Matematická analýza I pro kombinované studium. Konzultace první a druhá. RNDr. Libuše Samková, Ph.D. pf.jcu.cz

Transkript

1 Učební texty ke konzultacím předmětu Matematická analýza I pro kombinované studium Konzultace první a druhá RNDr. Libuše Samková, Ph.D. lsamkova@ pf.jcu.cz webová stránka: home.pf.jcu.cz/ lsamkova/ Obsah kurzu: Elementární funkce jedné reálné proměnné a jejich vlastnosti. Teorie limit posloupností reálných čísel. Geometrické řady. Literatura: učebnice pro Gymnázia, např. Funkce, Posloupnosti a řady, nakl. Prometheus Petrášková, Zmeškalová: Algebraické funkce, nakl. PF JU Zápočet se uděluje na základě odevzdání domácí práce(vypracování zadaných úloh). Z každé kapitoly učebních textů je nutno vypracovat 3 příklady. Plus příklady uvedené za poslední kapitolou. Zkouška se skládá z ústní a písemné části. Nutnou podmínkou k účasti na zkoušce je získání zápočtu.

2 Kvadratické funkce Řešte nerovnice v R: x 3x 8 0 x +8x x x x 5x+ >0 5 9x 6x+ 0 6 x +x+6 <0 7 x +x (x+)(4 x) x 3 7+x 0 0 x + (x )(x+) 0 x +5x+4 x 5x 6 <0 x 3x 4 x+ x x 4 x+ x+3 > <0 Určeteparametr m Rtak,abydanárovniceměla 5 dvareálnérůznékořeny: x +x+m =0 6 jedendvojnásobnýkořen: x ( m) x+=0 7 pouzenereálnékořeny: 9x 6mx+9m=0 8 dvarůznézápornékořeny: x +mx+m 8=0 9 jedenkořen: (m ) x +(m+) x+m =0 0 jedennebodvareálnékořeny: 5x +(4m 0) x+m m+5=0 Výsledky: x 4,7 ; x= 4; 3 x (, 3 5, ); 4 x ( 4, 3 ); 5 x= 3 ; 6 x ; 7 x R; 8 x (, 4, ); 9 x (, 7) 3 4, ); 0 x (, ); x ( 4, ) (, 6); x (, ) (, 4); 3 x 3,); 4 x ( 4, 3); 5 m (,); 6 m { ;3}; 7 m (0,9); 8 m ( 8, ); 9 m {; 5 }; 0 m 0, 5.

3 Typ: Diskriminant: ax + bx+c=0 pro a 0 D=b 4ac D >0 reálnářešení x, = b ± D a ax + bx+c=a(x x )(x x ) a >0 a <0 X X X X D=0 reálnéřešení x 0 = b a ax + bx+c=a(x x 0 ) a >0 a <0 X0 X0 3

4 D <0 žádnéreálnéřešení rozklad na součin neexistuje a >0 a <0 4

5 Absolutní hodnota Řešte rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou: x 3 =9 x +3x = 3 x+4 = 4 x 3 < x 5 3x 6 x 7 x+ 8 x 7x+5 <9 x Řešte rovnice a nerovnice(intervalovou metodou): 9 x + x = 0 x+ = x + x x+ +3 x+ =0 3 (5x 3)(x+4) x(6 x) x (x )(x+) <0 4 x 3x 4 x 0 0 Výsledky: x { 6;}; x { 4; 3;0;}; 3 x = ; 4 x (,5); 5 x (, 3, ); 6 x,0) (0, ; 7 x (, ; 8 x (,6); 9 x, ; 0 x { 4; 3 }; x= ; x (, 4 (0,3 (6, ); 5 3 x (, ) (, ); 4 x,) 4, ). 5

6 Rovnice s abs. hodnotou: a = a pro a 0 a pro a 0 pro b 0: =b = =b nebo = b pro b <0: =b = nemářešení Nerovnice s abs. hodnotou: pro b >0: < b = b < < b > b = < bnebo > b pro b <0: < b = nemářešení > b = jesplněnovždy pro b=0: < b = nemářešení > b = 0 6

7 Mocniny a odmocniny Zjednodušte. U příkladů s hvězdičkou výsledek také zapište jako mocninu x: x x 3 x 3 x 6 3 (x 3 ) 4 4 (x 3 ) 5 (x 3 y) 5 6 x x 7 x 3 x 4 7 x x x 3 x 7 8 x 3 x 9 4 x 3 x 0 x 3 x 4 x 3 x 4 x x x ( 4 x x) Výsledky: x 4, x R; x 3, x 0; 3 x, x R; 4 x 3, x 0; 5 x 5 y 5, x, y R; 6 x, x 0; 7 x, x 0; 8 3 x 4, x R; 9 x, x >0; 0 x 3, x 0; 4 x 3, x >0; 5 x 4 x 3 + x, x 0. Výsledky: 7 x ; 8 x 4 3; 9 x ; 0 x 3 ; x 3 4. Řešte rovnice s odmocninou: 3 4 x+= 5 x= 3 x+= 4 5 x=x+ Výsledky: x=4; x= 9; 3 x=; 4 x=. 7

8 Platí: a r a s = a r+s (a r ) s = a r s (ab) r = a r b r r a s = a s r ( ) s= ( a ) s= a s ( b ) s a r a s a as= b b s= ar s a as= Pro nlichéje n xdefinovánopro x R,pro nsudéje n xdefinovánopro x 0. Pro a >0, m N, n N: n am = a m n. Pro x R: x = x x = xpro x 0 x = xpro x <0 POZOR! (a ± b) a ± b, ale (a ± b) = a ±ab+b x 4 x 3 x 3 x x x 8

9 Exponenciální a logaritmické funkce Řešte rovnice a nerovnice: x =0 x 3 x =44 ( 3 6 x x+3 x =4 8 ) x x 7 > 3 6 ( x ( ) x+3 7 < ) 8 4 x x =04 ( 3) x 3 > x 5 >8 ( 3 ) x Řešte rovnice a nerovnice: ( ) 9 log = x 8 0 log (64)=x log (log 3 (log log 3(x+)+log 3 (x+3)= 3 log (x+) 3 4 log(x+) 3 5 log x < 6 log 3 x Výsledky: x=; x=; 3 x { 7 3 ;3}; 4 x= ; 5 x ( 4 3, ); 6 x (,0); 7 x (, 3) (, ); 8 x (, ); 9 x= 3; 0 x=; x= 8 ; x=0; 3 x 6, ); 4 x (, 5 8 ; 5 x ( 00,0) (0,00); 6 x 9, 3 3,9. 9

10 Typ: a x pro a (0,) (, ) a > a < Pravidla pro počítání: a r a s = a r+s (a r ) s = a r s (ab) r = a r b r r a s = a s r ( ) s= ( a ) s= a s ( b ) s a r a s a as= b b s= ar s a as= Typ: log a (x) pro a (0,) (, ) a > a < Definováno: y=log a (x)právětehdy,když a y = x Speciálně:lnx log e (x),log x log 0 (x) Pravidla pro počítání: log a (A)+log a (B)=log a (A B) log a (A k )=k log a (A) log a (a k )=k ( A ) ( ) log a (A) log a (B)=log a log B a = log A a (A) log a (x)= log b(x) log b (a) 0

11 Goniometrické funkce Určete hodnoty: sin π 3 sin π 6 5 sin π 3 cos π 3 4 cos π 4 6 cos( π 6 ) 7 sin0 8 cos0 9 tg π 4 0 tg( π 3 ) sin( π ) cos π 3 Výsledky: ; ; 3 ; 4 ; 5 3 ; 6 3 ; 7 0; 8 ; 9 ; 0 3; 3 ;. Řešte rovnice a nerovnice: sin x= cos ( x π ) = 3 3 cotg x= 4 cotgx= 5 sin x 3 +cos x=0 7 cos x <0 8 sin x >0 6 cos x sin xcosx= 9 cos x 0 tgx 3 sin x cosx < Výsledky: 7π π 6 +kπ, 6 +kπ; 7π 6 +4kπ, π 6 +4kπ; 3 π 4 + kπ; 4 π 4 + kπ; 5 π 3 + kπ; 6 π 8 + k π ; 7 x ( π +kπ,3π +kπ); 8 x (kπ, π+kπ); 9 x 4π 3 +kπ,8π 3 +kπ ; 0 x π 3 + kπ, π + kπ); x ( π 6 + kπ,5π 6 + kπ); x ( π 4 +kπ,7π 4 +kπ).

12 sinx cos x π 0 π π 0 π tgx cotgx 0 0 sin a cos jsou funkce π-periodické, tg a cotg jsou π-periodické; D(cos)=D(sin)=R D(tg)= k Z ( π + kπ, π + kπ) D(cotg)= k Z(kπ, π+kπ) sin(x)=sin(π x)= sin(π+ x)= sin(π x)= sin( x)=sin(π+ x) cos(x)= cos(π x)= cos(π+ x)=cos(π x)=cos( x)=cos(π+ x) tg(x)= sin(x) cos(x) = cotg(x) cotg(x)= cos(x) sin(x) = tg(x) cos (x)+sin (x)=

13 Definiční obory a průsečíky Určetedefiničníoborfunkce faprůsečíkygrafusosami x, y: f(x):=ln(x+3) f(x):= 4 x 3 f(x):= +3x 4 f(x):= x +3x+ 5 f(x):= x x 9x 6 f(x):= lnx ( x ) +x 7 f(x):= 8 f(x):=ln x lnx ( x ) 9 f(x):= 0 f(x):= 3 3x 8 x+ f(x):= x x+ f(x):=ln(e x ) Výsledky def. obory: x ( 3, ); x, ); 3 x 3, ); 4 x (,, ); 5 x (,0) (9, ); 6 x, ); 7 x (0,) (, ); 8 x (,); 9 x (, ) (,) (, ); 0 x R; x (, ) (, ); x (0, ). Výsledky průsečíkysosou x: [,0]; [,0]; 3 [ 3,0]; 4 [,0]a[,0]; 5 neexistuje; 6 [,0]; 7 neexistuje; 8 [0,0]; 9 neexistuje; 0 [ 4 3,0]; [,0]; [ln,0]. Výsledky průsečíkysosou y: [0,ln3]; neexistuje; 3 [0, ]; 4 [0, ]; 5 neexistuje; 6 neexistuje; 7 neexistuje; 8 [0,0]; 9 [0,4]; 0 [0, ]; [0,]; neexistuje. Vyjádření neznámé z rovnice Z následujících rovnic vyjádřete proměnnou x. Určete, pro jaká y mají rovnice smysl. lnx=y 3 y= 4 x = y x x+ x=5y+5 8 x = y+ 9 3 e x =y 7 x = y 6 x3= y 3 = x y Výsledky: x=e y 3, y R; x= y+, y (,3) (3, ); 3 x=ln(y 7), 3 y y ( 7, ); 4 x=± y 4, y (,, ); 5 x=± y, y (, ); 6 x= 3 y, y (,) (, ); 7 x=(5y+5), y 3, ); 8 x= (y+), y (, ); 9 x=y 3, y (,0) (0, ). 3

14 Podmínky: , podobněvšechnysudéodmocniny,tj. 4 6,,... ln( )... tg( )... cotg( )... >0, podobněvšechnylogaritmy,tj.log a ( ) π + kπ, k Z kπ, k Z Je-li =,potomtakémusíplatit 0. Podobně,je-li =e,musí >0. Průsečíkysosou x:všechnybody[x,0],kde xjeřešenírovnice f(x)=0. Průsečíksosou y:bod[0, f(0)],pokud0ležívdefiničnímoborufunkce f. Tvorba grafu. Necht známegraffunkce f(x).necht c >0.Grafydalšíchfunkcízískáme následujícím postupem: f(x)+c posunutígrafuocnahoru f(x) c posunutígrafuocdolů f(x+c) posunutígrafuocdoleva f(x c) posunutígrafuocdoprava f( x) překlopení grafu kolem osy y f(x) překlopenígrafukolemosy x cf(x) protažení grafu c-krát ve směru osy y f(cx) smrštěnígrafu c-krátvesměruosy x f(x) překlopení grafu nad osu x f( x ) grafnapravoodosy yponechatanavícpřeklopitkolemosy ydoleva 4

15 Rozbor(vyšetřování) funkce U následujících funkcí určete definiční obor, průsečíky grafu s osami x, y, načrtněte graf,určetezgrafuoborhodnot,zjistětekdejefunkcerostoucíakdeklesající,zdaje omezená, najděte funkci inverzní: f(x)= x + f(x)= x+3 x+3 3 f(x)= 3 x+ 4 f(x)=3+ln(+x) 5 f(x)=4 x 6 f(x)=(x+) 3 7 f(x)= e x+ 8 f(x)=(x+) Výsledky def.obory: x, ); x (, 3) ( 3, ); 3 x R; 4 x (, ); 5 x (,0) (0, ); 6 x R; 7 x R; 8 x R. Výsledky průsečíkysosou x: neexistují; [ 3,0]; 3 [,0]; 4 [e 3,0]; 5 [,0]a[,0]; 6 [,0]; 7 [,0]; 8 [,0]a[ 3,0]. Výsledky průsečík s osou y: neexistuje; [0,]; 3 [0, 3 ]; 4 [0,3]; 5 neexistuje; 6 [0,7]; 7 [0, e ]; 8 [0,3]. Výsledky graf: 3 4 5

16 Výsledky oboryhodnot:, ); (,) (, ); 3 R; 4 R; 5 (,4); 6 R; 7 (,); 8, ). Výsledky monotonie a omezenost: rostoucí na, ), omezená zdola; rostoucí na(, 3)ana( 3, ); 3 klesajícína R; 4 rostoucína(, ); 5 klesající na(,0),rostoucína(0, ),omezenáshora; 6 rostoucína R; 7 klesajícína R, omezená shora; 8 klesající na(,, rostoucí na, ), omezená zdola. Výsledky inverznífunkce: x=y 4y+5, y, ); x= 3y 3 y, y (,) (, ); 3 x=( y) 3, y R; 4 x=e y 3, y R; 5 x = 4 y a x = 4 y, y (,4); 6 x = + 3 y+, y R; 7 x = ln( y), y (,); 8 x = + y+ax= y+, y, ). Příklady k zápočtu U následujících funkcí určete definiční obor, průsečíky grafu s osami x, y, načrtněte graf,určetezgrafuoborhodnot,zjistětekdejefunkcerostoucíakdeklesající,zdaje omezená, najděte funkci inverzní: A f(x)= 3x x B f(x)=+ 6 (x+) 3 C f(x)= ln(x )