Analytická geometrie ( lekce)
|
|
|
- Ivo Mareš
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Analytická geometrie ( lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 20. června 2011
2 Vektory Vektorový součin Vektorový součin dvou vektorů, které leží na jedné přímce, je nulový vektor. Vektorový součin dvou vektorů u, v neležících na jedné přímce je vektor w, který má tyto vlastnosti: 1 vektor w je kolmý k oběma vektorům u, v, 2 vektory u, v, w tvoří pravotočivou bázi, 3 w = u v sin α, kde α je úhel vektorů u, v. Vektorový součin w vektorů u, v značíme u v, tj. w = u v. Pro každé dva vektory u, v platí v u = u v.
3 Vektory Geometrickým významem čísla u v sin α je obsah rovnoběžníku P URV, kde v sin α je velikost výšky v tomto rovnoběžníku. V R v v sin α P α u U obsah rovnoběžníku: obsah trojúhelníku: S = w = u v sin α S = 1 2 w
4 Vektory vektory: u = (u 1, u 2, u 3 ), v = (v 1, v 2, v 3 ) u v = (u 2 v 3 u 3 v 2, u 3 v 1 u 1 v 3, u 1 v 2 u 2 v 1 ) Mnemotechnické pomůcky pro výpočet: 1. Souřadnice vektorů u, v napíšeme pod sebe: (u 1, u 2, u 3 ) (v 1, v 2, v 3 ) Nyní zakryjeme první souřadnice obou vrcholů a ke zbylé čtveřici čísel u 1 u 2 v 1 v 2 vypočítáme číslo u 2 v 3 u 3 v 2. Podobně zakrytím druhých souřadnic dostaneme u zbylé čtveřice čísel číslo u 1 v 3 u 3 v 1 a zakrytím třetích souřadnic dostaneme číslo u 1 v 2 u 2 v 1. Dostali jsme trojici čísel (u 2 v 3 u 3 v 2, u 1 v 3 u 3 v 1, u 1 v 2 u 2 v 1 ). Vidíme, že vynásobíme-li druhé číslo v trojici číslem 1, dostaneme souřadnice vektorového součinu u v.
5 Vektory vektory: u = (u 1, u 2, u 3 ), v = (v 1, v 2, v 3 ) u v = (u 2 v 3 u 3 v 2, u 3 v 1 u 1 v 3, u 1 v 2 u 2 v 1 ) 2. Souřadnice vektorů u, v zapíšeme do následujícího schématu: u 2 u 3 u 1 u 2 v 2 v 3 v 1 v 2 u 2v 3 v 2u 3 u 3v 1 v 3u 1 u 1v 2 v 1u 2 Ve třetím řádku jsou souřadnice vektorového součinu u v. Při výpočtu jeho souřadnic násobíme čísla spojená čarou. Přitom součiny čísel spojených čarou \ opatříme znaménkem plus a součiny čísel spojených čarou / opatříme znaménkem minus.
6 Vektory Smíšený součin Smíšený součin vektorů a, b, c je číslo ( a b) c. Pro každé tři vektory a, b, c v prostoru platí ( a b) c = ( b c) a = ( c a) b.
7 Vektory Předpokládejme, že je zadán rovnoběžnostěn pomocí vektorů tří svých hran vycházejících z jednoho bodu. Vektory označíme a, b, c, jejich společný počáteční bod P a jejich koncové body A, B, C. Zbývající vrcholy rovnoběžnostěnu označíme K, L, M, N. N M C L c B b K P a A obsah rovnoběžnostěnu P AKBCLMN: V = ( a b) c obsah čtyřstěnu P ABC: V = 1 6 V
8 Příklad 1 Příklad 1. Určete vektorový součin vektorů u, v, jestliže platí: u = ( 2, 3, 1), v = (3, 4, 2).
9 Příklad 1 Příklad 1. Určete vektorový součin vektorů u, v, jestliže platí: u = ( 2, 3, 1), v = (3, 4, 2). Řešení: u = ( 2, 3, 1) u v = v = ( 3, 4, 2)
10 Příklad 1 Příklad 1. Určete vektorový součin vektorů u, v, jestliže platí: u = ( 2, 3, 1), v = (3, 4, 2). Řešení: u = ( 2, 3, 1) v = ( 3, 4, 2) u v = ( ( 3) ( 2) 1 4;
11 Příklad 1 Příklad 1. Určete vektorový součin vektorů u, v, jestliže platí: u = ( 2, 3, 1), v = (3, 4, 2). Řešení: u = ( 2, 3, 1) v = ( 3, 4, 2) u v = ( ( 3) ( 2) 1 4; [( 2) ( 2) 1 3];
12 Příklad 1 Příklad 1. Určete vektorový součin vektorů u, v, jestliže platí: u = ( 2, 3, 1), v = (3, 4, 2). Řešení: u = ( 2, 3, 1) v = ( 3, 4, 2) u v = ( ( 3) ( 2) 1 4; [( 2) ( 2) 1 3]; ( 2) 4 ( 3) 3 ) =
13 Příklad 1 Příklad 1. Určete vektorový součin vektorů u, v, jestliže platí: u = ( 2, 3, 1), v = (3, 4, 2). Řešení: u = ( 2, 3, 1) v = ( 3, 4, 2) u v = ( ( 3) ( 2) 1 4; [( 2) ( 2) 1 3]; ( 2) 4 ( 3) 3 ) = = (2, 1, 1)
14 Příklad 2 Příklad 2. Najděte alespoň jeden vektor, který je kolmý k daným vektorům a = (6, 0, 12), b = (2, 3, 6).
15 Příklad 2 Příklad 2. Najděte alespoň jeden vektor, který je kolmý k daným vektorům a = (6, 0, 12), b = (2, 3, 6). Řešení: u a u b
16 Příklad 2 Příklad 2. Najděte alespoň jeden vektor, který je kolmý k daným vektorům a = (6, 0, 12), b = (2, 3, 6). Řešení: u a u b u = a b
17 Příklad 2 Příklad 2. Najděte alespoň jeden vektor, který je kolmý k daným vektorům a = (6, 0, 12), b = (2, 3, 6). Řešení: u a u b u = a b a = (6, 0, 12) b = (2, 3, 6) a b =
18 Příklad 2 Příklad 2. Najděte alespoň jeden vektor, který je kolmý k daným vektorům a = (6, 0, 12), b = (2, 3, 6). Řešení: u a u b u = a b a = (6, 0, 12) b = (2, 3, 6) a b = (36, 12, 18)
19 Příklad 2 Příklad 2. Najděte alespoň jeden vektor, který je kolmý k daným vektorům a = (6, 0, 12), b = (2, 3, 6). Řešení: u a u b u = a b a = (6, 0, 12) b = (2, 3, 6) a b = (36, 12, 18) u = (36, 12, 18) u = (6, 2, 3)
20 Příklad 3 Příklad 3. Užitím vektorového součinu vypočtěte obsah rovnoběžníka určeného vektory u = ( 2, 3, 2), v = (3, 4, 2).
21 Příklad 3 Příklad 3. Užitím vektorového součinu vypočtěte obsah rovnoběžníka určeného vektory u = ( 2, 3, 2), v = (3, 4, 2). Řešení: Obsah rovnoběžníka S =
22 Příklad 3 Příklad 3. Užitím vektorového součinu vypočtěte obsah rovnoběžníka určeného vektory u = ( 2, 3, 2), v = (3, 4, 2). Řešení: Obsah rovnoběžníka S = u v = w
23 Příklad 3 Příklad 3. Užitím vektorového součinu vypočtěte obsah rovnoběžníka určeného vektory u = ( 2, 3, 2), v = (3, 4, 2). Řešení: Obsah rovnoběžníka S = u v = w w = u v : u = ( 2, 3, 2) v = ( 3, 4, 2) w =
24 Příklad 3 Příklad 3. Užitím vektorového součinu vypočtěte obsah rovnoběžníka určeného vektory u = ( 2, 3, 2), v = (3, 4, 2). Řešení: Obsah rovnoběžníka S = u v = w w = u v : u = ( 2, 3, 2) v = ( 3, 4, 2) w = ( 2, 2, 1)
25 Příklad 3 Příklad 3. Užitím vektorového součinu vypočtěte obsah rovnoběžníka určeného vektory u = ( 2, 3, 2), v = (3, 4, 2). Řešení: Obsah rovnoběžníka S = u v = w w = u v : u = ( 2, 3, 2) S = w = v = ( 3, 4, 2) w = ( 2, 2, 1)
26 Příklad 3 Příklad 3. Užitím vektorového součinu vypočtěte obsah rovnoběžníka určeného vektory u = ( 2, 3, 2), v = (3, 4, 2). Řešení: Obsah rovnoběžníka S = u v = w w = u v : u = ( 2, 3, 2) v = ( 3, 4, 2) w = ( 2, 2, 1) S = w = ( 2) =
27 Příklad 3 Příklad 3. Užitím vektorového součinu vypočtěte obsah rovnoběžníka určeného vektory u = ( 2, 3, 2), v = (3, 4, 2). Řešení: Obsah rovnoběžníka S = u v = w w = u v : u = ( 2, 3, 2) v = ( 3, 4, 2) w = ( 2, 2, 1) S = w = ( 2) = 9 = 3 S = 3
28 Příklad 4 Příklad 4. Užitím vektorového součinu vypočtěte obsah trojúhelníku s vrcholy A[5, 1, 4], B[ 1, 2, 6], C[2, 3, 2].
29 Příklad 4 Příklad 4. Užitím vektorového součinu vypočtěte obsah trojúhelníku s vrcholy A[5, 1, 4], B[ 1, 2, 6], C[2, 3, 2]. C Řešení: b A c B
30 Příklad 4 Příklad 4. Užitím vektorového součinu vypočtěte obsah trojúhelníku s vrcholy A[5, 1, 4], B[ 1, 2, 6], C[2, 3, 2]. Řešení: b C A c B c = AB = B A = ( 6, 3, 2) b = AC = C A = ( 3, 2, 6)
31 Příklad 4 Příklad 4. Užitím vektorového součinu vypočtěte obsah trojúhelníku s vrcholy A[5, 1, 4], B[ 1, 2, 6], C[2, 3, 2]. Řešení: b C A c B c = AB = B A = ( 6, 3, 2) b = AC = C A = ( 3, 2, 6) obsah ABC: S =
32 Příklad 4 Příklad 4. Užitím vektorového součinu vypočtěte obsah trojúhelníku s vrcholy A[5, 1, 4], B[ 1, 2, 6], C[2, 3, 2]. Řešení: b C A c B c = AB = B A = ( 6, 3, 2) b = AC = C A = ( 3, 2, 6) obsah ABC: S = 1 2 c b
33 Příklad 4 Příklad 4. Užitím vektorového součinu vypočtěte obsah trojúhelníku s vrcholy A[5, 1, 4], B[ 1, 2, 6], C[2, 3, 2]. Řešení: b C A c B c = AB = B A = ( 6, 3, 2) b = AC = C A = ( 3, 2, 6) obsah ABC: S = 1 2 c b w = c b =
34 Příklad 4 Příklad 4. Užitím vektorového součinu vypočtěte obsah trojúhelníku s vrcholy A[5, 1, 4], B[ 1, 2, 6], C[2, 3, 2]. Řešení: b C A c B c = AB = B A = ( 6, 3, 2) b = AC = C A = ( 3, 2, 6) obsah ABC: S = 1 2 c b w = c b = (14, 42, 21)
35 Příklad 4 Příklad 4. Užitím vektorového součinu vypočtěte obsah trojúhelníku s vrcholy A[5, 1, 4], B[ 1, 2, 6], C[2, 3, 2]. Řešení: b C A c B c = AB = B A = ( 6, 3, 2) b = AC = C A = ( 3, 2, 6) obsah ABC: S = 1 2 c b w = c b = (14, 42, 21) S = 1 2 w S =
36 Příklad 4 Příklad 4. Užitím vektorového součinu vypočtěte obsah trojúhelníku s vrcholy A[5, 1, 4], B[ 1, 2, 6], C[2, 3, 2]. Řešení: b C A c B c = AB = B A = ( 6, 3, 2) b = AC = C A = ( 3, 2, 6) obsah ABC: S = 1 2 c b w = c b = (14, 42, 21) S = 1 2 w S = ( 42) 2 + ( 21) 2 =
37 Příklad 4 Příklad 4. Užitím vektorového součinu vypočtěte obsah trojúhelníku s vrcholy A[5, 1, 4], B[ 1, 2, 6], C[2, 3, 2]. Řešení: b C A c B c = AB = B A = ( 6, 3, 2) b = AC = C A = ( 3, 2, 6) obsah ABC: S = 1 2 c b w = c b = (14, 42, 21) S = 1 2 w S = ( 42) 2 + ( 21) 2 = S = 24.5
38 Příklad 5 Příklad 5. Je dán čtyřstěn ABCD s vrcholy A[ 2, 1, 4], B[ 1, 0, 1], C[ 4, 1, 6], D[ 2, 2, 5]. a) Vypočtěte obsah stěny ABC. b) Vypočtěte objem čtyřstěnu ABCD.
39 Příklad 5 Příklad 5. Je dán čtyřstěn ABCD s vrcholy A[ 2, 1, 4], B[ 1, 0, 1], C[ 4, 1, 6], D[ 2, 2, 5]. a) Vypočtěte obsah stěny ABC. b) Vypočtěte objem čtyřstěnu ABCD. Řešení: D C b A c a B
40 Příklad 5 Příklad 5. Je dán čtyřstěn ABCD s vrcholy A[ 2, 1, 4], B[ 1, 0, 1], C[ 4, 1, 6], D[ 2, 2, 5]. a) Vypočtěte obsah stěny ABC. b) Vypočtěte objem čtyřstěnu ABCD. Řešení: C b A c D a B a = AB = B A = (1, 1, 5) b = AC = C A = ( 2, 2, 2) c = AD = D A = (0, 3, 9)
41 Příklad 5 D C b A c a B a = ( 1, 1, 5) b = ( 2, 2, 2) a) S ABC =
42 Příklad 5 D C b A c a B a = ( 1, 1, 5) b = ( 2, 2, 2) a) S ABC = 1 2 a b
43 Příklad 5 D C b A c a B a = ( 1, 1, 5) b = ( 2, 2, 2) a) S ABC = 1 2 a b a b =
44 Příklad 5 D C b A c a B a = ( 1, 1, 5) b = ( 2, 2, 2) a) S ABC = 1 2 a b a b = ( 12, 8, 4)
45 Příklad 5 D C b A c a B a = ( 1, 1, 5) b = ( 2, 2, 2) a) S ABC = 1 2 a b a b = ( 12, 8, 4) a b =
46 Příklad 5 D C b A c a B a = ( 1, 1, 5) b = ( 2, 2, 2) a) S ABC = 1 2 a b a b = ( 12, 8, 4) a b = ( 12) ( 4) 2 =
47 Příklad 5 D C b A c a B a = ( 1, 1, 5) b = ( 2, 2, 2) a) S ABC = 1 2 a b a b = ( 12, 8, 4) a b = ( 12) ( 4) 2 = 224 = 4 14
48 Příklad 5 D C b A c a B a = ( 1, 1, 5) b = ( 2, 2, 2) a) S ABC = 1 2 a b a b = ( 12, 8, 4) a b = ( 12) ( 4) 2 = 224 = 4 14 S = 1 2 a b =
49 Příklad 5 D C b A c a B a = ( 1, 1, 5) b = ( 2, 2, 2) a) S ABC = 1 2 a b a b = ( 12, 8, 4) a b = ( 12) ( 4) 2 = 224 = 4 14 S = 1 2 a b = S = 2 14
50 Příklad 5 D a = ( 1, 1, 5) C b A c a B b = ( 2, 2, 2) c = ( 0, 3, 9) b) V =
51 Příklad 5 D a = ( 1, 1, 5) C b A c a B b = ( 2, 2, 2) c = ( 0, 3, 9) ( b) V = 1 6 a ) b c
52 Příklad 5 D a = ( 1, 1, 5) C b A c a B b = ( 2, 2, 2) c = ( 0, 3, 9) ( b) V = 1 6 a ) b c a b =
53 Příklad 5 D a = ( 1, 1, 5) C b A c a B b = ( 2, 2, 2) c = ( 0, 3, 9) ( b) V = 1 6 a ) b c a b = ( 12, 8, 4)
54 Příklad 5 D a = ( 1, 1, 5) C b A c a B b = ( 2, 2, 2) c = ( 0, 3, 9) ( b) V = 1 6 a ) b c a b = ( 12, 8, 4) ( a ) b c =
55 Příklad 5 D a = ( 1, 1, 5) C b A c a B b = ( 2, 2, 2) c = ( 0, 3, 9) ( b) V = 1 6 a ) b c a b = ( 12, 8, 4) ( a ) b c = ( 12) ( 3) + ( 4) ( 9) =
56 Příklad 5 D a = ( 1, 1, 5) C b A c a B b = ( 2, 2, 2) c = ( 0, 3, 9) ( b) V = 1 6 a ) b c a b = ( 12, 8, 4) ( a ) b c = ( 12) ( 3) + ( 4) ( 9) = 12
57 Příklad 5 D a = ( 1, 1, 5) C b A c a B b = ( 2, 2, 2) c = ( 0, 3, 9) ( b) V = 1 6 a ) b c a b = ( 12, 8, 4) ( a ) b c = ( 12) ( 3) + ( 4) ( 9) = 12 V =
58 Příklad 5 D a = ( 1, 1, 5) C b A c a B b = ( 2, 2, 2) c = ( 0, 3, 9) ( b) V = 1 6 a ) b c a b = ( 12, 8, 4) ( a ) b c = ( 12) ( 3) + ( 4) ( 9) = 12 V = V = 2
59 Příklady k provičení Cvičení 1 Je dán čtyřstěn ABCD, kde A[1, 3, 2], B[1, 1, 2], C[6, 1, 10], D[4, 3, 2]. a) Ověřte, že body A, B, C neleží v jedné přímce. b) Ověřte, že vektor D A není lineární kombinací vektorů C A, B A. c) Vypočtěte obsah stěny ABC. d) Vypočtěte objem daného čtyřstěnu. [c) 24, 5, d) 20]
60 Příklady k provičení Cvičení 2 Jsou dány body A[2, 6, 0], B[ 3, 4, 5], C[1, 4, 2], D[5, 0, 3]. a) Vypočítejte objem rovnoběžnostěnu ABCEDF GH a určete nějaký vektor kolmý ke stěně ACD. b) Vypočítejte povrch a objem rovnoběžnostěnu BAKCDLM N. c) Vypočtěte objem a povrch čtyřstěnu ABCD. a) Objem V = 156, vektor n = (6, 1, 4) b) Objem V = 156, povrch S =. 266,44 c) Objem V = 26, povrch S =. 77,16
61 Příklady k provičení Cvičení 3 Jsou dány body A[3, 1, 2], B[ 1, 1, 2], C[1, 6, 10], D[3, 4, 2]. a) Vypočítejte objem čtyřstěnu ABCD. b) Vypočítejte povrch čtyřstěnu ABCD. [a) 24, b) 81.06]
Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)
Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,
3) Vypočtěte souřadnice průsečíku dané přímky p : x = t, y = 9 + 3t, z = 1 + t, t R s rovinou ρ : 3x + 5y z 2 = 0.
M1 Prog4 D1 1) Určete vektor c kolmý na vektory a = 2 i 3 j + k, b = i + 2 j 4 k. 2) Napište obecnou a parametrické rovnice roviny, která prochází bodem A[ 1; 1; 2] a je kolmá ke dvěma rovinám ρ : x 2y
2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21
2 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 21 21 Vektory 21 Úlohy k samostatnému řešení 21 22 Přímka a rovina v prostoru 22 Úlohy k samostatnému řešení 22 23 Vzájemná poloha přímek a rovin 25 Úlohy k samostatnému
Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32
Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;
Vybrané kapitoly z matematiky
Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 2017-2018 Vybrané kapitoly z matematiky 2017-2018 1 / 19 Základní informace předmět: 714-0513, 5 kreditů přednáší: Radek Kučera kontakt: radek.kucera@vsb.cz,
Soustavy rovnic a nerovnic
Soustavy rovnic a nerovnic Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 2. září 20 Příklad Příklad Určete všechna čísla x, y R
Matematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s.
3.4. Výklad Předpokládejme, že v prostoru E 3 jsou dány body A, B, C neležící na jedné přímce. Těmito body prochází jediná rovina, kterou označíme ABC. Určíme vektory u = B - A, v = C - A, které jsou zřejmě
6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE
Vektorová algebra 6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Pravoúhlé souřadnice bodu v prostoru Poloha bodu v prostoru je vzhledem ke třem osám k sobě kolmým určena třemi souřadnicemi, které tvoří uspořádanou trojici reálných
1 Analytická geometrie
1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice
19 Eukleidovský bodový prostor
19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma
A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz
![A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz](/thumbs/47/23721460.jpg "A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz")
1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině
1. Přímka a její části
. Přímka a její části přímka v rovině, v prostoru, přímka jako graf funkce, konstrukce přímky nebo úsečky, analytická geometrie přímky, přímka jako tečna grafu, přímka a kuželosečka Přímka v rovině a v
1.4. VEKTOROVÝ SOUČIN
.4. VEKTOROVÝ SOUČIN V této kapitole se dozvíte: definici vektorového (také vnějšího) součinu, jeho vlastnosti a geometrický význam; co rozumíme pravotočivou ortonormální nebo ortogonální bází; definici
11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ
11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..
6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet
6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:
7.2.12 Vektorový součin I
7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné
Čtvercové matice. Čtvercová matice je taková matice, jejíž počet řádků je roven počtu jejích sloupců
Determinant matice Čtvercové matice Čtvercová matice je taková matice, jejíž počet řádků je roven počtu jejích sloupců Determinant je zobrazení, které přiřadí každé čtvercové matici A skalár (reálné číslo).
Iracionální nerovnice a nerovnice s absolutní hodnotou ( lekce)
Iracionální nerovnice a nerovnice s absolutní hodnotou (15. - 16. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 22. října
11 Vzdálenost podprostorů
11 Vzdálenost podprostorů 11.1 Vzdálenost bodů Eukleidovský bodový prostor E n = afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. (Pech:AGLÚ/str.126) Definováním skalárního součinu
Rovnice přímky v prostoru
Rovnice přímky v prostoru Každá přímka v prostoru je jednoznačně zadána dvěma body. K vyjádření všech bodů přímky lze použít parametrické rovnice. Parametrická rovnice přímky p Pokud A, B jsou dva různé
Rovnice s parametrem (17. - 18. lekce)
Rovnice s parametrem (17. - 18. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 22. října 2011 Lineární rovnice s parametrem
11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při
. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti:. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..
Dá se ukázat, že vzdálenost dvou bodů má tyto vlastnosti: 2.2 Vektor, souřadnice vektoru a algebraické operace s vektory
Vektorový počet.1 Eklidovský prostor E 3 Eklidovský prostor E 3 je prostor spořádaných trojic (tj. bodů), v němž je definována vzdálenost dvo jeho bodů A, B (značíme ji AB ). Vzdálenost bodů A = [a 1,
PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh
PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh Lomená čára A 0 A 1 A 2 A 3..., A n (n 2) se skládá z úseček A 0 A 1, A 1 A 2, A 2 A 3,..., A n 1 A n, z nichž každé dvě sousední mají společný jeden krajní
6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2
6 Skalární součin Skalární součin 1 je operace, která dvěma vektorům (je to tedy binární operace) přiřazuje skalár (v našem případě jde o reálné číslo, obecně se jedná o prvek nějakého tělesa T ). Dovoluje
ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík
Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup
p ACD = 90, AC = 7,5 cm, CD = 12,5 cm
Úloha Je dán pravoúhlý trojúhelník ACD s pravým úhlem při vrcholu C, AC = 7,5 cm, CD =,5 cm. Na přímce CD určete bod B tak, aby AB = BD Řešení: Úlohu vyřešíme nejprve geometrickou konstrukcí. a) Z rozboru
1. Parametrické vyjádření přímky Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky, protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje.
1/7 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Základní pojmy: Parametrické vyjádření přímky, roviny Obecná rovnice roviny Vzájemná poloha přímek a rovin Odchylka přímek a rovin Vzdálenosti www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/jan_koncel/
Definice 28 (Ortogonální doplněk vektorového podprostoru). V k V n ; V k V. (Pech:AGLÚ/str D.5.1)
14.3 Kolmost podprostorů 14.3.1 Ortogonální doplněk vektorového prostou Ve vektorovém prostoru dimenze 3 je ortogonálním doplňkem roviny (přesněji vektorového prostoru dimenze ) přímka na ní kolmá (vektorový
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii
( ) ( ) ( ) ( ) Skalární součin II. Předpoklady: 7207
78 Skalární součin II Předpoklady: 707 Pedagogická poznámka: Hodina má tři části, považuji tu prostřední za nejméně důležitou a proto v případě potřeby omezuji hlavně ji Na začátku hodiny je důležité nechat
CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19
CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné
Užití rovnic a jejich soustav při řešení slovních úloh (11. - 12. lekce)
Užití rovnic a jejich soustav při řešení slovních úloh (11. - 12. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 15. září
Analytická geometrie lineárních útvarů
) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod
Vzorce počítačové grafiky
Vektorové operace součet vektorů rozdíl vektorů opačný vektor násobení vektoru skalárem úhel dvou vektorů velikost vektoru a vzdálenost dvojice bodů v rovině (v prostoru analogicky) u = B A= b a b a u
Operace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie
Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie 20. 10. porovnávání úseček grafický součet úseček grafický rozdíl úseček... porovnávání úhlů grafický součet úhlů grafický rozdíl úhlů... osa úhlu úhly vedlejší a vrcholové...
VEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN
VEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN Brno 2014 Verze 30. listopadu 2014 1 Volné a vázané vektory v rovině a prostoru 1.1 Kartézská soustava souřadnic, souřadnice bodu, vzdálenost
Mateřská škola a Základní škola při dětské léčebně, Křetín 12
Mateřská škola a Základní škola při dětské léčebně, Křetín 12 Autor: Mgr. Miroslav Páteček Vytvořeno: červen 2012 Klíčová slova: Matematika a její aplikace Podobnost, funkce, goniometrické funkce, lomený
Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A
62. ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A 1. V obdélníku ABCD o stranách AB = 9, BC = 8 leží vzájemně se dotýkající kružnice k 1 (S 1, r 1 ) a k 2 (S 2, r 2 ) tak,
CVIČNÝ TEST 11. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21
CVIČNÝ TEST 11 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je k dispozici m přepravek na ovoce. Prázdná přepravka
Analytická geometrie
Analytická geometrie Obsah Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1 Vektory - opakování 2 1.1 Teorie........................................... 2 1.1.1 Pojem vektor a jeho souřadnice, umístění
Přijímací zkouška na MFF UK v Praze
Přijímací zkouška na MFF UK v Praze pro bakalářské studijní programy fyzika, informatika a matematika 017, varianta A U každé z deseti úloh je nabízeno pět odpovědí: a, b, c, d, e. Vaším úkolem je u každé
Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)
Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,
f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =
Řešení vzorové písemky z předmětu MAR Poznámky: Řešení úloh ze vzorové písemky jsou formulována dosti podrobně podobným způsobem jako u řešených příkladů ve skriptech U zkoušky lze jednotlivé kroky postupu
( B A) ( ) Počítání s vektory. Předpoklady: 7204, 7205
76 Počítání s vektory Předpoklady: 704, 705 Pedagogická poznámka: V této hodině se neprobírá nová látka Jde o procvičení a některé aplikace předchozích hodin Rozhodně doporučuji nevynechávat Příklady v
CVIČNÝ TEST 19. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Kateřina Nováková. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15
CVIČNÝ TEST 19 Mgr. Kateřina Nováková OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete, kolikrát je rozdíl čísel 289 a 255 větší než jejich součet.
Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh 1. cvičení ( ) 2. cvičení ( )
Příklady řešené na cvičení LA II - LS 1/13 Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh http://kam.mff.cuni.cz/~sbirka/ 1. cvičení (..13) 1. Rozhodněte, které z následujících operací jsou skalárním součinem
Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.
4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,
Kolmost rovin a přímek
Kolmost rovin a přímek 1.Napište obecnou rovnici roviny, která prochází boem A[ 7; ;3] a je kolmá k přímce s parametrickým vyjářením x = + 3 t, y = t, z = 7 t, t R. Řešení: Hleanou rovinu si označíme α:
14. přednáška. Přímka
14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1
CVIČNÝ TEST 37. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15
CVIČNÝ TEST 37 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Na staré hliněné desce je namalován čtverec
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Mgr. Zora Hauptová ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY TEST VY_32_INOVACE_MA_3_20 OPVK 1.5 EU peníze středním školám CZ.1.07/1.500/34.0116 Modernizace výuky na učilišti
STEREOMETRIE 9*. 10*. 11*. 12*. 13*
STEREOMETRIE Bod, přímka, rovina, polorovina, poloprostor, základní symboly označující přímku, bod, polorovinu, patří, nepatří, leží, neleží, vzájemná poloha dvou přímek v prostoru, vzájemná poloha dvou
VELIKOST VEKTORU, POČETNÍ OPERACE S VEKTORY
VELIKOST VEKTORU, POČETNÍ OPERACE S VEKTORY Vektoru můžeme přisoudit velikost. S vektory také můžeme provádět početní operace, které jsme zvyklí provádět s čísly, tzn. že je možné je sčítat, odčítat a
s p nazýváme směrový vektor přímky p, t je parametr bodu
MATE ZS 2013 KONZ 3A Analytická geometrie lineárních útvarů v rovině a v rostoru Přímka v rovině 1 Parametrická rovnice římky v rovině: t R s o : X = A + t s, kde, Vektor s nazýváme směrový vektor římky,
M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK
M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl
3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY
3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY V této kapitole se dozvíte: jak popsat rovinu v třídimenzionálním prostoru; jak analyzovat vzájemnou polohu bodu a roviny včetně jejich vzdálenosti; jak analyzovat vzájemnou
ČTVERCOVÉ MATICE. Čtvercová matice je taková matice, kde počet řádků je roven počtu jejích sloupců. det(a) značíme determinant čtvercové matice A
ČTVERCOVÉ MTICE Čtvercová matice je taková matice, kde počet řádků je roven počtu jejích sloupců. det() značíme determinant čtvercové matice Regulární matice hodnost je rovna jejímu řádu determinant je
Shodná zobrazení v rovině
Shodná zobrazení v rovině Zobrazení Z v rovině je předpis, který každému bodu X roviny přiřazuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X jeho obraz. Zapisujeme Z: X X. Množinu obrazů všech
CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 13 Mgr. Zdeňka Strnadová OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V trojúhelníku ABC na obrázku dělí úsečka
Matematika I 12a Euklidovská geometrie
Matematika I 12a Euklidovská geometrie Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 12. 2012 Obsah přednášky 1 Euklidovské prostory 2 Odchylky podprostorů 3 Standardní úlohy 4 Objemy Plán přednášky
Rovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R
Rovnice přímky Přímka p je určená dvěma různými body (A, B)(axiom) směrový vektor nenulový rovnoběžný (kolineární) s vektorem s = AB = B A pro libovolný bod X na přímce platí: X A = t s tj. Vektorová rovnice
CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19
CVIČNÝ TEST 9 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočítejte (7,5 10 3 2 10 2 ) 2. Výsledek zapište ve tvaru a 10 n, kde
3.3. Operace s vektory. Definice
Operace s ektory.. Operace s ektory Výklad Definice... Nechť ϕ je úhel do nenloých ektorů, (obr. ). Skalárním sočinem ektorů, rozmíme číslo, které bdeme označoat. (někdy strčně ) a které definjeme roností.
4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil
4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr
Klíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek
Přípravný kurz - Matematika Téma: Výpočtová geometrie v rovině Klíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek
Klíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek
Přípravný kurz - Matematika Téma: Výpočtová geometrie v rovině Klíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek
VEKTORY. Obrázek 1: Jediný vektor. Souřadnice vektoru jsou jeho průměty do souřadných os x a y u dvojrozměrného vektoru, AB = B A
VEKTORY Vektorem se rozumí množina všech orientovaných úseček, které mají stejnou velikost, směr a orientaci, což vidíme na obr. 1. Jedna konkrétní orientovaná úsečka se nazývá umístění vektoru na obr.
Klíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek
Přípravný kurz - Matematika Téma: Výpočtová geometrie v rovině Klíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek
DERIVACE. ln 7. Urči, kdy funkce roste a klesá a dále kdy je konkávní a
DERIVACE 1. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x 3. Zderivuj funkci y = 3 e sin2 (x 2 ) 4. Zderivuj funkci y = x3 +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2 x
NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Doba řešení: 3 hodiny
NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Závěrečná zkouška verze cvičná 9.1.2013 Doba řešení: 3 hodiny Přednášející: L. Barto, J. Tůma Křestní jméno: Příjmení: Instrukce Neotvírejte
Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,
Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se
CVIČNÝ TEST 49. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15
CVIČNÝ TEST 49 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST 1 bod 1 Kolik hodnot proměnné a R existuje takových, že diference aritmetické
GEODETICKÉ VÝPOČTY I.
SPŠS Č.Budějovice Obor Geodézie a Katastr nemovitostí 2.ročník GEODETICKÉ VÝPOČTY I. TROJÚHELNÍK PYTHAGOROVA VĚTA TROJÚHELNÍK Geodetické výpočty I. trojúhelník je geometrický rovinný útvar určený třemi
Základní geometrické tvary
Základní geometrické tvary č. 37 Matematika 1. Narýsuj bod A. 2. Narýsuj přímku b. 3. Narýsuj přímku, která je dána body AB. AB 4. Narýsuj polopřímku CD. CD 5. Narýsuj úsečku AB. 6. Doplň. Rýsujeme v rovině.
( ) 7.3.16 Další metrické úlohy II. Předpoklady: 7315. Př. 1: Najdi přímku rovnoběžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od bodu A[ 1;2 ] 2 2.
![( ) 7.3.16 Další metrické úlohy II. Předpoklady: 7315. Př. 1: Najdi přímku rovnoběžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od bodu A[ 1;2 ] 2 2.](/thumbs/19/328087.jpg "( ) 7.3.16 Další metrické úlohy II. Předpoklady: 7315. Př. 1: Najdi přímku rovnoběžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od bodu A[ 1;2 ] 2 2.")
76 Další metriké úlohy II Předpoklady: 7 Př : Najdi přímku rovnoěžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od odu A[ ; ] Osou I a III kvadrantu je přímka y = x přímky s ní rovnoěžné mají rovnii x y + = 0
příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.
Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl
Úlohy domácí části I. kola kategorie C
68. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Neznámé číslo je dělitelné právě čtyřmi čísly z množiny {6, 15, 20, 21, 70}. Určete, kterými. (Michal Rolínek) Řešení. Pokud by
l, l 2, l 3, l 4, ω 21 = konst. Proved te kinematické řešení zadaného čtyřkloubového mechanismu, tj. analyticky
Kinematické řešení čtyřkloubového mechanismu Dáno: Cíl: l, l, l 3, l, ω 1 konst Proved te kinematické řešení zadaného čtyřkloubového mechanismu, tj analyticky určete úhlovou rychlost ω 1 a úhlové zrychlení
STEREOMETRIE. Tělesa. Značení: body A, B, C,... přímky p, q, r,... roviny ρ, σ, τ,...
STEREOMETRIE Stereometrie je část geometrie, která se zabývá studiem prostorových útvarů. Základními prostorovými útvary, se kterými budeme pracovat, jsou bod, přímka a rovina. Značení: body A, B, C,...
VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ
VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ Dvě přímky v rovině mohou být: různoběžné - mají jediný společný bod, rovnoběžné různé - nemají společný bod, totožné - mají nekonečně mnoho společných bodů. ŘEŠENÉ
ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr
Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/1 BA06 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2014 1 (1) Určete rovnici kručnice o
a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
Test Zkušební přijímací zkoušky
Test Zkušební přijímací zkoušky 1. Vypočtěte: ( 10 1.5) ( 4 ).( 15). ( 5 6). Doplňte číslo do rámečku, aby platila rovnost:.1. 4 11 10. 8 16 6.. 49 7 1.. + 1. Proveďte početní operace:.1. 6x 4x ( 4x x)
Základní vlastnosti eukleidovského prostoru
Kapitola 2 Základní vlastnosti eukleidovského prostoru 2.1 Eukleidovský prostor Eukleidovský prostor a jeho podprostory. Metrické vlastnosti, jako např. kolmost, odchylka, vzdálenost, obsah, objem apod.
Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <
8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární
CVIČNÝ TEST 2. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 2 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Od součtu libovolného čísla x a čísla 256 odečtěte číslo x zmenšené o 256.
II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.
Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,
CVIČNÝ TEST 6. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21
CVIČNÝ TEST 6 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Každý z n žáků jedné třídy z gymnázia v Přelouči se
Metrické vlastnosti v prostoru
Metrické vlastnosti v prostoru Ž2 Metrické vlastnosti v prostoru Odchylka přímek p, q v prostoru V planimetrii jsme si definovali pojem odchylky dvou přímek p, q pro různoběžky a pro rovnoběžky. Ve stereometrii
1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem
Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed
Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie
Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Jaroslav Horáček KAM MFF UK 2013 Co je to vektor? Šipička na tabuli? Ehm? Množina orientovaných úseček majících stejný směr. Prvek vektorového prostoru. V
8. Parametrické vyjádření a. Repetitorium z matematiky
8. Parametrické vyjádření a obecná rovnice přímky a roviny Repetitorium z matematiky Podzim 2012 Ivana Medková Osnova: 1 Geometrie v rovině 1. 1 Parametrické vyjádření přímky 1. 2 Obecná rovnice přímky
7 Analytická geometrie v rovině
7 Analytická geometrie v rovině Myslím, tedy jsem (René Descartes) 71 Úsečka V kapitole 51 jsme zavedli pojem souřadnice v rovině pro potřeby konstrukce grafů funkcí Pomocí souřadnic lze ovšem popisovat