11 Základy výpočetního elektromagnetismu

Transkript

1 Základy výpočetního elektromagnetismu Při praktickém návrhu antén a dalších vysokofrekvenčních komponentů většinou vycházíme z přibližných návrhových vztahů V dalším kroku je zapotřebí hrubě navrženou strukturu analyzovat je třeba řešit pro ni Maxwellovy rovnice V předmětu jsme Maxwellovy rovnice řešili v programu ANSYS HFSS, který je založen na metodě konečných prvků V dalších odstavcích si vysvětlíme, z jakých principů metoda konečných vychází Metoda konečných prvků Použití metody konečných prvků si vysvětlíme na analýze podélně homogenního vlnovodu (jeho rozměry, elektrické a magnetické parametry jsou ve směru přenosu elektromagnetické energie neměnné) s obdélníkovým průřezem Budeme přitom předpokládat, že vlnovod je vyroben z dokonalého elektrického vodiče, uvnitř kterého je vzduch Připomeňme, že vlnovodem se šíří vlny příčně elektrické (transversally electric, TE) a vlny příčně magnetické (transversally magnetic, TM) Rozložení vidů TE je jednoznačně určeno rozložením podélné složky intenzity magnetického pole H z a rozložení vidů TM jednoznačně určuje rozložení podélné složky intenzity pole elektrického E z Umístění vlnovodu do kartézského souřadného systému je naznačeno na obr a Všechna odvození vykonáme pouze pro příčně magnetickou vlnu (tj pro složku pole E z ), neboť pro vlny TE jsou odvození obdobná Vyjděme z první a druhé Maxwellovy rovnice Předpokládejme, že budicí proudy jsou nulové (pole analyzujeme ve velké vzdálenosti od zdrojů) Uvažme, že amplituda pole se mění jen ve směrech x a y (v těchto směrech vznikají stojaté vlny v důsledku odrazů šířících se vln od stěn vlnovodu) Dále uvažme, že vlnovodem se ve směru z šíří netlumená vlna, takže amplituda intenzity pole zůstává v tomto směru konstantní a mění se jen fáze vlny E z x y, z Ex, yexp j z, ; () je fázová konstanta (konstanta šíření) vlny ve vlnovodu Fázová konstanta udává, o kolik radiánů se změní fáze vlny na jednom metru vedení Po určitých matematických úpravách dospějeme ke vztahu E x E y k E, () kde k = značí vlnové číslo ve volném prostoru vakuu ( je permeabilita vakua, je jeho permitivita) a zbytek symbolů má stejný význam jako v předešlém Vztah () je vlnová rovnice, popisující šíření elektromagnetické vlny ve směru podélné osy vlnovodu z Parciální derivace intenzity pole v příčných směrech x a y vyjadřují skutečnost, že amplituda intenzity se v příčném průřezu vlnovodu mění Je to dáno skládáním vln odražených od stěn vlnovodu a vznikem stojatého vlnění v příčném průřezu Vlnovou rovnici můžeme řešit dvěma způsoby: - -

2 Vlnovod analyzujeme na zadaném kmitočtu Můžeme tedy vypočíst vlnové číslo k Neznámými zůstávají v rovnici () rozložení pole v příčném průřezu E a konstanta šíření vlny Vlnovod analyzujeme pro zadanou konstantu šíření Pokud do () dosadíme = (vlna se vlnovodem ještě nešíří), budou výsledkem analýzy kritická vlnová čísla (a tudíž kritické kmitočty) a příčné rozložení pole vidů, které se vlnovodem mohou šířit Kritickým kmitočtem je frekvence, od níž výše vlna vlnovodem prochází Pokud je kmitočet nižší nežli kritický, odráží se energie elektromagnetické vlny zpět ke zdroji V dalším popisu se soustředíme na druhý případ, tj budeme řešit rovnici E x E y k E (3) Metoda konečných prvků je obecná numerická metoda pro řešení parciálních diferenciálních rovnic Jelikož (3) je parciální diferenciální rovnicí, můžeme metodu konečných prvků k analýze pole ve vlnovodu použít Obr Levý dolní roh obdélníkového vlnovodu v kartézském souřadném systému (vlevo) Obecný trojúhelníkový konečný prvek (vpravo) Čísla konečných prvků jsou uvedena v kulatých závorkách, globální uzly jsou vyznačeny červeně, lokální modře Základní postup při výpočtu rozložení pole pomocí metody konečných prvků lze shrnout do několika kroků: Profil vlnovodu rozdělíme na konečné prvky (obr ) V případě podélně homogenního vlnovodu rozdělíme profil na malé trojúhelníky, je tzv konečné prvky Vrcholy trojúhelníků nazýváme uzly Rozlišujeme přitom mezi uzly lokálními (číslujeme je pro každý konečný prvek zvlášť) a uzly globálními (společné vrcholy trojúhelníků) Rozložení podélné složky intenzity elektrického pole formálně aproximujeme nad každým konečným prvkem lineární, kvadratickou nebo kubickou funkcí Součtem aproximací nad všemi konečnými prvky, na něž je průřez vlnovodu rozdělen, získáme rozložení pole v celém průřezu vlnovodu e M x y E N x, y, (4) m m Ve vztahu (4) je E m prozatím neznámá hodnota podélné složky intenzity pole v m- tém uzlu a N m je známá bázová funkce V případě lineární aproximace se jedná o jehlan, m

3 který nabývá jednotkové hodnoty v uzlu m a hodnoty nulové ve všech ostatních uzlech (viz obr ) Obr Lineární bázová funkce pro globální uzel m, společný šesti trojúhelníkovým konečným prvkům Formální aproximací rozumíme skutečnost, že funkce je vyjádřena pomocí neznámých hodnot intenzity v uzlech a pomocí známých bázových funkcí (lineárních, kvadratických, kubických) Každá bázová funkce nabývá jednotkové hodnoty v jednom uzlu a nulové hodnoty v uzlech ostatních Aproximace (4) je formálně jednou rovnicí pro M neznámých uzlových hodnot E m (prostorové vzorky intenzity elektrického pole) 3 Formální aproximaci dosadíme do výchozího vztahu, tj do řešené rovnice (3) Jelikož aproximace díky své přibližnosti nesplňuje řešenou rovnici zcela přesně, musíme k našemu vztahu přičíst chybovou funkci (tzv reziduum) e x x y ex, y, k y Čím menší je reziduum, tím přesnější je aproximace e x, y Rx, y (5) 4 Reziduum minimalizujeme metodou vážených reziduí Tato metoda spočívá v postupném násobení rezidua vhodnými váhovými funkcemi a v integrování těchto součinů přes celý profil analyzovaného vlnovodu Zvolíme-li za váhové funkce bázové funkce všech uzlů, v nichž neznáme hodnotu intenzity, dostaneme M rovnic pro M neznámých B A R x, yn x, ydx dy, m,, M m, (6) Popsaná volba váhových funkcí je nazývána Galerkinovou metodou Ve vztahu (6) značí A šířku vlnovodu a B je výška vlnovodu (integrujeme přes celý příčný průřez) Do (6) dosadíme za reziduum levou stranu vztahu (5), přičemž aproximace pole e( x, y) je brána z (4) Postupným dosazením M bázových funkcí do (6) dostaneme soustavu M lineárních funkcí pro M neznámých uzlových hodnot intenzity E m Integrály a derivace bázových funkcí totiž můžeme vyčíslit, takže z nich vznikají známé reálné koeficienty 5 Vyřešíme maticovou rovnici, kterou dostaneme jako výsledek Galerkinovy metody kde SE k TE, (7) - 3 -

4 E E E T E (8) M je sloupcový vektor neznámých uzlových hodnot pole Maticová rovnice (7) je tzv zobecněný problém vlastních čísel Výsledkem jejího řešení je vektor vlastních čísel (vektor kvadrátů kritických vlnových čísel jednotlivých vidů) a matice vlastních vektorů (sloupce odpovídají uzlovým hodnotám podélných složek intenzit jednotlivých vidů) 6 Dosazením uzlových hodnot do formální aproximace získáme aproximační funkci hledané podélné složky intenzity v každém bodě profilu analyzovaného vlnovodu Z podélné složky intenzity můžeme vypočíst všechny ostatní složky vektorů intenzity elektrického i magnetického pole Při praktických výpočtech metodou konečných prvků postupujeme poněkud odlišně V literatuře jsou totiž k dispozici již hotové matice koeficientů pro normovaný konečný prvek Stačí nám vzít tyto matice koeficientů, upravit je pro naše konkrétní prvky a spojit tyto matice společně s konečnými prvky do sítě Celou proceduru lze opět popsat v několika krocích: Profil vlnovodu rozdělíme na konečné prvky Tento úkol je naprosto shodný s předchozím postupem V literatuře nalezneme vztahy pro výpočet koeficientů jednotlivých konečných prvků (výsledek derivování a integrování součinu bázových a váhových funkcí) Dosazením plochy e-tého konečného prvku A (e) (e) a úhlů n u n-tého vrcholu e-tého trojúhelníkového prvku (viz obr ) do těchto vztahů dostaneme koeficienty pro naše konkrétní prvky Vztahy pro matice koeficientů lineární aproximace následují: kde e e A T, (9) e 3 e S Q cotg, () n= n n Q Q Q3 3 Sestavíme diagonální matice pro "izolované" konečné prvky, tj pro prvky dosud nespojené do sítě (symboly značí nulové matice o rozměrech 33) S T ~ S ~ T S T, () 3 3 S T kde jednotlivé submatice S (e) a T (e) vyčíslíme ze vztahů (9), () dosazením plochy a úhlů jednotlivých konečných prvků 4 Sestavíme vazební matici, která určuje vzájemný vztah mezi lokálními uzly (modrá čísla v obr ) a uzly globálními (červená čísla v obr ) Sloupce matice

5 odpovídají globálním uzlům, řádky matice uzlům lokálním Pokud má být lokální uzel přidružen k příslušnému uzlu globálnímu, napíšeme do řádku odpovídajícího číslu lokálního uzlu ve sloupci odpovídajícím uzlu globálnímu hodnotu V opačném případě je hodnota prvku matice nulová Pro uzly z obr by vazební matice vypadala následovně: 6 7 C = Správnost sestavení sdružovací matice C lze do jisté míry kontrolovat: Na každém řádku matice C se musí vyskytovat právě jedna jednička Každý lokální uzel je totiž svázán s právě jedním uzlem globálním Ve sloupcích matice C je právě tolik jedniček, kolik lokálních uzlů je sdružováno do uzlu globálního V našem příkladě tedy budou dvě jedničky v prvém sloupci, neboť do prvního globálního uzlu sdružujeme první a patnáctý uzel lokální V případě naší diskretizační sítě (obr ) je nejmenší počet jedniček ve sloupci roven jedné (uzel v pravém dolním rohu) a největší počet jedniček je roven šesti (např globální uzel 7 v obr sdružuje šest uzlů lokálních) 5 Sdružíme nezávislé konečné prvky do propojené sítě elementů Matematicky tomu odpovídají následující maticová operace: S C T~ T ~ S C, T C T C () 6 Aproximace pole e(x, y) vyjadřuje prostorové rozložení podélné složky vektoru elektrické intenzity v průřezu analyzovaného vlnovodu Tato složka musí být nulová na všech dokonale elektricky vodivých plochách (tzv Dirichletova okrajová podmínka) To se ve výsledných maticích koeficientů projeví tak, že vynecháme všechny řádky a všechny sloupce odpovídající globálním uzlům, jež se nacházejí na elektricky vodivých stěnách Pokud se ve struktuře nacházejí dokonale magneticky vodivé stěny, musí na nich pole splňovat tzv Neumannovu okrajovou podmínku Naše metoda splňuje Neumannovu podmínku automaticky, takže přítomnost těchto stěn se v maticích koeficientů nijak neprojeví - 5 -

6 Pokud bychom počítali příčně elektrické vidy (hledáme prostorové rozložení podélné složky vektoru magnetické intenzity v příčném průřezu vlnovodu), bude situace podobná Na dokonale magneticky vodivých stěnách musí pole splňovat tzv Dirichletovu podmínku (vynecháváme řádky a sloupce odpovídající globálním uzlům ležícím na magneticky vodivých stěnách), na dokonale elektricky vodivých stěnách musí být splněna podmínka Neumannova (aproximace pole ji splňuje automaticky) 7 Vyřešením maticové rovnice (je stejná jako u dříve popsaného postupu) SE k TE (3) získáme kritická vlnová čísla jednotlivých vidů k a uzlové hodnoty intenzity elektrického pole E těchto vidů Dosazením uzlových hodnot do formální aproximace získáme aproximační funkci hledané podélné složky intenzity v každém bodě profilu analyzovaného vlnovodu Tím je analýza pomocí metody konečných prvků hotova V následující podkapitole si popíšeme, jak lze vše naprogramovat v MATLABu Modelování vlnovodů v MATLABu Program pro analýzu obdélníkového vlnovodu začíná generováním diskretizační sítě sestávající z pravoúhlých trojúhelníkových prvků a = 86e-3; b = 6e-3; dx = ones(,nx) * (a/nx); dy = ones(,ny) * (b/ny); % šířka vlnovodu % výška vlnovodu % vektor vodorovných rozměrů koneč prvků % vektor svislých rozměrů koneč prvků V pomocné proměnné a je uložena informace o šířce vlnovodu a v proměnné b informace o jeho výšce, vstupní proměnné Nx a Ny popisovaného m-souboru obsahují informaci o počtu obdélníkových dvojprvků ve směrech os x a y Ve vektoru dx jsou uloženy vodorovné rozměry dvojprvků zleva doprava, vektor dy obsahuje svislé rozměry dvojprvků zdola nahoru V našem výpisu je vodorovný rozměr všech dvojprvků stejný (a/nx) a svislý rozměr dvojprvků se rovněž nemění (b/ny) V následném programovém bloku sestavíme matice koeficientů pro izolované konečné prvky V podstatě implementujeme vztahy (36) až (38): Q = [ ; -; - ] / ; Q3 = [ - ; - ; ] / ; Te = [ ; ; ] /; N = * Nx * Ny; St = sparse( 3*N, 3*N); Tt = sparse( 3*N, 3*N); n = ; for ny=:ny for nx=:nx n = n + ; lw = 3*n-; hg = 3*n; % celkový počet kp % matice pro izolované kp % matice pro dolní kp Dvojprvkem rozumíme dvojici pravoúhlých trojúhelníků, z nichž první leží na odvěsně a druhý k jeho přeponě přiléhá svou vlastní přeponou Na obr první dvojprvek sestává z prvků () + (5), druhý dvojprvek je tvořen prvky () + (6)

7 St(lw:hg,lw:hg) = Q * dx(nx)/dy(ny) + Q3 * dy(ny)/dx(nx); Tt(lw:hg,lw:hg) = Te * dx(nx)*dy(ny)/; St(lw+3*Nx:hg+3*Nx,lw+3*Nx:hg+3*Nx) = St(lw:hg,lw:hg); Tt(lw+3*Nx:hg+3*Nx,lw+3*Nx:hg+3*Nx) = Tt(lw:hg,lw:hg); end % matice pro horní kp n = n + Nx; end Vzhledem k tomu, že matice S (e) a T (e) jsou pro oba konečné prvky jednoho společného dvojprvku identické, vypočteme matice pro dolní prvek a výsledek zkopírujeme na pozici odpovídající hornímu prvku v dvojici V následném kroku musíme vytvořit sdružovací matici C: C = get_c( Nx, Ny, N) V našem programu tento úkol plní speciální m-soubor get_c Jeho vstupními parametry jsou počet dvojprvků v ose x (Nx), počet dvojprvků v ose y (Ny) a celkový počet konečných prvků, na něž je struktura rozdělena (N) V dalším kroku naprogramujeme vztahy (), které sloučí izolované lokální prvky do celistvé diskretizační sítě S = C'*St*C; T = C'*Tt*C; V předposledním kroku vypustíme z matic S a T ty řádky a sloupce, které odpovídají globálním uzlům ležícím na dokonale elektricky vodivých stěnách (stínicí vlnovod, páskový vodič) Poté již stačí řešit problém vlastních čísel (3): [E,K] = eig( S, T); Solver zobecněného problém vlastních čísel je v MATLABu implementován v m-souboru eig Vstupními parametry jsou matice koeficientů S a T, výstupními parametry jsou matice E a diagonální matice K Na diagonále matice K se nacházejí vypočtená vlastní čísla (kvadráty kritických vlnových čísel vidů) Ve sloupcích matice E jsou uloženy odpovídající vlastní vektory (uzlové hodnoty testovacího pole) První vlastní vektor (první sloupec matice E) je svázán s prvním vlastním číslem (prvek, matice K) atd Tím je program pro analýzu testovací struktury hotov Výsledky, které pomocí programu získáme, jsou uvedeny v obr 3 Program vypočetl pro rozdělení obdélníkového průřezu vlnovodu na dvojprvků ve směru x a na dvojprvků ve směru y tři nejnižší vidy TE (rozložení podélné složky intenzity magnetického pole H z v průřezu vlnovodu, z matic S a T nebyly vyňaty žádné řádky a sloupce) a tři nejnižší vidy TM (rozložení podélné složky intenzity elektrického pole E z v průřezu vlnovodu, z matic S a T byly vyňaty ty řádky a sloupce, které odpovídají globálním uzlům na vodivých stěnách vlnovodu) V hlavičce každého obrázku jsou porovnávány hodnoty kritického vlnového čísla vypočteného numericky metodou konečných prvků kn s hodnotami vypočtenými analyticky ka podle vztahu k a m A n B, (4) kde A je šířka vlnovodu a B je jeho výška Celočíselné konstanty m a n jsou vidová čísla, která udávají počet půlvln stojatého vlnění ve směrech x a y Chceme-li vypočíst kritické kmitočty jednotlivých vidů, použijeme k přepočtu vztah - 7 -

8 kde c je rychlost světla ve volném prostoru (vakuu) f a c ka, (5) Obr 3 Tři nejnižší vidy příčně elektrické TE, TE, TE (vlevo, rozložení podélné složky intenzity magnetického pole H z ) a tři nejnižší vidy příčně magnetické TM, TM, TM 3 (vpravo, rozložení podélné složky intenzity elektrického pole E z ) Z porovnání analyticky vypočtených kritických vlnových čísel ka a kritických vlnových čísel produkovaných metodou konečných prvků kn vyplývá velmi dobrá shoda Shoda se zhoršuje u vyšších vidů (větší počet půlvln, tj vyšší prostorové kmitočty vzorkujeme pořád se stejným prostorovým krokem) Shoda u vidů TE (nevypouštěli jsme z matic žádné řádky a sloupce) je lepší nežli u vidů TM (vypouštěli jsme z matic řádky a sloupce, odpovídající globálním uzlům na vodivém plášti vlnovodu)

9 Přesnost výsledků by vzrostla, pokud bychom rozdělili příčný průřez vlnovodu na vyšší počet konečných prvků Na druhou stranu by tím došlo ke zvýšení výpočetních nároků na vykonání programu - 9 -