Biomechanika II Modely napjatosti a deformace cév, vliv zbytkových napětí a aktivní vlastnosti ČVUT v Praze, fakulta strojní, ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky Obor: Biomechanika a lékařské přístroje Lukáš Horný Lukas.horny@fs.cvut.cz Říjen 2016
Předpokládané znalosti Předpokládá se, že student si osvojil znalosti anatomie a fyziologie; pokud ne, vizte předměty: Základy anatomie fyziologie I a II, Biomechanika I Předpokládá se znalost předmětů Pružnost a pevnost I a II Předpokládá se základní znalost nelineární mechaniky kontinua vyložená během kurzu Projekt I (BLP) na studenty specializace lékařské přístroje bude v tomto směru brán zvláštní ohled Předpokládají se znalosti hydromechaniky konkrétně tyto pojmy a jevy: přeměna mechanické energie popsaná Bernoulliovou rovnicí, Naveirovy-Stokesovy rovnice a chování vazké (newtonské) kapaliny
Pedagogický cíl Cílem je, aby posluchač měl představu o tom: jak můžeme modelovat napjatost a deformaci v tubulárních objektech lidského těla, výklad je prováděn na příkladu břišní aorty jaký je rozdíl mezi modely 2D a 3D napjatosti že tkáně lidského těla rostou zbytkově napjaté a že zbytková napjatost má významnou mechanickou funkci Pasivní vs. aktivní vlastnosti (aktivace hladkého svalstva a vliv na mechanické chování)
Břišní aorta Příklad, výukový model, pro tubulární tkáně a orgány
Břišní aorta: anatomie Pitva Repro: http://my.clevelandclinic.org/heart/heart-blood-vessels/aorta.aspx Repro: http://www.doereport.com/ enlargeexhibit.php?id=15311
Břišní aorta: anatomie CT Nekontrastní CT zobrazující obrovské aneuryzma (výduť) 1 Pravá plíce 2 Pravá jaterní tepna 3 Játra 4 Levá jaterní tepna 5 Žaludek 6 Levý ohyb tračníku tlustého střeva 7 Slezina 8 Levá plíce 9 Aorta břišní aorty sagitálně axiálně
Břišní aorta: anatomie Aorta je elastická tepna Repro: http://www.lab.anhb.uwa.edu.au/mb140/ corepages/vascular/vascular.htm Repro: http://php.med.unsw.edu.au/embryology/ images/a/ae/artery_histology_16.jpg
Břišní aorta: anatomie Aorta je elastická tepna z β t http://www.biomech.tugraz.at/images/pdf /Gasser_et_al-J_R_Soc_Interface-2006.pdf
Mechanická interakce Tepelná výměna
Mechanická interakce Silová interakce obecně neprobíhá jen vnitřním tlakem Stlačení žilní stěny kosterním svalem (svalová pumpa) Smykové napětí na vnitřní stěně tepny nemusí být jen τ zr ale i τ θr
Mechanická interakce Podélné předpětí tepen λ ini l L+ L = = L L Břišní aorta in situ Břišní aorta ex situ
Mechanická interakce Podélné předpětí břišní aorty vs. stáří Akumulace poškození kalcifikací a proteolýzou, suboptimální remodelace AGING http://journal.frontiersin.org/article/10.3389/fgene.2012.00290/full
Výpočtový model 2D Tenkostěnná válcová skořepina (membrána) Předpoklady modelu: Geometrie: válec R H Vazby: (1) působí na střední ploše, (2) neomezují natočení a radiální posuv Zatížení: (1) vnitřní tlak, (2) axiální síla rovnoměrně rozprostřená do průřezu Materiál: nestlačitelný, nelineární a anizotropní popsaný hustotou deformační energie W Posuvy a deformace: velké Napjatost: 2D homogenní Deformace: 3D homogenní
Výpočtový model 2D Tenkostěnná válcová skořepina (membrána) r z θ Geometrie: válec R H Vazby: (1) působí na střední ploše, (2) neomezují natočení a radiální posuv Zatížení: (1) vnitřní tlak, (2) axiální síla rovnoměrně rozprostřená do průřezu Materiál: nestlačitelný, nelineární a anizotropní popsaný hustotou deformační energie W Posuvy a deformace: velké Napjatost: 2D homogenní Deformace: 3D homogenní
Výpočtový model 2D Tenkostěnná válcová skořepina (membrána) P Geometrie: válec R H Vazby: (1) působí na střední ploše, (2) neomezují natočení a radiální posuv Zatížení na střední ploše: (1) vnitřní tlak, (2) axiální síla rovnoměrně rozprostřená po obvodu Materiál: nestlačitelný, nelineární a anizotropní popsaný hustotou deformační energie W Posuvy a deformace: velké Napjatost: 2D homogenní Deformace: 3D homogenní
Výpočtový model 2D Tenkostěnná válcová skořepina (membrána) F = 2πrf P Geometrie: válec R H Vazby: (1) působí na střední ploše, (2) neomezují natočení a radiální posuv Zatížení na střední ploše: (1) vnitřní tlak, (2) axiální síla rovnoměrně rozprostřená po obvodu Materiál: nestlačitelný, nelineární a anizotropní popsaný hustotou deformační energie W Posuvy a deformace: velké Napjatost: 2D homogenní Deformace: 3D homogenní
Výpočtový model 2D Tenkostěnná válcová skořepina (membrána) 2 2 2 c ce 2 c3( ERR EZZ ) W = e ΘΘ + + 2 σ 1 1 W F T = F pi Geometrie: válec R H Vazby: (1) působí na střední ploše, (2) neomezují natočení a radiální posuv Zatížení na střední ploše: (1) vnitřní tlak, (2) axiální síla rovnoměrně rozprostřená po obvodu Materiál: nestlačitelný, nelineární a anizotropní popsaný hustotou deformační energie W Posuvy a deformace: velké Napjatost: 2D homogenní Deformace: 3D homogenní
Výpočtový model 2D Tenkostěnná válcová skořepina (membrána) σ θθ σ zz σ = σ = σ = σ = 0 rr rθ θz zr Geometrie: válec R H Vazby: (1) působí na střední ploše, (2) neomezují natočení a radiální posuv Zatížení na střední ploše: (1) vnitřní tlak, (2) axiální síla rovnoměrně rozprostřená po obvodu Materiál: nestlačitelný, nelineární a anizotropní popsaný hustotou deformační energie W Posuvy a deformace: velké Napjatost: 2D homogenní Deformace: 3D homogenní
Výpočtový model 2D Tenkostěnná válcová skořepina (membrána) Deformace: 3D homogenní Referenční konfigurace: R, H, L Zdeformovaná konfigurace: r, h, l h r z = λ = λ = λ rr θθ H R Z
Výpočtový model 2D Tenzorový popis deformace F h 0 0 0 0 H λrr r = 0 λθ Θ 0 0 0 = R 0 0 λ z 0 0 Z 2 ERR 0 0 λrr 1 0 0 1 T 1 2 E= 2 ( FF I) = 0 EΘΘ 0 = 0 λθ Θ 1 0 2 2 0 0 E ZZ 0 0 λ 1
Výpočtový model 2D Kinematická podmínka nestlačitelnosti v = V λrr 0 0 J = det ( F) = det 0 λθ Θ 0 = λrrλθ Θλ = 1 0 0 λ
Výpočtový model 2D Silová rovnováha σ θθ σ σ zz rr rp = h Fred rp = + 2π rh 2h = 0
Výpočtový model 2D Finální soustavu rovnic popisující nafukování a protahování uzavřené tenkostěnné nádoby získáme dosazením z konstitutivních rovnic σ σ σ θθ zz rr W = λθ Θ p θθ W = λ p W = λrr p rr σ θθ σ σ zz rr rp = h Fred rp = + 2π rh 2h = 0 λ λ λ θθ rr W θθ W W rr rp p = h Fred rp p = + 2πrh 2h p = 0
Výpočtový model 2D Úpravy soustavy rovnic λ λ λ rr θ Θ = 1 h= λ H r = rr λθ Θ R λ λ λ θθ rr W θθ W W rr p = rp h Fred rp p = + 2πrh 2h p = 0 W W 2 R λθθ λrr = λθ Θλ P θ Θ λrr H λ = λ λ λ = λ λ rr 1 1 θθ 1 1 θθ 2 rr θθ red rr 2H 2πRH λ λ λ λ λ λ 1 1 1 1 rr = θθ rr = θθ rr W W R λ λ λ = λ λ P + F p = λ rr W rr
Výpočtový model 2D 2 rovnice pro dvě neznámé např.: volím P, F red a vypočtu λ θθ, λ W W 2 R λθθ λrr = λθ Θλ P θ Θ λrr H λ = λ λ λ = λ λ rr 1 1 θθ 1 1 θθ 2 rr θθ red rr 2H 2πRH λ λ λ λ λ λ 1 1 1 1 rr = θθ rr = θθ rr W W R λ λ λ = λ λ P + F napětí zpětně dopočtu z konstitutivních rovnic nebo rovnic rovnováhy, z geometrických rovnic určím zdeformované r a h
Výpočtový model 2D Prozkoumejme, jaký vliv má podélné předpětí na mechanickou odezvu břišní aorty při jejím nafukování
Výpočtový model 2D Volíme λ ini = 1, 1.1, 1.2, 1.3, 1.4 pro λ ini = 1 je F red = 0 v ostatních případech ho budeme muset vypočíst Pro W volíme c 1 = 14.7 kpa, c 2 = 3.04, c 3 = 7.38, R i = 5.3 mm, H = 1.22 mm pro muže stáří 38 let podle Labrosse a kol. 2013 http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/s175161611200210x Tlak volíme P = 0.1(i 1) kpa, kde i = 1..181
Výpočtový model 2D Tlak P [kpa] Tlak P [kpa] F red (λ = 1) = 0 N F red (λ = 1.1) = 0.74 N F red (λ = 1.2) = 2.2 N F red (λ = 1.3) = 6.4 N F red (λ = 1.4) = 22 N Streč λ θθ [-] Streč λ [-]
Výpočtový model 2D Důsledky podélného předpětí: minimalizace variace podélné deformace Tlak P [kpa] Streč λ [-]
Výpočtový model 2D Důsledky podélného předpětí zvýšení obvodové roztažnosti tepny Tlak P [kpa] Streč λ θθ [-]
Výhodnost předpětí je důsledek nelinearity Bezrozměrný tlak [-] Bezrozměrný tlak [-] Bezrozměrný tlak [-] Deformace ε θθ [-] Deformace ε θθ [-] Streč λ θθ [-] Lineární pružnost I. řádu nestlačitelný materiál malé posuvy malé deformace hookeovský materiál Lineární pružnost II. řádu nestlačitelný materiál velké posuvy malé deformace linearizovaný neo-hooke Nelineární pružnost nestlačitelný materiál velké posuvy velké deformace neo-hooke materiál http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/s0020740315003033
Výpočtový model 2D vs 3D Skořepina s homogenní membránovou napjatostí 3D P 2D σ θθ = rp h σ θθ 2 2 r i r e = P 1 r 2 2 + 2 e r i r P Silnostěnná nádoba s nehomogenním polem napjatosti
Výpočtový model 2D vs 3D Pokud se stavová veličina mění po tloušťce stěny, skořepinový model je neadekvátní, protože σ θθ 2D = σ = θθ konst. σ θθ 3D = σ θθ ( r) veličiny homogenizuje a soustředí do střední plochy P
Výpočtový model 2D vs 3D Pokud se stavová veličina mění po tloušťce stěny, skořepinový model je neadekvátní, protože veličiny homogenizuje a soustředí do střední plochy 2D σ = σ = konst. rr rr 3D σ ( ) rr = σrr r re + ri σrr σθθ σrr r = = σrr = 0 2 σ rr r ( r) + σ ( r ) re + ri σrr i rr o P = = σrr = = 2 2 2 P σ rr ( ri ) = P ( r ) 0 σ = rr o
Výpočtový model 3D (obvodové) zbytkové napětí a zbytková deformace Beznapěťový stav Zbytkově napjatý stav
Výpočtový model 3D Zbytková deformace úhel rozevření α
Výpočtový model 3D Zbytková deformace zakřivený ohýbaný prut Tažená vlákna + - Tlačená vlákna
Výpočtový model 3D Kinematika ve dvou krocích (1) uzavření f 1 : ( ρφζ,, ) ( R, Θ,Z) f : ξ X 1 R= R ( ρ ) 2π Θ = φ 2π 2α Z = δζ F 1 df ( ξ ) ( ρ ) R 1 R R R 0 0 ρ ρ φ ζ ρ λrρ 0 0 R Θ R Θ R Θ R( ρ ) π 0 0 0 λθ φ 0 1 ρ ρ φ 1 ζ ρ π α 0 0 λ Zζ Z 1 Z Z 0 0 δ ρ ρ φ ζ 1 = = = = dξ
Výpočtový model 3D Kinematika ve dvou krocích f : 2 X x (2) nafouknutí, natažení ( Θ Z ) ( θ ) f : R,, r,, z 2 r = r( R) θ = Θ z = λz F 2 r 1 r r r R 0 0 R R Θ Z R λrr 0 0 df ( X ) r θ r θ r θ r ( R) 0 0 0 λθ Θ 0 dx 1 R R Θ 1 Z R 0 0 λ z 1 z z 0 0 λ R R Θ Z ( ) 2 = = = =
Výpočtový model 3D Výsledná kinematika ( ) ( ) f : ρφζ,, r, θ,z skládání zobrazení f = f 2 f 1 F r 1 r r r 0 0 ρ ρ φ ζ ρ λrρ 0 0 dx dx dx r θ r θ r θ π r = = = = 0 0 = 0 λθφ 0 dx dξ dξ 1 ρ ρ φ 1 ζ π αρ 0 0 λ zζ z 1 z z 0 0 λδ ρ ρ φ ζ ( ρ ) F λrr 0 0 λrρ 0 0 λrρ 0 0 = FF 2 1 = 0 λθ Θ 0 0 λθ φ 0 = 0 λθφ 0 0 0 λ 0 0 λ Zζ 0 0 λ zζ
Výpočtový model 3D Rovnice rovnováhy div ( σ ) = 0 σrr 1 σr θ σrz σrr σθθ + + + = r r θ z r σr θ 1 σθθ σθ z σr θ + + + 2 = 0 r r θ z r σrz 1 σθ z σzz σrz + + + = 0 r r θ z r 0
Výpočtový model 3D Rovnice rovnováhy λrρ 0 0 σrr 0 0 pro F = 0 λθφ 0 předpokládejme, že σ = 0 σθθ 0 0 0 λ zζ 0 0 σ zz σ rr σrr σθθ + = r r 1 σθθ = 0 r θ σ zz = 0 z 0
Výpočtový model 3D Rovnice rovnováhy σ rr σrr σθθ + = r r 1 σθθ = 0 r θ σ zz = 0 z 0 Splníme předpokladem, že ( r,,z) ( r) ( r,,z) ( r) ( r,,z) ( r) σ = σ θ = σ rr rr rr σ = σ θ = σ θθ θθ θθ σ = σ θ = σ zz zz zz dσ rr σrr σθθ + = 0 dr r 1 σθθ = 0 dále nepoužijeme r θ σ = σ zz zz ( r)
Výpočtový model 3D Radiální rovnováha dσ rr σrr σθθ σrr + σ + = 0 dσ rr = dr r r ( r) P σ ( r ) OP: σ = = 0 rr i rr o θθ dr σ σ rr rr ( r ) o ( r ) i ( ) ( ) 0 dσ = σ r σ r = + P= P rr rr o rr i σ σ ( r ) rr o o ( r ) dσ rr = rr i i r r σ θθ σ r rr dr P r o σ = r i θθ σ r rr dr
Výpočtový model 3D Aplikace nestlačitelnosti do napětí přechod od W = W ( λ, λ, λ ) k ( 1 1 W = W λ = λ λ, λ, λ ) = W ˆ ( λ, λ ) rr θθ λ λ λ = 1 λ λ dλ + λ λ dλ + λ λ dλ = 0 rr θθ θθ rr rr θθ rr θθ rr θθ θθ θθ λ λ dλ = λ λ dλ λ λ dλ θθ rr rr θθ rr θθ dw = λ λ σ dλ + λ λ σ dλ + λ λ σ dλ θθ rr rr rr θθ θθ rr θθ zz ( ) ( ) dw = λ λ σ σ dλ + λ λ σ σ dλ rr θθ rr θθ rr θθ zz rr
Výpočtový model 3D Aplikace nestlačitelnosti do napětí přechod od W = W ( λ, λ, λ ) k ( 1 1 W = W λ = λ λ, λ, λ ) = W ˆ ( λ, λ ) rr θθ rr θθ θθ θθ Wˆ Wˆ dwˆ = dλθ Θ + dλ θθ ( ) λ λ σ σ rr θθ rr ( ) λ λ σ σ rr θθ zz rr Ŵ = λθ Θ Ŵ = λ
Výpočtový model 3D Aplikace nestlačitelnosti do napětí vede k nové formě zápisu konstitutivní rovnice pro nestlačitelný materiál λ λ λ rr θ Θ = ( ) λ λ σ σ rr θθ rr ( ) λ λ σ σ rr θθ zz rr 1 Ŵ = λθ Θ Ŵ = λ σ σ = λ θθ rr σ σ = λ θθ zz rr Ŵ θθ Ŵ vs. σ σ σ rr θθ zz W = λrr rr W = λθ Θ θθ W = λ p p p
Výpočtový model 3D Radiální rovnováha P ro = σθθ σrr dr r r r o i P = r i λ θθ Ŵ dr r θθ
Výpočtový model 3D Axiální rovnováha ro 2 red = π i + 2π σzz r F r P rdr i
Výpočtový model 3D Axiální rovnováha σ = σ + λ zz rr Ŵ ro ro ro 2 Wˆ 2 Wˆ Fred = πri P + 2π σrr + λ rdr = πri P + 2π σrrrdr + 2π λ rdr = λ r r r i i i ˆ Wˆ = πr P + π σ dr + π λ rdr = πr P + π σ dr + π λ rdr ro ro ro 2 ro 2 W 2 dr i rr 2r 2 i rr 2 r r dr r r i i i i 2 dr dr = 2r
Výpočtový model 3D Axiální rovnováha uvažme, že r πr P= πr σ ( r) πr σ ( r ) = π r σ ( r) 2 2 2 2 o i i rr i o rr o rr ri takže o o o o dr Wˆ r dr Wˆ F π σ dr π λ rdr π σ dr π λ rdr r 2 r r 2 r 2 2 o red = πrp i + rr + 2 = π rσ rr ( r) + rr + 2 dr r r ri dr r r i i i i
Výpočtový model 3D Axiální rovnováha uvažme, že r r π r σ r π σ dr π r dr π r σ r π σ dr π r dr ro 2 ro ro 2 ro 2 o dr dσrr 2 2 o dr dσrr 2 rr ( ) = rr + rr ( ) + rr = ri dr dr r r r i dr dr r r takže i i i i F r ro 2 ro ro ro 2 o dr W dσ rr 2 red = π r σrr ( r) + π σr r dr + 2π λ rdr = π r dr + 2π λ ri dr r r dr r r i i ˆ i i Wˆ rdr
Výpočtový model 3D Axiální rovnováha uvažme, že takže dσ dr rr = σθθ σ r rr ˆ Wˆ F = r dr + rdr = r dr + rdr = ro ro ro ro dσ rr 2 W σθθ σrr 2 red π 2π λ π 2π λ dr r r r r r i i i i ro ro ro ro Wˆ Ŵ Wˆ = π ( σ σ ) rdr + 2π λ rdr = π λ rdr + 2π λ rdr θθ rr θθ r r r θθ r i i i i σ σ = λ θθ rr θθ Ŵ θθ
Výpočtový model 3D Axiální rovnováha má tvar ro ro ro Wˆ Wˆ Wˆ Wˆ Fred = π λθ Θ rdr + 2π λ rdr = π 2λ λθ Θ rdr r θθ r λ r θ Θ i i i
Výpočtový model 3D Výpočtový model silnostěnné nádoby můžeme použít jak při zavírání kroužku, tak při nafukování a protahování trubice F red ro Wˆ = π 2λ λθ r i Θ Wˆ θθ rdr Dvě nelineární rovnice s numerickou integrací pro dvě neznámé. Volím např. P a F red a vypočtu λ θθ a λ.
Výpočtový model 3D Výpočtový model silnostěnné nádoby břišní aorta: muž 38 let F red ro Wˆ = π 2λ λθ r i Θ Wˆ θθ rdr c 1 = 14.7 kpa, c 2 = 3.04, c 3 = 7.38 R i = 5.3 mm, H = 1.22 mm α = 117 http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/s175161611200210x
Výpočtový model 3D vs 2D λ ( ) ( r ) ( ) θφ r i λ θφ λ θφ r o Tlak P [kpa] 20 15 10 5 0 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 λ θφ [-] V silnostěnné trubici není rozložení napětí a deformace po tloušťce stěny lineární, a tak poloha r = ( ri + r o) / 2 ve 2D neodpovídá poloze r vypočtené ve 3D. Obdobně pro deformace. 2D λ θφ ( r ) λ θφ ( ) + λ ( r ) r i θφ o 2 3D
Výpočtový model 3D vs 2D Tlak P [kpa] 20 15 10 5 Tenkostěnný model (2D) Silnostěnný model (3D) Ačkoliv v silnostěnné trubici platí, že σrr = σrr ( r ), σθθ = σθθ ( r ), σzz = σzz ( r ), λrρ = λrρ ( r ), λθφ = λθφ ( r ), tak λ = konst λ ( r). zζ zζ Proto λ ( r z i) z ( r ζ = λ ζ o). 0 1 1.1 1.2 1.3 1.4 λ [-]
Výpočtový model 3D Zbytková deformace pro α = 117 ρ = 16. 19 mm i ρ = 17. 42 mm λ o Zζ = 1. 001 R = 5. 3 mm i R = 6. 52 mm o Streč λ ik [-] λ λ λ Θφ Zζ Rρ R ( ) R ( ) Uzavřený poloměr R [mm]
Výpočtový model 3D Zbytková napětí pro α = 117 a λ Zζ = 1.001 ρ = 16. 19 mm i ρ = 17. 42 mm λ o Zζ = 1. 001 R = 5. 3 mm i R = 6. 52 mm o Napětí σ ii [kpa] σ σ σ ΘΘ RR ZZ R ( ) R ( ) R ( ) Uzavřený poloměr R [mm]
Výpočtový model 3D Vliv zbytkových napětí na napjatost při nafukování Beznapěťový stav Po nafouknutí Beznapěťový stav Zbytkově napjatý stav Po nafouknutí
Výpočtový model 3D 360 0 σ θθ [ kpa ] [ ] σ zz kpa [ ] σ rr kpa 80 0 Radius [ mm] Radius [ mm] http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/s175161611200210x
Výpočtový model 3D Stárnutí a patologické procesy vedou ke ztrátě optimální regulace mechanobiologických pochodů Neoptimální remodelace tepny způsobí růst zbytkových napětí-deformací do hodnot tepennou stěnu přetěžujících
Aktivní vlastnosti cévní stěny http://www.biomech.tugraz.at/images/pdf /Gasser_et_al-J_R_Soc_Interface-2006.pdf http://clinicalgate.com/smooth-muscle-and-thecardiovascular-and-lymphatic-systems/
Aktivní vlastnosti cévní stěny Elastická tepna může aktivně tuhnout, a zrychlit tak průchod pulsní vlny změna rozměrů není významná (relaxace/kontrakce SMC) http://link.springer.com/article/10.1114/1.1507326
Aktivní vlastnosti cévní stěny Odporová tepna nebo tepénka budou kontrakcí SMC významně měnit rozměry (škrtit průtok krve) https://opentextbc.ca/anatomyandphysiology/chapter/20-1-structure-and-function-of-blood-vessels/