kolem os mající jednotkový směrový vektor C a zrcadlo Z prochází bodem O a otáčí se kolem os mající jednotkový směrový vektor C. Dále nechť N a N jsou jednotkové vektor normál k zrcadlům Z a Z a je jednotkový směrový vektor paprsku dopadajícího na zrcadlo Z = je jednotkový směrový vektor paprsku odraženého od zrcadla Z a dopadajícího na zrcadlo Z a = je jednotkový směrový vektor paprsku odraženého od zrcadla Z. Otočíme-l nní zrcadlo Z o úhel ϕ kolem os mající jednotkový směrový vektor C a zrcadlo Z kolem os mající jednotkový směrový vektor C o úhel ϕ vzhledem k jejch základním polohám potom bude podle vztahu (8) platt N ( ϕ ) = N (0)cosϕ + C ( C N (0))( cosϕ ) + [ C N (0)] snϕ = (0) ro jednotkové směrové vektor (ϕ ) pak bude podle vztahu (4) platt + ( ϕ ) = ( ϕ ) N ( ϕ )( ( ϕ ) N ( ϕ )) () kde ϕ ) = (0) je směrový vektor paprsku dopadajícího na zrcadlo Z. ( 9
10 Obr. 5 Soustava dvou zrcadel v rovně () Hledejme nní souřadnce průsečíku paprsku vstupujícího ze soustav zrcadel Z a Z s rovnou ξ (obr. 5). Jednotkové vektor ve směru souřadných os ( z) nechť jsou ( j k). Os a leží v rovně obr. 5 a osa z je kolmá na tuto rovnu. Budeme říkat že zrcadlový sstém je v základní poloze budou-l vektor a ležet v navzájem rovnoběžných rovnách. Vektor příslušející základní poloze budeme značt (0) (0) (0) N (0) a N (0). aprsek vcházející ze zrcadlové soustav v základní poloze pak protíná rovnu ξ která se nachází ve vzdálenost b od bodu O v bodě. Bod O a O jsou od sebe vzdálen o hodnotu a. ro směrový vektor ( ϕ ) paprsku odraženého od zrcadla Z v bodě O podle vztahu () platí ϕ ) = (0) N ( ϕ )( (0) N ( )) () ( ϕ kde vektor N ( ) je dán vztahem (0). Nní s určíme průsečík tohoto paprsku se zrcadlem Z. Jako počátek souřadné soustav volme bod O. Jak je známo z matematk [5] bude parametrcká rovnce paprsku odraženého od zrcadla Z v bodě O dána vztahem ϕ r = r O + p ( ϕ ) () kde r je obecný bod paprsku ro = aj je polohový vektor bodu O a p je parametr. Rovnce zrcadla Z (rovnce rovn procházející bodem O ) je dána vztahem rn ( ϕ )) 0. (4) ( = Dosazením vztahu () do vztahu (4) dostáváme pro parametr p následující vztah ( jn( ϕ )) p = a. ( ( ϕ ) N ( ϕ )) 0
11 ro polohový vektor r průsečíku paprsku se zrcadlem Z pak podle vztahu () platí r ( jn( ϕ )) = aj + p ( ϕ) = aj a ( ). (5) ( ( ϕ ) N ( ϕ )) ϕ Hledejme nní polohový vektor r obecného bodu na paprsku odraženém od zrcadla Z platí Rovnce rovn ξ je dána vztahem r = r + p ( ϕ ). (6) ξ (( r bq) q) = 0 (7) kde q je jednotkový vektor normál k rovně ξ a r je polohový vektor obecného bodu rovn ξ. ro polohový vektor průsečíku paprsku odraženého od zrcadla Z s rovnou ξ potom platí r = r + p ( ϕ ). (8) arametr p získáme dosazením vztahu (6) do vztahu (7) směrový vektor ( ϕ ) určíme ze vztahu () a vektor N ( ϕ ) určíme ze vztahu (0). otom platí 6 Jedno-zrcadlové skener ( rq) p = b + ( ( ϕ ) q) ϕ ) = ( ϕ ) N ( ϕ )( ( ϕ ) N ( )). ( ϕ Tto skener se zejména pro jejch velký úhlový rozsah (vz Tabulka ) vužívají především v mapování dokumentac památkových objektů apod. Obr. 6 Jedno-zrcadlový skener
12 ro popsání průchodu paprsku uvažujme nejdříve rotac zrcadla kolem vektoru C o úhel ϕ (pokud je úhel otočení celého skeneru ϕ = 0 platí C = ). ro otočení jednotkového normálového vektoru zrcadla dle (8) dostáváme N ( ϕ = ϕ ϕ ϕ. (9) ) N(0)cos + C ( CN(0))( cos ) + ( C N(0)) sn ro jednotkový vektor odraženého paprsku od natočeného zrcadla bude podle (4) platt = N( ϕ )( N( )). (0) ϕ Jelkož se otáčí dále celý skener o úhel ϕ bude pro výsledný jednotkový vektor paprsku platt nebo = ϕ cosϕ + C( C )( cosϕ ) + ( C ) sn T T = R ( ϕ () ) cosϕ 0 snϕ kde R ( ϕ ) = 0 0 je matce rotace kolem os o úhel ϕ. snϕ 0 cosϕ Chceme-l určt vektor r průsečíku paprsku s rovnou ξ která je dána vztahem (7) bude za podmínk že k odrazu dochází v počátku soustav ( z) platt po dosazení do (7) ted r = p r b = () ( q) kde q je jednotkový vektor normál k rovně ξ a b je vzdálenost rovn od počátku.
13 7 plkace V této část budou obecně odvozené výše uvedené vztah aplkován na konkrétní příklad. 7. říklad dvou-zrcadlový skener Uvažujme případ dvou-zrcadlové soustav s následujícím parametr (obr. 7): = α = 45 (0) = C = C = k o α N (0) ( + j)/ Užtím vztahů (0) a () dostáváme = N (0) = ( + )/ q = a = 5 cm b = 00 cm. j N ( ϕ) = ( + jcosϕ + k snϕ) ϕ ) = ( jcosϕ + k sn ) ( ϕ j N ( ϕ ) = (cosϕ snϕ ) + (cosϕ + snϕ ) ( = ϕ. ϕ ) cosϕ( sn ϕ ) + jcosϕ snϕ k sn Dosazením do vztahů (5) a (8) dostáváme r = a k tgϕ b snϕ b r = b + j k tgϕ a + sn ϕ. () sn ϕ Souřadnce bodu na stínítku jsou ted dán vztah = b snϕ = b b z = tgϕ sn ϕ a +. (4) sn ϕ
14 Obr. 7 Schéma dvou-zrcadlové soustav a zobrazení bodu v rovně stínítka pro = ϕ = s parametr z říkladu ϕ { } { } Druhý a třetí vztah (4) představují parametrcké rovnce křvk v rovně stínítka. o úpravě pak dostáváme rovnc této křvk v eplctním tvaru platí z tgϕ a tgϕ = snϕ. (5) ro malé úhl vchýlení zrcadel potom rozvojem v Talorovu řadu ze vztahů (4) dostáváme 8 bϕ + bϕ ( ) z a + b (6) ϕ bϕϕ kde jsme se omezl jen na člen do třetích mocnn úhlů vchýlení. Úhl ϕ a ϕ do vztahu (6) dosazujeme v radánech. Omezíme-l se ve vztazích (6) jen na první člen rozvoje vdíme že souřadnce bodu na stínítku jsou přblžně úměrné úhlům vchýlení zrcadel. ro relatvní chbu této lneární apromace potom ze vztahů (6) dostáváme δ 4 ϕ δ z z ϕ + a / b ϕ (7) kde jsme předpokládal že a/b <<. Např. pro úhel lneární apromace δ 4% a δ z z 6%. / / ϕ 0 o = = 0.7 rad je chba 4
15 7. říklad dvou-zrcadlový skener Uvažujme nní konkrétní případ dvou-zrcadlové soustav s následujícím parametr (obr. 8): = α = 45 (0) = C = k C = o α N (0) ( + j)/ = N (0) = ( j + )/ q = k a = 5 cm b = 00 cm. k Obdobným řešením jako v říkladu užtím (0) a () dostáváme N N [ ] ( ϕ ) = ( snϕ cosϕ ) j( snϕ + cos ) ϕ j ( ϕ ) = ϕ jcos sn ϕ ( ϕ ) = ( cosϕ snϕ ) + ( cosϕ + sn ) ϕ ( ϕ ) = ϕ jcosϕ snϕ k cosϕ cos. sn + ϕ Dosazením do (5) a (8) poté získáme r = a tg ϕ k b r = tgϕ a + jb tg + kb. cos ϕ (8) ϕ Souřadnce bodu na stínítku můžeme ted vjádřt vztah b = tgϕ a + = b tg z b cos ϕ (9) ϕ = nebo po úpravě prvních dvou výrazů eplctním vjádřením křvk v rovně stínítka tgϕ = a tgϕ. (0) + snϕ 5
16 Obr. 8 Schéma dvou-zrcadlové soustav a zobrazení bodu v rovně stínítka pro = ϕ = s parametr z říkladu ϕ { } { } Ze vztahů (9) potom pro malé úhl vchýlení rozvojem v Talorovu řadu dostáváme ( a + b) ϕ + 4bϕ ϕ 8 bϕ bϕ 8 + ( a + b) ϕ () kde jsme se omezl jen na člen do třetích mocnn úhlů vchýlení. Úhl dosazujeme v radánech. ro relatvní chbu lneární apromace kd uvažujeme pouze první člen vztahů () dostáváme δ ϕ + a / b ϕ δ 4 = ϕ () kde jsme předpokládal že a/b <<. Např. pro úhel ϕ 0 o = = 0.7 rad je chba lneární apromace δ / 6% a δ / 4%. Jak je z předcházejících příkladů patrno mají oba použté tp skenerů stejnou relatvní přesnost. 6
17 7. říklad jedno-zrcadlový skener ro úplnost je zde uveden ještě případ jedno-zrcadlového skeneru s následujícím parametr (obr. 6) = C = C = j N ( 0) = ( + k)/ q = k Užtím (9)-() získáme = jsnϕ + kcosϕ b = 00 cm. = cosϕ snϕ jsnϕ + k cosϕ cosϕ () tgϕ r = b tgϕ jb + k cosϕ b ro souřadnce bodu na stínítku ted platí tgϕ = b tgϕ = b z b (4) cosϕ = nebo v eplctním vjádření křvk v rovně stínítka. tgϕ =. (5) snϕ ϕ Obr. 9 Zobrazení bodu v rovně stínítka pro = { } ϕ = { } s parametr z říkladu 7
18 Talorovým rozvojem souřadnc a kde se omezíme pouze na člen do třetích mocnn úhlů vchýlení získáme b b b bϕ + ϕ bϕ ϕϕ ϕ (6) úhl dosazujeme v radánech. Uvážíme-l dále pouze lneární člen bude relatvní přesnost této lneární apromace δ = ϕ δ = ϕ. (7) Např. pro úhel ϕ 0 o = = 0.7 rad je chba lneární apromace δ 0% a δ 4 %. / / 8
19 8 Závěr V prác bla provedena analýza D optckých skenerů a to jedno-zrcadlových a dvou-zrcadlových. Jsou zde odvozen vztah umožňující provést návrh obou tpů zrcadlových skenerů v obecném případě. plkace odvozených vztahů je demonstrována na dvou příkladech dvouzrcadlových skenerů a jednoho jedno-zrcadlového kde je ukázán způsob výpočtu parametrů těchto skenerů a jsou odvozen vztah pro výpočet relatvních chb těchto skenerů. ráce bla vpracována v rámc grantu 0/0/77 Grantové agentur České republk. 9
20 Lteratura [] MRSHLL Gerald F. Handbook of optcal and laser scannng. New York: Marcel Dekker c s. Optcal engneerng (Marcel Dekker Inc.) v. 90. ISBN [] VOSSELMN George a Hans-Gerd MS. rborne and terrestral laser scannng. edton. CRC ress 00. ISBN [] Control sstem - Laserové skenování - geodetcké práce [onlne]. 00 [ct. 0-0-]. Dostupné z: [4] Surphaser D Scanners [onlne] [ct. 0-0-]. Dostupné z: [5] Home - Leca Geosstems - HDS [onlne]. 0 [ct. 0-0-]. Dostupné z: [6] TOCON Global Gatewa [onlne] [ct. 0-0-]. Dostupné z: [7] RIEGL Laser Measurement Sstems [onlne]. 0 [ct. 0-0-]. Dostupné z: [8] FRO Laser Scanner FocusD [onlne]. [ct. 0-0-]. Dostupné z: [9] MDL [onlne] [ct. 0-0-]. Dostupné z: [0] DJ Obchod.eu - dj technka světelná a zvuková technka [onlne]. [ct. 0-0-]. Dostupné z: [] Sramus.cz - světelná a zvuková technka a efekt hudební nástroje [onlne]. [ct. 0-0-]. Dostupné z: [] Galvos Scannng Mrrors Optcal Scanners [onlne]. 0 [ct ]. Dostupné z: [] Laser sensors IR Temperature sensors Hgh precson dsplacement and poston measurement Mcro-Epslon Measurement [onlne]. [ct. 0-0-]. Dostupné z: [4] MDELUNG Erwn. De mathematschen Hlfsmttel des hskers. 7. ufl. Edton. Berln: Sprnger s. [5] REKTORYS Karel a spolupracovníc. řehled užté matematk.. opravené vdání. raha: Státní nakladatelství techncké lteratur s. [6] MIKŠ ntonín. plkovaná optka. Vd.. V raze: České vsoké učení techncké s. ISBN (BROž.). [7] HVELK Bedřch. Geometrcká optka I. raha: NČSV
Stanislav Olivík POROVNÁNÍ DVOU METOD HLEDÁNÍ ODRAZNÉHO BODU NA POVRCHU ELIPSOIDU
5. KONFERENCE O GEOMETRII A POČÍTAČOVÉ GRAFICE Stanslav Olvík POROVNÁNÍ DVOU METOD HLEDÁNÍ ODRAZNÉHO BODU NA POVRCHU ELIPSOIDU Abstrakt Úlohou GPS altmetre je nalezení odrazného bodu sgnálu vyslaného z
Víceh n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k
h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k Ú k o l : P o t ř e b : Změřit ohniskové vzdálenosti spojných čoček různými metodami. Viz seznam v deskách u úloh na pracovním stole. Obecná
VíceSouřadnicové výpočty. Geodézie Přednáška
Souřadnicové výpočt Geodézie Přednáška Souřadnicové výpočt strana 2 Souřadnicové výpočt (souřadnicová geometrie) vchází z analtické geometrie zkoumá geometrické tvar pomocí algebraických a analtických
Více[ ] 6.2.2 Goniometrický tvar komplexních čísel I. Předpoklady: 4207, 4209, 6201
6.. Gonometrcký tvar kompleních čísel I Předpoklad: 07, 09, 60 Pedagogcká poznámka: Gonometrcký tvar kompleních čísel není pro student njak obtížný. Velm obtížné je pro student s po roce vzpomenout na
VíceZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI
ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI FAKULTA STROJNÍ Semestrální práce z předmětu MM Stanovení deformace soustav ocelových prutů Václav Plánčka 6..006 OBSAH ZADÁNÍ... 3 TEORETICKÁ ČÁST... 4 PRAKTICKÁ ČÁST...
Více9. Měření kinetiky dohasínání fluorescence ve frekvenční doméně
9. Měření knetky dohasínání fluorescence ve frekvenční doméně Gavolův experment (194) zdroj vzorek synchronní otáčení fázový posun detektor Měření dob žvota lumnscence Frekvenční doména - exctace harmoncky
VíceStatika soustavy těles v rovině
Statka soustavy těles v rovně Zpracoval: Ing. Mroslav yrtus, Ph.. U mechancké soustavy s deálním knematckým dvojcem znázorněné na obrázku určete: počet stupňů volnost početně všechny reakce a moment M
VícePRAKTIKUM III. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. Pracoval: Jan Polášek stud. skup. 11 dne 23.4.2009.
Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM III Úloha č. XXVI Název: Vláknová optika Pracoval: Jan Polášek stud. skup. 11 dne 23.4.2009 Odevzdal dne: Možný počet bodů
VíceStaré mapy TEMAP - elearning
Staré mapy TEMAP - elearnng Modul 4 Kartometrcké analýzy Ing. Markéta Potůčková, Ph.D., 2013 Přírodovědecká fakulta UK v Praze Katedra aplkované geonformatky a kartografe Kartometre a kartometrcké vlastnost
VíceLokace odbavovacího centra nákladní pokladny pro víkendový provoz
Markéta Brázdová 1 Lokace odbavovacího centra nákladní pokladny pro víkendový provoz Klíčová slova: odbavování záslek, centrum grafu, vážená excentrcta vrcholů sítě, časová náročnost odbavení záslky, vážená
VíceSylabus 18. Stabilita svahu
Sylabus 18 Stablta svahu Stablta svahu Smykové plochy rovnná v hrubozrnných zemnách ev. u vrstevnatého ukloněného podloží válcová v jemnozrnných homogenních zemnách obecná nehomogenní podloží vč. stavebních
Víceí I - 13 - Průchod a rozptyl záření gama ve vrstvách materiálu Prof. Ing. J. Šeda, DrSc. KDAIZ - PJPI
- 13 - í Průchod a rozptyl záření gama ve vrstvách materálu Prof. ng. J. Šeda, DrSc. KDAZ - PJP Na našem pracovšt byl vypracován program umožňující modelovat průchod záření gama metodou Monte Carlo, homogenním
VíceAnalytická geometrie lineárních útvarů
) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod
VíceFYZIKA I. Pohybová rovnice. Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D. Mgr. Art.
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ FYZIKA I Pohybová rovnce Prof. RNDr. Vlém Mádr, CSc. Prof. Ing. Lbor Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D. Mgr. Art. Dagmar Mádrová
VícePříklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky
Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Př. 1: Určete rovnice všech kružnic, které procházejí bodem A = * 6; 9+, mají střed na přímce p: x + 3y 18 = 0 a jejich poloměr
VíceVektory II. Předpoklady: Umíme už vektory sčítat, teď zkusíme opačnou operací rozklad vektoru na složky.
5 Vektor II Předpoklad: 4 Umíme už vektor sčítat, teď zkusíme opačnou operací rozklad vektoru na složk Př : Na obrázku je nakreslena síla Nakresli do obrázku síl a tak, ab platilo = + Kolik má úloha řešení?
VíceX = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)
.6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2018/2019
Matematka I A ukázkový test 1 pro 2018/2019 1. Je dána soustava rovnc s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napšte Frobenovu větu (předpoklady + tvrzení). b) Vyšetřete
VíceFyzikální korespondenční seminář UK MFF 22. II. S
Fzikální korespondenční seminář UK MFF http://fkosmffcunicz II S ročník, úloha II S Young a vlnová povaha světla (5 bodů; průměr,50; řešilo 6 studentů) a) Jaký tvar interferenčních proužků na stínítku
VíceOdraz a lom rovinné monochromatické vlny na rovinném rozhraní dvou izotropních prostředí
Odraz a lom rovnné monochromatcké vlny na rovnném rozhraní dvou zotropních prostředí Doplňující předpoklady: prostředí č.1, ze kterého vlna dopadá na rozhraní neabsorbuje (má r r reálný ndex lomu), obě
VíceGEOMETRICKÁ OPTIKA. Znáš pojmy A. 1. Znázorni chod význačných paprsků pro spojku. Čočku popiš a uveď pro ni znaménkovou konvenci.
Znáš pojmy A. Znázorni chod význačných paprsků pro spojku. Čočku popiš a uveď pro ni znaménkovou konvenci. Tenká spojka při zobrazování stačí k popisu zavést pouze ohniskovou vzdálenost a její střed. Znaménková
Více1 Analytická geometrie
1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice
VíceVliv komy na přesnost měření optických přístrojů. Antonín Mikš Katedra fyziky, FSv ČVUT, Praha
Vliv komy na přesnost měření optických přístrojů Antonín Mikš Katedra fyziky, FSv ČVUT, Praha V práci je vyšetřován vliv meridionální komy na přesnost měření optickými přístroji a to na základě difrakční
VíceČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE. 1 Komplexní úloha FAKULTA STAVEBNÍ - OBOR STAVEBNÍ INŽENÝRSTVÍ KATEDRA SPECIÁLNÍ GEODÉZIE
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ - OBOR STAVEBNÍ INŽENÝRSTVÍ KATEDRA SPECIÁLNÍ GEODÉZIE název předmětu STAVEBNÍ GEODÉZIE číslo úlohy název úlohy 1 Komplexní úloha školní rok den výuky
VícePříprava ke státním maturitám 2011, vyšší úroveň obtížnosti materiál stažen z www.e-matematika.cz
Příprava ke státním maturtám 0, všší úroveň obtížnost materál stažen z wwwe-matematkacz 80 60 Jsou dána čísla s 90, t 5 0 Ve stejném tvaru (součn co nejmenšího přrozeného čísla a mocnn deset) uveďte čísla
VíceProjekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/
Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 Zrcadla Zobrazení zrcadlem Zrcadla jistě všichni znáte z každodenního života ráno se do něj v koupelně díváte,
VíceFYZIKA I. Rovnoměrný, rovnoměrně zrychlený a nerovnoměrně zrychlený rotační pohyb
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ FYZIKA I Rovnoměrný, rovnoměrně zrychlený a nerovnoměrně zrychlený rotační pohyb Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D.
VíceRozvinutelné plochy. tvoří jednoparametrickou soustavu rovin a tedy obaluje rozvinutelnou plochu Φ. Necht jsou
Rozvinutelné plochy Rozvinutelná plocha je každá přímková plocha, pro kterou existuje izometrické zobrazení do rov iny, tj. lze ji rozvinout do roviny. Dá se ukázat, že každá rozvinutelná plocha patří
Více14. přednáška. Přímka
14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1
VíceKRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI
KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI Šroubový pohyb vzniká složením otáčení kolem osy o a posunutí ve směru osy o, přičemž oba pohyby jsou spojité a rovnoměrné. Jestliže při pohybu po ose "dolů" je otáčení
VíceKapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.
Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu
VíceRovinný svazek sil. Lze odvodit z obecného prostorového svazku sil vyloučením jedné dimenze. =F i. =F ix. F 2x. e 2. = F 1x. F ix. n Fi sin i.
Rovnný svazek sl Lze odvodt z obecného prostorového svazku sl vloučením edné dmenze = cos cos =sn e 2 = cos = sn = e 1 e 2 e 1 Určení výslednce r n r = =1 r e 1 r e 2 =...e 1...e 2 : r = n = n =1 =1 n
VíceUrčení tlouštky folie metodou konvergentního elektronového svazku (TEM)-studijní text.
Určení tlouštky fole metodou konverentního elektronového svazku (TEM)-studjní text. Pracovní úkol: 1) Nastavte a vyfotorafujte snímek dfrakce elektronů v konverentním svazku, který je vhodný pro určení
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
VíceMěření tíhového zrychlení matematickým a reverzním kyvadlem
Úloha č. 3 Měření tíhového zrychlení matematickým a reverzním kyvadlem Úkoly měření: 1. Určete tíhové zrychlení pomocí reverzního a matematického kyvadla. Pro stanovení tíhového zrychlení, viz bod 1, měřte
VíceParametrická rovnice přímky v rovině
Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi
Více4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil
4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr
VíceVÝVOJ SOFTWARU NA PLÁNOVÁNÍ PŘESNOSTI PROSTOROVÝCH SÍTÍ PRECISPLANNER 3D. Martin Štroner 1
VÝVOJ SOFWARU NA PLÁNOVÁNÍ PŘESNOSI PROSOROVÝCH SÍÍ PRECISPLANNER 3D DEVELOPMEN OF HE MEASUREMEN ACCURACY PLANNING OF HE 3D GEODEIC NES PRECISPLANNER 3D Martn Štroner 1 Abstract A software for modellng
VíceVZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ
VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ Dvě přímky v rovině mohou být: různoběžné - mají jediný společný bod, rovnoběžné různé - nemají společný bod, totožné - mají nekonečně mnoho společných bodů. ŘEŠENÉ
VíceLaboratorní úloha č. 7 Difrakce na mikro-objektech
Laboratorní úloha č. 7 Difrakce na mikro-objektech Úkoly měření: 1. Odhad rozměrů mikro-objektů z informací uváděných výrobcem. 2. Záznam difrakčních obrazců (difraktogramů) vzniklých interakcí laserového
VíceLingebraické kapitolky - Analytická geometrie
Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Jaroslav Horáček KAM MFF UK 2013 Co je to vektor? Šipička na tabuli? Ehm? Množina orientovaných úseček majících stejný směr. Prvek vektorového prostoru. V
Víceb) Maximální velikost zrychlení automobilu, nemají-li kola prokluzovat, je a = f g. Automobil se bude rozjíždět po dobu t = v 0 fg = mfgv 0
Řešení úloh. kola 58. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie A Autoři úloh: J. Thomas, 5, 6, 7), J. Jírů 2,, 4).a) Napíšeme si pohybové rovnice, ze kterých vyjádříme dobu jízdy a zrychlení automobilu A:
Více[ ] Parametrické systémy lineárních funkcí I. Předpoklady: 2110
..6 Parametrické sstém lineárních funkcí I Předpoklad: 0 Pedagogická poznámka: Tato hodina vznikla až v Třeboni kvůli problémům, které studenti měli s následující hodinou. Ukázalo se, že problém, kterých
VíceGeometrická optika. předmětu. Obrazový prostor prostor za optickou soustavou (většinou vpravo), v němž může ležet obraz - - - 1 -
Geometrická optika Optika je část fyziky, která zkoumá podstatu světla a zákonitosti světelných jevů, které vznikají při šíření světla a při vzájemném působení světla a látky. Světlo je elektromagnetické
VíceIvana Linkeová SPECIÁLNÍ PŘÍPADY NURBS REPREZENTACE. 2 NURBS reprezentace křivek
25. KONFERENCE O GEOMETRII A POČÍTAČOVÉ GRAFICE Ivana Lnkeová SPECIÁLNÍ PŘÍPADY NURBS REPREZENTACE Abstrakt Příspěvek prezentuje B-splne křvku a Coonsovu, Bézerovu a Fergusonovu kubku jako specální případy
VíceSouřadnicové výpočty I.
Geodézie přednáška 7 Souřadnicové výpočt I. Ústav geoinformačních technologií Lesnická a dřevařská fakulta ugt.mendelu.cz tel.: 545134015 Výpočet směrníku a délk stran v základním i podrobném bodovém poli
Více7.2.12 Vektorový součin I
7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné
VíceMetoda digitalizace starých glóbů respektující jejich kartografické vlastnosti a Virtuální mapová sbírka Chartae-Antiquae.cz
Metoda dgtalzace starých glóbů respektuící ech kartografcké vlastnost a Vrtuální mapová sbírka hartae-antquae.cz Mlan Talch, Klára Ambrožová, Flp Antoš, Ondře Böhm, Jan Havrlant, Lubomír Soukup XXXIV.
VíceBodový zdroj světla A vytvoří svazek rozbíhajících se paprsků, které necháme projít optickou soustavou.
Optické zobrazení Optické zobrazení je proces, kterým optické soustavy vytvářejí obrazy reálných předmětů. Tyto soustavy mění chod světelných paprsků. Obsahují zrcadla, čočky, odrazné hranoly aj. Princip
VíceTheory Česky (Czech Republic)
Q3-1 Velký hadronový urychlovač (10 bodů) Než se do toho pustíte, přečtěte si prosím obecné pokyny v oddělené obálce. V této úloze se budeme bavit o fyzice částicového urychlovače LHC (Large Hadron Collider
Více+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)
Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené
VíceKLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny.
MECHANIKA 1 KLASICKÁ MECHANIKA Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. Klasická mechanika rychlosti těles jsou mnohem menší než rychlost světla ve
VíceANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN
ANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN V dokumentu 7a_korelacn_a_regresn_analyza jsme řešl rozdíl mez korelační a regresní analýzou. Budeme se teď věnovat pouze lneárnímu vztahu dvou velčn, protože je nejjednodušší
VíceVeličiny charakterizující geometrii ploch
Veličiny charakterizující geometrii ploch Jedná se o veličiny charakterizující geometrii průřezu tělesa. Obrázek 1: Těleso v rovině. Těžiště plochy Souřadnice těžiště plochy, na které je hmota rovnoměrně
Více7.5.3 Hledání kružnic II
753 Hledání kružnic II Předpoklady: 750 Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi vůbec nejtěžší Není reálné předpokládat, že by většina studentů dokázala samostatně přijít na řešení, po čase na rozmyšlenou
VíceKomplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0
Komplexní čísl Pojem komplexní číslo zvedeme př řešení rovnce: x 0 x 0 x - x Odmocnn ze záporného čísl reálně neexstuje. Z toho důvodu se oor reálných čísel rozšíří o dlší číslo : Všechny dlší odmocnny
Více3.4.2 Rovnováha Rovnováha u centrální rovinné silové soustavy nastává v případě, že výsledná síla nahrazující soustavu je rovna nule. Tedy. Obr.17.
Obr.17. F F 1x = F.cos α1,..., Fnx = F. cos 1y = F.sin α1,..., Fny = F. sin α α n n. Původní soustava je nyní nahrazena děma soustavami sil ve směru osy x a ve směru osy y. Tutu soustavu nahradíme dvěma
VíceKolmost rovin a přímek
Kolmost rovin a přímek 1.Napište obecnou rovnici roviny, která prochází boem A[ 7; ;3] a je kolmá k přímce s parametrickým vyjářením x = + 3 t, y = t, z = 7 t, t R. Řešení: Hleanou rovinu si označíme α:
VíceZákladní pojmy Zobrazení zrcadlem, Zobrazení čočkou Lidské oko, Optické přístroje
Optické zobrazování Základní pojmy Zobrazení zrcadlem, Zobrazení čočkou Lidské oko, Optické přístroje Základní pojmy Optické zobrazování - pomocí paprskové (geometrické) optiky - využívá model světelného
VíceSkládání různoběžných kmitů. Skládání kolmých kmitů. 1) harmonické kmity stejné frekvence :
Skládání různoběžných kmitů Uvědomme si principiální bod tohoto problému : na jediný hmotný bod působí dvě nezávislé pružné síl ve dvou různých směrech. Jednotlivé mechanické pohb, které se budou skládat,
VíceKinematika tuhého tělesa. Pohyb tělesa v rovině a v prostoru, posuvný a rotační pohyb
Kinematika tuhého tělesa Pohyb tělesa v rovině a v prostoru, posuvný a rotační pohyb Úvod Tuhé těleso - definice všechny body tělesa mají stálé vzájemné vzdálenosti těleso se nedeformuje, nemění tvar počet
VíceFyzikální sekce přírodovědecké fakulty Masarykovy univerzity v Brně FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM. Fyzikální praktikum 2
Fyzikální sekce přírodovědecké fakulty Masarykovy univerzity v Brně FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM Fyzikální praktikum 2 Zpracoval: Markéta Kurfürstová Naměřeno: 16. října 2012 Obor: B-FIN Ročník: II Semestr: III
VíceTerestrické 3D skenování
Jan Říha, SPŠ zeměměřická www.leica-geosystems.us Laserové skenování Technologie, která zprostředkovává nové možnosti v pořizování geodetických dat a výrazně rozšiřuje jejich využitelnost. Metoda bezkontaktního
VíceA[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz
1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině
VíceHledané složky vektoru tvoří odvěsny pravoúhlého trojúhelníku:
7 Vektor III Předpoklad: 006 Pedagogická ponámka: Příklad, 4, 5 je možné vnechat, důležité je, ab alespoň 5 minut blo na příklad 7 Pedagogická ponámka: Úvodní příklad vužívám k prokoušení látk minulé hodin
VíceRovnice přímky v prostoru
Rovnice přímky v prostoru Každá přímka v prostoru je jednoznačně zadána dvěma body. K vyjádření všech bodů přímky lze použít parametrické rovnice. Parametrická rovnice přímky p Pokud A, B jsou dva různé
VíceRovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R
Rovnice přímky Přímka p je určená dvěma různými body (A, B)(axiom) směrový vektor nenulový rovnoběžný (kolineární) s vektorem s = AB = B A pro libovolný bod X na přímce platí: X A = t s tj. Vektorová rovnice
VíceTÍHOVÉ ZRYCHLENÍ TEORETICKÝ ÚVOD. 9, m s.
TÍHOVÉ ZRYCHLENÍ TEORETICKÝ ÚVOD Soustavu souřadnic spojenou se Zemí můžeme považovat prakticky za inerciální. Jen při několika jevech vznikají odchylky, které lze vysvětlit vlastním pohybem Země vzhledem
VíceKapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které
Kapitola 5 Kuželosečky Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které společně s kružnicí jsou známy pod společným názvem kuželosečky. Říká se jim tak proto, že každou z nich
VíceRychlost, zrychlení, tíhové zrychlení
Úloha č. 3 Rychlost, zrychlení, tíhové zrychlení Úkoly měření: 1. Sestavte nakloněnou rovinu a změřte její sklon.. Změřte závislost polohy tělesa na čase a stanovte jeho rychlost a zrychlení. 3. Určete
Více1 Veličiny charakterizující geometrii ploch
1 Veličiny charakterizující geometrii ploch Jedná se o veličiny charakterizující geometrii průřezu tělesa. Obrázek 1: Těleso v rovině. Těžiště plochy Souřadnice těžiště plochy, na které je hmota rovnoměrně
Vícel, l 2, l 3, l 4, ω 21 = konst. Proved te kinematické řešení zadaného čtyřkloubového mechanismu, tj. analyticky
Kinematické řešení čtyřkloubového mechanismu Dáno: Cíl: l, l, l 3, l, ω 1 konst Proved te kinematické řešení zadaného čtyřkloubového mechanismu, tj analyticky určete úhlovou rychlost ω 1 a úhlové zrychlení
VíceNumerická matematika 1. t = D u. x 2 (1) tato rovnice určuje chování funkce u(t, x), která závisí na dvou proměnných. První
Numercká matematka 1 Parabolcké rovnce Budeme se zabývat rovncí t = D u x (1) tato rovnce určuje chování funkce u(t, x), která závsí na dvou proměnných. První proměnná t mívá význam času, druhá x bývá
VíceZOBRAZOVÁNÍ ODRAZEM NA KULOVÉ PLOŠE aneb Kdy se v zrcadle vidíme převrácení. PaedDr. Jozef Beňuška jbenuska@nextra.sk
ZOBRAZOVÁNÍ ODRAZEM NA KULOVÉ PLOŠE aneb Kd se v zrcadle vidíme převrácení PaedDr. Jozef Beňuška jbenuska@nextra.sk Kulová zrcadla - jsou zrcadla, jejichž zrcadlící plochu tvoříčást povrchu koule (kulový
Víceb) Po etní ešení Všechny síly soustavy tedy p eložíme do po átku a p ipojíme p íslušné dvojice sil Všechny síly soustavy nahradíme složkami ve sm
b) Početní řešení Na rozdíl od grafického řešení určíme při početním řešení bod, kterým nositelka výslednice bude procházet. Mějme soustavu sil, která obsahuje n - sil a i - silových dvojic obr.36. Obr.36.
VíceMechanika II.A Třetí domácí úkol
Mechanika II.A Třetí domácí úkol (Zadání je částečně ze sbírky: Lederer P., Stejskal S., Březina J., Prokýšek R.: Sbírka příkladů z kinematiky. Skripta, vydavatelství ČVUT, 2003.) Vážené studentky a vážení
VíceEvaluation of Interferograms Using a Fourier-Transform Method
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta stavební Katedra fzk Vhodnocování nterferogramů metodou Fourerov transformace Evaluaton of Interferograms Usng a Fourer-Transform Method dplomová práce Studní
VíceMatematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32
Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;
VíceOptické měřicí 3D metody
Univerzita Palackého v Olomouci Přírodovědecká fakulta Optické měřicí 3D metod Michal Pochmon Olomouc 212 Oponent: RNDr. Tomáš Rössler Ph.D. Publikace bla připravena v rámci projektu Investice do rozvoje
Více6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH
Funkce více proměnných 6 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Ve čtvrté kapitole jsme studovali vlastnosti funkcí jedné nezávisle proměnné K popisu mnoha reálných situací však s jednou nezávisle
VíceCentrovaná optická soustava
Centrovaná optická soustava Dvě lámavé kulové ploch: Pojem centrovaná optická soustava znamená, že splývají optické os dvou či více optických prvků. Základním příkladem takové optické soustav jsou dvě
VíceJEDNOTKY. E. Thöndel, Ing. Katedra mechaniky a materiálů, FEL ČVUT v Praze. Abstrakt
SIMULAČNÍ MODEL KLIKOVÉ HŘÍDELE KOGENERAČNÍ JEDNOTKY E. Thöndel, Ing. Katedra mechaniky a materiálů, FEL ČVUT v Praze Abstrakt Crankshaft is a part of commonly produced heat engines. It is used for converting
VíceZavádění inovativních metod a výukových materiálů do přírodovědných předmětů na Gymnáziu v Krnově 07_10_Zobrazování optickými soustavami 1
Zavádění inovativních metod a výukových materiálů do přírodovědných předmětů na Gymnáziu v Krnově 07_10_Zobrazování optickými soustavami 1 Ing. Jakub Ulmann Zobrazování optickými soustavami 1. Optické
VíceMODELOVÁNÍ A SIMULACE
MODELOVÁNÍ A SIMULACE základní pojmy a postupy vytváření matematckých modelů na základě blancí prncp numerckého řešení dferencálních rovnc základy práce se smulačním jazykem PSI Základní pojmy matematcký
Více1. Určení vlnové délka světla pomocí difrakční mřížky
FAKULTA STAVEBÍ KATEDRA FYZIKY 10FY1G Fzka G 1. Určení vlnové délka světla pomocí dfrakční mřížk Petr Pokorný Pavel Klmon Flp Šmejkal LS 016/17 skpna 1 datm měření: 19.. 017 Zadání Pomocí dfrakční mřížk
VíceSYLABUS PŘEDNÁŠKY 10 Z GEODÉZIE 1
SYLABUS PŘEDNÁŠKY 10 Z GEODÉZIE 1 (Souřadnicové výpočty 4, Orientace osnovy vodorovných směrů) 1. ročník bakalářského studia studijní program G studijní obor G doc. Ing. Jaromír Procházka, CSc. prosinec
VíceUrčení tvaru vnějšího podhledu objektu C" v areálu VŠB-TU Ostrava
Acta Montanstca lovaca Ročník 0 (005), číslo, 3-7 Určení tvaru vnějšího podhledu objektu C" v areálu VŠB-TU Ostrava J. chenk, V. Mkulenka, J. Mučková 3, D. Böhmová 4 a R. Vala 5 The determnaton of the
VíceMaticová optika. Lenka Přibylová. 24. října 2010
Maticová optika Lenka Přibylová 24. října 2010 Maticová optika Při průchodu světla optickými přístroji dochází k transformaci světelného paprsku, vlnový vektor mění úhel, který svírá s optickou osou, paprsek
VíceMatematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s.
3.4. Výklad Předpokládejme, že v prostoru E 3 jsou dány body A, B, C neležící na jedné přímce. Těmito body prochází jediná rovina, kterou označíme ABC. Určíme vektory u = B - A, v = C - A, které jsou zřejmě
VícePOTENCIÁL ELEKTRICKÉHO POLE ELEKTRICKÉ NAPĚTÍ
POTENCIÁL ELEKTRICKÉHO POLE ELEKTRICKÉ NAPĚTÍ ELEKTRICKÝ POTENCIÁL Elektrcká potencální energe Newtonův zákon pro gravtační sílu mm F = G r 1 2 2 Coulombův zákon pro elektrostatckou sílu QQ F = k r 1 2
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii
VíceZOBRAZOVÁNÍ ZRCADLY. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Septima - Optika
ZOBRAZOVÁNÍ ZRCADLY Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Septima - Optika Úvod Vytváření obrazů na základě zákonů optiky je častým jevem kolem nás Základní principy Základní principy Zobrazování optickými přístroji
Více3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY
3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY V této kapitole se dozvíte: jak popsat rovinu v třídimenzionálním prostoru; jak analyzovat vzájemnou polohu bodu a roviny včetně jejich vzdálenosti; jak analyzovat vzájemnou
Víceu (x i ) U i 1 2U i +U i+1 h 2. Na hranicích oblasti jsou uzlové hodnoty dány okrajovými podmínkami bud přímo
Metoda sítí základní schémata h... krok sítě ve směru x, tj. h = x x q... krok sítě ve směru y, tj. q = y j y j τ... krok ve směru t, tj. τ = j... hodnota přblžného řešení v uzlu (x,y j ) (Possonova rovnce)
Více( ) ( ) ( ) ( ) Skalární součin II. Předpoklady: 7207
78 Skalární součin II Předpoklady: 707 Pedagogická poznámka: Hodina má tři části, považuji tu prostřední za nejméně důležitou a proto v případě potřeby omezuji hlavně ji Na začátku hodiny je důležité nechat
VícePozemní laserové skenování. Doc. Ing. Vlastimil Hanzl, CSc.
Pozemní laserové skenování Doc. Ing. Vlastimil Hanzl, CSc. Laserové skenování Technologie pro bezkontaktní určování prostorových souřadnic s následujícím 3D modelování a vizualizací skenovaných objektů.
VíceMechatronické systémy s elektronicky komutovanými motory
Mechatroncké systémy s elektroncky komutovaným motory 1. EC motor Uvedený motor je zvláštním typem synchronního motoru nazývaný též bezkartáčovým stejnosměrným motorem (anglcky Brushless Drect Current
VíceVzorce počítačové grafiky
Vektorové operace součet vektorů rozdíl vektorů opačný vektor násobení vektoru skalárem úhel dvou vektorů velikost vektoru a vzdálenost dvojice bodů v rovině (v prostoru analogicky) u = B A= b a b a u
VíceDalší plochy technické praxe
Další plochy technické praxe Dosud studované plochy mají široké využití jak ve stavební tak ve strojnické praxi. Studovali jsme možnosti jejich konstrukcí, vlastností i využití v praxi. Kromě těchto ploch
Více