Užití rovnic a jejich soustav při řešení slovních úloh (11. - 12. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 15. září 2011
Příklad 1 Příklad 1 Na schodišti vysokém 3,6 m by se počet schodů zvětšil o tři, kdyby se výška jednoho schodu zmenšila o 4 cm. Kolik schodů má schodiště? Jak jsou schody vysoké?
Příklad 1 Příklad 1 Na schodišti vysokém 3,6 m by se počet schodů zvětšil o tři, kdyby se výška jednoho schodu zmenšila o 4 cm. Kolik schodů má schodiště? Jak jsou schody vysoké? Řešení: výška schodu...... x cm počet schodů...... y ks x 360 x x x
Příklad 1 Příklad 1 Na schodišti vysokém 3,6 m by se počet schodů zvětšil o tři, kdyby se výška jednoho schodu zmenšila o 4 cm. Kolik schodů má schodiště? Jak jsou schody vysoké? Řešení: výška schodu...... x cm počet schodů...... y ks x 360 x x x Soustava: x y = 360 (x 4) (y + 3) = 360
Příklad 1 x y = 360 (x 4) (y + 3) = 360
Příklad 1 x y = 360 (x 4) (y + 3) = 360 x = 360 y xy + 3x 4y 12 = 360
Příklad 1 x y = 360 (x 4) (y + 3) = 360 x = 360 y xy + 3x 4y 12 = 360 360 + 1080 y 4y 12 = 360
Příklad 1 x y = 360 (x 4) (y + 3) = 360 x = 360 y xy + 3x 4y 12 = 360 360 + 1080 y 4y 12 = 360 1080 4y 2 y = 12
Příklad 1 x y = 360 (x 4) (y + 3) = 360 x = 360 y xy + 3x 4y 12 = 360 360 + 1080 y 4y 12 = 360 1080 4y 2 y = 12 / y 4y 2 12y + 1080 = 0
Příklad 1 x y = 360 (x 4) (y + 3) = 360 x = 360 y xy + 3x 4y 12 = 360 360 + 1080 y 4y 12 = 360 1080 4y 2 y = 12 / y 4y 2 12y + 1080 = 0 / : ( 4) y 2 + 3y 270 = 0
Příklad 1 x y = 360 (x 4) (y + 3) = 360 x = 360 y xy + 3x 4y 12 = 360 360 + 1080 y 4y 12 = 360 1080 4y 2 y = 12 / y 4y 2 12y + 1080 = 0 / : ( 4) y 1 = 18 y 2 + 3y 270 = 0 nevyhovuje zadání úlohy y 2 = 15 x = 360 15 = 24
Příklad 1 x y = 360 (x 4) (y + 3) = 360 x = 360 y xy + 3x 4y 12 = 360 360 + 1080 y 4y 12 = 360 1080 4y 2 y = 12 / y 4y 2 12y + 1080 = 0 / : ( 4) y 1 = 18 y 2 + 3y 270 = 0 nevyhovuje zadání úlohy y 2 = 15 x = 360 15 = 24 Schodiště má 15 schodů o výšce 24 cm.
Příklad 2 Příklad 2 Jana měla vypočítat 70 úloh. Kdyby denně vyřešila o dvě více, než si naplánovala, skončila by o 4 dny dříve. Za kolik dní chtěla původně všechny úlohy vypočítat?
Příklad 2 Příklad 2 Jana měla vypočítat 70 úloh. Kdyby denně vyřešila o dvě více, než si naplánovala, skončila by o 4 dny dříve. Za kolik dní chtěla původně všechny úlohy vypočítat? Řešení: počet úloh na den...... x počet dní.............. y
Příklad 2 Příklad 2 Jana měla vypočítat 70 úloh. Kdyby denně vyřešila o dvě více, než si naplánovala, skončila by o 4 dny dříve. Za kolik dní chtěla původně všechny úlohy vypočítat? Řešení: počet úloh na den...... x počet dní.............. y Soustava: x y = 70 (x + 2) (y 4) = 70
Příklad 2 x y = 70 (x + 2) (y 4) = 70
Příklad 2 x y = 70 (x + 2) (y 4) = 70 x = 70 y xy 4x + 2y 8 = 70
Příklad 2 x y = 70 (x + 2) (y 4) = 70 x = 70 y xy 4x + 2y 8 = 70 70 280 y + 2y 8 = 70
Příklad 2 x y = 70 (x + 2) (y 4) = 70 x = 70 y xy 4x + 2y 8 = 70 70 280 y + 2y 8 = 70 / y 70y 280 + 2y 2 8y 70y = 0
Příklad 2 x y = 70 (x + 2) (y 4) = 70 x = 70 y xy 4x + 2y 8 = 70 70 280 y + 2y 8 = 70 / y 70y 280 + 2y 2 8y 70y = 0 2y 2 8y 280 = 0
Příklad 2 x y = 70 (x + 2) (y 4) = 70 x = 70 y xy 4x + 2y 8 = 70 70 280 y + 2y 8 = 70 / y 70y 280 + 2y 2 8y 70y = 0 2y 2 8y 280 = 0 / : 2 y 2 4y 140 = 0
Příklad 2 x y = 70 (x + 2) (y 4) = 70 x = 70 y xy 4x + 2y 8 = 70 70 280 y + 2y 8 = 70 / y 70y 280 + 2y 2 8y 70y = 0 2y 2 8y 280 = 0 / : 2 y 1 = 10 y 2 4y 140 = 0 nevyhovuje zadání úlohy y 2 = 14 x = 70 14 = 5
Příklad 2 x y = 70 (x + 2) (y 4) = 70 x = 70 y xy 4x + 2y 8 = 70 70 280 y + 2y 8 = 70 / y 70y 280 + 2y 2 8y 70y = 0 2y 2 8y 280 = 0 / : 2 y 1 = 10 y 2 4y 140 = 0 nevyhovuje zadání úlohy y 2 = 14 x = 70 14 = 5 Všechny úlohy chtěla původně vypočítat za 14 dní.
Příklad 3 Příklad 3 Malý Pavel skládal kostky stavebnice (kostka má tvar krychle). Chtěl postavit velkou krychli. Zbylo mu však 75 kostek, proto hranu zvětšil o jednu kostku. Potom mu ale 16 kostek chybělo. Kolik kostek měl ve stavebnici?
Příklad 3 Příklad 3 Malý Pavel skládal kostky stavebnice (kostka má tvar krychle). Chtěl postavit velkou krychli. Zbylo mu však 75 kostek, proto hranu zvětšil o jednu kostku. Potom mu ale 16 kostek chybělo. Kolik kostek měl ve stavebnici? Řešení: počet kostek celkem.............. x kusů počet kostek v hraně krychle...... y kusů objem krychle: V = a 3
Příklad 3 Příklad 3 Malý Pavel skládal kostky stavebnice (kostka má tvar krychle). Chtěl postavit velkou krychli. Zbylo mu však 75 kostek, proto hranu zvětšil o jednu kostku. Potom mu ale 16 kostek chybělo. Kolik kostek měl ve stavebnici? Řešení: počet kostek celkem.............. x kusů počet kostek v hraně krychle...... y kusů objem krychle: V = a 3 Soustava: y 3 + 75 = x (y + 1) 3 16 = x
Příklad 3 y 3 + 75 = x (y + 1) 3 16 = x
Příklad 3 y 3 + 75 = x (y + 1) 3 16 = x y 3 + 75 = x y 3 + 3y 2 + 3y + 1 16 = x
Příklad 3 y 3 + 75 = x (y + 1) 3 16 = x y 3 + 75 = x y 3 + 3y 2 + 3y + 1 16 = x y 3 + 3y 2 + 3y 15 = y 3 + 75
Příklad 3 y 3 + 75 = x (y + 1) 3 16 = x y 3 + 75 = x y 3 + 3y 2 + 3y + 1 16 = x y 3 + 3y 2 + 3y 15 = y 3 + 75 3y 2 + 3y 90 = 0
Příklad 3 y 3 + 75 = x (y + 1) 3 16 = x y 3 + 75 = x y 3 + 3y 2 + 3y + 1 16 = x y 3 + 3y 2 + 3y 15 = y 3 + 75 3y 2 + 3y 90 = 0 / : 3 y 2 + y 30 = 0
Příklad 3 y 3 + 75 = x (y + 1) 3 16 = x y 3 + 75 = x y 3 + 3y 2 + 3y + 1 16 = x y 3 + 3y 2 + 3y 15 = y 3 + 75 3y 2 + 3y 90 = 0 / : 3 y 2 + y 30 = 0 y 1 = 6 nevyhovuje zadání úlohy y 2 = 5 x = 5 3 + 75 x = 200
Příklad 3 y 3 + 75 = x (y + 1) 3 16 = x y 3 + 75 = x y 3 + 3y 2 + 3y + 1 16 = x y 3 + 3y 2 + 3y 15 = y 3 + 75 3y 2 + 3y 90 = 0 / : 3 y 2 + y 30 = 0 y 1 y 2 = 5 x = 5 3 + 75 x = 200 Pavel měl ve stavebnici 200 kostek. = 6 nevyhovuje zadání úlohy
Příklad 4 Příklad 4 Zvětšíme-li jednu stranu obdélníku o 2 cm a druhou zmenšíme o 4 cm, zmenší se obsah obdélníku o 36 cm 2. Zvětšíme-li obě strany o 1 cm, bude obsah 143 cm 2. Určete původní rozměry obdélníku.
Příklad 4 Příklad 4 Zvětšíme-li jednu stranu obdélníku o 2 cm a druhou zmenšíme o 4 cm, zmenší se obsah obdélníku o 36 cm 2. Zvětšíme-li obě strany o 1 cm, bude obsah 143 cm 2. Určete původní rozměry obdélníku. Řešení: délka jedné strany...... x cm délka druhé strany...... y cm obsah obdélníku...... S = x y
Příklad 4 Příklad 4 Zvětšíme-li jednu stranu obdélníku o 2 cm a druhou zmenšíme o 4 cm, zmenší se obsah obdélníku o 36 cm 2. Zvětšíme-li obě strany o 1 cm, bude obsah 143 cm 2. Určete původní rozměry obdélníku. Řešení: délka jedné strany...... x cm délka druhé strany...... y cm obsah obdélníku...... S = x y Soustava: (x + 2) (y 4) = xy 36 (x + 1) (y + 1) = 143
Příklad 4 (x + 2) (y 4) = xy 36 (x + 1) (y + 1) = 143
Příklad 4 (x + 2) (y 4) = xy 36 (x + 1) (y + 1) = 143 xy 4x + 2y 8 = xy 36 xy + x + y + 1 = 143
Příklad 4 (x + 2) (y 4) = xy 36 (x + 1) (y + 1) = 143 xy 4x + 2y 8 = xy 36 xy + x + y + 1 = 143 4x + 2y + 28 = 0
Příklad 4 (x + 2) (y 4) = xy 36 (x + 1) (y + 1) = 143 xy 4x + 2y 8 = xy 36 xy + x + y + 1 = 143 4x + 2y + 28 = 0 y = 2x 14
Příklad 4 (x + 2) (y 4) = xy 36 (x + 1) (y + 1) = 143 xy 4x + 2y 8 = xy 36 xy + x + y + 1 = 143 4x + 2y + 28 = 0 y = 2x 14 x (2x 14) + x + (2x 14) + 1 = 143
Příklad 4 (x + 2) (y 4) = xy 36 (x + 1) (y + 1) = 143 xy 4x + 2y 8 = xy 36 xy + x + y + 1 = 143 4x + 2y + 28 = 0 y = 2x 14 x (2x 14) + x + (2x 14) + 1 = 143 2x 2 11x 156 = 0
Příklad 4 (x + 2) (y 4) = xy 36 (x + 1) (y + 1) = 143 xy 4x + 2y 8 = xy 36 xy + x + y + 1 = 143 4x + 2y + 28 = 0 y = 2x 14 x (2x 14) + x + (2x 14) + 1 = 143 x 1 = 13 2 x 2 = 12 2x 2 11x 156 = 0 nevyhovuje zadání úlohy y = 24 14 y = 10
Příklad 4 (x + 2) (y 4) = xy 36 (x + 1) (y + 1) = 143 xy 4x + 2y 8 = xy 36 xy + x + y + 1 = 143 4x + 2y + 28 = 0 y = 2x 14 x (2x 14) + x + (2x 14) + 1 = 143 x 1 = 13 2 x 2 = 12 2x 2 11x 156 = 0 nevyhovuje zadání úlohy y = 24 14 y = 10 Původní rozměry obdélníku byly 12 a 10 cm.
Příklad 5 Příklad 5 Jana je třikrát starší než Martin. Za pět let však bude jen dvakrát starší. Kolik let je nyní oběma dětem?
Příklad 5 Příklad 5 Jana je třikrát starší než Martin. Za pět let však bude jen dvakrát starší. Kolik let je nyní oběma dětem? Řešení: věk Martina...... x let věk Jany........ 3x let
Příklad 5 Příklad 5 Jana je třikrát starší než Martin. Za pět let však bude jen dvakrát starší. Kolik let je nyní oběma dětem? Řešení: věk Martina...... x let věk Jany........ 3x let Rovnice: 3x + 5 = 2 (x + 5)
Příklad 5 Příklad 5 Jana je třikrát starší než Martin. Za pět let však bude jen dvakrát starší. Kolik let je nyní oběma dětem? Řešení: věk Martina...... x let věk Jany........ 3x let Rovnice: 3x + 5 = 2 (x + 5) 3x = 2x + 10 5
Příklad 5 Příklad 5 Jana je třikrát starší než Martin. Za pět let však bude jen dvakrát starší. Kolik let je nyní oběma dětem? Řešení: věk Martina...... x let věk Jany........ 3x let Rovnice: 3x + 5 = 2 (x + 5) 3x = 2x + 10 5 x = 5, 3x = 15 Martinovi je 5 let a Janě 15 let.
Příklad 6 Příklad 6 Zvětšíme-li stranu čtverce, zvětší se obsah o 21 %. O kolik procent jsme zvětšili stranu čtverce?
Příklad 6 Příklad 6 Zvětšíme-li stranu čtverce, zvětší se obsah o 21 %. O kolik procent jsme zvětšili stranu čtverce? Řešení: strana čtverce...... x cm obsah čtverce...... S = x 2
Příklad 6 Příklad 6 Zvětšíme-li stranu čtverce, zvětší se obsah o 21 %. O kolik procent jsme zvětšili stranu čtverce? Řešení: strana čtverce...... x cm obsah čtverce...... S = x 2 Volíme např. x 1 = 5 cm, pak S 1 = 5 2 = 25 cm 2. 25 cm 2...... 100 % y cm 2...... 21 %
Příklad 6 Příklad 6 Zvětšíme-li stranu čtverce, zvětší se obsah o 21 %. O kolik procent jsme zvětšili stranu čtverce? Řešení: strana čtverce...... x cm obsah čtverce...... S = x 2 Volíme např. x 1 = 5 cm, pak S 1 = 5 2 = 25 cm 2. 25 cm 2...... 100 % y cm 2...... 21 % y = 21 100 25 = 5,25
Příklad 6 Příklad 6 Zvětšíme-li stranu čtverce, zvětší se obsah o 21 %. O kolik procent jsme zvětšili stranu čtverce? Řešení: strana čtverce...... x cm obsah čtverce...... S = x 2 Volíme např. x 1 = 5 cm, pak S 1 = 5 2 = 25 cm 2. 25 cm 2...... 100 % y cm 2...... 21 % y = 21 100 25 = 5,25 S 2 = 25 + 5,25 = 30,25 cm 2
Příklad 6 Příklad 6 Zvětšíme-li stranu čtverce, zvětší se obsah o 21 %. O kolik procent jsme zvětšili stranu čtverce? Řešení: strana čtverce...... x cm obsah čtverce...... S = x 2 Volíme např. x 1 = 5 cm, pak S 1 = 5 2 = 25 cm 2. 25 cm 2...... 100 % y cm 2...... 21 % y = 21 100 25 = 5,25 S 2 = 25 + 5,25 = 30,25 cm 2 x 2 = 30,25 = 5,5 cm
Příklad 6 5 cm...... 100 % 5,5 cm...... z %
Příklad 6 z = 100 5,5 5 5 cm...... 100 % 5,5 cm...... z % z = 110 % 110 % 100 % = 10 % Strana čtverce se zvětší o 10 %.
Příklad 7 Příklad 7 a) Cena zboží nejprve vzrostla o 20%, později klesla o 10%. O kolik procent se změnila původní cena vzhledem ke konečné ceně zboží? b) Cena zboží nejprve klesla o 10%, později vzrostla o 20%. O kolik procent se změnila původní cena vzhledem ke konečné ceně zboží? c) Jsou úlohy a), b) stejné?
Příklad 7 Příklad 7 a) Cena zboží nejprve vzrostla o 20%, později klesla o 10%. O kolik procent se změnila původní cena vzhledem ke konečné ceně zboží? b) Cena zboží nejprve klesla o 10%, později vzrostla o 20%. O kolik procent se změnila původní cena vzhledem ke konečné ceně zboží? c) Jsou úlohy a), b) stejné? Řešení: a) původní cena...... x...... 100%
Příklad 7 Příklad 7 a) Cena zboží nejprve vzrostla o 20%, později klesla o 10%. O kolik procent se změnila původní cena vzhledem ke konečné ceně zboží? b) Cena zboží nejprve klesla o 10%, později vzrostla o 20%. O kolik procent se změnila původní cena vzhledem ke konečné ceně zboží? c) Jsou úlohy a), b) stejné? Řešení: a) původní cena...... x...... 100% 1. změna...... 1,2 x...... 120%
Příklad 7 Příklad 7 a) Cena zboží nejprve vzrostla o 20%, později klesla o 10%. O kolik procent se změnila původní cena vzhledem ke konečné ceně zboží? b) Cena zboží nejprve klesla o 10%, později vzrostla o 20%. O kolik procent se změnila původní cena vzhledem ke konečné ceně zboží? c) Jsou úlohy a), b) stejné? Řešení: a) původní cena...... x...... 100% 1. změna...... 1,2 x...... 120% 2. změna...... 1,2 x 0,1 1,2 x = 1,08x...... 108%
Příklad 7 Příklad 7 a) Cena zboží nejprve vzrostla o 20%, později klesla o 10%. O kolik procent se změnila původní cena vzhledem ke konečné ceně zboží? b) Cena zboží nejprve klesla o 10%, později vzrostla o 20%. O kolik procent se změnila původní cena vzhledem ke konečné ceně zboží? c) Jsou úlohy a), b) stejné? Řešení: a) původní cena...... x...... 100% 1. změna...... 1,2 x...... 120% 2. změna...... 1,2 x 0,1 1,2 x = 1,08x...... 108% Původní cena vzrostla o 8%.
Příklad 7 b) původní cena...... x...... 100%
Příklad 7 b) původní cena...... x...... 100% 1. změna...... 0,9 x...... 90%
Příklad 7 b) původní cena...... x...... 100% 1. změna...... 0,9 x...... 90% 2. změna...... 0,9 x + 0,2 0,9 x = 1,08x...... 108%
Příklad 7 b) původní cena...... x...... 100% 1. změna...... 0,9 x...... 90% 2. změna...... 0,9 x + 0,2 0,9 x = 1,08x...... 108% Původní cena vzrostla o 8%.
Příklad 7 b) původní cena...... x...... 100% 1. změna...... 0,9 x...... 90% 2. změna...... 0,9 x + 0,2 0,9 x = 1,08x...... 108% Původní cena vzrostla o 8%. c) Úlohy a) a b) jsou stejné.
Příklad 8 Příklad 8 Petr a Pavel skládali uhlí. Petr by sám uhlí složil za 3 hodiny. Pavel by sám pracoval 2 hodiny. Za jak dlouho složí hromadu uhlí, pracují-li oba společně?
Příklad 8 Příklad 8 Petr a Pavel skládali uhlí. Petr by sám uhlí složil za 3 hodiny. Pavel by sám pracoval 2 hodiny. Za jak dlouho složí hromadu uhlí, pracují-li oba společně? Řešení: za 1 h za x h Petr sám za 3 h 1 3 práce x 3 práce Pavel sám za 2 h 1 2 práce x 2 práce
Příklad 8 Příklad 8 Petr a Pavel skládali uhlí. Petr by sám uhlí složil za 3 hodiny. Pavel by sám pracoval 2 hodiny. Za jak dlouho složí hromadu uhlí, pracují-li oba společně? Řešení: za 1 h za x h Petr sám za 3 h 1 3 práce x 3 práce Pavel sám za 2 h 1 2 práce x 2 práce x 3 + x 2 = 1
Příklad 8 Příklad 8 Petr a Pavel skládali uhlí. Petr by sám uhlí složil za 3 hodiny. Pavel by sám pracoval 2 hodiny. Za jak dlouho složí hromadu uhlí, pracují-li oba společně? Řešení: za 1 h za x h Petr sám za 3 h 1 3 práce x 3 práce Pavel sám za 2 h 1 2 práce x 2 práce x 3 + x 2 = 1 2x + 3x = 6
Příklad 8 Příklad 8 Petr a Pavel skládali uhlí. Petr by sám uhlí složil za 3 hodiny. Pavel by sám pracoval 2 hodiny. Za jak dlouho složí hromadu uhlí, pracují-li oba společně? Řešení: za 1 h za x h Petr sám za 3 h 1 3 práce x 3 práce Pavel sám za 2 h 1 2 práce x 2 práce x 3 + x 2 = 1 2x + 3x = 6 5x = 6
Příklad 8 Příklad 8 Petr a Pavel skládali uhlí. Petr by sám uhlí složil za 3 hodiny. Pavel by sám pracoval 2 hodiny. Za jak dlouho složí hromadu uhlí, pracují-li oba společně? Řešení: za 1 h za x h Petr sám za 3 h 1 3 práce x 3 práce Pavel sám za 2 h 1 2 práce x 2 práce x 3 + x 2 = 1 2x + 3x = 6 5x = 6 x = 6 5 = 1 h 12 min
Příklad 8 Příklad 8 Petr a Pavel skládali uhlí. Petr by sám uhlí složil za 3 hodiny. Pavel by sám pracoval 2 hodiny. Za jak dlouho složí hromadu uhlí, pracují-li oba společně? Řešení: za 1 h za x h Petr sám za 3 h 1 3 práce x 3 práce Pavel sám za 2 h 1 2 práce x 2 práce x 3 + x 2 = 1 2x + 3x = 6 5x = 6 x = 6 5 = 1 h 12 min Společně složí hromadu uhlí za 1 h 12 min.
Příklad 9 Příklad 9 Petr a Pavel skládali uhlí. Petr by sám uhlí složil za 3 hodiny. Pavel by sám pracoval 2 hodiny. a) Nejprve pracuje Petr sám půl hodiny, pak teprve přijde Pavel a zbytek uhlí složí společně. Za jak dlouho práci dokončí? b) Chlapci nejprve pracují společně 20 minut, potom Pavel odejde. Jak dlouho ještě bude muset Petr pracovat, aby zbytek hromady uhlí sklidil?
Příklad 9 Řešení: a) doba společné práce x hodin
Příklad 9 Řešení: a) doba společné práce x hodin za 1 h celkem práce Petr celkem pracuje ( x + 1 2) h 1 3 práce x+ 1 2 3 práce Pavel celkem pracuje x h 1 2 práce x 2 práce
Příklad 9 Řešení: a) doba společné práce x hodin za 1 h celkem práce Petr celkem pracuje ( x + 1 2) h 1 3 práce x+ 1 2 3 práce Pavel celkem pracuje x h 1 2 práce x 2 práce x+ 1 2 3 + x 2 = 1
Příklad 9 Řešení: a) doba společné práce x hodin za 1 h celkem práce Petr celkem pracuje ( x + 1 2) h 1 3 práce x+ 1 2 3 práce Pavel celkem pracuje x h 1 2 práce x 2 práce x+ 1 2 3 + x 2 = 1 2x+1 6 + x 2 = 1
Příklad 9 Řešení: a) doba společné práce x hodin za 1 h celkem práce Petr celkem pracuje ( x + 1 2) h 1 3 práce x+ 1 2 3 práce Pavel celkem pracuje x h 1 2 práce x 2 práce x+ 1 2 3 + x 2 = 1 2x+1 6 + x 2 = 1 / 6 2x + 1 + 3x = 6
Příklad 9 Řešení: a) doba společné práce x hodin za 1 h celkem práce Petr celkem pracuje ( x + 1 2) h 1 3 práce x+ 1 2 3 práce Pavel celkem pracuje x h 1 2 práce x 2 práce x+ 1 2 3 + x 2 = 1 2x+1 6 + x 2 = 1 / 6 2x + 1 + 3x = 6 5x = 5
Příklad 9 Řešení: a) doba společné práce x hodin za 1 h celkem práce Petr celkem pracuje ( x + 1 2) h 1 3 práce x+ 1 2 3 práce Pavel celkem pracuje x h 1 2 práce x 2 práce x+ 1 2 3 + x 2 = 1 2x+1 6 + x 2 = 1 / 6 2x + 1 + 3x = 6 Hromadu uhlí složí za 1 hodinu. 5x = 5 x = 1
Příklad 9 Řešení: b) doba společné práce 20 minut = 1 3 h
Příklad 9 Řešení: b) doba společné práce 20 minut = 1 3 h celkem práce Petr sám x h celkem ( x + 1 3) h x+ 1 3 3 práce Pavel celkem 1 3 h 1 3 2 práce
Příklad 9 Řešení: b) doba společné práce 20 minut = 1 3 h celkem práce Petr sám x h celkem ( x + 1 3) h x+ 1 3 3 práce Pavel celkem 1 3 h 1 3 2 práce x+ 1 3 3 + 1 3 2 = 1
Příklad 9 Řešení: b) doba společné práce 20 minut = 1 3 h celkem práce Petr sám x h celkem ( x + 1 3) h x+ 1 3 3 práce Pavel celkem 1 3 h 1 3 2 práce x+ 1 3 3 + 1 3 2 = 1 3x+1 9 + 1 6 = 1
Příklad 9 Řešení: b) doba společné práce 20 minut = 1 3 h celkem práce Petr sám x h celkem ( x + 1 3) h x+ 1 3 3 práce Pavel celkem 1 3 h 1 3 2 práce x+ 1 3 3 + 1 3 2 = 1 3x+1 9 + 1 6 = 1 / 18 2 (3x + 1) + 3 = 18
Příklad 9 Řešení: b) doba společné práce 20 minut = 1 3 h celkem práce Petr sám x h celkem ( x + 1 3) h x+ 1 3 3 práce Pavel celkem 1 3 h 1 3 2 práce x+ 1 3 3 + 1 3 2 = 1 3x+1 9 + 1 6 = 1 / 18 2 (3x + 1) + 3 = 18 6x = 13
Příklad 9 Řešení: b) doba společné práce 20 minut = 1 3 h celkem práce Petr sám x h celkem ( x + 1 3) h x+ 1 3 3 práce Pavel celkem 1 3 h 1 3 2 práce x+ 1 3 3 + 1 3 2 = 1 3x+1 9 + 1 6 = 1 / 18 2 (3x + 1) + 3 = 18 6x = 13 Hromadu uhlí složí za 2 h 10 min. x = 13 6 = 2 1 6 h = 2 h 10 min
Cvičení Cvičení 1. Zvětšením strany čtverce se zvětšil jeho obsah aspoň o 10,25 %. O kolik procent se zvětšila strana čtverce? 2. Šířka obdélníku je rovna 78 % jeho délky, obdélník má obsah 48 cm 2. Určete jeho rozměry. 3. Obdélník má obvod 28 cm a úhlopříčku 10 cm dlouhou. Určete rozměry obdélníku. 4. Obdélník má délku o 2 cm větší než šířku. Zvětšíme-li každý jeho rozměr o 10 cm, získáme obdélník s obsahem 1224 cm 2. Vypočítejte rozměry původního obdélníku. 5. Délky stran daného trojúhelníku jsou 13, 20 a 21 cm. Každou stranu máme zmenšit o stejnou délku, aby ze zkrácených stran bylo možno sestrojit pravoúhlý trojúhelník. O kolik cm budeme zkracovat? [ [ 1. [aspoň o 5 %], 2. 20 26 13 cm; 6 26 ] ] 5 cm, 3. [8 cm; 6 cm], 4. [24 cm; 26 cm], 5. [o 8 cm]
Cvičení Cvičení 6. Tětiva kružnice má od středu kružnice vzdálenost 8 cm a je o 2 cm větší než poloměr kružnice. Určete poloměr kružnice. 7. Pravoúhlý trojúhelník, jehož odvěsny mají velikosti v poměru 5 : 12, má přeponu 26 m. Jak velké jsou odvěsny? 8. Součet velikostí odvěsen pravoúhlého trojúhelníka je 35 cm a výška příslušná k přeponě má velikost 12 cm. Vypočítejte strany trojúhelníku. 9. Který mnohoúhelník má o 42 úhlopříček více než stran? 10. Jsou dány dva čtverce; rozdíl délek jejich stran je 3 cm a součet jejich obsahů je 65 cm 2. Určete délky stran čtverců. [6. [10 cm], 7. [10 m; 24 m], 8. [15 cm; 20 cm; 25 cm], 9. [12 úhelník], 10. [7 cm; 4 cm]]
Cvičení Cvičení 11. Rovnoramenný trojúhelník má rameno 13 cm dlouhé, součet délky základny a k ní příslušné výšky je 22 cm. Určete délku základny. 12. Pravoúhlý trojúhelník má přeponu dlouhou 17 cm. Zmenšíme-li obě odvěsny o 3 cm, zmenší se přepona o 4 cm. Určete délky odvěsen. [11. [10 cm nebo 25,2 cm], 12. [15 cm; 8 cm]]