19 - Polynomiální metody

Podobné dokumenty
19 - Polynomiální metody

24 - Diskrétní řízení

Doplňky k přednášce 24 Diskrétní řízení Diskrétní metody analogické spojitým

15 - Stavové metody. Michael Šebek Automatické řízení

Příklady k přednášce 19 - Polynomiální metody

Příklady k přednášce 19 - Polynomiální metody

Youla-Kučerova parametrizace. Co to je?

Příklady k přednášce 24 Diskrétní řízení

21ˆx 0 mod 112, 21x p 35 mod 112. x p mod 16. x 3 mod 17. α 1 mod 13 α 0 mod 17. β 0 mod 13 β 1 mod 17.

16 - Pozorovatel a výstupní ZV

26 Nelineární systémy a řízení

Polynomy nad Z p Konstrukce faktorových okruhů modulo polynom. Alena Gollová, TIK Počítání modulo polynom 1/30

4 Počítání modulo polynom

Semestrální práce z předmětu Teorie systémů

Automatizační technika. Regulační obvod. Obsah

Zbytky a nezbytky Vazební věznice Orličky Kondr (Brkos 2010) Zbytky a nezbytky / 22

Západočeská univerzita v Plzni FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY, FYZIKY A TECHNICKÉ VÝCHOVY

Příklady k přednášce 6 - Spojování a struktury

1 1 3 ; = [ 1;2]

4 - Vlastnosti systému: Stabilita, převrácená odezva, řiditelnost a pozorovatelnost

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2

1 Polynomiální interpolace

Matematika 5 FSV UK, ZS Miroslav Zelený

Zpětná vazba, změna vlastností systému. Petr Hušek

Trocha teorie Ošklivé lemátko První generace Druhá generace Třetí generace Čtvrtá generace O OŠKLIVÉM LEMÁTKU PAVEL JAHODA

1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu

Osnova přednášky. Univerzita Jana Evangelisty Purkyně Základy automatizace Stabilita regulačního obvodu

Příklady k přednášce 8 - Geometrické místo kořenů aneb Root Locus

8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy

Pozorovatel, Stavová zpětná vazba

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA

M - Příprava na pololetní písemku č. 1

Modulární aritmetika, Malá Fermatova věta.

Generující kořeny cyklických kódů. Generující kořeny. Alena Gollová, TIK Generující kořeny 1/30

Základy elementární teorie čísel


Osnova přednášky. Univerzita Jana Evangelisty Purkyně Základy automatizace Vlastnosti regulátorů

Řízení výšky hladiny s využitím samočinně se nastavujících spojitých regulátorů

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC

1 Modelování systémů 2. řádu

Příklady k přednášce 9 - Zpětná vazba

Řešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. 2a + b = 3, 6a + b = 27,

Šifrová ochrana informací věk počítačů PS5-2

Základy elementární teorie čísel

Soustavy lineárních rovnic

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

HL Academy - Chata Lopata Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky / 27

Algebraická teorie diskrétního lineárního řízení vznikla jako speciální obor teorie

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Analýza lineárních regulačních systémů v časové doméně. V Modelice (ale i v Simulinku) máme blok TransfeFunction

Podobnost matic. Definice 8.6. Dány matice A, B M n (C). Jestliže existuje regulární matice P M n (C) tak,

Soustavy lineárních rovnic

Západočeská univerzita. Lineární systémy 2

Soustavy rovnic pro učební obory

Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém

O dělitelnosti čísel celých

Regulační obvody se spojitými regulátory

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.

Cyklické kódy. Definujeme-li na F [x] n sčítání a násobení jako. a + b = π n (a + b) a b = π n (a b)

Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15

Flexibilita jednoduché naprogramování a přeprogramování řídícího systému

Obsah. Lineární rovnice. Definice 7.9. a i x i = a 1 x a n x n = b,

Polynomy. Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1.1 Teorie Zavedení polynomů Operace s polynomy...

Okruhy, podokruhy, obor integrity, těleso, homomorfismus. 1. Rozhodněte, zda daná množina M je podokruhem okruhu (C, +, ): f) M = { a

2. Základní teorie regulace / Regulace ve vytápění

)(x 2 + 3x + 4),

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru


Soustavy rovnic pro učební obor Kadeřník

Kritéria dělitelnosti Divisibility Criterions

Opakování z předmětu TES

13. Lineární programování

Principy indukce a rekurentní rovnice

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

2. V Q[x] dělte se zbytkem polynomy:

Algebraická teorie řízení

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Aproximace funkcí. Numerické metody 6. května FJFI ČVUT v Praze

Algebraická teorie řízení

Věta o dělení polynomů se zbytkem

Metody pro automatické nastavování a ladění parametrů spojitých regulátorů

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu

Řešení rekurentních rovnic 2. Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce 11

1,2,3,6,9,18, 1,2,3,5,6,10,15,30.

13 - Návrh frekvenčními metodami

Regulační obvod s měřením akční veličiny

Matematika IV 10. týden Kódování


Regulační obvod s měřením regulováné veličiny

Algebra 2 Teorie čísel. Michal Bulant

Obsah. Euler-Fermatova věta. Reziduální aritmetika. 3. a 4. přednáška z kryptografie

Horner's Method using Excel (výpočet hodnoty polynomu v Excel s využitím historické Hornerovy metody) RNDr. Miroslav Kružík UPOL Olomouc

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava luk76/la1


Rovinná úloha v MKP. (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v. prostorové úlohy: u, v, w

27 Systémy s více vstupy a výstupy

PŘÍKLAD PŘECHODNÝ DĚJ DRUHÉHO ŘÁDU ŘEŠENÍ V ČASOVÉ OBLASTI A S VYUŽITÍM OPERÁTOROVÉ ANALÝZY

Okruh Lineární rovnice v Z m Těleso Gaussova eliminace (GEM) Okruh Z m. Jiří Velebil: X01DML 19. listopadu 2007: Okruh Z m 1/20

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

Univerzita Jana Evangelisty Purkyně v Ústí nad Labem

Transkript:

19 - Polynomiální metody Automatické řízení 218 16-4-18

Opakování - Vlastnosti polynomů Polynomy netvoří těleso, ale okruh - obecně jimi nelze dělit beze zbytku! Proto existuje: dělitel, násobek, společný dělitel, největší spol. dělitel, Dělení se zbytkem - Euklidovo as () = bsqs ()() + rs (),deg rs () < deg bs () Bézoutova věta (identita) gs () = gcd ( as (), bs ()) ps (), qs (),(),(): rs vs asps () () + bsqs ()() = gs () ps () qs () takové, že det = konst. asvs ()() + bsws () () = vs () ws () as () xs ( ) = bs () Klasické lineární rovnice nemívají řešení, protože xs () = bs () as () není polynom Diofantická rovnice (Diofantos z Alexandrie) as () x() s + bsys () () = c( ARI-19-218 2

Vlastnosti polynomiální rovnice Vlastnosti polynomiální rovnice při značení g= gcd( ab, ) as () x() s + bsys () () = c( a= ag b= bg Nutná a postačující podmínka řešitelnosti Rovnice má řešení, právě když g c (tj. právě když největší společný dělitel a a b dělí beze zbytku c) Věta: Obecné řešení Obecné řešení xs () = x () s b()() sts kde je nějaké (partikulární) rovnice má tvar ys () = y () s + asts ()() řešení a t( je libovolný polynomiální parametr Věta: Řešení minimálního stupně Rovnice má právě jedno řešení takové, že deg x< deg b tj. minimálního stupně v x Rovnice má právě jedno řešení takové, že deg y< deg a tj. minimálního stupně v y Obě tato řešení koincidují, když deg c< deg a+ deg b, jinak jsou různá ARI-19-217 3

Umístění pólů 1. Vybereme CL póly, z nich sestavíme CL charakteristický polynom c( a pak vyřešíme rovnici as () x() s + bsys () () = c( q( y( 2. Vybereme vhodné řešení pro přenos regulátoru ve tvaru = p( x( Případ a(, b( nesoudělné soustava nemá neřiditelné/nepozorovatelné módy a c( může být libovolné (póly můžeme umístit - teoreticky - libovolně) Případ a(, b( soudělné, gcd(a(,b() = g( soustava má neřiditelné nebo nepozorovatelné módy gsasxs () ()() + gsbsys () () () = gscs () () c( nemůže být libovolné, musí obsahovat g( neřiditelné/nepozorovatelné módy nemůžeme změnit - ani teoreticky ostatní póly můžeme - teoreticky - umístit libovolně alternativně společný faktor vykrátíme a pak řešíme nesoudělnou verzi asxs ()() + bsys () () = cs () ARI-19-218 4

Modifikace: Integrační charakter regulátoru Řešení dává v principu všechny regulátory splňující zadání a tak z nich můžeme dále vybírat vhodný podle dalších požadavků Nemusí to ale být snadné a někdy je možné/lepší dodatečné požadavky zahrnout do rovnice. Například můžeme regulátoru předem vnutit integrační charakter řešením upravené rovnice as () s xs () + bsys () () = cs () as () Když najdeme její řešení xs (), ys (), utvoříme regulátor takto ys () D() s = sx () s Podobně můžeme regulátoru vnutit i několikanásobný integrátor k as () s xs () + bsys () () = cs () ys () D() s = k s xs () as () ARI-19-215 5

Ryzost regulátoru Z nekonečně mnoha regulátorů obvykle chceme ten ryzí. Jak na to? Je-li přenos soustavy G( striktně ryzí a je-li řád soustavy deg a( = n tak musíme pro ryzí řešení vzít 1) stupeň pravé strany alespoň 2n-1 a 2) vybrat řešení minimálního stupně v y, tedy deg ys ( ) n 1 Tím je zaručeno, že vyjde ryzí regulátor řádu n-1 Vysvětlení: stupně jednotlivých členů rovnice jsou n n-1 n-1 2n-1 as () x() s + bsys () () = c( = 2n-2 deg xs ( ) = n 1 2n-2 Pokud je stupeň pravé strany menší než 2n-1, výsledný regulátor může ale nemusí být ryzí (většinou není) ARI-19-213 6

Všechny stabilizující regulátory - implicitně Terminologie: Stabilizující regulátor zajistí stabilitu uzavřené smyčky Všechny stabilizující regulátory pro danou soustavu s a(, b( jsou právě všechna řešení p(, q( rovnice asps () () + bsqs ()() = cs () pro právě všechny stabilní polynomy c( na pravé straně Řešitelnost = stabilizovatelnost: Soustava nesmí mít skryté módy a gcd ( ab, ) musí být stabilní (tj. případná neřiditelná/nepozorovatelná část stabilní) Ryzí regulátor Ryzí soustava, volíme deg cs ( ) 2deg as ( ) 1 a vybereme řešení minimálního stupně v q( ARI-19-215 7

2DOF regulátor zpracovává dva signály, vytváří jeden qs () rs () vxˆ () s us () = ys () + yr () s+ ps () ps () ps () Regulátor se 2 stupni volnosti - 2DOF (bude realizován jako jeden dynamický systém) regulační odchylka tu fyzicky neexistuje, přesto jí hodnotíme kvalitu reg. Reference g () x s yr = zadána generátorem f() s ( f() s dáno, g () x s neurčeno, libovolné) Asymptotické sledování: ut (), et () Cílem návrhu je stabilní us (),() es Přitom jsou pp. neurčené gx a nevyužijí se k návrhu 1 () Takže výsledek funguje pro všechny pp. y r ARI-19-218 yr () s ys () rs () soustava reguláto r 1 ps () qs () pro každou kombinaci v ˆx f s rs () 1 ps () bs () 1 as () qs () u c, v, g x xˆ x c x y 8

Asymptotické sledování - řešení Automatické řízení - Kybernetika a robotika generátor reference gx y r rs () v ˆx 1 f() s 1 ps () bs () 1 as () u c x y a q r a u = v c + g ap + bq ap + bq ap + bq f xˆ x x b p br 1 e= yr y = vxˆ c 1 x + g x ap + bq ap + bq ap + bq f Řešení Všechny vhodné regulátory asps () () + bsqs ()() = ms () splňují rovnice pro nějaké stabilní Řešitelnost ms () 1) gcd( ab, ) stabilní; 2) gcd( f, b) = 1 ; 3) f a. qs () f ()() sts + bsrs ()() = ms () ARI-19-215 9

Přizpůsobení soustavy modelu regulátorem chceme přenos soustavy změnit na jiný přesně zadaný unew rs () ps () soustava u bs () as () qs () ps () y unew gs () f() s model y Formulace (Exact model matching) Dána soustava, tj. as (), bs () a požadovaný přenos (model), tj. f(), s gs () Najdi regulátor, tj. ps (), qs (),() rs tak, aby se výsledný přenos rovnal požadovanému Řešení Všechny vhodné regulátory splňují asps () () + bsqs ()() = f() sbsts ()() rs () = gsts ()() kde b() s g() s = b() s g() s nesoudělné a ts () je libovolný polynomiální parametr ARI-19-213 1