CHEMOMETRIKA a STATISTIKA. Prozatímní učební text vybrané příklady (srpen 2012) Miloslav Suchánek
|
|
- Renata Ševčíková
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 CHEMOMETRIKA a STATISTIKA Prozatímní učební text vybrané příklady (srpen 01) Miloslav Suchánek
2 Úkol č. 1 Maticové operace s využitím EXCELu V EXCELu jsou dvě důležité maticové operace, které nám pomohou při řešení dalších úloh. V maticových operacích pracujeme s tzv. maticovými vzorci, které uplatníme i při řešení úloh lineárních a kvadratických regresí. Matice je definována číselnými hodnotami a počtem řádků a sloupců, např. matice: 1 1 A = [ 3] 4 má tří řádky a dva sloupce, značíme ji A 3x4 nebo A(3,4). Součin matic, C, je definován vztahem, např. pro matice A, B: C = A.B Obecně neplatí A.B = B.A! Součin dvou matic je definován jen pro matice, které mají společné vnitřní indexy, např. A(nxp).B(pxm) = C(nxm) V tomto případě součin B.A není definován. Přesvědčíme se o tom v EXCELu. Součin matic naleznete ve funkcích, f(x), které si vyhledáte kliknutím na f x pod matematickými funkcemi a označením SOUCIN.MATIC. Pokud nemáte na liště tuto funkci, naleznete ji v Nástroje-Vlastní-Vložit. Postup při výpočtu součinu dvou matic: myší vyhledáte buňku s dostatečným prostorem pro výslednou matici C (nxm buněk); vyvoláte funkci SOUCIN.MATIC; označíte nejprve matici A, potom B, přesně podle návodu v okénku, které se Vám objeví (označení polí dělejte kliknutím myší na malou červenou šipku, potom myší označte pole, znovu klikněte na malou červenou šipku) ; OK; ve vyhledané buňce se objeví číslo; označíte myší prostor buněk nxm; kliknete F, přičemž se objeví maticový vzorec v uvedené buňce; stisknete CTRL+levý SHIFT a kliknete ENTER; v dříve označených buňkách (nxm) se objeví další prvky matice. Pozorně zkontrolujte vyznačený prostor, zda odpovídá rozměru matice C. Součet dvou matic, např. A + B je definován vždy, Tedy např A = 3 1 B = (A + B) = 6 4 Součet matic si sami naprogramujete v excelovském sešitu. Inverze matice je definována pouze pro čtvercové matice, tedy matice o stejném počtu řádků a sloupců. V maticovém zápisu píšeme inverzi matice A jako A -1. Platí: A.A -1 = I (jednotková matice). V EXCELU naleznete inverzi matice ve funkci f x pod názvem INVERZE. Postup při výpočtu inverze matice:
3 myší vyhledáte buňku, kam umístíte prvek inverzní matice (1,1), okolo musíte mít dostatečný prostor pro výslednou inverzní matici (má stejný rozměr jako původní matice); označíte myší pole buněk o rozměru nxn; vyvoláte funkci INVERZE; podle pokynů v okénku označíte matici, kterou chcete invertovat; OK; ve vyhledané buňce se objeví číslo;kliknete F; potom stisknete současně CTRL+levý SHIFT a kliknete ENTER; ve vyznačeném poli se objeví invertovaná matice. Transpozici matice, v maticovém zápisu A T nebo A můžete vytvořit z matice pomocí následujících operací: myší označíte matici, kterou chcete transponovat; CTRL C; přejdete na jinou buňku a vyvoláte Úpravy- Vložit jinak-hodnoty-transponovat-ok a dostanete transponovanou matici A T. Symetrická matice je matice, která má stejnolehlé prvky mimo hlavní diagonálu shodné, např. A = Symetrická matice se transponováním nemění, tedy A T = A. Diagonální matice je matice, která má, kromě hlavní diagonály, všechny ostatní prvky nulové. Zvláštním případem diagonální matice je matice jednotková, která má na hlavní diagonále jedničky. Determinant matice je číslo. V EXCELU naleznete tuto funkci pod názvem DETERMINANT, opět v matematických funkcích vyvoláním f x. Platí, že determinant transponované matice je stejný, jako determinant matice původní, tedy A T = A. Pro čtvercové matice stejného řádu (stejný počet řádků) je determinant součinu dvou matic stejný, jako součin determinantů těchto matic, tedy A.B = A. B. Postup při výpočtu determinantu matice: myší vyhledáte buňku, kam umístíte hodnotu determinantu; vyvoláte funkci DETERMINANT; označíte matici podle návodu v okénku; OK; v buňce se objeví číslo, což je výsledná hodnota determinantu. Stopa čtvercové matice se dána součtem jejích diagonálních prvků. Stopa transponované matice se rovná stopě původní matice. Čtvercová matice C se nazývá ortogonální, jestliže pro ni platí, že matice k ní transponovaná se rovná inverzní matici, takže platí rovnice: C T = C -1 a C T.C = 1. V přiloženém excelovském sešitu máte definovány úlohy, které vyřešíte.
4 Úkol č. Lineární regrese Pro řešení úloh z lineární regrese se v EXCELu se naučíme využívat jednak funkce LINREG, jednak pomocí maticových operací si sami sestavíme vlastní program. Lineární regrese je matematicko-statistická metoda, při níž prokládáme experimentální data regresním modelem, kterým může být přímka, rovina nebo nadrovina ve vícerozměrném prostoru. Regresní model vybíráme z nekonečného množství možností takovým způsobem, abychom splnili podmínku minimálního součtu čtverců odchylek experimentálních a regresních hodnot. Teoretický lineární model můžeme formulovat rovnicí: Y = f ( x j p ; β ) ve kterém x j jsou nezávisle proměnné veličiny, β p jsou parametry modelu. Tak např. pro lineární model s jednou nezávisle proměnnou platí rovnice: pro kvadratický model s jednou proměnnou rovnice: Y = β + 1x, 0 β Y = β 0 + β1x + β x. Odpovídající regresní modely jsou vlastně odhady teoretických modelů, takže obecně píšeme: Y = f x ; b ) + e reg ( j p V této rovnici jsou hodnoty b p odhady β p, e náhodná chyba modelu, která má nulovou střední hodnotu a normální rozdělení N(0,σ ). Regresní rovnice musí vyhovovat podmínce: U = ( y i Y reg, i ) = min exp,, n kde n je počet pozorování hodnot závisle proměnné. V maticovém vyjádření potom lineární model píšeme ve tvaru y = X.β kde y je sloupcový vektor (nx1), X je matice hodnot nezávisle proměnné rozměru (n x (j+1)), β je vektor neznámých parametrů rozměru ((j+1)x1). Lineární regresní model píšeme ve tvaru y reg = X.b + e ve kterém b je vektor odhadů β, e je vektor n hodnot náhodné chyby rozměru (nx1). Pro složky vektoru e platí E(e i ) = 0, takže E(e) = 0 n (nulová matice nx1). D(e i ) = σ, takže matice C(e) = σ.i n. Definujme si ještě kovarianční matici C = (X T.X) -1. Pro odhad vektoru β je vektor b odhadnut metodou nejmenších čtverců (viz předchozí výklad). V maticové podobě: přičemž kovarianční matice C(b) má tvar b = (X T.X) -1 X T.y, s yx je nejlepším odhadem σ a počítá se podle vztahů: C(b) = s yx (X T X) -1 y reg = X.b e = y exp - y reg Q = e T e s yx = Q/(n-p).
5 V dalším se dohodneme že vektory píšeme vždy ve sloupcové formě, takže transponovaný vektor je řádkový, dále se dohodneme, že matice a vektory jsou psány tučným písmem, skaláry normálním. Nyní k technice výpočtů. V EXCELU naleznete lineární regresi ve funkci f x pod názvem LINREGRESE. Data musíte před tím seřadit do tabulky po dvojicích jako dva sloupcové vektory (nx1), tedy x 1 y 1 x y... x n Najdete si buňku s místem kolem o rozměru 3x. Po vyvolání LINREGRESE se Vám objeví tabulka, kterou vyplníte. Do pole B napíšete PRAVDA, do pole Stat rovněž PRAVDA. To Vám zaručí výpočet všech statistik. Po odeslaní OK se ve vybrané buňce objeví číslo. Kolem buňky myší vyznačíte maticový prostor o 3 řádcích a sloupcích. Stisknete F a potom stisknete současně CTRL+levý SHIFT a kliknete ENTER; ve vyznačeném poli se objeví matice čísel. Čísla jsou hodnoty podle následujícího schématu: y n b 1 b 0 sb 1 sb 0 R s yx kde sb 1 a sb 0 jsou výběrové směrodatné odchylky parametrů, R je koeficient determinace, který nebudeme používat. s yx je výběrová směrodatná odchylka závisle proměnné veličiny (viz předchozí text). Pomocí LINREGRESE můžete počítat i kvadratický regresní model. Je třeba ale přeorganizovat tabulku experimentálních hodnot takto: x 1 x 1 y 1 atd. Při vyvolání LINREGRESE označíte pole x jako celou matici x, včetně kvadratických hodnot. Maticový prostor pro výsledky bude ale o rozměru 3x3 a hodnoty budou seřazeny takto:
6 b b 1 b 0 sb sb 1 sb 0 R s yx - Pro maticové výpočty doplníte vektor hodnot x na matici X tímto způsobem: 1 x 1 1 x atd. a budete postupovat podle maticových vzorců způsobem, který jsme se již naučili.
7 Úkol č. 3 Nelineární regrese V této úloze se naučíme řešit úlohy nelineární regrese pomocí ŘEŠITELE, což je velice účinný nástroj EXCELu pro řešení různých matematicko statistických problémů. Nejprve něco o nelineární regresi. Teoretický nelineární model můžeme, stejně jako v předchozím lineárním případu, formulovat rovnicí: Y = f ( x j p ; β ) ve kterém x j jsou nezávisle proměnné veličiny, β p jsou parametry modelu, p je index parametru. Tak např. pro nelineární model s jednou nezávisle proměnnou platí rovnice: Y = 1, ve kterém p=. β 0 exp( β x) Odpovídající regresní model je odhadem teoretického modelu, takže obecně píšeme: Y = f x ; b ) + e reg ( j p V této rovnici jsou hodnoty b p odhady β p, e náhodná chyba modelu, která má nulovou střední hodnotu a normální rozdělení N(0,σ ). Tedy totožné s lineárním případem. Regresní rovnice musí vyhovovat podmínce: U = ( y i Y reg, i ) = min exp,, n kde n je počet pozorování hodnot závisle proměnné. Řešení rovnice pro minimum čtverců odchylek je značně složitější a jde za rámec tohoto předmětu. Navíc, vše za nás udělali autoři ŘEŠITELE, takže my se naučíme využívat výsledky jejich práce. Nicméně trocha teorie bude nutná pro řešení dalších úloh. Přepišme si rovnici pro součet čtverců do jiného tvaru s využitím faktu, že tento součet, stejně jako v případě lineárního modelu, je funkcí parametrů modelu: U ( b ) = ( y f ( x,b n exp, i i p )) Derivováním U postupně podle všech b p dostáváme (stejně jako v případě lineárního modelu) soustavu tzv. normálních rovnic o p-proměnných. Potíž je v tom, že když se regresní funkce nelineární, jsou nelineární i normální rovnice. Tvar funkce U kolem minim b je p-rozměrný eliptický paraboloid, z čehož (bez důkazu) plyne, že řešení, t.j. nalezení minima funkce U vzhledem k parametrům b p je velice citlivé na počáteční odhady b, což v případě lineární regrese nenastává. Tam počáteční odhady parametrů b ( v lineárním případě směrnice a úsek) nepotřebujeme. Regresní parametry nelineárního vztahu lze jednoznačně odhadnout pouze v případech, kdy jednotlivé parciální derivace f ( x,b ) / b j (j 1,..p) jsou lineárně nezávislé. V EXCELu naleznete ŘEŠITELE (v angl. versi SOLVER) pod Nástroje-Řešitel. Kliknutím na Řešitel se Vám objeví panel, ve kterém musíte vyplnit některé údaje. Nejprve si ale vysvětlíme některé pojmy. Nastavit buňku: v této buňce bude výraz nebo rovnice, ve které se zobrazuje řešení problému. Pro náš případ, nelineární regrese, to bude suma čtverců odchylek experimentálních hodnot závisle proměnné a regresní proměnné. Musíte tedy znát tvar regresního modelu. Pozor, v našem případě to bude jenom jedna buňka.
8 Rovno: zde označíte cílové řešení, tedy v našem případě hledáme minimum sumy čtverců, označíte tedy Min Měněné buňky: zde značíte buňky, ve kterých bude řešení, tedy vektor parametrů. Hodnoty v těchto buňkách se během iterací mění, řešení však vyžaduje, abyste před spuštěním zadali počáteční hodnoty parametrů. Jak již bylo řečeno, výsledné řešení je silně závislé na počátečních hodnotách (nulové přiblížení) parametrů. Zkusíte si to při řešení úloh. Pokud kliknete Možnosti, objeví se Vám panel s dalšími variantami řešení, my prozatím ponecháme nastavené hodnoty (default). Po vyplnění hlavního panelu kliknete na Řešit. V listě máte v příslušných měněných buňkách vektor řešení, tj. hodnoty parametrů regresního modelu a sumu čtverců odchylek experimentálních a regresních hodnot závisle proměnné. Naučíme se používat ŘEŠITELE při řešení úlohy lineární regrese, tj. mat_. Využijeme toho, že máte data přepsána do tvaru, který byl nutný pro lineární regresi. Jako nulového přiblížení použijeme mírně změněných výsledků lineární regrese, řekněme o 10 % vyšších hodnot. Tabulku vstupních dat musíte doplnit o vektor y i,reg s použitím vstupních hodnot. Příklad excelovského uspořádání: Regresní rovnice (viz minulý příklad): Y reg = -0, ,09984.c Vstupní hodnoty parametrů umístěte do buněk v listu, kam jste překopírovali tabulku vstupních experimentálních hodnot (y,c), např. do buněk G3:G4 (G3: vstupní parametr pro b 0, G4: vstupní parametr pro b 1 ). Tabulku experimentálních hodnot budete mít např. ve sloupcích A a B, uspořádány takto: atd. celkem řádků. A B c y exp A: 0,1 B: 0,009 A3: 0,1 B3: 0,007 Nyní do sloupce C umístíte hodnoty Y reg pro každou hodnotu c tímto způsobem: do buňky C napíšete =$G$3+$G$4*A a překopírujete do celého sloupce C postupem: CTRL+C (buňka C); myší označíte buňky C3:C3; CTRL+V. Nyní máte ve sloupci C regresní hodnoty závisle proměnné pro všechny hodnoty nezávisle proměnné (koncentrace c). Pozor! Nezapomeňte před touto operací vložit do buněk G3 a G4 nulová přiblížení parametrů b 0 a b 1!!!! Do sloupce D musíte nyní umístit rozdíly y exp - Y reg, např. takto: do buňky D napíšete: =B-C a překopírujete stejným způsobem jako před tím do celého sloupce D. Následuje výpočet sumy čtverců tímto postupem: Aktivní buňka bude např. G6 (myš přesunete na tuto buňku a kliknete levým tlačítkem); na liště vyvoláte funkce (funkční tlačítko f(x)) a najdete funkci SUMA.ČTVERCŮ. Kliknete na tuto funkci a na panelu označíte buňky D:D3. Po odeslání OK se Vám v buňce zobrazí součet čtverců odchylek experimentálních a regresních hodnot (samozřejmě se vstupními hodnotami parametrů). Nyní máte již připravenu tabulku pro použití ŘEŠITELE. Před použitím si ještě nějak označte pole vektorů parametrů a buňku cílové funkce (suma čtverců), abyste se v tom potom vyznali.
9 Výchozí tabulka vypadá takto: sl.\řád. A B C D 1 c y exp Y reg y exp - Y reg 0,01 0,009 =$G$3+$G$4*A =B-C 3 0,01 0,007 =$G$3+$G$4*A3 =B3-C3 atd. V buňce G6 je SUMA.ČTVERCU(D:D4) a v buňkách G3 a G4 jsou vstupní hodnoty parametrů lineární regrese b 0 a b 1 (volte nejprve výsledky lineární regrese s 10 %ní změnou). Zůstanete v aktivním listu a kliknete Nástroje-Řešitel v Nastavit buňku označíte G6, Rovno=Min, Měněné buňky: G3:G4 a kliknete Řešit.Téměř okamžitě je řešení skončeno a objeví se panel Výsledky řešení, kde označíte Uchovat řešení a kliknete OK. To je vše, ani to snad nebylo tak obtížné. Zkuste si různé nástřely vstupních hodnot b 0 a b 1, abyste se přesvědčili o citlivosti výsledku na vstupní parametry.
10 Úkol č. 4 Vícerozměrná pozorování Základním podkladem pro vícerozměrnou analýzu je datová matice typu (n x p). Řádky odpovídají jednotlivým studovaným objektům (n), sloupce jednotlivým zjišťovaným znakům p (příznakům, pozorovaným proměnným). Tohoto značení budeme v dalším důsledně používat. Datovou experimentální matici budeme označovat X, popř. Y. Prvek datové matice X, x ij, je hodnota j-tého příznaku (j=1,,...p) zjištěná u i-tého prvku (i=1,,...n). Vektor datové matice X, x i, nazveme obrazem. Tak např. pro datovou matici která je charakterizována dvěma příznaky, je prvním obrazem vektor x 1 (3 7), pátým obrazem vektor x 5 (9 9). Studované objekty bývají předměty (vzorky), události, instituce (laboratoř), apod. Používání statistických metod vyžaduje, aby byl studován přiměřeně rozsáhlý soubor objektů. Vedle pojmu objekt budeme používat také pojmy jednotka, individuum nebo prvek. Typickým cílem statistické analýzy je poznání vlastností objektů, popř. závislostí mezi těmito vlastnostmi. O úspěchu zjišťování přitom mimo jiné rozhoduje to, jak se podaří vyjádřit měřitelnými znaky jednotlivé vlastnosti, o které se zajímáme. Různorodý charakter zkoumaných proměnných je běžným jevem ve všech aplikacích vícerozměrné statistické analýzy. Jako příklad lze uvést záznam o kontrole jakosti výrobku, protokoly o kontrole stavu životního prostředí, atd. Klasifikace proměnných a klasifikace objektů je velice složitý problém. V dalším se budeme zabývat základy klasifikací proměnných a objektů, které se uplatňují při interpretaci dat hlavně z oblasti životního prostředí. Příznaky, měřené veličiny, můžeme rozdělit podle toho, zda popisují kvalitativní nebo kvantitativní charakteristiky objektů. Nyní se budeme věnovat vícenásobnému porovnávání základních statistik, tj, středních hodnot a rozptylů. Nejprve si zopakujeme porovnávání pro jeden příznak (p=1), které jsme probírali v Chemometrice I. Toto porovnání znáte pod názvem Analýza rozptylu (ANOVA). Analýza rozptylu pro jeden faktor Uvažujme experiment, v němž je vyšetřován vliv jednoho faktoru, např. A, který bude sledován na k úrovních (k>). Při každé úrovni provedeme stejný počet opakování měření, r, přičemž pro celkový počet pokusů n platí: n = r.k Výsledky pokusů tvoří tzv. experimentální matici, jejíž obecný člen označíme y iν, kde ν je počet opakování měření na i-té úrovni. Pro i-tou úroveň můžeme model pro analýzu rozptylu vyjádřit vztahem: y iν = µ + α i + e iν ve kterém µ je střední hodnota závisle proměnné pro všechny úrovně, neboť experimentální matici si můžeme představit jako náhodný výběr ze základního souboru. α i je vliv faktoru A na i-té úrovni. Definujme si nyní pomocné mezisoučty v experimentální matici tak, jak je v analýze rozptylu zvykem: Y =.. y i ν k r Yi. = yi r ν
11 Odhady parametrů jsou potom vyjádřeny rovnicemi: µ = 1 Y n.. α = 1 Y µ r i. ei ν = yi ν 1 Y r i. Nyní budeme testovat hypotézu o tom, že vlivy faktoru A na všech úrovních jsou stejné, tedy hypotézu: H 0 : α 1 = α =...= α k proti alternativní hypotéze H: Σα i > 0 Testové kriterium F je potom vyjádřeno vztahem: ve kterém F = S A ( k 1) Sr ( n k ) S 1 1 A = Y. Y r i n.. k S = r y 1 iν r k r k. i Y Hodnotu F srovnáváme s F 1-α,(k-1;n-k) Odhad rozptylu měřené veličiny vypočteme z residuální proměnlivosti: s = S r /(n-k) Vaším úkolem bude sestavit jednoduchý list pro jednofaktoriální analýzu rozptylu tak, aby bylo možno proces vyhodnocování zautomatizovat. List sestavíte v EXCELu pro počet úrovní k = 10 a počet opakování max. 10 pro každou úroveň. List konstruujte tak, aby se dal použít i pro menší počet úrovní i opakování a měl hezkou grafickou úroveň. Váš list zkontrolujte s analýzou rozptylu, která je v EXCELu v Nástroje-Analýza dat-anova:jeden faktor. Porovnání rozptylů na více úrovních Probereme si ještě další způsob porovnání, a to porovnání rozptylů pro více úrovní jednoho faktoru. Potvrzujeme či vyvracíme přitom hypotézu: H 0 : σ 1 = σ = σ k Test, kterým ověřujeme nulovou hypotézu, se nazývá Batlettův test a spočívá ve výpočtu testového kriteria B a porovnání s χ kvantilem.
12 Bartlettův test 1 B = [( n k)ln s C k h= 1 ( n h 1)ln s h ] s 1 = n k k h= 1 ( n h 1) s h k C = 1+ (( ) 3( k 1) n 1 n h= 1 h k V těchto vztazích je n h počet pozorování na h-té úrovni (h = 1,,...k) Testovací kriterium: B< χ (1-α)(k-1) ) V přiloženém excelovském sešitu máte definovány úlohy, které vyřešíte.
Regresní a korelační analýza
Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).
VíceRegresní a korelační analýza
Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).
VíceRegresní analýza 1. Regresní analýza
Regresní analýza 1 1 Regresní funkce Regresní analýza Důležitou statistickou úlohou je hledání a zkoumání závislostí proměnných, jejichž hodnoty získáme při realizaci experimentů Vzhledem k jejich náhodnému
VíceTestování hypotéz o parametrech regresního modelu
Testování hypotéz o parametrech regresního modelu Ekonometrie Jiří Neubauer Katedra kvantitativních metod FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jiří Neubauer (Katedra UO
VíceTestování hypotéz o parametrech regresního modelu
Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Lineární regresní model kde Y = Xβ + e, y 1 e 1 β y 2 Y =., e = e 2 x 11 x 1 1k., X =....... β 2,
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
VíceRegresní analýza. Ekonometrie. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel
Regresní analýza Ekonometrie Jiří Neubauer Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jiří Neubauer (Katedra ekonometrie UO Brno) Regresní analýza 1 / 23
Více1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.
Prostá regresní a korelační analýza 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Problematika závislosti V podstatě lze rozlišovat mezi závislostí nepodstatnou, čili náhodnou
Více2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení
2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků
VíceNáhodné veličiny jsou nekorelované, neexistuje mezi nimi korelační vztah. Když jsou X; Y nekorelované, nemusí být nezávislé.
1. Korelační analýza V životě většinou nesledujeme pouze jeden statistický znak. Sledujeme více statistických znaků zároveň. Kromě vlastností statistických znaků nás zajímá také jejich těsnost (velikost,
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
VíceAVDAT Klasický lineární model, metoda nejmenších
AVDAT Klasický lineární model, metoda nejmenších čtverců Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Lineární model y i = β 0 + β 1 x i1 + + β k x ik + ε i (1) kde y i
VíceAVDAT Nelineární regresní model
AVDAT Nelineární regresní model Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Nelineární regresní model Ey i = f (x i, β) kde x i je k-členný vektor vysvětlujících proměnných
VícePravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1
Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu
VíceZáklady maticového počtu Matice, determinant, definitnost
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n
Více10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo
0. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo (PEF PaA) Petr Gurka aktualizováno 9. prosince 202 Obsah Základní pojmy. Motivace.................................2 Aritmetický vektorový
Více7. Analýza rozptylu.
7. Analýza rozptylu. Uvedeme obecnou ideu, která je založena na minimalizaci chyby metodou nejmenších čtverců. Nejdříve uvedeme několik základních tvrzení. Uvažujeme náhodný vektor Y = (Y, Y,..., Y n a
VíceLineární regrese. Komentované řešení pomocí MS Excel
Lineární regrese Komentované řešení pomocí MS Excel Vstupní data Tabulka se vstupními daty je umístěna v oblasti A1:B11 (viz. obrázek) na listu cela data Postup Základní výpočty - regrese Výpočet základních
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé
VíceOdhad parametrů N(µ, σ 2 )
Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný
VíceKIV/ZI Základy informatiky MS EXCEL MATICOVÉ FUNKCE A SOUHRNY
KIV/ZI Základy informatiky MS EXCEL MATICOVÉ FUNKCE A SOUHRNY cvičící: Tomáš Ptáček zimní semestr 2012 MS EXCEL MATICE (ÚVOD) Vektor: (1D) v = [1, 2, 3, 5, 8, 13] Např.: matice sousednosti Matice: (2D)
Více12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25
12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
VíceStatistická analýza jednorozměrných dat
Statistická analýza jednorozměrných dat Prof. RNDr. Milan Meloun, DrSc. Univerzita Pardubice, Pardubice 31.ledna 2011 Tato prezentace je spolufinancována Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem
VíceSOLVER UŽIVATELSKÁ PŘÍRUČKA. Kamil Šamaj, František Vižďa Univerzita obrany, Brno, 2008 Výzkumný záměr MO0 FVT0000404
SOLVER UŽIVATELSKÁ PŘÍRUČKA Kamil Šamaj, František Vižďa Univerzita obrany, Brno, 2008 Výzkumný záměr MO0 FVT0000404 1. Solver Program Solver slouží pro vyhodnocení experimentálně naměřených dat. Základem
VíceAVDAT Vektory a matice
AVDAT Vektory a matice Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Vektory x = x 1 x 2. x p y = y 1 y 2. y p Řádkový vektor dostaneme transpozicí sloupcového vektoru x
VíceTomáš Karel LS 2012/2013
Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není
VíceDEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které
VíceMatice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n
[1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem
VíceTomáš Karel LS 2012/2013
Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
VíceStatistická analýza jednorozměrných dat
Statistická analýza jednorozměrných dat Prof. RNDr. Milan Meloun, DrSc. Univerzita Pardubice, Pardubice 31.ledna 2011 Tato prezentace je spolufinancována Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního
VíceSEMESTRÁLNÍ PRÁCE. Leptání plasmou. Ing. Pavel Bouchalík
SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Leptání plasmou Ing. Pavel Bouchalík 1. ÚVOD Tato semestrální práce obsahuje písemné vypracování řešení příkladu Leptání plasmou. Jde o praktickou zkoušku znalostí získaných při přednáškách
VícePřílohy. Příloha 1. Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel
Přílohy Příloha 1 Řešení úlohy lineárního programování v MS Excel V této příloze si ukážeme, jak lze řešit úlohy lineárního programování pomocí tabulkového procesoru MS Excel 2007. Výpočet budeme demonstrovat
VíceOperace s maticemi
Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =
VíceVlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou
1 Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) vektory matice Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou rovnici A x = λ x, kde x je neznámá matice o jednom sloupci (sloupcový
VíceStatistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup
Statistika Regresní a korelační analýza Úvod do problému Roman Biskup Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Ekonomická fakulta (Zemědělská fakulta) Katedra aplikované matematiky a informatiky 2008/2009
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Regresní analýza - motivace Základní úlohou regresní analýzy je nalezení vhodného modelu studované závislosti. Je nutné věnovat velkou pozornost tomu aby byla modelována REÁLNÁ
VíceObr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel
Přílohy Příloha 1 Řešení úlohy lineárního programování v MS Excel V této příloze si ukážeme, jak lze řešit úlohy lineárního programování pomocí tabulkového procesoru MS Excel. Výpočet budeme demonstrovat
VíceMatematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29
Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010
VíceTéma 9: Vícenásobná regrese
Téma 9: Vícenásobná regrese 1) Vytvoření modelu V menu Statistika zvolíme nabídku Vícerozměrná regrese. Aktivujeme kartu Detailní nastavení viz obr.1. Nastavíme Proměnné tak, že v příslušném okně viz.
VíceMÍRY ZÁVISLOSTI (KORELACE A REGRESE)
zhanel@fsps.muni.cz MÍRY ZÁVISLOSTI (KORELACE A REGRESE) 2.5 MÍRY ZÁVISLOSTI 2.5.1 ZÁVISLOST PEVNÁ, VOLNÁ, STATISTICKÁ A KORELAČNÍ Jednorozměrné soubory - charakterizovány jednotlivými statistickými znaky
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
VíceAplikovaná numerická matematika
Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních
VíceParametry hledáme tak, aby součet čtverců odchylek byl minimální. Řešením podle teorie je =
Příklad 1 Metodou nejmenších čtverců nalezněte odhad lineární regresní funkce popisující závislost mezi výnosy pšenice a množstvím použitého hnojiva na základě hodnot výběrového souboru uvedeného v tabulce.
VícePříklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13
Příklad 1 Máme k dispozici výsledky prvního a druhého testu deseti sportovců. Na hladině významnosti 0,05 prověřte, zda jsou výsledky testů kladně korelované. 1.test : 7, 8, 10, 4, 14, 9, 6, 2, 13, 5 2.test
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
VíceProtokol č. 1. Tloušťková struktura. Zadání:
Protokol č. 1 Tloušťková struktura Zadání: Pro zadané výčetní tloušťky (v cm) vypočítejte statistické charakteristiky a slovně interpretujte základní statistické vlastnosti tohoto souboru tloušťek. Dále
Více5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza
5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat se hledají souvislosti mezi dvěma, případně
VíceCvičení 5 - Inverzní matice
Cvičení 5 - Inverzní matice Pojem Inverzní matice Buď A R n n. A je inverzní maticí k A, pokud platí, AA = A A = I n. Matice A, pokud existuje, je jednoznačná. A stačí nám jen jedna rovnost, aby platilo,
VíceLineární algebra. Matice, operace s maticemi
Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo
VíceAVDAT Geometrie metody nejmenších čtverců
AVDAT Geometrie metody nejmenších čtverců Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Lineární model klasický lineární regresní model odhad parametrů MNČ y = Xβ + ε, ε
VíceČíselné vektory, matice, determinanty
Číselné vektory, matice, determinanty Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny
VíceRegresní a korelační analýza
Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).
Více13.1. Úvod Cílem regresní analýzy je popsat závislost hodnot znaku Y na hodnotách
13 Regrese 13.1. Úvod Cílem regresní analýzy je popsat závislost hodnot znaku Y na hodnotách znaku X. Přitom je třeba vyřešit jednak volbu funkcí k vystižení dané závislosti a dále stanovení konkrétních
VíceInovace bakalářského studijního oboru Aplikovaná chemie
http://aplchem.upol.cz CZ.1.07/2.2.00/15.0247 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Regrese Závislostproměnných funkční y= f(x) regresní y= f(x)
VíceStatistika (KMI/PSTAT)
Statistika (KMI/PSTAT) Cvičení dvanácté aneb Regrese a korelace Statistika (KMI/PSTAT) 1 / 18 V souboru 25 jedinců jsme měřili jejich výšku a hmotnost. Výsledky jsou v tabulce a grafu. Statistika (KMI/PSTAT)
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
VíceOperace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
Více1 Vektorové prostory.
1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které
VíceSimulace. Simulace dat. Parametry
Simulace Simulace dat Menu: QCExpert Simulace Simulace dat Tento modul je určen pro generování pseudonáhodných dat s danými statistickými vlastnostmi. Nabízí čtyři typy rozdělení: normální, logaritmicko-normální,
VíceHisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném rušení ) Muhammada ibn Músá al-chvárizmího (790? - 850?, Chiva, Bagdád),
1 LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 Lineární algebra Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy islámského matematika Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci
Více11 Analýza hlavních komponet
11 Analýza hlavních komponet Tato úloha provádí transformaci měřených dat na menší počet tzv. fiktivních dat tak, aby většina informace obsažená v původních datech zůstala zachována. Jedná se tedy o úlohu
Více4EK211 Základy ekonometrie
4EK211 Základy ekonometrie Úvod do předmětu obecné informace Základní pojmy ze statistiky / ekonometrie Úvod do programu EViews, Gretl Některé užitečné funkce v MS Excel Cvičení 1 Zuzana Dlouhá Úvod do
VíceÚvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
VíceLINEÁRNÍ MODELY. Zdeňka Veselá
LINEÁRNÍ MODELY Zdeňka Veselá vesela.zdenka@vuzv.cz Genetika kvantitativních vlastností Jednotlivé geny nejsou zjistitelné ani měřitelné Efekty většího počtu genů poskytují variabilitu, kterou lze většinou
VíceJednofaktorová analýza rozptylu
I I.I Jednofaktorová analýza rozptylu Úvod Jednofaktorová analýza rozptylu (ANOVA) se využívá při porovnání několika středních hodnot. Často se využívá ve vědeckých a lékařských experimentech, při kterých
VíceRegrese. 28. listopadu Pokud chceme daty proložit vhodnou regresní křivku, musíme obvykle splnit tři úkoly:
Regrese 28. listopadu 2013 Pokud chceme daty proložit vhodnou regresní křivku, musíme obvykle splnit tři úkoly: 1. Ukázat, že data jsou opravdu závislá. 2. Provést regresi. 3. Ukázat, že zvolená křivka
VíceMENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného
VíceMENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného
VíceMetoda nejmenších čtverců Michal Čihák 26. listopadu 2012
Metoda nejmenších čtverců Michal Čihák 26. listopadu 2012 Metoda nejmenších čtverců Matematicko-statistická metoda používaná zejména při zpracování nepřesných dat (typicky experimentálních empirických
VíceZdrojem většiny příkladů je sbírka úloh 1. cvičení ( ) 2. cvičení ( )
Příklady řešené na cvičení LA II - LS 1/13 Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh http://kam.mff.cuni.cz/~sbirka/ 1. cvičení (..13) 1. Rozhodněte, které z následujících operací jsou skalárním součinem
Více(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
VíceMatematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34
Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická
VíceV praxi pracujeme s daty nominálními (nabývají pouze dvou hodnot), kategoriálními (nabývají více
9 Vícerozměrná data a jejich zpracování 9.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat, hledáme souvislosti mezi dvěmi, případně více náhodnými veličinami. V praxi pracujeme
VíceKGG/STG Statistika pro geografy
KGG/STG Statistika pro geografy 9. Korelační analýza Mgr. David Fiedor 20. dubna 2015 Analýza závislostí v řadě geografických disciplín studujeme jevy, u kterých vyšetřujeme nikoliv pouze jednu vlastnost
VíceDerivace funkcí více proměnných
Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,
VíceOdhad parametrů N(µ, σ 2 )
Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Definice lineárního normálního regresního modelu Lineární normální regresní model Y β ε Matice n,k je matice realizací. Předpoklad: n > k, h() k - tj. matice je plné hodnosti
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Definice lineárního normálního regresního modelu Lineární normální regresní model Y Xβ ε Předpoklady: Matice X X n,k je matice realizací. Předpoklad: n > k, h(x) k - tj. matice
VíceDeterminanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu.
Determinanty Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Determinanty Definice determinantu Sarrusovo a křížové pravidlo Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu Výpočet determinantů 2 Inverzní
VíceZáklady navrhování průmyslových experimentů DOE
Základy navrhování průmyslových experimentů DOE cílová hodnota V. Vícefaktoriální experimenty Gejza Dohnal střední hodnota cílová hodnota Vícefaktoriální návrhy experimentů počet faktorů: počet úrovní:
VícePOLYNOMICKÁ REGRESE. Jedná se o regresní model, který je lineární v parametrech, ale popisuje nelineární závislost mezi proměnnými.
POLYNOMICKÁ REGRESE Jedná se o regresní model, který je lineární v parametrech, ale popisuje nelineární závislost mezi proměnnými. y = b 0 + b 1 x + b 2 x 2 + + b n x n kde b i jsou neznámé parametry,
VíceLineární algebra Operace s vektory a maticemi
Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................
Více1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.
Testy hypotéz na základě více než 2 výběrů 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Testy hypotéz na základě více než 2 výběrů Na analýzu rozptylu lze pohlížet v podstatě
VíceLINEÁRNÍ REGRESE. Lineární regresní model
LINEÁRNÍ REGRESE Chemometrie I, David MILDE Lineární regresní model 1 Typy závislosti 2 proměnných FUNKČNÍ VZTAH: 2 závisle proměnné: určité hodnotě x odpovídá jediná hodnota y. KORELACE: 2 náhodné (nezávislé)
VíceVšechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat
Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních
Více6. Lineární regresní modely
6. Lineární regresní modely 6.1 Jednoduchá regrese a validace 6.2 Testy hypotéz v lineární regresi 6.3 Kritika dat v regresním tripletu 6.4 Multikolinearita a polynomy 6.5 Kritika modelu v regresním tripletu
VíceStavový model a Kalmanův filtr
Stavový model a Kalmanův filtr 2 prosince 23 Stav je veličina, kterou neznáme, ale chtěli bychom znát Dozvídáme se o ní zprostředkovaně prostřednictvím výstupů Příkladem může býapř nějaký zašuměný signál,
VíceBodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu
Bodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu 1 Odhady parametrů 11 Bodové odhady Mějme lineární regresní model (LRM) kde Y = y 1 y 2 y n, e = e 1 e 2 e n Y = Xβ + e, x 11 x 1k, X =, β = x n1
Více8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice
9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky
VíceVI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku
VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m
VícePlánování experimentu
Fakulta chemicko technologická Katedra analytické chemie licenční studium Management systému jakosti Autor: Ing. Radek Růčka Přednášející: Prof. Ing. Jiří Militký, CSc. 1. LEPTÁNÍ PLAZMOU 1.1 Zadání Proces
Více1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35
1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný
VíceStěžejní funkce MS Excel 2007/2010, jejich ovládání a možnosti využití
Stěžejní funkce MS Excel 2007/2010, jejich ovládání a možnosti využití Proč Excel? Práce s Excelem obnáší množství operací s tabulkami a jejich obsahem. Jejich jednotlivé buňky jsou uspořádány do sloupců
Více