2 Poissonův proces Základní vlastnosti Poissonova procesu... 9

Transkript

1 Obsah 1 Spojité náhodné veličiny a stochastické procesy Stochastické procesy Spojité náhodné veličiny Nezávislost a její charakterizace Příklady spojitých rozdělení Poissonův proces 9.1 Základní vlastnosti Poissonova procesu Charakteristická funkce a její vlastnosti Charakteristická funkce Základní vlastnosti Fourierovy transformace Základy L -teorie Borel-Cantelliho lemma Wienerův proces Definice Wienerova procesu Haarovy a Schauderovy funkce Ciesielskiho konstrukce Lineární a kvadratická variace Lineární variace Kvadratická variace Itôův integrál a Itôovo lemma Itôův integrál Filtrace Itôovo lemma Martingaly a Itôovy proces Definice martingalu Itôův proces a stopping time

2 8 Cameron-Martinova věta Radon-Nikodýmova derivace Cameron-Martinova věta Girsanovova věta Odvození Black-Scholesovy rovnice Black-Scholesova rovnice Black-Scholesův model Předpoklady Black-Scholesova modelu Odvození ceny evropské call opce Odvození Black-Scholesova vzorce pro evropskou call opci Rovnice vedení tepla a Wienerův proces Řešení rovnice vedení tepla na přímce Souvislost řešení rovnice vedení tepla a Wienerova procesu Feynman-Kacova formule Bariérové opce Binární bariérové opce

3 Kapitola 1 Spojité náhodné veličiny a stochastické procesy 1.1 Stochastické procesy Definice Stochastický proces X = {X t), t T } je soubor náhodných veličin na pravděpodobnostním prostoru Ω, A, P ). Tedy pro každé t z indexové množiny T je X t) náhodná veličina. Obvykle t označuje čas. Připomeňme, že náhodná veličina je funkce Z : Ω R. Každá realizace náhodného procesu X se nazývá trajektorie. X t) popisuje stav procesu v čase t. Dělení stochastických procesů: je-li T konečná nebo spočetná množina, říkáme, že X t) je stochastický proces v diskrétním čase je-li T interval, říkáme, že X t) je stochastický proces ve spojitém čase Další rozdělení podle hodnot, které nabývají veličiny X t): stochastický proces s diskrétními hodnotami stochastický proces se spojitými hodnotami Celkem tedy máme následující čtyři typy stochastických procesů: čas hodnoty příklady diskrétní diskrétní standardní náhodná procházka diskrétní spojité zobecněná náhodná procházka spojitý diskrétní Poissonův proces spojitý spojité Wienerův proces, bílý šum 3

4 Uveďme si příklad Poissonova procesu podrobněji viz následující kapitola). Nechť X t) je počet volání na telefonní ústřednu v časovém intervalu [, t]. Předpokládáme, že P X t + h) X t) = 1) λh t.j. pravděpodobnost, že v intervalu t, t + h) přišlo jedno volání je přímo úměrná h, a dále P X t + h) X t) > 1). Koeficient úměrnosti λ popisuje intenzitu procesu. Stochastická analýza je integrální počet pro funkce, jejichž hodnoty jsou závislé na Wienerově procesu. Například, nechť f X, t) je cena opce v čase t při ceně podkladové akcie X, pro kterou platí dx = a dt + b dw X kde W je standardní Wienerův proces přesným smyslem této rovnice se budeme zabývat v dalších kapitolách). Hodnota f tedy zprostředkovaně závisí na hodnotě Wienerova procesu. 1. Spojité náhodné veličiny Nechť Ω, A, P ) je pravděpodobnostní prostor modelující uvažovaný systém. Definice X : Ω R je spojitá náhodná veličina, jestliže její distribuční funkce F x) = P X x) se dá napsat jako F x) = x f u) du pro nějakou integrovatelnou funkci f : R [, ). f u) se nazývá pravděpodobnostní) hustota náhodné veličiny X. Máme P X [x, x + x]). = f x) x 4

5 a P X [a, b]) = Pro každé jednotlivé x R tedy platí b a P X = x) =. f u) du. Poznámka. Mnoho důkazů pro spojité náhodné veličiny je zcela analogických jako v diskrétním případě. Pravděpodobnostní funkce f x) se nahradí hustotou f x) dx, a suma se nahradí integrálem Nezávislost a její charakterizace Definice 1... Náhodné veličiny X a Y jsou nezávislé, jestliže pro každé x, y R jsou jevy {X x} a {Y y} nezávislé. Základní charakteristikou náhodné veličiny je její očekávání. Definice Očekávání spojité náhodné veličiny X s hustotou f je dáno vztahem pokud integrál existuje. E X) = f x) xdx Příklad Nechť pro hustotu náhodné veličiny X platí f x) = 1 pro π x [, π] a fx) = jinak. Její očekávání je rovno E X) = f x) xdx = π 1 π xdx = 1 π [ x ] π = π. Při praktickém výpočtu očekávání funkce náhodné veličiny je důležitá následující věta. Věta Nechť X je spojitá náhodná veličina s hustotou f x) a gx) je spojitá funkce. Pak pro náhodnou veličinu g X) platí E g X)) = g x) f x) dx. Definice Sdružená distribuční funkce náhodných veličin X a Y je funkce R [, 1] taková, že F x, y) = P X x Y y). 5

6 Definice Náhodné veličiny X a Y mají sdruženou pravděpodobnostní hustotu f x, y) : R [, ), jestliže F x, y) = pro všechna x, y R. y x f u, v) dudv Analogicky jako u obyčejné hustoty máme P {X, Y ) x, x + x) y, y + y)} f x, y) x y. Definice Marginální distribuční funkce X a Y jsou kde F x, ) = lim y F x, y) a kde F, y) = lim x F x, y). Pro marginální hustoty platí: F X x) = P X x) = F x, ), F Y y) = P Y y) = F, y), f X x) = f Y y) = f x, y) dy, f x, y) dx. Následující věta dává ověřitelnou podmínku pro nezávislost náhodných veličin. Věta Náhodné veličiny X, Y jsou nezávislé právě tehdy, když pro každé x, y R platí f x, y) = f X x) f Y y). 6

7 1.. Příklady spojitých rozdělení Uniformní stejnoměrné) rozdělení: Náhodná veličina X je stejnoměrná na intervalu [a, b], jestliže pro x [a, b] a fx) = jinak. f x) = 1 b a Normální rozdělení: Náhodná veličina X má normální rozdělení, jestliže f x) = 1 x µ) e σ πσ pro x, ), kde µ je střední hodnota a σ je rozptyl. Normalizované normální rozdělení N, 1) má hustotu f x) = 1 π e x. Hodnota normalizační konstanty plyne z hodnoty tzv. Laplaceova integrálu: Lemma Platí Důkaz: Označme I = 1 π e x dx = 1. 1 π e x dx. Uvažujme druhou mocninu integrálu ) I 1 ) = e x 1 dx e y dy = 1 π π π Transformujeme integrál do polárních souřadnic, I = 1 π π e r rdrdθ = 1 π π 1dθ = 1 π = 1, π e x +y dxdy. protože substitucí t = r dostaneme Odtud plyne I = 1. re r dr = e t dt = e t dt = [ e t] = 1. 7

8 -rozměrné standardizované) normální rozdělení: Dvojice náhodných veličin X, Y má toto rozdělení pokud pro jeho sdruženou hustotu platí 1 f x, y) = π 1 ρ exp 1 x ρxy + y )), 1 ρ ) kde ρ je korelace X a Y, splňující 1 ρ 1. Přímým výpočtem dostaneme f X x) = 1 e x π a f Y y) = 1 π e y. Pro ρ = tedy platí f x, y) = 1 1 π e x +y ) 1 = e x π 1 π e y = fx x) f Y y). Odtud plyne důležitá charakteristika nezávislosti normálně rozdělených náhodných veličin. Věta Normálně rozdělené náhodné veličiny X a Y jsou nezávislé právě tehdy když jsou nekorelované, t.j. ρ =. Toto tvrzení je klíčové pro praktické ověřování nezávislosti náhodných veličin s normálním rozdělením. Obecně je nezávislost daleko silnější vlastnost než nekorelovanost. 8

9 Kapitola Poissonův proces.1 Základní vlastnosti Poissonova procesu Definice.1.1. Poissonův proces s intenzitou λ je proces N = {Nt) : t } nabývající hodnoty v S = {, 1,,... } takový, že 1. N) = a pro s < t je Ns) < Nt). λh + oh) pro m = 1. PNt + h) = n + m Nt) = n) = oh) pro m > 1. 1 λh + oh) pro m = 3. Je-li s < t, pak počet Nt) Ns) událostí v intervalech [s, t] je nezávislý na Ns), t.j. počtu událostí v [, s]. Nt)... počet příchodů, událostí, emisí do času t. N je tzv. počítací proces a je také příkladem Markovovského řetězce ve spojitém čase. Zajímá nás rozložení Nt). Věta.1.. Nt) má Poissonovo rozdělení s parametrem λt, tedy PNt) = j) = λt)j j! e λt, j =, 1,,... Důkaz. Podmíníme Nt + h) na Nt): 9

10 PNt + h) = j) = i = i PNt) = i) PNt + h) = j Nt) = i) PNt) = i) Pj i) příchodů v čase t, t + h)) = PNt) = j 1) P1 příchod) + PNt) = j) Pžádný příchod) + oh). Tedy p j t) = PNt) = j) splňuje p j t + h) = λhp j 1 t) + 1 λh) p j t) + oh) pro j p t + h) = 1 λh) p t) + oh). V první rovnici odečteme p j t), vzdělíme h a necháme h. Pak a podobně z.rovnice Okrajové podmínky jsou p jt) = λp j 1 t) λp j t) pro j.1) p t) = λp t). p j ) = δ j = { 1 pro j = pro j. To je systém diferenčně-diferenciálních rovnic pro p j t). Řešení najdeme pomocí generujících funkcí v proměnné s a s parametrem t). Definujeme Gs, t) = p j t)s j = Fs Nt) ). Rovnici.1 vynásobíme s j a sečteme přes j. Dostaneme G t = λs 1)G s okrajovou podmínkou Gs, ) = 1. Řešení je zřejmě Gs, t) = e λs 1)t = e λt λt) j j! s j 1

11 Uvedeme si ještě důležitou alternativní definici. Definice.1.3. Nechť T, T 1,... jsou dány vztahem T =, T n = inf{t : Nt) = n}. Pak T n se nazývá čas n-tého příchodu. Definice.1.4. náhodné veličiny Definujeme časy mezi příchody Inter-arrival times) jako X n = T n T n 1. Ze znalosti Nt) umíme najít hodnoty X n. Naopak z X n lze zrekonstruovat Nt) pomocí n T n = X i ; Nt) = max{n; T n t}. 1 Věta.1.5. Náhodné veličiny X 1, X,... jsou nezávislé a mají exponenciální rozdělení s parametrem λ. Připomenutí: Náhodná veličina X má exponenciální rozdělení s parametrem λ >, jestliže její distribuční funkce je F x) = 1 e λx x.) Uvažujme Bernoulliho pokusy v časech δ, δ, 3δ,... a nechť W je čas čekání na 1.úspěch. Pak PW > kδ) = 1 p) k a EW = δ p. Zvolme t pevně. Do času t jsme udělali přibližně k = t pokusů. Nechť δ. δ Abychom dostali netriviální limitu, musí také p. Nechť p λ. Pak δ ) ) t t PW > t) = P W > δ = 1 λδ) δ e λt δ Důkaz. Nejdřív uvažujeme X 1 : Dále podmíníme X na X 1, PX 1 > t) = PNt) = ) = e λt. PX > t X 1 = t 1 ) = Pžádný příchod v [t 1, t 1 + t] X 1 = t 1 ). 11

12 Událost {X 1 = t 1 } se vztahuje k intervalu [, t 1 ], zatímco událost žádný příchod v [t 1, t 1 +t] k času > t 1. Z definice Poissonova procesu jsou nezávislé, tedy PX > t X 1 = t 1 ) = Pžádný příchod v [t 1, t 1 + t]) = e λt. Tedy X je nezávislá na X 1 a má stejné rozdělení. Podobně pro X n, indukcí přes n. 1

13 Kapitola 3 Charakteristická funkce a její vlastnosti 3.1 Charakteristická funkce Připomenutí: Generující funkce pro diskrétní náhodnou veličinu s hodnotami v N, X : Ω N je definována jako G X s) = f n) s n = E s X), n= kde f n) = P X = n) je pravděpodobnostní funkce X. Obecněji můžeme definovat substitucí s = e t ) moment generující funkci, i pro spojité náhodné veličiny. Definice Moment generující funkce náhodné veličiny X je definována vztahem M t) = E e tx) pro t. Je-li X spojitá náhodná veličina s hustotou f, pak M t) = e tx f x) dx. Až na obor integrace a znaménko v exponentu je to přesně Laplaceova transformace funkce f u Laplaceovy transformace se integruje jen přes kladnou poloosu). Moment generující funkce dovoluje snadno počítat jednotlivé momenty náhodných veličin. Pro střední hodnotu máme 13

14 E X) = M ). Obecně platí následující tvrzení. Lemma Pro každé k N je E X k) = M k) ). Důkaz: tedy Derivujeme integrál podle parametru, M t) = xe tx f x) dx, M ) = xf x) dx = E X). Analogicky k-násobným derivováním dostaneme M k) t) = Tedy x k e tx f x) dx. M k) ) = E X k). Charakteristická funkce se formálně liší od moment generující funkce jen imaginární jednotkou v exponentu. Výhodou je že na rozdíl od moment generující funkce existuje pro libovolnou pravděpodobnostní hustotu. Definice Charakteristická funkce náhodné veličiny X je funkce φ : R C definovaná vztahem φ t) = E e itx). Je-li f hustota X, pak máme φ t) = f x) e itx dx. Až na znaménko je to Fourierova transformace hustoty. Využití charakteristické funkce se tedy redukuje na počítání s Fourierovou transformací. 14

15 3. Základní vlastnosti Fourierovy transformace V této podkapitole budeme uvažovat funkce které jsou současně spojité a integrovatelné v absolutní hodnotě. Prostor takových funkcí budeme označovat L 1 C. Definice Fourierova transformace funkce f je funkce f ξ) = f x) e iξx dx. Tedy je-li f hustota náhodné veličiny X, pak vztah mezi charakteristickou funkcí X a Fourierovou transformací funkce f je φ t) = f t). Z linearity integrálu plyne, že Fourierova transformace je lineární operace. Pro každé dvě funkce f, g a konstanty a, b platí af + bg) = a ˆf + bĝ. Lemma 3... O změně měřítka) Pro f L 1 C a R > označme f R x) = frx) tedy f R je původní funkce vyjádřená v jiné volbě jednotek). Pak f R ξ) = 1 R ˆf ξ R ). Důkaz: Z definice f R ξ) = Substitucí y = Rx dostaneme f R x)e iξx dx = fy)e i ξr y 1 R dy = 1 R frx)e iξx dx. fy)e i ξ R y dy = 1 R ˆf ξ R ). Lemma O Fourierově transformaci derivace). Nechť f L 1 C, f L 1 C a lim x ± fx) =. Pak f )ξ) = iξ ˆfξ). 15

16 Derivování se tedy Fourierovou transformací převádí na obyčejné násobení faktorem iξ. Důkaz: Integrováním per partes dostaneme f )ξ) = f x)e iξx dx = [e iξx fx)] iξ) fx)e iξx dx = iξ ˆfξ). Obecně, je-li f, f,..., f k) L 1 C a lim x ± f j x) = pro j =, 1,..., k 1, pak k-násobným integrováním per partes dostaneme f k) )ξ) = iξ) k ˆfξ). Lemma O derivaci Fourierovy transformace) Nechť f L 1 C a gx) = xfx) L 1 C. Pak ˆfξ) je diferencovatelná a platí d ˆf dξ = iĝξ). Důkaz: Derivováním vztahu ˆfξ) = podle parametru ξ dostaneme fx)e iξx dx d ˆf dξ ξ) = fx) ix)e iξx dx = i [fx)x] e iξx dx = iĝξ). Pro f, g L 1 je jejich konvoluce definována vztahem f gx) = fx y)gy)dy. Substitucí y = x y dostaneme alternativní vyjádření f gx) = Konvoluce je tedy komutativní operace. 16 fy)gx y)dy = g fx).

17 Lemma O Fourierově transformaci konvoluce) Nechť f, g L 1 R). Pak f gξ) = ˆfξ)ĝξ). Důkaz: S použitím Fubiniho věty dostaneme f gξ) = fx y)gy)dy)e iξx dx = = e iξx fx y)gy)dydx = e iξx y) fx y)e iξy gy)dydx = R R ) = e iξx y) fx y)dx e iξy gy)dy = ˆfξ) e iξy gy)dy = ˆfξ)ĝξ). Lemma O transformaci posunutí a o posunutí transformace) Nechť f L 1 C. Pro a > označme f a x) = fx a). Pak ˆf a ξ) = ˆfξ)e iaξ. Naopak, fe iax ξ) = ˆfξ a). Důkaz: Na jedné straně substitucí y = x a dostaneme ˆf a ξ) = fx a)e iξx dx = fy)e iξy+a) dy = e iaξ fy)e iξy dy = Naopak, = e iaξ ˆfξ). fe iax ξ) = fx)e iax e iξx dx = fx)e iξ a)x dx = ˆfξ a). Důsledek Nechť Fourierova transformace funkce fx) je F ξ). Pak Fourierova transformace funkce fx) sin ωx je rovna i [F ξ + ω) F ξ ω)]. 17

18 Tento vztah s obvykle nazývá modulační identita f je původní signál, ω je nosná frakvence, součin fx)e iωx je namodulovaný signál Důkaz: Víme, že a Tedy sin ωx = eiωx e iωx i fx)e iωx ξ) = ˆF ξ ω). fx) sin ωxξ) = 1 i [F ξ ω) F ξ + ω)] = i [F ξ + ω) F ξ ω)]. Lemma Fourierova transformace Gaussovy funkce) Je-li fx) = 1 π e x, pak ˆfξ) = e ξ. Důkaz: Označme opět F ξ) = ˆfξ). Máme Na jedné straně je f x) = 1 π xe x = xfx). xfx)) = f ξ) = iξf ξ), podle lemmatu o transformaci derivace, na druhé straně, z lemmatu o derivaci transformace, je ixf)ξ) = F ξ). Celkem F splňuje rovnici F ξ) = ξf ξ). Separací proměnných dostaneme řešení F ξ) = Ce ξ. 18

19 Konstanta C je rovna hodnotě ˆf v bodě nula, tedy Laplaceovu integrálu ˆf) = 1 π e x dx = 1. Příklad Označme jako Hx) Heavisideovu funkci, tedy Hx) = 1 pro x a Hx) = pro x <. Je-li pro nějaké a >, pak Opravdu, ˆfξ) = Dále uvažujme funkci fx) = e ax Hx) ˆfξ) = 1 a + iξ. e ax e iξx dx = e a+iξ)x dx = = 1 a + iξ [e a+iξ)x ] = 1 a + iξ. fx) = e a x. Pomocí Heavisideovy funkce ji můžeme napsat jako Její Fourierova transformace je rovna fx) = Hx)e ax + H x)e ax. ˆfξ) = 1 a + iξ + 1 a iξ = a a + x. Věta Základní identita pro Fourierovu transformaci) Nechť f, g L 1 C. Pak platí fĝ = ˆfg. Důkaz: Z Fubiniho věty dostaneme fx)ĝx)dx = fx) gy)e ixy dydx = 19

20 R fx)gy)e ixy dydx = gy) fx)e ixy dxdy = gy) ˆfy)dy. Věta O inverzní transformaci) Nechť f L 1 C, f je stejnoměrně spojitá a ˆf L 1 C. Pak f x) lze vypočítat z ˆf ξ) vztahem fx) = 1 π ˆfξ)e iξx dξ. Pro aplikace v teorii pravděpodobnosti je klíčový následující důsledek. Důsledek Charakteristická funkce jednoznačně určuje hustotu náhodné veličiny. 3.3 Základy L -teorie V této části budeme uvažovat funkce na obecném intervalu a, b s hodnotami v C a prostor L a, b ) obsahující funkce, pro které b a fx) dx <. L a, b ) je Hilbertův prostor nekonečněrozměrná analogie Euklidovského prostoru) se skalárním součinem f, g) = b a fx)gx)dx. Skalární součin indukuje, stejně jako v Euklidovském prostoru, na L a, b ) normu b ) 1 f = fx) dx a také metriku. Vzdálenost dvou funkcí je číslo b ρf, g) = f g = a a ) 1 fx) gx) dx.

21 Definice Systém funkcí {φ k } k= se nazývá ortogonální systém, jestliže φ n, φ m ) = pro každé n m. Nazývá se ortonormální systém, jestliže navíc platí φ n, φ n ) = 1 pro všechna n N. Definice Nechť {φ k } k= je ortonormální systém. Čísla c k = b a fx) φ k x)dx se nazývají Fourierovy koeficienty funkce f vzhledem k systému {φ k } k=. Formální funkční řada c k φ k k= se nazývá Fourierova řada. Pomocí Fourierových koeficientů definujeme funkce f N = N c k φ k. k= Zajímá nás, za jakých podmínek konverguje f N pro N k funkci f. Konvergencí v tomto případě rozumíme konvergenci v normě prostoru L. Následující lemma ukazuje, že f N je nejlepší aproximací f mezi všemi lineárními kombinacemi funkcí φ 1, φ,... φ N. Lemma Nechť {φ k } k= je ortonormální systém a f L. Pak pro libovolná komplexní čísla d 1,..., d N platí f N d j φ j f f N. j= Rovnost přitom nastane pouze tehdy, je-li d j = c j pro všechna j =,..., N. Důkaz: Máme f N d j φ j = f j= N d j φ j, f j= N d j φ j ) = j= 1

22 N N N = f, f) f, d j φ j ) d j φ j, f) + d j φ j, j= = f j= N c j dj j= = f + N c j d j + j= N c j d j j= j= N d j dj = j= N c j. j= N d j φ j ) = První a poslední člen nezávisí na koefientech d j, prostřední člen je nezáporný a minimalizuje se právě tehdy, když d j = c j pro j =,..., N. j= Lemma Fourierova řada c k φ k k= konverguje v normě L k funkci f právě tehdy, když platí Parsevalova rovnost c j = f. j= Ve dvoudimenzionálním prostoru se Parsevalova rovnost redukuje na Pythagorovu větu. Pro dvě funkce platí Parsevalova rovnost ve tvaru f, g) = b a f x) g x) = c k d k, kde c k jsou Fourierovy koeficienty funkce f, d k jsou Fourierovy koeficienty funkce g a obě Fourierovy řady funkcí f a g konvergují. Definice Ortonormální systém je úplný jestliže platí: Pokud pro nějakou funkci g L [a, b]) platí g, φ k ) = pro všechna k =, 1,..., pak g =. Tedy neexistuje nenulová funkce kolmá na všechny prvky systému. k= Lemma Fourierova řada konverguje pro každou funkci f L [a, b]) právě tehdy, když systém {φ k } k= je úplný.

23 3.4 Borel-Cantelliho lemma Pro počítání s nekonečnými posloupnostmi jevů a náhodných veličin je důležitým nástrojem Borel-Cantelliho lemma. Lemma Borel-Cantelli ) Nechť Ω, A, P ) je pravděpodobnostní prostor. Nechť A n Ω, n = 1,,... je posloupnost jevů. Označme jako A jev, že nastává nekonečně mnoho A n, tedy Pak platí: 1. Jestliže A = n=1 m=n A m. P A n ) < n=1 tj. řada konverguje), pak P A) =.. Jestliže P A n ) = n=1 tj. řada diverguje) a A n jsou nezávislé, potom P A) = 1. Důkaz: Platí Máme pro všechna n. Tedy Ale ω A ω P A) P A m pro všechna n = 1,,... m=n A m=n m=n A m A m ) P A m ) n=m P A m ). n=m je limita částečných součtů a z definice konvergence tedy platí P A m ) m=n 3

24 pro n, čímž je první tvrzení dokázáno. Pro důkaz druhé části, musíme dokázat, že P A C) =, kde A C = n= m=n A C m. Máme tedy s využitím nezávislosti a odhadu 1 x e x pro x, ) r ) P A C m = lim P A C m = 1 P A m )) exp P A m )) = r m=n m=n = exp kdykoliv m=n P A m) =. Tedy m=n P A m ) = m=n P A C ) = lim n P neboli P A) = 1, což jsme chtěli dokázat. m=n A C m ) =, m=n 4

25 Kapitola 4 Wienerův proces 4.1 Definice Wienerova procesu Definice Reálný stochastický proces W t) na pravděpodobnostním prostoru Ω, A, P ) se nazývá Wienerův proces, jestliže platí: 1. W ) =.. spojitost trajektorií) S pravděpodobností 1 je funkce t W t) spojitá v t. 3. nezávislost a normalita přírůstků) Přírůstky W t) W s) mají rozdělení N, t s). Pro libovolné < t 1 < t <... < t n jsou přírůstky W t 1 ), W t ) W t 1 ),..., W t n ) W t n 1 ) navzájem nezávislé. V následujícím textu budeme považovat pojmy Wienerův proces a Brownův pohyb za synonyma, stejně tak budeme zaměňovat značení W t) a W t. Nejdříve se budeme zabývat otázkou, zda takový proces vůbec existuje, a ukážeme si jednu z možných konstrukcí Wienerova procesu. 4. Haarovy a Schauderovy funkce Wienerův proces zkonstruujeme jako náhodný součet tzv. Schauderových funkcí, které vyniknou jako integrál z Haarových funkcí. Definice Pro t [, 1] definujeme Haarovy funkce {h k t)} k= následujícím způsobem. Pro k = položíme h t) = 1 5

26 pro t [, 1]. Dále { 1 pro t [ ], 1 h 1 t) = 1 pro t 1, 1] Pro n > 1 nejdříve vyjádříme n ve tvaru n = j + k kde j, k < j tzv. dyadické vyjádření čísla n), a definujeme h n t) = j h1 j t k ). j je normalizační konstanta, faktor j představuje změnu měřítka a k posun určuje polohu nosiče). Připomeňme v této souvislosti pojem nosič funkce, supp f = {x R; f x) }. Například, supp h 4 ) = [, 1 ]. 4 Pro n = 73 máme dyadické vyjádření 73 = = 6 + 9, tedy úroveň je j = 6 a poloha je k = 9. Podobně pro n = 51 je 51 = = , tedy úroveň je j = 5 a poloha je k = 19. Věta 4... L [, 1]). Důkaz: Funkce {h k } k= Nejdříve dokážeme ortogonálnost, tedy tvoří úplný, ortonormální systém v prostoru h n, h m = pro m n. Nechť n = j + k a m = j + k. Pro j = j je supp h n ) supp h m ) buď prázdná nebo jednobodová množina. Tedy 1 h n x) h m x) dx = 6 1 dx =.

27 Pro j j musíme uvažovat dva případy, disjunktní a nedisjunktní nosiče h n a h m. V prvním případě je opět součin identická nula. V druhém případě předpokládejme bez újmy na obecnosti že m > n. Nosič h m musí ležet v intervalu, kde h n je konstantní, tedy 1 h n h m = ± j 1 h m =. Dále ukážeme, že h n, h n = 1, tedy ortonormalitu systému. Pro n = 1 máme Pro n > 1 dostaneme h n = h 1 = 1 1 h n x) dx = h 1 x) dx = Po substituci u = j t k dostáváme ) j 1 h 1 j t k ) dt = j k k 1 ) j 1 h 1 u) du = 1dx = 1. h 1 j t k ) dt. 1 h 1 u) du = 1. Úplnost systému plyne z jeho uzavřenosti. Pro každé f L [, 1]) existuje posloupnost konečných lineárních kombinací funkcí z {h k } k=, která konverguje k f. Opravdu, z Haarových funkcí jako lineární kombinace dostaneme funkce po částech konstantní na dyadických intervalech, pomocí kterých můžeme libovolně dobře aproximovat funkce spojité. Na druhé straně, spojité funkce tvoří hustou podmnožinu v L. Odtud plyne tvrzení. Integrováním Haarových funkcí dostaneme Schauderovy funkce. Definice vztahem pro t [, 1]. Pro n = 1,,... definujeme n-tou Schauderovu funkci s n t) = t h n s) ds Grafem n-té Schauderovy funkce je rovnoramenný trojúhelník, jehož výška je 1 j+1 j = j j 1 = j 1. 7

28 4.3 Ciesielskiho konstrukce Následující dvě technická lemmata jsou potřeba k důkazu spojitosti trajektorií v Ciesielskiho konstrukci. Lemma Nechť {a k } k=1 je posloupnost reálných čísel, δ < 1 a nechť platí a k = O k δ), tedy existuje konstanta c > tak, že a k ck δ. Pak řada k=1 a ks k t) konverguje stejnoměrně pro t [, 1]. Důkaz: Zvolme ε >. Pro n k < n+1 mají funkce s k t) disjunktní nosiče. Položme b n = max a k c n+1) δ. n k< n+1 Pak pro t 1 platí: k= m a k s k t) n=m pro dostatečně velké m, neboť δ 1 konverguje. b n n max k< n+1 s k t) c = c δ 1) nδ 1 ) < ε n=m < a tedy řada nδ 1 ) n=1 ) n+1 δ n 1 = Lemma Nechť {A k } k=1 jsou nezávislé náhodné veličiny na pravděpodobnostním prostoru Ω, A, P ) s rozdělením N, 1). Pak pro skoro všechna ω Ω platí, že A k = O log k ) pro k tedy existuje c R tak, že A k c log k). Důkaz: Pro x > a k = 1,,... máme: n=m P A k > x) = 1 x e s 1 ds + e s ds = π π = π x e s ds e x 4 π x x e s 4 ds ce x 4 pro nějakou konstantu c, protože e s 4 např. c = π e s 4 ds. je klesající na [x, ). Můžeme vzít 8

29 Položme x = 4 log k. Potom P A k > 4 ) log k ce 4 log k = c 1 k. 4 Protože řada 1 k=1 konverguje, z Borel-Cantelliho lemmatu máme k 4 P A k > 4 ) log k pro nekonečně mnoho k =. Tedy pro skoro všechna ω je A k c log k pro nějakou konstantu c. Věta Nechť W t) je Wienerův proces. Pak Cov W t), W s)) = E W t) W s)) = min t, s). Důkaz: Nechť s t. Máme E W t) [W t) + W s) W t))]) = E W t) ) +E W t) [W s) W t)]) = = t = min t, s), protože E W t)) = t z definice a E W t) [W s) W t)]) = z nezávislosti přírůstků. Věta Pro libovolná s, t 1 platí s k s) s k t) = min s, t). k=1 Důkaz: Pro libovolné pevné s [, 1] definujeme funkce { 1 pro τ s g s τ) = pro s < τ 1. Podle Parsevalovy rovnosti protože Haarovy funkce tvoří ortonormální úplný systém v L [, 1])) máme pro s t: s = 1 g t x) g s x) dx = a k b k, 9

30 kde pro koeficienty a k, b k platí a a k = g t, h k = b k = g s, h k = 1 1 g t x) h k x) dx = g s x) h k x) dx = t s h k x) dx = s k t) h k x) dx = s k s). Celkem tedy min s, t) = s = s k t) s k s). Věta Ciesielskiho konstrukce Wienerova procesu): Nechť {A k } k=1 je posloupnost nezávislých náhodných veličin s rozdělením N, 1), definovaných na daném pravděpodobnostním prostoru. Pak součet W t, ω) = A k ω) s k t) k=1 pro t 1 konverguje stejnoměrně v t pro skoro všechna ω, a W t, ω) je Wienerův proces. Důkaz: Stejnoměrná konvergence plyne z předchozích lemmat. Ze stejnoměrné konvergence řady spojitých funkcí plyne spojitost trajektorie procesu t W t, ω). Musíme ověřit, že W t, ω) je Wienerův proces. Zřejmě W ) =, protože s k ) = pro všechna k. Dále pomocí charakteristické funkce dokážeme, že W t) W s) pro s < t má rozdělení N, t s). Nechť s < t. Z definice W, nezávislosti A k N, 1) a znalosti charakteristické funkce rozdělení N, 1), máme E [ e iλw t) W s))] = E = E [ e ] iλa ks k t) s k s)) = k=1 E e ita k) = e t, [ ] e iλ k=1 A ks k t) s k s)) = E = e λ [ ] e iλa k s k t) s k s)) ) = k=1 e λ [s kt) s k s)] = e λ k=1 [s kt) s k s)] = k=1 k=1 s k t) s kt)s k s)+s k s). Trojnásobným použitím pomocného tvrzení s k s) s k t) = min s, t) k=1 3

31 dostaneme e λ k=1 s k t) s kt)s k s)+s k s) = e λ [t s+s] = e λ [t s]. To je ale charakteristická funkce rozdělení N, t s). Z jednoznačnosti charakteristické funkce plyne W t) W s) N, t s). Zbývá dokázat nezávislost přírůstků. Protože přírůstky mají normální rozdělení, stačí dokázat nekorelovanost, E [W t i+1 ) W t i )] [W t j+1 ) W t j )]) = pro i j. Nejdříve vypočteme z definice W pro s < t protože z nezávislosti pro k l. Tedy = E [W t) W s)] = [ ) E A )] k ω) s k t) A k ω) s k s) = k=1 k=1 [ )] = E A k ω) A l ω) s k t) s l s) = k=1 l=1 [ = E A k ω) ] s k t) s k s)), k=1 EA k ω) A l ω)) = [ E A k ω) ] ) s k t) s k s) = k=1 E [ A k ω) ] s k t) s k s) = k=1 s k t) s k s) = min t, s) = s, neboť A k N, 1). Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat t i < t j. Z předchozího výpočtu máme k=1 E [W t i+1 ) W t i )] [W t j+1 ) W t j )]) = = E [W t i+1 ) W t j+1 ) W t i ) W t j+1 ) W t i+1 ) W t j ) + W t i ) W t j )] = 31

32 = t i+1 t i t i+1 + t i =. Přírůstky jsou tedy nekorelované a tím pádem nezávislé. Analogicky se dokáže vzájemná nezávislost více než dvou přírůstků, s využitím vlastností vícerozměrného normálníého rozdělení. 3

33 Kapitola 5 Lineární a kvadratická variace 5.1 Lineární variace Variace je míra proměnlivosti variability) funkce na daném intervalu. Nechť f : [a, b] R je spojitá funkce a nechť D = {a = t 1 < t <... < t n = b} je dělení intervalu [a, b]. Lineární variace vzhledem k dělení D je definována jako n 1 LV f, D) = f t j+1 ) f t j ). j=1 Definice Lineární variace funkce f je definována jako limita kde D je norma dělení, tj. LV f) = D = max j lim LV f, D), D t j+1 t j. Příklad Funkce f x) = x na intervalu [, 1] má lineární variaci LV f) = f 1) f ) = 1. Opravdu, máme f t j+1 ) f t j ) > pro všechna j, neboť f je rostoucí. Lineární variace je tedy n 1 LV f, D) = f t j+1 ) f t j )) = j=1 33

34 = f t n ) f t 1 ) = f b) f a) = f 1) f ). Obecně, je-li f monotonní na [a, b], pak LV f) = f b) f a). Příklad Vypočtěte lineární variaci funkce sin x na intervalu [, π]. Funkce je po částech monotonní na jednotlivých podintervalech délky π, na každém z nich je variace rovna jedné. Sečtením jednotlivých variací dostáváme LV f) = 4. Nechť f : [, T ] R je diferencovatelná funkce nabývající extrémů v bodech t 1 a t. Pak LV f) = f t 1 ) f ) + f t ) f t 1 ) + f T ) f t ) = = t1 f x) dx t t 1 f x) dx + T t f x) dx = T f x) dx. Obecně, je-li f diferencovatelná, pak podle věty o střední hodnotě pro každý podinterval [t k, t k+1 ] existuje bod t k uvnitř tohoto intervalu tak, že tedy f t k+1 ) f t k ) = f t k) t k+1 t k ), n 1 n 1 f t k+1 ) f t k ) = f t k) t k+1 t k ), k=1 k=1 což je přibližný součet z definice Riemannova integrálu. Limitním přechodem dostaneme LV f) = n 1 lim D k=1 f t k+1 ) f t k ) = T f t) dt. Pro trajektorie Wienerova procesu není lineární variace užitečný pojem, protože je rovna nekonečnu pro skoro všechny trajektorie. 34

35 5. Kvadratická variace Definice Nechť D = {t 1,..., t n } je dělení intervalu [, T ], tedy = t 1 < t <... < t n = T. Kvadratickou variaci funkce f na intervalu [, T ] definujeme jako pokud limita existuje. KV f) = n 1 lim D k=1 f t k+1 ) f t k )), Lemma 5... Nechť f je diferencovatelná funkce na [, T ], pak KV f) =. Důkaz: Máme n 1 lim D k=1 KV f) = n 1 lim D k=1 f t k) t k+1 t k ) lim D f t k+1 ) f t k )) = n 1 D f t k) t k+1 t k ) = k=1 T lim D f t)) dt =, D neboť integrál T f t)) dt je konečný. K výpočtu kvadratické variace trajektorie Wienerova procesu budeme potřebovat následující lemma. Lemma Nechť W t) je Wienerův proces. Pak E W t) ) = t E W 4 t) ) = 3t. Důkaz: Z definice víme, že W t) W s) N, t s). Speciálně pro s = je W t) N, t), tedy E W t)) = a E W t)) = t. Dále, N, t) má hustotu 1 πt e x t. Ze vztahu E g X)) = g x) f x) dx 35

36 máme E W 4 t) ) = 1 e x t x 4 dx = 1 πt πt e x t x 4 dx = 1 [ ] e x t t) x 3 πt = 1 [ ] e x t t) x 3 πt = + 1 [ ] 3t e x t t) x + πt Využili jsme toho, že = 3t [e x t t) x 3 ] =, jelikož exponenciála klesá rychleji než roste libovolná mocnina x. + x e + 1 πt 3t x e t t) dx ) 1 e x t dx = 3t. πt ) t t3x dx x e t x dx = 1 πt 3t x e t dx = Věta Nechť W t) je Wienerův proces na intervalu [, T ] a nechť D = { = t 1 < t <... < t n = T } je dělení intervalu [, T ]. Pak n 1 W t k+1 ) W t k )) T k=1 pro D v L -normě. Důkaz: Označme W k = W t k+1 ) W t k ) a t k = t k+1 t k. Chceme dokázat, že E n 1 ) W k ) T k=1 pro D tj. konvergenci v L ). Máme E n 1 [ Wk ) t k+1 t k ) ]) n 1 = E Wk 4 t k+1 t k ) Wk + k=1 k=1 n 1 + t k+1 t k ) ) = 3 tk+1 t k ) t k+1 t k ) + t k+1 t k ) ) = k=1 n 1 n 1 = t k+1 t k ) D t k+1 t k ) = D T k=1 k=1 36

37 pro D. Tedy trajektorie Wienerova procesu mají kvadratickou variaci rovnu T všechny stejnou). Důsledek Trajektorie Wienerova procesu mají nekonečnou lineární variaci. Důsledek Trajektorie Wienerova procesu nejsou diferencovatelné na žádném podintervalu. Pozoruhodné na předchozích výsledcích je, že na jedné straně trajektorie Wienerova procesu je náhodná, ale veličina Wk ) lim t je deterministická nezávisí na trajektorii) a rovná se T stejná pro všechny trajektorie). To je matematický smysl heuristické formule W ) = t. 37

38 Kapitola 6 Itôův integrál a Itôovo lemma 6.1 Itôův integrál Je-li f hladká funkce, pak můžeme přirozeně definovat integrál podle přírůstků funkce f, b a g u) df u) = b a g u) f u) du = lim D n g t i ) f t i ) f t i 1 )), kde a = t < t 1 <... < t n = b je dělení intervalu [a, b]. Integrál i=1 je tzv. Stieltjesův integrál. b a g u) dfu) Pro aplikace ve financích chceme analogický integrál podle přírůstků Wienerova procesu W t, b a f t, ω) dw t ω). Trajektorie Wienerova procesu ale není hladká funkce, je tedy otázka jaký smysl má dw t. Stieltjesův a stochastický integrál se tedy liší ve dvou aspektech: integrál je náhodná veličina výsledek závisí na trajektorii Wienerova procesu) W t není hladká, s pravděpodobností 1 nemá trajektorie derivaci v žádném bodě. 38

39 Příklad motivační) Nechť W t ω) je cena akcie v čase t při tržním scénáři ω. Nechť f t, ω) je obchodní strategie, tj. počet držených akcií v čase t za scénáře ω. Pak f t, ω) W t+1 W t ) = f t, ω) W je zisk ze strategie v časovém intervalu [t, t + 1]. Součtem hodnot jednotlivých zisků dostaneme v limitě integrál b fdw který představuje zisk ze a strategie v časovém intervalu [a, b]. Příklad závislost na volbě vnitřního bodu) Mějme dělení intervalu [, T ], D = { = t < t 1 <... < t n = T } a nechť D = Pro pevné λ [, 1] položme max t j+1 t j. j {,...,n 1} τ k = 1 λ) t k + λt k+1 pro k =,..., n 1. Pro λ = dostaneme levý krajní bod τ k = t k, pro λ = 1 dostaneme prostředek τ k = 1 t k + t k+1 ) a pro λ = 1 dostaneme pravý krajní bod τ k = t k+1. Definujeme Riemannovy součty pro vztahem Dostaneme T W dw n 1 R n = W τ k ) W t k+1 ) W t k )). k= W τ k ) W t k+1 ) W t k )) = W τ k ) W t k+1 ) W τ k ) W t k ) = = W τ k ) W t k+1 ) ± 1 W τ k ) ± 1 W t k ) ± 1 W t k+1 ) W τ k ) W t k ) = = 1 [W t k+1) W τ k )] + 1 [W τ k) W t k )] + 1 [ W t k+1 ) W t k ) ] Dále n 1 R n = W τ k ) W t k+1 ) W t k )) = 1 n 1 [W t k+1 ) W τ k )] + k= 39 k=

40 + 1 n 1 [W τ k ) W t k )] + 1 n 1 [ W t k+1 ) W t k ) ]. k= Poslední člen je tzv. teleskopující součet ve kterém se všechny členy s výjimkou prvního a posledního vyruší, a rovná se tedy k= W T ) W ). Pro D podobně jako při výpočtu kvadratické variace máme R n = 1 1 λ) T + 1 λt + 1 [ W T ) W ) ] = W T ) + λ 1 ) T. Dvě přirozené volby hodnoty λ vedou ke dvěma různým stochastickým integrálům: pro λ = 1 máme T W tdw t = W T )... Stratonovičův integrál, pro λ = máme T W tdw t = W T ) T... Itôův integrál. Ve financích se používá jen Itôův integrál, protože portfolio musíme sestavit před pohybem ceny 6. Filtrace Připomeňme si z diskrétních modelů, že σ-algebra popisuje systém pozorovatelných jevů. Zachyceje tedy informaci které jevy můžeme pozorovat a které ne. Uvažujme standardní příklad s hodem kostkou. Pravděpododnostní prostor Ω má šest prvků, Ω = {1,, 3, 4, 5, 6} Uvažujme nejdříve σ-algebru všech podmnožin Ω. Při této σ-algebře jsou pozorovatelné všechny jevy. Informace kterou σ-algebra nese je tedy přímo hodnota která na kostce padla. Na druhé straně, uvažujme menší systém tvořený množinami, Ω, {1, 3, 5}, {, 4, 6} Snadno ověříme uzavřenost na sjednocení a doplňky, je to tedy opět σ- algebra. Při takové σ-algebře jsou pozorovatelné jen dva jevy, že padlo sudé číslo nebo liché číslo. Informace kterou σ-algebra nese je tedy pouze sudost nebo lichost hodnoty která na kostce padla. 4

41 Následující příklad připomíná použití σ-algeber při popisu vývoje informace v čase. Příklad Uvažujme tři časové okamžiky, t =, t = 1 a t = a dvoukrokový model trhu. Náš pravděpodobnostní prostor je tvořen množinou všech úplných scénářů Ω = {++), + ), +), )}. V čase t = jsou určeny pouze jevy Ω a, tedy σ-algebra popisující tuto informaci je F = {, Ω}. V čase t = 1 jsou určeny jevy: F + = {++), + )} a F = { +), )}. Tedy σ-algebra popisující tuto informaci je F 1 = {, Ω, F +, F }. V čase t = jsou určeny všechny jevy každá podmnožina Ω), tedy σ- algebra popisující tuto informaci je. F = exp Ω = { podmnožiny Ω}. Definice 6... Systém σ-algeber F = {F t, t τ} na pravděpodobnostním prostoru Ω, A, P ) se nazývá filtrace, pokud pro všechna t τ je F t A a F s F t kdykoliv je s < t. Definice Nechť W t) je Wienerův proces na Ω, A, P ). Filtrace F = {F t, t } se nazývá historie Wienerova procesu, jestliže pro každé t > je F t σ-algebra generovaná náhodnými veličinami W s, ω) pro s t. F popisuje růst informace o trajektorii Wienerova procesu v závislosti na čase. F t je tedy informace o trajektorii v čase t. Platí Věta F t je nejmenší σ-algebra generovaná množinami typu {ω; W t 1, ω) F 1,..., W t k, ω) F k }, kde k = 1,,... a t j < t pro všechna j = 1,... k jsou libovolné časy a F j R jsou libovolné Borelovské množiny. Věta Funkce h ω) je F t -měřitelná, kde F je historie Wienerova procesu právě tehdy, když h je bodová limita součtů funkcí tvaru g 1 W 1 )...g k W tk ), 41

42 kde g 1,..., g k jsou omezené spojité funkce, t j t pro j = 1,..., k a k N. Definice Nechť W t) je Wienerův proces na prostoru Ω, A, P ) a nechť F je historie Wienerova prostoru. Říkáme, že proces {G t, ω) ; t [, )} je adaptovaný historii Wienerova procesu neboli G t, ω) je neanticipativní ), jestliže pro každé t je funkce ω G t, ω) F t -měřitelná. Tedy hodnota G t, ω) závisí jen na historii Wienerova procesu do času t. G t, ω) nepředvídá proud informací reprezentovaných σ-algebrami F t. Definice Stochastický proces S se nazývá jednoduchá funkce na intervalu [, T ], jestliže existuje dělení D = { = t <... < t m = T } tak, že S t, ω) = S k ω) pro t k t < t k+1 k =,..., m 1) pro nějaké náhodné veličiny S k. Definice Nechť S je jednoduchá funkce. Pak T SdW = m 1 k= S k ω) W t k+1, ω) W t k, ω)) se nazývá Itôův stochastický integrál funkce S na intervalu [, T ]. Tedy označíme-li W k = W t k+1, ω) W t k, ω)), máme T SdW = m 1 k= S k W k. Definice Nechť W t) je Wienerův proces na prostoru Ω, A, P ). Symbolem M budeme označovat třídu stochastických procesů f t, ω) : [, ) Ω R takových, že: f t, ω) je neanticipativní, f t, ω) je B A-měřitelná, kde B jsou Borelovské množiny na [, ), platí { } T P [f t)] dt < + = 1 Příklad Investiční strategie) V intervalu [t i, t i+1 ) držíme e i ω) akcií, kde e i ω) závisí na vývoji ceny W t ω) do času t i W t je cena akcie v čase t) Φ t, ω) = m 1 i= 4 e i ω) χ [ti, t i+1 ),

43 kde χ [ti, t i+1 ) = { 1 pro t [t i, t i+1 ) jinak. Pak Φ t, ω) je počet akcií, které držíme v čase t za scénáře ω). Φ je jednoduchá funkce. Integrál T Φ t, ω) dw t ω) = m 1 i= e i ω) W ti+1 ω) W ti ω) ) je náš celkový zisk z této strategie od času do času T. Věta Itôova izometrie): Nechť S je jednoduchá omezená funkce tedy S k jsou omezené náhodné veličiny). Pak [ ) ] T ) E S t, ω) dw T t ω) = E S t, ω) dt. Důkaz: Označme W j = W t j+1, ω) W t j, ω). Máme z definice E [ T SdW ) ] = E = m 1 j= = m 1 j= ) [ m 1 ] m 1 S j W j = E Sj W j ) + S i S j W i W j = j= E m 1 ) Sj Wj + i < j E S i S j W i ) E W j ) = m 1 j= E S j = E m 1 i, j= m 1 ) ) E W j = j= S j t j+1 t j ) j= ) E S j ) tj+1 t j ) = = E [ ] T S dt. Pro obecný proces f M definujeme T f t, ω) dw limitním přechodem: Lemma Nechť f je náhodný proces patřící do třídy M. Pak existuje posloupnost jednoduchých funkcí f n M tak, že pro n platí ) T E f n t, ω) f t, ω)) dt. i<j 43

44 Definice Pro obecný proces f M definujeme Itôův integrál předpisem T T f t, ω) dw = lim f n n t, ω) dw. Tato limita nezávisí na volbě posloupnosti f n důkaz je technický, pomocí Itôovy izometrie - viz literatura). Věta Základní vlastnosti Itôova integrálu) Platí 1. T ag + bf dw = a T GdW + b T F dw ) T. E GdW = 3. t GdW je F t-měřitelný Důkaz: První tvrzení plyne ihned z definice. Dokážeme druhé tvrzení. Nechť G je jednoduchá funkce, tedy G t, ω) = G k ω) pro t k t < t k+1, kde k =,..., m 1. Jelikož G k ω) závisí jen na W s) pro s t k z neanticipativnosti), dostáváme: = E m 1 k= T GdW ) = E E G k ω) W k ) = m 1 k= m 1 k= Protože E G k ω)) < a E W k ) =, platí m 1 k= G k ω) W k ) = E G k ω)) E W k ) =. E G k ω)) E W k ). 6.3 Itôovo lemma Motivace: Nechť f je hladká funkce na intervalu [a, b]. Uvažujme rovnoměrné dělení intervalu a = t < t 1 <... < t n = b, kde t i = t i+1 t i = b a n pro všechna i =, 1,..., n 1. Pak platí, s využitím Taylorova polynomu n 1 n 1 f b) f a) = f t i+1 ) f t i ) = f t i ) t i + 1 f t i ) t i ) +... i= i= 44

45 f je hladká, tedy f t) < M pro nějakou konstantu M na [a, b]. Odtud 1 n 1 f t i ) t i ) i= pro n. Tedy pro n : n 1 i= 1 M i= b a n ) = n b a) M n n 1 f b) f a) = lim f t i ) t i = b f t) dt. n a Pro deterministický případ jsme tedy dostali Newton-Leibnitzův vzorec. Teď uvažujme stochastické funkce. V aplikacích, cena aktiva je funkcí Wienerova procesu W t, S t ω) = f W t ω)) Nechť f je hladká funkce. Pak n 1 f W b)) f W a)) = f W t i+1 )) f W t i )) = = f W t i )) W i + 1 f W t i )) W i ) +... Z lemmatu o kvadratické variaci víme, že n 1 W i ) b a i= i= pro n, tedy členy. řádu nelze zanedbat vyššího řadu už ano). Dostaneme tedy: n 1 f W b)) f W a)) = lim f W t i )) W ti + 1 n f W t i )) W ti ) = i= = b f W a t ) dw t + 1 b a f W t)) dt. Definice Nechť W t je Wienerův proces na pravděpodobnostním prostoru Ω, A, P ). Jednodimenzionální Itôův proces je stochastický proces tvaru: X t ω) = X + t u s, ω) ds + t v s, ω) dw s ω), 45

46 kde u, v M. Člen t u s, ω) ds je obyčejný Riemannův integrál z náhodné funkce) a t v s, ω) dw s ω) je Itôův stochastický intergrál. Poznámka. Často se Itôův proces zapisuje v diferenciálním tvaru: dx t ω) = u t, ω) dt + v t, ω) dw t ω), což je tzv. stochastický deferenciál, kde koeficient u t, ω) se obvykle nazývá drift a v t, ω) je volatilita. Věta Itôovo lemma) Nechť X t, ω) je Itôův proces se stochastickým diferenciálem dx t) = udt + vdw t), kde u, v jsou procesy třídy M. Nechť g t, x) :, ) R R je dvakrát spojitě diferencovatelná funkce. Potom Y t) = g t, X t)) je opět Itôův proces. Jeho stochastický diferenciál má tvar dy t) = g g t, X t)) dt + t x t, X t)) dx t) + 1 kde dx t)) = udt + vdw t)) = dx t)) dx t)) se počítá podle pravidel dtdt = dtdw = a dw dw = dt. g x t, X t)) dx t)), Příklad Stochastická diferenciální rovnice pro vývoj ceny akcie): Ceny se vyvíjí podle geometrického Wienerova procesu ds t = µs t dt + σs t dw t neboli Nechť a ds t S t = µdt + σdw t. g t, x) = ln x Y t = g t, S t ). 46

47 Máme tedy Podle Itôova lemmatu dostaneme kde ds t ) = σ S t dt. Tedy g t = g x = 1 x g x = 1 x. dy t) = + 1 S t ds t + 1 dy t) = 1 S t µs t dt + σs t dw t ) 1 σ dt = 1 ) ds St t ), µ 1 σ ) dt + σdw t. Odtud tedy kde W =. Tedy dy t = Y t = Y + µ 1 σ ) dt + σdw t, ) µ σ t + σw t, ln S t = ln S + µt + σw t 1 σ t má normální rozdělení ln S t N ln S + µt 1 ) σ t; σ t a má lognormální rozdělení. S t = S e µt+σwt 1 σ t 47

48 Kapitola 7 Martingaly a Itôovy proces 7.1 Definice martingalu V diskrétním případě jsme definovali martingal takto. Posloupnost náhodných veličin S n, n, která pro všechna n splňuje se nazývá martingal. E S n+1 S, S 1,..., S n ) = S n, Připomeňme si z předchozích kapitol dvě definice. Filtrace na Ω, A, P ) je systém σ-algeber F = {F t, t T }, kde pro každé t T platí F t A, a F s F t pro s t. Historie Wienerova procesu je filtrace F W = { F W t, t T } taková, že F W t je σ-algebra generovaná náhodnými veličinami W s) pro s t. Popisuje růst informace o trajektorii Wienerova procesu v závislosti na čase. Pokud bude zřejmé z kontextu že uvažovaná filtrace je historie Wienerova procesu, budeme horní index W vynechávat. Definice Nechť {W t ; t } je Wienerův proces na pravděpodobnostním prostoru Ω, A, P ) a { F W t, t } je historie Wienerova procesu. Stochastický proces M t se nazývá martingal vzhledem k Ft W, jestliže: M t je neanticipativní tj. M t je určeno hodnotami Wienerova procesu do času t), E [ M t ] < pro t, platí tzv. Martingalová podmínka E [ M s F W t ] = Mt pro všechna s t. 48

49 Řečeno slovy: Očekávání budoucí hodnoty je rovno současné hodnotě. Věta Nechť {W t) ; t } je Wienerův proces na pravděpodobnostním prostoru Ω, A, P ) a {F t, t } je historie Wienerova procesu. Pak W t) je martingalem vzhledem k {F t, t }. Důkaz: Musíme dokázat všechny tři vlastnosti martingalu. W t je neanticipativní, tedy W t je určeno hodnotami Wienerova procesu do času t pro s t. To je triviální. Dále E [ W t ] < kde a f = 1 πt e x t, tedy W t N, t) E [ W t ] = x 1 πt e x t dx. Jelikož jsou obě funkce v integrálu sudé, můžeme psát E [ W t ] = x 1 e x 1 t dx = x πt πt xe Zavedeme substituci s = x, ds = 1 xdx a dostáváme t t t dx 1 E [ W t ] = e s 1 t) ds = πt πt tes ds = = t πt es ds = t πt [e s ] = t πt 1 e ) = Zbývá nám dokázat, že E [W s F t ] = W t, pro s t, E [W s F t ] = E [W t + W s W t ) F t ] = = E [W t F t ] + E [W s W t F t ] = W t + = W t neboť W s W t a W t jsou nezávislé, tedy E [W s W t F t ] =. t πt < V diskrétním případě je martingalová transformace martingal. Ve spojitém případě je analogií martingalové transformace Itôův integrál. Platí ) s E s 1 a t, ω) dw = pro každé s 1, s, odkud plyne, že Itôův integrál je martingal. 49

50 7. Itôův proces a stopping time Definice Nechť W t) je standardní Wienerův proces na Ω, A, P ) a {F t } je historie Wienerova procesu. Nezáporná náhodná veličina τ se nazývá stopping time čas zastavení ), jestliže pro všechna t je událost jev) {τ t} prvkem σ-algebry F t. V čase t tedy víme, zda čas τ už nastal, nebo ne. Příklad 7... První čas průchodu bodem a: Nechť a >, τ a = min t {t, ) ; W t) = a} a τ a = pokud neexistuje t takové, že W t) = a. Je vidět, že τ a je stopping time. Příklad Maximum na intervalu [, T ] není stopping time. Definujeme M T ) = max W t) t [, T ] maximální hodnotu W t), a τ = min t {t [, T ], W t) = M T )} čas dosažení maxima. V čase t nevíme, jestli τ nastal nebo ne může být potom ještě vyšší hodnota), tedy nejde o stopping time. Věta Princip reflexe): Nechť W t) je Wienerův proces, a > a τ a) je čas prvního dosažení bodu a. Platí P [τ a) < t] = P [W t) > a]. Výraz na pravé straně rovnice umíme spočítat: P [W t) > a] = a 1 e r t dx. πt Důkaz: Je-li W t) > a, pak ze spojitosti trajektorií Wienerova procesu plyne, že τ a) < t. Protože τ a) je stopping time, W t + τ a)) W τ a)) je Wienerův proces, který je nezávislý na vývoji před časem τ a). Tedy W t) W τ a)) N, t τ a)) 5

51 Ze symetrie normálního rozdělení plyne P [W t) W τ a)) > τ a) < t] = P [W t) W τ a)) < τ a) < t] = 1. Tedy P [W t) > a] = P [τ a) < t W t) W τ a)) > ] = Celkem = P [τ a) < t] P [W t) W τ a)) > τ a) < t] = 1 P [τ a) < t] P [τ a) < t] = P [W t) > a]. Poznámka. Pokud víme, že τ a) < t, pak je stejná pravděpodobnost, že se W t) nachází na úrovni a jako pod úrovní a. 51

52 Kapitola 8 Cameron-Martinova věta 8.1 Radon-Nikodýmova derivace Při oceňování složitějších typů opcí závislých na cestě je potřeba tzv. Cameron- Martinova věta nebo její obecnější verze Girsanova věta). Nechť W t) je standardní Wienerův proces na Ω, A, P ). Nechť W je Wienerův proces s driftem, W t) = W t) + γt pro nějakou reálnou konstantu γ. Chceme najít pravděpodobnostní míru Q na Ω tak, aby W t) byl obyčejný Wienerův proces na pravděpodobnostním prostoru Ω, A, Q). Poznámka: Prostor Ω, který často ani není explicitně zadán, můžeme ztotožnit s prostorem všech trajektorií Wienerova procesu, tedy s prostorem všech spojitých funkcí na intervalu [, T ]. Změna míry je tedy proces který mění pravděpodobnost jednotlivých trajektorií přesně řečeno jejich okolí). Radon-Nikodýmova derivace Q vůči P, označovaná dq, umožňuje převádět dp jednu pravděpodobnostní míru na jinou. Definice Nechť Ω, A) je pravděpodobnostní prostor, na kterém jsou dány dvě pravděpodobnostní míry P a Q. Říkáme, že P a Q jsou ekvivalentní, jestliže platí P A) = Q A) =. Definice Nechť P a Q jsou ekvivalentní míry na Ω, A) a pro náhodnou veličinu Z = dq platí dp E Q X) = XdQ = X dq dp dp = Ω 5 Ω

53 [ ] dq = XZdP = E P XZ) = E P Ω dp X, pak Z se nazývá Radon-Nikodýmova derivace pravděpodobnostní míry Q vzhledem k pravděpodobnostní míře P. 8. Cameron-Martinova věta Věta Cameron-Martin): Nechť {W t) : t [, T ]} je standardní Wienerův proces na pravděpodobnostním prostoru Ω, A, P ). Nechť Q je pravděpodobnostní míra, jejíž Radon-Nikodýmova derivace vzhledem k P je dq dp ω) = exp γw T, ω) 1 ) γ T. Pak W t) = W t) + γt je Wienerův proces a tedy marginal) vzhledem ke Q. Je-li například γ <, pak vzhledem k míře Q je pravěpodobnost trajektorie tím větší, čím je větší její hodnota v čase T viz. obrázek u hesla Girsanovova věta na wikipedii). Opravdu, v Radon-Nikodýmově derivaci druhý člen v exponentu nezávisí na trajektorii a první je přímo úměrný hodnotě procesu v bodě T. K důkazu je třeba moment generující funkce, připomeneme její definici. Definice 8... Moment generující funkce náhodné veličiny X je definován jako ψ θ) = E [ e θx] = e θx f x) dx, kde f je hustota X. Lemma Nechť X je náhodná veličina s rozdělením R N, σ ) a θ je parametr. Pak E e θx) = e 1 θ σ. Důkaz: E e θx) = eθx df x) = 1 x eθx e σ dx = 1 x eθx σ πσ πσ dx. 53

54 Doplníme na čtverec v exponentu, E e θx) = 1 [ ] x πσ e σ θx dx = 1 [ πσ e protože je hustota N = 1 e θ σ πσ [ x e θ σ σ [ 1 e πσ ] x θ σ σ x θ σ σ ] dx = e θ σ, ] + θ σ dx = θ σ ; σ ), jejíž integrál přes celou reálnou osu je roven jedné. Důkaz Cameron-Martinovy věty: Chceme dokázat, že W t) = W t) + γt je standardní Wienerův proces vůči pravděpodobnostní míře Q, kde dq ω) = exp γw T, ω) 1 ) dp γ T. Musíme dokázat vlastnosti Wienerova procesu vzhledem ke Q. Máme W ) = W ) + γ =. Spojitost trajektorií plyne ze spojitosti trajektorií W t) a spojitosti funkce γt. Dále s využitím přechozího lemmatu dokážeme, že W t) má vůči Q rozdělení N, t). Víme, že moment generující funkce určuje jednoznačně pravděpodobnostní rozdělení. Vypočteme moment generující funkce W t) vůči Q, ) ) E Q e θ W t) dq [ ] = E eθ W t) P = E P e γw T ) 1 γ T +θw t)+γt) = dp = e 1 γ T +θγt E P e γw T )+θw t) ) = e 1 γ T +θγt E P e γw T ) W t)) γw t)+θw t) ). Víme, že W t) a W T ) W t) jsou nezávislé z definice Wienerova procesu). Tedy 54

55 e 1 γ T +θγt E P e γw T ) W t)) γw t)+θw t) ) = = e 1 γ T +θγt E P e γw T ) W t)) ) E P e θ γ)w t) ). Použitím předchozího lemmatu s hodnotami σ = t respektive σ = T t, je tedy výraz roven neboť e 1 γ T +θγt e γ T t) e θ γ) t = e θ t, 1 γ T + θγt + γ T γ t + θ γ t θγt + t = θ t. To je ale moment generující funkce N, t). Zcela analogicky se dokáže, že W s) W t) má rozdělení N, s t) pro s > t vůči Q. 8.3 Girsanovova věta Girsanovova věta zobecňuje Cameron-Martinovu větu na případ obecného driftu. Věta Girsanov): Nechť W t, ω), t T je Wienerův proces na Ω, A, P ). Nechť γ t, ω) je adaptovaný proces vzhledem k historii Wienerova procesu, pro který )] 1 T E P [exp γ t) dt <. Pak existuje pravděpodobnostní míra Q na Ω, A) taková, že platí Q P, dq ω) = exp T dp γ t, ω) dw t, ω) 1 ) T γ t, ω) dt a je Wienerův proces vzhledem ke Q. W t, ω) = W t, ω) + T γ s, ω) ds Věta obrácená Girsanovova věta): Nechť W t, ω), t T 55