Masarykova univerzita v Brnì Pøírodovìdecká fakulta Katedra Matematiky. PRÙNIKY TÌLES V KOLMÉ AXONOMETRII (sbírka pøíkladù) Bakaláøská práce

Transkript

1 Masarykova univerzita v Brnì Pøírodovìdecká fakulta Katedra Matematiky PRÙNIKY TÌLES V KOLMÉ AXONOMETRII (sbírka pøíkladù) Bakaláøská práce Martin Brauner Brno 2006

2

3 Vedoucí bakaláøské práce: doc. RNDr. Josef Janyška, Csc. Vypracoval: Martin Brauner 3

4 Dìkuji: doc. RNDr. Josefu Janyškovi CSc. z Katedry matematiky Pøírodovìdecké fakulty Masarykovy univerzity v Brnì za konzultace a odborné vedení pøi vypracovávání bakaláøské práce a cenné rady, které mi poskytnul. 4

5 Prohlašuji, že jsem bakaláøskou práci zpracoval samostatnì a použil pouze literaturu uvedenou v seznamu literatury, který je v práci uveden. Souèasnì souhlasím, aby práce byla uložena na Masarykovì univerzitì v Brnì v knihovnì Pøírodovìdecké fakulty a popøípadì také zpøístupnìna na internetových stránkách fakulty ke studijním úèelùm.... 5

6

7 Obsah Úvod...9 Kapitola 1. PRÙNIKY HRANATÝCH TÌLES...11 Kapitola 2. PRÙNIKY ROTAÈNÍCH TÌLES...31 Kapitola 3. PRÙNIKY HRANATÝCH TÌLES S TÌLESY ROTAÈNÍMI...51 Seznam použité literatury

8

9 ÚVOD Tato sbírka řešených úloh z kolmé axonometrie se zabývá zobrazováním průniků těles. Je určena studentům předmětu Zobrazovací metody III, vyučovaného na PřF MU v Brně. Sbírka obsahuje 17 příkladů rozdělených do tří kapitol. První kapitola se zabývá průniky hranatých těles, druhá kapitola průniky rotačních těles a ve třetí kapitole se mluví o průnicích těles hranatých s tělesy rotačními. Na začátku každé kapitoly, popřípadě podkapitoly, je naznačen obecný postup řešení daného typu průniku. Následuje několik příkladů, u nichž je uveden konkrétní postup řešení, který je doplněn názorným obrázkem. Tomu odpovídá i typografické členění sbírky; zadání i postup řešení jsou vždy uvedené na sudé straně, obrázku se znázorněnou konstrukcí je pro jeho velikost ponechána celá strana lichá a to z toho důvodu, aby čtenář nemusel při sledování postupu obracet listy. U čtenáře se předpokládají základní znalosti kolmé axonometrie a konstrukcí v ní používaných. Popis konstrukcí je pokud možno stručný, při opakovaných konstrukcích uvedeme postup provedení první z nich, další již na tento postup odkazují. Sbírka je doplněna sadou listů s předrýsovaným zadáním. Ke každé kapitole je přiřazeno několik těchto listů, které obsahují zadání příkladů zde řešených a zadání příkladů podobných typů, u nichž řešení uvedeno není. Pro zadání byl zvolen způsob, který je pro studenty nejméně náročný na čas - úlohy jsou předkresleny na volných listech a tím hned připraveny ke konstruktivnímu řešení. Odpadá tím zdlouhavé a nepřehledné zadávání pomocí kót. Tento způsob zadávání má však ještě i další výhody. Je jím zajištěno, že všichni studenti mají před sebou naprosto stejné zadání příkladů, takže je zde možnost lepší kontroly práce, ať již vzájemné nebo prováděné učitelem. Předrýsovaná zadání jsou řešena tak, aby student musel pro vyrýsování celého tělesa provádět co nejméně konstrukcí, zároveň však aby bylo použito co nejméně čar. U některých úloh je uvedeno i úplné slovní zadání, podle kterých mohou studenti zadaná tělesa vyrýsovat sami. 9

10 10 Úvod V textu je pomocná průmětna xy někdy označována jako půdorysna, průmětna yz jako bokorysna a průmětna xz jako nárysna. Tam, kde to není nutné, není zadán axonometrický trojúhelník, jsou pouze znázorněny souřadné osy.

11 KAPITOLA 1 PRŮNIKY HRANATÝCH TĚLES Jestliže jsou v prostoru umístěna dvě hranatá tělesa tak, že mají společnou část, potom hovoříme o průniku hranatých těles. V takovém případě jednotlivé hrany těles protínají jednotlivé stěny druhého tělesa. Když průsečíky hran pospojujeme tak, aby spojující úsečky ležely ve dvou stěnách obou dvou těles, dostaneme prostorový n-úhelník, který nazýváme průnik. Průnikový n-úhelník sestrojíme tak, že vyhledáme průsečíky hran obou těles se stěnami druhého těles a získané průsečíky uvedeným způsobem pospojujeme úsečkami. Části společné oběma tělesům říkáme jádro. 1. Průnik dvou jehlanů Průnikem dvou jehlanů je prostorový n-úhelník, ve kterém se protínají stěny obou jehlanů. Protože strany průniku leží na různých stěnách téhož tělesa, je průnik čára prostorová, a ne rovinná. Vrcholy průnikového n-úhelníka sestrojíme jako průsečíky hran jednoho tělesa s druhým a naopak. To znamená, že musíme několikrát zkonstruovat průsečíky přímky s tělesem. Obecně budeme při konstrukci průniku dvou jehlanů postupovat takto: oběma vrcholy jehlanů vedeme vrcholovou přímku m. Touto přímkou a pobočnými hranami obou jehlanů sestrojíme vrcholové roviny, které protínají jejich povrchy v povrchových přímkách. Průsečíky pobočné hrany jednoho jehlanu s povrchovými přímkami téže roviny na druhém jehlanu jsou hledané vrcholy průniku. Vrcholová rovina, jež prochází pobočnou hranou jehlanu a neprotíná jej, se nazývá styčná. Některá styčná rovina jednoho jehlanu odtíná od druhého jehlanu lichou (volnou) část, která se na průniku nepodílí. Počet lichých částí a jejich poloha nám umožňuje předem určit druh průniku. Jsou-li obě liché části na témže jehlanu, jde o úplný průnik [Obr. 1 a)]. Při úplném průniku jeden jehlan prostupuje úplně druhým jehlanem a průnikový mnohoúhelník se rozpadá na dvě samostatné části. 11

12 12 1. Průniky hranatých těles Je-li jedna lichá část na jednom jehlanu a druhá na druhém, potom se oba jehlany pronikají jen ze strany a vznikne částečný průnik [Obr. 1 b)]. Průnikový mnohoúhelník je jenom jeden. Jestliže jedna lichá část je nulová, což nastane o jehlanů majících společnou styčnou rovinu, jde o přechod od úplného průniku k částečnému [Obr. 1 c)]. Průnikový n-úhelník má dvojný bod, do něhož přicházíme po obvodu dvakrát. Průnik můžeme považovat za jednu nebo dvě části. Jsou-li obě liché části nulové, pak průnikový n-úhelník má dva dvojné body. Obr. 1 a) b) c) dvojný bod Spojování vrcholů průnikového n-úhelníka si můžeme velmi ulehčit a zpřehlednit sestavením pomocné tabulky [Obr. 2]. Do záhlaví této tabulky vepíšeme značku příslušející danému tělesu, v tomto případě např.: J1 a J2. Do levého krajního sloupce vepíšeme znaky průsečíků hran: I, II, III, IV atd. Do zbylých dvou sloupců poté ke každému průsečíku hrany připíšeme, ve které stěně jehlanu J1, resp. J2 leží. Jestliže průsečík leží na hraně tělesa, připíšeme k tomuto průsečíku znaky obou stěn, které se v této hraně protínají. Obr. 2 J1 J2 I AC 12,13 II BC 12,13 III AB 12,23 IV BC 12,23 V AC 13,23 VI BC 13,23 VII AB,AC 12 VIII AB,AC 23 I V VIII III VII I II IV VI II

13 Po zhotovení tabulky zvolíme jeden průsečík, např. na Obr. 2 průsečík I. Tento bod podle tabulky leží ve stěně s hranou AC jehlanu J1 a ve stěnách jehlanu J2 s podstavnými hranami 12, 13. Vyhledáme další bod, u kterého jsou v tabulce připsané stejné stěny. Těmto podmínkám vyhovuje vod V, který leží ve stěnách AC jehlanu J1 a ve stěnách 13, 23 jehlanu J2. Oba dva body tedy leží ve stejných stěnách AC a 13, takže je můžeme spojit úsečkou. Bod V je možno spojit s bodem VIII, protože oba leží v obou stěnách AC jehlanu J1 a 23 jehlanu J2 atd. Jak můžeme vidět, průnikový n-úhelník na obr.2 má dvě části, jedná se tedy o průnik úplný. Po sestrojení průnikového n-úhelníka vyznačíme viditelnost těles. Kromě viditelnosti jednotlivých těles je třeba si všímat také toho, že tělesa se v určitých částech i překrývají. Z průnikového n-úhelníka je vidět pouze tu část, která leží na viditelných stěnách obou těles. Pokud nějaká viditelná hrana protíná neviditelnou stěnu druhého tělesa, není tato hrana viditelná až po průsečík, ale jen po hranu dané stěny. Například na Obr.2 protíná hrana 3 jehlanu J2 stěnu druhého jehlanu ACM v bodě V. Stěna ACM ani bod V nejsou viditelné, proto je hrana 3 viditelná jen vlevo od hrany AM jehlanu J1. 13

14 14 1. Průniky hranatých těles Úloha 1. Sestrojte průnik kolmého, pravidelného čtyřbokého jehlanu s kosým, trojbokým jehlanem. Čtyřboký jehlan je dán svým vrcholem V a podstavou v průmětně xy, jehlan trojboký je dán vrcholem V a podstavou v průmětně xz. Řešení. Vrcholy V a V obou jehlanů vedeme vrcholovou přímku m. Vrcholovou přímkou a pobočnými hranami obou jehlanů proložíme vrcholové roviny. Tyto roviny nám tvoří svazek rovin jejichž osou je vrcholová přímka m. Určíme stopník P, resp. S, přímky m s pomocnou průmětnou xy (půdorysnou), resp. xz (nárysnou). Půdorysné stopy vrcholových rovin procházejících pobočnými hranami procházejí půdorysnými stopníky pobočných hran a stopníkem P přímky m, stejně tak stopy s β, s γ těchto rovin procházejí stopníky E, F, G pobočných hran a stopníkem S. Sestrojíme tedy stopy těchto rovin. Nejdříve určíme průniky hran trojbokého jehlanu se stěnami jehlanu čtyřbokého. Budeme postupovat tak, že sestrojíme řezy čtyřbokého jehlanu vrcholovými rovinami vedenými pobočnými hranami jehlanu trojbokého. Půdorysné stopy rovin vedených hranami EV, FV a GV se v půdoryse protínají s půdorysnými stopami rovin tvořených stěnami čtyřbokého jehlanu. Pomocí těchto průsečíků určíme řezy čtyřbokého jehlanu rovinami ε, ζ, η. Průsečíky řezného mnohoúhelníka s pobočnými hranami trojbokého jehlanu nám určí průniky hran EV, FV a GV s jehlanem ABCDV. Tak například hranou GV jsme proložili vrcholovou rovinu η, pomocí průsečíků její stopy p η s hranami AB a AD jsme určili řezový trojúhelník, jehož průsečíky s hranou GV určují průnikové body I, V. Takto budeme pokračovat pro všechny hrany obou těles. Jestliže jsme zkonstruovali všechny průnikové body, musíme je ještě ve správném pořadí spojit. K tomu nám pomůže tabulka: J3 J4 I FG, EG AB II FG AB, BC III FG BC, CD IV FG CD, AD V FG, EG AD VI EG AD, CD VII EG, EF CA VIII EF BC, CD IX EF AB, BC X EF, EG AB I II III IV V VI VII VIII IX X Vidíme, že bod I leží ve stěně AB jehlanu J4 a ve stěnách FG, EG jehlanu J3. Další bod u kterého jsou připsány stejné stěny je bod II a bod X, tyto body tedy spojíme. Takto budeme postupovat dále. Dostaneme sled bodů uvedený výše. Vidíme tak, že průnikový mnohoúhelník je pouze jeden. Hrana CV a hrana GV nám určují styčné roviny, které z jehlanů navzájem odtínají liché části, jež se na průniku nepodílí. Protože každá lichá část leží na jiném hranolu, jedná se o průnik částečný. Zbývá ještě určit viditelnost. Určíme nejdříve viditelnost stěn obou těles. Jsou viditelné ty strany průniku jejichž stěny, ve kterých leží, jsou obě viditelné. V tomto případě jsou viditelné části IV V VI a I II X.

15 15

16 16 1. Průniky hranatých těles Úloha 2. Sestrojte průnik pravidelného pětibokého jehlanu se čtyřbokým jehlanem. Pětiboký jehlan je dán vrcholem V' a podstavou v průmětně xy, čtyřoký jehlan je dán vrcholem V a podstavou v průmětně yz. Řešení. Postup je stejný jako v Úloze 1. Opět se jedná o částečný průnik, neboť liché části odťaté vrcholovými rovinami δ a ι leží na různých tělesech. Tabulka průniku vypadá takto: J5 J4 I AE LK, LM II AE, DE LM III DE, CD LM IV CD, BC LM V BC LK, LM VI BC, CD LK VII CD LK, KN VIII CD, DE KN IX DE, AE KN X EA LK, KN I II III IV V VI VII VIII IX X Viditelná část průniku je pouze mezi body II I X.

17 17

18 18 1. Průniky hranatých těles

19 19 2. Průnik dvou hranolů Průnikem dvou hranolů je prostorový n-úhelník, ve kterém se protínají povrchy obou hranolů. Tak jako u průniku jehlanů, i zde leží strany průniku na různých stěnách hranolů, a je tedy průnik dvou hranolů prostorový n-úhelník. Vrcholy průniku určíme jako průsečíky hran jednoho hranolu s druhým a hran druhého hranolu s prvním. Budeme tedy provádět konstrukci průniku přímky s hranolem. Tak jako jsme u jehlanů vedli vrcholové roviny, budeme je vést i zde, s tím rozdílem, že za potřebný vrchol budeme považovat průsečík rovnoběžných hran - tedy nevlastní bod. Přímka procházející nevlastními vrcholy hranolů je potom nevlastní. Touto přímkou budeme prokládat pomocné roviny, tak aby procházeli jednotlivými hranami obou hranolů. Pomocné roviny jsou tedy rovnoběžné a protínají povrch obou těles v povrchových přímkách rovnoběžných s jeho hranami. Průsečíky těchto povrchových přímek s příslušnými hranami druhého hranolu jsou hledané vrcholy průniku. Prakticky budeme postupovat takto: hranami obou hranolů vedeme rovnoběžné pomocné roviny, z nich určíme styčné roviny a podle lichých částí určíme o jaký průnik jde. Sestrojíme řezy daných hranolů pomocnými rovinami a určíme průsečíky hran se stěnami hranolů. Stejně jako u jehlanů můžeme pro přehlednost sestavit tabulku. Podle ní pospojujeme vrcholy průnikového n-úhelníka a rozhodneme o viditelnosti jeho stran.

20 20 1. Průniky hranatých těles Úloha 3. Sestrojte průnik dvou pravidelných hranolů trojbokého a čtyřbokého. Hranol trojboký má podstavu v průmětně yz určenou stranou AB [A(0; 1,5; 3), B(0; 6; 4)] a výšku v = 9. Hranol čtyřboký má podstavu v rovině xz určenou stranou EF [E(6; 1; 0), F(2; 2; 0)] a výšku v' = 10. (10; 11; 12) Řešení. Máme dány dva pravidelné kolmé hranoly. Hranami obou těles vedeme rovnoběžné pomocné roviny, které jsou v tomto případě kolmé k pomocným průmětnám xy a xz. Konkrétně hranou AA trojbokého hranolu proložíme rovinu α a pomocí půdorysné stopy p α si odvodíme řezový n-úhelník (v tomto případě obdélník) čtyřbokého hranolu. Průsečíky tohoto n-úhelníka s hranou AA nám určí hledaný průnik hrany AA se čtyřbokým hranolem. Tuto konstrukci provedeme i pro zbývající hrany BB a CC. Určíme tak průniky hran trojbokého hranolu se stěnami hranolu čtyřbokého. Podle zadání příkladu již můžeme vidět, že hrany BB a CC jsou různoběžné a tedy se protínají. Tyto dvě hrany určují společnou styčnou rovinu. Hrana CC proniká čtyřbokým hranolem pouze v jednom bodě a to znamená, že tento bod je společný oběma průnikovým n-úhelníkům, je to tedy dvojný bod I. Průnik daných těles je přechodem od úplného průniku k částečnému. Dále určíme průniky hran čtyřbokého hranolu se stěnami hranolu trojbokého. Hranou FF proložíme rovinu β a podle průmětu v rovině xz určíme řezový obdélník trojbokého hranolu. Průsečíky FF s tímto obdélníkem nám určí průnik FF s trojbokým hranolem. Stejnou konstrukci provedeme pro hranu HH, podle průmětu v rovině xy můžeme vidět, že hrana EE do trojbokého hranolu nevniká. Nyní pospojujeme průsečíky hran tak, aby spojující úsečky ležely ve stěnách obou těles (pro názornost použijeme tabulku) a určíme viditelnost. Viditelné jsou ty strany průniku jejichž stěny, ve kterých leží, jsou obě viditelné. V tomto případě jsou viditelné pouze strany I VIII III. H3 H4 I AB, BC GH, FG II BC, AC FG III BC, AC EH IV AB, AC EF V AB, AC EH VI AC EF, FG VII AB EF, FG VIII BC EH, GH IX AB EH, GH I II VI IV VII I VIII III V IX - I

21 21

22 22 1. Průniky hranatých těles Úloha 4. Sestrojte průnik dvou kolmých hranolů. Pětiboký hranol je zadán svými podstavami, z nichž jedna je v pomocné průmětně xz, trojboký hranol je rovněž zadán podstavami, z nichž jedna je v pomocné průmětně xy. Řešení. Budeme postupovat stejně jako v předcházející úloze, pouze hranami obou těles budeme prokládat pomocné roviny kolmé k xy a k xz. Rovina α vedená hranou HH je styčná a odděluje na trojbokém hranolu lichou část, rovina γ vedená hranou CC zase odděluje lichou část na hranolu pětibokém. Jedná se tedy o částečný průnik. Uvedeme pouze tabulku průniku: H3 H5 I AB GH, DH II AB DH, DE III AB, BC DE IV BC DE, DF V AC, BC EF VI AC DE, EF VII AC DH, DE VIII AC GH, DH IX AC GH, FG X AC, BC FG XI AB, BC FG XII AB FG, GH I II III IV V VI VII VIII IX X

23 23

24 24 1. Průniky hranatých těles

25 25 3. Průnik jehlanu s hranolem Průnik jehlanu s hranolem je prostorový n-úhelník, ve kterém se protínají povrchy obou těles. Protože strany průniku leží na různých stěnách jehlanu a hranolu, je průnik prostorová čára. Vrcholy průniku jsou průnikové body pobočných hran jehlanu se stěnami hranolu a průnikové body pobočných hran hranolu se stěnami jehlanu. Průnikové body sestrojíme nejlépe užitím pomocných rovin, které procházejí spojnicí vrcholů obou těles (za vrchol hranolu považujeme nevlastní průsečík jeho hran). Protože přímka procházející oběma vrcholy je rovnoběžná s pobočnými hranami hranolu, jsou s těmito hranami rovnoběžné i pomocné vrcholové roviny. Stejně jako v předcházejících příkladech, můžeme pro průnik sestrojit pomocnou tabulku. Postup spojování vrcholů průniku a určování viditelnosti je stejný jako u průniku dvou jehlanů, resp. hranolů.

26 26 1. Průniky hranatých těles Úloha 5. V izometrii sestrojte průnik pravidelného jehlanu čtyřbokého s pravidelným hranolem trojbokým. Jehlan čtyřboký má podstavu v průmětně xy určenou stranou AB [A(7; 1; 0), B(1; 3; 0)] a výšku v = 12,5. Hranol trojboký má podstavu v průmětně xz určenou stranou EF [E(5; 0; 1), F(2; 0; 5,5)] a výšku v' = 9,5. Řešení. Vrcholem jehlanu vedeme vrcholovou přímku m rovnoběžně s pobočnými hranami hranolu. Tato vrcholová přímka je kolmá k pomocné průmětně xz, protože hranol je k této průmětně kolmý. Vrcholové roviny jsou tedy určeny přímkou m a pobočnými hranami obou těles. Tyto roviny jsou kolmé k xz a tvoří svazek rovin, jehož osou je vrcholová přímka m. Stopy těchto rovin jsou v průmětně xy rovnoběžné, v průmětně xz prochází stopníkem S přímky m. Roviny β a δ oddělují na trojbokém hranolu liché částí. Průnik bude tedy úplný. Jednotlivé roviny řežou obě tělesa v povrchových přímkách, průsečíky těchto přímek s pobočnými hranami určují vrcholy průnikového n-úhelníka. Konkrétně pobočnou hranou VD trojbokého jehlanu a přímkou m vedeme rovinu δ, tato rovina řeže hranol v obdélníku, průsečíky hrany VD a povrchových přímek řezu určí vrcholy průniku IV a X. Pro další hrany budeme postupovat obdobně. Tabulka průniku: H3 J4 I FG AB, AD II FG AB, BC III FG BC, CD IV FG AD, CD V EG AB, AD VI EG, FG AB VII EF AB, BC VIII EF BC, CD IX EG, EF CD X EG AD, CD I II III IV V VI VII VIII IX X Z průnikového mnohoúhelníka jsou viditelné pouze části I IV III a V X IX.

27 27

28 28 1. Průniky hranatých těles Úloha 6. Sestrojte průnik kolmého šestibokého hranolu s trojbokým jehlanem. Hranol je dán svými podstavami, z nichž jedna leží v pomocné průmětně xy, jehlan je dán vrcholem V a podstavou v pomocné průmětně yz. Řešení. Tato úloha se bude řešit stejně jako úloha předcházející. Vrcholem V jehlanu vedeme vrcholovou přímku m rovnoběžně s hranami hranolu. V tomto případě je přímka m kolmá k průmětně xy. Touto přímkou a hranami těles prokládáme pomocné roviny. Jak můžeme vidět, rovina β a rovina η oddělují od těles liché části, které se na průniku nepodílí. Výsledkem je proto průnik částečný. Zhotovíme tabulku průniku a určíme viditelnost. Z průnikového mnohoúhelníka je viditelná pouze část II I XII XI. H6 J3 I AB, BC KL II BC, CD KL III CD KL, LM IV CD, DE LM V DE LM, KM VI CD, DE KM VII BC, CD KM VIII AB, BC KM IX AF, AB KM X AF KM, LM XI AF KM, LM XII AF, AB LK I II III IV V VI VII VIII IX X XI - XII

29 29

30 30 1. Průniky hranatých těles

31 KAPITOLA 2 PRŮNIKY ROTAČNÍCH TĚLES Jsou-li v prostoru umístěna dvě rotační tělesa tak, že mají společnou část, hovoříme potom o průniku rotačních těles. Společné body průniku tvoří průnikovou křivku. Pláště rotačních těles jsou částmi rotačních ploch, což jsou plochy druhého stupně a tedy průnikovou křivkou je prostorová křivka stupně čtvrtého (2 2). Body průnikové křivky obecně hledáme tak, že volíme pomocné roviny, které řežou plochy v jednoduchých křivkách (kružnicích nebo tvořících přímkách), průsečíky těchto křivek jsou potom hledané body průniku. V kolmé axonometrii volíme pomocné roviny téměř vždy tak, aby řezaly rotační plochy v tvořících přímkách. Druhá možnost, kdy pomocné roviny řežou plochy v kružnicích, je pro tuto zobrazovací metodu nevhodná, neboť zobrazování daných kružnic by bylo poměrně pracné. 1. Průnik dvou kuželů Průnikem dvou kuželů je prostorová křivka, ve které se protínají povrchy kuželů. Plášť kužele je částí kuželové plochy, která je plochou druhého stupně stejně jako plocha válcová či kulová. Tyto plochy se nazývají plochy druhého stupně, protože obecná přímka je protíná ve dvou průsečících. Průnikem ploch druhého stupně je prostorová křivka čtvrtého stupně (2 2) stupeň prostorové křivky je určen počtem průsečíků křivky s obecnou rovinou. Obecná rovina protíná tedy průnikovou prostorovou křivku dvou ploch druhého stupně ve čtyřech bodech. Jednotlivé body průniku určíme jako průsečíky stran jednoho kužele s povrchem druhého a naopak. Užijeme pomocných rovin, které volíme tak, aby řez kuželem byl jednoduchý a jeho konstrukce snadná. V kolmé axonometrii máme v podstatě jedinou volbu a to takovou, aby rovina řezala kužel ve tvořících přímkách. Z toho plyne, že budeme využívat vrcholových rovin. Průnik dvou kuželů sestrojíme stejným postupem jako průnik dvou jehlanů: vrcholy obou jehlanů vedeme přímku, touto vrcholovou přímkou proložíme pomocné vrcholové roviny jako 31

32 32 2. Průniky rotačních těles u jehlanů. Místo styčných rovin sestrojíme vrcholovou přímkou ke kuželi tečné roviny, jež utínají na druhém kuželi lichou část. Podle lichých částí určíme předem, jaký bude druh průniku (úplný, jsou-li obě liché části na podstavě téhož kužele; částečný, jsou-li liché části na podstavách různých kuželů; přechod od částečného průniku k průniku úplnému, je-li jedna lichá část nulová a potom se obě tělesa dotýkají v bodě, který je dvojným bodem průniku; a nakonec, jsou-li obě liché části nulové, pak obě tělesa mají společné tečny, průnik má dva dvojné body a je jimi rozdělen na dvě části). Poté vedeme ostatní pomocné vrcholové roviny jednotlivými stranami obou kuželů. Strany řezů ležící v téže pomocné rovině se protínají v jednotlivých bodech průniku. Viditelnost učíme podle průsečíků, popřípadě tečných bodů průnikové křivky a obrysu kužele. Nezasahuje-li průnik do podstavné kružnice, určujeme pouze dotykové body průnikové křivky a obrysových přímek. Ty určíme tak, že obrysovými přímkami proložíme pomocné vrcholové roviny, průsečíky obrysových přímek a řezných trojúhelníků určují hledané dotykové body. Obrysové přímky dělí kužel na dvě části, na část viditelnou a část, kterou nevidíme. Obrysová křivka je vidět právě když leží v obou viditelných částech obou kuželů. Krajními body viditelné části jsou právě dotykové body průnikové křivky s obrysovými přímkami.

33 33

34 34 2. Průniky rotačních těles Úloha 7. Sestrojte průnik dvou kolmých rotačních kuželů, jejichž podstavy leží v průmětně xy. Každý z obou rotačních kuželů je dán středem, poloměrem podstavné kružnice a svou výškou. Řešení. Průnikovou křivku dvou kuželů vyšetříme, sestrojíme-li několik jejích bodů, které spojíme plynulou čarou. Budeme postupovat stejně jak jsme popsali výše. Vrcholy obou jehlanů vedeme přímku m. Najdeme její stopníky, v tomto případě nám stačí najít stopník P. Dále budeme prokládat přímkou m pomocné vrcholové roviny. Pomocné roviny budeme zobrazovat pomocí jejich průmětů v rovině xy. Abychom sestrojili řezy kužele těmito rovinami, musíme znát průsečíky půdorysných stop těchto rovin s podstavou kužele. Pro určení přesných průsečíků je nejvýhodnější užít afinitu. Rovinu xy, otočíme do axonometrické průmětny, určíme otočené průměty podstav k, k, otočíme stopník P a v otočení sestrojíme stopy pomocných rovin. Určíme jejich průsečíky s podstavami a tyto odvodíme pomocí afinity zpět do xy. Nejdříve sestrojíme pomocné roviny ω a σ, jsou to tečné roviny kužele s vrcholem V. Vidíme, že menší kužel neprotínají. Sestrojíme tedy tečné roviny φ a τ k menšímu kuželi, vidíme, že na větším kuželi odtínají liché části. Protože obě liché části leží na témže kuželi, jedná se o průnik úplný. Ze zadání můžeme vidět, jeden z průsečíků podstav kuželů je bodem dotyku obrysové přímky většího kužele a elipsy, do níž se zobrazí jeho podstava. Průsečíky III a T II jsou jistě body průnikové křivky. Dále prokládáme přímkou m pomocné roviny, které řežou kužele v povrchových přímkách a jejich průsečíky určují body průnikové křivky. Křivku sestrojíme bodově, je tedy nejlépe získat průnikových bodů co nejvíce. Zkonstruujme bod I. Přímkou m vedeme rovinu α, tato rovina prochází osami obou kuželů. Pomocí afinity odvodíme průsečíky její stopy a podstav kuželů. V otočení přímka (p α ) protíná (k) a (k ) v bodech (A) a (B), odvodíme je zpět do xy. Body A, B prochází přímky řezu, jejich průsečík I určuje průnikový bod. Pro získání dalších bodů postupujeme stejně. Zbývá určit viditelnost. To znamená určit dotykový bod průnikové křivky a obrysové přímky procházející bodem T I. Proložíme obrysovou přímkou rovinu β. Ta řeže kuželové plochy v povrchových přímkách. Vzájemný průsečík těchto dvou řezů určí hledaný dotykový bod II, který je zároveň bodem změny viditelnosti průniku. Křivka je tedy viditelná od bodu III do bodu II.

35 35

36 36 2. Průniky rotačních těles Úloha 8. Sestrojte průnik dvou kolmých rotačních kuželů, z nichž jeden má podstavu v průmětně xy a druhý v průmětně xz. Každý z obou rotačních kuželů je dán středem, poloměrem podstavné kružnice a svou výškou. Řešení. Postup je podobný jako u Úlohy 7. Vrcholy obou kuželů vedeme přímku m. Určíme její stopníky P a S. Přímkou m prokládáme vrcholové roviny, které řežou kužele v trojúhelníkových řezech, průsečíky řezů určují body průnikové křivky. Pomocné vrcholové roviny zobrazujeme pomocí jejich stop, jež procházejí stopníky P a S. Průsečíky těchto stop a podstav rotačních kuželů můžeme opět určit pomocí afinity popsané v předchozí úloze. Vyšetříme nejdříve typ průniku. Sestrojíme tečné roviny ω a φ ke kuželi s podstavou v rovině xy. Vidíme, že ω odděluje na druhém kuželi lichou část zatímco φ druhý kužel neprotíná. Podobně sestrojíme tečné roviny σ a τ ke druhému kuželi. Vidíme, že liché částí leží na podstavách různých kuželů, jedná se tedy o průnik částečný. Další body křivky sestrojujeme stejně jako u předešlé úlohy. Určíme ještě viditelnost. To znamená zkonstruovat body dotyku průnikové křivky s obrysu kuželů. Prokládáme tedy obrysovými površkami pomocné roviny a hledáme průniky řezů s obrysovými površkami. Konkrétně površkou procházející bodem T I proložíme rovinu α, tato rovina řeže druhý kužel ve dvou površkách, jejich průsečíky s první površkou určují body T III a T IV, což jsou dotykové body průnikové křivky a obrysových površek kužele o vrcholu V. Tyto body rozdělují křivku na část viditelnou a neviditelnou. Další body určující viditelnost sestrojíme stejným postupem. Viditelné části křivky musí ležet na obou viditelných částech plášťů obou kuželů. Viditelná část je tedy pouze mezi body T IV a T IV.

37 37

38 38 2. Průniky rotačních těles

39 39 2. Průnik dvou válců Průnikem dvou válců je obecně prostorová křivka čtvrtého stupně. Průnikovou křivku dvou válců sestrojíme, vyšetříme-li několik jejích bodů, které spojením vytvoří plynulou čáru. Metoda hledání průnikových bodů bude stejná jako u průniku dvou kuželů. Oběma válci budeme vést roviny procházející spojnicí jejich vrcholů. Vrcholy válců jsou nevlastní body, a tedy jejich spojnice je nevlastní přímka. Pomocné roviny proložené touto přímkou jsou rovnoběžné. Tyto roviny řežou válce ve tvořících přímkách, vzájemné průsečíky těchto řezů jsou potom hledané body průnikové křivky. Stejně jako u průniku dvou kuželů vyšetřujeme i typ průniku pomocí tečných rovin a jimi oddělovaných lichých částí. Viditelnost průnikové křivky určujeme opět pomocí hledání průniků obrysových přímek jednoho válce s pláštěm válce druhého a naopak.

40 40 2. Průniky rotačních těles Úloha 9. Sestrojte průnik dvou rotačních válců, z nichž jeden má podstavu na průmětně xy určenou středem S(5,5; 5,5; 0), poloměrem r = 2,5, a výšku v = 12; druhý má podstavu na průmětně xz určenou středem R(5; 0; 6), poloměrem r' = 3, a výšku v' = 11. (10; 12; 12). Řešení. Průnikovou křivku vyšetříme, najdeme-li několik jejích bodů a spojíme je plynulou čarou. Spojnicí nevlastních vrcholů válců povedeme pomocné roviny. Protože osa prvního válce je kolmá k xy a osa druhého válce je kolmá k xz, budou pomocné vrcholové roviny k těmto průmětnám také kolmé. Nejdříve vyšetříme typ průniku. K oběma válcům vedeme tečné vrcholové roviny. Vidíme že rovina ξ odděluje na válci s podstavou v rovině xz lichou část, další tečná rovina ε je společnou tečnou rovinou obou válců. Průnik bude mít tedy dvojný bod a bude se jednat o přechod od částečného průniku k úplnému. Dvojný bod leží v rovině ε a je určen průsečíkem dotykových přímek roviny ε k oběma válcům. Tento bod označíme římskou číslicí IX. Průsečíky stop a pomocných rovin můžeme opět výhodně hledat pomocí afinity mezi axonometrickým průmětem podstavy a jejím obrazem v otočení do axonometrické průmětny. Průmětnu xz jsme otáčeli podle XZ, u průmětny xy jsme využili toho, že se jedná o dimetrii a tedy průmět je souměrný podle osy z. K určování průsečíků podstav a stop stačí znát v otočení pouze směry souřadných os. Nyní budeme hledat body průnikové křivky, postup je obdobný jako u průniků dvou kuželů. Konkrétně osou válce kolmého na xz vedeme pomocnou rovinu η, tato rovina je rovnoběžná s osami obou válců (stejně jako všechny pomocné vrcholové roviny), pláště obou válců řeže ve tvořících přímkách. Průsečíky řezu jednoho válce s řezem válce druhého jsou body XII, XIII, XIV, XV. Tím jsme určili čtyři hledané body průnikové křivky. Při hledání dalších bodů postupujeme stejně. Zbývá určit viditelnost průnikové křivky. Opět je postup stejný jako u kuželů. Obrysovými površkami proložíme pomocné vrcholové roviny. Průsečíky řezných obdélníků s danými površkami určují dotykové body křivky k obrysu válce a tedy i krajní body viditelných částí průnikové křivky. Konkrétně obrysovou površkou danou body G a G proložíme rovinu γ, tato rovina řeže válcovou plochu určenou druhým kuželem ve dvou tvořících přímkách. Jejich průsečíky s hranou GG jsou body T V a T VI. Tyto body jsou body dotyku průnikové křivky a hrany GG. Bod T VI je bodem změny viditelnosti průnikové křivky, bod T V nikoliv, protože leží ve viditelné části pouze jednoho válce. Pro další body postupujeme stejně. Křivka je viditelná mezi body T I, T II a T IV, T VI, a protíná se ve dvojném bodě IX.

41 41

42 42 2. Průniky rotačních těles Úloha 10. Sestrojte průnik dvou shodných rotačních válců o poloměru r = 2,5 a výšce v = 11, jejichž osy se kolmo protínají v bodě M(5,5; 5,5; 5,5). Podstava jednoho válce leží v průmětně xy, podstava druhého leží v průmětně yz. (10; 12; 12). Řešení. Vidíme, že válce jsou ve speciální poloze. Tomu bude odpovídat i průnik. K sestrojení bodů průnikové křivky budeme i zde používat pomocných vrcholových rovin (které jsou rovnoběžné), avšak samotnou křivku nebudeme muset konstruovat bodově. Sestrojíme-li vrcholové tečné roviny ω, ψ a ρ, σ k oběma válcům, zjistíme, že tyto tečné roviny jsou po dvou totožné a obě liché části jsou tedy nulové. Jak bylo uvedeno výše, obě tělesa mají tedy společné tečny a průnik má dva dvojné body. Těmito body je rozdělen na dvě části, v tomto případě identické elipsy, které se nám zobrazí jako různé elipsy. Dvojné body D a C jsou průsečíky tečen rovin ω a σ. Obě elipsy mají jistě střed v bodě M (je to průsečík os obou válců). Protože elipsa je rovinná křivka druhého stupně, lze k ní najít rovinu ve které leží. Body D a C omezují průměr obou elips. Protože osy obou válců jsou rovnoběžné s průmětnou xz, budou roviny obou elips na tuto průmětnu kolmé. Průsečnice m těchto rovin je přímka určující průměr CD. To znamená, že stopy rovin v průmětnách xy a yz jsou s tímto průměrem rovnoběžné. Dále ukážeme konstrukci pouze jedné elipsy, druhá se bude sestrojovat stejně. Elipsa e tedy leží v rovině α, stopy p α a n α jsou rovnoběžné s DC. K průměru DC najdeme průměr sdružený. Mezi elipsou e a podstavnou kružnicí existuje afinní vztah, v afinitě o ose p α. Průměr DC je afinním obrazem průměru D C, to znamená, že když osou o proložíme pomocnou vrcholovou rovinu γ, jejíž stopa p γ je kolmá k průměru D C, můžeme odvodit pomocí řezů obou válců touto rovinou (podle obvyklého postupu popsaného výše) průměr AB, který je sdružený s průměrem DC. Podle Rytzovy konstrukce odvodíme skutečné průměry axonometrického obrazu elipsy. Viditelnost vyšetříme postupem uvedeným v předchozí úloze. Elipsy jsou viditelné mezi body T II, T IV a T VII, T VIII.

43 43

44 44 2. Průniky rotačních těles

45 45 3. Průnik válce s kuželem Pláště válce i kužele jsou rotační plochy druhého stupně, jejich průnikem je tedy obecně prostorová křivka čtvrtého stupně. Stejně jako u předešlých případů v této kapitole, budeme tuto křivku konstruovat bodově. Postup konstrukce je taktéž stejný. Vrcholy obou těles povedeme přímku. Vzhledem k tomu, že vrchol válce je nevlastní bod a je tudíž určen směrem osy válce, bude tato vrcholová přímka s osou válce rovnoběžná (také bude procházet vrcholem kužele). Touto přímkou budeme následně prokládat pomocné roviny, jež budou řezat pláště obou rotačních těles ve tvořících přímkách. Tyto přímky leží v jedné rovině a jejich vzájemné průsečíky určí body průnikové křivky. Při dostatečném počtu bodů, spojíme tyto plynulou čarou. Typ průniku vyšetříme metodou popsanou u průniku dvou kuželů, viditelnost průnikové křivky se bude řešit podle postupu popsaného tamtéž.

46 46 2. Průniky rotačních těles Úloha 11. Sestrojte průnik rotačního válce, jehož podstava na průmětně xz je určena středem S(5,5; 0; 5) a poloměrem r = 2,5, s rotačním kuželem, jehož podstava na průmětně xy má střed Q(5,5; 5,5; 0) a poloměr r' = 4,5. Výška obou těles je v = 11. (10; 12; 12). Řešení. Vrcholy obou těles spojíme přímkou m, vrchol válce je nevlastní bod, tedy přímka m je rovnoběžná s osou válce. Touto přímkou budeme prokládat pomocné vrcholové roviny. Tyto roviny řežou pláště obou těles v površkách, vzájemné průsečíky těchto přímek jsou body průnikové křivky. Nejdříve sestrojíme tečné pomocné roviny ε a ζ ke kuželi. V průmětně xz vidíme, že na válci oddělují dvě liché části, průnik je tedy úplný a průniková křivka má dvě části. Zároveň můžeme pomocí řezů uvedených rovin sestrojit průnikové body IX, X a XI, XII. Protože osy obou těles jsou různoběžné, bude průnik osově souměrný podle osy válce. Když tedy najdeme bod průnikové křivky, můžeme k němu ihned najít protější bod je s ním osově souměrný podle osy válce. Další průnikové body konstruujeme stejným postupem. K přesnému sestrojení průsečíků stop rovin a podstav válců můžeme opět použít afinity (na obrázku je použita jen pro podstavu válce v rovině xz afinita mezi xz a jejím otočením do axonometrické průmětny, osa o). Vyšetření viditelnosti průniku provedeme opět stejným postupem jako u průniku dvou kuželů, resp. válců. První část průnikové křivky je viditelná mezi body T I, T IV, druhá část křivky je viditelná mezi body T I, T III.

47 47

48 48 2. Průniky rotačních těles Úloha 12. Sestrojte průnik rotačního válce s rotačním kuželem.válec: osa o, podstava se středem S a poloměrem r = 35 mm leží v průmětně xy, výška v = 120 mm. Kužel: vrchol V, podstava o poloměru r' = 45 mm leží v průmětně yz. Řešení. Postup je stejný jako u Úlohy 11. Vrcholová přímka m bude tentokrát kolmá na průmětnu xy. Stopy p ε, p θ tečných rovin ke kuželi určují jeho průmět v rovině xy. Už podle tohoto polohy tohoto průmětu vzhledem k podstavě kužele můžeme rozhodnout o typu průniku jedná se o průnik částečný, průniková křivka je jen jedna. K určení viditelnosti průniku aplikujeme stejný postup jako u průniku dvou kuželů. Křivka je viditelná mezi body T III, T IV a mezi body T VI, T VIII.

49 49

50 50 2. Průniky rotačních těles

51 KAPITOLA 3 PRŮNIKY HRANATÝCH TĚLES S TĚLESY ROTAČNÍMI Stěny hranatého tělesa jsou částmi rovin. Řez rotačního tělesa rovinou je obecně kuželosečka. Průnikem hranatého tělesa s tělesem rotačním je tedy prostorová křivka, která vznikne sjednocením určitých částí kuželoseček. Body, ve kterých jsou jednotlivé části kuželoseček spojeny, jsou průniky hran hranatého tělesa s rotačním tělesem. Typy průniků mohou být různé: úplný, částečný či přechod od úplného průniku k částečnému. Viditelnost průniku řešíme tak, že nejdříve určíme viditelnost jednotlivých řezů rovinami stěn hranatého tělesa. Krajní body viditelných částí leží buď na obrysových hranách hranatého tělesa, nebo na obrysu tělesa rotačního, ve speciálních případech náleží oběma obrysům. Stále platí pravidlo, že část průniku je viditelná, právě když leží na viditelné části povrchu jednoho i druhého tělesa. 51

52 52 3. Průniky hranatých těles s tělesy rotačními 1.Průnik hranolu s válcem Úloha 13. Sestrojte průnik rotačního válce, jehož podstava v průmětně xy je stanovena středem S(5; 5; 0) a poloměrem r = 2,5 a jehož výška je v = 11, s trojbokým hranolem rovnoběžným s y, jehož podstavu tvoří trojúhelník ABC [A(1,5; 0; 0), B(8,5; 0; 0), C(5; 0; 7)] a jehož výška je v' = 10. (10; 12; 12). Řešení. Podle polohy obou těles vidíme, že průnik bude sestávat z částí dvou řezů válce rovinami stěn ACC A a BCC B. Jak víme, řez válce rovinou může být buď obdélník, elipsa nebo kružnice. V tomto případě budou řezem dvě elipsy, které jsou identické, neboť roviny, ve kterých leží, mají od xy stejnou odchylku. Obrazem těchto elips budou opět elipsy, ovšem budou mít jiné parametry a budou od sebe různé. Protože osa válce protíná hranu CC v bodě R a roviny řezu mají od xy stejnou odchylku (jejich průsečnice je určena hranou CC ), je bod R středem obou elips a průnik bude osově souměrný podle osy válce. Hranou CC proložíme rovinu β kolmou k xy, průsečíky jejího řezu válce s hranou CC určí body I, II. Máme tedy jeden průměr elipsy. Průměr k němu sdružený je ten, který je ve skutečné elipse k němu kolmý. Proložíme tedy osou válce rovinu α, která je kolmá CC. Rovina α řeže válec v obdélníku, jeho průsečíky s rovinou určenou stěnou BCC B jsou body III a IV. Tyto body vymezují sdružený průměr k průměru I II. Hlavní osy elipsy a její vrcholy E, F, G, H získáme např. použitím Rytzovy konstrukce. Druhou elipsu, jež je řezem roviny určené stěnou ACC A sestrojíme podle stejného postupu. Nyní určíme části obou řezů, jež patří do průniku. Průsečnice obou řezných rovin je určena hranou CC, na této hraně také leží společné body I, II obou elips. Průniková křivka je tedy tvořena pouze částmi elips, které leží ve stěnách hranolu. Pro určení viditelnosti stačí proložit obrysovou hranou KK válce rovinu γ, ta řeže válcovou plochu v površkách, jejich průsečíky s KK jsou body T I a T II. Vidíme, že průnik je viditelný pouze mezi body T I a II.

53 53

54 54 3. Průniky hranatých těles s tělesy rotačními 2. Průnik hranolu s kuželem Úloha 14. Sestrojte průnik krychle, jejíž 3 hrany délky 6,5 leží na souřadnicových osách, a rotačního kužele, jehož podstava v průmětně xy je opsána podstavě krychle a jehož výška je v = 15. (10; 12; 13). Řešení. Průnik bude tvořen řezy kužele rovinami určených stěnami krychle. Podle polohy daných rovin můžeme ihned určit typy těchto řezů. Rovina daná stěnou A B C D řeže hranol v kružnici, která se ovšem zobrazí jako elipsa. Zbylé čtyři roviny bočných stěn krychle řežou kužel v hyperbolách. Elipsu zkonstruujeme jednoduše. Krychle je souměrná podle osy kužele, střed kružnice a tedy i zobrazené elipsy leží v průniku osy stěnou A B C D. Mezi elipsou řezu a elipsou podstavy existuje stejnolehlost se středem V. Pomocí této stejnolehlosti sestrojíme danou elipsu. Jak bylo řečeno, krychle je souměrná podle osy kužele, řezy bočnými stěnami budou tedy identické. Jejich obrazy budou po dvou identické průmět řezu stěnou ABB A bude stejný jako průmět řezu stěnou DCC D, tyto dvě stěny jsou totiž rovnoběžné. To samé platí i pro zbylé dvě bočné stěny. Ukážeme postup pouze pro řez stěnou BCC B, další řezy sestrojíme podle stejného postupu. Mezi podstavnou kružnicí a křivkou řezu platí kolineace. Středem kolineace je vrchol V, osou kolineace je p β. Najdeme úběžnici jako stopu vrcholové roviny rovnoběžné s rovinou řezu. Úběžnice v soustavě podstavy pro řez rovinou β je průměr MN podstavné kružnice. Tečnám m, n kružnice v bodech M, N odpovídají asymptoty v rovině β. Asymptoty m, n jsou rovnoběžné s paprsky VM, VN a protínají se s přímkami m, n na ose kolineace p β. Vrchol I průmětu paraboly odpovídá bodu I podstavy. (Bod I je průsečík podstavné kružnice s přímkou h, odpovídající ose hyperboly h. Přímky h, h se protínají na ose kolineace p β, h prochází nevlastním průsečíkem tečen m, n, tj. je s nimi rovnoběžná). Hyperbola v rovině β prochází samodružnými body B,C na ose kolineace. Tyto body jsou body průniku se sousedními hyperbolami. Zcela obdobně sestrojíme řez rovinou α, stejně jako řezy dalšími rovinami. Viditelnost určíme jednoduše. U elipsy sestrojíme její dotykové body s obrysem kužele. Můžeme je odvodit opět pomocí stejnolehlosti mezi touto elipsou a elipsou obrazu podstavy. Hyperbola ve stěně BCC B je vidět celá, hyperbola ve stěně ABB A je vidět mezi body B a T I. Bod T I je bod dotyku hyperboly s obrysovou hranou kužele, určíme jej podle postupu uvedeného v Kapitole 2.

55 55

56 56 3. Průniky hranatých těles s tělesy rotačními 3. Průnik hranolu s kulovou plochou Úloha 15. Sestrojte průnik kulové plochy a kolmého čtyřbokého hranolu s podstavou v průmětně xy. Hranol je dán svými podstavami, kulová plocha je zadána středem S, axonometrickým průmětem a průmětem v rovině xy. Řešení. Podle průmětu v xy vidíme, že ke konstrukci průniku bude třeba sestrojit řezy kulové plochy třemi rovinami, které jsou určeny stěnami hranolu. Uvedeme konstrukci jednoho řezu, další se sestrojí podle stejného postupu. Určíme řez rovinou α danou stěnou ABB A. Nejdříve odvodíme průmět kulové plochy do roviny xz, průmětem je elipsa, elipsu nemusíme vyrýsovat, stačí určit hlavní osy a průměry rovnoběžné se souřadnými osami. Otočíme rovinu xz do axonometrické průmětny, otočená elipsa se zobrazí jako kružnice. Mezi touto kružnicí a elipsou je afinní vztah (popsaný v Úloze 7), ten využijeme ke konstrukci průsečíků přímek s elipsou. Rovina α protíná kulovou plochu v kružnici, jejíž střed S 1 je průnik přímky m s rovinou α. V půdorysu určíme body E 1, F 1, jsou to půdorysy krajních bodů průměru elipsy, jenž je rovnoběžný s xy. Body E 1, F1 odvodíme do průmětny xz, a potom do axonometrického průmětu. Získali jsem tedy body E, F jednoho průměru elipsy. K tomuto průměru najdeme průměr kolmý, který bude v axon. průmětu průměrem k němu sdruženým. Protože elipsy řezů rovnoběžnými rovinami jsou si podobné, jsou si podobné i jejich průměty v rovině xz. Podle stejnolehlosti se středem v bodě S 3 určíme bod H 3, jenž je průmětem bodu H, ten je krajním bodem průměru sdruženého s průměrem EF. Máme tedy dva sdružené průměry, pomocí Rytzovy konstrukce určíme hlavní osy elipsy. Zbylé dva řezy určíme podle stejného postupu. Části elipsy, jež se podílejí na průniku, určíme podle průsečíků dané elipsy s hranami stěny, ve které leží. Těmito body zároveň prochází elipsa v sousední stěně. Viditelné jsou ty části průniku, které leží obou viditelných stěnách obou těles. Viditelné stěny hranolu jsou ABB A a ADD A. Části elips ležících ve viditelné části kulové plochy určíme když obrysem proložíme rovinu ρ, která je rovnoběžná s axonometrickou průmětnou Průsečnice této roviny s rovinami stěn hranolu protínají obrys kulové plochy v dotykových bodech jednotlivých elips. V těchto bodech se mění viditelnost jednotlivých řezů. Pokud daná část průniku leží jak ve viditelné hemisféře kulové plochy, tak i ve viditelné stěně hranolu, je tato část viditelná. Viditelné části průniku jsou mezi body VIII, T II a mezi body T I, T III.

57 57

58 58 3. Průniky hranatých těles s tělesy rotačními 4. Průnik jehlanu s válcem Úloha 16. Sestrojte průnik trojbokého jehlanu a kolmého rotačního válce. Jehlan je dán podstavou ABC v průmětně xy a vrcholem V, válec je dán svými podstavami, z nichž jedna leží v průmětně xz. Řešení. Podle půdorysu vidíme, že průnik bude sestávat z části řezů válce rovinami určených stěnami ABV a ACV jehlanu. Řezy budou tedy části elips. Uvedeme postup konstrukce jedné z nich, u druhé se bude postupovat stejně. Střed R elipsy e je určen průnikem osy válce s rovinou stěny ABV. Určíme sdružené průměry elipsy. K tomu potřebujeme určit stopy roviny ve které leží. Nárysná stopa leží mimo nákres, sestrojíme tedy aspoň její směr s α. Určíme průměr elipsy s ním rovnoběžný (proložíme přímkou s α rovinu α kolmou na xz, pomocí průsečnice α s rovinou elipsy určíme průměr GH). S ním sdružený průměr určíme pomocí roviny β kolmé k α. Průsečnice této roviny s pláštěm válce omezí průměr IJ. Máme tedy dva sdružené průměry, snadno již určíme hlavní osy elipsy a elipsu vyrýsujeme. Obě elipsy se stýkají na hraně AV v bodech II a III. Z průniku budou viditelné pouze části elipsy e a to mezi body II, T I a mezi body III, T III. Body T I a T III určíme pomocí řezů jehlanu rovinami γ a δ, které proložíme obrysovými površkami válce a které jsou kolmé na pomocnou průmětnu xz.

59 59

60 60 3. Průniky hranatých těles s tělesy rotačními 5. Průnik jehlanu s kuželem Úloha 17. Sestrojte průnik čtyřbokého jehlanu a kolmého rotačního kužele. Jehlan je dán podstavou ABCD v průmětně xy a vrcholem V', kužel je dán řídící kružnicí v průmětně xy, a vrcholem V. (Stěna ABV' jehlanu má od průmětny xy stejnou odchylku jako površky kužele.) Řešení. Průnik bude sestávat z částí řezů kužele rovinami určených stěnami ABV a BCV. Podle zadání víme, že stěna ABV má od průmětny xy stejnou odchylku jako površky kužele, řez touto rovnou tedy bude parabolický. Podle polohy druhé stěny vidíme, že druhý řez bude eliptický. Sestrojíme nejdříve parabolu. Průsečíky podstavné hrany AB s kružnicí podstavy kužele označíme jako body I, II. Těmito body bude parabola procházet. Osou kužele proložíme rovinu γ, která je kolmá k xy (její stopu p γ, která je kolmá k p α najdeme pomocí afinity mezi xy a otočeným průmětem xy do axonometrické průmětny). Průsečnici této roviny s rovinou stěny ABV označíme písmenem r. Vrchol P paraboly je průsečíkem přímky r s řezem kužele rovinou γ. Body dotyku paraboly k obrysu kužele určíme tak, že obrysovými hranami kužele proložíme roviny δ a ε kolmé k xy. Sestrojíme jejich průsečnice se stěnami jehlanu. Průsečíky těchto průsečnic s obrysovými hranami kužele jsou hledané dotykové body T III, T IV. Dále sestrojíme eliptický řez zobrazí se jako elipsa. Najdeme nejdříve její sdružené průměry, budou to ty průměry, které jsou hlavními osami původní elipsy. Jeden z nich je rovnoběžný se stopou p β. Osou kužele proložíme rovinu ζ kolmou k β (její stopa p ζ je kolmá k p β ). Určíme řez kužele touto rovinou a její průsečnici s rovinou β. Průsečíky III, IV této průsečnice s řezem kužele jsou koncovými body průměru elipsy. Nejdeme střed S tohoto průměru. Proložíme jím přímku m rovnoběžnou s p β. Na této přímce leží průměr sdružený s III IV. Proložíme tedy přímkou m rovinu λ procházející vrcholem V. Průsečíky přímky m s řeznými površkami kužele rovinou λ určí body V, VI. Jsou to krajní body sdruženého průměru. K nalezení hlavních můžeme použít Rytzovy konstrukce. Elipsa se dotýká obrysu kužele v bodech T IV a T V. Sestrojili jsme je stejným postupem jako u paraboly. Parabola se s elipsou stýká na hraně V B v bodech VII, VIII. Body změny viditelnosti obou řezných kuželoseček opět určíme tak, že obrysovými hranami kužele vedeme pomocné vrcholové roviny. Ty řežou plášť kužele v površkách. Průsečíky těchto površek s obrysovými hranami určí body změny viditelnosti (T III, T IV, T V, T VI ). Průnik je viditelný mezi body I, T III a mezi body II, T V.

61 61

62 62 3. Průniky hranatých těles s tělesy rotačními

63 Seznam použité literatury 63 Seznam použité literatury Jan Fehér - Jelena Frecerová - Božene Macková - Gabriel Oravec - Robert Šulka - Bohuslav Vykouk - Jozef Zámožík: Deskriptívna geometria v príkladoch, Slovenské vydavate¾stvo technickej literatúry, Bratislava, O. Hajkr - J. Hebelka - E. Jureèková - J. Láníèek - A. Lukasová - M. Øehák - A. Šarman: Sbírka øešených pøíkladù z deskriptivní geometrie (Textová èást), Edièní støedisko Vysoké školy báòské v Ostravì, Ostrava, Jaroslav Hylán - V. Lachmanová - V. Maøík - D. Øiháèek: Øešené pøíklady z deskriptivní geometrie, Státní nakladatelství technické literatury, Praha, Vladimír Jalùvka - Marie Kopecká - Josef Novák: Pøíklady na cvièení z deskriptivní geometrie, Vydavatelství ÈVUT, Praha, Zdenìk Mašek - Vladimír Mahel - Zdena Tischerová: Sbírka pøíkladù z deskriptivní geometrie, Státní nakladatelství technické literatury, Praha, Endré Pethes: 222 príkladov z deskriptívnej geometrie, Slovenské vydavate¾stvo technickej literatúry, Bratislava, Rudolf Piska - Václav Medek: Deskriptivní geometrie I, Státní nakladatelství technické literatury, 1966 Ota Setzer - Karel Kùla: Deskriptivní geometrie pro 1. a 2. roèník støedních prùmyslových škol stavebních, Státní nakladatelství technické literatury, Praha, František Tomší: Sbírka maturitních pøíkladù z matematiky a deskriptivní geometrie, Kutná Hora, Alois Urban: Deskriptivní geometrie I, Státní nakladatelství technické literatury, Praha, Alois Urban - Edita Kopincová - Oldøich Roubek: Úlohy pro cvièení z deskriptivní geometrie, Vydavatelství ÈVUT, Praha, Ferdinand Veselý - Josef Filip: Sbírka úloh z deskriptivní geometrie, Pøírodovìdecké