2. Vlastnosti elementárních funkcí, složené, inverzní a cyklometrické funkce,

Transkript

1 . Určete vlastnosti funkcí: (i) f : y = x (ii) f : y = x 4 (iii) f : y = cotgx (iv) f 4 : y = arccosx (v) f 5 : y = 4 x (vi) f 6 : y = ( 4 )x (vii) f 7 : y = lnx (viii) f 8 : y = x. Uveďte příklad: (i) shora i zdola omezené sudé funkce (ii) ryze monotonní funkce, která není ani sudá ani lichá (iii) liché periodické funkce (iv) prosté liché funkce. Jsou dány funkce = x, g(x) = x a h(x) = x +. Vytvořte složené funkce h až h 4 a určete jejich definiční obory: (i) h (x) = g(h()), (ii) h (x) = f(h(g(x))), (iii) h (x) = f(g(h(x))), (iv) h 4 (x) = h(g()). 4. U daných složených funkcí určete funkci vnější a funkci vnitřní: (i) 5 x (ii) log x (iii) 5 x (iv) (x + ) 5. Rozhodněte, ke kterým z daných funkcí existuje funkce inverzní, obě funkce graficky znázorněte a určete jejich definiční obor a obor hodnot. Pro dobrovolníky: určete předpis funkce inverzní. (i) y = x (ii) y = x x (iii) y = x (iv) y = log x (v) y = x (vi) y = x x 0, ) (vii) y = x 4 (viii) y = e x

2 6. Určete definiční obory cyklometrických funkcí (i) f : y = arcsin(x ) (ii) f : y = arccotg x+ (iii) f : y = arccos x 4 (iv) f 4 : y = arcsin x+ (v) f 5 : y = arccos(x ) 7. Jsou dány P (x) = x x + x +, P (x) = x 8x + x, P (x) = x + x + 4. Vypočítejte: (i) P (x) + P (x) (ii) P (x) P (x) (iii) P (x) P (x) (iv) P (x) P (x) (v) (P (x) + P (x)) P (x) (vi) P (x) + P (x) P (x) 8. Rozhodněte, zda je hodnota kořenem daného polynomu: (i) P (x) = x x + x (ii) P (x) = x x x + (iii) P (x) = x x x (iv) P 4 (x) = x + x + (v) P 5 (x) = x 6x Určete všechny kořeny následujících polynomů: (i) P (x) = (x )(x + ) (ii) P (x) = x(x )(x + e) (iii) P (x) = x(x ) (x + ) (iv) P 4 (x) = (x + ) (x + 4x 5) (v) P 5 (x) = x (x ) Řešení. (i) lichá, není periodická, rostoucí, ryze monotonní, prostá, není ohraničená (ii) sudá, není periodická, klesající na (, 0, rostoucí na 0, ), není monotonní ani prostá, zdola ohraničená (iii) lichá, periodická, klesající na {(kπ, (k+)π), k Z}, není monotonní, prostá ani ohraničená (iv) ani sudá ani lichá, klesající, ryze monotonní, prostá, ohraničená shora i zdola

3 (v) ani sudá ani lichá, rostoucí, ryze monotonní, prostá, zdola ohraničená (vi) ani sudá ani lichá, klesající, ryze monotonní, prostá, zdola ohraničená (vii) ani sudá ani lichá, rostoucí, ryze monotonní, prostá, není ohraničená (viii) sudá, rostoucí na (, 0), klesající na (0, ), není monotonní ani prostá, zdola ohraničená. např. (i) cos x (ii) a x, log a x pro a > 0, a (iii) sin x, tgx, cotgx (iv) x, x, x 5,..., x, x, x 5,.... (i) h (x) = x +, D(h ) =, ) (ii) h (x) = x +, D(h ) = 0, ) (iii) h (x) = x +, D(h ) =, ) (iv) h 4 (x) = x +, D(h 4 ) =, ) 4. (i) vnější: = 5 x vnitřní: g(x) = x (ii) vnější: = log x vnitřní: g(x) = x (iii) vnější: = x vnitřní: g(x) = 5 x (iv) vnější: = x vnitřní: g(x) = x + 5. (i) f : y = (x + ), D(f) = H(f ) = R, H(f) = D(f ) = R (ii) nelze, funkce není prostá v R, D(f) = R, H(f) =, ) (iii) f : y = log x, D(f) = H(f ) = R +, H(f) = D(f ) = R (iv) f : y = ( ) x, D(f) = H(f ) = R +, H(f) = D(f ) = R (v) f : y = x, x 0, D(f) = H(f ) = 0, ), H(f) = D(f ) = 0, ) (vi) f : y = x, D(f) = H(f ) = 0, ), H(f) = D(f ) = 0, ) (vii) f : y = log (x + 4) +, D(f) = H(f ) = R, H(f) = D(f ) = ( 4, ) (viii) f : y = ln x, D(f) = H(f ) = R +, H(f) = D(f ) = R

4 4 0 4 f (x) f (x) f (x) (i) (ii) (iii) (iv) f (x) f (x) f (x) f (x) (v) (vi) (vii) (viii) 6. (i) D(f ) =, (ii) D(f ) = R (iii) D(f ) =, (iv) D(f 4 ) = 4, (v) D(f 5 ) = 0, 7. (i) x x + x (ii) x + 4x + x + (iii) 5x + 4x 4x (iv) x 5 + x 4 8x + 7x + 4 (v) x 5 x 4 8x 5x + x (vi) x 5 5x 4 6x 0x + 6x 8. (i) není, P ( ) = 8 (ii) je, P ( ) = 0 (iii) je, P ( ) = 0 (iv) je, P 4 ( ) = 0 (v) není, P 5 ( ) = 9. (i) {, } (ii) { e, 0, } (iii) {, 0,,, } (iv) { 5,, } (v) {0, 0,,, } 4

5 Reference ELIAŠ, J., HORVÁTH, J., KAJAN, J.: Zbierka úloh z vyššej matematiky.. díl, 5. vyd. Bratislava: Alfa 979. PETÁKOVÁ, J.: MATEMATIKA - příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. Dotisk. vydání. Praha: Prometheus 00. ISBN [verze: 5. X. 0] 5