4.2. CYKLOMETRICKÉ FUNKCE

Transkript

1 4.. CYKLOMETRICKÉ FUNKCE V této kapitole se dozvíte: jak jsou definovány cyklometrické funkce a jaký je jejich vztah k funkcím goniometrickým; základní vlastnosti cyklometrických funkcí; nejdůležitější vzorce pro práci s cyklometrickými funkcemi. Klíčová slova této kapitoly: cyklometrické funkce, inverzní goinometrické funkce, arkussinus, arkuskosinus, arkustangens, arkuskotangens. Čas potřebný k prostudování učiva kapitoly: 0,75 + 0,0 hodiny (teorie + řešení příkladů)

2 Cyklometrické funkce. Protože goniometrické funkce nejsou prosté v celém svém definičním oboru, neexistují k nim funkce inverzní. Omezíme-li se však pouze na část definičního oboru, ve které je daná goniometrická funkce prostá, můžeme k takto definované funkci přiřadit funkci inverzní, kterou pak nazýváme cyklometrickou funkcí. Používáme čtyři hlavní cyklometrické funkce. Arkussinus. Funkce y = arcsin x(čteme arkus sinus x ) je inverzní k y = sin x pro x Definičním oborem je uzavřený interval 1, 1, oborem hodnot interval Arkuskosinus. Funkce y = arccos x(čteme arkus kosinus x ) je inverzní k y = cos x pro x 0,. Definičním oborem je uzavřený interval 1, 1, oborem hodnot interval 0,. Arkustangens. Funkce y = arctg x (čteme arkus tangens x ) je inverzní k y = tg x pro x Definičním oborem je celá množina R, oborem hodnot interval Arkuskotangens. Funkce y = arccotg x (čteme arkus kotangens x ) je inverzní k y = cotg x pro x 0,. Definičním oborem je celá množina R, oborem hodnot interval 0,. Poznámka. a) Cyklometrické funkce jsou nazývány také inverzními goniometrickými funkcemi, ale toto vyjádření není z výše uvedených důvodů zcela přesné. b) Výraz arcsin x lze volně číst jako úhel (doslova oblouk, lat. arcus), jehož sinus je x. Takových úhlů je ovšem obecně nekonečně mnoho, je míněn úhel z oboru hodnot příslušné cyklometrické funkce, v našem případě z intervalu Obdobně pro další cyklometrické funkce. Grafy cyklometrických funkcí. Většinu informací o definičním oboru, oboru hodnot a tvaru těchto funkcí lze jako obvykle získat z grafů, které je třeba znát zpaměti.

3 Vybrané vzorce pro práci cyklometrickými funkcemi. Základní identity. Přímo z definice plynou základní identity, ve kterých je ale třeba dávat pozor na jejich obor platnosti: arcsin ( sin x) sin ( arcsin x) arctg( tg x) tg ( arctg x) = x pro x, = x, cos( arccos x) = x pro x, Funkční hodnoty v opačném argumentu. arcsin arctg, arccos( cos x) = x pro x 0,. = x, v obou případech pro x 1, 1., arccotg ( cotg x ) = x pro x ( 0, ) = x, cotg ( arccotg x) = x, v obou případech pro x R. ( x) = arcsin x, arccos( x) ( x) = arctg x, arccotg ( x) = arccos x; = arccotg x; ; Z uvedených vzorců je zřejmé, že funkce arcsin a arctg jsou liché; funkce arccos a arccotg nejsou ani sudé ani liché, ale jejich průběh odpovídá liché funkci, posunuté ve funkčních hodnotách o. Vztahy mezi cyklometrickými funkcemi. Vztahy platí pro všechna x, pro která jsou výrazy v rovnicích definovány: arcsin x+ arccos x=, arctg x+ arccotg x= ; 1 arcsin x= arccos 1 x, arccos x= arcsin 1 x, arctg x = arccotg. x

4 Shrnutí kapitoly: Goniometrické funkce nejsou prosté, proto k nim není možné sestrojit inverzní funkce. Vybereme-li však u dané goniometrické funkce vhodný interval, ve kterém je tato funkce prostá, pak k funkci definované pouze na tomto intervalu již existuje inverzní funkce. Takto sestrojené inverzní funkce nazýváme cyklometrické. V praxi používáme čtyři hlavní cyklometrické funkce: 1) arkussinus je funkce inverzní k funkci sinus v intervalu ; ) arkuskosinus je funkce inverzní k funkci kosinus v intervalu 0, ; 3) arkustangens je funkce inverzní k funkci tangens v intervalu ; 4) arkuskotangens je funkce inverzní k funkci tangens v intervalu 0,. Vlastnosti cyklometrických funkcí, zejména definiční obory, obory hodnot, důležité body, kterými procházejí a asymptoty, lze nejlépe nahlédnout v jejich grafech, které je nutné znát zpaměti. Při práci s cyklometrickými funkcemi jsou často potřebné základní vzorce, o kterých je třeba mít přehled. Obecně se dá říci, že cyklometrické funkce nejsou v praxi tak používané jako funkce goniometrické, nicméně svůj nezastupitelný význam mají. Otázky: Jak se jmenují a jak jsou definovány čtyři nejpoužívanější cyklometrické funkce? Jaké základní vlastnosti mají funkce arkussinus a arkuskosinus? Jaký mají definiční obor a obor hodnot? Jaké základní vlastnosti mají funkce arkustangens a arkuskotangens? Jaký mají definiční obor a obor hodnot? Načrtněte zpaměti grafy všech čtyř nejpoužívanějších cyklometrických funkcí. Jakými význačnými body tyto grafy procházejí? Napište zpaměti základní identity plynoucí přímo z definice cyklometrických funkcí. Uveďte přesně, pro jaký obor proměnné platí! Napište další důležité vzorce pro cyklometrické funkce, které znáte. Jak vypadají funkční hodnoty cyklometrických funkcí v opačném argumentu? Jaké vztahy platí mezi funkcemi arkussinus a arkuskosinus, resp. arkustangens a arkuskotangens? Další zdroje: 1. POLÁK, J. Přehled středoškolské matematiky. 6. vyd. Praha: Prometheus, POLÁK, J. Středoškolská matematika v úlohách I. 1. vyd. Praha: Prometheus, POLÁK, J. Středoškolská matematika v úlohách II. 1. vyd. Praha: Prometheus, REKTORYS, K. a spol. Přehled užité matematiky. 6. přepr. vyd. Praha: Prometheus, 1995.

5 ZÁVĚR: