Normální rozdělení. 1. Laplaceův integrál. Platí. Důkaz. Vypočteme první z obou integrálů (druhý pak lehce obdržíme z prvého substitucí

Transkript

1 Nomální oělní Laplacův intgál latí Důka Vpočtm pvní obou intgálů uhý pak lhc obžím pvého substitucí oužijm přitom tiku spočívajícího v tom ž namísto intgálu vpočítám njpv intgál * oté použijm Fubiniovu větu pol kté j ** K výpočtu intgálu * použijm substituci sin cos k > Jinak řčno katéské souřanic nahaím poláními souřanicmi Tansfomac j posté gulání obaní s jakobiánm cos sin sin cos řitom Dl vět o substituci Substituc t ál ává

2 Z fomul ** nní vplývá ž což blo okáat t t 4 4 Dfinic Nomovaným nomálním oělním naývám spojité oělní s hustotou po Toto oělní načím N a skutčnost ž vličina má oělní N vjařujm ápism ~ N Hustota nomovaného nomálního oělní 3 onámka Funkc má pávě va inflní bo a to ± 4 ooování Nchť ~ N ak ˆ ~ 5 Tvní Nchť ~ N ak E a D Důka Jst E Funkc j lichá a tuíž f f f f f

3 3 φ J však třba ukáat ž intgál ktá ává Vpočtěm nní uhý obcný momnt E J j končný Za tím účlm použijm substituci E φ Dostan- oslní intgál vpočtm užitím náslujícího tiku Intgujm p pats funkci m [ ] To al namná ž E Náslně pak D E E 3

4 6 Dfinic Distibuční funkci nomovaného nomálního oělní bum onačovat Φ Jinak řčno: t Φ t t t Φ onámka Φ Φ SCHÉMA f p 8 Dfinic Nomálním oělním s paamt k > naývám spojité oělní s hustotou f p jsou aná álná čísla po Toto oělní načím N a skutčnost ž náhoná vličina má oělní N vjařujm ápism ~ N Gaf funkc f s naývá Gaussova křivka Nomované nomální oělní j t oělní s paamt a 9 onámka Hustota f oělní N má pávě va inflní bo a to ± Tvní Mous mián i střní honota oělní N jsou totožné s paamtm atímco paamt má výnam optlu tohoto oělní 4

5 Hustota nomálního oělní s paamt 3 Tvní Nchť > jsou ané konstant a Jstliž vličina má oělní N pak vličina má oělní N b Jstliž vličina má oělní N pak vličina má oělní N Důslk počítání s nomálním oělním Nchť ~ N ak a b b a a b Φ Φ Úloha řpoklájm ž hmotnost živočicha jisté populac j vličina s oělním N 6 3 Jaká j pavěpoobnost ž náhoně vbaný jinc má hmotnost a větší nž 65 kg? b v omí kg? Řšní Hmotnost živočicha onačm ak Φ Φ J t > oobně Φ67 [ Φ ] Φ Φ Φ67 Φ Tvní Nchť j náhoná vličina s oělním N a nchť c jsou konstant přičmž c ak vličina N c c c má oělní 4 Věta o konvoluci nomálních oělní Součt vájmně návislých nomálně oělných náhoných vličin má opět nomální oělní řsněji řčno: Nchť a Y jsou vájmně návislé náhoné vličin ~ N Y ~ N ak Y ~ N 5

6 6 Důka Vhlm k tomu ž přičtním konstant k vličině s nomálním oělním obžím opět vličinu s nomálním oělním můžm přpokláat ž Nuž nchť a Y jsou vájmně návislé náhoné vličin N ~ Y N ~ a Y Z Onačm po řaě h g f a hustot oělní vličin Z Y a Voc po konvoluci pak ává g f h p Úpavou kvaatického tojčlnu v poměnné na úplný čtvc ospějm k jho vjářní v tvau Dosaním tohoto výau o intgálu p a substitucí ostanm p p p h p Tuíž ~ N Y což blo okáat Y N ~ Úloha Do výtahu o nosnosti vě stě pasát kilogamů nastoupí čtři stuntk řpoklájm ž hmotnost stuntk v kg j vličina s oělním N 6 3 Jaká j pavěpoobnost ž výtah bu přtížný? Řšní Onačm i hmotnost i-té stuntk řpoklájm ž vličin 3 4 jsou vájmně návislé a položm 3 4 ak N ~ 4 6 čhož vplývá ž > 5 5

7 5 Věta Linbgova-Lévho cntální limitní věta Nchť j posloupnost vájmně návislých náhoných vličin s stjným oělní s končnou střní honotou a končným nnulovým optlm ak náhoná vličina n má po n asmptotick nomální oělní řsněji řčno: oložm Y n n Nchť F n j istibuční funkc vličin ak po kažé oužití: Nchť R n ak a Y n [ Y E Y ] Y n n n n F Φ n a n Yn n b n b n a n b Φ Φ n n n n n říkla Clkový výslk hou n hacími kostkami téhož uhu j náhoná vličina ktá má po n asmptotick nomální oělní Součt n čísl vbaných cla náhoně a návisl na sobě intvalu má po n asmptotick nomální oělní 3 Moivova-Laplacova věta Nchť p j pvně ané číslo Roělní Bi n p konvguj po n k oělní nomálnímu 4 Nchť ε j chba k kté ocháí při obaní či očtní výslku na lináním měřicím přístoji Vličina ε má pak nomální oělní 5 řpoklájm ž vlikost élka tloušťka objm apo oganismu ogánu j výslkm spojitého ůstu a stál stjných pomínk b fomujícího vlivu postří a b intakc s ostatními oganism; tuto vlikost onačm Vličina má přibližně nomální oělní oužití Moivov-Laplacov vět: a Moivova-Laplacova věta v intgálním tvau Jstliž ~ Bi n p a n pak a a np b npq np b np b np a np Φ Φ npq npq npq npq b Moivova-Laplacova věta v lokálním tvau Jstliž ~ Bi n p a n pak k np k p npq npq Úloha 3 ovm sto vact vájmně návislých hoů pavilnou hací kostkou Nchť j aitmtický půmě výslků Učt 34 Řšní J k i j výslk i - tého hou řitom E i 3 5 D 35 i a vličin jsou vájmně návislé Otu pln ž E 3 5 a D Roělní vličin l přitom 7

8 l cntální limitní vět apoimovat oělním nomálním Jinak řčno ~ N35; 56 oku pln ž 34 Φ 64 Φ64 6 Úloha 4 ovm sto vact vájmně návislých hoů pavilnou hací kostkou Nchť j počt vojk šstk v takové séii hoů Učt a 5 b 5 Řšní Vličina má oělní Bi Toto oělní l l Moivov-Laplacov vět 6 apoimovat nomálním oělním N ; 48 Otu pln 45 a 5 > 45 > Φ b 5 p římý výpočt b apoimac v k výslku 5 36 a 5 44 Shoa oělní mpiických at s nomálním oělním ooované čtnosti Očkávané čtnosti Rlativní počt much Délka kříla mouch 5 ooované čtnosti Očkávané čtnosti očt chlapců Hmotnost novooného čínského chlapc J o měřní poříná jnoho sta náhoně vbaných much sp víti tisíc čtři sta šsáti pěti chlapců naoných v aném obobí 8

9 Ilustac cntální limitní vět součt výslků hoů hací kostkou 5 avěpoobnost Výslk hou hací kostkou 5 avěpoobnost Součt výslků vou návislých hoů hací kostkou 5 avěpoobnost Součt výslků tří návislých hoů hací kostkou 9

10 Součt výslků sti návislých hoů hací kostkou avěpoobnost Skutčná pavěpoobnost Očkávaná pavěpoobnost 6 Tvní Nchť ~ N ak Věta Nchť ~ N ak [ ] Φ k k k k k Spciálně Důslk pavilo 3 J paktick jisté ž nomálně oělná náhoná vličina s o své střní honot nliší o víc nž 3 k j směoatná ochlka

11 Cviční řpoklájm ž oělní výšk stomů v poostu j nomální s střní honotou čtnáct mtů a směoatnou ochlkou va mt a Učt olní a honí kvatil tohoto oělní b Jaká část výšk lží v intvalu 6? Řšní a Onačím-li výšku stomu h pak l přpoklaů h ~ N 4 Z tabulk istibuční funkc Φ nomovaného nomálního oělní jistím ž Φ Honí kvatil nomovaného nomálního oělní j t ovn 675 Otu pln ž honí kvatil oělní N 4 j ovn Jinak řčno h h h Analogick h h b h 6 Φ Φ 5 Φ Φ5 [ ] 77 Nchť j výčtní tloušťka smku aného uhu půvou a věku pěstovaného učitým působm na stanovišti aného tpu řpoklájm ž vličina má nomální oělní pavěpoobností s střní honotou čtnáct cntimtů a směoatnou ochlkou tři a půl cntimtu Djm tomu ž na ploš j jn tisíc stomů Jaká část těchto stomů bu a slabších nž smnáct cntimtů? b silnějších nž jnáct cntimtů? c silnějších nž jnáct cntimtů a současně slabších nž smnáct cntimtů? slabších nž vět cntimtů? Řšní a 7 Φ Očkávaný počt stomů s tloušťkou mnší nž smnáct cntimtů j t asi 8 8 stomů tj 8% clkového počtu stomů b 8% c 6% 8% 3 Délka katáčku na ub v milimtch j náhoná vličina s oělním N 5 4 élka poua ovněž v milimtch má pak oělní N 6 3 Na konci výobního pocsu s katáčk asunují o pou Jaká j pavěpoobnost ž s katáčk nvj o poua? Řšní Onačm élku poua a Y élku katáčku ak Y ~ N 5 tuíž Y Φ 75 4 ěstujm hách s bílými nbo fialovými květ Věřím v platnost Mnlových ákonů a přpokláám tuíž ž ostlina vkvt fialově s pavěpoobností 3 4 Jaká j pavěpoobnost ž jnoho tisíc ostlin vkvt fialově a pávě 75 ostlin b víc nž 76 ostlin c víc nž 7 a současně méně nž 78 ostlin? Řšní Nchť j počt ostlin kté vkvtou fialově Vličina má oělní Bi 3 4 ; toto oělní l přitom s vlkou přsností apoimovat nomálním oělním N 75 ;369

12 Tuíž a b > 76 > Φ c 7 78 Φ9 Φ Φ9 97 vi též náslující tčkový iagam 35 3 avěpoobnost očt ostlin kté vkvtou fialově 5 Dst tisíc bouků s čistě náhoně omístí na vou stch pasáti ostlinách Ohanět s pavěpoobností 99% počt bouků na jné ostlině Řšní 8 6 Binomické oělní Nomální oělní avěpoobnost očt bouků na ostlině ovažujm počt bouků na ostlině a vličinu s oělním Bi 5 Apoimac tohoto oělní nomálním ává s 99% pavěpoobností oha 4 až 56 bouků na jné ostlině

13 6 ři výobě učitého uhu volvových výškoměů blo jištěno ž na jn tisíc výškoměů připaá v půměu pět vaných o oávku spotřbitlům blo připavno pasát stokusových ásilk Ohanět počt bvaných ásilk Řšní avěpoobnost ž ásilka j bvaná j Onačím-li t počt bvaných ásilk pak ~ Bi 5; 66 Apoimac binomického oělní nomálním ává ~ N 3 3; 3 5 očt bvaných ásilk s bu tuíž huba s 95% pavěpoobností nachát v intvalu [3 37] 7 řpoklájm ž výobk vobný na automatické linc j vaný s pavěpoobností p 5 a Jaká j pavěpoobnost ž mi sti tisíci náhoně vbanými výobk j pávě čtřict vaných? b Jaká j pavěpoobnost ž mi sti tisíci náhoně vbanými výobk j njvýš smsát vaných? Výslk: a Vj 4 Apoimac binomického oělní nomálním ává přitom výslk 7 apoimac oělním oissonovým pak 5 b Vj 997 Apoimac binomického oělní nomálním á výslk Binomické oělní oissonovo oělní avěpoobnost očt vaných výobků 8 6 Binomické oělní Nomální oělní avěpoobnost očt vaných výobků 3

14 8 Nchť jsou čísla vbaná cla náhoně a návisl na sobě intvalu Onačm jjich aitmtický půmě a Učt b Kolik čísl j třba vbat ab 999? Řšní a ol cntální limitní vět má vličina přibližně oělní N tuíž 4 6 Φ b Vbm-li obcně n čísl n přičmž n j ostatčně vlké pak N ožaavk 999 pak v k pomínc ~ n čili n 9 n 39 9 Hmotnost fošn j náhoná vličina s střní honotou st kilogamů a směoatnou ochlkou půl kilogamu Fošn s nakláají na vagón po 5 kusch Nosnost vagónu j vact pět tun Jaká j pavěpoobnost ž vagón bu přtížný o víc nž půl tun? Řšní Onačm mi i 5 hmotnost i-té fošn v kg Clkový nákla m m i l cntální limitní vět náhonou vličinou s nomálním oělním pavěpoobností přsněji m ~ N5 5 Otu pln ž m > 55 Φ ři tunaji háí atlt oštěpm a snaží s ohoit co njál řpoklájm ž élka hou j vličina s nomálním oělním pavěpoobností s střní honotou šsát mtů a směoatnou ochlkou čtři mt Má-li atlt pět pokusů jaká j pavěpoobnost ž přkoná válnost smsát mtů? Řšní avěpoobnost ž atlt přkoná při konkétním pokusu válnost smsát mtů j ovna p 6 řpoklájm ž výslk jnotlivých hoů jsou na sobě návislé avěpoobnost ž ávoník běhm tunaj tj v alspoň jnom pokusu přkoná válnost smsát mtů j potom p 5 3 V osuí j vact pět míčků onačných číslicmi a 3 ět míčků j onačno číslicí st míčků číslicí a st míčků číslicí 3 Majitl osuí vám nabíí účast v náslující hř Vtáhnt náhoně jn míčk osuí V přípaě ž míčk j onačn číslicí vhávát jnu kounu V přípaě ž míčk j onačn číslicí vhávát vě koun J-li však míčk onačn číslicí 3 pohávát tři koun a Vtáhnt jn míčk a vátít jj pět ovoovatl míčk ůklaně amíchá a v poté vtáhnt alší míčk Jinak řčno hajt vě kola Jaká j pavěpoobnost ž utpít tátu? b Jaká j pavěpoobnost ž po sto kolch but pohávat alspoň pasát koun? Vaím na náhoný výlt Háím nustál pavilnou hací kostkou přičmž v přípaě ž pan pětka nbo šstka uělám kok va v opačném přípaě uělám kok vpř Kok má přitom élku jn mt Jaká j pavěpoobnost ž po třch tisících koků s přmístím o víc nž o vět st mtů vpř? 5 i j 4