Šroubovice Definice Šroubovice je křivka generovaná bodem A, který se otáčí kolem dané přímky o a zároveň se posouvá podél této přímky, oboje rovnoměrnou rychlostí. Pohyb bodu A šroubový pohyb Přímka o osa šroubového pohybu Válcová šroubovice vytvářející bod A je v konstantní vzdálenosti od osy o. Kuželová šroubovice vzdálenost bodu A se lineárně mění. 1
Pravotočivá Smysl otáčení Levotočivá Aplikace architektura a stavitelství - schodiště elektrotechnika zesilovače, kabely, topné spirály biologie zvířecí rohy, stonky popínavých rostlin, honící se veverky Pravotočivá šroubovice: strojírenství - standardní šrouby, matice, vruty (kde se otáčivý pohyb mění na posuvný nebo obráceně) lékařství - molekula DNA 2
Guggenheim Museum, New York Kuželová šroubovice Divadlo Spirála, Praha Sférická šroubovice 3
Válcová šroubovice Závit část šroubovice vzniklá při otočení o úhel 2p Výška závitu v velikost posunutí při otočení o úhel 2p Redukovaná výška závitu v o velikost posunutí při otočení o úhel 1 rad Určení šroubovice Jednoznačné zadání šroubovice: osa o, typ pohybu, bod A, v nebo v o 4
Závislost rovnoměrných pohybů Posunutí Rozvinutí lineární závislost délky posunutí na úhlu otočení Nárys sinusoida Otáčení Půdorys kružnice Vztah mezi v a v o : v=2πv o Rozvinutím šroubovice je úsečka, proto je délka jednoho závitu šroubovice l s v 2 2p r 2 Konstrukce v Mongeově promítání Př.ČE-KO: PŘ s.118: Sestrojte jeden závit pravotočivé šroubovice (alespoň devět bodů), která je dána osou o, o 1 = [0, 6, 0], bodem A = [4, 6, 0] a v=8. 1. Půdorys = k(o 1, r) 2. Výpočet: 9 bodů => 8 kroků závit=> pro 360 je dáno v=8cm 360 /8 odpovídá 8cm/8 5
Tečna šroubovice Šroubovice je křivka konstantního spádu (tečny svírají s osou konstantní úhel). Vlastnosti Jestliže posuneme všechny tečny šroubovice do jednoho bodu vytvoří rotační kuželovou plochu zvanou řídící kuželová plocha šroubovice. Řídící kužel: Vrchol V o Výška kužele = v 0 Podstava = s 1 V s 1 Věta: Ke každé tečně t šroubovice existuje přímka kuželové ploše taková, že: je rovnoběžná s t prochází bodem V, V o, OV = v 0. t t t na řídící 6
Konstrukce V 2 V 1 Pravotočivá Př.ČE-KO: PŘ s.118: V bodě T, z T = 7, sestrojte tečnu šroubovice. Postup: 1. v 0, V, 2. t 1, t 1 3. směr t 2, 4. t 2. t 2 Řídicí kužel: v 0,V o s 1 Bodová funkce X(t) = [x(t); y(t); z(t)], t I Půdorys (v rovině p(x,y)): Kružnice se středem o 1 a poloměrem r x(t) = r cos(t) + o X, y(t) = r sin(t) + o Y, t <0,2π>, o 1 = [o X,o Y,0]. Nárys: lineární závislost délky posunutí na úhlu otočení lineární funkce délka posunutí o 1 rad = v 0 délka posunutí o t rad = v 0 t z(t) = v 0 t + startovní výška 7
Př.ČE-KO: PŘ s.118: Napište bodovou funkci jednoho závitu zadané šroubovice a určete bodovou funkci tečny této šroubovice v bodě Q. o 1 = [o X, o Y, 0] = [0, 6, 0] a r = A, o = 4; Q = X(π/2) x(t) = 4cos(t), y(t) = 4sin(t) + 6, t <0,2π>, v = 2πv 0, z(t) = 4t/π, z A =0 startovní výška =0 X(t) = [4cos(t), 4sin(t) + 6, 4t/π],t t = 0 [4, 6, 0] = A t = π/2 [0, 10, 2] Tečna Y(s) šroubovice dané X(t) = [x(t); y(t); z(t)] v bodě Q=X(t 0 ): Y ( s) Q st, s R X ( t ) t 0 <0,2π>. 8
Bodová funkce - shrnutí X t) [ r cos t ox, r sin t o t 0,2p ( y 0 X t) [ r sin t ox, r cost o t 0,2p ( y 0, v t c],, v t c], Obecně jeden závit: t <0,2p>. r poloměr o 1 = [o X,o Y,0]..umístění osy c...výška zadaného tvořícího bodu Př. Určete bodovou funkci poloviny závitu levotočivé šroubovice, která je dána osou o, o 1 = [-3, 5, 0], bodem A = [-3, 2, 2] a v=20. Př. Sestrojte šroubovici (alespoň 7 bodů) danou bodovou funkcí 9 X ( t) [5 5cost,6 5sin t,1 t], t 0, p. p Konstrukce ze zadané bodové funkce X ( t) [ r cos t ox, r sin t oy, v0t c], t 0,2p 1. osa o kolmá k půdorysně, o [ o x, o,0] 1 y 2. poloměr válcové plochy r 3. bod A šroubovice (parametr c) A X (0) 4. bod B šroubovice (orientace) p B X 2 5. výška závitu v v 2p v 0 6. zobrazení šroubovice 1 závit 9
Šroubové plochy Definice Šroubová plocha vzniká šroubovým pohybem křivky (nebo plochy). SHOW Každým bodem šroubové plochy prochází => jedna šroubovice a jedna poloha šroubované tvořící křivky. 10
Určení plochy 1. Šroubový pohyb (osa, směr, v nebo v 0 ) 2. Tvořící křivka k Přímkové šroubové plochy přehled v Monge Přímé (pravoúhlé) Šikmé (kosé) 11
Přímkové šroubové plochy Přímý šroubový konoid helikoid Šroubové schodiště ( plocha schodová ) Zemní vrták Přímkové šroubové plochy Přímý šroubový konoid helikoid Šroubové dopravníky 12
Přímkové šroubové plochy Přímá šroubová plocha otevřená Turning Torso Malmö, Švédsko Santiago Calatrava (2001-2005) Přímkové šroubové plochy Přímá šroubová plocha otevřená svidřík Plocha vzniklá šroubovým pohybem čtverce (obsahuje 4 plochy tohoto typu). 13
Přímkové šroubové plochy Šikmá šroubová plocha uzavřená- Vývrtková plocha Nebozez, vrták, Withwordův závit. Přímkové šroubové plochy Šikmá šroubová plocha otevřená Schodiště, zastřešení schodišť. Dostavba Louvre - Paříž Ieoh Ming Pei 14
Přímkové šroubové plochy Plocha tečen šroubovice - Šikmá šroubová plocha otevřená Jediná rozvinutelná šroubová plocha Cyklické šroubové plochy Plocha sv. Jiljí Meridián = kružnice. Skluzavky, klenby, zastřešení schodiště, vrtáky, Withwordův závit. 15
Cyklické šroubové plochy Vinutý sloupek Příčný profil = kružnice Zdobení, skluzavky. Cyklické šroubové plochy Archimédova serpentina Kružnice v normálové rovině 16
Kanálové plochy Archimédova Serpentina Pružiny, kuličková ložiska Skluzavky 17