VYSOKÉ UENÍ TECHNICKÉ V BRN FKULT STVEBNÍ JN JNDOR HYDRULIK HYDROLOGIE MODUL STUDIJNÍ OPOR PRO STUDIJNÍ PROGRMY S KOMBINOVNOU FORMOU STUDI
Hydraulika a ydroloie Jan Jandora, 5 - (88) -
Obsa OBSH Úod...7. Cíle...7. Požadoané nalosti...7.3 Doba otebná ke studiu...7.4 Klíoá sloa...7 ÁST I HYDRULIK...8 Fyikální lastnosti kaalin...8. Hustota a mrná tía kaaliny...8. Soudržnost kaalin...9.3 Viskoita kaalin...9.4 Stlaitelnost kaalin...9.5 Teelná rotažnost....6 Porcoé natí....7 Kailarita....8 Teelná odiost....9 Ideální kaalina... 3 Hydrostatika...3 3. Tlak kaalin...4 3. Neromnnost tlaku rnýc smrec...4 3.3 Euleroa diferenciální ronice ronoáy kaalin...5 3.4 Tlak kaalin, na níž sobí jen tíže...7 3.5 Rooé a ladinoé locy, sojité nádoby a Pascal teorém...8 3.6 Tlakoá síla kaaliny na odoroné locy...9 3.7 Tlakoá síla kaaliny na roinné locy... 3.7. nalytické ešení... 3.7. Horiontální a ertikální složka ydrostatické tlakoé síly na roinné locy... 3.7.3 Grafické náornní ydrostatickéo tlaku na roinné locy s konstantní šíkou omocí atžoacíc obrac...3 3.8 Tlakoé síly na akiené locy...4 3.9 Ploání tles...6 4 Hydrodynamika...3 4. Ronice kontinuity D...34 4. Bernoullio ronice...36 4.. Bernoullio ronice...36 4.. Píklady oužití Bernoullio ronice...39 4.3 Vta o ybnosti (imulsoá ta)...4 5 Výtok kaaliny otorem nádob...43 5. Ustálený ýtok kaaliny otorem nádob...43 5.. Volný ýtok malým otorem e dn...43 5.. Souinitelé ýtoku, úžení, ýtokoé ryclosti a trát...45 5..3 Volný ýtok otorem e sislé stn...47 5..4 Volný ýtok ydraulicky malým otorem e sislé stn...49 5..5 Výtok onoeným otorem e sislé stn...49 5..6 Výtok ásten onoeným obdélníkoým otorem...5-3 (88) -
Hydraulika a ydroloie 5..7 Volný ýtok obdélníkoým otorem šikmé stn... 5 5. Plnní a rádnní... 5 5.. Plnní a rádnní rimatické nádoby otorem i Q konst.... 53 5.. Prádnní álcoé cisterny otorem i Q... 54 6 Peady... 57 6. Ostroranné eliy... 59 6.. Výoet eadu es ostrou ranu, Bain eli... 59 6.. Nedokonalý ead es ostrou ranu... 6 6..3 Ostroranné eliy s boním úžením... 6 6. Jeoé eliy... 63 6.. Výoet eadu es jeoá tlesa... 64 6.. Nedokonalý ead... 64 6..3 Vli dorysnéo usoádání je... 65 6..4 Boní kontrakce... 65 6..5 Jey obdélníkoéo ínéo reu... 66 6..6 Jey licobžníkoéo ínéo reu... 66 6..7 Proudnicoá eliná loca... 67 6..8 Nkteré tyy oybliýc je... 68 6.3 Pead es širokou korunu be bonío úžení... 68 7 Ustálené tlakoé roudní ody otrubí... 74 7. Hydraulické odory... 74 7. Základní ronice ro ronomrný oyb kaalin... 75 7.3 Laminární a turbulentní roudní... 77 7.4 Ztráty tením... 79 7.4. Souinitel tení... 8 7.4. Ryclostní souinitel C... 8 7.4.3 Emirické ýray ro ýoet souinitele tení λ... 83 7.5 Místní tráty... 84 7.5. Nálé rošíení reu otrubí - Bordoa tráta... 85 7.5. Kónické rošíení reu... 86 7.5.3 Nálé úžení reu... 87 7.5.4 Kónické úžení reu... 87 7.5.5 Ztráta na toku do otrubí a ýtoku otrubí... 88 7.5.6 Ztráta obloucíc a kolenec... 88 7.6 Hydraulicky krátká otrubí... 9 7.6. Sybka... 9 7.6. Hydraulicky krátká složená otrubí... 9 7.7 Hydraulicky dloué otrubí a otrubí s odbrem o délce... 9 8 Ustálené roudní ody oteenýc korytec... 96 8. Ronomrné roudní ody oteenýc korytec... 96 8.. Výoet reoé ryclosti... 97 8.. Ryclostní orec Paloskéo... 97 8..3 Ryclostní orec Mannin... 98 8..4 Ryclostní orec Strickler... 98 8..5 Hydraulický ýoet ronomrnéo roudní oteenýc korytec... 99-4 (88) -
8..6 Profily o rnýc drsnostec jednotliýc ástí...99 8..7 Složené rofily... 8..8 Uaené rofily s olnou ladinou... 8..9 Mrná enerie reu... 8.. Proudní kritické, íní a bystinné... 8.. Urení kritické loubky e ybranýc rofilec...4 8.. Froudoo kritérium...4 8. Neronomrné ustálené roudní ody oteenýc korytec...5 8.. Kiky dutí a snížení...5 8.. ešení neronomrnéo oybu metodou o úsecíc...6 8..3 ešení neronomrnéo oybu metodou o úsecíc rimatickýc korytec...8 8..4 ešení neronomrnéo oybu metodou o úsecíc iroenýc korytec...9 8..5 Výoet rtoku e náméo rbu ladiny... 8..6 Výoet rtok ramenec koryta... 9 Vodní skok...5 9. Druy odnío skoku...6 9. Prostý odní skok...7 9.. Funkce odnío skoku...7 9.. Výoet ájemnýc loubek...8 9..3 Délka odnío skoku...9 9..4 Ztráta enerie e odním skoku...9 9.3 Sojení ladin odníc drží nár ýaru...9 9.3. Základní ronice... 9.3. Dimenoání odjeí - ýaru... 9.3.3 Scéma ydraulickéo ešení ýaru... Mosty...5. Mosty na tocíc s íním roudním...6.. Vtok atoený dolní odou...6.. Vtok není atoený dolní odou...7. Mosty na tocíc s bystinným roudním...7 Proustky...9. Proustky s olnou ladinou o celé délce...3.. Proustky neolinné dolní odou...3.. Proustky olinné dolní odou...3. Proustky s olnou ladinou a atoeným tokem...3.. Proustky neolinné dolní odou...3.. Proustky olinné dolní odou...3.3 Tlakoé roustky (kruoé)...33.3. Výtok roustku není atoen dolní odou...33.3. Výtok roustku je atoen dolní odou...34 Proudní odemní ody...35. Darcyo ta...36. Duuitoy edoklady...38.3 Jímání odemní ody...39.3. Filtraní stabilita na lášti studny...39-5 (88) -
Hydraulika a ydroloie.3. Úlná studna s olnou ladinou... 4.3.3 Neúlná studna s olnou ladinou... 4.3.4 Studny tlakoé... 4.3.5 Studny sakoací... 4.4 Sbrná štola... 43.5 Soustaa studní... 44 ÁST II HYDROLOGIE... 47 3 Hydroloie - ákladní ojmy... 47 3. Výnam a rodlení ydroloie... 47 3. Výoj ydroloie... 48 3.3 Rodlení ody na emi... 49 3.4 Kolob ody na emi... 49 3.5 Poodí... 5 3.6 Srážkoodtokoý roces oodí... 5 3.7 Základní bilanní ronice... 53 4 Meteoroloie a klimatoloie... 53 4. Vlkost oduší... 54 4. Výar... 55 4.3 Srážky... 57 4.3. Vnik a druy... 57 4.3. Extrémní dešt... 57 4.3.3 Mení srážek... 59 4.4 Plošné a asoé rodlení srážek. Extrémní odnoty... 6 5 íní sí... 6 Vodní toky... 6 5. Vodní stay a jejic ooroáni... 63 5. Mení rtok... 65 5.3 Mrná kika rtoku... 68 6 Režim odníc tok... 69 6. áry etnosti a áry ekroení rtok... 7 6. Vliy sobící na orcoý odtok... 7 6.3 Maximální rtoky... 74 6.4 Minimální rtoky... 8 6.5 Zimní režim tok a ledoé jey... 8 7 Vodní nádrže... 8 8 Zár... 84 8. Srnutí... 84 9 Studijní rameny... 84 9. Senam oužité literatury... 84 9. Senam dolkoé studijní literatury... 85 utotest... 85 Klí... 87-6 (88) -
Úod Úod. Cíle Studijní text Hydraulika a ydroloie, který máte ed sebou, je studijní oorou stejnojmennéo edmtu kombinoaném studiu bakaláskéo studijnío roramu Inženýrské staitelstí na Fakult staební Vysokéo uení tecnickéo Brn. Snaou autora bylo, aby obsa textu byl sroumitelný a ároe struný. Teoretické odoení nalene tená studijníc ramenec (Ka. ). Hromadný ýskyt ody na Zemi a její neastuitelnost ro eškerý žiot a innost loka, byl íinnou too, že se ostun yinula ada dníc obor abýajícíc se ýskytem ody, jejím obem, mecanickými lastnostmi, odní bioloií, cemií, atd. V dalším se budeme abýat jednou nic, a to ydraulikou, která toí solen s ydroloií teoretické áklady odnío staitelstí. Hydraulika by se odle séo náu (ydor oda, aulos otrubí, žlab) mla abýat oue oybem ody otrubí nebo e žlabu. Ve skutenosti je její nál mnoem širší. Hydraulika je da o ákonitostec ronoáy a oybu tekutin a ájemném sobení tekutin a tuýc tles. Její fyikáln matematický áklad toí ydromecanika, která je ástí klasické teoretické mecaniky. Pro úloy tecnické raxe, ro které nemá ydromecanika teoretickéo ešení, oužíá ydraulika ta emirickýc, odoenýc ooroání a mení írod in situ nebo na modelec. Hydroloie by odle doslonéo ekladu etiny (loos nauka) namenala nauka o od. Dnes oužíáme tento náe užším smyslu a ydroloie je da o ýskytu a obu ody írod, která e systematickéo ooroání tcto je írod formuluje íslušné áry, ákonitosti a tay.. Požadoané nalosti Mei ožadoané nalosti atí ejména áklady fyiky a matematiky..3 Doba otebná ke studiu Doba otebná ke studiu této ákladní ásti ydrauliky je cca 3 odin a dalšíc cca 8 odin na rooítání íklad..4 Klíoá sloa ydraulika, ydrostatika, ydroloie, ronice sojitosti, Bernoullioa ronice, roudní ody otrubí, ýtok kaaliny otorem, eady, tráty otrubí, roudní ody kanálec s olnou ladinou, odní skok, meteoroloie, íní sí, odní nádrže, roudní odemní ody. - 7 (88) -
Hydraulika a ydroloie ÁST I HYDRULIK Hydraulika je oddíl tecnické mecaniky, která studuje ákony klidu a oybu kaalin. Dlí se na d ákladní ásti: - ydrostatiku, která se abýá kaalinami, které se neoybují (jsou klidu) a jejic úinkem na tuá tlesa; - ydrodynamiku, která se abýá oybem kaalin a jejic sobením na tuá tlesa i jejic ájemném relatiním oybu. Fyikální lastnosti kaalin. Hustota a mrná tía kaaliny Hustota kaaliny ρ (mrná motnost) je motnost kaaliny tažená na jednotku objemu: d m ρ (.) dv a její rmrná odnota rostoru: ρ m dv V V ρ V, (.) kde m je motnost omoenní kaaliny a V objem kaaliny. Kaaliny jsou málo stlaitelné a jejic ustota se mní neatrn s tlakem. Telem se kaaliny rotaují, iemž se jejic ustota menšuje se stouající telotou. Výjimku toí oue oda, která se od C do 4 C smršuje a dalším rstem teloty se rotauje (anomálie ody). Tyto mny latí i konstantním tlaku. Zmna ustoty liem mny njšío tlaku se rojeuje stlaitelností (Ka..4). Vli teloty na ustotu ody i tlaku 5 Pa ukauje Tab... Pro raktické ýoty e staební raxi obyejn uažujeme ρ k/m 3. Tab.. Hustota a kinematická iskoita ody áislosti na telot i tlaku, 5 Pa T [ C] ρ [k/m 3 ] υ [m /s] T [ C] ρ [k/m 3 ] υ [m /s] 999,84,7938-6 5 988,4,55-6 4 999,97,567-6 6 983,38,478-6 999,7,3-6 7 977,99,45-6 998,,5-6 8 97,,367-6 3 995,65,84-6 9 965,3,37-6 4 99,36,66-6 959,69,94-6 Mrná tía kaaliny γ je tía kaaliny tažená na jednotku objemu: γ ρ, (.) kde je tíoé ryclení ( 9,86 65 m/s 9,8 m/s ). - 8 (88) -
Fyikální lastnosti kaalin. Soudržnost kaalin Natí kaalin je dsledkem odoru roti oddlení jednotliýc ástic kaaliny, tn. že kaaliny ykaují jistou enost tau, ili soudržnost. U ody je enost tau 36 Pa, tj. asi 7 krát mén než u oceli. Pi ešení tšiny úlo staební raxe nemá roto soudržnost kaalin raktický ýnam..3 Viskoita kaalin V reálnýc kaalinác nikají i ájemném oybu ástic dsledkem nitnío tení (iskoity) smykoá (tanenciální) natí τ. Newton jistil, že nitní tení kaalinác: - neáisí na tlaku kaalin, - áisí na druu kaaliny, - áisí na radientu ryclosti ili na ryclostním sádu mei dma rstami kaaliny (je-li ryclost dou sousedníc ástic kaaliny stejná, nesobí mei nimi tení). Jsou-li d sousední rstiky dálené od sebe o dy a oybuje-li se jedna rstika ryclostí u a druá ryclostí u du, le odle Newtona smykoé natí yjádit taem: du τ µ, (.4) d y kde µ je souinitel dynamické iskoity (carakteriuje iskoitu kaaliny) a d d u y radient ryclosti. Kaaliny, u kterýc mžeme smykoé natí τ yjádit odle (.4), naýáme newtonoské kaaliny (kaaliny, ro nž latí ímá úmrnost mei smykoým natím a radientem ryclosti). V ydraulice asto oužíáme ro carakteristiku iskoity kaaliny souinitel kinematické iskoity υ, který je definoán jako odíl dynamické iskoity a ustoty kaaliny: µ υ. (.5) ρ Pro ýoet kinematické iskoity ody áislosti na telot T mžeme oužít emirický ta: υ υ, (.6),337 T,T kde υ je kinematická iskoita i C a T telota (dosauje se e C). Kinematická iskoita ν áisí na druu kaaliny a na její telot. Vli tlaku se rojeí jen i jeo elkýc odnotác. V Tab.. jsou uedeny odnoty kinematické iskoity ody áislosti na její telot..4 Stlaitelnost kaalin Stlaitelností roumíme lastnost kaaliny mnit sj objem i mn tlaku. Stlaitelnost je carakterioána objemoou stlaitelností χ, která yjaduje - 9 (88) -
Hydraulika a ydroloie o kolik se menší jednotka objemu kaaliny i tšení tlaku o Pa i T konst. (dále budeme Ka. uažoat tlak áorn a ta kladn): dv χ, (.7) V d Perácená odnota stlaitelnosti definuje modul objemoé ružnosti (stlaitelnosti) K: K. (.8) χ Hodnoty K ro odu jsou uedeny Tab... Jeo odnota je olinna množstím olcenýc lyn a rouštnýc solí e od. Objem kaaliny V o stlaení írstkem tlaku je: V V. (.9) K kde V je odní objem. Zmna tlaku yolá tšení ustoty kaaliny na odnotu: ρ ρ -, (.) K kde ρ je ustota i tlaku. Uážíme-li, že modul ružnosti tlaku je u oceli ibližn GPa, tedy oroti od i bžnýc odmínkác (K,3 GPa) ibližn stonásobný, je ejmé, že ojem nestlaitelnosti ody je oodstatnný e sronání s lyny a nikoli s enými látkami. Pesto e tšin ydraulickýc úlo edokládáme, že oda je rakticky nestlaitelná. Nemžeme šak anedbat stlaitelnost u dlouýc íod ody otrubí i nálýc a elkýc ýšeníc nebo oklesec tlaku..5 Teelná rotažnost Kaaliny mní sj objem liem teelnýc mn. Souinitel teelné objemoé rotažnosti β definujeme jako mnu objemu yolanou mnou teloty T o K i konst.: dv β. (.) V dt Zmnu objemu kaaliny V írstkem teloty T o T i konst. yjádíme taem: V V ( β T ), (.) kde T je rodíl teloty e K, V oátení objem i telot T. Teelná rotažnost áisí na oátení telot kaaliny T a na tlaku, který na kaalinu sobí (ro odu je uedena Tab..). - (88) -
Fyikální lastnosti kaalin.6 Porcoé natí Porcoé natí sobí na kontaktní loše mei kaalinou a lynem nebo mei dma nemísícími se kaalinami. Vliem orcoéo natí docáí na styku kaaliny s jiným tlesem k jejímu ulíání. Porcoé natí σ yjaduje úinek koesníc sil F taženýc na jednotku délky l orcu olné ladiny (uaené ranice): d F σ. (.3) dl Velikost orcoéo natí áisí jen na lastnostec kaaliny a lynu a na jejic telot. Pi ydraulickýc ýotec e tšin íad elikost orcoéo natí anedbááme. V úaác uažujeme orcoé natí oue souislosti s kailaritou (Ka..7). Tab.. Porcoé natí ody na styku se ducem, modul objemoé ružnosti a souinitel teelné objemoé rotažnosti ody áislosti na telot a tlaku orcoé natí modul objemoé ružnosti souinitel teelné objemoé rotažnosti 3 σ K /χ 4 β N/m GPa / K C, MPa,-,5 MPa 5- MPa, MPa MPa MPa 5 MPa 9 MPa 75,6,866,94,4,43,7,49,9 73,5,3,6,5,65,85,36,89 4 69,6,84,84 4, 4, 4,6 4,9 4,57 6 66,,55,55 5,56 5,48 5,39 5,3 5,4,5,5 7,9 7,4 6,8 6,6 6,6.7 Kailarita Porcoé natí sobuje kailární eleaci (di), res. deresi (snížení) kaaliny trubicíc maléo rmru (kailárác), tenkýc štrbinác a také órec emin a ornin (Tab..3). Sconost kaaliny mnit liem orcoéo natí olou ladiny kailárác naýáme kailarita. Kailární ýška je odnota, o kterou ladina kaaliny kailáe stoune, res. klesne oroti normální ladin. Pro kruoou trubici kailární ýšku uríme e tau: 4 σ cos ϕ, (.4) ka ρ D kde σ je orcoé natí, ϕ úel smáení, ρ ustota kaaliny a D rmr kailáry. - (88) -
Hydraulika a ydroloie Tab..3 Kailární ýšky ybranýc emin dru eminy kailární ýška [m] dru eminy kailární ýška [m] ísky,3 -, srašoé líny, - 5, jemné ísky, -,5 jíloolinité eminy do, linité ísky,5 -, jíly es 5,.8 Teelná odiost Hodnotou teelné odiosti λ T carakteriujeme sconost kaaliny ést telo. Teelná odiost λ T udáá množstí tela, které rojde a jednotku asu kryclí o jednotkoé ran mei dma rotilelými stnami, mei nimiž je telotní rodíl K, jsou-li ostatní stny krycle dokonale teeln ioloány. Pro odu je souinitel teelné odiosti λ T i o C roen λ T,598 W/m/K..9 Ideální kaalina Pi odoení nkterýc ydraulickýc je ycáíme e jednodušení, kdy anedbááme nkteré fyikální lastnosti kaalin. Proto asto i matematické analýe oybu kaalin ycáíme ojmu ideální kaalina. Ideální kaalina je: nestlaitelná; objemo stálá i mnác teloty; neiskóní, takže ní nesobí smykoá natí. P.. Barel o objemu V 5 l, nalnný odou, byl uaen i telot t o C. Jaký tlak nastane barelu, okud se oda nm oeje na telotu t 9 o C a edokladu, že nedojde k oderáání ody (barel je nerodyšn uaen). V C,5 m 3 m ; ρ V ρ C 998, k/m 3 (Tab..); ρ 8 C 97, k/m 3 (Tab..); K C,3 GPa (Tab..);? Pa. ešení: Podle ronice (.9) latí: V o V o C C K o C C C C V C m ρ (998, *,5) k; m 499, k. m 499, V ; 3 8 C m ρ8 C 97, V ; 3 8 C,535 m V V 8 C - V C,35 m 3. V ; K o C - (88) -
Fyikální lastnosti kaalin V,35 9 K C,3 Pa ; V,5 C 54,8 MPa. V barelu o oátí ody bude tlak o 54,8 MPa tší. P.. Pi koušce tlakoéo otrubí o délce L 5 m a rmru D, m klesl o odinác tlak otrubí 5,5 MPa na 5, MPa. Zjistte kolik ody uniklo otrubí. π D π 3 L 5 m; V L 5 m ; 4 4 D, m; V 39,699 m 3. -,5 MPa; K C,3 GPa (Tab..). ešení: Podle ronice (.) latí: 6,5 m 3 39,699 9 C,3 V V ; K V 39,6 m 3 ; V V - V 39,699-39,6 m 3,97 m 3. Z otrubí yteklo 97 l ody. Kontrolní otáky - Jmenujte ákladní fyikální lastnosti kaalin. - Co je ideální kaalina? 3 Hydrostatika Hydrostatika se abýá kaalinami, které se neoybují (jsou klidu) a jejic úinkem na tuá tlesa. Na kaalinu obecn sobují síly njší, objemoé a nitní: - njší síly - sobí na orc kaaliny - na. atmosférický tlak, atd., - objemoé síly - sobí na každý motný bod daném objemu a jsou roto úmrné motnosti kaaliny - na. tía kaaliny, odstediá síla, atd., - nitní síly - síly ájemnéo sobení jednotliýc ásteek kaaliny. Za klidu je ýslednice šec tcto sil nuloá. V reálné kaalin, která je klidu, neniká tení a tato kaalina se coá jako ideální. - 3 (88) -
Hydraulika a ydroloie 3. Tlak kaalin Uažujme kaalinu be oybu ( klidu), která sobí na element locy d tlakoou silou df. V kaalin nesobí a ronoážnéo stau - klidu smykoá natí. Kdyby se smr ýsledné síly df odcyloal od normály, moli bycom sílu df roložit na složku normáloou (sobící kolmo na d) a smykoou (sobící roin locy d). Smykoá složka by sobila oyb, a klidu šak kaalin nesobí žádné tení (Odst..3, i u m/s), které by jediné molo sobit roti smykoé složce a udržoat ji tak ronoáe. Odtud lyne dležitý ár: Síly, které sobí na liboolnou roinnou locu kaalin a klidu, musí být na tuto locu kolmé. Diferenciální omr: d F (3.) d naýáme tlak kaaliny daném bod. Je-li tento tlak na celou locu konstantní (na. na odoroné dno), mžeme jej yjádit omrem: F, (3.) kde F je normáloá síla. 3. Neromnnost tlaku rnýc smrec Z kaaliny, která je klidu, ytkneme nekonen malý klínoý element (Obr. 3.). Na tento element budou sobit e smru os y, síly df y, df a kolmo na locu BCFE síla df n. Velikosti tcto sil budou: df y y dx d; df dx dy, df n n dx dn, Elementární síly e smru osy x na locy BC a DEF mají stejnou elikost, ale oaný smr, takže se ájemn ruší. rotože sobí kolmo na roinu y neoliují odmínku ronoáy sil této roin y. Objem elementu bude: dv dx dy d. a objemoá síla, která sobí na element má elikost: d x d y d dg ρ dv ρ. Síly df y, df a df n jsou nekonen malé eliiny druéo stun a objemoá síla dg je nekonen malá eliina tetío stun, a roto jí mžeme oroti nekonen malým eliinám druéo stun anedbat. - 4 (88) -
F d n Hydrostatika B E dn α d df y dx dy C y D α F x df Obr. 3. Tlak liboolném bod kaaliny Ronoáu sil do smr os y a mžeme nasat: df y - df n sin α, df - F n cos α, y dx d - n dx dn sin α, dx dy - n dx dn cos α, (3.3) Protože: d dn sin α a dy dn cos α, mžeme ronice (3.3) nasat e taru: y dy d - n dy d, dx dy - n dy dx, a tedy:. y n Protože smr n jsme olili cela libooln, je tlak liboolném bod kaaliny, která je klidu, e šec smrec stejný. 3.3 Euleroa diferenciální ronice ronoáy kaalin Pedokládejme, že kaalina je klidu. Dále si edstame, že jsme kaaliny yali nekonen malý ranolek (Obr. 3.) o elikosti stran dx dy d. by nebyla orušena ronoáa, naradíme sobení okolní kaaliny tlakoými silami. Pedokládejme, že tlak na stnu BCD je a jeo írstek e smru osy y na dálenosti dy (stna EFGH) je: d y. y Obdobn bycom moli urit tlaky i e smru ostatníc os. Na motu kaaliny ranolku dále sobí objemoé síly, které mají ýslednici dr a složky e smru os: d R x f d m, d R f d m, d R f d m, x y y - 5 (88) -
Hydraulika a ydroloie dm ρ dx dy d, kde dm je motnost kaaliny ranolku, ρ ustota kaaliny a f x, f y, f složky objemoéo atížení taženéo na jednotku motnosti (složky ryclení objemoýc sil). D H x C d B dy G T dy y ϕ E Obr. 3. Zmna tlaku kaalin F dx dr y Podmínka ronoáy e smru osy y: d x d d y d x d f y d x d y d, y dáá o úra a o dolnní o odmínky ronoáy e smru osy y a : x f x y, f y, f obecnou odmínku ronoáy kaalin, kterou ododil Leonard Euler. Prní ronic (3.4) ynásobíme dx druou dy a tetí dx a seteme: ( f d x f d y f d ) d x d y d x y x y,, (3.4) kde dx, dy a d jsou složky elementárnío osunu. Leá strana ronice je úlný diferenciál d a edstauje celkoý diferenciální írstek tlaku i ecodu bodu D o úloíce ranolu do bodu F. Tedy ( f d x f d y f d ) d. (3.5) x y Ronice (3.5) dáá smysl oue tedy, když ýra áorce na raé stran edstauje také úlný diferenciál njaké funkce U(x,y,), kterou mecanice naýáme siloým otenciálem. Kaalina je klidu oue tedy, když je možné ododit složky objemoéo atížení taženéo na jednotku motnosti otenciálu: f x U, x f y U, y f U. Souiny ρ f x dx, ρ f y dy a ρ f d jsou elementární ráce ykonané objemoými silami taženými na jednotku objemu (ρ f x, ρ f y a ρ f ) i osunu e smru úloíky na dráe ds. Onaíme-li ϕ úel, který sírá smr objemoé síly e smrec osunu, bude ykonaná ráce i osunu dána ronicí: - 6 (88) -
Hydrostatika ( f d x f d y f d ) f d s cos ϕ d, x y kde f je elikost ýslednéo objemoéo atížení taženéo na jednotku motnosti (elikost ýslednéo ryclení objemoýc sil). Pírstek tlaku kaalin klidu se roná ráci složek objemoé síly iadající na motnost jednotky kaaliny i uažoaném elementárním osunu. 3.4 Tlak kaalin, na níž sobí jen tíže Máme urit tlak bod s eýšením nad sronáací roinou, který je loubce od ladinou kaaliny nádob (Obr. 3.3). Peýšení ladiny nad sronáací roinou je. Kaalina je raitaním oli Zem, jejíž tíoé ryclení sobí roti smru osy. Tedy: f x, f y, f -. B y x Obr. 3.3 Tlak kaalin na níž sobí jen tíže Po dosaení do (3.5) obdržíme: d d, interoáním (uažuje se nestlaitelná kaalina ρ konst.): d d, ( ) a o formální úra:, kde a je njší tlak sobící na orc kaaliny. Pro celkoý statický tlak s kaalin, která je klidu latí:, (3.6) s kde. (3.7) - 7 (88) -
Hydraulika a ydroloie Ronice (3.6) a (3.7) yjaduje ydrostatické roložení tlaku kaalin. Statický tlak s liboolném bod kaaliny, který sobí lastní tía, se roná ydrostatickému tlaku tšenému o njší tlak na orc kaaliny. Vnjší tlak se enáší do šec bod kaaliny nemnnou odnotou. Naroti tomu ydrostatický tlak roste úmrn s loubkou. Je-li ρ konst., ak ydrostatický tlak roste s loubku odle lineární áislosti.vnjší tlak je e tšin íad tlak atmosférický a. Je to tlak lynnéo obalu Zem, který nemá stálou odnotu a uádí se rmrnou odnotou a,35 kpa. 3.5 Ro oé a ladinoé locy, sojité nádoby a Pascal teorém Ro oé locy jsou locy, na kterýc je statický tlak konstantní. Pi osunu o takoé rooé loše je tlakoý írstek d ronice (3.5) roen (d Pa). Rooá loca musí být kolmá ke smru ýslednéo ryclení. Hladinoé loca je rooá loca toící orc kaaliny. Na Zemi mají ladinoé locy ibližn kuloý tar (na. ladiny moí). Ve tšin úa šak mžeme malou ást takoé locy okolí uritéo bodu naradit odoronou roinou. Ve dou oteenýc a naájem sojenýc nádobác jsou d rné nemísící se kaaliny, které jsou ronoáe (Obr. 3.4). Roina, která rodluje ob kaaliny, je locou ro oou. Proto tlaky na této loše musí být šude stejné, jinak by byla orušena ronoáa. Platí:. (3.8) G F ρ B ρ F Obr. 3.4 Sojité nádoby Obr. 3.5 Hydraulický lis Pascal teorém: Tlak kaaliny uaené malé nádob a ystaené elkému njšímu tlaku je stálý celém rosau kaaliny. Síla F sobí na íst F o lošném obsau tlakem (Obr. 3.5). Tento tlak se šíí ronomrn celé kaalin šemi smry a druý íst bude tedy ytlaoán silou F. bycom udrželi íst ronoáe, musíme na druý íst sobit stejn elkou silou oanéo smru G F : - 8 (88) -
Hydrostatika F, G F, F. Síly, které sobí na ísty, jsou úmrné íslušným locám. Pascal teorém se ulatní tecnické raxi, na. i ýotu ydraulickéo lisu. F 3.6 Tlakoá síla kaaliny na odoroné locy Na kaalinu, která je klidu a na kterou sobí jen tíže, sobí e šec bodec liboolné odoroné roiny stejný tlak. to roto, že každý bod takoé roiny je e stejné loubce od olnou ladinou. Vodoroné roiny jsou tedy locy rooé (d Pa). Obecn je ýslednice tlaku dána interálem: F d, ρ. (3.9) kde je elikost atžoané locy. Jelikož se uažuje odoroná loca, na které je stejný tlak ( konst.), mžeme ronici (3.9) urait na tar: F d d. Výsledná síla F s, která sobí na celou uažoanou odoronou locu, se roná souinu této locy a statickéo tlaku liboolném bod locy (Obr. 3.6): F ( ) ( ρ, s ) F s F F. F s F Obr. 3.6 Tlakoá síla na odoroné dno nádoby Jestliže e dušní (drué) strany locy sobí njší tlak a tlakoá síla od tooto tlaku má elikost: F, ak síla od ydrostatickéo tlaku - ydrostatická síla F: F ρ (3.) je sobena oue tíou kaaliny. Tato ydrostatická síla F se roná tíe slouce kaaliny, jejíž ákladnou je loca dna a ýškou je jeo loubka od ladinou. Tato ta latí ro nádobu jakéokoli taru. Na dno nádob odle Obr. 3.7 sobí stejná ydrostatická síla odle tau (3.). Neáleží tedy na tíe kaaliny obsažené nádob, která mže být i menší než ydrostatická síla kaaliny na dno. Tento onatek naýáme ydrostatické aradoxon. - 9 (88) -
Hydraulika a ydroloie Obr. 3.7 Hydrostatické aradoxon 3.7 Tlakoá síla kaaliny na roinné locy Libooln naklonnou roinnou locu kaalin si edstaujeme jako locu složenou nekonenéo otu malýc lošek d. Obecn mžeme íci, že na každou lošku sobí tlak, který se mní sojit s loubkou lošky d od ladinou. Piemž tlak f(x, y, ) je kolmý na danou lošku d. 3.7. nalytické ešení V roin, která je odklonna od olné ladiny o úel α, je loca a ní elementární loška d, která leží loubce od ladinou. Tlak této loubce je: ρ a tlakoá síla df na nekonen malou lošku d má elikost: df ( ρ ) d. α, C T F df C T α C T xt xc y yt x e y yc d x Obr. 3.8 Tlakoá síla na roinné locy Celkoá tlakoá síla se urí interoáním rosau locy odle (3.9): F d d d d. Protože odle Obr..8 je x sin α, bude: d x sin d α sin α x d, - (88) -
Hydrostatika kde x d je statický moment locy k její rsenici s olnou ladinou (osa y), který mžeme yjádit souinem locy a dálenosti jejío tžišt x T od osy y: d sin α x d sin α xt T. Výsledná síla bude: F ( T ). Vnjší tlak je nejastji tlak ducu, který sobí i drué strany locy. Síly sobící obou stran nádoby jsou stejn elké ale oanéo smyslu a naájem se tedy ruší. Zstáá jen siloý úinek tíy kaaliny - ydrostatická tlakoá síla: F. (3.) T Hydrostatická tlakoá síla, která sobí na roinnou locu, se roná souinu této locy a ydrostatickéo tlaku jejím tžišti. Protože šecny elementární síly df jsou kolmé k loše, bude i ýsledná síla kolmá k loše. Její sobišt naleneme ronosti moment od ýsledné ydrostatické tlakoé síly F a dílíc sil df k osám x a y. Bod C je sobištm ýsledné ydrostatické síly F. Momentoá odmínka k ose y bude: rotože: bude: x d F F xc sin α x d, d F sin α x d a F sin α x d, x C ρ sin α ρ sin α x d x d x d x d J y x T. (3.) Vdálenost sobišt C ýsledné ydrostatické tlakoé síly F na danou locu od osy y se roná odílu momentu setranosti J y locy k ose y a statickému momentu locy k téže ose. Naradíme-li J y momentem setranosti J T k tžišoé ose: obdržíme: J y J, T x T J x. (3.3) T x C xt T Psobišt ydrostatické tlakoé síly je tedy od tžištm atžoané locy, a to o odnotu: J x T e, (3.4) T - (88) -
Hydraulika a ydroloie kterou naýáme excentricita. Tato excenticita ymií ro odoroné dno (x T ) nebo ro oboustrann úln onoené šikmé locy a obecn, je-li tlaená loca totožná s locou rooou. Jde-li o omrn malé locy, které leží dosti luboko od ladinou, býá tento rodíl anedbatelný. Je-li loca symetrická odle osy x, leží samoejm sobišt C na této ose x. U nesoumrné locy musíme ješt urit druou souadnici sobišt y C. Pomocí momentoé ty k ose x bude: y d F F yc sin α x y d, y y C C ρ sin α ρ sin α T x y d x d x y d x d, Dx, y, (3.5) x kde D x,y je deianí moment locy k osám x, y. 3.7. Horiontální a ertikální složka ydrostatické tlakoé síly na roinné locy Pi nkterýc úloác je ýodné, náme-li odoronou (oriontální) a sislou (ertikální) složku ydrostatické tlakoé síly. Uríme je rokladem síly F do dou smr - odoronéo a sisléo (Obr. 3.9): odoroná složka: sislá složka: F F sin α ρ T sin α, F ρ, (3.6) T F F cos α ρ T cos α, F ρ T, (3.7) kde je rmt locy do sislé roiny a rmt locy do odoroné roiny. Vodoroná složka ydrostatické tlakoé síly se roná ydrostatické tlakoé síle na rmt tlaené locy do sislé roiny kolmé k uažoanému smru. Sislá složka ydrostatické tlakoé síly se roná tíe sisléo slouce kaaliny nad tlaenou locou až ke ladin. Praidlo o sislé složce latí i íad, kdy slouec ody nad tlaenou locou není, sislá složka smuje ru, niká de tlak (Obr. 3.9 b). a) b) F F F F Obr. 3.9 Grafické náornní odoroné a sislé složky - (88) -
Hydrostatika Výsledná ydrostatická síla F jde rseíkem obou složek a její elikost je: F F F. (3.8) 3.7.3 Grafické náornní ydrostatickéo tlaku na roinné locy s konstantní šíkou omocí atžoacíc obrac Prb ydrostatickéo tlaku mžeme náornit raficky. Velikost, sobišt a smr ydrostatické tlakoé síly na roinnou locu s konstantní šíkou, která má orní a dolní ranu ronobžnou s ladinou, mžeme obdržet omocí t. atžoacío obrace (Obr. 3.). Zatžoací obraec obdržíme raficky tak, že každém bod uažoané atžoané locy yneseme jeo loubku od ladinou, a to e smru e kterém sobí tlak, tj. na kolmici k uažoané loše. Velikost dílí ydrostatické tlakoé síly je: Fi ρ b i, (3.9) kde i je lošný obsa i-téo atžoacío obrace. To namená, že loca atžoacío obrace edstauje ydrostatickou tlakoou sílu i ρ b. Hydrostatická tlakoá síla na i-tou obdélníkoou locu se dma stranami ronobžnými s ladinou se roná souinu mrné tíy kaaliny γ, šíky tlaené locy b a locy atžoacío obrace i. Dílí ýslednice rocáí tžištm M i atžoacío obrace i. Velikost ýsledné ydrostatické tlakoé síly F uríme ektoroým soutem dílíc sil F i. F F M T C T C F 3 F C T 3 b b Obr. 3. Zatžoací obrace Uedený ostu si ostlíme na íkladu obdélníkoé stny o šíce b (Obr. 3.). Vodoroná složka je dána tlakem na obdélník o ýšce 5 a šíce b a atžoací obraec * bude licobžník 567 (Obr. 3. a). Sislá složka je dána tíou kaaliny o objemu V mei atžoanou locou a ladinou, jeož íným eem, tedy i atžoacím obracem ** je licobžník 34. Velikosti složek obdržíme, násobíme-li atžoací obrace mrnou tíou γ a šíkou b: F ρ b *, ρ b **, (3.) F F F, F α t. Jednotlié složky rocáejí tžištm íslušnéo atžoacío obrace. V íad, že složka smuje ru, ladina se uažuje myšlená, niklá rodloužením skutené ladiny (Obr. 3. b). F F - 3 (88) -
Hydraulika a ydroloie a) b) 4 3 myšlená ladina ** F 7 6 F * 5 ** b b F * α F F Obr. 3. Zatžoací obrace oriontální a ertikální složky ydrostatické tlakoé síly Je nutné ješt jednou dranit, že uedený ostu uroání tlakoýc sil omocí atžoacío obrace je možné oužít oue ro roinnou locu s konstantní šíkou (na. obdélník nebo koso obdélník) a s odoronými stranami. U jinýc roinnýc obrac, jejicž šíka o ýšce není konstantní, ueené odoení nelatí. 3.8 Tlakoé síly na akiené locy Elementární tlakoé síly kaaliny, které jsou kolmé k íslušné elementární loše, nebudou u akiené locy ájemn ronobžné. V obecném íad se nemusí rotínat jednom bod a dáat jedinou ýslednici. Jedinou ýslednici obdržíme jen e láštníc íadec. Naíklad liboolné ásti kuloé locy mají elementární tlakoé síly smr rodi, rotínají se e stedu koule a dáají saek sil s ýslednicí rocáející stedem koule. Jedinou ýslednici dáají také síly, které sobí na álcoou locu s odoronou nebo sislou osou (na. sementoé a álcoé uáry, klaky, odojemy, atd.). ' D' B' C' F B y x D Obr. 3. Hydrostatická síla na akiené locy Velikost ydrostatické síly F je urena složkami F x, F y a F e smru jednotliýc souadnýc os (Obr. 3.): F F F F. x y Vodoroné složky F x a F y mají elikost: F x ρ Tx y, Fy ρ Ty x C, kde Tx je loubka tžišt rmtu y atžoané locy BCD do roiny y a Ty loubka tžišt rmtu x atžoané locy BCD do roiny x, ρ ustota tekutiny a tíoé ryclení. - 4 (88) -
Hydrostatika Sislá složka je dána: F ρ V G, kde V je objem ranolu se sislými stnami, který je dole oraniený akienou locou BCD a naoe rmtem 'B'C'D' akiené locy do ladiny a G je tía tooto ranolu. Horiontální složky ydrostatické tlakoé síly kaaliny sobící na akienou locu se ronají ydrostatické síle na rmt locy do sislé roiny kolmé na uažoaný smr. Vertikální složka ydrostatické tlakoé síly je urena tíou slouce kaaliny, omeenéo dole locou a naoe sislou rojekcí této locy do olné ladiny. Smr ýsledné síly se yoítá odcylek: F x F y t α, t α, t α. F F F Zláštním íadem jsou álcoé locy, které mají toící ímky ronobžné s nkterou os. Dále budeme oítat tlakoou sílu na álcoou locu s odoronou osou, které mají o ýšce konstantní šíku b konst. Výslednou sílu mžeme urit omocí odoroné a sislé složky (Obr. 3.3). Tyto složky le urit omocí atžoacíc obrac. V íad sementoéo uáru šíky b odle Obr. 3.3a je odoroná složka urená atžoacím trojúelníkem 456 a sislá složka je rona tíe kaaliny nad atžoanou locou až do ladiny - obraec 3. Jednotlié složky a ýslednici tlakoé síly uríme odle (3.). F α Obr. 3.3 Uár a) sementoý, b) álcoý V íad álcoéo uáru šíky b odle Obr. 3.3b je odoroná složka urená atžoacím trojúelníkem 567 a sislá složka je tlakoá a tlakoá. Tlakoá sislá složka sobí na locu eu onaenou jako 4 a íslušný atžoací obraec je 34. Vtlakoá sislá složka sobí na locu onaenou jako 4 a íslušný atžoací obraec je 34. Platí: F F ρ b *, ρ b **, Ftl ρ b tl **, F F Ftl, F F F, α F t. F - 5 (88) -
Hydraulika a ydroloie 3.9 Ploání tles d d F d tl F do df O F d df Obr. 3.4 Vtlak Uažujme ené tleso úln onoené do kaaliny, která se neoybuje. Tleso udržujeme ronoáe na. ašením. Hledejme ýslednici tlakoýc sil kaaliny na toto tleso. Vodoroná složka tlakoé síly liboolném smru se roná ydrostatické tlakoé síle na rmt íslušné tlaené locy do sislé roiny kolmé k tomuto smru. Jelikož rmty jsou totožné, sobí na n odoroné tlakoé síly stejn eliké, ale oanéo smru, které se naájem ruší. To latí ro liboolný odoroný smr. Zbýá urit sislou složku. Zolíme-li na orcu tlesa d elementární lošky d a d sisle nad sebou oložené tak, aby jejic rmty d do odoroné roiny byly stejné. Sislé složky tlakoýc sil na tyto lošky jsou dány tíami slouc kaaliny sisle nad nimi až k ladin: smrem dol: df tl ρ d, smrem ru: df ρ d, tedy ýslednice: df ρ d' ( - ) ρ do, kde do je objem yšrafoanéo elementárnío ranolu. Interací o celém orcu tlesa dostááme sislou ýslednici šec tlakoýc sil kaaliny na tleso: F ρ O, kde O je objem onoenéo tlesa. Tím dosíáme ke námé a elmi dležité rcimédo t, která je doby okolo roku 5. n. l.. Tleso onoené do kaaliny je nadleoáno tlakoou silou, která se roná tíe kaaliny tlesem ytlaené. Tuto literatue oužíanou tu bycom šak mli eformuloat, jelikož se obecn nemusí jednat o tíu kaaliny tlesem ytlaeným, ale o tíu kaaliny o objemu onoené ásti tlesa. Jinými sloy, kaalina sobí na onoené tleso ždy smrem ru tlakoou silou, jejíž elikost se roná tíe kaaliny o objemu onoené ásti tlesa. Tato tlakoá síla rocáí tžištm onoenéo objemu tlesa. Vtlakoá síla má dležitou úlou i loání tles. Na tleso onoené do kaaliny sobí lastní tía tlesa G e smru raitace (tedy smrem dol) tžišti tlesa T a tlakoá síla F smrem ru tžišti onoené ásti tlesa C: - 6 (88) -
Hydrostatika G ρt V t, F ρ W, (3.) kde W je ýtlak - objem onoené ásti tlesa, V t objem tlesa, ρ t ustota tlesa, ρ ustota kaaliny a tíoé ryclení. V áislosti na ájemném omru elikostí tcto dou sil nastáají tyto íady: - tleso klesá ke dnu (G > F ); - tleso se náší (G F ); - tleso lae (G < F ). Hloubka nejnižšío bodu tlesa od ladinou se naýá onor t n. Hladina rotíná tleso loše, kterou naýáme laební locou a laební osa je myšlená ímka, která jde tžištm tlesa T a sobištm tlaku C. Ponor looucío tlesa se yote odmínky: G F. Sconost tlesa racet se o ycýlení o úel α < 5 - o do odní oloy, když estane sobit síla, která ycýlení sobila, se naýá stabilita looucíc tles. Stabilitu roenááme statickou, kterou osuujeme momentem i dané ýcylce a dynamickou, kterou osuujeme rací otebnou k ycýlení tlesa ronoážné oloy o uritý úel. Za klidu má tleso looucí na od nebo od odou laební osu e sislé oloe. F M M M T C tn C T α C α b Obr. 3.5 Stabilita looucío tlesa G Podmínky stability looucío tlesa jsou následující: - sobišt tlakoé síly C je nad tžištm tlesa T, - metacentrum M (rseík tlakoé síly s laební osou) se nacáí nad tžištm tlesa, sobišt tlakoé síly C je od tžištm T a latí: J TC < MC, (3.) W kde je tlakoá ýška a J je moment setranosti laební locy ledem k odélné laební ose, což je oriontální ímka rocáející tžištm laební locy e smru odélné osy laidla. Vdálenost TM se naýá metacentrická ýška M. Bod M (metacentrum) musí být nad - 7 (88) -
x Hydraulika a ydroloie tžištm T, má-li být loání stabilní. Metacentrická ýška má být u ámoskýc doraníc lodí,3 až,7 m. Moment M s, který rací naklonné looucí tleso do odní oloy, bude: M s ρ W TM sin α, M TM sin α. s F Tento orec se naýá metacentrickým orcem stability. Jeo esnost je ostaující i úlec α < 5 - o. Pi tšíc úlec α je tato áislost složitjší. P. 3. Vyoítejte elikost a sobišt tlakoé síly, která sobí na obdélníkoý uár (Obr. 3.6) o romrec a, m a b,5 m umístnéo šikmé stn, která je odklonna od odoroné o úel α 65 o. Uár má dolní ranu úroni dna a loubka ody nádrži je m. a, m; b,5 m; tlaená loca: a b;, m;, *,5,5 m. α 6 o ; ρ k/m 3 ; 9,8 m/s ; F? N; x C? m. a) b), C T F α T b yc x T x C y C F F α C a c) d) C C F α Obr. 3.6 Tlakoá síla na obdélníkoý uár ešení: oloa tžišt: a a x T ; T - sin α; sin α x T,, sin 65,77 m; T, - F α F, sin 65 o,547 m. a) Výoet ydrostatické tlakoé síly odle ronice (3.) - Obr. 3.6 a): F ρ T ; F *9,8*,547*,5 764, N. - 8 (88) -
Hydrostatika Poloa sobišt tlakoé síly je e sislé ose atžoané locy (osa x) a dálenost x C (3.3): J T x C x T 3 b a a xt xt xt ; C x C sin α; a b x x T T, x C, 77,756 m; C,756 sin 65 o,59 m. *,77 b) Výoet omocí ertikální a oriontální složky tlakoé síly (Obr. 3.6 b) - ronice (3.6) a (3.7): odoroná složka F ρ T ; a b sin α sin α; F ρ T sin α; F *9,8*,547*,5*sin 65 o 63,9 N; sislá složka F ρ T ; a b cos α cos α; F ρ T cos α; F *9,8*,547*,5*cos 65 o 9 6,53 N; ýsledná tlakoá síla F F F ; F 63,9 9 6,53 764, N. c) Výoet tlakoé síly omocí atžoacío obrace (Obr. 3.6c) - ronice (3.9): lošný obsa atžoacío obrace: a ; - a sin α; ; a sin α a ; o *,, sin 65,,547 m ; elikost tlakoé síly: F ρ b ; F *9,8*,5*,547 764, N. Psobišt tlakoé síly rocáí tžištm atžoacío obrace. d) Výoet tlakoé síly omocí atžoacío obrace (Obr. 3.6d) - ronice (3.): * ( a sin α) ; *,5*, -.5*(,-,*sin 65 o ),4 m ; ** a cos α a sin α cos α ; **,*,*cos 65 o -,5*, *sin 65 o *cos 65 o,654 m ; F ρ b * ; F ρ b ** ; F 98*,5*,4 63,43 N; F 98*,5*,654 9 63,6 N; F F ; F - 9 (88) -
Hydraulika a ydroloie F 63,43 9 63,6 764,63 N. Psobišt složek sil rocáí tžišti jednotliýc atžoacíc obrac. P. 3. Na álcoý uár o rmru D, m sobí oda (Obr. 3.7). Vyoítejte elikost tlakoé síly F na m' bžný šíky uáru (b m). D, m; b m; ρ k/m 3 ; 9,8 m/s ; F? N. α Obr. 3.7 Válcoý uár ešení: Protože se jedná o álcoou locu s odoronou osou, která má o ýšce konstantní šíku b konst m, le ýslednou sílu urit omocí odoroné a sislé složky, a to omocí atžoacíc obrac: *,5 D,5*, m ; *,4 m ; ** π D π π 34 D D *, * m ; 4 4 4 4 4 4 4 **,6 ; 34 m ** π D π *, 34 D -, - m 4 4 4 4 ; **,6 ; 34 m odoroná složka F ρ b * 3,74 kn; ** sislá složka - tlakoá F ρ b,9 kn; ýsledná síla 34 ** 34 - tlakoá Ftl ρ b,55 kn; F F - F tl 8,639 kn; F F F ; F 3,83 kn; F ýsledná síla F sírá s odoronou úel α cos α α 38,37 o ; F sobišt síly F od ladinou D c D sin α,779 m. - 3 (88) -
Hydrostatika P. 3.3 Zjistte onor t n denéo kádru a dále urete, da-li lae e od stabiln. Šíka kádru je,8 m, délka, m a ýška,3 m. Deo má mrnou motnost ρ d 8 k/m 3. ρ k/m 3 ; ρ d 8 k/m 3 ; 9,8 m/s ; a, m; b,8 m; c,3 m; t n? m. T C smr oybu Obr. 3.8 Ploání denéo kádru ešení: Hloubka nejnižšío bodu looucío tlesa t n (onor) se yote oronání tlakoé síly a tíy kádru (Obr. 3.8): F G; ρ W ρ d V t ; V t a b c; W a b t n ; ρ d 8 ρ t n ρ d c; t n c, 3 m,4 m. ρ Stabilita loání. Tžišt T (tžišt tlesa) leží nad sobištm tlakoé síly C (tžišt ýtlaku) na ose symetrie, a to loubce (Obr. 3.7): t n c T,5 m; C, m; tlakoá ýška je: T - C,5 -,,3 m. Jelikož T leží nad C, loání bude stabilní, bude-li latit (3.): J MC ; 3 J a b ; W a b t n ; W b,8 MC, m; *,4 t n MC, m >,3 m loání je stabilní. Ponor denéo kádru je,4 m a lae stabiln. Kontrolní otáky - Co je to ydrostatický tlak? - Jak je definoán celkoý statický tlak? - Co je to rooá loca? - Jaký smr mají síly, které sobí na liboolnou roinnou locu kaalin a klidu? - Kdy je laání tlesa stabilní? - 3 (88) -
Hydraulika a ydroloie 4 Hydrodynamika Na rodíl od ydrostatiky jsou omry i oybu tekutin složitjší a jejic matematická formulace obtížnjší. asto roto oužíáme k ýotm jednodušená scémata dolnná oranými souiniteli. Vycáíme roboru oybu ideální kaaliny, iemž aádíme ojem roudoéo lákna. Hydrodynamika se abýá oybem kaalin a jejic sobením na tuá tlesa i ájemném relatiním oybu. Definujme nkteré ákladní termíny: roudnice - naýáme áry edené roudící ideální kaalinou tak, že každém míst má jejic tena smr soulasný se smrem ryclosti tomto míst. Pi ustáleném oybu jsou roudnice totožné s draami jednotliýc ásteek kaaliny; roudoá trubice - uažujeme-li kaalin nekonen malou uaenou kiku (lošku d) a edeme každým bodem jejío obodu íslušnou roudnici, ytoí tyto roudnice roudoou trubici; roudoé lákno - kaalinu uaenou roudoé trubici naýáme roudoé lákno. Pi ustáleném roudní je roudoé lákno toené stále stejnými ásticemi kaaliny, a roto je roudoé lákno ýcodiskem teoretickéo yšetoání oybu. rtoný rofil - roinný e edením roudu, kolmý k jeo odélné ose a carakteriující jeo tar, který kaalina aujímá nebo mže aujmout, je rtoný rofil. Prtoný rofil mže být: - oteený - eka; - uaený - otrubí, stoka, roustek, atd.; bodoá ryclost u u(x,y,,t) - okamžitou ryclost tekutiny daném bod naýáme bodoá ryclost. Bodoou ryclostí urité ástice roumíme dráu l, kterou tato ástice uraí a jednotku asu t: dl u ; (4.) dt stední bodoá ryclost u je definoána jako yronaná odnota bodoé ryclosti dlouém asoém interalu T: u T T u d t ; rtoný re (rtoná loca) - lošný obsa eu roudu locou kolmou každém bod k ektoru bodoé ryclosti u; - 3 (88) -
Hydrodynamika rtok (objemoý rtok) - objem kaaliny, který rotee rtoným reem a jednotku asu: Q u d ; (4.) motnostní rtok - motnost kaaliny, která rotee rtoným reem a jednotku asu: Q u ρ d ; reoá ryclost - stední odnota ryclosti rtoném reu. Je definoána tak, že ynásobíme-li její odnotou rtoný re, dostaneme rtok Q: u d Q ; ; (4.3) roudní ustálené - i ustáleném (stacionárním, ermanentním) roudní jsou ydraulické eliiny (rtok, reoá ryclost, rtoná loca) ase nemnné, a áisí oue na oloe. Mžeme tedy sát: ryclost: u f(x, y, ); tlak: f(x, y, ); neustálené - neustálené (nestacionární, neermanentní) roudní je takoé, kde ydraulické eliiny jsou funkcí asu a oloy: ryclost: u f(x, y,, t); tlak: f(x, y,, t); roudní ronomrné - ronomrné roudní je láštním íadem oybu ustálenéo, i kterém jsou rtoné rey na celém úseku konstantní (... konst.). Protože je i oybu ustáleném i rtok Q konstantní, reoé ryclosti jsou také konstantní (... konst.), to nastáá na. i konstantním sklonu dna koryta, nemnnýc ínýc rofilec a drsnostec edení; neronomrné - i neronomrném ustáleném roudní jsou ydraulické eliiny konstantní ase, ale reoá ryclost a rtoná loca se mní o délce roudu, což je dáno na. romnným sklonem dna koryta, romnnýc ínýc rofilec a drsnostec, atd. Ustálené a neustálené roudní si mžeme edstait na íkladu ýtoku kaaliny nádrže: - je-li ýtok nádrže stejný jako ítok do ní, nemní se oloa ladiny nádrži, na které je áislé odtokoé množstí a roudní je ustálené; - naoak, není-li ítok do nádrže stejný jako odtok, docáí ke mn oloy ladiny, což yolá mnu odtokoéo množstí. Jedná se o lnní nebo rádnní nádrže a roudní je neustálené. Jiným íkladem mže neustálenéo roudní mže být rcod oodn, kdy se rtok Q(x,t) ase mní. Proudní ustálené ronomrné mžeme ooroat na uraenýc tocíc nebo umlýc náonec stáléo reu (ínéo rofilu) a konstantnío sklonu m - 33 (88) -
Hydraulika a ydroloie dna koryta. Hladina je i tomto roudní ronobžná se dnem. Neronomrné ustálené roudní je naíklad iroenýc tocíc, kde niká dutí (na. jeem) nebo snížení - sklon dna není ronobžný se klonem ladiny a sklony dna i ladiny nejsou konstantní. Dále je aotebí uoornit na rolenní roudní lediska tlakoýc omr: - roudní s olnou ladinou, kde orc ladiny je berostedním kontaktu s oduším, na ladinu sobí atmosférický tlak. Je to roudní oteenýc rtonýc rofilec, to je korytec ek, kanál a žlabec. le i uaenýc rofilec ( otrubí, e stokoýc reec, roustcíc) okud nejsou celé alnny kaalinou; - roudní tlakoé, které je uaenýc rofilec, edeším otrubíc, když kaalina rotéká lným reem a každém míst je tlak rný od atmosférickéo. Píkladem je otrubí, kterým se ede oda odojemu ke sotebiteli. Tlakoé omry ukauje tlakoá ára, která udáá e šec rofilec otrubí odnotu tlakoé (ieometrické) ýšky; - roudoé arsky, které jsou oranieny kaalným nebo lynným rostedím a oybují se nm bu lastní tíou nebo setraností liem oátení ryclosti. Píkladem mže být arsek ytékající ožární adice. 4. Ronice kontinuity D Ronice (sojitosti) kontinuity je diskrétním yjádením ákona acoání motnosti. dx oátení ladina d t t d t t ladina a as dt d x x Obr. 4. Kontinuita neustálenéo roudu - D Ze ákona acoání motnosti lyne, že asoá mna (mna a jednotku asu) m motnosti m: t m ρ d x (4.4) obsažená infinitesimálním objemu d x je rona rodílu motnosti m itékající ody Q a m o odtékající ody Q o : m d t m - m o. (4.5) t Pomocí tau (4.4) mžeme mnu motnosti ase yjádit: - 34 (88) -
Hydrodynamika m ( ρ ) dt dt d x. (4.6) t t Hmotnost itékající m a odtékající m o ody je: ( ρ ) m ρ dt a m o ρ dt d x dt. (4.7) x Dosaením ronic (4.6) a (4.7) do (4.5) se obdržíme: ( ρ ) ( ρ ) d t d x ρ d t - ρ d t d x d t, t x ( ρ ) ( ρ ) dt d x - d x dt t x a o úra: ( ρ ) ( ρ - ) ( ρ ) ( ρ ), res.. (4.8) t x t x Zaedením Q má ronice (4.8), která je diskrétním yjádením ákona acoání motnosti (be uažoání boníc ítok, srážek, ýaru a infiltrace, ), íad jednoromrnéo roudní tar: ( ρ ) ( ρ Q), (4.9) t x kde je rtoný re, Q je rtoné množstí a loubka ody (dálenost od nejnižšío místa rtonéo rofilu o ladinu). Pro nestlaitelnou kaalinu (ρ konst.) nabude ronice kontinuity (4.9) tar: t Q. (4.) x Pi ustáleném roudní odadají asoé mny ( ), tedy írstek Q Q na dráe dx je nuloý ( ) a Q konst. Ronice sojitosti nestlaitelné x kaaliny jednodimenionálním ustáleném roudní nabýá taru (objemoý tar ronice kontinuity): t Q 3 3 konst., (4.) kde indexy (,, 3,... ) se taují k jednotliým rofilm. V íad ustálenéo roudní stlaitelné kaaliny (ρ konst.) nabude ronice kontinuity taru (motnostní tar ronice kontinuity): ( ρ ) > Q m ρ ρ ρ 3 3 3 konst. (4.) x - 35 (88) -
Hydraulika a ydroloie 4. Bernoullio ronice 4.. Bernoullio ronice Uažujme ustálený roud ideální kaaliny, e kterém ytkneme na roudnici ψ elementární áleek o ákladn d a délce dl (Obr. 4.). Na elementární áleek nec sobí jen tía kaaliny. Složku ryclení e smru oybu sobenou mnou ryclosti oname jako odélné ryclení. Protože bodoá ryclost u áisí na ase t a na dráe l (4.), která je u tekutin funkcí asu, musíme asat úlnou deriaci: D u u u d l u u d l u, rotože u, (4.3) D t t l d t t l d t Du kde u je bodoá ryclost a Dt která se skládá lokální složky Stokesoa (substanciální, materiáloá) deriace, u t odním míst, a konektiní složky roudí do místa, kde je jiná ryclost., která ylýá asoé mny ryclosti u u, která niká tím, že ástice l dl d d ϕ m dl l Obr. 4. Elementární áleek roudoéo lákna ro odoení Bernoullio ronice Lokální mna ryclosti je mna ryclosti odle asu témž míst a konektiní mna ryclosti je souin ryclosti a její mny odél dráy. Konektiní složku mžeme esat do taru: u u u. (4.4) l l Hmotnost elementárnío áleku je: m ρ d dl. (4.5) Pi oybu na tento elementární áleek sobí e smru oybu následující síly: a) složka lastní tíy: m cos ϕ ρ d d l cos ϕ, (4.6) b) tlak na elní stnu: d, (4.7) c) tlak na druou elní stnu: ψ y - 36 (88) -
Hydrodynamika - 37 (88) - l l l l d d d d d, (4.8) d) tení na lášti neiadá úau, rotože edokládáme ideální kaalinu. Výslednice sil (4.6) - (4.8) je: l l l l l l d d cos d d d d d cos d d ϕ ρ ϕ ρ. (4.9) Z ronoáy njšíc sil a síly setrané dostaneme odle d'lambertoa rinciu, který íká, že setrané síly jsou ronoáe s sobícími njšími silami a mají oaný smysl než ýslednice sobícíc sil (druý Newton oyboý ákon): t u m F D D. (4.) Dosaení (4.9), (4.5) a (4.3) do (4.) obdržíme: d d d d cos d d u l t u l l l l ρ ϕ ρ. njší síly motnost x ryclení Úraou a dlením ρ táneme tento ýra k jednotce motnosti: cos u l t u l ϕ. (4.) Z Obr. 4. idíme, že: l d d cos ϕ a mžeme esat (4.) do taru: t u u l. Jelikož se edokládá ustálené roudní, odadne asoá áislost t u a šecny leny této ronice jsou deriacemi odle l, takže se moou interoat odél roudnice: konst. u, což je Bernoullio ronice. Obykle se Bernoullio ronice tauje tecnickýc ešení k jednotce tíy tím, že ronici dlíme. Dále je obyklé, že se souadnice narauje olooou ýškou, tedy obdržíme: konst. u
Hydraulika a ydroloie Protože je olooá (eodetická) ýška uažoané ástice nebo tžišt rtonéo reu nad liboolnou sronáací roinou, musí i ostatní u da leny mít romr ýšky. Výra naýáme tlakoou ýškou a ryclostní ýškou. Bernoullio ronice ro ustálené roudní ideální kaaliny íká, že ro šecny rey uritéo roudoéo lákna je souet olooé, tlakoé a ryclostní ýšky stálý: u u. (4.) ρ ρ Jinak le také íci, že souet olooé, tlakoé a oyboé enerie íslušející jednotce tíy rtoku ideální kaaliny je stálý ro šecny rey. Bernoullio ronice yjaduje ákon acoání mecanické enerie roudu ideální kaaliny. Pro skutený roud kaaliny a íslušný re bodoou ryclost u naradíme reoou ryclostí a neronomrné rodlení ryclosti rofilu se olední Coriolisoým íslem α. Coriolisoo íslo yjaduje odíl skutené kinetické enerie E k reu stanoené bodoýc ryclostí ku kinetické enerii yjádené reoé ryclosti: u 3 d α. 3 íselná odnota Coriolisoa ísla se odle okus oybuje u otrubí a raidelnýc koryt meíc, až,, nejastji se blíží odnot α,, i když mže být odstatn yšší (u laminárnío oybu otrubí je α,). Obecn se Coriolisoo íslo liší re od reu, nejastji šak ro daný roud uažujeme stálou odnotou. V nkterýc ýotec se sokojujeme s odnotou α, (což odoídá ideální kaalin). Pi oybu aké kaaliny docáí kaalin k nitnímu tení a tení o stny edení. ást mecanické enerie se mní jiné formy enerie (eážn teelnou). Tato emna enerie je ydraulickéo lediska tráta a naíme ji. Bernoullio ronice ro skutenou kaalinu, která se oažuje a nestlaitelnou, ale uažuje se nitní tení, má tar (Obr. 4.3): α ρ ρ α, (4.3) kde indexy (, ) se taují k jednotliým rofilm (Obr. 4.3) a je trátoá ýška, která yjaduje úbytek eneretické ýšky mei dma rey roudu. - 38 (88) -
Hydrodynamika Obr. 4.3 Grafické náornní Bernoullio ty ro lákno skutené kaaliny Kdybycom otrubí nartali a iojili k nmu sislé trubky naoe oteené (ieometrické trubky), ustaila by se nic ladina e ýši, která udáá tlakoou ýšku íslušném reu. Sojnice šec koncoýc bod tcto tlakoýc ýšek se naýá tlakoou árou. Vyneseme-li nad tlakoou áru každém reu íslušnou ryclostní ýšku a takto ískané body sojíme, dostaneme áru enerie, která je mítkem mecanické enerie tažené na jednotku tíy rtoku reu. 4.. Píklady oužití Bernoullio ronice K mení ryclostí roudu mžeme oužít Pitotoy trubice (Obr. 4.4), která je odním taru trubice onutá do raéo úlu a na obou koncíc oteená. Nastauje se otorem smrem roti roudu íslušném míst kaaliny, kde cceme mit bodoou (skutenou) ryclost u. Ve sislém rameni ak ystouí oda do úron "3". Toto eýšení uríme oužitím Bernoullio ronice ro body "" a "" roudoéo lákna roti odoroné trubici. V bod "" roudí kaalina tém nerušenou odní ryclostí u, kdežto elním otoru "" je ryclost nuloá, oda trubici obtéká a trubici se oda neoybuje. Za edokladu, že nebudeme uažoat tráty, má Bernoullio ronice ro body "" a "" tar: u ρ ρ u, rotože u a, stane u u, tedy: u ρ H, kde H je eýšení ladiny Pitoto trubici nad ladinou roudu. Ukauje tedy ryclostní ýšku místní ryclosti. Hledaná ryclost má elikost: u H, nebo esnji u ϕ H, (4.4) kde ϕ je oraný souinitel, který je áislý na konstrukci trubky a urí se tároáním. K mení rtoku otrubí se oužíá enturimetr (odomr - Obr. 4.5). Proud se nm užuje odnío rmru D na rmr D rdle a oté se ot ooln rošiuje na odní elikost. Zúžením se tšuje ryclost na újmu tlaku, to - 39 (88) -