Goniometrické funkce v elementární matematice

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Goniometrické funkce v elementární matematice"

Transkript

1 Goniometrické funkce v elementární matematice Kapitola : Goniometrie pravoúhlého trojúhelníku In: Radka Smýkalová (author): Goniometrické funkce v elementární matematice. (zech). rno, 06. pp Persistent URL: Terms of use: kademické nakladatelství RM Nadace Universitas v rně Česká matematická společnost Institute of Mathematics of the zech cademy of Sciences provides access to digitized documents strictly for personal use. ach copy of any part of this document must contain these Terms of use. This document has been digitized, optimized for electronic delivery and stamped with digital signature within the project ML-Z: The zech igital Mathematics Library

2 Kapitola Goniometrie pravoúhlého trojúhelníku. Funkce ostrého úhlu Zavedení goniometrických funkcí sinus, kosinus, tangens, kotangens, sekans a kosekans ostrých úhlů (0, π ) je spojeno s řešením pravoúhlých trojúhelníků... Od podobnosti k poměrům Na obrázku. vidíme dva různé pravoúhlé trojúhelníky a, které se shodují ve vnitřním úhlu. Podle věty uu o podobnosti trojúhelníků jsou navzájem podobné, z čehož plyne, b a c c že poměry odpovídajících si stran jsou stejné: Obrázek. a a = b b = c c. b a Odtud pro poměry dvojic stran téhož trojúhelníku dostáváme šest rovností. a c = a c,. b c = b c, 3. a b = a b,. b a = b a, 5. c b = c b, 6. c a = c a, ze kterých plyne, že ve všech pravoúhlých trojúhelnících se shodným ostrým vnitřním úhlem má. poměr odvěsny protilehlé úhlu a přepony stejnou hodnotu,. poměr odvěsny přilehlé úhlu a přepony stejnou hodnotu, 3. poměr odvěsny protilehlé úhlu a odvěsny přilehlé úhlu stejnou hodnotu, 0

3 .. FUNK OSTRÉHO ÚHLU. poměr odvěsny přilehlé úhlu a odvěsny protilehlé úhlu stejnou hodnotu, 5. poměr přepony a odvěsny přilehlé úhlu stejnou hodnotu, 6. poměr přepony a odvěsny protilehlé úhlu stejnou hodnotu. Tyto poměry tedy nezáleží na velikosti pravoúhlého trojúhelníku. Jejich hodnoty jsou kladná čísla, která závisí pouze na velikosti úhlu a kterým říkáme. sinus úhlu sin = a c,. kosinus úhlu cos = b c, 3. tangens úhlu tg = a b,. kotangens úhlu cotg = b a, 5. sekans úhlu sec = c b = cos, 6. kosekans úhlu cosec = c a = sin. Zvolíme-li délku přepony pravoúhlého trojúhelníku za jednotku délky, hodnoty sinu a kosinu budou rovny přímo délkám odvěsen a délkami úseček lze znázornit i hodnoty tangens, kotangens, sekans a kosekans (viz obr..). Z takového znázornění lze geometricky zdůvodnit všechny poznatky, které uvedeme v následující části. sec cos sin tg cosec cotg Obrázek.: Goniometrické hodnoty graficky.. Grafy a základní vztahy Z předchozího zavedení hodnot sinu a kosinu úhlu (0, π ) plyne, že obě tato čísla leží v otevřeném intervalu (0, ). Krajních hodnot dosáhnout nemohou. (V žádném pravoúhlém trojúhelníku nemůže být délka odvěsny nulová a odvěsna s přeponou nemohou mít stejnou délku.) Z geometrického názoru je však zřejmé, že hodnoty sinu a kosinu mají v krajních bodech =0a = π jednostranné limity lim sin =0, lim 0 + sin =, lim π cos =, lim 0 + cos =0. π

4 KPITOL. GONIOMTRI PRVOÚHLÉHO TROJÚHLNÍKU Proto můžeme dodefinovat hodnoty sin 0, sin π a cos 0, cos π a mluvit o funkcích sinus a kosinus na uzavřeném intervalu 0, π. Funkce sinus je na intervalu 0, π rostoucí, funkce kosinus klesající (obr..3). y y y = sin x y = cos x 0 (a) π x 0 (b) π x Obrázek.3: Grafy funkcí sinus a kosinus na intervalu 0, π y y y = tg x y = cotg x 0 (a) π x 0 (b) π x Obrázek.: Grafy funkcí tangens a kotangens na intervalu 0, π Hodnoty tangens a kotangens úhlu (0, π ) leží v otevřeném intervalu (0, ). V krajních bodech definičního oboru mají zřejmé limity: lim tg =0, lim 0 + tg =, lim π cotg =, lim 0 + cotg =0. π Jelikož není reálné číslo, nebudeme hodnoty tg π a cotg 0 definovat. Rostoucí funkce tangens tak bude definována na intervalu 0, π ), klesající funkci kotangens budeme uvažovat na intervalu (0, π (obr..). Poslední dvě goniometrické funkce sekans a kosekans lze jednoduše vyjádřit pomocí funkcí sinus a kosinus rovnostmi sec = cos a cosec = sin.

5 .. PYTHGOROV UKLIOVY VĚTY Vypočítat převrácené číslo k dané hodnotě je v epoše počítačů triviální úkol. Proto funkce sekans a kosekans již ztratily praktický význam a ani my se jimi dále nebudeme téměř vůbec zabývat. Mezi goniometrickými funkcemi existuje řada závislostí, které můžeme vyjádřit pomocí různých rovností. Např. každá výše zmíněná goniometrická funkce f() má svoji tzv. goniometrickou kofunkci cof(), pro kterou při každém (0, π ) platí ( π ) f() =cof. Které dvě goniometrické funkce jsou takto svými sourozenci, se dá jednoduše odvodit vyjádřením goniometrických poměrů v pravoúhlém trojúhelníku pro oba vnitřní ostré úhly a = π. (Úhly, nazýváme doplňkové, jelikož + = π.) Zde jsou očekávané vztahy: ( π ) ( π ) ( π ) ( π ) sin = cos, cos = sin, tg = cotg, cotg = tg a sec = cosec ( π ) ( π ), cosec = sec. louhá staletí se hledaly hodnoty goniometrických funkcí pro daný úhel jen pomocí tabulek. Tabulky sloužily i opačné úloze najít úhel, jehož goniometrická hodnota byla dána. Tato úloha vedla ke vzniku inverzních funkcí arkussinus (arcsin), arkuskosinus (arccos), arkustangens (arctg) a arkuskotangens (arccotg), které budeme uvažovat prozatím na intervalech 0,, 0,, (0, ), a (0, ). Velikost příslušných úhlů bude ležet v rozmezí (0, π ). yklometrické funkce název pro inverzní funkce ke goniometrickým dnes také slouží k přesnému zápisu výsledků, které v daný okamžik nepotřebujeme vyjadřovat přibližnými čísly pro účely praxe. Například pro ostré úhly,,γ píšeme: sin = 3 = arcsin 3, cos = 5 = arccos, tg γ = 0 γ = arctg Pythagorova a ukleidovy věty Pythagorova věta byla pojmenována podle Pythagora ze Samu (okolo 570 př. n. l. 50 př. n. l. ), jenž ji objevil pro vropu, resp. starověké Řecko. Pravděpodobně však byla známa i v jiných starověkých civilizacích dávno předtím (v Číně, částečně např. v gyptě). Popisuje vztah, který platí mezi délkami stran pravoúhlých trojúhelníků v rovině. Věta.. (Pythagorova). Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého rovinného trojúhelníku je roven součtu obsahů dvou čtverců nad jeho odvěsnami: a + b = c. ukleidova věta je označení pro geometrická tvrzení o vlastnostech pravoúhlých trojúhelníků, pojmenovaná po svém objeviteli, řeckém matematikovi ukleidovi (50 př. n. l. 370 př. n. l.). Ve skutečnosti jsou ukleidovy věty dvě ukleidova věta o výšce a ukleidova věta o odvěsně. V obou se mluví o úsecích, na které je přepona rozdělena patou výšky z protilehlého vrcholu trojúhelníku. Věta.. (ukleidova věta o výšce). Obsah čtverce sestrojeného nad výškou pravoúhlého trojúhelníku je roven obsahu obdélníku sestrojeného z obou úseků přepony: v = c a c b. 3

6 KPITOL. GONIOMTRI PRVOÚHLÉHO TROJÚHLNÍKU Věta..3 (ukleidova věta o odvěsně). Obsah čtverce sestrojeného nad odvěsnou pravoúhlého trojúhelníku je roven obsahu obdélníku sestrojeného z přepony a úseku přepony k této odvěsně přilehlého: a = c c a a b = c c b. Všechny tyto tři věty nyní odvodíme pomocí goniometrických funkcí ostrých úhlů. Nechť je dán pravoúhlý trojúhelník s přeponou. Ze vztahů pro hodnoty sinu a kosinu úhlu u vrcholu vyjádříme délky odvěsen a, b pravoúhlého trojúhelníku (viz obr..5). V troj- b a c cos c sin c c Obrázek.5 úhelníku dále vyznačíme výšku v = P, která nám rozdělí trojúhelník na dva pravoúhlé trojúhelníky P a P (viz obr..6). Z trojúhelníků a P vidíme, že každý z úhlů a P je doplňkový ke společnému úhlu u vrcholu, takže platí P =. Proto můžeme pomocí hodnot sin, cos vyjádřit i výšku v, i délky obou úseků c a = P a c b = P, jak je uvedeno v pravé části obrázku: v = c sin cos, c a = c sin, c b = c cos. Z nalezených vyjádření délek a,b,v,c a,c b již dostaneme všechny potřebné rovnosti: c cos c sin c cos c sin v c sin cos P P c b c a c cos csin c c Obrázek.6 a = c sin a = c sin a = c (c sin ) a = c c a, b = c cos b = c cos b = c (c cos ) b = c c b, v = c sin cos v = c sin cos v =(c sin ) (c cos ) v = c a c b, a + b = c c a + c c b a + b = c (c a + c b ) a + b = c.

7 .3. GONIOMTRIKÉ HONOTY TÉHOŽ ÚHLU odejme, že z rovnosti c = c a + c b okamžitě plyne klíčový vztah mezi hodnotami sinu a kosinu, tzv. goniometrická jednička sin + cos =, která je rovněž bezprostředním důsledkem dokázané Pythagorovy věty pro pravoúhlý trojúhelník s jednotkovou přeponou..3 Goniometrické hodnoty téhož úhlu Na začátku této kapitoly jsme každému ostrému úhlu přiřadili čtyři goniometrické hodnoty sin, cos, tg a cotg. Z každé z těchto čtyř hodnot je zpětně určen nejen úhel, ale i další tři zbývající goniometrické hodnoty, což nyní potvrdíme. Obdržíme jednoduché vzájemné vztahy mezi goniometrickými hodnotami téhož ostrého úhlu, které plynou přímo z definice goniometrických hodnot a z Pythagorovy věty. Je-li dána hodnota sin, zvolíme pravoúhlý trojúhelník s jednotkovou přeponou a s vnitřním ostrým úhlem. Z definice plynou délky odvěsen (obr..7). cos sin Obrázek.7 sin + cos = cos = sin tg = sin cos = sin sin cotg = cos sin sin = sin (Pythagorova věta), (definice hodnoty tg ), (definice hodnoty cotg ). Je-li dána hodnota cos, použijeme opět obr..7. sin = cos (Pythagorova věta), tg = sin cos cos = (definice hodnoty tg ), cos cotg = cos sin = cos (definice hodnoty cotg ). cos Je-li dána hodnota tg, zvolíme pravoúhlý trojúhelník s jednotkovou odvěsnou a přilehlým vnitřním ostrým úhlem. Z definice tangens plyne délka protilehlé odvěsny a z Pythagorovy věty délka přepony (obr..8). 5

8 KPITOL. GONIOMTRI PRVOÚHLÉHO TROJÚHLNÍKU tg + tg Obrázek.8 tg sin = + tg cos = + tg cotg = tg (definice hodnoty sin ), (definice hodnoty cos ), (definice hodnoty cotg ). Je-li dána hodnota cotg, zvolíme pravoúhlý trojúhelník s jednotkovou odvěsnou a protilehlým vnitřním ostrým úhlem. Z definice kotangens plyne délka přilehlé odvěsny a z Pythagorovy věty délka přepony (obr..9). cotg + cotg Obrázek.9 sin = + cotg cotg cos = + cotg tg = cotg (definice hodnoty sin ), (definice hodnoty cos ), (definice hodnoty tg ).. Goniometrické hodnoty významných úhlů V části.. jsme pomocí limit přiřadili goniometrickým funkcím hodnoty pro okrajové úhly =0 a = 90. Žádné konkrétní goniometrické hodnoty pro úhly mezi 0 a 90 jsme dosud nepoznali. V této podkapitole ukážeme, že z pravidelných mnohoúhelníků lze odvodit hodnoty 6

9 .. GONIOMTRIKÉ HONOTY VÝZNMNÝH ÚHLŮ goniometrických funkcí pro ostré úhly {8, 30, 36, 5, 5, 60, 7 }. (Tyto významné úhly je výhodnější zapisovat ve stupních než v obloukové míře, které dáváme jinde přednost.) Pravidelný trojúhelník rovnostranný trojúhelník o délce strany jedna jednotka lze výškou 30 P 60 Obrázek.0 rozdělit na dva shodné pravoúhlé trojúhelníky s vnitřními ostrými úhly o velikosti 30 a 60 (obr..0). élku jejich delší odvěsny vypočítáme pomocí Pythagorovy věty: ( ) 3 P = =. Hodnoty goniometrických funkcí pro úhly 30 a 60 z pravoúhlého trojúhelníku P jsou: sin 30 = cos 60 = =, cos 30 = sin 60 = tg 30 = cotg 60 = = 3 = 3 3, cotg 30 = tg 60 = = 3, = 3. Pravidelný čtyřúhelník čtverec o délce strany jedna jednotka lze úhlopříčkou rozdělit na dva shodné pravoúhlé trojúhelníky s vnitřními ostrými úhly o velikosti 5 (obr..). élku jejich přepony vypočítáme pomocí Pythagorovy věty: = + =. Hodnoty goniometrických funkcí pro úhel 5 z pravoúhlého trojúhelníku jsou: sin 5 = =, cos 5 = =, tg 5 = cotg 5 = =. K dalšímu odvozování budeme potřebovat délky stran pravidelného pětiúhelníku a pravidelného desetiúhelníku vepsaných do kružnice o poloměru jedna jednotka. Nejdříve popíšeme konstrukci těchto dvou délek, která je znázorněna na obr... 7

10 KPITOL. GONIOMTRI PRVOÚHLÉHO TROJÚHLNÍKU 5 5 Obrázek. Postup:. Sestrojíme jednotkovou kružnici se středem O a její dva navzájem kolmé průměry a.. Nalezneme střed S úsečky O. 3. Sestrojíme oblouk kružnice se středem v bodě S a poloměrem S, průsečík oblouku s úsečkou O označíme X.. élka strany pravidelného pětiúhelníku vepsaného do jednotkové kružnice je a 5 = X, délka strany příslušného pravidelného desetiúhelníku je a 0 = OX. S O X P Q Obrázek.: Konstrukce pravidelného pětiúhelníku a desetiúhelníku ůkaz. bychom ověřili správnost konstrukce délek stran pravidelného pětiúhelníku a desetiúhelníku, podíváme se nejprve na pentagram - pěticípou hvězdu nakreslenou pěti přímými tahy téže délky (obr..3). Pentagram velmi úzce souvisí s pravidelným pětiúhelníkem, který dostaneme spojením vrcholů pentagramu úsečkami. Uvažujme jeho dvě úhlopříčky vycházející z jednoho vrcholu, 8

11 .. GONIOMTRIKÉ HONOTY VÝZNMNÝH ÚHLŮ R P Q Obrázek.3: Pentagram například úhlopříčky P a Q na obrázku. Tyto dvě úhlopříčky spolu se stranou PQ vymezují rovnoramenný trojúhelník PQ. alší úhlopříčka vycházející z vrcholu P protne úsečku Q ve vnitřním bodě R. Protože stranám pravidelného pětiúhelníku příslušejí v opsané kružnici shodné obvodové úhly (vyznačené na obrázku obloučky), jsou trojúhelníky P QR a PQ podobné a rovnoramenné a rovněž trojúhelník RP je rovnoramenný. Úsečky R, PR a PQ jsou proto shodné a pro poměry stran trojúhelníků P QR a PQ platí P PQ = PQ QR = PQ Q R = PQ P PQ neboli PQ = P ( P PQ ). Po vydělení hodnotou PQ tak pro poměr ϕ = P PQ dostáváme kvadratickou rovnici =ϕ (ϕ ), která má jediný kladný kořen + 5. (Určená hodnota ϕ je známá jako zlatý řez a objevuje se v různých souvislostech v geometrii a v teorii čísel.) Pravidelný pětiúhelník se stranou PQa protilehlým vrcholem je přikreslen i k naší konstrukci na obr... Protože přímka je osou úsečky PQ, je úsečka Q stranou vepsaného pravidelného desetiúhelníku. Její délku a 0 určíme z rovnoramenného trojúhelníku OQ, který má u hlavního vrcholu O úhel velikosti poloviny středového úhlu POQ, tedy úhel shodný s obvodovým úhlem PQ (oba shodné úhly jsou na obr. vyznačeny obloučky). Rovnoramenné trojúhelníky PQ a OQ jsou tedy podobné. Z rovnosti po dosazení O =již dostaneme O Q = P PQ = ϕ = + 5 a 0 = Q = =. 9

12 KPITOL. GONIOMTRI PRVOÚHLÉHO TROJÚHLNÍKU bychom určili druhou hledanou délku a 5 = PQ, vypočteme nejdříve délku odvěsny Q pravoúhlého trojúhelníku Q: Q = ( ) Q = =. Odtud již dostáváme a 5 = PQ = P ϕ = Q ϕ = = 0 5. Nyní se vraťme k původní konstrukci. Naším cílem je ukázat, že úsečky X a OX mají délky rovné hodnotám a 5, resp. a 0, jejichž výpočet jsme před chvílí dokončili. K tomu nám stačí použít dvakrát Pythagorovu větu: SX = S = ( ) 5 O + OS = + =, 5 OX = SX OS = 5 =, X = O + OX = + ( 5 ) = 0 5. Správnost celé konstrukce je tak ověřena. Zároveň jsme určili délky a 5, a 0 stran pravidelných pětiúhelníků a desetiúhelníků vepsaných do jednotkové kružnice, které nyní uplatníme k našemu hlavnímu záměru. 0 5 Pravidelný pětiúhelník o délce strany = lze rozdělit na pět shodných rovno a 5 P a 5 5 Obrázek.: Pravidelný pětiúhelník ramenných trojúhelníků s vnitřním úhlem proti základně o velikosti 7 (obr..), jejichž výšku na základnu vypočítáme pomocí Pythagorovy věty: ( ) ( P = = 0 ) = =. 50

13 .. GONIOMTRIKÉ HONOTY VÝZNMNÝH ÚHLŮ Hodnoty goniometrických funkcí pro úhly 36 a 5 z pravoúhlého trojúhelníku P jsou: sin 36 = cos 5 = tg 36 = cotg 5 = =, cos 36 = sin 5 = = 5 5, cotg 36 = tg 5 = = 5 5+ =, Pravidelný desetiúhelník o délce strany = 5 lze rozdělit na deset shodných rovno- F F 8 36 a 0 R 7 a 0 Obrázek.5: Pravidelný desetiúhelník ramenných trojúhelníků s vnitřním úhlem proti základně o velikosti 36 (obr..5), jejichž výšku na základnu vypočítáme pomocí Pythagorovy věty: ( ) ( ) FR = F = =. Hodnoty goniometrických funkcí pro úhly 8 a 7 z pravoúhlého trojúhelníku RF jsou: sin 8 = cos 7 = tg 8 = cotg 7 = 5 5 =, cos 8 = sin 7 = 5 0 5, cotg 8 = tg 7 = = = 0+ 5 = , Z odvozených hodnot bychom mohli užitím goniometrických vzorců (viz.5) algebraicky vyjadřovat hodnoty příslušné dalším úhlům, např. 5 = 5 30, 6 = apod. Takové výpočty dnes nemají příliš valný význam, v historii však sehrály (jak jsme uvedli v kap. ) velkou roli při sestavování trigonometrických tabulek. 5

14 KPITOL. GONIOMTRI PRVOÚHLÉHO TROJÚHLNÍKU.5 Goniometrické vzorce V goniometrii pracujeme s velkým množstvím vzorců. Zatím jsme definovali goniometrické funkce v souvislosti s pravoúhlým trojúhelníkem, budeme proto nyní u goniometrických vzorců uvádět omezení, za kterých jsou všechny zastoupené argumenty z intervalu (0, π ). Názorně odvodíme vzorce pro dvojnásobný argument, součtové vzorce a vzorce pro součet funkcí. Vzorce pro dvojnásobný argument, kde ( 0, π ) : sin = sin cos, cos = cos sin. Odvození: Zvolíme si rovnoramenný trojúhelník s rameny, o délce jedna jednotka tak, aby vnitřní úhly přilehlé k základně měly velikost (0, π ), a výškou P ho rozdělíme na dva shodné pravoúhlé trojúhelníky. Základna je současně přeponou pravoúhlého trojúhelníku (viz obr..6 vlevo). Z trojúhelníku je = π, cos sin P cos P cos Obrázek.6 tudíž pro velikost vedlejšího úhlu platí =. Nyní vyjádříme a do obrázku vpravo zapíšeme délky jednotlivých stran pomocí goniometrických funkcí: P : cos = P : sin = P = cos, = P = cos, = sin, Z trojúhelníku již odvodíme kýžené vzorce: cos = = cos. sin = sin = sin = sin cos, cos cos = + cos = cos cos = cos = cos sin. Součtové vzorce pro sinus a pro kosinus, kde,,+ ( 0, π ) : sin( + ) = sin cos + cos sin, cos( + ) = cos cos sin sin. Odvození: Zvolíme si dva pravoúhlé trojúhelníky a s přeponami, resp. tak, aby strana byla společná, strana měla délku jedna jednotka a aby vnitřní úhly 5

15 .5. GONIOMTRIKÉ VZOR Obrázek.7, měly velikosti, resp. o součtu menším než π (viz obr..7). o stejného obrázku dokreslíme obdélník F (obr..8). Úhly a F jsou střídavé, z čehož plyne, že F = +. Jednoduše lze také spočítat, že =. Nyní určíme a do dolní části obrázku.8 zapíšeme délky jednotlivých stran pomocí goniometrických funkcí, z čehož pak obdržíme kýžené vzorce: : sin = = sin, : sin = = cos sin, : sin = = sin sin, F : sin( + ) = F F = sin( + ), cos = = cos, cos = = cos cos, cos = = sin cos, cos( + ) = F F = cos( + ). F = = + sin( + ) = sin cos + cos sin, = F = F + cos cos = cos( + ) + sin sin, cos( + ) = cos cos sin sin. Součtový vzorec pro tangens, kde,,+ ( 0, π ) : tg( + ) = tg + tg tg tg. Odvození: Součtový vzorec pro tangens lze názorně demonstrovat ze stejného obrázku obdélníku F z obr..8, pokud jinak (vhodně) zvolíme výchozí jednotku délky (obr..9). íky analytičnosti obou stran vzorců můžeme tvrdit, že takto odvozené vzorce budou platit pro všechny argumenty z oboru reálných či dokonce komplexních čísel. S ohledem na zaměření naší práce však budeme rozšiřovat obory pravdivosti goniometrických vzorců v následujících kapitolách výhradně elementárními prostředky. 53

16 KPITOL. GONIOMTRI PRVOÚHLÉHO TROJÚHLNÍKU F + F cos( + ) + sin sin sin sin cos sin( + ) cos cos cos cos sin Obrázek.8 : tg = : tg = cos : sin = tg cos = tg, cos = = cos, = tg cos, = tg tg, cos = tg cos = tg, F : tg ( + ) = F F = + tg + tg = = F tg tg. odejme, že v případě = (0, π ) odtud plyne vzorec tg = tg tg. 5

17 .5. GONIOMTRIKÉ VZOR F + tg tg F + tg cos tg cos tg Obrázek.9 Vzorce pro součet sinů a pro součet kosinů, kde 0 <<< π : sin + sin = sin + cos, cos + cos = cos + cos. Odvození: Zvolíme si dva pravoúhlé trojúhelníky a se společných vrcholem tak, aby jejich přepony a měly délku jedna jednotka, odvěsny a byly navzájem rovnoběžné a aby pro vnitřní úhly = a = platilo 0 <<< π (viz obr..0). Prodloužením strany za bod obdržíme průsečík F se stranou. Ze shodnosti střídavých úhlů a F plyne F =. o stejného obrázku (viz obr..) dokreslíme pravoúhlý trojúhelník G. V rovnoramenném trojúhelníku sestrojíme výšku na základnu a její patu označíme písmenem H. K odvození vzorců nám zbývá už jen zjistit velikost úhlu F, shodného s oběma vnitřními úhly při základně trojúhelníku. Protože jeho vnější úhel při vrcholu má velikost, je F =. Nyní vyjádříme a do obrázku zapíšeme potřebné délky pomocí goniometrických funkcí: 55

18 KPITOL. GONIOMTRI PRVOÚHLÉHO TROJÚHLNÍKU F Obrázek.0 : sin = : sin = = sin = G, = sin, cos = cos = = cos, = cos = G. H : cos = H H = cos = H = cos. Zaměříme se na pravoúhlý trojúhelník G, jehož odvěsny G a G mají délky G = + G = cos + cos, G = G + = sin + sin a jehož ostrý vnitřní úhel u vrcholu má velikost + + =. To nám spolu s dříve určenou délkou přepony umožňuje vyjádřit délky odvěsen G, G jiným způsobem zapsaným na obr..: sin + cos + = G + G = sin = G + G = cos cos, cos. Porovnáním obou vyjádření délek G a G docházíme k očekávaným vzorcům. 56

19 .6. PŘÍKLY cos sin H F cos cos sin sin cos cos G Obrázek..6 Příklady Příklad.6.. Geometricky dokažte rovnost arctg + arctg 3 = π. Řešení: o čtvercové sítě o délce strany jedna jednotka nakreslíme trojúhelník (obr..3). Jelikož jsou trojúhelníky a F shodné, je trojúhelník rovnoramenný pravoúhlý, tedy = π. alší postup důkazu můžeme stručně zapsat takto: : tg = = arctg, : tg = 3 = arctg 3, + = arctg + arctg 3, + = = π. Příklad.6.. Geometricky dokažte rovnost arctg + arctg + arctg 3 = π. Řešení: o čtvercové sítě o délce strany jedna jednotka nakreslíme trojúhelník, který následně rozdělíme na tři trojúhelníky, a (obr..). Vnitřní úhly trojúhelníků u vrcholu utorem příkladů a řešení.6. a.6. je podle [] dward M. Harris. 57

20 KPITOL. GONIOMTRI PRVOÚHLÉHO TROJÚHLNÍKU cos sin + cos + cos + cos Obrázek. G F Obrázek.3 označíme postupně,,γ, přičemž + + γ = π. Z obrázku je zřejmé, že =3. alší postup důkazu můžeme stručně zapsat takto: : tg = = = arctg, : tg = = = arctg, = + = 5, =3 5, =5 + =5, + = = 50, = 5 = 50 je pravoúhlý, : tg γ = = 3 γ = arctg 3, + + γ = arctg + arctg + arctg 3. 58

21 .6. PŘÍKLY γ Obrázek. Příklad.6.3. ez užití goniometrických vzorců odvoďte hodnoty goniometrických funkcí pro úhly 5 a 75. Řešení: K odvození použijeme obrázek.0 z podkapitoly., který ještě doplníme o rovnoramenný trojúhelník Q s rameny a Q o délce jedna jednotka, přičemž rameno Q leží na polopřímce opačné k P (viz obr..5). Vnitřní úhly trojúhelníku Q jsou 5, 5 a 50. élku výšky P v rovnostranném trojúhelníku jsme již vypočítali v podkapitole. P = 3. Zbývá určit délku strany Q pomocí Pythagorovy věty: Q = P + PQ = ( ) ( ) = + 3. Hodnoty goniometrických funkcí pro úhly 5 a 75 určíme pomocí pravoúhlého trojúhelníku PQ: sin 5 = cos 75 = P Q = 3 =, + 3 cos 5 = sin 75 = PQ + 3 Q = + 3 =, + 3 tg 5 = cotg 75 = P PQ = cotg 5 = tg 75 = PQ + P = = 3, =+ 3. Příklad.6.. Jak je poznamenáno v [8, str. 6], v případě ostrých úhlů lze součtové vzorce pro sinus a kosinus odvodit třemi postupy. Vždy vycházíme z dvojice pravoúhlých trojúhelníků, které se navzájem stýkají podél jedné společné strany. Možné způsoby takového jejich spojení vidíme na obr..6. Levou dvojici trojúhelníků jsme využili při odvozování v podkapitole.5 (obr..7), pravou dvojici jsme v podstatě uplatnili při odvozování Ptolemaiovy věty v části.. (obr..5 v případě, 59

22 KPITOL. GONIOMTRI PRVOÚHLÉHO TROJÚHLNÍKU Q P 60 Obrázek.5 kdy je průměrem kružnice) a k získání součtových vzorců bychom ještě potřebovali sinovou větu, o které pojednáme teprve v kapitole 3. Nyní pomocí prostřední dvojice trojúhelníků z obr..6 znovu dokažte, že platí součtový vzorec sin( + ) = sin cos + cos sin, jsou-li všechny tři úhly,,+ ostré. Řešení: va pravoúhlé trojúhelníky a se společnou odvěsnou a jedním vnitřním úhlem, resp. zvolíme podle obr

23 .6. PŘÍKLY Obrázek.6 + Obrázek.7 : sin( + ) = : sin = : cos = = sin( + ), = sin, = cos, : tg = sin cos = = sin sin cos = sin, : sin = = sin( + ) sin( + ) = sin cos + cos sin. sin cos cos + sin Příklad.6.5. Pomocí dvou pravoúhlých trojúhelníků se společnou odvěsnou (obr..6 u- prostřed) znovu dokažte, že platí součtový vzorec cos( + ) = cos cos sin sin, jsou-li všechny tři úhly,,+ ostré. Řešení: Opět zvolíme pravoúhlé trojúhelníky a se společnou odvěsnou, které 6

24 KPITOL. GONIOMTRI PRVOÚHLÉHO TROJÚHLNÍKU + Obrázek.8 tentokrát mají po vnitřním úhlu, resp. + (obr..8). : sin( + ) = : cos( + ) = : sin = : cos = = sin( + ), = cos( + ), = sin, = cos, : sin = cos( + ) = = cos : tg = sin cos = = sin + cos(+) sin cos( + ), sin cos( + ) = cos cos sin sin. 6

Nerovnosti v trojúhelníku

Nerovnosti v trojúhelníku Nerovnosti v trojúhelníku Úvod In: Stanislav Horák (author): Nerovnosti v trojúhelníku. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1986. pp. 5 12. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/404130 Terms of use: Stanislav

Více

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek

Více

5. P L A N I M E T R I E

5. P L A N I M E T R I E 5. P L A N I M E T R I E 5.1 Z Á K L A D N Í P L A N I M E T R I C K É P O J M Y Bod (definice, značení, znázornění) Přímka (definice, značení, znázornění) Polopřímka (definice, značení, znázornění, počáteční

Více

Komplexní čísla a funkce

Komplexní čísla a funkce Komplexní čísla a funkce 3. kapitola. Geometrické znázornění množin komplexních čísel In: Jiří Jarník (author): Komplexní čísla a funkce. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1967. pp. 35 43. Persistent URL:

Více

Několik úloh z geometrie jednoduchých těles

Několik úloh z geometrie jednoduchých těles Několik úloh z geometrie jednoduchých těles Úlohy ke cvičení In: F. Hradecký (author); Milan Koman (author); Jan Vyšín (author): Několik úloh z geometrie jednoduchých těles. (Czech). Praha: Mladá fronta,

Více

M - Pythagorova věta, Eukleidovy věty

M - Pythagorova věta, Eukleidovy věty M - Pythagorova věta, Eukleidovy věty Určeno jako učební text pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací

Více

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A

Více

Trojúhelníky. a jejich různé středy. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku = 180 neboli π radiánů.

Trojúhelníky. a jejich různé středy. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku = 180 neboli π radiánů. Úvod V této knize předkládáme čtenáři základní matematické a fyzikální vzorce v přívětivé a snadno použitelné podobě. Využití čísel a symbolů k modelování, předpovídání a ovládání reality je mocnou zbraní

Více

FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI

FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI Pojem zobrazení a funkce Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic

Více

Konvexní útvary. Kapitola 4. Opěrné roviny konvexního útvaru v prostoru

Konvexní útvary. Kapitola 4. Opěrné roviny konvexního útvaru v prostoru Konvexní útvary Kapitola 4. Opěrné roviny konvexního útvaru v prostoru In: Jan Vyšín (author): Konvexní útvary. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1964. pp. 49 55. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403505

Více

4.3. GONIOMETRICKÉ ROVNICE A NEROVNICE

4.3. GONIOMETRICKÉ ROVNICE A NEROVNICE 4.3. GONIOMETRICKÉ ROVNICE A NEROVNICE V této kapitole se dozvíte: jak jsou definovány goniometrické rovnice a nerovnice; jak se řeší základní typy goniometrických rovnic a nerovnic. Klíčová slova této

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

Přímky a křivky. Úvod. Úvodní úlohy. Terms of use:

Přímky a křivky. Úvod. Úvodní úlohy. Terms of use: Přímky a křivky Úvod. Úvodní úlohy In: N. B. Vasiljev (author); V. L. Gutenmacher (author); Leo Boček (translator); Alena Šarounová (illustrator): Přímky a křivky. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1982. pp.

Více

O rovnicích s parametry

O rovnicích s parametry O rovnicích s parametry 3. kapitola. Kvadratické rovnice In: Jiří Váňa (author): O rovnicích s parametry. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1964. pp. 45 [63]. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403496 Terms

Více

SBÍRKA ÚLOH I. Základní poznatky Teorie množin. Kniha Kapitola Podkapitola Opakování ze ZŠ Co se hodí si zapamatovat. Přírozená čísla.

SBÍRKA ÚLOH I. Základní poznatky Teorie množin. Kniha Kapitola Podkapitola Opakování ze ZŠ Co se hodí si zapamatovat. Přírozená čísla. Opakování ze ZŠ Co se hodí si zapamatovat Přírozená čísla Číselné obory Celá čísla Racionální čísla Reálná čísla Základní poznatky Teorie množin Výroková logika Mocniny a odmocniny Množiny Vennovy diagramy

Více

O mnohoúhelnících a mnohostěnech

O mnohoúhelnících a mnohostěnech O mnohoúhelnících a mnohostěnech I. Úhly a mnohoúhelníky v rovině In: Bohuslav Hostinský (author): O mnohoúhelnících a mnohostěnech. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fysiků, 1947.

Více

P ˇ REDNÁŠKA 3 FUNKCE

P ˇ REDNÁŠKA 3 FUNKCE PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE 3.1 Pojem zobrazení a funkce 2 3 Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic (x, y) A B,

Více

Rovinné grafy. In: Bohdan Zelinka (author): Rovinné grafy. (Czech). Praha: Mladá fronta, pp

Rovinné grafy. In: Bohdan Zelinka (author): Rovinné grafy. (Czech). Praha: Mladá fronta, pp Rovinné grafy VIII. kapitola. Konvexní mnohostěny In: Bohdan Zelinka (author): Rovinné grafy. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1977. pp. 99 112. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403912 Terms of use: Bohdan

Více

Omezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená.

Omezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená. MNOHOÚHELNÍKY Vlastnosti mnohoúhelníků Lomená čára C 0 C C C 3 C 4 protíná samu sebe. Lomená čára A 0 A A... A n- A n (n ) se skládá z úseček A 0 A, A A,..., A n- A n, z nichž každé dvě sousední mají společný

Více

Booleova algebra. 1. kapitola. Množiny a Vennovy diagramy

Booleova algebra. 1. kapitola. Množiny a Vennovy diagramy Booleova algebra 1. kapitola. Množiny a Vennovy diagramy In: Oldřich Odvárko (author): Booleova algebra. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1973. pp. 5 14. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403767 Terms of

Více

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, 1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo

Více

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná

Více

4.2. CYKLOMETRICKÉ FUNKCE

4.2. CYKLOMETRICKÉ FUNKCE 4.. CYKLOMETRICKÉ FUNKCE V této kapitole se dozvíte: jak jsou definovány cyklometrické funkce a jaký je jejich vztah k funkcím goniometrickým; základní vlastnosti cyklometrických funkcí; nejdůležitější

Více

Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie. PC a dataprojektor, učebnice. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky

Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie. PC a dataprojektor, učebnice. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie 2. ročník a sexta 4 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice Planimetrie II. Konstrukční úlohy Charakterizuje

Více

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 1 bod 1 Určete průsečík P[x, y] grafů funkcí f: y = x + 2 a g: y = x 1 2, které jsou definovány na množině reálných

Více

ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika planimetrie. Mgr. Tomáš Novotný

ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika planimetrie. Mgr. Tomáš Novotný Název projektu ICT podporuje moderní způsoby výuky Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0717 Název školy Gymnázium, Turnov, Jana Palacha 804, přísp. organizace Číslo a název šablony klíčové aktivity IV/2 Inovace

Více

4. GONIOMETRICKÉ A CYKLOMETRICKÉ FUNKCE, ROVNICE A NEROVNICE 4.1. GONIOMETRICKÉ FUNKCE

4. GONIOMETRICKÉ A CYKLOMETRICKÉ FUNKCE, ROVNICE A NEROVNICE 4.1. GONIOMETRICKÉ FUNKCE GONIOMETRICKÉ A CYKLOMETRICKÉ FUNKCE, ROVNICE A NEROVNICE V této kapitole se dozvíte: GONIOMETRICKÉ FUNKCE vztah mezi stupňovou a obloukovou mírou; jak jsou definovány čtyři základní goniometrické funkce:

Více

Goniometrické a hyperbolické funkce

Goniometrické a hyperbolické funkce Kapitola 5 Goniometrické a hyperbolické funkce V této kapitole budou uvedeny základní poznatky týkající se goniometrických funkcí - sinus, kosinus, tangens, kotangens a hyperbolických funkcí - sinus hyperbolický,

Více

O dělitelnosti čísel celých

O dělitelnosti čísel celých O dělitelnosti čísel celých 9. kapitola. Malá věta Fermatova In: František Veselý (author): O dělitelnosti čísel celých. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1966. pp. 98 105. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403572

Více

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh Lomená čára A 0 A 1 A 2 A 3..., A n (n 2) se skládá z úseček A 0 A 1, A 1 A 2, A 2 A 3,..., A n 1 A n, z nichž každé dvě sousední mají společný jeden krajní

Více

Co víme o přirozených číslech

Co víme o přirozených číslech Co víme o přirozených číslech 4. Největší společný dělitel a nejmenší společný násobek In: Jiří Sedláček (author): Co víme o přirozených číslech. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1961. pp. 24 31. Persistent

Více

Matematika 1. Matematika 1

Matematika 1. Matematika 1 5. přednáška Elementární funkce 24. října 2012 Logaritmus a exponenciální funkce Věta 5.1 Existuje právě jedna funkce (značíme ji ln a nazýváme ji přirozeným logaritmem), s následujícími vlastnostmi: D(ln)

Více

64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A

64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A 64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A 1. Středy stran AC, BC označme postupně, N. Střed kružnice vepsané trojúhelníku KLC označme I. Úvodem poznamenejme, že body K, L

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A

Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A 63 ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie 1 Dokažte, že pro každé celé číslo n 3 je n-místné číslo s dekadickým zápisem druhou mocninou některého celého čísla 1 1 8

Více

Funkcionální rovnice

Funkcionální rovnice Funkcionální rovnice Úlohy k procvičení In: Ljubomir Davidov (author); Zlata Kufnerová (translator); Alois Kufner (translator): Funkcionální rovnice. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1984. pp. 88 92. Persistent

Více

Syntetická geometrie II

Syntetická geometrie II Mnohoúhelníky Pedagogická fakulta 2018 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Čtyřúhelníky Definice (Čtyřúhelník) Jsou dány čtyři body A, B, C, D v rovině, z nichž žádné tři nejsou kolineární. Čtyřúhelník ABCD

Více

n =5, potom hledejte obecný vztah. 4.5 Mnohoúhelníky PŘÍKLAD 4.2. Kolik úhlopříček má n úhelník? Vyřešte nejprve pro Obrázek 28: Tangram

n =5, potom hledejte obecný vztah. 4.5 Mnohoúhelníky PŘÍKLAD 4.2. Kolik úhlopříček má n úhelník? Vyřešte nejprve pro Obrázek 28: Tangram 4.5 Mnohoúhelníky Obrázek 28: Tangram Mnohoúhelník můžeme charakterizovat jako část roviny ohraničenou uzavřenou lomenou čarou (tj. čarou, která se skládá z na sebe navazujících úseček). Již víme, že rozlišujeme

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Definice (Racionální mocnina). Buď,. Nechť, kde a a čísla jsou nesoudělná. Pak: 1. je-li a sudé, (nebo) 2. je-li liché, klademe

Definice (Racionální mocnina). Buď,. Nechť, kde a a čísla jsou nesoudělná. Pak: 1. je-li a sudé, (nebo) 2. je-li liché, klademe Úvodní opakování. Mocnina a logaritmus Definice ( -tá mocnina). Pro každé klademe a dále pro každé, definujeme indukcí Dále pro všechna klademe a pro Později budeme dokazovat následující větu: Věta (O

Více

O dělitelnosti čísel celých

O dělitelnosti čísel celých O dělitelnosti čísel celých 6. kapitola. Nejmenší společný násobek In: František Veselý (author): O dělitelnosti čísel celých. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1966. pp. 73 79. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403569

Více

Úvod do neeukleidovské geometrie

Úvod do neeukleidovské geometrie Úvod do neeukleidovské geometrie Obsah In: Václav Hlavatý (author): Úvod do neeukleidovské geometrie. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fysiků, 1926. pp. 209 [212]. Persistent URL:

Více

Úlohy krajského kola kategorie A

Úlohy krajského kola kategorie A 64. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dán trojúhelník ABC s tupým úhlem při vrcholu C. Osa o 1 úsečky AC protíná stranu AB v bodě K, osa o 2 úsečky BC protíná stranu AB

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: graf funkce, derivace funkce a její

Více

Zlatý řez nejen v matematice

Zlatý řez nejen v matematice Zlatý řez nejen v matematice Zlaté číslo a jeho vlastnosti In: Vlasta Chmelíková author): Zlatý řez nejen v matematice Czech) Praha: Katedra didaktiky matematiky MFF UK, 009 pp 7 Persistent URL: http://dmlcz/dmlcz/40079

Více

Úlohy o maximech a minimech funkcí

Úlohy o maximech a minimech funkcí Úlohy o maximech a minimech funkcí 3. kapitola. Extrémy goniometrických funkcí In: Jaromír Hroník (author): Úlohy o maximech a minimech funkcí. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1967. pp. 46 58. Persistent

Více

Derivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010

Derivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010 Derivace funkce prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy

Více

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie 20. 10. porovnávání úseček grafický součet úseček grafický rozdíl úseček... porovnávání úhlů grafický součet úhlů grafický rozdíl úhlů... osa úhlu úhly vedlejší a vrcholové...

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:

Více

CVIČNÝ TEST 35. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 35. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 35 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočtěte [( 3 3 ) ( 1 4 5 3 0,5 ) ] : 1 6 1. 1 bod VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE

Více

GEODETICKÉ VÝPOČTY I.

GEODETICKÉ VÝPOČTY I. SPŠS Č.Budějovice Obor Geodézie a Katastr nemovitostí 2.ročník GEODETICKÉ VÝPOČTY I. TROJÚHELNÍK PYTHAGOROVA VĚTA TROJÚHELNÍK Geodetické výpočty I. trojúhelník je geometrický rovinný útvar určený třemi

Více

55. ročník matematické olympiády

55. ročník matematické olympiády . ročník matematické olympiády! " #%$'&( *$,+ 1. Najděte všechny dvojice celých čísel x a y, pro něž platí x y = 6 10.. Je dán rovnostranný trojúhelník ABC o obsahu S a jeho vnitřní bod M. Označme po řadě

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

Základy teorie matic

Základy teorie matic Základy teorie matic 7. Vektory a lineární transformace In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie matic. (Czech). Praha: Academia, 1971. pp. 43--47. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/401335 Terms of

Více

O nerovnostech a nerovnicích

O nerovnostech a nerovnicích O nerovnostech a nerovnicích Kapitola 3. Množiny In: František Veselý (author); Jan Vyšín (other); Jiří Veselý (other): O nerovnostech a nerovnicích. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1982. pp. 19 22. Persistent

Více

Radián je středový úhel, který přísluší na jednotkové kružnici oblouku délky 1.

Radián je středový úhel, který přísluší na jednotkové kružnici oblouku délky 1. Goniometrické funkce Velikost úhlu v míře stupňové a v míře obloukové Vjadřujeme-li úhl v míře stupňové, je jednotkou stupeň ( ), jestliže v míře obloukové, je jednotkou radián (rad). Ve stupňové míře

Více

O dynamickém programování

O dynamickém programování O dynamickém programování 9. kapitola. Cauchy-Lagrangeova nerovnost In: Jaroslav Morávek (author): O dynamickém programování. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1973. pp. 65 70. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403801

Více

4.3.4 Základní goniometrické vzorce I

4.3.4 Základní goniometrické vzorce I .. Základní goniometrické vzorce I Předpoklady: 0 Dva vzorce, oba známe už z prváku. Pro každé R platí: + =. Důkaz: Použijeme definici obou funkcí v jednotkové kružnici: T sin() T 0 - cos() S 0 R - Obě

Více

Kongruence. 1. kapitola. Opakování základních pojmů o dělitelnosti

Kongruence. 1. kapitola. Opakování základních pojmů o dělitelnosti Kongruence 1. kapitola. Opakování základních pojmů o dělitelnosti In: Alois Apfelbeck (author): Kongruence. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1968. pp. 3 9. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403653 Terms

Více

f( x) x x 4.3. Asymptoty funkce Definice lim f( x) =, lim f( x) =, Jestliže nastane alespoň jeden z případů

f( x) x x 4.3. Asymptoty funkce Definice lim f( x) =, lim f( x) =, Jestliže nastane alespoň jeden z případů 3 Výklad Definice 3 Jestliže nastane alespoň jeden z případů lim =, lim =, + + lim =, lim =, kde ( D ), pak říkáme, že přímka = je asymptotou funkce f() v bodě f Jestliže lim ( k q) =, resp lim ( k q)

Více

Neurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24.

Neurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24. Neurčité rovnice 4. Nejjednodušší rovnice neurčité 2. stupně In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/402869

Více

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( )

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou Další dovednosti: -iracionální nerovnice -lineární nerovnice s parametrem -kvadratické nerovnice s parametrem Možné maturitní otázky: Lineární a kvadratické nerovnice

Více

M - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci

M - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci M - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci Určeno pro třídu ODK VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete

Více

Definice funkce tangens na jednotkové kružnici :

Definice funkce tangens na jednotkové kružnici : Registrační číslo projektu: CZ..07/../0.00 FUNKCE TANGENS Definice funkce tangens na jednotkové kružnici : Funkce tangens je daná ve tvaru : y tgx sin x. cos x Důvod je dobře vidět na předchozím obr. z

Více

Funkce. Vlastnosti funkcí

Funkce. Vlastnosti funkcí FUNKCE Funkce zobrazení (na číselných množinách) předpis, který každému prvku z množiny M přiřazuje právě jeden prvek z množiny N zapisujeme ve tvaru y = f () značíme D( f ) Vlastnosti funkcí 1. Definiční

Více

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné

Více

6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2

6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2 6 Skalární součin Skalární součin 1 je operace, která dvěma vektorům (je to tedy binární operace) přiřazuje skalár (v našem případě jde o reálné číslo, obecně se jedná o prvek nějakého tělesa T ). Dovoluje

Více

GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE

GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Základy teorie grupoidů a grup

Základy teorie grupoidů a grup Základy teorie grupoidů a grup 27. Cyklické grupy In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie grupoidů a grup. (Czech). Praha: Nakladatelství Československé akademie věd, 1962. pp. 198--202. Persistent

Více

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 9 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočítejte (7,5 10 3 2 10 2 ) 2. Výsledek zapište ve tvaru a 10 n, kde

Více

Determinanty a matice v theorii a praxi

Determinanty a matice v theorii a praxi Determinanty a matice v theorii a praxi 1. Lineární závislost číselných soustav In: Václav Vodička (author): Determinanty a matice v theorii a praxi. Část druhá. (Czech). Praha: Jednota československých

Více

8. Elementární funkce. I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem ( ) e z z k k!.

8. Elementární funkce. I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem ( ) e z z k k!. 8. Elementární funkce I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem ( ) e z z k = k!. Vlastnosti exponenciální funkce: a) řada ( ) konverguje absolutně

Více

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. /8 3. Elementární funkce. 3. Elementární funkce. Matematická analýza ve Vesmíru.

Více

7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy

7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy , základní pojmy POJEM FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Reálná funkce f jedné reálné proměnné je funkce (zobrazení) f: X Y, kde X, Y R. Jde o zvláštní případ obecného pojmu funkce definovaného v přednášce. Poznámka:

Více

February 05, Čtyřúhelníky lichoběžníky.notebook. 1. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace

February 05, Čtyřúhelníky lichoběžníky.notebook. 1. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Registrační číslo projektu: Název projektu: Název a číslo globálního grantu: CZ.1.07/1.1.12/02.0010 Šumavská škola = evropská škola Zvyšování kvality ve vzdělání v Plzeňském kraji CZ.1.07/1.1.12 Název

Více

CVIČNÝ TEST 3. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 3. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 3 Mgr. Zdeňka Strnadová OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Jsou dány intervaly A = ( ; 2), B = 1; 3, C = 0;

Více

Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky

Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Úlohy Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 43 (1914), No. 1, 140--144 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/121666 Terms of use: Union of Czech Mathematicians

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 6. tematický okruh: PLANIMETRIE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online přípravu na SMZ

Více

Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky

Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Ladislav Klír Příspěvek ke geometrii trojúhelníku Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 44 (1915), No. 1, 89--93 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/122380

Více

PLANIMETRIE úvodní pojmy

PLANIMETRIE úvodní pojmy PLANIMETRIE úvodní pojmy Je část geometrie zabývající se studiem geometrických útvarů v rovině. Základními stavebními kameny v rovině budou bod a přímka. 1) Přímka a její části Dvěma různými body lze vést

Více

Zlatý řez nejen v matematice

Zlatý řez nejen v matematice Zlatý řez nejen v matematice Příloha A In: Vlasta Chmelíková (author): Zlatý řez nejen v matematice. (Czech). Praha: Katedra didaktiky matematiky MFF UK, 2009. pp. 157 166. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/400805

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 2 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán rovinný obrazec, v obrázku vyznačený barevnou výplní, který představuje

Více

Úlohy krajského kola kategorie A

Úlohy krajského kola kategorie A 62. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dáno 21 různých celých čísel takových, že součet libovolných jedenácti z nich je větší než součet deseti ostatních čísel. a) Dokažte,

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

Magická krása pravidelného pětiúhelníka

Magická krása pravidelného pětiúhelníka MUNDUS SYMBOLICUS 25 (2017) Magická krása pravidelného pětiúhelníka J. Nečas Abstract. The article presents various interesting relations in a regular pentagon and then expresses the values of goniometric

Více

Příklad 1. a) lim. b) lim. c) lim. d) lim. e) lim. f) lim. g) lim. h) lim. i) lim. j) lim. k) lim. l) lim ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1 ČÁST 7

Příklad 1. a) lim. b) lim. c) lim. d) lim. e) lim. f) lim. g) lim. h) lim. i) lim. j) lim. k) lim. l) lim ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1 ČÁST 7 Příklad 1 Pomocí l Hôpitalova pravidla spočtěte následující limity. Poznámka a) lim b) lim c) lim d) lim e) lim f) lim g) lim h) lim i) lim j) lim k) lim l) lim cotg Všechny limity uvedené v zadání vedou

Více

O dynamickém programování

O dynamickém programování O dynamickém programování 7. kapitola. O jednom přiřazovacím problému In: Jaroslav Morávek (author): O dynamickém programování. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1973. pp. 55 59. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403799

Více

Faktoriály a kombinační čísla

Faktoriály a kombinační čísla Faktoriály a kombinační čísla 7. kapitola. Různé In: Jiří Sedláček (author): Faktoriály a kombinační čísla. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1964. pp. 72 81. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403522 Terms

Více

Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008

Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008 Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008 1. Některé základní poznatky z elementární matematiky: Číselné obory, dělitelnost přirozených čísel, prvočísla a čísla složená, největší společný dělitel,

Více

CVIČNÝ TEST 48. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 48. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 48 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán konvexní čtyřúhelník, jehož vnitřní

Více

Pythagorova věta. In: Stanislav Horák (author): Pythagorova věta. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, pp

Pythagorova věta. In: Stanislav Horák (author): Pythagorova věta. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, pp Pythagorova věta Cvičení In: Stanislav Horák (author): Pythagorova věta. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 23 28. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/402878 Terms

Více

O podobnosti v geometrii

O podobnosti v geometrii O podobnosti v geometrii Kapitola IV. Stejnolehlost v polohových úlohách In: Jaroslav Šedivý (author): O podobnosti v geometrii. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1963. pp. 48 60. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403487

Více

Shodná zobrazení v konstruktivních úlohách

Shodná zobrazení v konstruktivních úlohách Shodná zobrazení v konstruktivních úlohách III. část. Středová souměrnost In: Jaroslav Šedivý (author): Shodná zobrazení v konstruktivních úlohách. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1962. pp. 25 37. Persistent

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p KOMENTÁŘE ÚLOH 43. ROČNÍKU MO, KATEGORIE A 1. Přirozené číslo m > 1 nazveme k násobným dělitelem přirozeného čísla n, pokud platí rovnost n = m k q, kde q je celé číslo, které není násobkem čísla m. Určete,

Více