Příklad 1. a) lim. b) lim. c) lim. d) lim. e) lim. f) lim. g) lim. h) lim. i) lim. j) lim. k) lim. l) lim ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1 ČÁST 7

Transkript

1 Příklad 1 Pomocí l Hôpitalova pravidla spočtěte následující limity. Poznámka a) lim b) lim c) lim d) lim e) lim f) lim g) lim h) lim i) lim j) lim k) lim l) lim cotg Všechny limity uvedené v zadání vedou k výrazu typu, nebo. K jejich výpočtu je tedy možné použít l Hôpitalovo pravidlo. V některých případech budeme toto pravidlo používat i vícekrát. Některé z následujících příkladů působí při řešení poměrně brutálním dojmem, nevyžadují však žádné zvláštní znalosti. Důležité je udržet nit výpočtu a příslušný pořádek. V některých případech je pro zjednodušení situace využit vzorec pro sinus či cosinus dvojnásobného úhlu. 1

2 Řešení 1a Budeme počítat limitu: lim. Tato limita vede k výrazu typu, jak lze snadno ověřit dosazením. K výpočtu použijeme l Hôpitalovo pravidlo. tg lim sin tg sin 1 cos 1 1 cos 1 cos cos 1 cos 1 cos1+cos 1+cos cos 1 cos cos = = 2 1 =2 1 cos cos 1 cos Příklad lze samozřejmě řešit i jinak. Po uplatnění l Hôpitalova pravidla jsme dostali opět výraz typu. V tom případě je možné l Hôpitalovo pravidlo uplatnit znovu. tg lim sin tg sin 2cos =2 1 cos 1 1 cos 1 cos 1 1 cos 2cos sin sin Řešení 1b Budeme počítat limitu: lim. Tato limita vede k výrazu typu, jak lze snadno ověřit dosazením. K výpočtu použijeme l Hôpitalovo pravidlo. 1 3tg4 12tg 3 4 lim 3sin4 12sin cos cos 3 4cos4 12cos cos cos4cos+cos4 cos 4 cos cos4 cos cos+cos4 cos 4 cos = 1+1 = = 2 12cos cos 4 cos 4 cos 12cos4 cos cos4 coscos+cos4 cos 4 cos cos4 cos Řešení 1c Budeme počítat limitu: lim. Tato limita vede k výrazu typu, jak lze snadno ověřit dosazením spolu se znalostí vztahu lim =1. K výpočtu použijeme l Hôpitalovo pravidlo. V rámci pokračujícího výpočtu ho použijeme ještě několikrát. cotg 1 lim 1 cotg 1 cotg+ sin 0 2 sin cos sin 2 cos sin sin 2 sin cos sin cos 2sin 2sin = 2

3 cos sin 1 2sin +22sincos cos2 1 2sin +2sin2 cos2 1 2sin +2sin2 2sin sincos+2sin2+2 2cos2 2sin2 2sin2+2sin2+4xcos2 = lim 2sin2 4sin2+4cos2 sin2 2sin2+2cos2 sin2 2sin2+2cos2 2cos2 2 2cos2+2cos2 2 2sin2 2cos2 6cos2 4sin2 = 2cos2 0 6cos sin2 0 = 2cos0 6cos0 0sin0 = = = 2 6 = 1 3 Řešení 1d Budeme počítat limitu: lim. Tato limita vede k výrazu typu, jak lze snadno ověřit dosazením. K výpočtu použijeme l Hôpitalovo pravidlo. V tomto případě budeme toto pravidlo používat opakovaně tak dlouho, dokud se nezbavíme výrazu typu. Úloha se dá řešit i jiným způsobem a to tak, že se hyperbolický cosinus převede hned na začátku na tvar podle definice cosh=e +e /2. cosh+cos 2 cosh+cos 2 sinh sin 0 sinh sin lim 4 4 cosh cos cosh cos sinh+sin sinh+sin cosh+cos = = 1 12 Řešení 1e Budeme počítat limitu: lim. Tato limita vede k výrazu typu, jak lze snadno ověřit dosazením. K výpočtu použijeme l Hôpitalovo pravidlo lim =1 6 3

4 Řešení 1f Budeme počítat limitu: lim. Tato limita vede k výrazu typu, jak lze snadno ověřit dosazením. K výpočtu použijeme opakovaně l Hôpitalovo pravidlo. Úloha není obtížná, ale vyžaduje velkou pozornost a zachování výpočetního pořádku. ln a lncos ln cos lim 3 3 ln cos 3 ln cos 3 ln ln ln cos cos+ sin 3 2 ln ln ln cos + sin 6 ln ln cos + sin 6 ln ln ln ln cos cos + 2sincos+ lncossin+ cos 6 ln ln ln ln cos + 2cossin+ lncossin+ cos 6 =ln ln ln ln cos 0+ 2cos0sin0+ lncos0sin0+ cos0 6 =ln ln ln ln ln =ln ln1 ln 1 ln ln =ln lnln ln =ln =ln 1 6 =ln 6 =ln ln =ln 0 ln Řešení 1g Budeme počítat limitu: lim. Tato limita vede k výrazu typu, jak lze snadno ověřit dosazením. K výpočtu použijeme l Hôpitalovo pravidlo. V tomto případě budeme toto pravidlo používat opakovaně tak dlouho, dokud se nezbavíme výrazu typu. Opět je velmi důležitá velká míra pečlivosti. cossin cos cossin cos sinsincos+sin lim 4 sinsincos+sin cossincos +sinsinsin+cos

5 cossincos +sinsinsin+cos 12 sinsincos +cossin2cossin+cossincossin+sinsincos sin 24 sinsincos +3cossincossin+sinsincos sin 24 sinsincos +3cossincossin+sinsincos sin 24 cossincos sinsin3cos sin 3sinsincos sin+3cossincos sin cos 24 = cossin0cos 0 sinsin03cos 0sin0 3sinsin0cos 0sin0+3cossin0cos 0 sin 0 cos0 24 = cos0 1 sin sin cos = = Řešení 1h Budeme počítat limitu: lim. Tato limita vede k výrazu typu, jak lze snadno ověřit dosazením. K výpočtu použijeme l Hôpitalovo pravidlo. lim ln +1 ln ln+1 1 ln ln+1ln = ln1+1ln = = + 1 = = 2 = ln = Řešení 1i Budeme počítat limitu: lim. Tato limita vede k výrazu typu, jak lze snadno ověřit dosazením. K výpočtu použijeme l Hôpitalovo pravidlo. 5

6 lim = lim a ln = lim = ln = ln 1 = ln = ln 1 Řešení 1j Budeme počítat limitu: lim. Tato limita vede k výrazu typu, jak lze snadno ověřit dosazením. K výpočtu použijeme l Hôpitalovo pravidlo. cos cos lim sin 2x 2 4 sin+ 4 sin+ cos cos+ sin 12 sin cos cos = = cos = = = 2 24 = 1 12 Řešení 1k Budeme počítat limitu: lim. Tato limita vede k výrazu typu, jak lze snadno ověřit dosazením. K výpočtu použijeme l Hôpitalovo pravidlo. sin 1+ sin 1+ sin+ cos 1+ lim 3 sin+ cos 1 2 sin+ cos sin+ cos+ cos sin cos

7 2 cos 2 2 cos 2 sin 0 2 cos 2 sin = 2 cos0 2 sin0 = = 2 0 = =1 3 Řešení 1l Budeme počítat limitu: lim cotg. Tuto limitu nejprve převedeme na výraz typu. K dalšímu výpočtu použijeme l Hôpitalovo pravidlo. 1 lim 1 cotg 1 1 cos sin 1 sin sin cos sin sin cos sin cos cos cos+sin sin sin 2sin+ cosx sin 2sin+ cosx sin+cos 2sin+2cos+2cos sin sin+cos 2sin+4cos sin sin+cos 2sin+4cos sin cos+cos sin 2cos+4cos 4sin 2sin cos 2cos sin 6cos 6sin cos = 2 cos0 0 sin0 6 cos0 6 0 sin0 0 cos = = =2 6 =1 3 7

8 Příklad 2 Nalezněte body, kde se rovinné křivky dané funkcemi f a g protínají. Vypočtěte, pod jakým úhlem se zde protnou. Určete rovnice tečen a normál ke každé z křivek v těchto bodech. a) = ; = b) = + 4 ; = c) = ; =5 d) = ; = e) =2 2 ; =4 2 f) =sin2 ; =cos2 Poznámka Body, kde se protínají grafy obou funkcí, nalezneme pomocí rovnosti hodnot obou funkcí. Právě v průsečíku grafů funkcí právě k rovnosti hodnot funkcí totiž dochází. Rovnici tečny budeme zjišťovat pro tvar =+ze vztahů = a =, protože dotykový bod musí mít stejnou hodnotovou souřadnici na grafu funkce i tečně. Normála je kolmice na tečnu vedená dotykovým bodem. Bude tedy mít směrnici. Normála tedy bude mít obecnou rovnici = +. Hodnotu vypočítáme dosazením souřadnic dotykového bodu. Všechna řešení doplníme obrázkem. Na něm bude vždy část grafu funkce v modré barvě, tečna bude zelená a normála červená. Úhel, pod kterým se protínají grafy funkcí, musí být stejný, jako úhel, který svírají tečny obou funkcí v průsečíku jejich grafů. Řešení 2a Budeme zjišťovat souřadnice průsečíků grafů funkcí = ; =. Řešme rovnici = = 1= Rovnice má tři řešení. Z toho dvě mají stejnou hodnotu 0. Příslušnou hodnotu zjistíme dosazením do předpisu funkce =0 ;0 =0 ;0 =1 ;1 Dále vypočteme rovnici tečny a normály obou funkcí v nalezených průsečících. Nakonec vypočteme úhel sevřený oběma tečnami (nebo normálami). To je úhel, pod kterým se obě funkce protnuly. Postupně to provedeme pro všechna odlišná řešení první rovnice. Body = ; a = ; Tečna k funkci bude mít rovnici = +. Zde = 0. Vypočteme =2 a dosadíme =0. Dostaneme = 0=2 0=0. Vypočteme =0 0. Odtud =0 0 0=0. Rovnice tečny k funkci je tedy =0+0=0. 8

9 Normála k funkci bude mít rovnici = +. Vypočteme =0+ 0. Odtud =0+ 0. Ale výraz pro není korektní. Je to proto, že tečna je rovnoběžná s osou, proto normála musí být rovnoběžná s osou a pro její popis se nehodí uvedená obecná rovnice. V tomto případě má tedy normála rovnici =0. Tečna k funkci bude mít rovnici = +. Zde = 0. Vypočteme =3 a dosadíme =0. Dostaneme = 0=3 0 =0. Vypočteme =0 0. Odtud =0 0 0=0. Rovnice tečny k funkci je tedy =0+0=0. Normála k funkci bude mít rovnici = +. Vypočteme =0+ 0. Odtud =0+ 0. Ale výraz pro není korektní. Je to proto, že tečna je rovnoběžná s osou, proto normála musí být rovnoběžná s osou a pro její popis se nehodí uvedená obecná rovnice. V tomto případě má tedy normála rovnici =0. Protože obě tečny mají stejný nulový směr, svírají nulový úhel. Bod = ; Tečna k funkci bude mít rovnici = +. Zde = 1. Vypočteme =2 a dosadíme =1. Dostaneme = 1=2 1=2. Vypočteme =1 1. Odtud =1 2 1= 1. Rovnice tečny k funkci je tedy =2 1. Normála k funkci bude mít rovnici = +. Vypočteme =1+ 1. Odtud =1+ 1=. Rovnice normály k funkci je tedy = +. Tečna k funkci bude mít rovnici = +. Zde = 1. Vypočteme =3 a dosadíme =1. Dostaneme = 1=3 1 =3. Vypočteme =1 1. Odtud =1 3 1= 2. Rovnice tečny k funkci je tedy =3 2. Normála k funkci bude mít rovnici = +. Vypočteme =1+ 1. Odtud =1+ 1=. Rovnice normály k funkci je tedy = +. Tečna k funkci má směrnici s hodnotou 2. Pro úhel sevřený touto tečnou s osou tedy platí tg=2, odtud =arctg2. Tečna k funkci má směrnici s hodnotou 3. Pro úhel sevřený touto tečnou s osou tedy platí tg=3, odtud =arctg3. Úhel sevřený těmto tečnami tedy je = =arctg3 arctg2. Stejný úhel svírají i grafy obou funkcí. Můžeme se dostat k lepšímu vyjádření s využitím obecného vzorce pro tangens rozdílu úhlů, který je tg = tg tg 1+tgtg Dosadíme a dostáváme tg = tg tg 1+tgtg = =1 7 Odtud Celou situaci přibližuje obrázek. = =arctg 1 7 9

10 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1 ČÁST 7 Řešení 2b Budeme zjišťovat souřadnice průsečíků grafů funkcí = + 4 ; =. Řešme rovnici = + 4 = =4 Rovnice má tři řešení. Příslušnouu hodnotu zjistíme dosazením do předpisu funkce = 2 ;4 =0 ;0 =2 ;4 10

11 Dále vypočteme rovnici tečny a normály obou funkcí v nalezených průsečících. Nakonec vypočteme úhel sevřený oběma tečnami (nebo normálami). To je úhel, pod kterým se obě funkce protnuly. Postupně to provedeme pro všechna odlišná řešení první rovnice. Bod = ; Tečna k funkci bude mít rovnici = +. Zde = 2. Vypočteme =3x +2 4 a dosadíme = 2. Dostaneme = 2= =12 4 4=4. Vypočteme = 2 2. Odtud =4 4 2=4+8=12. Rovnice tečny k funkci je tedy =4+12. Normála k funkci bude mít rovnici = +. Vypočteme = Odtud =4+ 2=4 =. Normála tedy má rovnici = +. Tečna k funkci bude mít rovnici = +. Zde = 2. Vypočteme =2 a dosadíme = 2. Dostaneme = 2=2 2= 4. Vypočteme = 2 2. Odtud =4 4 2=4 8= 4. Rovnice tečny k funkci je tedy = 4 4. Normála k funkci bude mít rovnici = +. Vypočteme = Odtud =4+ 2=4+=. Normála tedy má rovnici = +. Tečna k funkci má směrnici s hodnotou 4. Pro úhel sevřený touto tečnou s osou tedy platí tg=4, odtud =arctg4. Tečna k funkci má směrnici s hodnotou -4. Pro úhel sevřený touto tečnou s osou tedy platí tg= 4, odtud =arctg 4= arctg4. Úhel sevřený těmto tečnami tedy je = =arctg4 arctg 4=arctg4 arctg4= 2arctg4. Stejný úhel svírají i grafy obou funkcí. Můžeme se dostat i k jinému vyjádření s využitím obecného vzorce pro tangens rozdílu úhlů, který je tg = tg tg 1+tgtg Dosadíme a dostáváme tg = tg tg 1+tgtg = = 8 15 = 8 15 Odtud = =arctg 8 15 Bod = ; Tečna k funkci bude mít rovnici = +. Zde = 0. Vypočteme =3x +2 4 a dosadíme =0. Dostaneme = 0= = 4. Vypočteme =0 0. Odtud =0 4 0=0. Rovnice tečny k funkci je tedy = 4+0= 4. Normála k funkci bude mít rovnici = +. Vypočteme =0+ 0. Odtud =0+ 0=0. Normála má tedy rovnici = +0=. Tečna k funkci bude mít rovnici = +. Zde = 0. Vypočteme =2 a dosadíme =0. Dostaneme = 0=2 0=0. Vypočteme =0 0. Odtud =0 0 0=0. 11

12 Rovnice tečny k funkci je tedy =0+0=0. Normála k funkci bude mít rovnici = +. Vypočteme =0+ 0. Odtud =0+ 0. Ale výraz pro není korektní. Je to proto, že tečna je rovnoběžná s osou, proto normála musí být rovnoběžná s osou a pro její popis se nehodí uvedená obecná rovnice. V tomto případě má tedy normála rovnici =0. Tečna k funkci má směrnici s hodnotou -4. Pro úhel sevřený touto tečnou s osou tedy platí tg= 4, odtud =arctg 4. Tečna k funkci má směrnici s hodnotou 0. Pro úhel sevřený touto tečnou s osou tedy platí tg=0, odtud =arctg0=0. Úhel sevřený těmto tečnami tedy je = =arctg 4 0=arctg 4. Stejný úhel svírají i grafy obou funkcí. Můžeme se dostat i k jinému vyjádření s využitím obecného vzorce pro tangens rozdílu úhlů, který je tg = tg tg 1+tgtg Dosadíme a dostáváme tg = tg tg 1+tgtg = =4 1 =4 Odtud = =arctg4 Bod = ; Tečna k funkci bude mít rovnici = +. Zde = 2. Vypočteme =3x +2 4 a dosadíme =2. Dostaneme = 2= =12+4 4=12. Vypočteme =2 2. Odtud =4 12 2=4 24= 20. Rovnice tečny k funkci je tedy = Normála k funkci bude mít rovnici = +. Vypočteme =2+ 2. Odtud =4+ 2=4+=. Normála tedy má rovnici = +. Tečna k funkci bude mít rovnici = +. Zde = 2. Vypočteme =2 a dosadíme =2. Dostaneme = 2=2 2=4. Vypočteme =2 2. Odtud =4 4 2= 4 8= 4. Rovnice tečny k funkci je tedy =4 4. Normála k funkci bude mít rovnici = +. Vypočteme =2+ 2. Odtud =4+ 2=4+ =. Normála tedy má rovnici = +. Tečna k funkci má směrnici s hodnotou 12. Pro úhel sevřený touto tečnou s osou tedy platí tg= 12, odtud =arctg12. Tečna k funkci má směrnici s hodnotou 4. Pro úhel sevřený touto tečnou s osou tedy platí tg=4, odtud =arctg4. Úhel sevřený těmto tečnami tedy je = =arctg4 arctg12. Stejný úhel svírají i grafy obou funkcí. Můžeme se dostat i k jinému vyjádření s využitím obecného vzorce pro tangens rozdílu úhlů, který je 12

13 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1 ČÁST 7 Dosadíme a dostáváme Odtud Celou situaci přibližuje obrázek. tg = tg tg 1+tgtg tg = tg tg 1+tgtg = = 8 49 = =arctg

14 Řešení 2c Budeme zjišťovat souřadnice průsečíků grafů funkcí = ; =5. Řešme rovnici = =5 V tuto chvíli je zřejmé, že jedním z řešení je =0. To vykrátíme a budeme hledat další řešení. 1 =5 Tato rovnost ale nemůže platit, protože pravá strana je větší než levá strana pro všechna reálná x. Původní rovnice tedy nemá žádné další řešení. Rovnice má tři řešení. Příslušnou hodnotu zjistíme dosazením do předpisu funkce =0 ;0 Dále vypočteme rovnici tečny a normály obou funkcí v nalezeném průsečíku. Nakonec vypočteme úhel sevřený oběma tečnami (nebo normálami). To je úhel, pod kterým se obě funkce protnuly. Postupně to provedeme pro všechna odlišná řešení první rovnice. Bod = ; Tečna k funkci bude mít rovnici = +. Zde = 0. Vypočteme = + 2= 2 = 1 2 a dosadíme =0. Dostaneme = 0= = 1 0=1. Vypočteme =0 0. Odtud =0 1 0=0 0=0. Rovnice tečny k funkci je tedy =1+0=. Normála k funkci bude mít rovnici = +. Vypočteme =0+ 0. Odtud =0+ 0=0. Normála tedy má rovnici = +0=. Tečna k funkci bude mít rovnici = +. Zde = 0. Vypočteme =5 +5 = 1+5 a dosadíme =0. Dostaneme = 0=1+05 =5. Vypočteme =0 0. Odtud =0 5 0=0 0=0. Rovnice tečny k funkci je tedy =5+0=5. Normála k funkci bude mít rovnici = +. Vypočteme =0+ 0. Odtud =0+ 0=0+0=0. Normála tedy má rovnici = +0=. Tečna k funkci má směrnici s hodnotou 1. Pro úhel sevřený touto tečnou s osou tedy platí tg=1, odtud =arctg1. Tečna k funkci má směrnici s hodnotou 5. Pro úhel sevřený touto tečnou s osou tedy platí tg=5, odtud =arctg5. Úhel sevřený těmto tečnami tedy je = =arctg5 arctg1. Stejný úhel svírají i grafy obou funkcí. Můžeme se dostat i k jinému vyjádření s využitím obecného vzorce pro tangens rozdílu úhlů, který je tg = tg tg 1+tgtg Dosadíme a dostáváme tg = tg tg 1+tgtg = =4 6 =2 3 14

15 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1 ČÁST 7 Odtud Celou situaci přibližuje obrázek. = =arctg 2 3 Řešení 2d Budeme zjišťovat souřadnice průsečíků grafů funkcí = ; =. Řešme rovnici = = = Je zřejmé, že řešení této rovnice jsou (hodnotu druhé souřadnice získáme dosazením do funkce). = 1 ;1 =0 ;0 15

16 =1 ;1 Dále vypočteme rovnici tečny a normály obou funkcí v nalezených průsečících. Nakonec vypočteme úhel sevřený oběma tečnami (nebo normálami). To je úhel, pod kterým se obě funkce protnuly. Postupně to provedeme pro všechna odlišná řešení první rovnice. Bod = ; Tečna k funkci bude mít rovnici = +. Zde = 1. Vypočteme =, neboť nyní pracujeme se záporným argumentem. Dosadíme = 1. Dostaneme = 1= 1 = 1 = 1=. Vypočteme = 1 1. Odtud =1 1=1 =. Rovnice tečny k funkci je tedy = + =. Normála k funkci bude mít rovnici = +. Vypočteme = Odtud =1+ 1=1+ 2 1=1+2=3. Normála tedy má rovnici =2+3. Tečna k funkci bude mít rovnici = +. Zde = 1. Vypočteme =4 a dosadíme = 1. Dostaneme = 1=4 1 = 4. Vypočteme = 1 1. Odtud =1 4 1=1 4= 3. Rovnice tečny k funkci je tedy = 4 3. Normála k funkci bude mít rovnici = +. Vypočteme = Odtud =1+ 1=1+=. Normála tedy má rovnici = += +=. Tečna k funkci má směrnici s hodnotou. Pro úhel sevřený touto tečnou s osou tedy platí tg=, odtud =arctg. Tečna k funkci má směrnici s hodnotou 4. Pro úhel sevřený touto tečnou s osou tedy platí tg= 4, odtud =arctg 4. Úhel sevřený těmto tečnami tedy je = =arctg 4 arctg. Stejný úhel svírají i grafy obou funkcí. Můžeme se dostat i k jinému vyjádření s využitím obecného vzorce pro tangens rozdílu úhlů, který je tg = tg tg 1+tgtg Dosadíme a dostáváme tg = tg tg tgtg = = = 7 6 Odtud = =arctg 7 6 Bod = ; V tomto bodě má funkce hrot. Nelze v něm tedy hledat tečnu ani počítat derivaci, ale lze počítat derivaci zprava i zleva. Na základě toho lze určit tečnu zprava i tečnu zleva. Obě jsou stejné =0. Z toho důvodu je nutné uvažovat i normálu zleva a normálu zprava. I ony musí být stejné =0. 16

17 Tečna k funkci bude mít rovnici = +. Zde = 0. Vypočteme =4 a dosadíme =0. Dostaneme = 0=40 =0. Vypočteme =0 0. Odtud =0 0 0=0. Rovnice tečny k funkci je tedy =0. Normála k funkci bude mít rovnici = +. Vypočteme =0+ 0. Odtud =0+ 0. Tento výraz je ovšem nepřípustný. Protože tečna směřuje ve směru osy x, musí normála směřovat ve směru osy y a procházet průsečíkem. Odtud je tedy rovnice normály =0. Tečna k funkci má směrnici s hodnotou ±. Pro úhel sevřený touto tečnou s osou tedy je =±. Tečna k funkci má směrnici s hodnotou 0. Pro úhel sevřený touto tečnou s osou tedy platí tg=0, odtud =arctg0=0. Úhel sevřený těmto tečnami tedy je = =0 ±. Stejný úhel svírají i grafy obou funkcí. Bod = ; Tečna k funkci bude mít rovnici = +. Zde = 1. Vypočteme =, neboť nyní pracujeme s kladným argumentem. Dosadíme =1. Dostaneme = 1= 1 = 1=. Vypočteme =1 1. Odtud =1 1=1 =. Rovnice tečny k funkci je tedy = +=. Normála k funkci bude mít rovnici = +. Vypočteme =1+ 1. Odtud =1+ 1=1+2 1=1+2=3. Normála tedy má rovnici = 2+3. Tečna k funkci bude mít rovnici = +. Zde = 1. Vypočteme =4 a dosadíme =1. Dostaneme = 1=41 =4. Vypočteme =1 1. Odtud =1 4 1= 1 4= 3. Rovnice tečny k funkci je tedy =4 3. Normála k funkci bude mít rovnici = +. Vypočteme =1+ 1. Odtud =1+ 1=1+=. Normála tedy má rovnici = += +=. Tečna k funkci má směrnici s hodnotou. Pro úhel sevřený touto tečnou s osou tedy platí tg=, odtud =arctg. Tečna k funkci má směrnici s hodnotou 4. Pro úhel sevřený touto tečnou s osou tedy platí tg=4, odtud =arctg4. Úhel sevřený těmto tečnami tedy je = =arctg4 arctg. Stejný úhel svírají i grafy obou funkcí. Můžeme se dostat i k jinému vyjádření s využitím obecného vzorce pro tangens rozdílu úhlů, který je tg = tg tg 1+tgtg Dosadíme a dostáváme tg = tg tg 1+tgtg = = =7 6 17

18 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1 ČÁST 7 Odtud Celou situaci přibližuje obrázek. = =arctg 7 6 Řešení 2e Budeme zjišťovat souřadnice průsečíků grafů funkcí =2 2 ; =4 2. Dále vypočteme rovnici tečny a normály obou funkcí v nalezených průsečících. Nakonec vypočteme úhel sevřený oběma tečnami (nebo normálami). To je úhel, pod kterým se obě funkce protnuly. Budeme zjišťovat souřadnice průsečíků grafů funkcí =2 2 ; =4 2. Řešme rovnici = 2 2 =4 2 18

19 2 =6 2 2 = = =0 Nyní provedeme substituci =2 a dostaneme 6+8 =0 2 4=0 Tato rovnice má dvě řešení =2 ; =4 Provedeme zpětnou substituci 2 =2 ; 2 =4 Každá z těchto rovnic má dvě řešení. Dostáváme tedy = 2 ; = 1 ; =1 ; =2 Odtud určíme jednotlivé průsečíky = 2 ;2 = 1 ;0 =1 ;0 =2 ;2 Dále vypočteme rovnici tečny a normály obou funkcí v nalezených průsečících. Nakonec vypočteme úhel sevřený oběma tečnami (nebo normálami). To je úhel, pod kterým se obě funkce protnuly. Postupně to provedeme pro všechna odlišná řešení první rovnice. Bod = ; Tečna k funkci bude mít rovnici = +. Zde = 2. Jsme v oblasti záporných čísel, proto =2 2. Vypočteme = 2 ln2. Dosadíme = 2. Dostaneme = 2= 2 ln2= 2 ln2= 4ln2=ln2. Vypočteme = 2 2. Odtud =2 ln2 2=2+2ln2. Rovnice tečny k funkci je tedy =ln2 +2+2ln2 = ln Normála k funkci bude mít rovnici = +. Vypočteme = Odtud =2+ 2=2 =. Normála tedy má rovnici = +2 = Tečna k funkci bude mít rovnici = +. Zde = 2. Jsme v oblasti záporných čísel, proto =4 2 =4 2 Vypočteme = 2 ln2 a dosadíme = 2. Dostaneme = 2= 2 ln2= 2 ln2= 2ln2=ln2. Vypočteme = 2 2. Odtud =2 ln2 2=2+2ln2. Rovnice tečny k funkci je tedy =ln ln2 =ln Normála k funkci bude mít rovnici = +. Vypočteme = Odtud =2+ 2=2. Normála tedy má rovnici = +2 = +2 =

20 Tečna k funkci má směrnici s hodnotou ln2. Pro úhel sevřený touto tečnou s osou tedy platí tg=ln2, odtud =arctgln2. Tečna k funkci má směrnici s hodnotou ln2. Pro úhel sevřený touto tečnou s osou tedy platí tg=ln2, odtud =arctgln2. Úhel sevřený těmto tečnami tedy je = =arctgln2 arctgln2. Stejný úhel svírají i grafy obou funkcí. Můžeme se dostat i k jinému vyjádření s využitím obecného vzorce pro tangens rozdílu úhlů, který je tg = tg tg 1+tgtg Dosadíme a dostáváme tg = tg tg 1+tgtg = ln2 ln2 1+ln2 ln2 = 2 ln ln2 4ln2 = 2 ln ln2 4ln2 ln2 ln4 = 1+8ln2 = 1+8ln2 Odtud ln4 = =arctg 1+8ln2 Bod = ; Tečna k funkci bude mít rovnici = +. Zde = 1. Jsme v oblasti záporných čísel, proto =2 2. Vypočteme = 2 ln2. Dosadíme = 1. Dostaneme = 1= 2 ln2= 2 ln2= 2ln2=ln2. Vypočteme = 1 1. Odtud =0 ln2 1=0+ln2 =ln2. Rovnice tečny k funkci je tedy =ln2 +ln2 = ln2 +1. Normála k funkci bude mít rovnici = +. Vypočteme = Odtud =0+ 1=0+ =. Normála tedy má rovnici = = +1. Tečna k funkci bude mít rovnici = +. Zde = 1. Jsme v oblasti záporných čísel, proto =4 2 =4 2 Vypočteme = 2 ln2 a dosadíme = 1. Dostaneme = 1= 2 ln2= 2 ln2= 4ln2=ln2. Vypočteme = 1 1. Odtud =0 ln2 1=0+ln2 =ln2. Rovnice tečny k funkci je tedy =ln2 + ln2 =ln2 +1. Normála k funkci bude mít rovnici = +. Vypočteme = Odtud =0+ 1=. Normála tedy má rovnici = = +1. Tečna k funkci má směrnici s hodnotouln2. Pro úhel sevřený touto tečnou s osou tedy platí tg=ln2, odtud =ln2 Tečna k funkci má směrnici s hodnotou ln2. Pro úhel sevřený touto tečnou s osou tedy platí tg=ln2, odtud =arctgln2. Úhel sevřený těmto tečnami tedy je = =arctgln2 arctgln2. Stejný úhel svírají i grafy obou funkcí. 20

21 Můžeme se dostat i k jinému vyjádření s využitím obecného vzorce pro tangens rozdílu úhlů, který je tg = tg tg 1+tgtg Dosadíme a dostáváme tg = tg tg 1+tgtg = ln2 ln2 1+ln2 ln2 = 2 ln ln2 2ln2 = 2 ln ln2 4ln2 ln2 ln4 = 1+8ln2 = 1+8ln2 Odtud ln4 = =arctg 1+8ln2 Bod = ; Tečna k funkci bude mít rovnici = +. Zde = 1. Jsme v oblasti kladných čísel, proto =2 2. Vypočteme =2 ln2. Dosadíme =1. Dostaneme = 1=2 ln2= 2ln2=ln2. Vypočteme =1 1. Odtud =0 ln2 1=0 ln2 = ln2. Rovnice tečny k funkci je tedy =ln2 ln2 =ln2 1. Normála k funkci bude mít rovnici = +. Vypočteme =1+ 1. Odtud =0+ 1=0+ =. Normála tedy má rovnici = + = 1. Tečna k funkci bude mít rovnici = +. Zde = 1. Jsme v oblasti kladných čísel, proto =4 2 Vypočteme =2 ln2 a dosadíme =1. Dostaneme = 1= 2 ln2=2 ln2=4ln2=ln2. Vypočteme =1 1. Odtud =0 ln2 1=0 ln2 = ln2. Rovnice tečny k funkci je tedy =ln2 ln2 =ln2 1. Normála k funkci bude mít rovnici = +. Vypočteme =1+ 1. Odtud =0+ 1=. Normála tedy má rovnici = + = 1. Tečna k funkci má směrnici s hodnotou ln2. Pro úhel sevřený touto tečnou s osou tedy platí tg=ln2, odtud =ln2 Tečna k funkci má směrnici s hodnotou ln2. Pro úhel sevřený touto tečnou s osou tedy platí tg=ln2, odtud =arctgln2. Úhel sevřený těmto tečnami tedy je = =arctgln2 arctgln2. Stejný úhel svírají i grafy obou funkcí. Můžeme se dostat i k jinému vyjádření s využitím obecného vzorce pro tangens rozdílu úhlů, který je tg = tg tg 1+tgtg Dosadíme a dostáváme tg = tg tg 2 1+tgtg = ln2 ln2 ln 1+ln2 ln2 = 2 1+4ln22ln2 = ln2 ln4 1+8ln2 = 1+8ln2 Odtud ln4 = =arctg 1+8ln2 21

22 Bod = ; Tečna k funkci bude mít rovnici = +. Zde = 2 Jsme v oblasti kladných čísel, proto =2 2. Vypočteme =2 ln2. Dosadíme =2. Dostaneme = 2= 2 ln2= 2 ln2=4ln2=ln2. Vypočteme =2 2. Odtud =2 ln2 2=2 2ln2. Rovnice tečny k funkci je tedy =ln2 +2+2ln2 =ln Normála k funkci bude mít rovnici = +. Vypočteme =2+ 2. Odtud =2+ 2=2+ =. Normála tedy má rovnici = +2+ = 2+2. Tečna k funkci bude mít rovnici = +. Zde = 2. Jsme v oblasti kladných čísel, proto =4 2 Vypočteme =2 ln2 a dosadíme =2. Dostaneme = 2= 2 ln2=2 ln2=2ln2=ln2. Vypočteme =2 2. Odtud =2 ln2 2=2 2ln2. Rovnice tečny k funkci je tedy =ln2 +2 2ln2 =ln Normála k funkci bude mít rovnici = +. Vypočteme =2+ 2. Odtud =2+ 2=2+. Normála tedy má rovnici = +2+ = +2+ = 2+2. Tečna k funkci má směrnici s hodnotou ln2. Pro úhel sevřený touto tečnou s osou tedy platí tg=ln2, odtud =arctgln2. Tečna k funkci má směrnici s hodnotou ln2. Pro úhel sevřený touto tečnou s osou tedy platí tg=ln2, odtud =arctgln2. Úhel sevřený těmto tečnami tedy je = =arctgln2 arctgln2. Stejný úhel svírají i grafy obou funkcí. Můžeme se dostat i k jinému vyjádření s využitím obecného vzorce pro tangens rozdílu úhlů, který je tg = tg tg 1+tgtg Dosadíme a dostáváme tg = tg tg 2 1+tgtg = ln2 ln2 ln 1+ln2 ln2 = 2 1+2ln24ln2 = ln2 ln4 1+8ln2 = 1+8ln2 Odtud ln4 = =arctg 1+8ln2 Celou situaci přibližuje obrázek (zobrazeny jsou jen tečny). 22

23 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1 ČÁST 7 23

24 Příklad 3 Řešte následující úlohy a) Určete stranu čtverce, který musíme vystřihnout ve všech rozích obdélníkového papíru o rozměrech 8 5 cm tak, aby po složení vznikla krabička co největšího objemu. b) Nalezněte obdélník vepsaný do elipsy 4 +9 =36 maximálního obsahu, přičemž strany obdélníka mají být rovnoběžné s poloosami elipsy. c) Určete rozměry válcové nádoby s víkem tak, aby při objemu 5 litrů měla nádoba minimální povrch. Jaké by měla mít rozměry, byla-li by bez víka? d) Úsečku rozdělte na dvě části tak, aby součet obsahů čtverců sestrojených nad oběma částmi byl minimální. e) Ze všech obdélníků daného obsahu vyberte ten, jehož obvod je minimální. Lze nalézt takový obdélník s maximálním obvodem? f) Ze všech pravoúhlých trojúhelníků, jejichž součet délek odvěsen je roven 3, vyberte ten s největším obsahem. Jak vypadá takový trojúhelník s minimálním obsahem? g) Nalezněte válec největšího objemu vepsaný do koule o poloměru. h) Do půlkruhu o poloměru vepište obdélník maximální plochy. i) Z kruhového papíru o poloměru vystřihněte výseč tak, aby po jejím slepení vznikl kuželový kornout maximálního objemu. Jaký úhel svírala ramena výseče? Poznámka Všechny úlohy budeme řešit tak, že si ze zadání vytvoříme funkci popisující zkoumaný jev pomocí proměnné vyjadřující hodnotu, dle které chceme najít maximum či minimum. Pak v souladu se zadáním budeme hledat lokální extrém pomocí rovnice. První derivace v bodě tohoto lokálního extrému musí mít nulovou hodnotu. Řešení 3a Určete stranu čtverce, který musíme vystřihnout ve všech rozích obdélníkového papíru o rozměrech 8 5 cm tak, aby po složení vznikla krabička (bez víčka) co největšího objemu. Představu o této úloze nejlépe navodí obrázek povrchu krabičky před složením a složené krabičky. 24

25 Objem krabičky je dán vzorcem =. V našem případu budeme do vzorce dosazovat hodnoty =8 2 ; =5 2 ; =. Objem se tak stane funkcí proměnné. == Máme nalézt tak, aby obsah obdélníku byl co největší. Jde tedy o to, nalézt lokální extrém funkce. Budeme hledat takové, kdy derivace je nulová. Nejprve tedy derivujeme. = = = Nyní budeme řešit rovnici = = = =0 Odtud, = 13± = 13± = 13± 49 6 = 13±7 6 = 20 6 =10 3 =31 3 ; = 6 6 =1 První řešení nemá smysl, protože z kratší strany obdélníku nelze vystřihnout více, než je jeho délka. Proto jediným správným řešením je to, že v rozích obdélníku je třeba vystřihnout čtverec o stranách 1 cm. Řešení 3b Nalezněte obdélník vepsaný do elipsy 4 +9 =36 maximálního obsahu, přičemž strany obdélníka mají být rovnoběžné s poloosami elipsy. Situaci tohoto příkladu představuje obrázek. Z rovnice elipsy si vyjádříme hodnotu = =

26 Obdélník vepsaný do elipsy má délku 2 a šířku 2. Jeho plocha tedy je =2 2. V tomto vzorci nahradíme dříve zjištěným vyjádřením. Dostáváme tak plochu vyjádřenou jako funkci. == 2 2= = Máme nalézt tak, aby obsah obdélníku byl co největší. Jde tedy o to, nalézt lokální extrém funkce. Budeme hledat takové, kdy derivace je nulová. Nejprve tedy derivujeme. Nyní budeme řešit rovnici = Z výše uvedeného vzorce vypočteme = Plocha obdélníka tedy bude = = = = = = = =0 8 =36 = = 3 2 = = = =2 1 2 = 2 = = = = =24 2 =12 Vepsaný obdélník bude mít rozměry 2=3 2 ; 2=2 2 a jeho plocha bude =12. Řešení 3c Určete rozměry válcové nádoby s víkem tak, aby při objemu 5 litrů měla nádoba minimální povrch. Jaké by měla mít rozměry, byla-li by bez víka? V tomto zadání jsou skryty dvě úlohy. Nejprve budeme řešit úlohu s víčkem, potom úlohu bez víka. Pro obě úlohy využijeme stejnou symboliku i celý výpočetního postupu. Jediný rozdíl bude v započítání plochy víka do celkového povrchu. Zadání objemu z úlohy převedeme z 5 litrů na 5000 centimetrů krychlových, aby výsledek byl v centimetrech, což je běžnější délková jednotka, než decimetr. Situaci pro obě úlohy přibližuje obrázek. 2 26

27 Objem nádoby je dán vzorcem Odtud odvodíme výšku = =5000 = 5000 Dále si uvědomíme, že plocha podstavy válce je dána vzorcem pro plochu kruhu = Plocha stěny válce je dána vzorcem =2= =10000 Úloha s víkem =2 + == Vypočteme derivaci (pozor, proměnná je nyní ) = Povrch má být minimální, proto budeme hledat takový poloměr, aby derivace byla nulová. Řešíme rovnici = =0 4 =10000 Odtud dostáváme = = = 5000 = = = 2 4 = ,

28 Úloha bez víka = + == Vypočteme derivaci (pozor, proměnná je nyní ) = Povrch má být minimální, proto budeme hledat takový poloměr, aby derivace byla nulová. Řešíme rovnici = =0 2 =10000 Odtud dostáváme = = = 5000 = = = = Řešení 3d Úsečku rozdělte na dvě části tak, aby součet obsahů čtverců sestrojených nad oběma částmi byl minimální. Problematiku úlohy osvětlí obrázek. Plocha obou čtverců je == + =2 2+ Součet obsahu čtverců má být minimální, proto je třeba derivovat a hledat, kdy bude derivace nulová. Řešíme tedy rovnici =4 2=0 = 2 28

29 Řešení 3e Ze všech obdélníků daného obsahu S vyberte ten, jehož obvod je minimální. Lze nalézt takový obdélník s maximálním obvodem? Rozměry obdélníku jsou a, jeho plocha je = a jeho obvod je =2+. Z plochy vyjádříme = a dosadíme do vzorce pro obvod ==2+ Obvod má být minimální, budeme tedy hledat lokální extrém. Derivujeme a řešíme rovnici (proměnnou je v tomto případě ) =21 =0 1 =0 Odtud odvodíme = = = = = Nejmenší obvod tedy má čtverec. Obdélník s největším obvodem neexistuje. Řešení 3f Ze všech pravoúhlých trojúhelníků, jejichž součet délek odvěsen je roven 3, vyberte ten s největším obsahem. Jak vypadá takový trojúhelník s minimálním obsahem? Úlohu přiblíží obrázek Obsah trojúhelníku je v našem případě dán vzorcem == Máme najít trojúhelník s největším obsahem, budeme tedy derivovat a hledat případ, kdy je derivace nulová. = = =3 2 29

30 Odtud = 3 2 =0 = 3 2 Tento výsledek znamená, že největší obsah bude mít rovnoramenný trojúhelník. Nejmenší obsah bude mít za těchto podmínek trojúhelník degenerovaný v úsečku délky 3. Řešení 3g Nalezněte válec největšího objemu vepsaný do koule o poloměru R. Situaci na osovém řezu válcem znázorňuje obrázek. Poloměr válce je a je jeho poloviční výška. Vztah mezi základními rozměry je dán Pythagorovou větou. = Objem válce je dán vzorcem ( je poloviční výška) = 2 Dosadíme za a dostáváme objem jako funkci poloměru podstavy. == 2 =2 Protože hledáme největší možný objem, budeme derivovat (proměnná je ) a hledat, kdy je derivace nulová. = Nyní budeme řešit rovnici = =0 8 4 =0 8 4 = = =0 30

31 12 =8 3 =2 = 2 3 = 2 3 Nyní vypočteme poloviční výšku Celková výška válce je = 2 3 = 2 3 = = 2 3 = 1 3 2=2 1 3 Řešení 3h Do půlkruhu o poloměru vepište obdélník maximální plochy. Vztahy v úloze ozřejmí obrázek ( označuje polovinu délky jedné strany) Plocha obdélníka se zjistí podle vzorce =2, kde = Tedy můžeme plochu vyjádřit jako funkci proměnné. ==2 Hledáme maximum, takže budeme derivovat a hledat kdy je derivace nulová. 2 = = =0 2 2 =0 31

32 Odtud =0 2 =0 2 = = 2 = 1 2 = 2 = = 2 = 2 = 2 = Rozměry obdélníku a jeho plocha jsou 2= 2 ; = ; = 2 = Řešení 3i Z kruhového papíru o poloměru vystřihněte výseč tak, aby po jejím slepení vznikl kuželový kornout maximálního objemu. Jaký úhel svírala ramena výseče? Vztahy v úloze ozřejmuje obrázek, kde je plášť kužele v rozvinutém tvaru a osový řez kuželem. 2 Nejprve si uvedeme potřebné vztahy. Plocha pláště v rozvinutém tvaru (kruhová výseč). Povrch kužele Délka kruhového oblouku výseče Délka obvodu podstavy kužele = 2 = 2 = =2 2 = =2 32

33 Výška kužele Objem kužele = = Objem kužele chceme maximalizovat, budeme tedy hedat, kdy bude nulová derivace funkce, která objem vyjadřuje. Proměnnou bude vrcholový úhel kruhové výseče. Ze vztahů pro získáme závislost mezi oběma poloměry. =2 = 2 Budeme upravovat výraz pro objem tak, abychom v něm měli jen základní hodnoty, kterými jsou a. = = = = = = = 32 2 Nyní už můžeme zapsat objem jako funkci vrcholového úhlu výseče == 32 2 Tuto funkci budeme derivovat = = = Nyní budeme zjišťovat, kdy je tato derivace nulová = = =0 22 = = Jedním řešením je =0, toto řešení ale je řešením pro minimální objem. Ten nás nezajímá. 22 = 8 2 = 8 =3 33

34 Řešením tedy je = 8 3 = 8 3 =