Úvod do teorie pravděpodobnosti Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 9. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 33
Obsah 1 Náhodné jevy 2 Pravděpodobnost 3 Podmíněná pravděpodobnost 4 Úplná pravděpodobnost 5 Bayesův vzorec Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 2 / 33
Náhodné jevy Pravděpodobnost intuitivně Příklad Znáte ze středí školy. Provedeme pokus (hod mincí/kostkou, výběr karty z balíčku) a sledujeme jeho výsledek (padla šestka, vybrali jsme eso). Jaká je šance, že nastane výsledek? Máme balíček obsahující 108 karet. Jakou máme šanci, že vybraná karta bude žolík? Řešení: 4 108 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 3 / 33
Základní pojmy Pokus: Náhodné jevy Deterministický (splnění stejných počátečních podmínek vede vždy ke stejnému výsledku). Náhodný (výsledek pokusu se mění i při zachování stejných počátečních podmínek). Základní prostor - množina všech možných výsledků pokusu: Ω = {ω 1, ω 2, ω 3,..., ω n,...} }{{} elementární jevy Náhodný jev - libovolná podmnožina Ω. Jev nemožný: Jev jistý: Ω Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 4 / 33
Náhodné jevy Operace s náhodnými jevy S náhodnými jevy pracujeme jako s množinami. Průnik jevů A a B je jev, který nastane právě tehdy, když nastanou jevy A a B současně. Značíme jej A B. Jestliže A B =, mluvíme o jevech disjunktních (neslučitelných). Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 5 / 33
Náhodné jevy Sjednocení jevů A a B je jev, který nastane právě tehdy, když nastane alespoň jeden z jevů A a B. Značíme jej A B. Opačný jev (nebo též doplněk) k jevu A je jev, který nastane právě tehdy, když nenastane jev A. Značíme jej A a platí A = Ω \ A. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 6 / 33
Náhodné jevy Příklad Házíme klasickou kostkou. Jev A značí, že padne sudé číslo. Jev B značí, že padne číslo větší než 4. Určete Ω, A, B, A, B, A B, A B, A \ B, B \ A. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 7 / 33
Náhodné jevy Jevové pole Bud Ω a S systém podmnožin množiny Ω, který má tyto vlastnosti 1) Ω S, 2) jestliže A S, pak také A = Ω \ A S, 3) jestliže A k S, k = 1, 2,..., pak také k=1 A k S. Pak S nazveme množinovou σ-algebrou a dvojici (Ω, S) nazveme jevovým polem. Množinu A Ω nazveme náhodným jevem, jestliže A S. S každými dvěma množinami A, B S obsahuje σ-algebra nejen jejich doplňky, ale i jejich sjednocení, průnik a rozdíl. σ-algebra je systém uzavřený na obvyklé operace s množinami. Každá σ-algebra musí obsahovat prázdnou množinu. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 8 / 33
Náhodné jevy Příklad Pro množinu Ω = {1, 2, 3} je příkladem σ-algebry: systém všech jejích podmnožin S 1 = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}. systém podmnožin S 2 = {, {1}, {2, 3}, {1, 2, 3}}. Příklad Pro množinu Ω = {1, 2, 3} je příkladem systému podmnožin, který není σ-algebrou např. S 3 = {, {1}, {2}, {1, 2, 3}}. Doplněk množiny A = {1}, tj. A = {2, 3}, není prvkem S 3. Sjednocení množin A = {1}, B = {2}, tj. množina A B{1, 2}, není prvkem S 3. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 9 / 33
Pravděpodobnost Axiomatická definice pravděpodobnosti Necht (Ω, S) je jevové pole. Pak zobrazení P : S R nazveme pravděpodobností, jestliže splňuje následující tři axiomy: 1) P(Ω) = 1, 2) P(A) 0 pro každé A S, 3) jestliže A k S, k = 1, 2,..., jsou navzájem disjunktní jevy, A i A j = pro i j, pak P(A 1 A 2 ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) +. Pro libovolný náhodný jev A číslo P(A) nazveme pravděpodobností jevu A. Trojice (Ω, S, P) se nazývá pravděpodobnostní prostor. Pravděpodobnost je funkce, která každé množině ze σ-algebry S přiřazuje jakousi velikost, přičemž velikost celé množiny Ω je rovna jedné. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 10 / 33
Pravděpodobnost Klasická pravděpodobnost Jevy můžeme hodnotit podle toho, jak velkou mají naději, že při náhodném pokusu nastanou (= pravděpodobnost nastoupení). Necht základní prostor Ω je konečný a nastoupení všech elementárních jevů je stejně možné. Pravděpodobnost jevu A označíme P(A) a definujeme ji jako P(A) = počet možností příznivých jevu A počet všech možností = A Ω, kde značí počet prvků množiny. Pravděpodobnost míra možnosti nastoupení daného jevu (s jakou relativní četností nastane příslušný jev v dlouhé (!!) posloupnosti pokusů) Pearson dostal z 24 000 hodů mincí relativní četnost líců 0,5005. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 11 / 33
Pravděpodobnost Příklad Házíme klasickou kostkou. Jev A značí, že padne sudé číslo. Jev B značí, že padne číslo větší než 4. Určete P(Ω), P(A), P(B), P(A), P(B), P(A B), P(A B), P(A \ B), P(B \ A). Příklad Pokud se ke zkoušce naučíte z 10 otázek pouze 4, jaká je pravděpodobnost, že ze 3 vylosovaných otázek budete znát a) právě 2 (jev A), b) alespoň 1 (jev B)? Řešení: a) P(A) = (4 2)( 6 1) ( 10 3 ) = 0,3 b) P(B) = 1 P(B) = 1 (4 0)( 6 3) ( 10 3 ) = 1 6 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 12 / 33
Příklad Pravděpodobnost Házíme 2x klasickou kostkou. S jakou pravděpodobností bude součet na obou kostkách větší než 9? Řešení: A...součet větší než 9 A = {[5, 5], [4, 6], [6, 4], [5, 6], [6, 5], [6, 6]} P(A) = 6 36 = 1 6 Příklad Kolikrát je třeba hodit hrací kostkou, aby pravděpodobnost, že alespoň jednou padne 6, byla větší než 0.7? Řešení: A...alespoň jednou padne 6 A...ani jednou nepadne 6 P(A) = 1 P(A) = 1 ( 5 6) n > 0,7 n > 6,6... n = 7 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 13 / 33
Pravděpodobnost Když nelze použít klasickou pravděpodobnost Co když jsou porušeny předpoklady použití klasické pravděpodobnosti, tedy základní prostor Ω není konečný, nastoupení všech elementárních jevů není stejně možné? Množina Ω se nazývá spočetná, jestliže její prvky lze uspořádat do nekonečné posloupnosti, tj. Ω = {ω 1, ω 2,... }. Spočetná množina např. N, Z,... Nespočetná množina např. R, 0, 1,... Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 14 / 33
Pravděpodobnost Když nelze použít klasickou pravděpodobnost Předpokládejme, že množina všech možných výsledků pokusu Ω je nanejvýš spočetná a jednotlivým elementárním jevům ω i, i = 1, 2,..., jsou přiřazeny pravděpodobnosti P(ω i ) 0, které mohou být navzájem různé a které splňují P(ω) = 1. ω Ω Pravděpodobnost jevu A Ω pak definujeme jako P(A) = ω A P(ω). Pravděpodobnost jevu A tedy počítáme tak, že sečteme pravděpodobnosti všech elementárních jevů, které do jevu A spadají. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 15 / 33
Pravděpodobnost Nastoupení všech element. jevů není stejně možné Příklad Máme kostku, která není homogenní, takže šestka na ní padá s pravděpodobností 0,75. Jednička padá jen s pravděpodobností 0,01. U všech ostatních čísel jsou pravděpodobnosti stejné. Jaká je pravděpodobnost, že na této kostce padne sudé číslo? Řešení: Ω = {ω 1,..., ω 6 }, kde ω i značí, že na kostce padlo číslo i, i = 1,..., 6. A = {ω 2, ω 4, ω 6 } P(ω 1 ) = 0,01, P(ω 6 ) = 0,75, P(ω 2 ) = P(ω 3 ) = P(ω 4 ) = P(ω 5 ) =? P(ω 1 )+ +P(ω 6 ) = 1 0,01+4P(ω 2 )+0,75 = 1 P(ω 2 ) = 0,06. P(A) = P(ω 2 ) + P(ω 4 ) + P(ω 6 ) = 0,06 + 0,06 + 0,75 = 0,87. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 16 / 33
Pravděpodobnost Základní prostor Ω není konečný, ale spočetný Příklad Házíme mincí, dokud nepadne líc. Jaká je pravděpodobnost, že budeme muset hodit více než třikrát? Řešení: Ω = {L, RL, RRL, RRRL, RRRRL,... } A = {RRRL, RRRRL,... } Výpočet P(A) = součet nekonečné řady čísel... Opačný jev = líc padne dříve než na čtvrtý pokus Padne L hned napoprvé: 1/2 Padne RL: 1/4 (LL, LR, RL a RR) Padne RRL: 1/8 (LLL, LLR, LRL, RLL, RRR, RRL, RLR, LRR) ( 1 P(A) = 1 2 + 1 4 + 1 ) = 1 7 8 8 = 1 8 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 17 / 33
Pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Co když je základní prostor Ω nespočetný? Jestliže množina všech výsledků pokusu Ω tvoří oblast v R m, všechny její prvky jsou stejně pravděpodobné a µ(ω) <, pak pravděpodobnost jevu A Ω definujeme jako P(A) = µ(a) µ(ω), kde symbolem µ( ) myslíme míru oblasti. Pro jednorozměrnou oblast máme na mysli její délku, pro dvourozměrnou obsah a pro třírozměrnou objem. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 18 / 33
Pravděpodobnost 1D Příklad Na semaforu pro chodce svítí vždy jednu minutu zelená a tři minuty červená. K semaforu mohu přijít se stejnou pravděpodobností v kterémkoli okamžiku. Jaká je pravděpodobnost, že zrovna bude zelená? Řešení: Ω = 0, 4) A = 0, 1) (čas v minutách od poslední zelené) (zelená svítí 1 minutu) P(A) = µ(a) µ(ω) = 1 4 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 19 / 33
Pravděpodobnost 2D Příklad Honza a Marek mají sraz v hospodě mezi osmou a devátou hodinou (každý okamžik příchodu je stejně pravděpodobný). První příchozí si dá pivo, což mu zabere 15 minut. Jestliže do vypití piva kamarád nepřijde, tak zaplatí a odejde. Jaká je pravděpodobnost, že se Honza s Markem setkají? Řešení: Mají se potkat během 1 hodiny. x - čas příchodu Honzy (v hodinách) y - čas příchodu Marka Ω = {(x, y) : 0 x 1, 0 y 1} A - potkají se A = { (x, y) : x y 1 4 } Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 20 / 33
Pravděpodobnost µ(ω) = 1 µ(a) = 1 ( ) 3 2 4 = 1 9 16 = 7 16 P(A) = µ(a) 7 µ(ω) = 16 1 = 7 16 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 21 / 33
Podmíněná pravděpodobnost Podmíněná pravděpodobnost Jaká je pravděpodobnost nějakého výsledku, když už víme, že první fáze pokusu dopadla určitým způsobem? Pravděpodobnost jevu A za podmínky, že nastal jev B, nazveme podmíněnou pravděpodobností a označíme ji P(A B) = P(A B), P(B) > 0. P(B) Jev A nazýváme podmíněným jevem, o jevu B mluvíme jako o hypotéze. Podobně můžeme definovat pravděpodobnost jevu B za podmínky, že nastal jev A. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 22 / 33
Příklad Podmíněná pravděpodobnost Hodíme dvěma homogenními kostkami, bílou a červenou. Jev A značí, že na bílé kostce padne šestka. Jev B značí, že součet na obou kostkách bude větší než 10. Určete P(A B), P(B A) a P(B A). Řešení: Ω = {[1, 1], [1, 2],..., [6, 6]}, P(Ω) = 1 A = {[6, 1], [6, 2], [6, 3], [6, 4], [6, 5], [6, 6]}, P(A) = 6 36 B = {[6, 5], [5, 6], [6, 6]}, P(B) = 3 36 A B = {[6, 5], [6, 6]}, P(A B) = 2 36 B A = {[5, 6]}, P(B A) = 1 36 P(A B) = P(A B) P(B) = 2 36 3 36 = 2 3 P(B A) = P(B A) P(A) = 2 36 6 36 = 1 3 P(B A) = P(B A) P(A) = 1 36 30 36 = 1 30 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 23 / 33
Příklad Podmíněná pravděpodobnost Máme sadu výrobků, z nichž jedna třetina nefunguje. Dále víme, že jedna čtvrtina z celkového počtu výrobků má poškozený obal. Z těch, které mají poškozený obal, jich nefunguje 80 %. Jestliže náhodně vybereme jeden výrobek, jaká je pravděpodobnost, že má poškozený obal a nefunguje? Řešení: A...výrobek má poškozený obal B...výrobek nefunguje P(A) = 1/4 P(B) = 1/3 P(B A) = 4/5 P(B A) = P(B A) P(A) P(B A) = P(A) P(B A) = 1 4 4 5 = 1 5 Informace o počtu nefungujících výrobků byla nadbytečná. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 24 / 33
Podmíněná pravděpodobnost Závislost a nezávislost Někdy narazíme na jevy, které se navzájem nijak neovlivňují. Jevy A a B, které mají nenulovou pravděpodobnost, nazveme nezávislé v případě, že pravděpodobnost jevu A není nijak ovlivněna tím, zda jev B nastal nebo nenastal (a naopak), tj. platí-li P(A B) = P(A), P(B A) = P(B). Je-li pravděpodobnost některého z jevů A, B nulová, pak jevy A, B také označíme za nezávislé. Jestliže jevy A, B nejsou nezávislé, pak jsou závislé. Nutná a postačující podmínka nezávislosti Řekneme, že náhodné jevy A, B jsou nezávislé, jestliže P(A B) = P(A) P(B). Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 25 / 33
Podmíněná pravděpodobnost Pravděpodobnost průniku/sjednocení jevů Sjednocení jevů: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (jsou-li jevy A, B disjunktní) P(A B C) = P(A) +P(B) +P(C) P(A B) P(A C) P(B C) +P(A B C) Průnik jevů: P(A B) = P(A) P(B) P(A B) = P(A)P(B A) P(A B C) = P(A)P(B A)P(C A B) (jsou-li jevy A, B nezávislé) Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 26 / 33
Podmíněná pravděpodobnost Příklad Zjistěte, zda jsou jevy A, B nezávislé, jestliže P(A) = 0,4, P(B) = 0,6 a P(A B) = 0,7. Řešení: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = 0,4 + 0,6 0,7 = 0,3 P(A) P(B) = 0,4 0,6 = 0,24 0,3(nejsou nezávislé) Příklad Z karetní hry obsahující 52 karet je náhodně vybrána 1 karta. Vypočítejte pravděpodobnost, že je to kříž nebo karta s počtem bodů od 6 do 10 (včetně) nebo dvojka. [ 31 ] 52 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 27 / 33
Podmíněná pravděpodobnost Příklad Dělník obsluhuje 3 stroje, které pracují nezávisle na sobě. Pravděpodobnost, že dojde během směny k poruše na 1. stroji je 0,1, na 2. stroji 0,2 a na 3. stroji 0,05. Jaká je pravděpodobnost, že během směny nedojde k poruše na žádném stroji? Řešení: A i...porucha na stroji i, i = 1, 2, 3 B...nedojde k poruše na žádném stroji P(B) = P(A 1 A 2 A 3 ) P(A 1 ) = 0,1 P(A 1 ) = 0,9 P(A 2 ) = 0,2 P(A 2 ) = 0,8 P(A 3 ) = 0,05 P(A 3 ) = 0,95 P(B) = P(A 1 A 2 A 3 ) = P(A 1 )P(A 2 )P(A 3 ) = 0,684 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 28 / 33
Úplná pravděpodobnost Úplná pravděpodobnost Základní prostor Ω rozdělen na n navzájem disjunktních náhodných jevů H 1, H 2,..., H n (hypotézy). Ω = n i=1 H i (tvoří úplný systém neslučitelných jevů). Známe P(H i ) > 0 pro i = 1,..., n (apriorní pravděpodobnosti). Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 29 / 33
Úplná pravděpodobnost Úplná pravděpodobnost Necht H 1, H 2,..., H n jsou navzájem disjunktní náhodné jevy (tzv. hypotézy) takové, že P(H i ) > 0 pro i = 1,..., n. Dále necht Pak pro každý náhodný jev A platí H 1 H 2 H n = Ω. P(A) = n P(H i ) P(A H i ) = P(H 1 ) P(A H 1 ) + + P(H n ) P(A H n ) i=1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 30 / 33
Příklad Úplná pravděpodobnost Zkoušku z matematiky dělali studenti dvou oborů: Realitní inženýrství a Expertní inženýrství v dopravě. Z celkového počtu studentů bylo 60 % z Realitního inženýrství. U zkoušky uspělo 80 % studentů Realitního inženýrství a 75 % studentů Expertního inženýrství v dopravě. Jestliže náhodně vybereme jednoho studenta, jaká je pravděpodobnost, že uspěl? Řešení: A...student udělal zkoušku H R...student Realitního inženýrství H E...student Expertního inženýrství v dopravě P(H R ) = 0,6 P(H E ) = 0,4 P(A H R ) = 0,8 P(A H E ) = 0,75 P(A) = P(H R )P(A H R ) + P(H E )P(A H E ) = 0,78 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 31 / 33
Bayesův vzorec Bayesův vzorec Co když už víme, jak pokus dopadl, a ptáme se na pravděpodobnost některé z hypotéz? Jestliže P(A) > 0, pak pro každé j = 1,..., n platí P(H j A) = P(H j) P(A H j ) P(A) = P(H j ) P(A H j ) n i=1 P(H i) P(A H i ). Příklad (pokračování) Náhodně oslovený student zkoušku udělal. Jaká je pravděpodobnost, že je studentem Realitního inženýrství? Řešení: P(H R A) = P(H R) P(A H R ) P(A) = 0,6 0,8 0,78 = 0,615 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 32 / 33
Příklad Bayesův vzorec Do obchodu s potravinami dodávají rohlíky 3 pekárny v počtech 500, 1000 a 1500 kusů denně. Zmetkovitost dodávek je 5 %, 4 % a 3 %. Dodávky jsou v obchodě smíchány do celkové zásoby. Určete pravděpodobnost, že náhodně vybraný rohlík z celkové zásoby je zmetek. Po koupi rohlíku jste zjistili, že vám prodavač podstrčil zmetek. Jaká je pravděpodobnost, že byl dodán 2. pekárnou? Řešení: A...vybraný rohlík je zmetek H i...rohlík byl dodán i-tou pekárnou, i = 1, 2, 3 P(H 1 ) = 1/6 P(H 2 ) = 1/3 P(H 3 ) = 1/2 P(A) = 3 i=1 P(H i) P(A H i ) = 0,036 P(H 2 A) = P(H 2) P(A H 2 ) P(A) = 0,36 P(A H 1 ) = 0,05 P(A H 2 ) = 0,04 P(A H 2 ) = 0,03 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 33 / 33