DIPLOMOVÁ PRÁCE 2008 Jiří Chuman

Transkript

1 ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA ELEKTROTECHNICKÁ DIPLOMOVÁ PRÁCE 8 Jiří Chuman

2

3 ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA ELEKTROTECHNICKÁ KATEDRA ŘÍDÍCÍ TECHNIKY DIPLOMOVÁ PRÁCE Apliace moderních metod řízení na modelu Vodárna TQ 8 Jiří Chuman

4 Prohlášení Prohlašuji, že jsem svou diplomovou ( baalársou) práci vypracoval samostatne a použil jsem pouze podlady (literaturu, projety, SW atd.) uvedené v priloženém seznamu. V Praze dne./1:'-/ L~'t7.f, ~'--I.A'--... Jirí Chuman

5 Poděování Rád bych na tomto místě poděoval především mému vedoucímu diplomové práce Ing. Jiřímu Roubalovi, Ph.D. za posytnutí onzultací při řešení této práce. Dále bych rád poděoval svým rodičům za podporu na studiu a všem, bez terých by tato práce nemohla vzninout. ii

6 Abstrat Tato práce se zabývá identifiací modelu vodárna TQ a návrhem vadraticy optimálního preditivního MPC (Model Based Predictive Control) regulátoru. Při identifiaci dostaneme všechny parametry potřebné vytvoření matematicého modelu potřebného pro návrh regulačních prvů. Preditivní regulátor řeší úlohu vadraticy optimálního řízení, de návrh regulátoru je formulován jao optimalizační problém. Návrh optimálního regulátoru spočívá v nastavení parametrů vhodně zvoleného optimalizačního ritéria. Vzhledem tomu, že měření výstupů na reálném systému je zatíženo velou chybou, použijeme pro odhad stavů rozšířený Kalmanův filtr jao optimálního pozorovatele stavu a přidáme ho do regulační smyčy s regulátorem. Navržené regulační prvy porovnáme s lasicými metodami návrhu, s regulátorem typu PID (proporcionálně-integračně-derivační). iii

7 Abstract This wor deals with the identification of watertan model TQ and with the project of quadratic optimal predictive MPC (Model Based Predictive Control) controller. During identification we get all parametrs needed to creating mathematics model which is useful for concept of control members. Predictive controller solves a tas quadratic optimal proceeding, where concept of controller is formulated as optimalizating problem. The concept of optimal controller rests in configuration of properly elected optimalizating criteriums of parameters. Considering the fact, that observation outputs of real system is loaded by big error, we will use extended Kalman filter as optimal state observer for assessement of states and we add it to control loop with controller. We compare designed control members with clasic methods of the concept, with type controller PID (proportional-integral-derivative ). iv

8 Cesé vysoé ucení technicé v Praze -Faulta eletrotechnicá. Katedra rídicí techniy Šolní ro: /7 ZADÁNÍ DIPLOMOVÉ PRÁCE Student: Bc. Jirí C h um an Obor: Název tématu: Technicá ybernetia Apliace moderních metod rízení na modelu Vodáma TQ Zásady pro vypracování: 1. Provedte identifiaci laboratorního modelu a overte její správnost.. Navrhnete neoli porocilých algoritmu rízení a otestujte je na simulinovém modelu. 3. Apliujte porocilejší rízení na reálný laboratorní model. Seznam odborné literatury: [1] Havlena, V.: Moderní teorie rízení - Doplnové sriptum. Praha. [] Roubal, J.; Pear, 1.; Pachner, D.; Havlena, V.: Moderní teorie rízení - Cvicení. Praha 5. [3] Franlin, G.F.; Powel,J.D.; Emami-Naeini,A.: Feedbac Control ofdynamic Systems. Prentice Hall,. Vedoucí diplomové práce: Ing. Jirí Roubal, Ph.D. Termín zadání diplomové práce: zimní semestr /7 Termín odevzdání diplomové práce: leden 8 ~jj /11 C,f/\1', prof. Ing. Michael Šebe, DrSc. vedoucí atedry ~tj prof. Ing. Zbyne Švor, CSc. dean V Praze dne 1..7

9 Obsah 1 Úvod 1 Vodárna TQ popis systému.1 Matematicý model vodárny Identifiace systému Určení onstant 1, c a d Identifiace onstant p a v Úprava nelineárního modelu Linearizace modelu systému MPC regulátor Numericý tvar MPC regulátoru Analýza návrhu MPC regulátoru MPC regulátor vážící změnu řízení MPC regulátor s integračním členem MPC regulátor s disrétním integrátorem Regulace vodárny TQ PID regulátor Návrh MPC regulátoru Porovnání MPC regulátoru s PID regulátorem Návrh MPC regulátoru s Kalmanovým filtrem Kalmanův filtr Formulace problému Rozšířený Kalmanův filtr Závěr 51 Literatura 54 A Obsah přiloženého CD 55 v

10 Seznam obrázů.1 Obecné schéma Vodárny TQ.... Vodárna TQ reálný fyziální model Simulinové schéma nelineárního modelu vodárny Staticá převodní charateristia čerpadla....5 Převodní charateristia snímače hladiny h Převodní charateristia snímače hladiny h Lineární a nelineární model vodárny v Simulinu v Matlabu Změna vstupního napětí u 1 = 5,7 V Odezva hladiny v prvním válci na změnu vstupu pro pracovní bod u 1 = 5,7 V, h 1 = 1, cm, h = 5 cm Odezva hladiny v druhém válci na změnu vstupu pro pracovní bod u1 = 5,7 V, h1 = 1, cm, h = 5 cm Změna vstupního napětí u 1 = 5,985 V Odezva hladiny v prvním válci na změnu vstupu pro pracovní bod u 1 = 5,985 V, h 1 = 15,9 cm, h = 7,55 cm Odezva hladiny v druhém válci na změnu vstupu pro pracovní bod u 1 = 5,985 V, h 1 = 15,9 cm, h = 7,55 cm Přechodové charateristiy lineárních modelů s přenosy G P1 a G P Vliv rozběhu čerpadla Vliv rozběhu čerpadla v detailu Simulační schéma systému s MPC regulátorem Průběh ační veličiny s MPC regulátorem vážící amplitudu ačního zásahu Průběh výstupu systému s MPC regulátorem vážící amplitudu ačního zásahu Průběh regulační odchyly Průběh ační veličiny s MPC regulátorem vážící změnu ačního zásahu 3 3. Průběh výstupu systému s MPC regulátorem vážící změnu ačního zásahu Průběh ační veličiny s MPC regulátorem a integrátorem vážící amplitudu ačního zásahu Průběh výstupu systému s MPC regulátorem a integrátorem vážící amplitudu ačního zásahu Průběh ační veličiny s MPC regulátorem a integrátorem vážící změnu ačního zásahu Průběh výstupu systému s MPC regulátorem a integrátorem vážící změnu ačního zásahu Průběh ační veličiny s MPC regulátorem a sumátorem regulační odchyly vážící amplitudu ačního zásahu Průběh výstupu systému s MPC regulátorem a sumátorem regulační odchyly vážící amplitudu ačního zásahu... 9 vi

11 3.13 Průběh regulační odchyly s MPC regulátorem a sumátorem regulační odchyly vážící amplitudu ačního zásahu Průběh ační veličiny s MPC regulátorem a sumátorem regulační odchyly vážící změnu ačního zásahu Průběh výstupu systému s MPC regulátorem a sumátorem regulační odchyly vážící změnu ačního zásahu Průběh regulační odchyly s MPC regulátorem a sumátorem regulační odchyly vážící změnu ačního zásahu Průběh ační veličiny s MPC regulátorem a sumátorem regulační odchyly při omezení rychlosti změny ační veličiny Průběh výstupu systému s MPC regulátorem a sumátorem regulační odchyly při omezení rychlosti změny ační veličiny Regulační obvod vodárny TQ s PID regulátorem Ační zásah PID regulátoru Výstup hladiny h ve druhém válci s PID regulátorem Regulační obvod vodárny TQ s MPC regulátorem Ační zásah s MPC regulátorem vážící amplitudu ační veličiny a pro váhu řízení Q/R= Výstup hladiny h ve druhém válci s MPC regulátorem vážící amplitudu ační veličiny a pro váhu řízení Q/R= Ační zásah s MPC regulátorem vážící změnu ační veličiny a pro váhu řízení Q/R=1, Δu= Výstup hladiny h ve druhém válci s MPC regulátorem vážící změnu ační veličiny a pro váhu řízení Q/R=1, Δu= Ační zásah s MPC regulátorem a sumátorem regulační odchyly vážící amplitudu ační veličiny a pro váhu řízení Q/R=1 3 a Q se = Výstup hladiny h ve druhém válci s MPC regulátorem a sumátorem regulační odchyly vážící amplitudu ační veličiny a pro váhu řízení Q/R=1 3 a Q se = Porovnání ačního zásahu s MPC regulátorem a sumátorem regulační odchyly vážící amplitudu ační veličiny a pro váhu řízení Q/R= Porovnání výstupu hladiny h ve druhém válci s MPC regulátorem a sumátorem regulační odchyly vážící amplitudu ační veličiny a pro váhu řízení Q/R= Ační zásah s MPC regulátorem a sumátorem regulační odchyly vážící změnu ační veličiny a pro váhu řízení Q/R=1 1, Q se =1-1, Výstup hladiny h ve druhém válci s MPC regulátorem a sumátorem regulační odchyly vážící změnu ační veličiny a pro váhu řízení Q/R=1 1, Q se =1-1, Porovnání ačního zásahu s MPC regulátorem a sumátorem regulační odchyly vážící změnu ační veličiny a pro váhu řízení Q/R= Porovnání výstupu hladiny h ve druhém válci s MPC regulátorem a sumátorem regulační odchyly vážící změnu ační veličiny a pro váhu řízení Q/R= vii

12 4.17 Ační zásah s MPC regulátorem vážící amplitudu ační veličiny pro Q=1 3 a Q se = Výstup hladiny h ve druhém válci s MPC regulátorem vážící amplitudu ační veličiny pro Q=1 3 a Q se = Průběh ačního zásahu regulátorů Průběh výstupu hladiny h ve druhém válci Průběh ačního zásahu regulátorů Průběh výstupu hladiny h ve druhém válci Regulační obvod vodárny TQ s MPC regulátorem a pozorovatelem stavu Ační zásah s MPC regulátorem a Kalmanovým filtrem vážící amplitudu ační veličiny Průběh výstupu hladiny h ve druhém válci s MPC regulátorem a Kalmanovým filtrem vážící amplitudu ační veličiny Ační zásah s MPC regulátorem a Kalmanovým filtrem vážící změnu ační veličiny Průběh výstupu hladiny h ve druhém válci s MPC regulátorem a Kalmanovým filtrem vážící změnu ační veličiny Průběh ačního zásahu regulátorů Porovnání výstupu hladiny h ve druhém válci s MPC regulátory a PID regulátorem... 5 viii

13 Kapitola 1 Úvod Pod pojmem regulace se srývá mnoho významů. S tímto pojmem se setáváme v různých oborech a má jeden společný význam a to je udržování, usměrňování stálých hodnot objetu. Objetem může být ja živý organismus, subjet a nebo technologicý proces. V přírodě se vysytuje velé množství přírodním pochodů, teré představují regulační proces, intuitivně o nich víme, ale nepřemýšlíme o nich. Přemýšlet o nich až v případě, dostaneme-li za úol něco regulovat a nebo řídit. My se zaměříme na regulaci vodní hladiny ve dvou nádržích. Úolem této práce je identifiace modelu vodárna TQ a následný návrh poročilých metod řízení pro zadaný model. Model je umístěn v laboratoři K atedry řídicí techniy faulty eletrotechnicé. Pro návrh regulátorů vycházíme z matematicého modelu systému, terý zísáme identifiací modelu popsaného v apitole. Po zísání všech parametrů matematicého modelu provedeme linearizaci ve zvoleném pracovním bodě a porovnáme vytvořený matematicý model s reálným modelem. Po identifiaci dostaneme stavový popis systému, terý využijeme pro návrh MPC regulátoru (preditivního) [8], [9], popsaný v apitole 3. Tento regulátor patří do oblasti vadraticy optimálního řízení, de návrh regulátoru je formulován jao optimalizační problém. Návrh optimálního regulátoru spočívá v nastavení parametrů optimalizačního ritéria. V teorii řízení je nejčastěji používané vadraticé ritérium, protože úlohy jsou poměrně snadno řešitelné a regulátory mají dobré vlastnosti i z hledisa robustnosti. Volba tvaru ritéria závisí na požadované úloze řešení a je třeba ho formulovat ta, aby optimalizační úloha byla řešitelná v reálném čase, a aby vlastnosti regulátoru odpovídaly praticému použití. V této apitole se taé zaměříme na analýzu návrhu při použití na nelineárním systému. Protože výstupy reálného modelu jsou silně ovlivněny šumem a ační zásah navržených regulátorů je silně ovlivněn poruchou, navrhneme rozšířený Kalmanův filtr [8], [14] jao optimální pozorovatel stavu pro nelineární systémy. Touto problematiou se budeme zabývat v apitole 4. Při návrhu je důležité mít dobře identifiovaný model, aby odhad stavů systému Kalmanovým filtrem byl přesný a lze ho použít na reálném modelu vodárny. V této apitole taé porovnáme výsledy všech navržených regulátorů s PID regulátorem na reálném modelu a porovnáme použití MPC regulátoru s Kalmanovým filtrem. Pro modelování systému a návrhu regulačních prvů budeme používat Realtime Toolbox v Matlabu, terým je připojen model PC a Simulin pro Matlab. To vše od firmy MathWors. 1

14 Kapitola Vodárna TQ popis systému Fyziální model Vodárna TQ na obr..1 představuje systém pro řízení výše hladin h 1 a h ve dvou zásobnících o onstantním průřezu S 1 = S při proměnném přítou a odběru apaliny. Příto apaliny do prvního (levého) zásobníu je ovládán vstupním čerpadlem, z prvního zásobníu odtéá apalina přepouštěcím ventilem V p do druhého zásobníu, odtud je vypouštěna výtoovým ventilem V v ven ze systému. Obr..1: Obecné schéma Vodárny TQ Výšy obou hladin h 1 a h jsou snímány ultrazvuovými snímači a převáděny na napěťové signály, teré lze měřit po převedení A/D převodníem RT Toolboxem Matlabu jao bezrozměrná čísla.. Výstupem ze systému je výša hladin h 1 a h v zásobnících. Zásobníy jsou opatřeny stupnicí a proto lze hladinu odečítat přímo na fyziálním modelu obr.. v centimetrech. Vstupem do systému je napětí u 1 [V] v rozsahu ;1 V ovládající zesilovač motoru čerpadla. Tuto hodnotu lze nastavit zadáním bezrozměrného čísla v rozsahu ;1 pomocí RT Toolboxu Matlabu [1], de je převedeno D/A převodníem a přivedeno na zesilovač 1 motoru čerpadla.

15 KAPITOLA. VODÁRNA TQ - POPIS SYSTÉMU 3 Pro záladní popis systému budeme předpoládat ideální model vodárny. Čerpadlo přivádí apalinu do prvního válce, de na záladě toho dochází e zvyšování výšy hladiny h 1. Z první nádrže přitéá apalina přepouštěcím ventilem V p do druhé nádrže, ve teré měříme výšu hladiny h. Za běžného provozu je výša v prvním zásobníu větší než ve druhém. Výto z druhého válce je řízen výpustním ventilem V v. Oba dva ventily jsou ovládány ručně. Přepouštěcí ventil lze popsat oeficientem p, ve terém je zahrnuta plocha ventilu, tvarový oeficient ventilu, visozita apaliny (v našem případě vody) a ideální rychlost apaliny. Stejným způsobem lze popsat i výtoový ventil oeficientem v. Oba oeficienty určíme experimentálně měřením. Poud bude vstupní napětí zesilovače čerpadla onstantní a na model vodárny nebudou působit žádné další vnější vlivy, dojde po odeznění přechodových dějů uvedení systému do rovnovážného stavu pracovního bodu, dy výšy hladin v obou nádržích se nemění a příto z první nádrže se rovná odtou z druhé nádrže. Detailnější popis lze nalézt např. v [1]. Obr..1 byl převzat ze zadání laboratorní úlohy Vodárna TQ z předmětu X35SRI (FUKA, J. et al., Obr..: Vodárna TQ reálný fyziální model.1 Matematicý model vodárny V předchozím odstavci jsme popsali námi zoumaný systém a na záladě toho odvodíme matematicý model. Tento model byl vytvořen v rámci baalářsé práce viz [], ale provedeme ověření pro zísání přesnějšího modelu. K vytvoření popisu vyjdeme ze záona zachování hmotnosti a záona zachování energie pro hydraulicé systémy [3].

16 KAPITOLA. VODÁRNA TQ - POPIS SYSTÉMU 4 Pro objemové toy q 1 [m 3 /s], q p [m 3 /s] a q v [m 3 /s] podle [3] platí q 1( t) = 1u1( t), (.11) q () t = h() t h () t pro h() t > h (), t (.1) p p 1 1 qv ( t) = vv( t) h ( t), (.13) de 1 [m 3 /Vs] je onstanta čerpadla, u 1 [V] je vstupní napětí a v[-] představuje otevření výstupního ventilu V v. Pro hodnotu v = je ventil zcela uzavřen a pro hodnotu v = 1 je ventil otevřen. Význam onstant p a v byl vysvětlen v předchozí apitole. Pro výstupní hladiny h 1 [-] a h [-] platí y () t = h() t + o, 1 c 1 1 y () t = h () t + o, d de y 1 [cm], y [cm] jsou výstupní hladiny v nádržích a onstanty c [cm] a d [cm] přepočítávají bezrozměrné výšy hladin odečtené ze senzorů jednotlivých zásobníů na hodnotu udávanou přímo na stupnici reálného modelu v centimetrech. Proměnné o 1 [cm] a o [cm] jsou offsety obou snímačů hladin. Jedná se o poruchové veličiny, teré je třeba před aždým měřením zohlednit na reálném modelu. Nyní vyjádříme změnu objemového tou pro obě nádrže tato ΔV1 ( t) = q1( t) q Δt ΔV ( t) = q p ( t) q Δt Pro Δt lze rovnice přepsat na diferenciální tvar. Dosadíme-li za objemové toy z rovnic (.11), (.1) a (.13) a onstantním průřezy obou nádrží započítáme do onstant p a v, dostáváme stavové rovnice systému pro výšu hladin p v ( t), ( t). h t) = p h ( t) h ( t) + u ( ), (.14) 1( t h t) = h ( t) h ( t) v( t) h ( ), (.15) ( p 1 v t y () t = h() t + o, (.1) 1 c 1 1 y () t = h () t + o. (.17) d Stavové rovnice nám říají, že se jedná o nelineární model druhého řádu se vstupním vetorem [ ] T T u = u v, stavovým vetorem x = h h ] a výstupním vetorem 1 [ 1 y = [ y1 y] T. Pomocí těchto stavových rovnic můžeme zonstruovat matematicý model pomocí Simulinu v Matlabu, viz obr..3.

17 KAPITOLA. VODÁRNA TQ - POPIS SYSTÉMU 5 Obr..3: Simulinové schéma nelineárního modelu vodárny Pro ověření správnosti námi vytvořeného modelu musíme určit onstanty 1, c, d, p a v ta, aby matematicý model odpovídal modelu reálnému. Určení onstant 1, c, d, p a v bude popsáno v další apitole.. Identifiace systému V této apitole popíšeme způsob určení onstant nelineárního modelu. Při identifiaci se na model díváme jao na systém s jedním vstupem u 1 a jedním výstupem y, jeliož nás zajímá výša ve druhém zásobníu h. Námi vytvořený nelineární model porovnáme s reálným modelem v prostředí Simulin v Matlabu, de můžeme porovnat vlastnosti námi vytvořeného matematicého modelu s modelem reálným...1 Určení onstant 1, c a d Pro určení onstanty čerpadla 1 musíme zjistit závislost mezi množstvím přitéající apaliny na vstupním napětí čerpadla. Množství přitéající apaliny určíme jao poměr změny hladiny v prvním zásobníu za určitou časovou jednotu. Při měření se uázalo, že čerpadlo má pásmo necitlivosti v intervalu ; V. Ze staticé převodní charateristiy, terou jsme aproximovali lineární regresní přímou obr..4, jsme z rovnice regresní přímy zjistili hodnotu onstanty čerpadla =,8 1 m3 /Vs.

18 KAPITOLA. VODÁRNA TQ - POPIS SYSTÉMU 8 7 q 1 [mm 3 /s] u 1 [V] Obr..4: Staticá převodní charateristia čerpadla Převodní charateristia snímačů hladin h 1 a h udává závislost bezrozměrné výšy hladiny odečtené pomocí snímačů na výšce hladiny odečtené na stupnici reálného modelu. Při jejím změření se uázalo, že vodárna má nenulové hladiny pro nulové hodnoty odečtené pomocí snímačů. Proto je nutné tuto hodnotu zohlednit v onstantách o 1 a o pro obě hladiny. Toho lze dosáhnout proložením převodní charateristiy lineární regresní přímou viz obr..5 a obr y 1 [cm] h 1 [-] Obr..5: Převodní charateristia snímače hladiny h 1

19 KAPITOLA. VODÁRNA TQ - POPIS SYSTÉMU y [cm] h [-] Obr..: Převodní charateristia snímače hladiny h Po této úpravě dostáváme onstanty obou snímačů =31,541 cm, o 1 =,8 cm, c =,51 cm, o =,93 cm. d.. Identifiace onstant p a v Konstanty lze identifiovat dvěma způsoby měření. Pro obě měření nastavíme přepouštěcí ventil V p na hodnotu 5 a odtoový ventil V v na hodnotu 3. První způsob je měření n rovnovážných stavů u 1, h 1, h. Po dosazení do rovnic (.14) a (.15) vypočítáme pro aždý rovnovážný stav onstanty pi a vi a následně určíme jejich průměr pro určení výsledných onstant p a v. p n = n = pi i= 1 i= 1, v n n vi. Druhá metoda spočívá v měření výtoových charateristi. Pro identifiaci onstanty p vyprázdníme druhou nádrž, naplníme první při uzavřených ventilech V p a V v. Poté vypneme čerpadlo (u 1 = ) a nastavíme přepouštěcí ventil V p do polohy 5 a měříme průběh výše hladin h 1 a h. Z naměřených hodnot určíme onstantu p. Pro určení onstanty v budeme postupovat obdobným způsobem. Napustíme druhou nádrž, uzavřeme ventil V p a ventil V v otevřeme do polohy 3. Změříme průběh výšy hladiny h a po dosazení do rovnice (.15) pro p = dostaneme hledanou onstantu v.

20 KAPITOLA. VODÁRNA TQ - POPIS SYSTÉMU 8 Pro náš systém dostáváme p v =,3 m,5 /s, =,15 m,5 /s. Výhodou první metody je její větší přesnost oproti druhé metodě, ale za cenu větší časové náročnosti. Druhá metoda je podstatně rychlejší a výsledné onstanty lze vyladit na samotném matematicém modelu v Simulinu ta, aby odpovídaly sutečnému modelu...3 Úprava nelineárního modelu Po dosazení onstant do nelineárního modelu a porovnání s reálným systémem zjistíme, že námi vytvořený model neodpovídá sutečnému systému vodárny. Výsledné průběhy budou od sebe vzájemně posunuty a i experimentálním laděním onstant nedosáhneme požadovaných vlastností nelineárního modelu s reálným. To je zapříčiněno tím, že při identifiaci jsme předpoládali, že všechny prvy vodárny jsou ideální. Experimentálně bylo zjištěno, že otvor pro výto z druhé nádrže je příliš malý a dochází jeho zahlcení a voda z něho nevytéá rovnoměrně. Proto je nutné počítat s tím, že výpustní ventil V v se chová jao zdroj odtou viz []. Tuto změnu musíme zahrnout i do stavové rovnice (.15). Zdroj odtou budeme aproximovat onstantou h v, jejíž hodnota byla experimentálně stanovena na h v =,8. Stavová rovnice (.15) se změní na h ( t) = p h1 ( t) h ( t) vv( t) h ( t) + h v Změna stavové rovnice se samozřejmě projeví i na výsledném matematicém modelu vytvořeném v Simulinu v Matlabu. Po této úpravě dostaneme nelineární model odpovídající reálnému systému. Hodnota onstanty h v závisí na otevření ventilu V v...3 Linearizace modelu systému Po identifiaci nelineárního systému určíme pracovní bod, ve terém provedeme linearizaci modelu a najdeme stavové matice A, B, C, D lineárního modelu. Pomocí těchto matic vyjádříme přenos mezi vstupním napětím čerpadla a výšou hladiny ve druhé nádrži h. Lineární model systému dostaneme linearizací nelineárního modelu v námi zvoleném pracovním bodě u 1, h 1, h, v. Pracovní bod nevolíme v extrémních stavech systému, ale volíme taové hodnoty, terých je systém schopen dosáhnout za běžných provozních podmíne. Linearizaci nelineárního modelu provedeme podle [4], [5] a vysledné rovnice dostáváme ve tvaru p p Δh 1( t) = Δh1 ( t) + Δh ( t) + 1Δu( t), (.18) h h h h 1 1

21 KAPITOLA. VODÁRNA TQ - POPIS SYSTÉMU 9 v p p v Δh ( t) = Δh1 ( t) + Δh ( t), (.19) h1 h h1 h h h + v de h t) = h ( t), Δ y t) = h ( ), (.) ( Δ 1 c 1 t Δ y t) = h ( ), (.1) ( Δ d t Δ 1( 1 h1 h ( t) = h ( t) h Δ a Δ u t) = u ( t). ( 1 u1 Při linearizaci nelineárního modelu bereme v úvahu onstantní nastavení výstupního ventilu V v, proto v rovnici (.19) neuvažujeme proměnnou v(t) za proměnnou, ale za onstantu v. Konstantu pro otevření ventilu v nebudeme dále uvádět jao samostatný vstup, ale zahrneme ji do onstanty p. Z předchozích rovnic dostáváme matici systému A a matici řízení B pro vnitřní popis systému p p h1 h h1 h 1 A =, B = p p vv. (.) h1 h h1 h h + hv Výstupní matice mají tvar C = [ ], = [ ] d D. Z těchto matic je možné vyjádřit vnější popis systému pomocí přenosu mezi vstupním napětím čerpadla u 1 a výstupní výšou hladiny h. Přenosová funce G(s) je definována jao Gs ΔY () s Cadj( si A) B = = C I A B+ D = + D ΔU () s det( si A) 1 () ( s ), 1 (.3) G( s) = s + h 1 p h + h v v h d 1 + h p v 1 h s + 4 h p + h v v v h 1 h.

22 KAPITOLA. VODÁRNA TQ - POPIS SYSTÉMU 1 Dosadíme-li do vzorce (.3) pracovní bod u 1 = 5,7 V, h 1 = 1, cm, h = 5 cm, dostaneme výsledný přenos ve tvaru G P1 () s ΔY ( s) 9,1 Δ + +. (.4) = = U1( s) 34,9s 7,97s 1 Pro pracovní bod u 1 = 5,985 V, h 1 = 15,9 cm, h = 7,55 cm dostaneme výsledný přenos ve tvaru G P () s ΔY ( s) 95,14 Δ + +. (.5) = = U1( s) 3353,5s 8,49s 1 Z rovnic (.4) a (.5) je patrno, že přenosy pro různé pracovní body se od sebe liší. Každý přenos charaterizuje systém pouze v jednom pracovním bodě. Ve výsledných přenosech je taé započtena onstanta d, terou můžeme výsledný přenos vydělit a počítat v bezrozměrných jednotách. Tuto onstantu zohledníme v samotném výstupu při měření výše hladin v centimetrech. Pro porovnání jsme zvolili dva pracovní body. Lineární model v těchto pracovních bodech budeme realizovat pomocí Simulinu v Matlabu obr..7 a porovnáme jeho vlastnosti s nelineárním modelem a sutečným systémem. Obr..7: Lineární a nelineární model vodárny v Simulinu v Matlabu Výsledy na odezvu pro změnu vstupního napětí o 5% z pracovního bodu u 1 = 5,7 V, h 1 = 1, cm, h = 5 cm lze porovnat na následujících obrázcích. Porovnávat budeme výstupní hladiny h 1 a h v obou nádržích.

23 KAPITOLA. VODÁRNA TQ - POPIS SYSTÉMU u 1 [V] Obr..8: Změna vstupního napětí u 1 = 5,7 V y 1 [cm] reálný model lineární model G P1 nelineární model Obr..9: Odezva hladiny v prvním válci na změnu vstupu pro pracovní bod u 1 = 5,7 V, h 1 = 1, cm, h = 5 cm

24 KAPITOLA. VODÁRNA TQ - POPIS SYSTÉMU y [cm] reálný model lineární model G P1 nelineární model Obr..1: Odezva hladiny v druhém válci na změnu vstupu pro pracovní bod u 1 = 5,7 V, h 1 = 1, cm, h = 5 cm Nyní provedeme porovnání pro jiný pracovní bod u 1 = 5,985 V, h 1 = 15,9 cm, h = 7,55 cm. Porovnání budeme provádět opět pro změnu vstupního napětí o 5% z pracovního bodu u u 1 [V] Obr..11: Změna vstupního napětí u 1 = 5,985 V

25 KAPITOLA. VODÁRNA TQ - POPIS SYSTÉMU y 1 [cm] reálný systém lineární model G P nelineární model Obr..1: Odezva hladiny v prvním válci na změnu vstupu pro pracovní bod u 1 = 5,985 V, h 1 = 15,9 cm, h = 7,55 cm h [cm] reálný model nelineární model lineární model G P Obr..13: Odezva hladiny v druhém válci na změnu vstupu pro pracovní bod u 1 = 5,985 V, h 1 = 15,9 cm, h = 7,55 cm

26 KAPITOLA. VODÁRNA TQ - POPIS SYSTÉMU 14 Na obr..14 můžeme porovnat přechodové charateristiy obou výsledných lineárních modelů popsaných přenosy (.4) a (.5). Je patrné, že přechodové charateristiy pro oba zmíněné lineární nejsou zcela stejné, což je způsobeno tím, že reálný systém vodárny je nelineární Δ h [cm] lineární model G P1 lineární model G P Obr..14: Přechodové charateristiy lineárních modelů s přenosy G P1 a G P Z závěru ještě porovnáme vliv rozběhu čerpadla na chování celého systému, ta ja je doporučeno v popisu pro vodárnu viz [1]. Při měření se uázalo, že při návrhu lze zanedbat vliv rozběhu čerpadla vzhledem na pomalou dynamiu celého systému, ja uazuje analýza na nelineárním modelu na obr..15 a na obr..1 v detailu. V této apitole se podařilo identifiovat systém s dostatečnou přesností, ja uazuje obr..9 a obr..1. Pro zísání matematicého modelu jsme určili onstantu čerpadla =,8 1 m3 /Vs, onstantu přepouštěcího a vypouštěcího ventilu p =,3 m,5 /s, =,15 m,5 /s a onstanty obou snímačů hladin h 1 a h s příslušnými offsety c v =31,541 cm, o 1 =,8 cm, =,51 cm, o =,93 cm. d

27 KAPITOLA. VODÁRNA TQ - POPIS SYSTÉMU 15 Po zísání matematicého modelu jsme linearizovali nelineární model v pracovním bodě a zísali přenos popsaný rovnicí (.4), terý použijeme při dalších návrzích regulačních prvů. Při identifiaci se uázal jao důležitý prve při měření správné nastavení ventilů. Malá změna v nastavení otevření ventilů znamená velou změnu v chování celého systému a má vliv i na určení výsledných parametrů nelineárního modelu. Tato změna do značné míry má vliv i při samotném návrhu regulačních prvů pro reálný systém y [cm] zpozdeni 3s zpozdeni 5s zpozdeni 1s Obr..15: Vliv rozběhu čerpadla..4. y [cm] zpozdeni 3s zpozdeni 5s zpozdeni 1s Obr..1: Vliv rozběhu čerpadla v detailu

28 Kapitola 3 MPC regulátor V této apitole popíšeme problematiu MPC regulátoru a provedeme analýzu pro využití na nelineární systémy. Zaměříme se především na úpravu minimalizačního ritéria regulátoru, terý vychází z návrhu pro lineární systémy. Při řešení regulačních úloh se často prosazují úlohy preditivního řízení [], [7]. Technologie souhrnně nazývaná Model Based Predictive Control (MPC) nepopisuje onrétní řídicí strategii, ale velmi široou množinu metod zpracování signálu, teré jsou založené na optimalizaci zvolené riteriální funce stanovující cíle úlohy. Předností této metody je její jednoduchost, možnost použití na jednoduché i složitější procesy, systémy s jednoduchou dynamiou až po systémy s velým časovým zpožděním. Nejdůležitější vlastností ale zůstává možnost zahrnout požadavy na veličiny v řízeném procesu, jao je rychlost změny, veliost amplitudy apod. Nejčastěji se tato metoda používá pro sledování budoucí referenční trajetorie. Poud neznáme žádanou trajetorii po dobu predice, můžeme ji modelovat jao náhodnou procházu, více lze nalézt např. v [8], [9], [1]. Při návrhu MPC regulátoru vycházíme ze stavového popisu disrétního systému x( + 1) = Mx( ) + Nu( ), x() = x, y( ) = Cx( ) + Du( ), (3.11) de x() je stavový vetor, u() a y() je vstup a výstup systému, M, N, C a D jsou matice systému. Úlohou MPC regulátoru je najít taovou řídicí posloupnost u() na horizontu predice dély T p minimalizující ritérium + Tp 1 { [ ] [ ] } J = Q() i w() i y() i + R() i u() i x (). (3.1) i= de Q(i) je váha regulační odchyly v čase i, R(i) je váha řídicí veličiny a w(i) je referenční signál v čase i. Výraz představuje regulační odchylu v čase i. e() i = w() i y () i (3.13) Horizont predice T p udává dobu, po terou regulátor hledá optimální řídicí posloupnost podle ritéria (3.1). Volba závisí na onrétní apliaci použití a musíme brát ohled na to, že s rostoucí hodnotou rostou výpočetní nároy na řídicí systém. Na druhé straně zvolení malé hodnoty může vést e ztrátě stability regulačního obvodu. 1

29 KAPITOLA 3. MPC REGULÁTOR 17 Pro správnou činnost regulátoru musí horizont predice být dostatečně dlouhý viz [8] a [1]. Predici stavů systému (3.11) na horizontu predice T p můžeme vyjádřit ve tvaru x ( ) = x( ), x ( + 1) = Mx( ) + Nu( ), x( + ) = Mx( + 1) + Nu( + 1) = M x( ) + MNu( ) + Nu( + 1), 3 x( + 3) = M x( ) + M Nu( ) + MNu( + 1) + Nu( + ), Tp 1 Tp x( + T 1) = M x( ) + M Nu( ) + MNu( + T 3) + Nu( + T p p p ). Tuto soustavu rovnic můžeme dosadit do výstupu systému a vyjádřit v maticovém tvaru y = Vx( ) + Su, (3.14) de první člen v rovnici (3.14) představuje odezvu systému na počáteční podmínu x() a druhý člen je odezva systému na posloupnost řízení na horizontu predice T p a platí y y( ) u( ) y( + 1) u( + 1) = y( + ), u = u( + ), y( + Tp 1) u( + Tp 1). V C D CM CN D = CM, S = CMN CN D. Tp 1 CM Tp CM N CN D Dosazením vztahu (3.14) do ritéria (3.1) dostáváme ( ) ( ) T ( ) T J u x w = w Vx Su Q w Vx Su + u R ( ), ( ) ( ) u, (3.15) de matice Q je váha regulační odchyly a matice R je váha řídicí veličiny a w je posloupnost žádané hodnoty výstupu na horizontu predice ve tvaru

30 KAPITOLA 3. MPC REGULÁTOR 18 w w ( ) w ( + 1) =. w ( + Tp 1) Matice Q je pozitivně semidefinitní symetricá matice a R je pozitivně definitní symetricá matice. Na horizontu predice mají matice tvar Q( ) ( 1) Q + Q =, Q( + Tp 1) R( ) ( 1) R + R =. R( + Tp 1) Obvyle se v ritériu (3.1) neváží přímo ační veličina u(), ale její změna Δu() = u() u(-1). Kritérium má pa tvar + Tp 1 { [ ] [ ] } J = Q() i w() i y() i + R() i Δu() i x ( ). (3.1) i= Dosazením vztahu (3.14) do ritéria (3.1) dostáváme ( ) ( ) T ( ) J u x( ), w = w Vx( ) Su Q w Vx( ) Su +Δu RΔu, (3.17) T de Δ u = Iu u, I ~ I I = I I, I u u( 1) =, de I je jednotová matice příslušných rozměrů. Nyní máme systém připraven pro samotné řešení MPC regulátoru. Řešení lze nalézt ve dvojím tvaru, a to v analyticém nebo numericém tvaru [11]. V případě použití analyticého tvaru nelze do řešení zahrnout omezení pro jednotlivé veličiny a tím přicházíme o hlavní výhodu MPC regulátoru. Proto je výhodnější použít pro řešení numericý výpočet.

31 KAPITOLA 3. MPC REGULÁTOR Numericý tvar MPC regulátoru Při numericém výpočtu můžeme zahrnout omezující podmíny pro jednotlivé veličiny. Nejčastěji používané jsou omezení na amplitudu ačního zásahu u u() t u, (3.18) min max omezení na veliost změny ační veličiny Δu Δu() t Δu, (3.19) min max nebo omezení amplitudy výstupu y y() t y. (3.) min max Po zahrnutí těchto podmíne do minimalizačního ritéria vede úloha na optimalizační problém, ve terém se v aždém rou počítá optimální řídicí posloupnost na horizontu predice. V aždém rou preditivního algoritmu vypočteme posloupnost řízení u, terá minimalizuje ritérium (3.1) respetive (3.1) na horizontu predice T p. Posuneme se v čase o ro dál a výpočet opaujeme. Tento postup je znám jao výpočet s louzavým horizontem [9], [1], minimalizující ritérium s omezujícími podmínami min u 1 T T uhu + f u umin u u, αu β. max (3.1) Tato úloha je standardní úlohou vadraticého programování QP [8] a její implementaci lze nalézt např. i v Matlabu pod příazem quadprog. 3. Analýza návrhu MPC regulátoru Při návrhu MPC regulátoru je zajímavé porovnat jaý vliv mají omezující podmíny na výsledný průběh regulovaných veličin, a ja ovlivní výsledný tvar ritéria. Pro analýzu vyjdeme ze stavového popisu spojitého systému x( t+ 1) = ax() t + bu() t + l, yt () = cxt () + dut (), (3.)

32 KAPITOLA 3. MPC REGULÁTOR de l je onstanta, terá představuje onstantu u 1 vznilou po linearizaci systému vodárny, viz předchozí apitola. Tento typ modelu volíme proto, že při návrhu MPC regulátoru na model vodárny uvažujeme linearizovaný model nelineárního systému vytvořený v jednom onrétním pracovním bodě. Po regulátoru vša chceme, aby byl použitelný v širším oolí pracovního bodu. V našem případě zvolíme onstanty systému ve tvaru a = 1,, b=, c = 1, d =, l =. Po linearizaci systému (3.) v pracovní bodě u =, x = 9, y = dostáváme systém popsaný rovnicemi Δ x( t+ 1) = aδ x() t + bδu(), t Δ yt () = cδxt (). (3.3) Provedeme disretizaci systému (3.) a výsledný MPC regulátor budeme navrhovat pro disrétní tvar stavových matic. Predici výstupu systému na horizontu predice můžeme psát ve tvaru de matice V a S mají tvar popsaný výše. y = Vx( ) + Su, (3.4) Pro požadave, aby regulátor sledoval onstantní referenci s omezením amplitudy ační veličiny volíme ritérium ve tvaru (3.1). Do tohoto ritéria dosadíme vztah (3.4) a po roznásobení dostáváme ( ( ), ) = T ( ) ( ) J u x w = ( ) ( ) + = T w Vx Su Q w Vx Su uru T T T T ( ) ( ( )) = u S QS+ R u u S Q w Vx( ) (( ( )) T ) w Vx QS u +. Pro úlohu vadraticého programování minimalizující vztah (3.1) dostáváme s omezeními T H = S QS + R, ( ) T f = w Vx( ) T QS u u u, αu β. min max

33 KAPITOLA 3. MPC REGULÁTOR 1 Výsledný návrh budeme realizovat v prostředí Simulin v Matlabu podle následujícího schématu obr Obr. 3.1: Simulační schéma systému s MPC regulátorem Na obr. 3.3 můžeme porovnat odezvu systému na ační zásah z obr. 3. pro různé poměry váhových matic Q a R a pro dobu predice T p = s Q/R=5. Q/R=5. Q/R=.1 u[-] Obr. 3.: Průběh ační veličiny s MPC regulátorem vážící amplitudu ačního zásahu

34 KAPITOLA 3. MPC REGULÁTOR w,y[-] reference w Q/R=5. Q/R=5. Q/R= Obr. 3.3: Průběh výstupu systému s MPC regulátorem vážící amplitudu ačního zásahu Q/R=5. Q/R= 5. Q/R=.1 1 e[-] Obr. 3.4: Průběh regulační odchyly Na obr. 3.4 vidíme, že regulační odchyla popsaná vztahem (3.13) není nulová. Regulátor se snaží sledovat onstantní referenční signál, ale nulové regulační odchyly nedosáhne, pouze se nulové hodnotě přibližuje.

35 KAPITOLA 3. MPC REGULÁTOR MPC regulátor vážící změnu řízení Nyní nebudeme vážit ační veličinu u, ale její změnu Δu podle ritéria (3.1). Dosazením vztahu (3.4) do ritéria (3.1) a roznásobením dostáváme ( ( ), ) J u x w = ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) = w Vx Su Q w Vx Su +Δu RΔu = T = w Vx Su Q w Vx Su + T + ( Iu u ) R( Iu u ) = ( ) ( ( ) ) T T T T T T = u S QS+ I RI u u S Q w Vx( ) + I Ru a pro vztah (3.1) dostáváme rovnice (( ( ) ) T ) T w Vx QS+ u RI u +, T T T f = ( w Vx( )) QS + u RI T T H = SQS+ IRI s omezeními u u u, αu β. min max Na následujících průbězích můžeme porovnat vliv změny váhových matic Q a R na výsledný průběh výstupu. Na rychlost změny ačního zásahu jsme neladli žádná omezení. Ja je z obr. 3. vidět, ani MPC regulátor vážící změnu řízení nedosáhl nulové regulační odchyly, naopa její hodnota se zvýšila v porovnání s obr u[-] 5 Q/R=1 - Q/R=1-4 Q/R= Obr. 3.5: Průběh ační veličiny s MPC regulátorem vážící změnu ačního zásahu

36 KAPITOLA 3. MPC REGULÁTOR w,y[-] reference w Q/R=1 - Q/R=1-4 Q/R= Obr. 3.: Průběh výstupu systému s MPC regulátorem vážící změnu ačního zásahu 3.. MPC regulátor s integračním členem Sledování onstantního referenčního signálu lze dosáhnout u systému, terý má integrační charater. Nemá-li systém integrační složu, lze rozšířit řízenou soustavu o integrátor ta, že zavedeme integraci do ačního zásahu regulátoru. Náš systém popsaný rovnicí (3.) rozšíříme o integrační člen s přenosem 1 G( s) =. s Tím dostaneme systém druhého řádu s maticemi ve tvaru A 1. =, =, = [ 1 ], 1 B C D = [ ]. Systém nyní má integrační charater a porovnáme jeho chování z hledisa sledování referenčního signálu. Po dosazení rozšířeného systému do obou výše zmiňovaných ritérií dostáváme stejné rovnice minimalizující vztah (3.1). Výsledné průběhy výstupu na příslušné odezvy vstupního signálu znázorňují následující obrázy.

37 KAPITOLA 3. MPC REGULÁTOR u[-] 5 Q/R=1-1 Q/R=1-4 Q/R= Obr. 3.7: Průběh ační veličiny s MPC regulátorem a integrátorem vážící amplitudu ačního zásahu 3 5 w,y[-] reference w Q/R=1-1 Q/R=1-4 Q/R= Obr. 3.8: Průběh výstupu systému s MPC regulátorem a integrátorem vážící amplitudu ačního zásahu Z obr. 3.8 je patrné, že pro regulační odchyla (3.13) se při zmenšujícím poměru váhových matic Q a R snižuje, ale nulovou hodnotu ani v tomto případě nedostáváme. Pro MPC regulátor vážící změnu řízení taé nedostáváme požadovanou nulovou

38 KAPITOLA 3. MPC REGULÁTOR regulační odchylu viz obr Ani úpravou pomocí integrátoru jsme nedosáhli požadovaných vlastností regulátoru pro sledování reference u[-] 4 Q/R=1-4 Q/R=1-5 Q/R= Obr. 3.9: Průběh ační veličiny s MPC regulátorem a integrátorem vážící změnu ačního zásahu 3 5 w,y[-] 15 1 reference w Q/R=1-4 5 Q/R=1-5 Q/R= Obr. 3.1: Průběh výstupu systému s MPC regulátorem a integrátorem vážící změnu ačního zásahu

39 KAPITOLA 3. MPC REGULÁTOR MPC regulátor s disrétním integrátorem Řešení úlohy vadraticy optimálního sledování referenční trajetorie závisí taé na tom, jaým způsobem je tato referenční trajetorie definována. Předpoládejme, že referenční signál je generován lineárním dynamicým systémem jao odezva na jeho počáteční podmíny. Pro referenční signál ve tvaru sou s libovolnou amplitudou je taovým systémem sumátor (disrétní integrátor). Tato úloha je označována pod názvem optimální servomechanismus viz [8] a [9]. Zavedeme proto do algoritmu pro regulátor sumátor regulační odchyly popsaný rovnicí x ( + 1) = x ( ) + w( ) y( ), se y se se ( ) = x ( ) se (3.5) a rozšíříme ritérium (3.1) na tvar + Tp 1 { [ ] [ ] se [ se ] } J = Q() i w() i y() i + R() i u() i + Q () i y () i x ( ). (3.) i= y Odezvu systému (3.5) na horizontu predice lze psát ve tvaru se y y se se y ( ) = x ( ), se se ( + 1) = x ( + 1) = x ( ) + w( ) y( ), ( + ) = x se se se ( + 1) + w( + 1) y( + 1) = x + w( + 1) y( + 1), se ( ) + w( ) y( ) + ( T 1) = x ( ) + w( ) + + w( + T ) y( ) y( + T ). + p se p p V maticovém zápisu a dosazením z rovnice (3.4) vypadá soustava tato ( ) y = Ix ˆ ( ) + I w I y = Ix ˆ ( ) + I w Vx( ) Su, (3.7) se se v v se v de matice V a S byly popsány výše a I v I = I I, I Iˆ =. I I I I

40 KAPITOLA 3. MPC REGULÁTOR 8 Po dosazení rovnice (3.7) do ritéria (3.) a roznásobení dostáváme ( ( ), ) J u x w = ( ( ) ) T ( ( ) ) = w Vx + Su Q w Vx + Su + u Ru + T T ( ˆ v v v ) se ( ˆ se ( ) se v v ( ) v ) + Ix + I w I Vx I Su Q Ix + I w I Vx I Su = ( ) T T T T = u S QS+ R+ S IvQseIvS u T T T T u S Q( w Vx( ) ) + S I Q Ix ˆ + I ( w Vx( ) ) ( ( se )) T T w Vx( ) QS ( Ix ˆ se Iv w Vx( ) ) QseI S u v se v ( ) + + ( ) v +. Pro minimalizaci ritéria (3.1) dostáváme vztahy H = S QS+ R+ S I Q I S T T T v se v, ( se ) T ( ( ) ) ˆ ( ( ) ) T T f = w Vx QS+ Ix + Iv w Vx QseIvS s omezeními u u u, αu β. min max Na obr a obr. 3.1 jsou výsledné průběhy pro různé nastavení hodnoty váhové matice Q se a pro stejný poměr váhových matic Q/R=5. Z průběhů vidíme, že daný regulátor sleduje onstantní referenční trajetorii s nulovou regulační odchylou ja uazuje obr Q se =1 Q se =1 Q se =1 u[-] Obr. 3.11: Průběh ační veličiny s MPC regulátorem a sumátorem regulační odchyly vážící amplitudu ačního zásahu

41 KAPITOLA 3. MPC REGULÁTOR w,y[-] 1 5 reference w Q se =1 Q se =1 Q se = Obr. 3.1: Průběh výstupu systému s MPC regulátorem a sumátorem regulační odchyly vážící amplitudu ačního zásahu 15 Q se =1 Q se =1 Q se =1 1 e[-] Obr. 3.13: Průběh regulační odchyly s MPC regulátorem a sumátorem regulační odchyly vážící amplitudu ačního zásahu

42 KAPITOLA 3. MPC REGULÁTOR 3 Stejný postup provedeme pro MPC regulátor vážící změnu řízení. Rozšíříme ritérium (3.1) o sumátor regulační odchyly (3.4). Po roznásobení a úpravách dostáváme výsledné vztahy H = S QS + I RI + S I Q I S, f T T T T T v se v ( se ) T ( ( ) ) ˆ ( ( ) ) T = w Vx QS+ Ix + I w Vx Q I S +u RI. v se v T s omezeními u u u, αu β. min max Na obr a 3.15 jsou průběhy MPC regulátoru vážící změnu ační veličiny pro různé nastavení hodnoty váhové matice Q se a pro stejný poměr váhových matic Q/R=5. Na rychlost změny ačního zásahu jsme neladli žádná omezení. Z průběhů vidíme, že daný regulátor sleduje onstantní referenční trajetorii s nulovou regulační odchylou ja uazuje obr Q se =.5 Q se = 1. Q se =1. 1 u[-] Obr. 3.14: Průběh ační veličiny s MPC regulátorem a sumátorem regulační odchyly vážící změnu ačního zásahu

43 KAPITOLA 3. MPC REGULÁTOR w,y[-] 1 5 reference w Q se =.5 Q se = 1. Q se = Obr. 3.15: Průběh výstupu systému s MPC regulátorem a sumátorem regulační odchyly vážící změnu ačního zásahu 15 Q se =.5 Q se = 1. Q se =1. 1 e[-] Obr. 3.1: Průběh regulační odchyly s MPC regulátorem a sumátorem regulační odchyly vážící změnu ačního zásahu

44 KAPITOLA 3. MPC REGULÁTOR 3 Na obr a obr můžeme porovnat ační zásah a výstup systému při zavedení omezení na rychlost změny ačního zásahu regulátoru při onstantních váhových maticích Q/R=5, Q se =1. Omezení ačního zásahu má vliv ja na samotnou amplitudu ační veličiny, ta i na rychlost ustálení výstupu systému Δu max =1 Δu max =1 Δu max =3 u[-] Obr. 3.17: Průběh ační veličiny s MPC regulátorem a sumátorem regulační odchyly při omezení rychlosti změny ační veličiny 3 5 w,y[-] reference w Δu max =1 Δu max =1 Δu max = Obr. 3.18: Průběh výstupu systému s MPC regulátorem a sumátorem regulační odchyly při omezení rychlosti změny ační veličiny

45 KAPITOLA 3. MPC REGULÁTOR 33 V této apitole jsme uázali, že použití lasicé metody návrhu MPC regulátoru je omezeno čistě na lineární systémy a pro jen málo odlišný systém je třeba zajistit robustnost regulátoru, a to z hledisa sledování onstantní reference, vhodnými úpravami. Po regulátoru chceme, aby byl schopen dosáhnout požadovaného výstupu i při onečné změně vlastností řízené soustavy nebo v případě působení onstantních poruchových signálů. Této vlastnosti využijeme pro návrh regulátoru na reálný model vodárny TQ. Při porovnání všech výsledných rozšíření MPC regulátoru se uázala jao nejlepší volba rozšíření s disrétním integrátorem, terý zajistí nulovou regulační odchylu viz obr a obr. 3.1.

46 Kapitola 4 Regulace vodárny TQ V této apitole se zaměříme na regulaci reálného systému vodárny TQ a porovnáme ji s návrhy na lineárním a nelineárním modelu. Porovnáme výsledné chování různých MPC regulátorů na reálném systému. Porovnání taé provedeme s lasicým PID regulátorem, terý je pro svou jednoduchost návrhu a dobrým vlastnostem stále používán v regulačních úlohách. Pro návrh budeme vycházet z pracovního bodu u 1 = 5,7 V, h 1 = 1, cm, h = 5 cm a příslušným přenosem popsaným rovnicí (.4). 4.1 PID regulátor PID je ombinaci PI a PD regulátorů. Do ační veličiny u() zavádí vedle regulační odchyly její integrál, tím umožňuje dosažení vyšší přesnosti regulace v ustáleném stavu viz [1] a [13]. Přenos ideálního PID regulátoru je dán vztahem () I C, PID s = P + + D s (4.11) s de P je zesílení proporcionální části, D je zesílení derivační složy a I je zesílení integrační složy. Pro praticou realizaci rozšíříme ideální PID regulátor o jeden reálný stabilní pól, terý filtruje derivační nulu. Při praticé realizaci to znamená omezení zisu derivační složy na vyšších frevencích. Výsledný regulátor navrhneme pomocí metody geometricého místa ořenů GMK pro pracovní bod uvedený výše s přenosem (.4) ta, aby doba regulace nepřesáhla 1s a s přihlédnutím na maximální amplitudu ačního zásahu. Přenos regulátoru dostáváme ve tvaru C PID 1( s+, 5)( s+, 5) () s =. ss ( + 7, ) (4.1) Regulátor budeme modelovat v prostředí Simulin v Matlabu podle následujícího schématu obr Na obr. 4. vidíme, že amplituda ačního zásahu je vyšší než udává rozsah vstupního napětí čerpadla na vodárně, ale vzhledem celové době regulace můžeme tuto sutečnost zanedbat. Na obr. 4.3 je znázorněn průběh výstupu hladiny h ve druhém válci. Z výsledného průběhu můžeme vidět, že PID regulátor sleduje referenční trajetorii s nulovou regulační odchylou a doba regulace odpovídá našemu požadavu. 34

47 KAPITOLA 4. REGULACE VODÁRNY TQ 35 Obr. 4.1: Regulační obvod vodárny TQ s PID regulátorem u[v] Obr. 4.: Ační zásah PID regulátoru PID regulátor reference w 8 w,h [cm] Obr. 4.3: Výstup hladiny h ve druhém válci s PID regulátorem

48 KAPITOLA 4. REGULACE VODÁRNY TQ 3 4. Návrh MPC regulátoru Pro návrh vyjdeme z pracovního bodu uvedeného výše se stavovými maticemi A, B, C a D ve tvaru A =, =, B = [ 1] [] C, D =. Pro disretizaci jsme zvolili periodu vzorování T s =1s a návrh budeme realizovat pro disrétní tvar stavových rovnic. Při návrhu MPC regulátoru vyjdeme z ritéria (3.1) respetive (3.1) a použijeme numericý tvar s možností zahrnout omezující podmíny na ační veličinu. Veliost ačního zásahu budeme volit s ohledem na omezení reálného modelu tato u = V, u max = 1 V. min Regulátor budeme realizovat v prostředí Simulin v Matlabu podle následujícího schématu obr Porovnávat budeme oba typy regulátorů pro sledování onstantního referenčního signálu ve tvaru sou. Obr. 4.4: Regulační obvod vodárny TQ s MPC regulátorem Na následujících obrázcích je uázán návrh MPC regulátoru pro lineární a nelineární model s porovnáním se sutečným modelem vodárny TQ. Na obr. 4.5 a obr. 4. je uázán návrh pro MPC regulátor vážící amplitudu ační veličiny, na obr. 4.7 a obr. 4.8 je uázán návrh MPC regulátoru vážící změnu řízení.

49 KAPITOLA 4. REGULACE VODÁRNY TQ u[v] lineární model nelineární model reálný model Obr. 4.5: Ační zásah s MPC regulátorem vážící amplitudu ační veličiny a pro váhu řízení Q/R= lineární model nelineární model reálný model reference w w,h [cm] Obr. 4.: Výstup hladiny h ve druhém válci s MPC regulátorem vážící amplitudu ační veličiny a pro váhu řízení Q/R=1

50 KAPITOLA 4. REGULACE VODÁRNY TQ u[v] lineární model nelineární model reálný model Obr. 4.7: Ační zásah s MPC regulátorem vážící změnu ační veličiny a pro váhu řízení Q/R=1, Δu= lineární model nelineární model reálný model reference w w,h [cm] Obr. 4.8: Výstup hladiny h ve druhém válci s MPC regulátorem vážící změnu ační veličiny a pro váhu řízení Q/R=1, Δu=1 Na obr. 4. a obr. 4.8 vidíme, že soustava sleduje referenční signál pouze v případě lineárního modelu, u nelineárního modelu a reálného systému navrhnutý

51 KAPITOLA 4. REGULACE VODÁRNY TQ 39 regulátor není schopen zaručit požadovaného výstupu. V tomto případě musíme u regulátoru zaručit robustnost, a to vzhledem e sledování referenční hodnoty i v případě malých změn vlastností řízené soustavy. Pro tento případ rozšíříme soustavu o sumátor regulační odchyly popsaný rovnicí (3.4). Výsledy simulací budeme porovnávat opět pro oba typy regulátorů vážící ja amplitudu, ta změnu řízení lineární model nelineární model reálný model 7 u[v] Obr. 4.9: Ační zásah s MPC regulátorem a sumátorem regulační odchyly vážící amplitudu ační veličiny a pro váhu řízení Q/R=1 3 a Q se = lineární model nelineární model reálný model reference w w,h [cm] Obr.4.1: Výstup hladiny h ve druhém válci s MPC regulátorem a sumátorem regulační odchyly vážící amplitudu ační veličiny a pro váhu řízení Q/R=1 3 a Q se =1 1

52 KAPITOLA 4. REGULACE VODÁRNY TQ 4 Z obr. 4.1 je vidět, že regulátor sleduje onstantní referenční trajetorii i pro nelineární a reálný systém s nulovou regulační odchylou. Nyní porovnáme vliv váhové matice Q se na výsledný průběh hladiny h ve druhém válci. u[v] nelineární model Q se =1 nelineární model Q se =1 1 reálný model Q se =1 reálný model Q se = Obr. 4.11: Porovnání ačního zásahu s MPC regulátorem a sumátorem regulační odchyly vážící amplitudu ační veličiny a pro váhu řízení Q/R= w,h [cm] nelineární model Q se =1 nelineární model Q se = reálný model Q se =1 5 reálný model Q se =1 1 reference w Obr. 4.1: Porovnání výstupu hladiny h ve druhém válci s MPC regulátorem a sumátorem regulační odchyly vážící amplitudu ační veličiny a pro váhu řízení Q/R=1 3

53 KAPITOLA 4. REGULACE VODÁRNY TQ 41 Stejné porovnání provedeme i pro MPC regulátor vážící změnu řízení. Na obr vidíme, že ační zásah je méně ovlivněn chybou než u předchozího typu regulátoru viz obr Na obr a obr. 4.1 je posouzen vliv váhové matice Q se na výsledný průběh hladiny h ve druhém válci. Na rychlost změny ačního zásahu jsme neladli žádná omezení lineární model nelineární model reálný model 7 u[v] Obr. 4.13: Ační zásah s MPC regulátorem a sumátorem regulační odchyly vážící změnu ační veličiny a pro váhu řízení Q/R=1 1, Q se =1-1, lineární model nelineární model reálný model reference w w,h [cm] Obr. 4.14: Výstup hladiny h ve druhém válci s MPC regulátorem a sumátorem regulační odchyly vážící změnu ační veličiny a pro váhu řízení Q/R=1 1, Q se =1-1,57