Matematika 1. Matematika 1

Transkript

1 5. přednáška Elementární funkce 24. října 2012

2 Logaritmus a exponenciální funkce Věta 5.1 Existuje právě jedna funkce (značíme ji ln a nazýváme ji přirozeným logaritmem), s následujícími vlastnostmi: D(ln) = (0, + ), na tomto intervalu je ln rostoucí, x, y (0, + ) : ln xy = ln x + ln y, ln x lim x 1 x 1 = 1.

3 Logaritmus a exponenciální funkce Věta 5.1 Existuje právě jedna funkce (značíme ji ln a nazýváme ji přirozeným logaritmem), s následujícími vlastnostmi: D(ln) = (0, + ), na tomto intervalu je ln rostoucí, x, y (0, + ) : ln xy = ln x + ln y, ln x lim x 1 x 1 = 1. Definice Inverzní funkci k ln nazýváme exponenciální funkce a značíme ji exp.

4 Logaritmus a exponenciální funkce Věta 5.1 Existuje právě jedna funkce (značíme ji ln a nazýváme ji přirozeným logaritmem), s následujícími vlastnostmi: D(ln) = (0, + ), na tomto intervalu je ln rostoucí, x, y (0, + ) : ln xy = ln x + ln y, ln x lim x 1 x 1 = 1. Definice Inverzní funkci k ln nazýváme exponenciální funkce a značíme ji exp. Definice Necht a, b R, a > 0. Obecnou mocninu a b definujeme jako a b = exp(b ln a).

5 Sinus a kosinus Věta 5.2 Existuje právě jedno kladné reálné číslo (budeme ho značit π) a právě jedna dvojice funkcí sinus (sin) a kosinus (cos), které mají následující vlastnosti: D(sin) = D(cos) = R, pro všechna x, y R platí sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y, cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y, sin( x) = sin x, cos( x) = cos x, sin je rostoucí na [0, π 2 ], sin π 2 = 1, sin x lim = 1. x

6 Tangens a kotangens Definice Funkci tangens značíme tg a definujeme předpisem tg x = sin x cos x pro každé x D(tg) = {x R; x 2k+1 2 π, k Z}. Podobně funkci kotangens značíme cotg a definujeme předpisem cotg x = cos x sin x pro každé x D(cotg) = {x R; x kπ, k Z}.

7 Cyklometrické funkce Definice Cyklometrickými funkcemi budeme rozumět funkce arkussinus (arcsin), arkuskosinus (arccos), arkustangens (arctg) a arkuskotangens (arccotg), které jsou definovány takto: arcsin = (sin [ π 2, π 2 ] ) 1, arccos = (cos [0,π] ) 1, arctg = (tg ( π 2, π 2 ) ) 1, arccotg = (cotg (0,π) ) 1. Poznámka: Symbolem f I značíme restrikci funkce f na interval I, tj. f I : I R je funkce definovaná předpisem x I : f I (x) = f (x).

8 Spojitost elementárních funkcí Věta 5.3 Funkce ln, exp, sin, cos, tg, cotg, arcsin, arccos, arctg a arccotg jsou spojité na svých definičních oborech.

9 x 2 + 6x 7

10 x 2 + 6x 7 = 8 7

11 x 2 + 6x 7 = 8 7 x 1 x 2 + 6x 7

12 x 2 + 6x 7 = 8 7

13 x 2 + 6x 7 = 8 7 (1 + mx) n (1 + nx) m 3 lim x 2, m, n N

14 x 2 + 6x 7 = 8 7 (1 + mx) n (1 + nx) m 3 lim x 2 = 1 mn(n m), m, n N 2

15 x 2 + 6x 7 = 8 7 (1 + mx) n (1 + nx) m 3 lim x 2 1 cos x 4 lim x 2 = 1 mn(n m), m, n N 2

16 x 2 + 6x 7 = 8 7 (1 + mx) n (1 + nx) m 3 lim x 2 1 cos x 4 lim x 2 = 1 2 = 1 mn(n m), m, n N 2

17 x 2 + 6x 7 = 8 7 (1 + mx) n (1 + nx) m 3 lim x 2 1 cos x 4 lim x 2 = lim 1 + cos 2x 1 + cos 3x ln(1 + x 2 ) = 1 mn(n m), m, n N 2

18 x 2 + 6x 7 = 8 7 (1 + mx) n (1 + nx) m 3 lim x 2 1 cos x 4 lim x 2 = lim 1 + cos 2x 1 + cos 3x ln(1 + x 2 ) = 1 mn(n m), m, n N 2 = 5 4 2

19 x 2 + 6x 7 = 8 7 (1 + mx) n (1 + nx) m 3 lim x 2 1 cos x 4 lim x 2 = lim 1 + cos 2x 1 + cos 3x 6 lim e sin2 x cos x x 2 ln(1 + x 2 ) = 1 mn(n m), m, n N 2 = 5 4 2

20 x 2 + 6x 7 = 8 7 (1 + mx) n (1 + nx) m 3 lim x 2 1 cos x 4 lim x 2 = lim 1 + cos 2x 1 + cos 3x ln(1 + x 2 ) 6 lim e sin2 x cos x x 2 = 3 2 = 1 mn(n m), m, n N 2 = 5 4 2

21 x 2 + 6x 7 = 8 7 (1 + mx) n (1 + nx) m 3 lim x 2 1 cos x 4 lim x 2 = lim 1 + cos 2x 1 + cos 3x 6 lim e sin2 x cos x 7 lim x π 6 ln(1 + x 2 ) x 2 = sin 2 x + sin x 1 2 sin 2 x 3 sin x + 1 = 1 mn(n m), m, n N 2 = 5 4 2

22 x 2 + 6x 7 = 8 7 (1 + mx) n (1 + nx) m 3 lim x 2 1 cos x 4 lim x 2 = lim 1 + cos 2x 1 + cos 3x 6 lim e sin2 x cos x 7 lim x π 6 ln(1 + x 2 ) x 2 = sin 2 x + sin x 1 2 sin 2 x 3 sin x + 1 = 3 = 1 mn(n m), m, n N 2 = 5 4 2

23 x 2 + 6x 7 = 8 7 (1 + mx) n (1 + nx) m 3 lim x 2 1 cos x 4 lim x 2 = lim 1 + cos 2x 1 + cos 3x ln(1 + x 2 ) e sin2 x cos x 6 lim x 2 = lim x π 6 2 sin 2 x + sin x 1 2 sin 2 x 3 sin x + 1 = 3 8 lim ( cos x cos 2x ) 1 x 2 = 1 mn(n m), m, n N 2 = 5 4 2

24 x 2 + 6x 7 = 8 7 (1 + mx) n (1 + nx) m 3 lim x 2 1 cos x 4 lim x 2 = lim 1 + cos 2x 1 + cos 3x ln(1 + x 2 ) e sin2 x cos x 6 lim x 2 = lim x π 6 2 sin 2 x + sin x 1 2 sin 2 x 3 sin x + 1 = 3 ) 1 x 2 = e lim ( cos x cos 2x = 1 mn(n m), m, n N 2 = 5 4 2