Diferenciální rovnice 1

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Diferenciální rovnice 1"

Transkript

1 Diferenciální rovnice 7 OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Diferenciální rovnice jsou velmi důležitou částí matematické analý protože umožňují řešit mimo jiné celou řadu úloh fik a technické prae Při řešení praktických problémů je nutno nejprve e námých vlastností problému diferenciální rovnici sestavit pak ji vřešit a nakonec řešení převést pět do prae 7 Základní pojm Občejnou diferenciální rovnicí naýváme rovnici v níž se vsktuje derivace nenámé funkce jedné neávisle proměnné Řádem diferenciální rovnice naýváme řád nejvšší derivace nenámé funkce v rovnici Řešením nebo také integrálem diferenciální rovnice na intervalu I naýváme každou funkci která na intervalu I danou rovnici splňuje Integrální křivka diferenciální rovnice je grafické náornění některého řešení diferenciální rovnice Ponámka: Pojem řešení má u diferenciálních rovnic dva výnam: jednak postup výpočtu jednak výsledek rovnice Příklad 7: Určete řád diferenciálních rovnic: a) = b) + = c) d = ( ) d Řešení: a) Diferenciální rovnice = je prvního řádu b) Diferenciální rovnice + = je druhého řádu (nejvšší je druhá derivace) c) Diferenciální rovnice je prvního řádu (rovnici převedeme na tvar = ( ) d a d uvědomíme si že d = ) d Řešení diferenciálních rovnic dělíme do tří tpů: Obecné řešení rovnice prvního řádu tvoří každá funkce tvaru ϕ ( C ) = 0 případně = ψ ( C ) která rovnici splňuje pro libovolnou konstantu C Obecné řešení vžd obsahuje integrační konstantu (rovnice prvního řádu) nebo n konstant (rovnice n-tého řádu) Partikulární řešení je obsaženo v obecném řešení Získáme ho obecného řešení kdž a integrační konstant dosadíme konkrétní hodnot (které volíme nebo vpočítáme daných podmínek) Výjimečné řešení není obsaženo v obecném řešení Vniká jen u některých tpů diferenciálních rovnic v průběhu jejich řešení Příklad 7: Určete: a) Obecné řešení diferenciální rovnice = b) partikulární řešení pro které platí () = 7 c) Načrtněte integrální křivku partikulárního řešení Řešení: a) Nenámou funkci určíme integrováním rovnice: d = d = + C je obecné řešení ted

2 Diferenciální rovnice b) Podmínka () = 7 říká že hodnotě = odpovídá hodnota = 7 hledáme ted takové řešení které procháí bodem P[7] Dosadíme tto dvě hodnot do obecného řešení: 7= + C a odtud vpočítáme C = Dosaením a C do obecného řešení ískáme partikulární řešení: = + c) Je řejmé že integrální křivka je parabola s vrcholem V[0] a osou v ose 6 P[7] 4-0 Integrální křivka = + 7 DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE I ŘÁDU Senámíme se poue se ákladními tp 7 Separovaná diferenciální rovnice Ponáme ji podle toho že jednotlivé proměnné jsou oddělen (separován) to je u diferenciálu d se vsktuje poue proměnná a u diferenciálu d se vsktuje poue proměnná Obecný tvar: P( ) d = Q( ) d Q ( ) 0 případně pro Q ( ) = = f( ) d protože po dosaení a = a jednoduché úpravě dostaneme d = f ( ) d d Postup řešení: Separovanou diferenciální rovnici řešíme integrací: Příklad 7: Vřešte diferenciální rovnici P( ) d = Q( ) d + C (sin + ) d= (cos ) d platí-li (0) = π Řešení: Obecné řešíme ískáme integrací: (sin + ) d = (cos ) d Obě stran rovnice le integrovat podle ákladních vorců: cos + = sin + C Dále hledáme partikulární řešení které procháí bodem P[0π] Dosadíme do obecného řešení: 0 π π cos 0 + = sinπ + C a odtud vpočítáme C = Dosaením a C do obecného řešení ískáme partikulární řešení: π cos + = sin +

3 Diferenciální rovnice Příklad 74: Vřešte diferenciální rovnici = + Řešení: Obecné řešení ískáme opět integrací: d= + Pravou stranu můžeme integrovat podle ákladního vorce [] uvědomíme-li si že v čitateli d lomku je derivace jmenovatele Obecné řešení má tvar: = ln( + ) + C 7 Separovatelná diferenciální rovnice Tento tp le upravit na separovanou diferenciální rovnici Podstatné je že mei funkcemi v proměnné a funkcemi v proměnné musí být po úpravě naménko krát (děleno) Obecný tvar: P( ) P( ) + Q( ) Q( ) = 0 Q( ) 0 Q( ) 0 Postup řešení: I Derivaci nahradíme podílem diferenciálů d ( ) ( ) + ( ) ( ) = 0 P P Q Q d d = : d II Rovnici vnásobíme d abchom osamostatnili diferenciál: P( ) P( ) d + Q( ) Q( ) d = 0 III Rovnici separujeme ted k d převedeme všechn funkce v proměnné a k d převedeme všechn funkce v proměnné Přitom obvkle necháme na každé straně rovnice jen jeden diferenciál P( ) P( ) d + Q( ) Q( ) d = 0 P( ) Q( ) P ( ) 0 P( ) Q( ) d = d což je separovaná rovnice Q( ) P( ) POZOR: Podmínkou P ( ) 0 jsme mohli rušit případné řešení Musíme ted vlášť koumat da P ( ) = 0 není výjimečné řešení které vniklo v průběhu řešení dané rovnice IV Separovanou rovnici integrujeme a ískáme obecné řešení: P( ) Q( ) d = d C Q( ) + P( ) Příklad 75: Vřešte diferenciální rovnici = platí-li () = Řešení: Budeme dodržovat výše uvedený postup I IV: I Derivaci nahradíme podílem diferenciálů d = : d II Rovnici vnásobíme d abchom osamostatnili diferenciál: d = d + d= d +

4 Diferenciální rovnice 4 III Rovnici separujeme: ( ) d = d + + ( ) d d + = což je separovaná rovnice Žádnou další podmínku jsme v průběhu řešení nepoložili rovnice proto nemá výjimečné řešení IV Separovanou rovnici integrujeme a ískáme obecné řešení: ( + ) d = d ( + d ) = ( d ) 4 + = ln + C 4 Z podmínk () = vplývá že hledáme partikulární řešení které procháí bodem P[] Po dosaení do obecného řešení vpočítáme hodnotu integrační konstant: 4 + = ln + C a odtud C = 4 4 Partikulární řešení: + = ln + 4 Příklad 76: Vřešte diferenciální rovnici = + Řešení: Budeme dodržovat výše uvedený postup I IV: I Derivaci nahradíme podílem diferenciálů d = : d II Rovnici vnásobíme d abchom osamostatnili diferenciál: III Rovnici separujeme: IV Separovanou rovnici integrujeme: upravíme d = d 0 + d = d + d = d + ln = ln( + ) + ln C ln = ln( + ) C d = d + d = + d = C( + ) což je obecné řešení V kroku III jsme položili podmínku 0 musíme proto vlášť všetřit da = 0 není řešením dané rovnice: = 0 = 0 Tto hodnot dosadíme do adání rovnice: levá strana: LS = 0 pravá strana: 0 PS = 0 + =

5 Diferenciální rovnice 5 Je řejmé že funkce = 0 vhovuje adání rovnice Přesto není výjimečným řešením protože je obsažena v obecném řešením pro hodnotu konstant C = 0 7 Homogenní diferenciální rovnice Tento tp se dá upravit na tvar = ϕ( ) 0 Po úpravě se v rovnici mohou proměnné a vsktovat výhradně ve lomku nesmí v ní být samostatně ted Postup řešení: I Rovnici upravíme na tvar = ϕ( ) II Zavedeme substituci: = = ( ) (a) Abchom mohli dosadit do adání potřebujeme vpočítat derivaci Ze substituční rovnice proto vpočítáme = a derivujeme jako součin protože = ( ) : = + = + (b) Dosadíme do adání + = ϕ( ) III Dostaneme separovatelnou rovnici pro nenámou kterou vřešíme podle postupu uvedeného v 7 IV Po vřešení separovatelné rovnice nesmíme apomenout dosadit pět a Příklad 77: Vřešte diferenciální rovnici = vi (a) = 0 0 platí-li (4) = Řešení: Budeme dodržovat výše uvedený postup I IV uvedený v 7: I Rovnici upravíme: = = ( ) II Zavedeme substituci (a b): ( + ) = a upravíme: + = = III Dále řešíme jako separovatelnou rovnici vi 7: d d d = d = ( ) d 0 d = d

6 Diferenciální rovnice 6 Separovanou rovnici integrujeme: d = d 4 Upravíme: 4 d = d ln = ln + ln C 4 ln ( ) 4 = ln C ( ) 4 = C IV Nní dosadíme pět a = () a ískáme obecné řešení: ( ) 4 = C Z podmínk (4) = vplývá že hledáme partikulární řešení které procháí bodem P[4] Po dosaení do obecného řešení vpočítáme hodnotu integrační konstant: ( ) 4 = C4 4 4C = 4 C = Partikulární řešení: 4 ( ) = 4C ( ) = Výjimečné řešení musíme hledat podmínk 0 Položíme = 0 a dosadíme (a) = : ( ) = 4C = 0 4 ( ) = 4C Vpočítáme = =± =± Tto hodnot dosadíme do adání rovnice: levá strana: LS = ( ± )( ± ) = pravá strana: PS = = Je řejmé že funkce =± vhovují adání rovnice Proto jsou výjimečným řešením Příklad 78: Vřešte diferenciální rovnici + ( ) = 0 Řešení: Budeme dodržovat výše uvedený postup I IV uvedený v 7: I Rovnici upravíme: + ( ) = 0 0: + ( ) = 0 II Zavedeme substituci (a b): + ( )( + ) = 0

7 Diferenciální rovnice 7 + a upravíme: + = (podmínka je pro splněna) + = + ( ) = + = III Dále řešíme jako separovatelnou rovnici vi 7: d + = d d d= + d + d = d + Separovanou rovnici integrujeme: d = d + ( ) d = d + + ln( arctg + ) = ln + C IV Nní dosadíme pět a = (a) a ískáme obecné řešení: arctg ln( + ) = ln + C Příklad 79: Vřešte diferenciální rovnici = + 0 Řešení: Budeme dodržovat výše uvedený postup I IV uvedený v 7: I Rovnici upravíme: = + : = + ( ) II Zavedeme substituci (a b): + = + a upravíme: = + III Dále řešíme jako separovatelnou rovnici vi 7: d = + d d d = ( + ) d + d = d + Separovanou rovnici integrujeme: d = d +

8 Diferenciální rovnice 8 upravíme d = d ( = + ) ( + + ) d = d + = ( ) + ( ) 4 4 Integrujeme podle vorce [4] a = : arctg = ln + C arctg = ln + C IV Nní dosadíme pět a = () a ískáme obecné řešení: arctg = ln + C 74 Lineární diferenciální rovnice Jsou jedn nejdůležitějších diferenciálních rovnic prvního řádu Ponáme je podle toho že nenámá a její derivace jsou vžd prvního stupně (proto náev lineární) Obecný tvar: + P( ) = Q( ) kde funkce P ( ) Q ( ) jsou spojité v intervalu I Dělíme je do dvou tpů: krácená pro Q ( ) = 0 : + P( ) = 0 úplná pro Q ( ) 0 : + P ( ) = Q ( ) Postup řešení: Zkrácená rovnice je speciálním případem rovnice úplné Proto uvedeme poue řešení úplné rovnice Řešíme ji Lagrangeovou metodou variace konstant Obecný postup řešení je trošku náročnější proto jej mohou méně matematick vbavení studenti přeskočit a metodu pochopit na řešených příkladech 70-7 Lagrangeova metoda variace konstant I Vřešíme příslušnou krácenou rovnici která je vžd separovatelná: + P( ) = 0 Vřešíme ji proto postupem uvedeným v 7 d P ( ) 0 d + = d P ( ) d = d d =P( ) d 0 d P ( ) d = d = P ( ) d

9 Diferenciální rovnice 9 ln = P ( ) d+ ln C Řešení upravíme vužitím pravidla o skládání vájemně inverních funkcí a pravidel pro počítání s logaritm: P ( ) d ln = ln e + ln C ln = ln Ce P ( ) d P( ) d = () což je předpokládaný tvar řešení Je to část řešení která odpovídá krácené rovnici Je řejmé že výjimečné řešení lineární diferenciální rovnice nemá protože řešení = 0 (vplývající podmínk 0 ) dostaneme dosaením a C = 0 do vtahu () Ce Pravou stranu Q ( ) do řešení abudujeme následujícím postupem II Druhý krok se naývá variace (měna) konstant V obecném řešení () bude místo konstant C funkce proměnné : C = C( ) Dosadíme a ni do (): P( ) d = C( ) e P ( ) d P ( ) d Derivujeme součin: = C ( ) e + C( ) e ( P( ) ) Za a dosadíme do adání: P ( ) d P ( ) d C ( ) e + C( ) e P( ) P ( ) d + P( ) C( ) e = Q( ) ( ) Následuje kontrolní krok: sčítance s C ( ) se vájemně musí vrušit ůstává poue sčítanec s derivací C ( ) P ( ) d C ( ) e P ( ) d = Q( ) upravíme C ( ) = Q( ) e P ( ) d a odtud vpočítáme integrační konstantu C ( ) = Qe ( ) d+ K III Obecné řešení adané lineární diferenciální rovnice ískáme dosaením vpočítané konstant do předpokládaného tvaru řešení (): ( ) ( ) ( ( ) P d P d = Q e d+ K) e 5 Příklad 70: Vřešte diferenciální rovnici = 0 Řešení: Budeme dodržovat výše uvedený postup I III uvedený v 74: 5 I Vřešíme příslušnou krácenou rovnici = 0 která je vžd separovatelná Vřešíme ji proto postupem uvedeným v 7 d 5 = 0 d d 5 = d d 5 d = d 0 d 5 = d

10 Diferenciální rovnice 0 d = 5 d ln = 5ln + ln C Řešení upravíme vužitím pravidel pro počítání s logaritm: 5 ln = ln + ln C ln 5 = ln C 5 = C () což je předpokládaný tvar řešení Je to část řešení která odpovídá levé straně rovnice Je řejmé že výjimečné řešení lineární diferenciální rovnice nemá protože řešení = 0 (vplývající podmínk 0 ) dostaneme dosaením a C = 0 do vtahu () Pravou stranu Q ( ) = do řešení abudujeme následujícím postupem II Druhý krok se naývá variace (měna) konstant Obecné řešení () bude mít místo konstant C funkci proměnné : C = C( ) 5 Dosadíme a ni do (): = C ( ) 5 4 derivujeme součin: = C ( ) + C( ) C ( ) Za a dosadíme do adání C ( ) + C( )5 = Následuje kontrolní krok: sčítance s C ( ) se vájemně musí odečíst ůstává poue sčítanec s derivací C 5 ( ) : C ( ) = upravíme C ( ) = = a odtud vpočítáme integrační konstantu C ( ) = C ( d ) = d= + K= + K III Obecné řešení adané lineární diferenciální rovnice ískáme dosaením vpočítané konstant do předpokládaného tvaru řešení (): 5 5 = ( + K) po úpravě = K Je řejmé že obecné řešení tvoří dvě části: = 0 + ˆ 5 kde 0 = K je řešení krácené rovnice ˆ = je partikulární integrál odpovídající pravé straně Q ( ) Příklad 7: Vřešte diferenciální rovnici + = platí-li (0) = 4 Řešení: Budeme dodržovat uvedený postup I III uvedený v příkladu 70: I Vřešíme příslušnou krácenou rovnici + = 0 která je vžd separovatelná postupem uvedeným v 7 d 0 d + = d d d =

11 Diferenciální rovnice d = d 0 d d = d d = ln = + ln C Řešení upravíme vužitím pravidla o skládání vájemně inverních funkcí a pravidel pro počítání s logaritm: ln = ln e + ln C ln = ln Ce = Ce což je předpokládaný tvar řešení (4) II Integrační konstantu C budeme považovat a funkci proměnné : C = C( ) Dosadíme a ni do (4): Derivujeme součin: = C( ) e = C ( ) e + C( ) e ( ) Za a dosadíme do adání: C ( ) e C( ) e + C( ) e = Následuje kontrolní krok: sčítance s C ( ) se vájemně vruší ůstává poue sčítanec s derivací C ( ) C ( ) e = C ( ) upravíme = e a odtud vpočítáme integrační konstantu C ( ) = e t t C( ) = C ( ) d = e d = = t d = dt = e dt = e + K = e + K III Obecné řešení adané lineární diferenciální rovnice ískáme dosaením vpočítané konstant do předpokládaného tvaru řešení (4): = ( e + K) e po úpravě = + Ke Z podmínk (0) = 4 vplývá že hledáme partikulární řešení které procháí bodem P[04] Po dosaení do obecného řešení vpočítáme hodnotu integrační konstant: 0 4= + Ke a odtud K = Partikulární řešení: = + e

12 Diferenciální rovnice Ponámka: Uvedený příklad + = vřešíme i jiným postupem: Stačí kdž provedeme jednoduchou úpravu = = ( ) Získáme separovatelnou rovnici kterou vřešíme postupem uvedeným v 7 d ( ) d d = d = ( ) d d = d d = d ln = + ln C což je obecné řešení které můžeme (ale nemusíme) dále upravit: ln ( ) = ln e + ln C ( ) = Ce Ce = = = + Ke kde K = C Ce Z tohoto příkladu je řejmé že diferenciální rovnice nemusí být poue jednoho tpu Pokud splňuje současně podmínk pro více tpů volíme vžd jednodušší postup řešení (v uvedeném příkladě je to řešení separovatelné diferenciální rovnice) Příklad 7: Vřešte diferenciální rovnici = + platí-li () = + Řešení: Budeme dodržovat uvedený postup I III uvedený v příkladu 70: I Vřešíme příslušnou krácenou rovnici = 0 + která je vžd separovatelná postupem uvedeným v 7 d = 0 d + d = d d + d = d 0 + d = d + d = d + ln = ln + + ln C Řešení upravíme vužitím pravidel pro počítání s logaritm:

13 Diferenciální rovnice ln = ln C+ = C( + ) což je předpokládaný tvar řešení (5) II Integrační konstantu C budeme považovat a funkci proměnné : C = C( ) Dosadíme a ni do (5): Derivujeme součin: = C ( )( + ) = C ( )( + ) + C( ) C ( )( + ) Za a dosadíme do adání: C ( )( + ) + C( ) = + + Následuje kontrolní krok: sčítance s C ( ) se vájemně vruší ůstává poue sčítanec s derivací C ( ) : C ( )( + ) = + po vkrácení C ( ) = a vpočítáme integrační konstantu C ( ) = C ( d ) = d= + K III Obecné řešení adané lineární diferenciální rovnice ískáme dosaením vpočítané konstant do předpokládaného tvaru řešení (5): = ( + K)( + ) Z podmínk () = vplývá že hledáme partikulární řešení které procháí bodem P[-] Po dosaení do obecného řešení vpočítáme hodnotu integrační konstant: = ( + K)(+ ) a odtud vpočítáme K = 4 Partikulární řešení: = ( )( + ) po úpravě = + Ponámka: Eistuje řada dalších tpů diferenciálních rovnic I řádu které nejsou ařaen do tohoto stručného přehledu 7 Diferenciální rovnice II řádu Ve stručném přehledu se budeme abývat výhradně řešením lineárních diferenciálních rovnic II řádu s konstantními koeficient Obecný tvar: a + a + a0 = Q( ) kde a 0 a a0 jsou reálné konstant Dělíme je do dvou tpů: krácená pro Q ( ) = 0 : a + a + a0 = 0 úplná pro Q ( ) 0 : a + a + a0 = Q( ) Řešením lineárních diferenciálních rovnic II řádu se abýval švýcarský matematik Leonhard Euler 7 Zkrácená rovnice a a a = 0 Euler jistil že řešení má tvar Pro derivace platí Dosadíme do adání r = e kde r je konstanta vaná charakteristický kořen r = re = r e r r r r 0 0 are + are + ae =

14 Diferenciální rovnice 4 vtkneme r e r Protože e 0 musí platit r e ( a r + a r+ a ) = 0 ar + ar+ a = (6) Rovnice (6) se naývá charakteristická rovnice lineární diferenciální rovnice II řádu Je to kvadratická rovnice pro nenámou r Můžeme ji snadno odvodit přímo e adání jestliže 0 do adání místo dosadíme r místo dosadíme r = r a místo dosadíme r = Řešení krácené rovnice ávisí na tom jaká jsou charakteristické kořen r: a) r r reálné růné charakteristické kořen fundamentální sstém řešení tvoří složk ( ) r = = e ( ) r = = e r obecné řešení má tvar r = C e + C e (A) 0 b) r = r = r reálný dvojnásobný charakteristický kořen fundamentální sstém řešení tvoří složk ( ) r = = e ( ) r = = e r r obecné řešení má tvar 0 = Ce + C e (B) c) r = a± bi kompleně sdružené charakteristické kořen fundamentální sstém řešení tvoří složk ( ) a = = e cos b ( ) a = = e sin b a obecné řešení má tvar 0 = e ( Ccosb+ Csin b) (C) Ponámka: Ab složk = ( ) a = ( ) tvořil fundamentální sstém řešení musí být funkce = ( ) a = ( ) lineárně neávislé O lineární neávislosti funkcí rohodneme pomocí Wronského determinantu (Wronskiánu): ( ) ( ) W( ) = ( ) ( ) pro W ( ) 0: ( ) ( ) lineárně neávislé pro W ( ) = 0: ( ) ( ) lineárně ávislé Příklad 7: Vřešte krácenou lineární diferenciální rovnici + = 0 Řešení: Napíšeme charakteristickou rovnici r r+ = 0 roložíme na součin lineárních činitelů ( r)( r ) = 0 r = r = (nebo vřešíme kvadratickou rovnici pomocí diskriminantu) a podle (A) napíšeme obecné řešení: = Ce + C e 0 Příklad 74: Vřešte krácenou lineární diferenciální rovnici = 0 Řešení: Napíšeme charakteristickou rovnici r 4r+ 4= 0 upravíme podle vorce a ab+ b = ( a b) ( r ) = 0 r = (nebo vřešíme kvadratickou rovnici pomocí diskriminantu) a podle (B) napíšeme obecné řešení: = Ce + C e 0 Příklad 75: Vřešte krácenou lineární diferenciální rovnici 4 = 0 Řešení: Napíšeme charakteristickou rovnici r 4r = 0 vtkneme r rr ( 4) = 0 r = 0 r = 4 a podle (A) napíšeme obecné řešení: = C e + C e 4 0 = C + C e

15 Diferenciální rovnice 5 Příklad 76: Vřešte krácenou lineární diferenciální rovnici + 4 = 0 Řešení: Napíšeme charakteristickou rovnici upravíme r + 4= 0 r = 4 r = ± i (nebo vřešíme kvadratickou rovnici pomocí diskriminantu) Porovnáním s (C) jistíme a= 0 b= a podle (C) napíšeme obecné řešení: 0 0 = e ( C cos+ C sin ) 0 = Ccos + Csin Příklad 77: Vřešte krácenou lineární diferenciální rovnici = 0 Řešení: Napíšeme charakteristickou rovnici r 4r+ 5= 0 vřešíme kvadratickou rovnici pomocí diskriminantu 4 ± ( 4) 45 4± 4 4± i r = = = = ± i Porovnáním s (C) jistíme a= b= a podle (C) napíšeme obecné řešení: 0 = e ( C cos+ C sin ) 0 = e ( C cos+ C sin ) 7 Úplná rovnice a + a + a0 = Q( ) Obecné řešení úplné rovnice má tvar = 0 + ˆ (7) kde 0 je řešení příslušné krácené rovnice a + a + a0 = 0 ŷ je partikulární integrál příslušný pravé straně Q ( ) Úplnou rovnici řešíme: Lagrangeovou metodou variace konstant (univerální metoda použitelná pro každou lineární diferenciální rovnici) metodou neurčitých koeficientů (metoda použitelná poue v případě speciálních tvarů pravé stran Q) ( ) Lagrangeova metoda variace konstant Princip metod je analogický řešení lineární diferenciální rovnice I řádu Proto si poue ukážeme na konkrétním příkladu nejjednodušší algoritmus řešení Příklad 78: Vřešte diferenciální rovnici: + 9 = cos Řešení: I Vřešíme příslušnou krácenou rovnici: + 9 = 0 napíšeme charakteristickou rovnici porovnáním s (C) jistíme a= 0 b= fundamentální sstém řešení tvoří složk r + 9= 0 0 = e cos r = 9 r = ± i 0 = e sin

16 Diferenciální rovnice 6 a podle (C) napíšeme obecné řešení krácené rovnice: 0 = Ccos+ Csin (8) II Metoda variace konstant C = C( ) C = C( ) ted C Cjsou funkce proměnné Vpočítáme Wronskián ( ) ( ) cos sin W( ) = = = cos + sin = (cos + sin ) = 0 ( ) ( ) sin cos Ve Wronskiánu nahradíme (Cramerovo pravidlo) první sloupec sloupcem sin sin Q ( ) = a vtvoříme tak determinant W ( ) = = cos cos a cos cos Ve Wronskiánu analogick nahradíme druhý sloupec sloupcem 0 0 cos 0 cos Q ( ) = a vtvoříme tak determinant W ( ) = = = sin cos a cos cos Konstant C C vpočítáme podle vtahů: sin W ( ) cos sin sin ( ) C = d = d d d ln cos K W( ) = = = + cos cos 9 W ( ) C( ) = d = d K W( ) = + III Dosaením do obecného řešení krácené rovnice (8) a C C ískáme obecné řešení úplné rovnice: = ( ln cos + K)cos + ( + K)sin 9 = Kcos+ Ksin+ ln cos cos+ sin 9 Metoda neurčitých koeficientů Metodu můžeme použít poue v případě těchto speciálních tvarů pravé stran Q: ( ) a α) Q ( ) = e (eponenciální funkce) β) Q ( ) = Pn ( ) (polnom stupně n) γ) Q ( ) = cosbnebo sin b (goniometrické funkce) δ) kombinace α β γ

17 Diferenciální rovnice 7 Partikulární integrál ŷ příslušný pravé straně Q ( ) vtvoříme podle následující tabulk: Pravá strana Q ( ) Charakteristický kořen r krácené rovnice a + a + a = 0 0 Partikulární integrál ŷ Pn ( ) r = 0 k násobný k R n ( ) r 0 Rn ( ) a e r = a k násobný r a k a A e a Ae cosb sin b a P ( ) e cosb n a P ( ) e sinb n r =± ib ( Acosb+ Bsin b) r ± ib Acosb+ Bsin b r = a± ib a e ( Rn( )cos b+ Sn( )sin b) r a± ib a e ( Rn( )cos b+ Sn( )sin b) 0 Pn ( ) Rn ( ) Sn( ) jsou polnom stupně n ( A + A+ A + + A ) Výpočet touto metodou si ukážeme opět na příkladu Příklad 79: Vřešte diferenciální rovnici + + = Q( ) Řešení: I Vřešíme příslušnou krácenou rovnici: + + = 0 napíšeme charakteristickou rovnici r r + r+ = 0 ( r+ )( r+ ) = 0 = r = fundamentální sstém řešení tvoří lineárně neávislé složk a podle (A) napíšeme obecné řešení krácené rovnice: n e 0 n = = e = Ce + C e II Z metodických důvodů teď budeme pro tuto krácenou rovnici volit růné pravé stran Q ( ) a k nim vtvářet podle tabulk příslušný partikulární integrál α) Pro Qα ( ) = 4e řešíme rovnici + + = 4e Mocnitel na pravé straně rovnice a = a = a r = Ae vpočítáme derivace ˆ ˆ = Ae ˆ = 4Ae a dosadíme do adání α): 4Ae + Ae + Ae = 4e vkrátíme e 0 a sečteme A = 4 A = ˆ = e

18 Diferenciální rovnice 8 III α) Dosaením do (7) ískáme obecné řešení úplné rovnice: = 0 + ˆ α = Ce + Ce + e II β) Pro Qβ ( ) = 4e řešíme rovnici + + = 4e Mocnitel na pravé straně rovnice a = a = = r ( k = ) ˆ = Ae vpočítáme derivace ˆ = Ae Ae ˆ Ae Ae 4Ae 4Ae = + = 4Ae a dosadíme do adání β): 4Ae 4Ae + ( Ae Ae ) + Ae = 4e Člen s e se vruší vkrátíme ˆ = 4e III β) Dosaením do (7) ískáme obecné řešení: = 0 + ˆ 4 β = Ce + C e e e 0 a sečteme A = 4 A = 4 II γ) Pro Qγ ( ) = 4 řešíme rovnici + + = 4 Na pravé straně rovnice je polnom stupně a r 0 = A + B + C vpočítáme derivace ˆ = A + B ˆ = A a dosadíme do adání γ): ˆ A+ ( A+ B) + ( A + B+ C) = 4 upravíme: A + (6A + B) + (A + B + C) = 4 porovnáme koeficient u jednotlivých mocnin : u : A= 4 A= u : 6A+ B= 0 B= A= = 6 0 u : A+ B+ C = C = A B= ( 6) = C = 6 ˆ = 6+ 6 III γ) Dosaením do (7) ískáme obecné řešení: = 0 + ˆ γ = Ce + Ce II δ) Pro Qδ ( ) = 0sin řešíme rovnici + + = 0sin Na pravé straně rovnice je funkce sin a= 0 b= r 0± i ˆ = Acos + Bsin vpočítáme derivace: ˆ = Asin + Bcos ˆ =4Acos 4Bsin a dosadíme do adání δ): ( 4Acos 4Bsin ) + ( Asin+ Bcos ) + ( Acos+ Bsin ) = 0sin upravíme: cos ( A+ 6 B) + sin ( 6A B) = 0sin porovnáme koeficient u jednotlivých funkcí: u cos : A+ 6B= 0 A= B u sin : 6A B= 0 6B B= 0 B= A= ˆ =cos sin

19 Diferenciální rovnice 9 III δ) Dosaením do (7) ískáme obecné řešení: = 0 + ˆ δ = Ce + Ce cos sin Příklad 70: Vřešte diferenciální rovnici + = Q( ) Řešení: I Vřešíme příslušnou krácenou rovnici: + = 0 napíšeme charakteristickou rovnici fundamentální sstém řešení tvoří lineárně neávislé složk a podle (A) napíšeme obecné řešení krácené rovnice: r + r = 0 rr+ ( ) = 0 r = r = 0 = e 0 = e = 0 = Ce + C = Ce + C II Z metodických důvodů teď budeme pro tuto krácenou rovnici opět volit růné pravé stran Q ( ) a k nim vtvářet partikulární integrál podle výše uvedené tabulk: ε) Pro Qε ( ) = e řešíme rovnici Mocnitel na pravé straně rovnice vpočítáme derivace: a dosadíme do adání ε): vkrátíme + = e ˆ a = a = a r = Ae ˆ = Ae ˆ = 9Ae 9Ae + Ae = e e 0 a sečteme 5A = III ε)dosaením do (7) ískáme obecné řešení: = 0 + ˆ ε = Ce + C + e 5 A = 5 II φ) Zvolme Qϕ ( ) = 4 řešíme rovnici + = 4 Na pravé straně rovnice je polnom stupně a protože r = 0 ˆ = ( A+ B) = A + B vpočítáme derivace: ˆ = A + B ˆ = A a dosadíme do adání φ): A+ ( A+ B) = 4 upravíme: 4 A + (A + B) = 4 porovnáme koeficient u jednotlivých mocnin : u : 4A= 4 A= 0 u :A+ B= 0 B= A= ŷ = III φ) Dosaením do (7) ískáme obecné řešení: = 0 + ˆ = Ce + C + ϕ ˆ = e 5 II σ) Pro Qσ ( ) = 8cos 4 řešíme rovnici + = 8cos4 Na pravé straně rovnice je funkce cos 4 a= 0 b= 4 r 0 ± 4i ˆ = Acos 4+ Bsin 4 vpočítáme derivace: ˆ = 4Asin4+ 4Bcos4 ˆ =6Acos4 6Bsin4

20 Diferenciální rovnice 0 a dosadíme do adání σ): ( 6Acos 4 6Bsin 4 ) + ( 4Asin 4+ 4Bcos 4 ) = 8cos 4 upravíme: cos 4 ( 6A+ 8 B) + sin 4 ( 8A 6 B) = 8cos 4 porovnáme koeficient u jednotlivých funkcí: u sin 4 : 8A 6B= 0 A= B u cos 4 : 6A+ 8B= 8 6( B) + 8B= 8 B= A= 5 5 ˆ = cos 4+ sin III σ) Dosaením do (7) ískáme obecné řešení: = 0 + ˆ σ = Ce + C cos 4+ sin Příklad 7: Vřešte diferenciální rovnici + 4 = Q( ) Řešení: I Vřešíme příslušnou krácenou rovnici: + 4 = 0 napíšeme charakteristickou rovnici r + 4= 0 r =4 r =± i a= 0 b= fundamentální sstém řešení tvoří lineárně neávislé složk = cos = sin a podle (C) napíšeme obecné řešení krácené rovnice: 0 = Ccos + Csin II Z metodických důvodů teď budeme pro tuto krácenou rovnici opět volit růné pravé stran Q ( ) a k nim vtvářet partikulární integrál ς) Pro Qς ( ) = 4e řešíme rovnici Mocnitel na pravé straně rovnice vpočítáme derivace: a dosadíme do adání ς): vkrátíme e 0 a sečteme: 8A = = 4e ˆ a = a = a r = Ae ˆ = Ae ˆ = 4Ae III ς) Dosaením do (7) ískáme obecné řešení: = 0 + ˆ ς = Ccos + Csin + e 4Ae + 4Ae = 4e A = ˆ = e II ξ ) Pro Q ξ = řešíme rovnici + 4 = Na pravé straně rovnice je polnom 0 stupně (konstanta) a protože r 0 ˆ = A vpočítáme derivace ˆ = 0 ˆ = 0 a dosadíme do adání ξ ): 0+ 4A= A= ˆ = III ξ ) Dosaením do (7) ískáme obecné řešení: = 0 + ˆ ξ = Ccos + Csin

21 Diferenciální rovnice Příklad 7: Určete tvar partikulárního integrálu pro rovnici = Q( ) je-li e a) Q ( ) = b) Q ( ) = c) Q ( ) = sin d) Q ( ) = sin cos e) Q ( ) = e cos Řešení: Napíšeme charakteristickou rovnici r vřešíme kvadratickou rovnici pomocí diskriminantu r 4 ± ± 6 4 ± 6i + 4r+ = 0 = = = r = ± i Porovnáním s (C) jistíme a= b= a podle (C) napíšeme obecné řešení: 0 = e ( C cos+ C sin ) a) Pro e Q ( ) = řešíme rovnici = e Mocnitel na pravé straně rovnice a = a = a r ˆ = Ae b) Pro Q ( ) = řešíme rovnici = Na pravé straně rovnice je polnom stupně a protože r 0 ŷ = A + B + C + D c) Pro Q ( ) = sinřešíme rovnici = sin Na pravé straně rovnice je funkce sin a= 0 b= r 0 ± i ˆ = Acos+ Bsin d) Pro Q ( ) = sin cos řešíme rovnici = sin cos Na pravé straně rovnice je funkce sin cos a= 0 b= r 0± i ˆ = Acos+ Bsin e) Pro Q ( ) = e cosřešíme rovnici Na pravé straně rovnice je funkce r = a± bi= ± i = e cos e cos a= b= ˆ = e ( Acos+ Bsin ) Příklad 7: Určete tvar partikulárního integrálu pro rovnici + 5 = Q( ) je-li a) b) 5 Q ( ) = e 5 e Q ( ) = c) Q ( ) = 5 d) Q ( ) = cos5

22 Diferenciální rovnice Řešení: Napíšeme charakteristickou rovnici r + 5r = 0 vtkneme r rr+ ( 5) = 0 r = 0 r = 5 a podle (A) napíšeme obecné řešení: = Ce + C e 0 5 = C + C e a) Pro b) Pro 5 Q ( ) = e řešíme rovnici = e Mocnitel na pravé straně rovnice a= 5 a= 5 a r 5 e Q ( ) = řešíme rovnici = e Mocnitel na pravé straně rovnice a = 5 a =5 a = r 5 ˆ = Ae 5 ˆ = Ae c) Pro Q ( ) = 5 řešíme rovnici + 5 = 5 Na pravé straně rovnice je polnom stupně a protože r = 0 ˆ = ( A + B + D) d) Pro Q ( ) = cos5řešíme rovnici + 5 = cos5 Na pravé straně rovnice je funkce cos 5 a= 0 b= 5 r 0 + 5i ˆ = Acos5+ Bsin 5

7.3. Diferenciální rovnice II. řádu

7.3. Diferenciální rovnice II. řádu Diferenciální rovnice 7 Diferenciální rovnice II řádu Ve stručném přehledu se budeme zabývat výhradně řešením lineárních diferenciálních rovnic II řádu s konstantními koeficienty Obecný tvar: ay + ay +

Více

Obyčejné diferenciální rovnice

Obyčejné diferenciální rovnice Obyčejné diferenciální rovnice Petra Schreiberová, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, FS Katedra matematiky, FAST Vysoká škola báňská Technická Univerzita Ostrava Ostrava 2019 OBSAH

Více

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu 4. Řešení základních tpů diferenciálních rovnic.řádu 4..4 Určete řešení z() Cauchov úloh pro rovnici + = 0 vhovující počáteční podmínce z =. Po separaci proměnných v rovnici dostaneme rovnici = d a po

Více

Diferenciální rovnice 3

Diferenciální rovnice 3 Diferenciální rovnice 3 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu Lineární diferenciální rovnice (dále jen LDR) n-tého řádu je rovnice tvaru + + + + = kde = je hledaná funkce, pravá strana a koeficienty

Více

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava

Více

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních

Více

y = 1 x (y2 y), dy dx = 1 x (y2 y) dy y 2 = dx dy y 2 y y(y 4) = A y + B 5 = A(y 1) + By, tj. A = 1, B = 1. dy y 1

y = 1 x (y2 y), dy dx = 1 x (y2 y) dy y 2 = dx dy y 2 y y(y 4) = A y + B 5 = A(y 1) + By, tj. A = 1, B = 1. dy y 1 ODR - řešené příkla 20 5 ANALYTICKÉ A NUMERICKÉ METODY ŘEŠENÍ ODR A. Analtické meto řešení Vzorové příkla: 5.. Příklad. Řešte diferenciální rovnici = 2. Řešení: Přepišme danou rovnici na tvar = (2 ), což

Více

Diferenciální rovnice 1

Diferenciální rovnice 1 Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.

Více

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y

Více

Diferenciální rovnice

Diferenciální rovnice Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

1 1 x 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými proměnnými, která má smysl pro x ±1 a

1 1 x 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými proměnnými, která má smysl pro x ±1 a . Řešené úlohy Příklad. (separace proměnných). Řešte počáteční úlohu y 2 + yy ( 2 ) = 0, y(0) = 2. Řešení. Rovnici přepíšeme do tvaru y 2 = yy ( 2 ) y = y2 y 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými

Více

9.3. Úplná lineární rovnice s konstantními koeficienty

9.3. Úplná lineární rovnice s konstantními koeficienty Úplná lineární rovnice s konstantními koeficienty Cíle Nyní přejdeme k řešení úplné lineární rovnice druhého řádu. I v tomto případě si nejprve ujasníme, v jakém tvaru můžeme očekávat řešení, poté se zaměříme

Více

1 Integrální počet. 1.1 Neurčitý integrál. 1.2 Metody výpočtů neurčitých integrálů

1 Integrální počet. 1.1 Neurčitý integrál. 1.2 Metody výpočtů neurčitých integrálů Integrální počet. Neurčitý integrál Neurčitým integrálem k dané funkci f() nazýváme takovou funkci F (), pro kterou platí, že f() = F (). Neboli integrálem funkce f() je taková funkce F (), ze které bychom

Více

2. DVOJROZMĚRNÝ (DVOJNÝ) INTEGRÁL

2. DVOJROZMĚRNÝ (DVOJNÝ) INTEGRÁL . VOJROZMĚRNÝ (VOJNÝ) INTEGRÁL Úvodem připomenutí základních integračních vzorců, bez nichž se neobejdete: [.] d = C [.] d = + C n+ n [.] d = + C n + [4.] d = ln + C [5.] sin d = cos + C [6.] cos d = sin

Více

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy 36 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ 2 1 2 1 1 y 1 2 Obráek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 0 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ..07/.5.00/3.0 Zlepšení podmínek pro

Více

INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE října 2009

INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE října 2009 INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 1 Robert Mařík 2. října 2009 c Robert Mařík, 2009 Obsah 1 Diferenciální rovnice úvod 4 2 DR se separovanými proměnnými 9 DR se sep. proměnnými.........................

Více

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1 Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory 5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22 Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Více

Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)

Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6) 1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht

Více

Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +,

Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +, Příklad Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: a) =, 0= b) =, = c) =2, = d) =2, 0= e) =, 0= f) 2 =0, = g) + =0, h) =, = 2 = i) =, 0= j) sin+cos=0,

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

M - Příprava na 1. čtvrtletku - třída 3ODK

M - Příprava na 1. čtvrtletku - třída 3ODK M - Příprava na 1. čtvrtletku - třída ODK Souhrnný studijní materiál k přípravě na čtvrtletní písemnou práci. Obsahuje učivo října až prosince 007. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven

Více

Obsah Obyčejné diferenciální rovnice

Obsah Obyčejné diferenciální rovnice Obsah 1 Obyčejné diferenciální rovnice 3 1.1 Základní pojmy............................................ 3 1.2 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu................................ 5 1.3 Exaktní rovnice............................................

Více

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Funkce více proměnných 6 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Ve čtvrté kapitole jsme studovali vlastnosti funkcí jedné nezávisle proměnné K popisu mnoha reálných situací však s jednou nezávisle

Více

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t. 1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co

Více

Řešení: 1. Metodou sčítací: Vynásobíme první rovnici 3 a přičteme ke druhé. 14, odtud x 2.

Řešení: 1. Metodou sčítací: Vynásobíme první rovnici 3 a přičteme ke druhé. 14, odtud x 2. Soustav rovnic Metod řešení soustav rovnic o více neznámých jsou založen na postupné eliminaci neznámých Pro dvě lineární rovnice o dvou neznámých používáme metodu sčítací (aditivní), kd vhodně vnásobíme

Více

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.

Více

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce Určete a grafick znázorněte definiční obor funkce Příklad. z = ln( + ) Řešení: Vpíšeme omezující podmínk pro jednotlivé části funkce. Jmenovatel zlomku musí být 0, logaritmická funkce je definovaná pro

Více

SPECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ INTEGRACE RACIONÁLNÍCH FUNKCÍ

SPECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ INTEGRACE RACIONÁLNÍCH FUNKCÍ VÝPOČET PEIÁLNÍH PRIMITIVNÍH FUNKÍ Obecně nelze zadat algoritmus, který by vždy vedl k výpočtu primitivní funkce. Nicméně eistují jisté třídy funkcí, pro které eistuje algoritmus, který vždy vede k výpočtu

Více

9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty

9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty 9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty Cíle Řešíme-li konkrétní aplikace, které jsou popsány diferenciálními rovnicemi, velmi často zjistíme, že fyzikální nebo další parametry (hmotnost,

Více

Kapitola 7: Integrál. 1/17

Kapitola 7: Integrál. 1/17 Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený

Více

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx. Neurčitý integrál arcsin. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme arcsin = arcsin 4 = arcsin + 4 + C, (,. ln + 4 ln + 9. Tento integrál lze převést substitucí ln = y na integrál

Více

8.1. Separovatelné rovnice

8.1. Separovatelné rovnice 8. Metody řešení diferenciálních rovnic 1. řádu Cíle V předchozí kapitole jsme poznali separovaný tvar diferenciální rovnice, který bezprostředně umožňuje nalézt řešení integrací. Eistuje široká skupina

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

9.5. Soustavy diferenciálních rovnic

9.5. Soustavy diferenciálních rovnic Cíle Budeme se nyní zabývat úlohami, v nichž je cílem najít dvojici funkcí y(x), z(x), pro které jsou zadány dvě lineární rovnice prvního řádu, obsahující tyto funkce a jejich derivace. Výklad Omezíme-li

Více

MATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze

MATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze Fakulta strojního inženýrství Univerzity J. E. Purkyně v Ústí nad Labem Pasteurova 7 Tel.: 475 285 511 400 96 Ústí nad Labem Fax: 475 285 566 Internet: www.ujep.cz E-mail: kontakt@ujep.cz MATEMATIKA III

Více

Řešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. 2a + b = 3, 6a + b = 27,

Řešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. 2a + b = 3, 6a + b = 27, Přijímací řízení 2015/16 Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita v Ostravě Navazující magisterské studium, obor Aplikovaná matematika (1. červen 2016) Příklad 1 Určete taková a, b R, aby funkce f()

Více

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u) Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené

Více

8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice

8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice 9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky

Více

LIMITA FUNKCE, SPOJITOST FUNKCE

LIMITA FUNKCE, SPOJITOST FUNKCE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA LIMITA FUNKCE, SPOJITOST FUNKCE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin

Více

7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí

7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí 202-m3b2/cvic/7slf.tex 7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = fg, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce, které mají

Více

1 Nulové body holomorfní funkce

1 Nulové body holomorfní funkce Nulové body holomorfní funkce Bod naýváme nulový bod funkce f), jestliže f ) =. Je-li funkce f) holomorfní v bodě, pak le funkci f) v jistém okolí bodu rovinout v Taylorovu řadu: f) = n= a n ) n, a n =

Více

Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14

Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Neurčitý integrál 2/14 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní

Více

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje

Více

Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) Neurčitý integrál Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic Soustavy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních diferenciálních rovnic y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x) y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x). y n = a

Více

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH 1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH V minulém semestru jsme studovali vlastnosti unkcí jedné nezávislé proměnné. K popisu mnoha reálných situací obvkle s jednou proměnnou nevstačíme. FUNKCE DVOU

Více

Definice : 1 Bod A Ω En se naývá vnitřní bod oboru Ω, kdž eistuje okolí U A, které celé patří do oboru Ω Bod B se naývá hraniční bod oboru Ω, kdž v ka

Definice : 1 Bod A Ω En se naývá vnitřní bod oboru Ω, kdž eistuje okolí U A, které celé patří do oboru Ω Bod B se naývá hraniční bod oboru Ω, kdž v ka 1 Diferenciální počet funkcí dvou proměnných 1 Výnačné bod a množin bodů v prostoru Souřadnicová soustava v prostoru Každému bodu v prostoru přiřaujeme v kartéské souřadnicové soustavě uspořádanou trojici

Více

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1.

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1. Eponenciální rovnice Eponenciální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá vsktuje v eponentu. Řešíme je v závislosti na tpu rovnice několika základními metodami. A. Metoda převedení na stejný základ

Více

INTERNETOVÉ ZKOUŠKY NANEČISTO - VŠE: UKÁZKOVÁ PRÁCE

INTERNETOVÉ ZKOUŠKY NANEČISTO - VŠE: UKÁZKOVÁ PRÁCE INTERNETOVÉ ZKOUŠKY NANEČISTO - VŠE: UKÁZKOVÁ PRÁCE. Součin 5 4 je roven číslu: a) 4, b), c), d), e) žádná z předchozích odpovědí není správná. 5 5 5 5 + + 5 5 5 5 + + 4 9 9 4 Správná odpověď je a) Počítání

Více

Lineární rovnice prvního řádu. Máme řešit nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce h(t) = 2

Lineární rovnice prvního řádu. Máme řešit nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce h(t) = 2 Cvičení Lineární rovnice prvního řádu. Najděte řešení Cauchyovy úlohy x + x tg t = cos t, které vyhovuje podmínce xπ =. Máme nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce ht = tg t a

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL 7 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL 7 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL 7 NEURČITÝ INTEGRÁL STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,

Více

Diferenciální rovnice separace proměnných verze 1.1

Diferenciální rovnice separace proměnných verze 1.1 Úvod Diferenciální rovnice separace proměnných verze. Následující tet popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně metodu separace proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na

Více

II. 3. Speciální integrační metody

II. 3. Speciální integrační metody 48 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné II.. Speciální integrační metody Integrály typu f ( x, r x, r x,..., r k x ), tj. integrály obsahující proměnnou x pod odmocninou, kde k N a r,..., r k jsou

Více

Integrální počet - I. část (neurčitý integrál a základní integrační metody)

Integrální počet - I. část (neurčitý integrál a základní integrační metody) Integrální počet - I. část (neurčitý integrál a základní integrační metody) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 6. přednáška z AMA Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 23 Obsah

Více

1 Integrál komplexní funkce pokračování

1 Integrál komplexní funkce pokračování Integrál komplexní funkce pokračování Definice. Nechť D a F ) je taková funkce, že F ) = f) pro všechna D. Pak F ) naýváme primitivní funkcí k funkci f) v oblasti D. Protože při integraci funkce f po křivce,

Více

Z transformace. Definice. Z transformací komplexní posloupnosti f = { } f n z n, (1)

Z transformace. Definice. Z transformací komplexní posloupnosti f = { } f n z n, (1) Z transformace Definice Z transformací komplexní posloupnosti f = { roumíme funkci F ( definovanou vtahem F ( = n, ( pokud řada vpravo konverguje aspoň v jednom bodě 0 C Náev Z transformace budeme také

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3 Příklad 1 Zjistěte, zda jsou dané funkce sudé nebo liché, případně ani sudé ani liché: a) =ln b) = c) = d) =4 +1 e) =sin cos f) =sin3+ cos+ Poznámka Všechny tyto úlohy řešíme tak, že argument funkce nahradíme

Více

Pavel Kreml Jaroslav Vlček Petr Volný Jiří Krček Jiří Poláček

Pavel Kreml Jaroslav Vlček Petr Volný Jiří Krček Jiří Poláček VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA MATEMATIKA II Pavel Kreml Jaroslav Vlček Petr Volný Jiří Krček Jiří Poláček Vytvořeno v rámci projektu Operačního programu Rozvoje lidských zdrojů CZ.04..0/..5./006

Více

SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC

SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC Pojm: Algebraická rovnice... rovnice obsahující pouze celé nezáporné mocnin neznámé, tj. a n n + a n 1 n 1 +... + a 2 2 + a 1 + a 0 = 0, kde n je přirozené číslo.

Více

Integrální počet funkcí jedné proměnné

Integrální počet funkcí jedné proměnné Integrální počet funkcí jedné proměnné V diferenciálním počtu jsme určovali derivaci funkce jedné proměnné a pomocí ní vyšetřovali řadu vlastností této funkce. Pro připomenutí: derivace má uplatnění tam,

Více

Kapitola 7: Integrál.

Kapitola 7: Integrál. Kapitola 7: Integrál. Neurčitý integrál. Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f(x) x I nazýváme primitivní funkcí k funkci

Více

GONIOMETRIE. 1) Doplň tabulky hodnot: 2) Doplň, zda je daná funkce v daném kvadrantu kladná, či záporná: PRACOVNÍ LISTY Matematický seminář.

GONIOMETRIE. 1) Doplň tabulky hodnot: 2) Doplň, zda je daná funkce v daném kvadrantu kladná, či záporná: PRACOVNÍ LISTY Matematický seminář. / 9 GONIOMETRIE ) Doplň tabulk hodnot: α ( ) 0 0 5 60 90 0 5 50 80 α (ra sin α cos α tg α cotg α α ( ) 0 5 0 70 00 5 0 60 α (ra sin α cos α tg α cotg α ) Doplň, zda je daná funkce v daném kvadrantu kladná,

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺın společného

Více

( ) ( ) ( ) ( ) Základní goniometrické vzorce III. Předpoklady: 4301, 4305

( ) ( ) ( ) ( ) Základní goniometrické vzorce III. Předpoklady: 4301, 4305 .. Základní goniometrické vzorce III Předpoklad 0, 0 Pedagogická poznámka Je zřejmé, že samostatně studenti všechn rovnice za jednu hodinu nevřeší. Pokud se objeví větší rozdíl mezi různými částmi tříd

Více

= 0,1 1,3. je oblast ohraničená přímkami =, =, =0 :0 1, : =2, =, =1

= 0,1 1,3. je oblast ohraničená přímkami =, =, =0 :0 1, : =2, =, =1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad 1 Vypočtěte integrály a) b) c) d) e) f) g) h) i) j),, = 0,1 1,3 je oblast ohraničená přímkami =,=,=0 1+, :=0,=1,=1,= +3, :=0,=,=0,=1 sin+, 3,,,, :=0,=,= : + 4 : =4+,+3=0

Více

Obyčejné diferenciální rovnice

Obyčejné diferenciální rovnice 1 Obyčejné diferenciální rovnice Příklad 0.1 (Motivační). Rychlost chladnutí hmotného bodu je přímo úměrná rozdílu jeho teploty minus teploty okolí. Předpokládejme teplotu bodu 30 o C v čase t = 0 a čase

Více

Seznámíte se s pojmem primitivní funkce a neurčitý integrál funkce jedné proměnné.

Seznámíte se s pojmem primitivní funkce a neurčitý integrál funkce jedné proměnné. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ NEURČITÝ INTEGRÁL NEURČITÝ INTEGRÁL Průvodce studiem V kapitole Diferenciální počet funkcí jedné proměnné jste se seznámili s derivováním funkcí Jestliže znáte derivace

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplín společného

Více

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............

Více

4. Lineární diferenciální rovnice rovnice 1. ádu

4. Lineární diferenciální rovnice rovnice 1. ádu 4. Lineární diferenciální rovnice rovnice. ádu y + p( ) y = (4.) L[ y] = y + p( ) y p q jsou spojité na I = (ab) a < b. Z obecné teorie vyplývá že množina všech ešení rovnice (4.) na intervalu I (tzv.

Více

( ) Násobení a dělení komplexních čísel v goniometrickém tvaru. π π. Předpoklady: 6203

( ) Násobení a dělení komplexních čísel v goniometrickém tvaru. π π. Předpoklady: 6203 6..4 Násobení a dělení komplexních čísel v goniometrickém tvaru Předpoklady: 603 Pedagogická ponámka: Tato hodina vyžaduje spíše jeden a půl vyučovací hodiny Máme dvě komplexní čísla v algebraickém tvaru:

Více

VYSOK A ˇ SKOLA POLYTECHNICK A JIHLAVA Katedra matematiky Matematick y semin aˇ r Petra Hor aˇ ckov a, Miroslav Han aˇ cek 2016

VYSOK A ˇ SKOLA POLYTECHNICK A JIHLAVA Katedra matematiky Matematick y semin aˇ r Petra Hor aˇ ckov a, Miroslav Han aˇ cek 2016 VYSOKÁ ŠKOLA POLYTECHNICKÁ JIHLAVA Katedra matematik Matematický seminář Petra Horáčková, Miroslav Hanáček Za jazkovou a věcnou správnost obsahu díla odpovídají autoři. Tet neprošel jazkovou ani redakční

Více

Seznámíte se s principem integrace metodou per partes a se základními typy integrálů, které lze touto metodou vypočítat.

Seznámíte se s principem integrace metodou per partes a se základními typy integrálů, které lze touto metodou vypočítat. .. Integrace metodou per partes.. Integrace metodou per partes Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme poznali, že integrování součtu funkcí lze provést jednoduše, známe-li integrály jednotlivých

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

6. Lineární ODR n-tého řádu

6. Lineární ODR n-tého řádu 6. Lineární ODR n-tého řádu A. Obecná homogenní LODRn V předcházející kapitole jsme diferenciální rovnici (libovolného řádu) nazvali lineární, je-li tato rovnice lineární vzhledem ke hledané funkci y a

Více

1.6 Singulární kvadriky

1.6 Singulární kvadriky 22 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ neboť B = C =. Z rovnice (1.34) plne, že přímka, procháející singulárním bodem kvadrik má s kvadrikou společný poue tento singulární bod (je-li A ) nebo celá

Více

MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH

MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TEHNIKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA II V PŘÍKLADEH VIČENÍ Č. Ing. Ptra Schribrová, Ph.D. Ostrava Ing. Ptra Schribrová, Ph.D. Vsoká škola báňská Tchnická univrzita

Více

Diferenciální počet funkcí více reálných proměnných PŘÍKLAD 1. Nalezněte funkční předpis kvadratické formy F( z1, z2, z = A.

Diferenciální počet funkcí více reálných proměnných PŘÍKLAD 1. Nalezněte funkční předpis kvadratické formy F( z1, z2, z = A. Diferenciální počet funkcí více reálných proměnných -6- KVADRATICKÉ FORMY PŘÍKLAD Naleněte funkční předpis kvadratické formy F(, ) adané maticí A 4 Pro obecnou kvadratickou formu dvou proměnných platí

Více

6. dubna *********** Přednáška ***********

6. dubna *********** Přednáška *********** KMA/MAT2 Přednáška a cvičení č. 8, Obyčejné diferenciální rovnice 2 6. dubna 2016 *********** Přednáška *********** 1 Existence a jednoznačnost řešení Cauchyovy úlohy Stále uvažujeme rovnici y = f(t, y).

Více

rovnic), Definice y + p(x)y = q(x), Je-li q(x) = 0 na M, nazývá se y + p(x)y =

rovnic), Definice y + p(x)y = q(x), Je-li q(x) = 0 na M, nazývá se y + p(x)y = Cíle Přehled základních typů diferenciálních rovnic prvního řádu zakončíme pojednáním o lineárních rovnicích, které patří v praktických úlohách k nejfrekventovanějším. Ukážeme například, že jejich řešení

Více

Diferenciální počet funkce jedné proměnné 1

Diferenciální počet funkce jedné proměnné 1 Diferenciální počet funkce jedné proměnné Limita funkce Pojem limita můžeme česk vjádřit jako mez, případně hranice Zavedení pojmu limita si objasníme na příkladu Příklad : Funkce f ( ) Obr 6: Graf funkce

Více

( ) Násobení a dělení komplexních čísel v goniometrickém tvaru. π π. Předpoklady: 6203

( ) Násobení a dělení komplexních čísel v goniometrickém tvaru. π π. Předpoklady: 6203 6..4 Násobení a dělení komplexních čísel v goniometrickém tvaru Předpoklady: 603 Pedagogická ponámka: Tato hodina vyžaduje spíše jeden a půl vyučovací hodiny Máme dvě komplexní čísla v algebraickém tvaru:

Více

METODICKÝ NÁVOD MODULU

METODICKÝ NÁVOD MODULU Centrum celoživotního vzdělávání METODICKÝ NÁVOD MODULU Název Základy matematiky modulu: Zkratka: ZM Počet kreditů: 4 Semestr: Z/L Mentor: Petr Dolanský Tutor: Petr Dolanský I OBSAH BALÍČKU STUDIJNÍCH

Více

MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH

MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH CVIČENÍ Č. Ing. Petra Schreiberová, Ph.D. Ostrava 0 Ing. Petra Schreiberová, Ph.D. Vysoká škola báňská Technická

Více

x 2(A), x y (A) y x (A), 2 f

x 2(A), x y (A) y x (A), 2 f II.10. Etrém funkcí Věta (nutná podmínka pro lokální etrém). Necht funkce f(, ) je diferencovatelná v bodě A. Má-li funkce f v bodě A lokální etrém, pak gradf(a) = 0. Onačme hlavní minor matice druhých

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Co je to diferenciální rovnice? Definice: Diferenciální rovnice je vztah mezi hledanou funkcí y(x), jejími derivacemi y (x), y (x), y (x),... a nezávisle proměnnou

Více

Pojem limity funkce charakterizuje chování funkce v blízkém okolí libovolného bodu, tedy i těch bodů, ve kterých funkce není definovaná. platí. < ε.

Pojem limity funkce charakterizuje chování funkce v blízkém okolí libovolného bodu, tedy i těch bodů, ve kterých funkce není definovaná. platí. < ε. LIMITA FUNKCE Pojem ity unkce charakterizuje chování unkce v blízkém okolí libovolného bodu, tedy i těch bodů, ve kterých unkce není deinovaná Zápis ( ) L Přesněji to vyjadřuje deinice: znamená, že pro

Více

F (x) = f(x). Je-li funkce f spojitá na intervalu I, pak existuje k funkci f primitivní funkce na intervalu I.

F (x) = f(x). Je-li funkce f spojitá na intervalu I, pak existuje k funkci f primitivní funkce na intervalu I. KAPITOLA 7: 7. Úvod Primitivní funkce [MA-6:P7.] Definice: Funkce F je primitivní funkcí k funkci f na intervalu I, jestliže pro každé I eistuje F a platí F f. Poznámky: Obsahuje-li I některý z krajních

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list

Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Závislosti

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

SPECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ

SPECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ VÝPOČET PECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ Obecně nelze zadat algoritmus, který by vždy vedl k výpočtu primitivní funkce. Pro různé situace se hodí různé metody (výpočtu!). Jak již bylo několikrát zdůrazněno,

Více

Goniometrické rovnice

Goniometrické rovnice Goniometrické rovnice Funkce Existují čtyři goniometrické funkce sinus, kosinus, tangens a kotangens. Výraz číslo, ze kterého je daná funkce v obecném tvaru je to x se nazývá argument. Argument může u

Více