ÚSTAV AUTOMATIZACE A MĚŘICÍ TECHNIKY Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií Vysoké učení technické v Brně.

Transkript

1 itulni strana

2 zadání

3 3 Ústav automatizace a měřicí techniy Preditivní regulátory s principy umělé inteligence v prostředí MALAB B&R Diplomová práce Studijní program: Student: Vedoucí: Kybernetia, automatizace a měření Bc. Libor Matys prof. Ing. Petr Pivoňa, CSc. Abstrat: Diplomová práce se zabývá problematiou preditivního řízení zvláště Model (Based) Predictive Control (MBPC nebo MPC). V první části jsou porovnány identifiační metody. Algoritmus reurzivní metody nejmenších čtverců je porovnán s identifiačními metodami založenými na neuronových sítí. Další části jsou věnovány preditivnímu řízení. Je zde popsáno vytvoření MPC se sumační složou a adaptivního MPC. Pevně nastavený PSD regulátor je porovnán s MPC. Jsou porovnány odezvy na poruchu a na změnu dynamiy regulované soustavy. Porovnání je provedeno na simulačních modelech v prostředí MALAB/Simulin a na fyziálním modelu připojeného PLC firmy B&R. Klíčová slova: Preditivní řízení, Model Predictive Control, adaptivní MPC, MPC se sumačním členem, PSD regulátor, odezva na poruchu, odezva na změnu dynamiy soustavy, identifiace metodou nejmenších čtverců, učení metodami založenými na neuronových sítí, učení metodou bac-propagation, učení metodou Levenberg-Marquardt.

4 4 Brno University of echnology he Faculty of Electrical Engineering and Communication Department of Control and Instrumentation Predictive controllers with principles of artificial intelligence hesis Specialisation of study: Student: Supervisor: Cybernetics, automation and measurement Bc. Libor Matys prof. Ing. Petr Pivoňa, CSc. Abstract: Master s thesis deals with problems of predictive control especially Model (Based) Predictive Control (MBPC or MPC). Identifications methods are compared in the first part. Recursive least mean squares algorithm is compared with identification methods based on neural networs. Next parts deal with predictive control. here is described creation MPC with summing element and adaptive MPC. here is also compared fixed setting PSD controller with MPC. Responses on disturbance and changes of parameters of controlled plant are compared. Comparing is made on simulation models in MALAB/Simulin and on physical model connected to PLC B&R. Keywords: Predictive control, Model Predictive Control, adaptive MPC, MPC with summing element, PSD regulator, responses on disturbance, responses on changes parameter of plant, recursive least mean squares identification, identification based on neural networs, bac-propagation learning method, Levenberg-Marquardt learning method.

5 5 B i b l i o g r a f i c á c i t a c e MAYS, Libor. Preditivní regulátory s principy umělé inteligence v prostředí MALAB B&R Diplomová práce. Brno: Vysoé učení technicé v Brně,, 8. s 57., příloh. Vedoucí práce: prof. Ing.Petr Pivoňa, CSc.

6 6 P r o h l á š e n í Prohlašuji, že svou diplomovou práci na téma Preditivní regulátory s principy umělé intelenge v prostředí MALAB B&R jsem vypracoval samostatně pod vedením vedoucího diplomové práce a s použitím odborné literatury a dalších informačních zdrojů, teré jsou všechny citovány v práci a uvedeny v seznamu literatury na onci práce. Jao autor uvedené diplomové práce dále prohlašuji, že v souvislosti s vytvořením této diplomové práce jsem neporušil autorsá práva třetích osob, zejména jsem nezasáhl nedovoleným způsobem do cizích autorsých práv osobnostních a jsem si plně vědom následů porušení ustanovení a následujících autorsého záona č. / Sb., včetně možných trestněprávních důsledů vyplývajících z ustanovení 5 trestního záona č. 4/96 Sb. V Brně dne : Podpis: P o d ě o v á n í Děuji tímto prof. Ing. Petru Pivoňovi, CSc. za cenné připomíny a rady při vypracování diplomové práce. V Brně dne : Podpis:

7 7 OBSAH. ÚVOD.... PREDIKIVNÍ ŘÍZENÍ...4. Historie...4. Princip IDENIFIKACE Identifiace metodou nejmenších čtverců s modelem ARX Identifiace pomocí neuronových sítí Úvod Historie Umělý neuron Neuronové sítě Učení neuronových sítí Učení metodou bac propagation Učení metodou Levenberg Marquardt Realizace MPC ZALOŽENÝ NA VNĚJŠÍM POPISU Další části preditivních regulátorů Účelová (objetivní) funce Referenční trajetorie Omezení Optimalizace Preditivní regulátor (MPC) s omezeními Adaptivní MPC MPC ZALOŽENÝ NA SAVOVÉM POPISU Odvození algoritmu Pseudostavový popis MPC s integračním charaterem Sumační člen v algoritmu MPC Sumační člen na výstupu MPC POROVNÁNÍ MPC S PSD REGULÁOREM...5

8 8 6. Porovnání MPC s PSD regulátorem při soové změně poruchy Porovnání MPC s PSD regulátorem při změně dynamiy soustavy Vizualizační prostředí POUŽIÍ MPC PRO ŘÍZENÍ FYZIKÁLNÍCH MODELŮ Soová změna poruchy na vstupu soustavy Změna dynamiy soustavy ZÁVĚR LIERAURA...64

9 9 SEZNAM SYMBOLŮ ZKRAEK Symboly: A, B, C, D matice stavového popisu b E E R f h vetor pro řešení optimalizační funce jedničový sloupcový vetor energie vetor hodnot volné odezvy vstup neuronu F (s) spojitý tvar přenosu F matice dynamiy stavů F (z) disrétní tvar přenosu G H I J J c K K r K R K x M N první parciální derivace modelu podle proměnných druhá parciální derivace modelu podle proměnných jednotová matice riteriální funce Jacobiho matice ro zesílení MPC suma prvů prvního řádu matice S zesílení regulátoru první řáde matice Q horizont řízení filtrační onstanta N, N minimum a maximum horizontu predice P horizont predice P Q r S ovarianční matice matice zesílení stavů referenční trajetorie matice zesílení referenční trajetorie

10 D I t u u t s v V w x X y y ) Z α β δ ϕ ε Φ η derivační časová onstanta integrační časová onstanta filtrační onstanta ační zásah změna ačního zásahu čas perioda vzorování měřená porucha vetor chyb váha neuronu stav trénovací množina, množina vzorů hodnota výstupu prediovaná hodnota výstupu dolní trojúhelníová matice penalizace ačního zásahu penalizace odchyly fator L-M metody vetor minulých hodnot vstupů a výstupů chyba matice tvořená z vetorů ϕ momentum λ oeficient zapomínání µ onstanta učení Θ θ ξ práh neuronu vetor parametrů soustavy vstupní potenciál neuronu

11 Zraty: AR ARX B-P CRHPC DMC EHAC EPSAC GMV GPC L-M MAC M(B)PC MPHC MURHAC MUS-MAR NN PFC PID PLC PSD QDMC RHC RLS SIORHC SGPC UI UPC XOR Adaptive Resonance heory AutoRegressive with external input bac-propagation Constrained Receding Horizont Predictive Control Dynamic Matrix Control Extended Horizont Adaptive Control Extended Prediction Self-Adaptive Control Generalized Minimum Variance control Generalized Predictive Control Levenberg-Marquardt Model-based Algorithmic Control Model (Based) Predictive Control Model Predictive Heuristic Control Multipredictor Receding Horizont Adaptive Control Multistep Multivariable Adaptive Control Neural Networ Predictive Functional Control proporcionálně integračně derivační regulátor Program Logic Controller proporcionálně sumačně derivační regulátor Quadratic Dynamic Matrix Control Receding Horizont racing Control reurzivní metoda nejmenších čtverců Sable Input/Output Receding Horizont Control Stable GPC umělá inteligence Unified Predictive Control exclusive OR

12 . ÚVOD Pojem Model (Based) Predictive Control (MBPC nebo MPC) se objevuje v druhé polovině sedmdesátých let.století. Model Predictive Control není určený pro jednu specificou strategii řízení, ale představuje poměrně široý rozsah řídicích metod, teré využívají při výpočtu optimálního ačního zásahu odhad budoucí hodnoty výstupu regulované soustavy. Různé MPC algoritmy se mezi sebou liší jen v modelu použitého reprezentování řízené soustavy, šumu a v použité účelové funci pro optimalizaci. V současné době již existuje mnoho apliací pro úspěšné použití preditivního řízení a to nejen ve zpracovatelsém průmyslu, ale napřílad i v sušicích věžích a pro řízení roboticých ramen [] a v mnoha dalších apliací. Úspěšné použití v těchto apliacích uazuje, ja může MPC dosáhnout vysoé účinnosti řízení systémů. Mezi výhody preditivního řízení se může zahrnout schopnost řízení velmi různorodých procesů. Od systémů s poměrně jednoduchou dynamiou až po ty s více složitou, včetně systémů s dlouhým časovým zpožděním, systémů s neminimální fází nebo nestabilních systémů. Poud známe referenční trajetorii (známe dopředu průběh žádané hodnoty), lze na změnu žádané hodnoty reagovat s předstihem a tím i dosáhnout lepší sledování žádané hodnoty. Je samozřejmé, že preditivní řízení má i jisté nevýhody a úsalí. Je nutný vyšší výpočetní výon než jaý vyžadují lasicé PID (PSD) regulátory. Ovšem se soudobým stavem již tento problém přestává být atuální. Asi největší problém představuje nutnost znát adevátní model řízeného procesu. V praxi MPC proázal být přijatelným řešením pro průmyslové řízení, navzdory původnímu nedostatu teoreticého řešení v něterých líčových bodech jao je stabilita a robustnost []. Cílem této práce je vytvoření MPC a jeho ověření na fyziálním modelu soustavy. Nejdříve bude nutné nastudovat metodiu návrhu preditivních regulátorů. A protože MPC e své správné činnosti potřebuje znát model řízené soustavy, je potřeba se seznámit s lasicými identifiačními metodami a metodami založenými na neuronových sítí. Jao lasicá identifiační metoda bude uvažována metoda nejmenších čtverců.

13 3 Po seznámení s identifiačními metodami bude přistoupeno vytvoření jednotlivých identifiačních algoritmů v prostředí MALAB. A následně budou vlastnosti identifiačních algoritmů porovnány. Pa již bude možné vytvořit algoritmus MPC. Protože se jedná o řízení v otevřené smyčce, bude třeba se zabývat zaručením nulové ustálené odchyly. K tomu přirozeně vybízí vytvoření adaptivního MPC, terý parametry modelu soustavy upravuje i během regulace. Předpoladem je, že ani adaptivní MPC nebude tím pravým řešením a bude nutné hledat i jiné možnosti. Následovat bude porovnání MPC s pevně nastaveným PSD regulátorem zvláště při působení poruchových signálů a při změně dynamiy soustavy. Bude vytvořeno vizualizační prostředí, teré bude umožňovat porovnání MPC s PSD regulátorem. Vizualizační prostředí je určeno hlavně pro potřeby výuy. Aby bylo možné omuniovat s fyziálním modelem, bude třeba využít pro řízení soustavy programovatelného automatu. Na fyziálních modelech bude ověřena schopnost regulace MPC při působení poruch a při změně dynamiy fyziálního modelu.

14 4. PREDIKIVNÍ ŘÍZENÍ. HISORIE V roce 978 J. Richalet, A. Rault, J. L. estud a J. Papon publiovali Model Predictive Heuristic Control: Application to Industrial Processes (MPHC) []. Pro určení modelu používali impulsní odezvu. V roce 98 uveřejnili C. R. Cutler a D. L. Ramater algoritmus využívající pro identifiaci procesu odezvu na jednotový so. Svoji metodu nazvali Dynamic Matrix Control (DMC) [3]. yto algoritmy představují první generaci MPC technologie. Doázali se prosadit i do apliací v průmyslovém řízení. Nicméně tyto metody neumožňují optimální průběh regulace, protože neberou v úvahu množství omezujících podmíne, teré se objevují v praticém nasazení. MPC se rychle stává populárním, zvláště v chemicém průmyslu, díy jednoduchosti algoritmu a použitím impulsní či přechodové charateristiy. Druhou generaci MPC algoritmů představuje QDMC (Quadratic Dynamic Matrix Control) s níž přišel v roce 983 C. R. Cutler [4]. Zde je úloha řešena numericy jao úloha vadraticého programování (QP) s omezujícími podmínami ve tvaru lineárních nerovností. Jedna v současnosti z nejvíce populárních metod je metoda Generalized Predictive Control (GPC) [5]. Byla publiována v roce 987, jejími autory jsou D. W. Clare, C. Mohtadi, P.S. uffs. ato metoda vychází z adaptivní oncepce řízení a je použitelná na systémy s neminimální fází, nestabilní systémy v otevřené smyčce, systémy s proměnným nebo neznámým zpožděním a systémy neznámého řádu. ato metoda se řadí do třetí generace MPC algoritmů. Z GPC vychází další metody, napřílad RHC (Receding Horizont racing Control) [6] lišící se v použitém modelu soustavy (stavový model) a v tom, že tato metoda je reurzivní [7]. V dnešní době již existuje nespočet metod MPC, teré během vývoje vznily. Jmenujme Model-based Algorhitmic Control MAC (Richalet), Prediction Self-Adaptive Control (Petera), Extended Horizont Adaptive Control EHAC

15 5 (Ydstie), Extended Prediction Self-Adaptive Control EPSAC (De Keyser), Generalized Minimum Variance control GMV (Clare, Gawthrop), Predictive Functional Control PFC (Richalet), Constrained Receding Horizont Predictive Control - CRHPC (Clare, Scattolini), Sable Input/Output Receding Horizont Control SIORHC (Mosca), Stable GPC SGPC (Kouvaritais), Multistep Multivariable Adaptive Control MUS-MAR (Grenco), Multipredictor Receding Horizon Adaptive Control MURHAC (Lemos, Mosca), Unified Predictive Control - UPC (Soeterboe) [, 7] a mnohé další.. PRINCIP Metodia všech regulátorů patřících mezi MPC může být popsána tato (obráze.): u (t+ t) u y (t+ t) y P t- t t+ t+ t+p Obráze.: Princip činnosti MPC []. Budoucí hodnoty výstupu pro určitý horizont predice P jsou počítány v aždém ) y t + t disrétním časovém oamžiu t. yto prediované hodnoty výstupu ( ) pro = P závisí na známých hodnotách až do času t (minulé hodnoty vstupů a

16 6 výstupů) a na budoucím řídicím signálu (ační zásah) u ( t t) ) Zápis y ( t + t) +, = P-. můžeme číst, hodnota výstupu y ) v čase t + se vypočítá v čase t.. Hodnoty ačních zásahů jsou počítány ta, aby byl průběh optimální podle zvoleného ritéria a výstup co nejlépe sledoval referenční trajetorii r ( t t) +. Kritérium optimalizace bývá obvyle vadraticé a vyhodnocuje se z rozdílu prediovaného výstupního signálu a prediované referenční trajetorie. Objetivní (účelová) funce definuje ritérium optimalizace. 3. Pro regulaci je použita hodnota ačního zásahu ( t t) již známe y ( t +) u, protože v dalším rou, s touto hodnotou se opauje celý předchozí postup. Je zísáno u ( t + t + ) (teré se od u ( t + t) liší, protože výpočet ( t + t + ) z nových informací) za použití ustupujícího horizontu. u je zísán účelová funce omezení referenční trajetorie prediovaná odchyla predice výstupu optimalizace prediované hodnoty ačního zásahu model minulé hodnoty výstupu a ačního zásahu Obráze.: Záladní schéma preditivního regulátoru (MPC) [7] Pro názornost si lze preditivní řízení představit na řízení automobilu, dy řidič zná referenční trajetorii pro onečný horizont predice. Pomocí plynového pedálu, brzd a zatáčení se snaží sledovat požadovanou trajetorii. Řidič jede upředu, vidí před sebe a je schopen dopředu reagovat na situaci. Zatímco při použití lasicého řízení (napřílad PID regulátoru) je ační zásah prováděn až na záladě znalosti minulé chyby. Jaoby tedy řidič pro řízení využíval jen zpětné zrcáto. ato přirovnání není úplně přesné, ale pro názornost je plně dostačující.

17 7 Strutura preditivního regulátoru je zobrazena na obrázu.. Blo model má rozhodující roli, protože vybraný typ modelu musí být schopen bezpečně a dostatečně přesně aproximovat dynamiu řízeného procesu. Proto je velmi důležité správně volit typ modelu a identifiační metodu. Jednou z nejvíce populárních metod je model impulsní charateristiy. Pro určení modelu stačí znát výstupní hodnoty z procesu při buzení impulsem. ato metoda je značně oblíbena v průmyslovém použití, protože je velmi intuitivní a může být použita pro vícerozměrné procesy. Nevýhodou je vysoý počet potřebných parametrů a možnost popsat jen systémy stabilní v otevřené smyčce. ěsně související s tímto modelem je model přechodové charateristiy. Model přenosové funce je nejvíce rozšířený na aademicé úrovni a je využíván pro nejvíce navržených metod řízení. ato reprezentace modelu vyžaduje jen něoli parametrů a je možné ji využít na jaýoliv proces. Pro vícerozměrné procesy lze taé využít model soustavy ve stavovém prostoru []. V určitých apliacích je možné se setat taé s modelem využívající neuronové sítě.

18 8 3. IDENIFIKACE Pro valitní preditivní řízení je nezbytně nutný valitní model procesu. Bez valitního modelu není možné správně prediovat výstupní hodnoty ŷ a tím se samozřejmě zhorší i celová valita regulace. Cílem modelu je přiblížit se chování procesu. K tomuto účelu slouží různé metody identifiace. Obecně můžeme model zísat matematicou analýzou pochodů v procesu nebo analýzou naměřených dat. V případě modelů pro adaptivní řízení a tím i pro preditivní řízení výrazně dominuje analýza naměřených dat. V adaptivním řízení se v převážné míře používá regresní model (ARX) s metodou nejmenších čtverců, i dyž v současné době se začínají dosti prosazovat algoritmy založené na bázi neuronových sítí. Identifiace pro adaptivní řízení vychází z následujících podmíne: Vstupy do procesu jsou generovány regulátorem. Regulátor by měl ompenzovat poruchy a stabilizovat proces. Přítomnost poruch zhoršuje identifiaci parametrů soustavy a parametry regulátoru mohou být pa špatně určeny. Strutura identifiovaného modelu se obvyle nemění. Identifiační algoritmus musí být numericy spolehlivý a dostatečně rychlý. Na počátu identifiace má poměrně důležitou roli počáteční nastavení parametrů regulátoru (zabránění neoretním ačním zásahům). Odhady parametrů by měly již na začátu identifiace dostatečně reprezentovat proces, nebo regulátor má na počátu identifiace parametry přednastaveny ta, aby byl regulační děj přijatelný (s přetlumenou dynamiou, nestačí pouze stabilní děj). 3. IDENIFIKACE MEODOU NEJMENŠÍCH ČVERCŮ S MODELEM ARX Použití modelu ARX vychází z jeho vhodnosti použití pro průběžnou identifiaci. Parametry modelu ARX se určují metodou nejmenších čtverců. Výhodou této metody je, že může být použita pro libovolné počáteční podmíny i

19 9 působící poruchy. Předpoladem je jeden vstup a výstup systému, pa závislost mezi vstupem a výstupem je y = b l (3.) r V případě j měření a při rozdílu mezi měřenými hodnotami můžeme určit optimální veliost parametru b r. Kritérium je pa dáno J j ( b ) = ( y y ) = ( y b l ) r i= im iv j i= im r i (3.) de y im je měřená hodnota a y iv je vypočítaná hodnota. Hledané minimum je b j l y i im i= r = j li i= (3.3) Po rozšíření na n vstupů či vnitřních stavů se lze model popsat experimentální regresní rovnicí y θ ϕ ( i) = ϕ( i) θ + ϕ ( i) θ + ϕ3 ( i) θ ϕ n ( i) θ n = ϕ ( i) = ( θ θ θ3... θ n ) ( i) = ( ϕ ( i) ϕ ( i) ϕ ( i)... ϕ ( i) ) 3 n θ + ε (3.4) de y je odhad výstupní veličiny modelu, θ je hledaný vetor neznámých parametrů, ϕ je vetor známých měřených funcí, i je ro výpočtu, ε je chyba v rou výpočtu. Proměnné φ i označujeme jao regresní proměnné a model je tedy nazýván regresním modelem. Po n měřeních lze učinit první odhad parametrů modelu. Za předpoladu, že parametry vetoru θ (ty je snahou identifiovat) se během trvání identifiace nemění, po n-tém rou lze určit jejich hodnotu. Převedeno do maticového tvaru y = Φθ + ε ε = y Φθ (3.5) Hledané minimum účelové funce J ε (3.6) ( Φ) = ε = ( y Φθ) ( y Φθ)

20 jejíž minimum lze zísat, jestliže derivace podle vetoru parametrů θ bude rovna. Po vyřešení platí de ( Φ) ( Φ Φ) Φ y θ = (3.7) Φ se označuje jao ( i) P, což je ovarianční matice. Matice Φ by se bez reduce po aždém rou rozšiřovala o další řáde. omu lze zabránit vytvořením reurentního vzorce s onstantním rozměrem matice Φ. S využitím reurentního vzorce lze odvodit průběžná metoda nejmenších čtverců. Z (3.7) pa pro ro i platí θ ( i) P ( i) Φ ( i)y = (3.8) S použitím lemmy o inverzi matice, je pa po úpravách určeno v rou i + P [ ] ϕ ( i + ) P ( i) ( i + ) = P ( i) P ( i) ( i + ) + ( i + ) P ( i) ( i + ) ϕ (3.9) Odvození vztahu pro odhad parametrů podle [8] [ ] ( i + ) = P ( i + ) Φ ( i) y( i) + ϕ( i + ) y( i + ) θ (3.) ( i + ) = θ ( i) + P ( i) ϕ( i + ) + ϕ ( i + ) P ( i) ϕ( i + ) [ ] ( y( i + ) ϕ ( i + ) θ ( i) ) θ Pro sledování pomalých změn parametrů identifiovaného procesu je možné použít exponenciální zapomínání. Minimalizací modifiovaného ritéria se vztahy (3.9, 3.) upraví na výsledné rovnice doplněné o fator exponenciálního zapomínání λ ( ) < λ. K P θ [ ] ( i + ) = P ( i) ( i + ) λ I + ϕ ( i + ) P ( i) ϕ( i + ) ( i + ) = ( P ( i) K( i + ) ϕ ( i + ) P ( i) )/ λ ( i + ) = θ( i) + K( i + ) y( i + ) ϕ ( i + ) θ( i) ϕ (3.) ( ) (3.3) (3.4) Vztah (3.4) odhaduje parametry pro následující ro. K je váhový součinitel, terý určuje s jaým vlivem se má tento rozdíl vzít v úvahu a tím urychlit či zpozdit atualizaci parametrů. Hodnoty v ovarianční matici P se volí co největší, obvyle postačí 4 P = I. Výsledem je pa vetor ( a a a b b ) θ =... m... b n, jednotlivé prvy odpovídají oeficientům přenosu (3.5). (3.)

21 F b z n n ( z) = m + a z + b z + a z b z a m z (3.5) 3. IDENIFIKACE POMOCÍ NEURONOVÝCH SÍÍ 3.. Úvod Pojem umělá inteligence je velmi těsně spjata s přirozenou inteligencí jaožto s vlastností živého organismu. Po zjištění, že moze je tvořen spoustou neuronů navzájem propojených a že tyto neurony spolu omuniují pomocí eletricých impulsů, teré lze měřit, začal Američan McCulloch pracovat na sestavení modelu biologicého neuronu. Na počátu padesátých let se ta objevují reálné úvahy o sestrojení stroje obdařeného inteligencí a vzniá nový vědní obor zvaný umělá inteligence (UI). Od umělé inteligence a tedy i od neuronových sítí je požadováno, aby uměly uložit znalosti (vědomosti), apliovat znalosti pro řešení daného problému (uvažování) a zísat v průběhu experimentu nové znalosti (učení). Výzum umělé inteligence se s vývojem počítačové techniy rozdělil do dvou záladních směrů. Synteticý přístup, u terého počítače pracují se symboly, teré reprezentují objety reálného světa. Dále zastánci tohoto přístupu tvrdili, že existence symbolů je nutnou a postačující podmínou pro existenci inteligentní činnosti. Výsledem tohoto přístupu jsou tzv. expertní systémy, z terých vzniá a rozvíjí se Fuzzy logia. Druhým směrem vývoje je analyticý přístup navazující na práci McCullocha. Zde je snaha v počítačích věrně modelovat funce mozu, a právě tento přístup dal vzninout umělým neuronovým sítím [9]. 3.. Historie V roce 943 Američané W. S. McCulloch a jeho student W. Pitts vytvořili matematicý model neuronu. Číselné hodnoty parametrů taového modelu byly bipolární, tzn. z množiny {-; ; }. aový model tvoří zálad většiny umělých neuronových sítí dodnes. Rosenblatt F. v roce 958 vytvořil první funční perceptronovou síť. Perceptron je zobecnění McCullochova a Pittsova modelu pro reálný číselný obor parametrů. ato nová perceptronová síť byla ovšem schopná řešit

22 pouze problémy, teré byly lineárně separabilní. Na tuto sutečnost upozornili M. Minsy a S. Papert. Úspěšně se jim podařilo spolu s dalšími nešťastnými událostmi zdisreditovat výzum umělých neuronových sítí ve prospěch jiných oblastí výzumu umělé inteligence. Pro svou argumentaci využili fatu, že jeden perceptron nemůže realizovat jednoduchou logicou funci XOR. ento argument je správný, ale již tři perceptrony jsou schopny taovou funci realizovat. Nicméně v té době nebyl znám algoritmus pro učení vícevrstvých perceptronů. Obecně se předpoládalo, že ani taový algoritmus vzhledem e své složitosti není ani možný. K renesanci dochází v osmdesátých letech minulého století. V roce 986 se nezávisle na sobě podařilo D. Rumelhartovi a LeCunovi odvodit algoritmus pro učení vícevrstvých neuronových sítí, terý je dosud nejpoužívanější metodou učení neuronových sítí. Jedná se o tzv. Bac - Propagation Algorithm. Vzniají taé samoorganizující sítě (např. Kohenenova,), teré e svému učení nepotřebují učitele [9]. V osmdesátých letech vzniají i další typy sítí jao Hopfieldova síť, Grossbergova AR síť atd. [] Umělý neuron Umělý neuron je zobrazen na obrázu 3.3 se vstupy h, h, h 3,,h n, váhami spojení w, w, w 3,,w n a výstupem y ). Agregace vstupních signálů, jejich porovnání s prahovou hodnotou Θ a následně jejich nelineární zobrazení, představují model těla neuronu. Umělý neuron je tedy charaterizován vnitřním potenciálem, prahem a ativitou svého výstupu.

23 3 vstupní signály h synapticé váhy w h w práh neuronu Θ ativační funce výstup neuronu h w y h 3 w 3 f(ξ) h n w n Obráze 3.3: Schéma umělého neuronu [8] Vstupy do neuronu mohou být obecně ja číselné hodnoty, ta i nečíselné parametry (např. obrazce). Většinou se vysytují právě číselné údaje. V závislosti na poloze neuronu mohou být vstupy výstupy jiných neuronů, popřípadě vstupy reprezentují podněty z vnějšího oolí. Synapticé váhy ovlivňují jednotlivé vstupy do neuronů a tím i celou neuronovou síť. Hodnota synapticé váhy reprezentuje citlivost, s jaou příslušný vstup ovlivňuje výstup z neuronu. Váhy jsou většinou dány jistým reálným číslem, právě změna hodnot vah a jejich postupné ladění představuje podstatnou část učicích algoritmů neuronových sítí. Podle biologicého neuronu musí vstupní signál přeonat prahovou hodnotu, aby se mohl dále šířit sítí. Hodnota prahu tedy určuje, dy je neuron ativní a neativní. Poud je hodnota vstupního signálu nižší, je na výstupu neuronu signál odpovídající pasivnímu stavu neuronu. Po přeročení prahové hodnoty je na výstupu signál daný agregační funcí (3.6). Agregační funce neuronu slučuje jistým způsobem vstupní signály neuronu, v našem případě (obráze 3.3) funci agregace představuje sumace. Pa pro vstupní potenciál platí n i= n ξ = h w + Θ = h w (3.6) i i i= i i Pro zjednodušení může být zvolen práh Θ = hw = w. Účelem ativační funce je převést hodnotu vstupního potenciálu na výstupní hodnotu z neuronu. V principu je možné tyto funce rozdělit na lineární a nelineární

24 4 nebo taé na spojité či nespojité. Obráze 3.4 uazuje nejčastěji používané ativační funce. V případě identicé výstupní funce je výstup neuronu stejný jao výstup z ativační funce, v případě neidenticé výstupní funce je výslede z ativační funce dán nějaou funční závislostí [9]. f(ξ) f(ξ) f(ξ) ξ Θ ξ ξ - a) lineární funce f(ξ) = ξ; > b) binární funce (perceptron) pro ξ > Θ, f(ξ) = pro ξ < Θ, f(ξ) = c) binární funce f(ξ) = sign (ξ) f(ξ) f(ξ) f(ξ) ξ ξ ξ - d) lineární funce s omezením e) sigmoida f(ξ) =/(+e -ξ ); > f) posunutá sigmoida f(ξ) =/(+e -ξ )-; > Obráze 3.4: Ativační funce neuronu [8] 3..4 Neuronové sítě Neuronová síť (Neural Networ - NN) slouží jao univerzální funční aproximátor. o znamená, že navržená a podle určitých pravidel vytrénovaná síť je schopná s určitou mírou přesnosti simulovat výchozí proces. Obecně může mít neuronová síť struturu, terá je popsána libovolným orientovaným grafem s vrcholy a s orientovanými hranami []. Vrcholy taového grafu tvoří neurony a orientované hrany reprezentují propojení neuronů s jistými vahami. Výstup z jednoho neuronu bývá vstupem do něolia dalších neuronů. Společnou vlastností neuronových sítí je

25 5 jejich vrstvená strutura. Vrstvy dělíme na vstupní vrstvu (vstup signálu z oolí), na vrstvy sryté (všechny vrstvy ležící mezi vstupní a výstupní vrstvou) a vrstvu výstupní (předává signál do oolí). Podle tou signálu lze neuronové sítě značit jao dopředné (signál se šíří jedním směrem) a reurentní (mezi neurony resp. vrstvami existují zpětné vazby). h y h n y m Obráze 3.5: Vícevrstvá dopředná neuronová síť [9] Pro návrh topologie neuronové sítě bohužel neexistuje jednoznačný návod. V různých literaturách je možné narazit na různá doporučení, terá jsou ale vždy určena pro řešení určité úlohy a nejsou tedy obecně platná. Ze zušeností vyplývá, že v řadě případů postačuje pro aproximaci řízeného procesu dvouvrstvá neuronová síť [9]. Počet neuronů ve vstupní a výstupní vrstvě je dán počtem vstupů a výstupů sítě. Počet neuronů ve sryté vrstvě má být ta velý, aby byla síť schopna aproximovat daný průběh s námi požadovanou přesností [8] Učení neuronových sítí Záladní vlastností neuronové sítě je její schopnost učení. o znamená, že síť je schopna reagovat a učit se na změněné podmíny. Ve většině případů se algoritmus učení soustřeďuje na adaptaci synapticých vah. Nastavitelnými parametry taé mohou být strmosti ativačních funcí nebo změna strutury neuronové sítě. V oblasti řízení se pro učení dopředné neuronové sítě nejčastěji používají algoritmy Levenberg - Marquardt (L-M) a bac propagation (B-P). Při aproximaci přenosové funce je dostačující síť s jednou srytou vrstvou. Poud je ativační funce ve tvaru sigmoidy nebo hyperbolicého tangensu, je pa taová síť

26 6 schopna aproximovat i nelineární funci. Ve vstupní vrstvě je použita lineární ativační funce a ve výstupní vrstvě je posunutá sigmoida nebo lineární funce. Jestliže je neuronový model procesu naučen ještě před jeho použitím, mluvíme o učení off-line. Neuronový model se učí z dříve zísaných dat bez připojení procesu a podle algoritmu učení (B-P, L-M) se upraví synapticé váhy sítě (nebo se změní topologie apod.). ato naučenou síť již může být použita pro identifiaci. Má-li být regulátor adaptivní, poračuje se v učení i během řízení procesu. aové učení je nazýváno on-line. Při on-line učení je model připojen systému a učí se chovat jao daný systém. Nastavení vah modelu se tedy v aždém rou modifiuje podle současného stavu. Z toho vyplývá, že stav vah modelu se určuje ze současného stavu a předchozí stavy se postupně zapomínají. Následem toho model zapomíná předchozí stavy a poud se nemění dynamia systému, model se naučí na působení poruchových veličin. Ve výsledu pa nastavení vah neodpovídá systému [8]. Na obrázu 3.6 je znázorněno učení regresního modelu třetího řádu ze vstupních a výstupních hodnot procesu. u proces y z - z - u(t-) z - z - z - z - u(t-) u(t-3) y(t-3) y(t-) y(t-) neuronová síť ŷ Obráze 3.6: Učení neuronové sítě se zpožděnými vstupy a výstupy [8]

27 Učení metodou bac propagation Je jedním z nejčastěji používaným algoritmem pro učení neuronových sítí. Cílem algoritmu je nalezení taového nastavení neuronové sítě, aby byla minimalizována chybová funce E R = n ( yi d i ) r= (3.7) de E R je energie, n je počet neuronů výstupu sítě, y i je i-tý výstup, d i je i-tý požadovaný výstup. Učící algoritmus je dán vztahem de ( i j) ER wz ( i, j) = µ (3.8) w ( i, j) w z, je váha spoje mezi neuronem i v jedné vrstvě a neuronem j v následující vrstvě, určuje, mezi terými vrstvami je váha počítána (z = váha mezi vstupní a vnitřní vrstvou, z = váha mezi vnitřní vrstvou a vrstvou následující), w z ( i, j) atuální změna váhy, µ je onstanta učení. Pro naše potřeby lze algoritmus přepsat do podoby [] θ ( ) ϕ( ) ( ) = θ( ) + η( θ( ) θ( ) ) + µ y( + ) ϕ ( + ) θ( ) je + (3.9) Poud zvolíme větší hodnotu parametru µ bude ro ta velý, že malá loální minima přeročíme. Jestliže bude parametr µ ale moc malý, budou se váhy adaptovat velmi pomalu. Dalším parametrem je η, terý se označuje jao momentum. en dodává do postupu váhovým prostorem setrvačnost a umožňuje přeonávat loální minima Učení metodou Levenberg Marquardt Jedná se iterativní algoritmus, terý numericý hledá minimum sumy čtverců obecně nelineárních funcích. V podstatě lze aždý reálný systém považovat za nelineární, protože obsahuje jistá omezení napřílad nelinearitu typu saturace, vliv A/D, D/A převodníů. Identifiace pomocí L-M algoritmu pracuje na principu hledání globálního minima chyb mezi minulými výstupy a výstupy modelu z trénovací množiny (množina vzorů). X ( ) = [ ϕ( ) ϕ( ) L ϕ( p) ] (3.)

28 8 de p je déla vetoru X. Minimalizaci algoritmus opauje i počtu iterací v aždém rou identifiace. θ de ( i ) ( i ) = θ( i ) J ( i ) J ( i ) [ + I ] J ( i ) V ( i ) + δ (3.) c c V je vetor chyb mezi výstupem z modelu a odhadovaným výstupem ze soustavy ( ) []. Jestliže je zvoleno δ malé, řešení je podobné jao při použití Newtonovy metody. Poud δ nabývá větších hodnot, je rychlost onvergence parametrů podobná jao u metody bac propagation. V ( ) ( ) X ( ) θ( ) = (3.) ( ) = [ y( ) y( ) L y( p) ] Jacobiho matice ( i ) (3.3) J c představuje nejlepší lineární aproximaci diferencovatelného vetoru zísaného v blízosti daného bodu a vypočtenou v aždé iteraci: J c ( ) ( ) ( ) ( ( ) X ( ) θ( ) ) θ( ) ε = = = X ( ) (3.4) θ 3.3 REALIZACE Jedna z nejdůležitějších částí adaptivního preditivního regulátoru je model soustavy. Protože preditivní regulátor postrádá lasicou zpětnou vazbu známou z běžných PID (PSD) regulátorů, představuje model soustavy jedinou informaci o stavu reálného systému. Je proto nezbytně nutné, aby byl model dostatečně věrný. Pro identifiaci je použita reurzívní metoda nejmenších čtverců (RLS) a dvě metody využívající neuronovou síť, učení metodu bac - propagation (B-P) a učení metodou Levenberg Marquardt (L-M). Neuronová síť byla vytvořena jao jeden lineární neuron se šesti vstupy a váhami. Váhy představují jednotlivé oeficienty modelu. Ve všech následujících případech je použit ARX model soustavy třetího řádu reprezentovaný vztahem 3 b z + b z + b3 z F ( z) = 3 (3.5) + a z + a z + a z 3 Pro ověření správnosti algoritmů jsem nechal identifiovat soustavu

29 9 ( s) F = (3.6) ( s + )( s + ) U metody B-P bylo momentum nastaveno na η =, a parametr učení µ =,5. Parametr δ byl u metody L-M nastaven na,. Počet vzorů pro učení neuronových sítí je dobré nastavit ta, aby v nich byla zachycena celá dynamia přechodové charateristiy aproximované soustavy. Bylo zvoleno 5 vzorů. Počet iterací byl u B-P nastaven na 4 a u L-M na hodnotu. Koeficient zapomínání u metody nejmenších čtverců byl nastaven λ =, 995. Při identifiaci byla použita perioda vzorování,5 s. Disrétní evivalent soustavy (3.6) je tedy 3,7654z +,49z +,497z F z ( z) = (3.7) 3,99z +,33z,865z U identifiačních algoritmů hraje dosti významnou roli i počáteční nastavení. U RLS bylo počáteční nastavení algoritmu zvoleno: 6 P = I a θ = ( L ). A pro neuronové sítě je výhodné volit vetor parametrů soustavy θ nenulový. Jao počáteční hodnoty byly zvoleny náhodné hodnoty z intervalu ;. Z obrázu 3.7 je vidět, že identifiace byla úspěšná a zísané modely jsou velmi podobné soustavě (3.6). Zvláště výsledy zísané L-M a metodou nejmenších čtverců jsou velmi podobné. Obecně se dá říci, že metoda nejmenších čtverců onverguje e správnému výsledu rychleji než metoda B-P. Proto je vhodné, zvláště u metod založených na neuronových sítí, znát alespoň velmi jednoduchý model a podle něj před začátem identifiace inicializovat algoritmus. Nevýhodou metody učení B-P je její neschopnost v otevřené smyčce správně aproximovat něteré soustavy. Napřílad při identifiaci soustavy s astatismem přestaly parametry onvergovat e správným hodnotám. Poud ovšem probíhala identifiace v uzavřené smyčce byl algoritmus numericy stabilní. Algoritmus učení L-M zvládá aproximovat i soustavy s astatismem v otevřené smyčce, tato metoda ale vyžaduje větší výpočetní nároy než B-P. Větší výpočetní náročnost je způsobena nutností počítat inverzi matic. Při zracování periody vzorování může metoda nejmenších čtverců selhávat. Poud se v soustavě nic neděje (nedochází e změně vstupního signálu do soustavy) ovarianční matice P roste a až nabude určité veliosti,

30 3 algoritmus přestane onvergovat. A právě v případech velmi ráté periody vzorování je výhodnější použít algoritmus identifiace založený na neuronové síti. Prechodove charateristiy soustavy a modelu.8 y y R L S y B - P y L - M.6 y Obráze 3.7: Přechodové charateristiy soustavy F (s) a identifiovaných modelů

31 3 4. MPC ZALOŽENÝ NA VNĚJŠÍM POPISU 4. DALŠÍ ČÁSI PREDIKIVNÍCH REGULÁORŮ Pro určení prediované hodnoty výstupu procesu se použije známý model procesu. Prediovaná hodnota výstupu se zpravidla určuje ze součtu nucené a volné odezvy modelu. Volná odezva modelu závisí pouze na minulých hodnotách výstupu systému a minulých hodnotách řízení. Předpoladem je onstantní budoucí řízení - tedy změna ačního zásahu je nulová. Zatímco nucená odezva modelu uvažuje nenulové změny ačního zásahu. y ( t) y ( t) y ( t) = (4.) fc + fr de y je celová odezva, y fr je volná odezva a y fc je nucená odezva modelu. 4.. Účelová (objetivní) funce Hlavním cílem účelové funce je, aby budoucí výstupy y ( t + t) uvažovaném horizontu predice co nejlépe sledovaly danou referenční trajetorii r ( t + ) a taé aby změny ačního zásahu u ( t + ) objetivní funci je pa dán výraz ) na byly penalizovány. Pro J N M ) j= N j= ( N, N, M ) = β ( ) [ y( t + t) r( t + ) ] + α( ) [ u( t + )] (4.) V něterých přístupech se druhá část výrazu pro penalizaci přírůstu ačního zásahu ) y t + t r t + představuje budoucí vůbec neuvažuje. Výraz za první sumou ( ) ( ) hodnoty regulační odchyly v horizontu. Parametry N a N určují minimum a maximum horizontu predice P, M je horizont řízení. N se volí s ohledem na dynamiu. Vhodné je, aby horizont predice byl srovnatelný s globální časovou onstantou systému [7]. Poud je hodnota N velá, je to proto, že není důležité, jaá je odchyla v prvních oamžicích. o má za následe hladou odezvu systému. Jestliže trvá zpracování nějaý čas d, není důvod, aby N bylo menší než d, protože výstup se bude odvozovat až od oamžiu t + d. Parametry α ( ) a ( ) β mají onstantní nebo exponenciální závislost. yto parametry určují penalizaci odchyly

32 3 β ( ) a penalizaci přírůstu ačního zásahu α ( ). Napřílad trváme-li na exponenciální závislosti β ( ) v průběhu horizontu predice, můžeme použít vztah ( ) = N τ β (4.3) Leží-li hodnota τ na intervalu od do, je nejvzdálenější chyba od oamžiu t penalizována více než ty ležící blíže. Důsledem je hladší odezva s menšími ačními zásahy. Poud je ovšem τ > jsou první odchyly více penalizovány. Dále je uvažován pouze jeden onstantní parametr α ( ) pro penalizaci přírůstu ačního zásahu, parametr ( ) = β. ato úprava může být použita, protože minimální hodnota ritéria (.) závisí na poměru mezi parametry α ( ) a β ( ) tedy přímo na hodnotách penalizačních parametrů. Předchozí výraz (4.) a výraz pro výpočet ritéria (4.) může být přepsán do maticového zápisu, s terými se bude dále pracovat. y = Gu + f (4.4) J ( y r) ( y r) + α( u u) = (4.5) Po dosazení vztahu (4.4) do (4.5) platí J ( Gu + f r) ( Gu + f r) + α( u u) = (4.6) de f představuje vetor hodnot volné odezvy a součin Gu určuje hodnoty nucené odezvy. Vetor u obsahuje změny ačního zásahu, r je vetor budoucích hodnot referenční trajetorie v horizontu P (horizont predice). Matice G je Jacobián modelu (parciální derivace modelu podle proměnných) a v případě, že je systém auzální, je matice G trojúhelníová. V případě lineárního modelu se matice G upraví na, ne g g G = g M g P g g g M P g g M P L L L O L g M P M, de M je horizont řízení a de g j = j i= a g i j j + i= b a g = <. i

33 33 Koeficienty a i, b i jsou zísány z přenosu modelu soustavy F b z n n ( z) = m + a z + b z + a z b z a Vztah (4.6) lze upravit do tvaru pro vadraticé programování J u Hu + b u + m z (4.7) = f (4.8) de H = G G + α I b f = = ( ) ( f r) G ( f r) ( f r) (4.9) Je patrné, že člen f není závislý na vetoru u, proto nemá na optimalizační úlohu vliv a může být z rovnice vyloučen. Optimalizační úloha je pa ve tvaru J = u Hu + b u (4.) Bez uvažování omezení signálů je možné úlohu zjednodušit na hledání nulového gradientu hodnoty ritéria J. Pa pro vetor u platí u = H b = ( G G + I ) G ( r f ) α (4.) Přírůste ačního zásahu, terý se posílá do systému, je pouze první prve vetoru u ( t) = K( r f ) u (4.) G G + α I G. de K je první řáde matice ( ) 4.. Referenční trajetorie Jednou z výhod preditivního řízení je znalost budoucího průběhu žádané hodnoty, tedy znalost referenční trajetorie, čehož lze náležitě využít. Systém je schopen reagovat na změnu žádané hodnoty dříve, než se sutečně vysytne na vstupu regulátoru. A může tedy eliminovat vliv zpoždění systému, regulovat na děj bez přemitu, na nejratší přechodný děj apod. Budoucí vývoj referenční trajetorie je v mnoha případech známý předem, napřílad v roboticých systémech, servosystémech. Referenční trajetorie může být zadána jao průběh nebo jao posloupnost nesoucí informaci o tom, v jaý čas a na jaou hodnotu se má referenční trajetorie změnit. Nebo může být zadána jao funce závislá na výstupu.

34 Omezení Každý proces obsahuje jistá omezení, snímače mají svá omezení, ační členy mají omezený rozsah ačních zásahů, technologicá omezení, omezení s ohledem na bezpečnost procesu a uživatelů apod. Všechna taová omezení vedou na požadave optimálního řízení. Mnoho preditivních algoritmů počítá s omezeními. Většinou se vša jedná o analyticy řešenou optimalizační část bez omezení a až po tomto výpočtu se apliuje omezení typu saturace. ento způsob ale nezaručuje optimální řízení podle ritérií a taé je možné jej apliovat jen na veličiny vystupující z optimalizačního algoritmu (ační zásah a změna ačního zásahu). Poud se řeší optimalizační úloha s již danými omezeními, je možné omezit nejen veličiny vystupující z algoritmu, ale i výstup soustavy či jednotlivé vnitřní stavy systému (při použití stavového modelu). vrdá omezení vrdá omezení jsou taová, jejíž hranice nelze za žádných podmíne porušit. oto jsou typicé přílady tvrdých omezujících podmíne. u min u y min min u y ( t) umax pro t u( t) u( t ) umax pro t ( t) y pro t max (4.3) (4.4) (4.5) de (4.3) je vztah pro omezení ačního zásahu, další (4.4) pro omezení změny ačního zásahu a (4.5) pro omezení výstupu. ato omezení lze napsat maticovým zápisem Ru c M I P M I P M = Z P de R M Z P M GP M GP, c = u u E ( umax u( t ) ) ( u u( t ) ) min E E ( ymax EP f ) ( ) y E f min max P min EP P P P (4.6) de I je jednotová matice, Z je dolní trojúhelníová matice s nenulovými prvy rovny, matice I, Z, G mají P řádů a M sloupců. E je sloupcový vetor o délce P se všemi prvy rovny.

35 35 Měá omezení Jsou to taová omezení, terá jdou za určitých oolností porušit. a jsou zavedena z důvodu nevyhovujících tvrdých omezení. A to proto, že v rámci tvrdých omezení nelze nalézt optimální řešení a z technologicého a bezpečnostního hledisa je možné určité meze přeročit. Jinými slovy tedy měá omezení umožňují posunutí mezí. K tomu je možné přistupovat různými způsoby [7]: Pevná omezení se průběžně posunují podle předem daných pravidel. Optimalizační část se dělí na dvě části, de první řeší optimalizaci bez omezení na první části horizontu a druhá řeší optimalizaci na zbylé části horizontu. K pevnému omezení se přidá jistá tolerance posunutí mezí, ale zároveň je veliost posunutí penalizována v ritériu, což je nejuniverzálnější přístup, terý je označován jao uvolnění mezí (constrain relaxation) Optimalizace K zísání hodnoty u ( t t) (4.). Hodnoty prediovaného výstupu ( ) + je nezbytné minimalizovat funční hodnotu J z ) y t + t jsou počítány jao funce minulých hodnot vstupů a výstupů a budoucích signálů. K jejich zísání se využívá modelu soustavy a hledání minimálních hodnot po dosazení do účelové funce. Analyticé řešení může být zísáno z vadraticé účelové funce (4.), dy je model soustavy lineární a nejsou žádné omezující podmíny. Jina se pro optimalizaci používají iterační metody. Zísání řešení jaouoliv metodou je poměrně obtížné, protože máme N N nezávislých proměnných. Při řešení + optimalizace při přítomnosti omezujících podmíne je nutné použít numericé optimalizační metody. y v případě optimalizace vadraticé účelové funce (4.) s omezujícími podmínami vedou na vadraticé programování []. Výsledem optimalizační funce (4.) je přírůste ačního zásahu. en je zísán součtem minulé hodnoty ačního zásahu a atuálního přírůstu. ( t) = u( t) + u( t ) u (4.7) Jestliže je prediovaná regulační odchyla (r-f) nulová, je nulová i změna ačního zásahu. V jiném případě je přírůste ačního zásahu úměrný budoucím odchylám. Zatímco u onvečního zpětnovazebního řízení se ační zásah určuje podle minulé

36 36 hodnoty regulační odchyly, u preditivního regulátoru se určuje přírůste ačního zásahu z odhadované budoucí regulační odchyly. Řešení optimalizace vadraticé funce je poměrně výpočetně náročné, proto je vhodné zvolit dva různé horizonty P (horizont predice) a M (horizont řízení). Zpravidla se volí P M. Poud je horizont řízení ratší než horizont predice, adevátně se zmenší i rozměry matic pro následný výpočet ritéria a nalezení řešení není ta výpočetně náročné. Často se pro řešení vadraticé funce s omezeními používá metody ativních množin. Pro řešení optimalizačních úloh je možné taé použít neuronové sítě. 4. PREDIKIVNÍ REGULÁOR (MPC) S OMEZENÍMI Výpočetně nejjednodušší algoritmus optimalizace je taový, v terém nejsou zahrnuta žádná omezení. Ovšem aždý reálný systém má jistá omezení, teré musíme při návrhu jaéhooliv regulátoru zohlednit. Je možné omezení apliovat až na ační zásah vystupující z regulátoru, tím je ovšem znehodnocen optimalizační algoritmus, protože tato omezené ační zásahy již nejsou optimální. Proto je vhodné zahrnout omezení přímo do optimalizačního algoritmu, pa jsou ační zásahy optimální nejen z hledisa riteriální funce, ale i z hledisa navržených omezení. Je nezbytné zdůraznit, že poud je omezení zahrnuto přímo do algoritmu optimalizace, není možné řešit optimalizaci analyticy jao v případě bez omezení. Úloha s omezeními vede na vadraticé programování. V programu MALAB je možné problém vadraticé optimalizační úlohy s omezeními řešit pomocí funce quadprog. Na obrázu 4. jsou porovnány dva preditivní regulátory, z nichž jeden s průběhem y B je s omezením u na výstupu a druhý s průběhem y S je se stejným omezením přímo v optimalizačním algoritmu. Poud nebude uvedeno jina jsou do všech následujících MPC implementována tato nastavená omezení: u 3 u ( t) ( t) 3 (4.8) Omezení je možno rozšířit i na výstupní veličinu, může jít o omezení maximální hodnoty výstupu, popřípadě požadave na monotónní průběh výstupní veličiny pa je přechodný děj bez přemitu.

37 37 Vystup ze soustavy r, y 5-5 r y B y S u Acni zasah u B u S Obráze 4.: Porovnání přechodových charateristi MPC s omezením v optimalizačním algoritmu y S, u S a s omezením na výstupu regulátoru y B, u B ( s =,5 s; P = 5, M = 5, α =,, řízená soustava F (s)) 4.3 ADAPIVNÍ MPC Výhodou a zároveň i úsalím MPC je snaha vyregulovat prediovanou odchylu danou rozdílem referenční trajetorie a prediovanými hodnotami výstupu. Ne tedy sutečnou (minulou) hodnotu odchyly, a proto nemůže být zaručena nulová ustálená odchyla. a lze potlačit adaptivní variantou MPC. V případě pevně nastaveného regulátoru známe model soustavy, terý byl identifiován off-line, čili před začátem vlastního řízení procesu. Během regulace se již parametry modelu nemění. V případě použití adaptivního regulátoru je model procesu zísáván on-line, čili průběžně během regulace. Během aždého rou se tedy parametry modelu procesu upravují. Adaptace modelu vytváří zpětnou vazbu od procesu. Na obrázu 4. je porovnání průběhů pevně nastaveného a adaptivního MPC s identifiací metodou nejmenších čtverců. Do t = 7 s probíhá regulace bez problémů, po příchodu soové změny poruchy na vstup soustavy F (s) pevně nastavený MPC nezareaguje, protože nemá informaci o přítomnosti poruchy jedná se o řízení v otevřené smyčce. Adaptivní MPC na poruchu zareaguje a vyreguluje ji. Na všech

38 38 obrázcích s průběhy je měřen sutečný ační zásah, terý vstupuje do soustavy. Je v něm tedy zahrnuta i porucha vstupující do soustavy. 6 4 Vystup ze soustavy r v y PN y AD r, y Acni zasah u PN u AD u Obráze 4.: Porovnání průběhů pevně nastaveného MPC y PN, u PN s adaptivním MPC y AD, u AD s identifiací RLS λ =,995 ( s =, s; P = 5, M = 5, α =,, řízená soustava F (s)) Dále byly porovnány tři identifiační algoritmy ve spojení s adaptivním MPC. Dva založené na neuronových sítích a algoritmus založený na metodě nejmenších čtverců. Byl použit ARX model 3. řádu s přenosem podle (3.5) a byla řízena soustava F (s). Nastavení jednotlivých algoritmů bylo následující: U reurzivní metody nejmenších čtverců (RLS) byl oeficient zapomínání λ =,995. U neuronové sítě s učením metodou bac-propagation (B-P) byla trénovací množina o 5 prvcích, počet iterací byl nastaven na, oeficient učení µ =, a momentum bylo η =, 5. U metody učení Levenberg-Marquardt (L-M) byl parametr δ =,, počet iterací byl a veliost trénovací množiny byla nastavena na 5 vzorů. Protože pomocí metody B-P onvergují parametry modelu pomaleji (obráze 4.3), nebude dále tato metoda používána. U metody RLS a L-M (pro malé δ ) onvergují parametry soustavy přibližně stejně rychle.

39 39 r, y Vystup ze soustavy r v y RLS y B-P y L-M -4 u Acni zasah u RLS u B-P u L-M Obráze 4.3: Porovnání identifiačních algoritmů RLS (y RLS, u RLS ), B-P (y B-P, u B-P ), L-M (y L-M, u L-M ) při soovém vzniu poruchy o amplitudě v t = 4 s ( s =, s; P = 5, M = 5, α =,, řízená soustava je F (s)) Aby byla zajištěna nulová ustálená odchyla, muselo by být zesílení modelu naprosto shodné se zesílením soustavy, tento požadave nemůže adaptivní MPC vždy zaručit. Ovšem adaptivní MPC je vhodný, jestliže se v průběhu regulačního děje mění dynamia řízené soustavy.

40 4 5. MPC ZALOŽENÝ NA SAVOVÉM POPISU 5. ODVOZENÍ ALGORIMU Co ale doáže spolehlivě odstranit ustálenou odchylu, je sumační člen v regulátoru. K tomu, aby bylo možné do MPC přidat sumační člen, je výhodné vytvořit regulátor, terý ační zásahy vypočítává na záladě stavového popisu soustavy. Pro disrétní model SISO soustavy x y ( +) = Ax( ) + Bu( ) ( ) = Cx( ) + Du( ) (5.) je hledána řídicí posloupnost u ( ) na horizontu predice P minimalizující ritérium dané účelovou funcí J N M ) j= N j= ( N, N, M ) = β ( ) [ y( t + t) r( t + ) ] + α( ) [ u( t + )] (5.) Což je stejná účelová funce jao (4.) s tím rozdílem, že zde je penalizována veliost ačního zásahu namísto jeho přírůstu. Opět platí y = Gu + f (5.3) J ( y r) ( y r) + α( u u) = (5.4) Po dosazení vztahu (5.3) do (5.4) platí de J ( Gu + f r) ( Gu + f r) + α( u u) = (5.5) ( ) f = Fx (5.6) F = C CA CA M P CA D L CB D L, G = CAB CB D L (5.7) M M M O M P P 3 CA B CA B L CB D Matice G má P řádů a M sloupců, hodnoty v této matici jsou totožné s maticí G použitou ve vnějším popisu. o souvisí s tím, že tato matice určuje dynamicé

41 4 vlastnosti systému. V účelové funci je možné vážit změnu ačního zásahu u J ( ) = u( ) u( ), pa je již účelová funce v typicém tvaru N M ) j= N j= ( N, N, M ) = β ( ) [ y( t + t) r( t + ) ] + α( ) [ u( t + )] de u = D u u ~, i ( ) (5.8) L u O M D = ~ i, u = (5.9) M O O M L Z výrazu (5.5) lze odvodit vztah pro optimální posloupnost řízení pro analyticý preditivní regulátor (bez omezení) ( ) Sr u = Qx + (5.) de jednotlivé matice jsou Q = S = ( G G + α I ) G ( G G + α I ) G F (5.) Pro ustupující horizont je potřeba spočítat pouze první hodnotu z vetoru u, pa lze preditivní regulátor vyjádřit ve tvaru u ( ) K x( ) K r( ) = (5.) x + de matice v této rovnici jsou de r P = r, j j= K = q K s (5.3) x, q je první řáde matice Q a s, j jsou prvy prvního řádu matice S. Odvození bylo provedeno podle [3]. Z (5.) je vidět, že preditivní regulátor v analyticém tvaru je podobný stavovému regulátoru. Pro preditivní regulátor s omezeními je opět nutné řešit problém vadraticého programování ve tvaru pro terý platí J = u Hu + b u (5.4)

42 4 H = G G + α I b = ( f r) G (5.5) Jediný rozdíl mezi stavovým a vnějším popisem je ve vytváření matic postihující dynamiu řízeného systému. U vnitřního popisu jsou matice zísány ze stavového popisu modelu a u vnějšího z vnějšího popisu modelu. 5. PSEUDOSAVOVÝ POPIS U stavového popisu se zísávají matice A, B, C, D ze stavových rovnic. Ne vždy jsou ale dispozici všechny stavy systému. Poud něterý stav nemůže být přímo měřen, je nutné jej reonstruovat např. Kalmanovým filtrem. Existuje vša další možnost ja pouze za pomocí informací o výstupu systému apliovat stavový algoritmus MPC. Stavová formulace řízeného systému totiž nemusí být definována v lasicém smyslu. Podmínou je ale to, že musí být zachována matematicá forma stavového popisu. o umožňuje vytvořit nový stavový vetor sládající se ze zpožděných vstupů a výstupů řízené soustavy. Pro systém třetího řádu je tedy nový stavový vetor ( ) ( ) ( 3) ( ) ( ) ( 3) u u u x io = (5.6) y y y de u ( ) je vstup do řízeného systému, tedy ační zásah regulátoru a ( ) systému. Pa nové matice stavového modelu systému jsou Matice x y io ( +) = Aio xio ( ) + Biou( ) ( ) = C x ( ) io io D io je uvažována nulová. Pro ARX model platí ( ) = b u( ) + b u( ) + b u( 3) a y( ) a y( ) a y( 3) 3 3 y je výstup (5.7) y (5.8) Pa stavový model nového systému je definován pomocí následujících matic

43 43 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u y y y u u u a a a b b b y y y u u u + = (5.9) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = y y y u u u a a a b b b y Výsledem je tedy tazvaná pseudostavová reprezentace řízeného systému. Pseudostavem je vetor zpožděných vstupů a výstupů soustavy, přičemž je matematicá reprezentace systému zachována. Proto můžou být matice C B A,, nahrazeny novými io io io C B A,, zísanými z ARX modelu [4]. Pseudostav tedy neodpovídá sutečným stavům jao je rychlost, poloha apod. Na obrázu 5. je zobrazen průběh MPC zísaného ze stavového popisu pro různé hodnoty penalizačního parametru α. Protože je použita účelová funce s penalizací veliosti ačního zásahu (5.), neustálí se výstup na žádané hodnotě. Zvláště patrné je to při nastavení =, α. Pro MPC byl použit off-line zísaný model řízené soustavy F (s) ( ) ( )( ) + + = s s s F (5.) A bylo realizováno pouze omezení pro veliost ačního zásahu u. Na přítomnost poruchy není schopen vytvořený MPC správně zareagovat. Pro vyregulování poruchy je nutné stavový model systému upravit.

44 44 Vystup ze soustavy r, y - - r v y. y Acni zasah u u. u. Obráze 5.: Průběhy MPC pro různé hodnoty penalizačního parametru α =, (y,, u, ) a pro α =, (y,, u, ) v t = s přichází na vstup soustavy soová porucha ( s =, s; P = 5, M = 5, řízená soustava je F (s)) 5.3 MPC S INEGRAČNÍM CHARAKEREM 5.3. Sumační člen v algoritmu MPC Je tedy vytvořen MPC založený na stavovém popisu. Aby bylo možné dosáhnout nulové ustálené odchyly je nutné stavový systém rozšířit o sumační člen, do terého vstupuje rozdíl mezi referenční trajetorií a sutečným výstupem ze soustavy. x y se se ( +) = xse ( ) + r( ) y( ) = xse ( ) + r( ) Cx( ) ( ) = x ( ) se Stavové rovnice rozšířené o tento sumátor mají následně tvar (5.)

45 45 x x y io se ( + ) ( + ) Aio = Cio x io x ( ) = ( C ) de y ( ) = y( ) y ( ) se io se x x ( ) ( ) io se ( ) ( ) = C x B + ( ) io u ( ) = A x ( ) + B u( ) (5.). S tato upravenými stavovými rovnicemi již nic nebrání ověření funčnosti algoritmu. r, y Vystup ze soustavy Acni zasah r v y sr y br u sr u br u Obráze 5.: Průběhy MPC se sumační složou v algoritmu se znalostí referenční trajetorie (y sr, u sr ) a bez znalosti referenční trajetorie (y br, u br v t = 8 s přichází na vstup soustavy soová porucha ( s =, s; P = 5, M = 5, α =, řízená soustava je F (s)) Na obrázu 5. jsou zachyceny odezvy výstupu a ačních zásahů při řízení soustavy F (s) (5.). Pro MPC byl použit off-line zísaný model řízené soustavy F (s) a bylo použito omezení pro veliost ačního zásahu u. Je zde porovnán MPC se sumační složou v algoritmu se znalostí budoucího průběhu referenční trajetorie a bez znalosti průběhu referenční trajetorie. Je patrné, že MPC se znalostí referenční trajetorie se snaží reagovat na změnu referenční trajetorie s předstihem, ovšem této aci brání sumační složa regulátoru, do teré vstupuje hodnota sutečné odchyly. Sumační složa se pa snaží udržet průběh výstupu ta,

46 46 aby co nejlépe sledovala atuální hodnotu referenční trajetorie. Proto se začne výstup co nejrychleji přibližovat referenční trajetorii až po změně hodnoty referenční trajetorie. A taé proto jsou ve výsledu průběhy se znalostí i bez znalosti referenční trajetorie soro totožné. Pro regulaci je doonce výhodnější použít MPC, terý nevyužívá znalosti referenční trajetorie, protože během přechodného děje nedochází zamitnutí. Nicméně poud je neznámý budoucí průběh referenční trajetorie je možné MPC se sumační složou použít, protože je schopen zaručit nulovou ustálenou odchylu. o je patrné opět z obrázu 5., de v t = 8 s je na vstup soustavy přivedena soová porucha. Jinou možností by bylo sumační složu během přechodného děje vypínat. Poud by ale během přechodného děje působila porucha, byl by i pa průběh přechodného děje zřejmě nepřijatelný Sumační člen na výstupu MPC Na docílení nulové ustálené odchyly je možné se dívat i z jiného pohledu. Pro docílení nulové ustálené odchyly stačí, aby sumační (integrační) člen byl přítomen v otevřené smyčce. Při návrhu regulátoru se pa postupuje ta, aby si regulátor myslel, že sumační složa je v soustavě. oho se dá docílit tím, že do modelu soustavy je přidána sumační složa (do modelu soustavy je přidán astatismus). Regulátor pa počítá ační zásahy, teré předpoládají řízenou soustavu s astatismem. Protože struturu soustavy nelze měnit, přidá se sumační složa na výstup regulátoru. Výsledem je, že regulátor si myslí, že soustava obsahuje sumační složu, i dyž v ní ve sutečnosti není, protože je umístěn v regulátoru. Pro realizaci MPC se sumační složou na výstupu regulátoru byl použit stavový přístup s účelovou funcí s penalizací veliosti ačního zásahu (5.). Protože jsou ale ační zásahy počítány z modelu s přidaným astatismem, není ve sutečnosti výstupem optimalizační funce veliost ačního zásahu, ale jeho přírůste. ento přírůste vstupuje do sumačního členu, na jehož výstupu je už sutečná veliost ačního zásahu. Výhodou je možnost použít omezení na výstupní veličinu a ační zásah podle (4.6). Na obrázu 5.3 je porovnání obou přístupů přidání sumační složy do regulátoru. MPC jsou nastaveny ta, aby měli stejnou odezvu na poruchový signál.

47 47 MPC se sumačním členem na výstupu regulátoru dává odezvu s menším přemitem na změnu hodnoty referenční trajetorie. U obou regulátorů je vypnuta znalost budoucích hodnot referenční trajetorie a definováno omezení u. Dále bude používán pouze MPC se sumačním členem na výstupu regulátoru. Na obrázu 5.4 je zobrazen průběh regulace MPC se sumačním členem na výstupu regulátoru při neznalosti a znalosti budoucího průběhu referenční trajetorie. Pro regulaci byla použita soustava s neminimální fází ( s) 5s F 3 = (5.3) ( s + ) 3 Při nevhodně zvolené periodě vzorování např. s =, s nebyl schopen iterační algoritmus optimalizace (s omezeními) určit ační zásahy, teré by vedly e správnému sledování referenční trajetorie. Analyticy řešená optimalizační úloha (bez omezení) vyazovala větší numericou stabilitu. Po dalším zracování periody vzorování i analyticy řešený algoritmus optimalizace přestal onvergovat. Naonec byla použita perioda vzorování s =,5 s a omezení byla implementována podle (4.8). Je patrné, že zvláště MPC se znalostí budoucího průběhu referenční trajetorie je schopen tuto soustavu řídit velmi dobře. Z průběhů ačních zásahů je vidět, že MPC reaguje na změnu referenční trajetorie 5 s předem. o odpovídá součinu P = 5,5 = 5 s. s V případě referenční trajetorie ve tvaru lineárně narůstající funce je MPC se znalostí budoucího průběhu referenční trajetorie schopen velmi přesně sledovat referenční trajetorii (obráze 5.5). Chová se, jao by obsahoval alespoň dva sumační členy. Protože z teorie řízení plyne, aby byl výstup schopen přesně sledovat lineárně narůstající žádanou hodnotu, musí být v otevřené smyčce přítomnost alespoň dvou sumačních členů. V MPC je implementováno omezení ačního zásahu u, proto se taé snaží MPC v blízosti tohoto omezení (t = až s) předstihnout průběh referenční trajetorie, aby byl výstup déle schopen sledovat referenční trajetorii. MPC s neznalostí budoucích hodnot referenční trajetorie sleduje referenční trajetorii s určitou onstantní odchylou. Stejně se chová i PSD regulátor. Při lineárně narůstající poruše (obráze 5.6) se výstup ustálí s onstantní odchylou od referenční trajetorie.

48 48 r, y Vystup ze soustavy Acni zasah r v y ast y sum u ast u sum u Obráze 5.3: Průběhy MPC se sumační složou v algoritmu (y sum, u sum ) a na výstupu regulátoru (y ast, u ast v t = 8 s přichází na vstup soustavy soová změna poruchy ( s =, s; P = 5, M = 5, α =, řízená soustava F (s)) 4 Vystup ze soustavy r, y Acni zasah 5 r y s y b u s u b u Obráze 5.4: Průběhy MPC se znalostí referenční trajetorie (y s, u s ) a bez znalosti referenční trajetorie (y b, u b při regulaci soustavy s neminimální fází F 3 (s) ( s =,5 s; P = 5, M = 5, α = )

49 49 Vystup ze soustavy 8 r, y 6 4 r y s y b Acni zasah u s u 5 u b Obráze 5.5: Odezva MPC na lineárně narůstající referenční trajetorii se znalostí referenční trajetorie (y s, u s ) a bez znalosti referenční trajetorie (y b, u b ( s =, s; P = 5, M = 5, α =, řízená soustava F (s)).8 Vystup ze soustavy.6 r, y Acni zasah.4 u Obráze 5.6: Odezva MPC na lineárně narůstající poruchu o směrnici =,5 ( s =, s; P = 5, M = 5, α =, řízená soustava F (s))

50 5 6. POROVNÁNÍ MPC S PSD REGULÁOREM Po úspěšném vložení sumační složy do MPC je vhodné jej porovnat s PSD regulátorem. Pro porovnání regulátorů byly použity soustavy: ( s) F = (6.) ( s) ( s + )( s + ) F 4 = (6.) ( s) s ( s + ), F 5 = (6.3) ( s) ( 3s + )( s + ),4 F 6 = (6.4) ( s + )( s + ) Jao pevně nastavený regulátor byl použit disrétní PSD regulátor s dynamicým omezením přebuzení a filtrací derivační složy daný rovnicí s z z FR ( z) = K R+ + L s N (6.5) ( z ) I D e z L s N D e (6.6) = D s de s je perioda vzorování, K R je zesílení regulátoru, I je integrační onstanta, D je derivační onstanta, N je filtrační oeficient. Vztah (6.6) byl zísán z [6]. 6. POROVNÁNÍ MPC S PSD REGULÁOREM PŘI SKOKOVÉ ZMĚNĚ PORUCHY Aby bylo porovnání adevátní, je u MPC vypnuta znalost budoucího průběhu referenční trajetorie. A je použito pouze omezení veliosti ačního zásahu u ta, jao u použitého PSD regulátoru. Model řízené soustavy byl zísán offline před začátem regulace. Nejdříve byla použita soustava F (s) (6.). Parametry PSD regulátoru byly nejdříve hrubě nastaveny metodou Ziegler - Nichols pro omezení mitavého průběhu [5] a pa doladěny metodou pous omyl ta, aby byl přechodný děj co nejratší. Pro soustavu F (s) jsou parametry PSD regulátoru

51 5 následující: K R = 6,5, I = 5 s, D =,75 s, t = s a N = 3 při s =,5 s. Pomocí doladění parametrů PSD regulátoru bylo docíleno o něco rychlejšího přechodného děje než u MPC (obráze 6.). Ovšem je nutné upozornit, že MPC v tomto případě nezná budoucí průběh referenční trajetorie. MPC je schopen vyregulovat poruchu o něco rychleji než PSD regulátor. PSD regulátor by šel nastavit i ta, aby poruchu vyreguloval rychleji než MPC, pa lze ovšem očeávat, že odezva na změnu žádané hodnoty bude pomalejší a více mitavá. r, y Vystup ze soustavy 4 3 r v y MPC - y PSD Acni zasah u MPC u PSD u Obráze 6.: Porovnání PSD regulátoru (y PSD, u PSD ) s MPC ( s =,5 s; P = 5, M = 5, α =,) (y MPC, u MPC ) bez znalosti referenční trajetorie při regulaci soustavy F (s) Při regulaci soustavy s astatismem F 4 (s) (6.) byl PSD nastaven podle metody Ziegler - Nichols pro omezení mitavého průběhu: K R =,5, I = 6,9 s, D =,86 s, t = 3,8 s a N = 3 při s =, s. Protože se jedná o soustavu na mezi stability, je řízení soustavy s astatismem náročnější. Průběhy jsou zobrazeny na obrázu 6.. Zde již MPC dává mnohem lepší odezvy s menším přemitem než PSD regulátor.

52 5 Vystup ze soustavy r, y r v y MPC y PSD Acni zasah u MPC u PSD u Obráze 6.: Porovnání PSD regulátoru (y PSD, u PSD ) s MPC ( s =, s; P = 5, M = 5, α =,) (y MPC, u MPC ) bez znalosti referenční trajetorie při regulaci soustavy s astatismem F 4 (s) 6. POROVNÁNÍ MPC S PSD REGULÁOREM PŘI ZMĚNĚ DYNAMIKY SOUSAVY Změna dynamiy soustavy se provádí soovou změnou jedné řízené soustavy na jinou v t = 64 s. Nejdříve byla vyzoušena možnost přepnutí soustavy z rychlejší dynamiou F 5 (s) (6.3) na pomalejší F (s) (6.). Pevně nastavený PSD měl parametry: K R =,8, I = 5 s, D =,4 s, t = s a N = 3 při s =,5 s. yto parametry byly opět zísány metodou Ziegler - Nichols pro omezení mitavého průběhu, a pa již jen doladěny na ratší přechodný děj. Z obrázu 6.3 je vidět, že ja PSD, ta MPC jsou schopny i po změně dynamiy soustavy ji dále úspěšně řídit. Odezva na změnu referenční trajetorie je již ale více mitavá. MPC je schopen regulovat změněnou soustavu s nulovou ustálenou odchylou díy tomu, že je v něm přítomen sumační člen, terý rozdíl mezi výstupem modelu soustavy a výstupem řízené soustavy ompenzuje. aé je možné si všimnout, že při změně dynamiy (v t = 64 s) dává MPC více mitavé ační zásahy než se ustálí.

53 53 5 Vystup ze soustavy r, y r y MPC y PSD Acni zasah u - u MPC u PSD Obráze 6.3: Porovnání PSD regulátoru (y PSD, u PSD ) s MPC ( s =,5 s; P = 5, M = 5, α =,) (y MPC, u MPC ) bez znalosti referenční trajetorie při změně soustavy z F 5 (s) na F (s) v t = 64 s 6 Vystup ze soustavy r, y r y MPC y PSD u MPC Acni zasah u PSD u Obráze 6.4: Porovnání PSD regulátoru (y PSD, u PSD ) s MPC ( s =,5 s; P = 5, M = 5, α =,) (y MPC, u MPC ) bez znalosti referenční trajetorie při změně soustavy z F (s) na F 5 (s) v t = 64 s

54 54 V případě, že proběhne změna dynamiy v opačném směru, z pomalejší soustavy F (s) (6.) na rychlejší F 5 (s) (6.3), je situace mnohem zajímavější (obráze 6.4). Parametry PSD regulátoru jsou opět nastaveny pro omezení mitání a následně doladěny na: K R = 6,5, I = 5 s, D =,75 s, t = s a N = 3 při s =,5 s. I dyž má PSD regulátor velmi mitavou odezvu, je stále ještě schopen regulovat soustavu. Za to MPC již ztrácí ontrolu nad řízenou soustavou. Při dalším zrychlení řízené soustavy selhává při regulaci i PSD regulátor. Z těchto průběhů se dá usoudit, že MPC je více náchylný na změnu dynamiy soustavy než pevně nastavený PSD regulátor. o je nejvíce ovlivněno tím, že model soustavy v MPC neodpovídá řízené soustavě a vypočtené ační zásahy nejsou adevátní řízené soustavě. Kmitání ačního zásahu nejvíce ovlivňuje přítomnost sumačního členu v MPC. Se změnou dynamiy si snadněji než MPC s pevně nastaveným modelem poradí adaptivní MPC, terý provádí identifiaci průběžně i během regulace. Na obrázu 6.5 je zobrazena stejná situace ja v předešlém případě (změna dynamiy z pomalejší soustavy F (s) (6.) na rychlejší F 5 (s) (6.3)), jen je použit adaptivní MPC. Pro adaptivní MPC byla použita průběžná identifiace s metodou učení L-M s parametrem δ =, a s počtem vzorů o 5 prvcích a iterací. Adaptivní MPC se po změně řízené soustavy postupně adaptuje na novou soustavu F 4 (s). Při změně referenční trajetorie v t = 7 s není MPC ještě plně adaptován. o je převážně ovlivněno tím, že paměť vzorů u identifiační metody ještě není atualizována pro soustavu F 5 (s). Počet vzorů byl nastaven na hodnotu 5, tzn. že při vzorování po,5 s je v paměti posledních 5 s. Proto je při změně žádané hodnoty v t = 8 s již MPC správně adaptován. PSD regulátor je nastaven se stejnými parametry jao v předešlém případě. Aby se i PSD regulátor přizpůsobil změněné soustavě, je vhodné použít adaptivní PSD regulátor. Na obrázu 6.6 je zobrazena změna soustavy z F (s) (6.) na F 6 (s) (6.4) s tím rozdílem, že místo pevně nastaveného PSD je použit adaptivní PSD regulátor s identifiačním algoritmem založeným na metodě L-M. Nastavení identifiační části je u PSD stejné jao u MPC. Výpočet parametrů PSD regulátoru se provádí metodou Ziegler Nichols pro omezení mitavého průběhu. Z průběhů je patrné, že se oba regulátory postupně adaptují na novou soustavu.

55 55 6 Vystup ze soustavy r, y r y MPC y PSD u MPC Acni zasah u PSD u obráze 6.5: Porovnání PSD regulátoru (y PSD, u PSD ) s adaptivním MPC ( s =,5 s; P = 5, M = 5, α =,) (y MPC, u MPC ) bez znalosti referenční trajetorie při změně soustavy z F (s) na F 5 (s) v t = 64 s 6 Vystup ze soustavy r, y 4 - r y MPC y PSD Acni zasah u MPC u PSD u Obráze 6.6: Porovnání adaptivního PSD regulátoru (y PSD, u PSD ) s adaptivním MPC ( s =,5 s; P = 5, M = 5, α =,) (y MPC, u MPC ) při změně soustavy z F (s) na F 6 (s) v t = 64 s

56 VIZUALIZAČNÍ PROSŘEDÍ Bylo vytvořeno jednoduché vizualizační prostředí, teré umožňuje porovnání průběhů MPC s PSD regulátorem. Po odsimulování jsou zobrazeny výsledné průběhy výstupu a ačního zásahu. Program umožňuje nastavit parametry regulované soustavy do třetího řádu. Dále je možné volit amplitudu a periodu obdélníové referenční trajetorie, taé je možné nastavit soovou poruchu působící na vstup soustavy. PSD regulátor je realizován s dynamicým omezením přebuzení a s filtrací derivační složy, přenos je dán vztahem (6.5), (6.6). Je možné určit zda MPC bude znát budoucí průběh referenční trajetorie. Další možností je použití adaptivní varianty MPC. Zde je před začátem regulace řízená soustava zidentifiována metodou RLS a s tato zísanými parametry soustavy je pa započata regulace. Adaptivní MPC používá pro průběžnou identifiaci během regulace metodu RLS s λ =, 995. U MPC je možné nastavit horizont predice i řízení, penalizaci změny ačního zásahu a omezení týající se změny a veliosti ačního zásahu. Perioda vzorování je společná pro MPC i PSD regulátor. Obráze 6.7: Hlavní obrazova vizualizačního prostředí