Přednáška 06 Nepružné chování materiálu Ideálně pružnoplastický model Plastická analýza průřezu ohýbaného prutu Mezní plastický stav konstrukce Plastický kloub Interakční diagram N, M Příklady Copyright (c) 2011 Vít Šmilauer Czech Technical University in Prague, Faculty of Civil Engineering, Department of Mechanics, Czech Republic Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation icense, Version 1.2 or any later version published by the Free Software Foundation; with no Invariant Sections, no Front-Cover Texts, and no Back-Cover Texts. A copy of the license is included in the section entitled "GNU Free Documentation icense" found at http://www.gnu.org/licenses/ 1
Jednoosá tahová zkouška betonářské oceli Měkká betonářská ocel R10 505, 12 mm U... mez úměrnosti =E Konvenční napětí (konstantní průřezová plocha) E... mez pružnosti f y mez kluzu Ocel se stává plastickou. Pružnoplastické chování se zpevněním f u mez pevnosti Maximální přenos napětí. Dle klasifikace oceli R jsou požadavky f yk =490 MPa a f uk =550 MPa. Foto a data: A. Kotlánová, TÜV NORD Czech, s. r. o 2
Jednoosé tahové zkoušky konstrukčních ocelí Data převzaty od V. Rödera, VUT v Brně 3
Jednoosá tahová zkouška hliníku U materiálů s nevýraznou mezí kluzu se určí smluvní mez kluzu pro vysokopevnostní oceli odpovídá deformaci 2 10 3 Konvenční napětí (konstantní průřezová plocha) 4
Trojbodový ohyb cementová pasta Těleso 12x12x80 mm, zářez 40% výšky Zatížení řízeno posunem, pevnost v tlaku 10 15x vyšší než pevnost v tahu Data od autora, P. Hlaváčka a P. Padevěta, ČVUT v Praze, Fakulta stavební 5
Modely nepružného chování materiálu Ideálně tuhoplastický model Ideálně pružnoplastický model Tuhoplastický model s lineárním zpevněním Pružnoplastický model s lineárním zpevněním 6
Modely nepružného chování materiálu Model poškození s lineárním změkčením Pružnoplastický model se změkčením Model poškození s exponenciálním změkčením 7
Ideálně pružnoplastický model Prandtlův diagram e p Rozklad deformace = e p Upravený Hookeův zákon =E e =E p 0 =f y p e 0 =f y Vývoj plastické deformace 0 0 p se nemění p roste = 0 p klesá 0 0 nelze 0 =f y 8
Simulace ohybu s pružnoplastickým materiálem Konzola délky 3 m, řez 0.13 m od vetknutí. Dochází k posunu neutrální osy. Bernoulli Navierova hypotéza je stále dobrou aproximací pro posuny. Elastický stav Elastoplastické stavy Průřez je blízký meznímu plastickému stavu 9
Pružnoplastický ohyb analýza průřezu Mezní elastický stav obdélníkového průřezu M el mezní elastický h=h el T Neutrální osa moment b 0 / E d 0 M el W d el bh2 6, =2 0 h Pro mezní elastický moment rozhoduje menší z W el d či W elh, tzn. průřezový modul 0 ke vzdálenějším vláknům. 10
h Pružnoplastický ohyb analýza průřezu Elastoplastický stav část průřezu plastizuje Obvykle dvě neznámé poloha N.O. a M elpl h el Neutrální osa, obecně dojde k jejímu posunu 0 / E N 2 N 1 N 1 - N 2 - M elpl elastoplastický moment b 0 d 0 0 Největší deformace M elpl =W elpl 0 = bh2 0 N x =0 A M elpl = A x z da 4 bh 2 el 12, = 2 0 h el x da=0 N = N - 11
Pružnoplastický ohyb analýza průřezu Mezní plastický stav celý průřez plastizuje Obvykle dvě neznámé poloha N.O. a h A - A Neutrální osa, obecně dojde k jejímu posunu plastický moment b d 0 0 Největší deformace =W pl 0 bh2 4, N x =0 A = A x z da x da=0, 0 - A = A - M el M elpl 12
Příklad určete M el a pro 0 =±250 MPa 200 mm 50 250 MPa A 4 - N 4 - - A 4-125 mm 175 mm y 50 z 350 mm Těžiště 200 mm 50 N.O. M el 178.6 MPa A 3 - N.O. x A 2 A 1 N - 3 = - - 0 A 3 N 2 = 0 A 2 N 1 = 0 A 1 A=0,0375 m 2 I y =4,453125e 4 m 4 M el I y z h M el =636,1 knm 0 = 0 - A = A - =0,01875 m 2 x=0,175 m N 4 - =2,5 MN N 3 - =2,1875 MN N 2 =0,3125 MN N 1 =4,375 MN = 2,5 0,025 2,1875 0,1375 0,3125 0,2375 4,375 0,275 =914,1 knm 13
Plastická rezerva průřezu M el = 0 W pl 0 W el = W pl W el Válcované profily IPN, IPE h d d h t w t f b b b W min el = bh2 24 d 3 32 bh 2 6 bd 3 b t w h 3 6d W pl = bh2 6 2 2 W pl W el =2,343 d 3 6 1,698 bh 2 4 1,5 b t f d t f t wh 2 4 1,15 14
Pružnoplastický ohyb analýza nosníku Mezní elastický stav x F el = 4 M el= 4 0 bh 2 6 h F el 2 M el bh 2 6 h=h el M el M el b d Mez kluzu dosažena na nosníku 15
Pružnoplastický ohyb analýza nosníku Elastoplastický stav x F elpl = 4 M = 4 elpl bh2 0 4 bh 2 el 12 h M elpl F elpl 2 Mez kluzu dosažena na nosníku x 0 M el h h el bh 2 M el 6 M elpl = bh2 0 4 bh 2 el 12 M el = F elpl 2 x 0, x 0 = 2 M el F elpl d 16
Pružnoplastický ohyb analýza nosníku Mezní plastický stav x F pl = 4 = 4 0 bh2 4 A - h F pl 2 Mez kluzu dosažena na nosníku Tvar plastického kloubu x 0 M el bh 2 M el 6 = bh2 0 4 M el= h F pl 2 x 0, x 0 = 2 M el F pl = A b 2 0 bh 2 6 4 0 bh2 4 = 3 d Plastický kloub funguje podobně jako vložený kloub. Výsledkem je staticky přeurčitá konstrukce (kinematický mechanismus). 17
Výpočet mezního zatížení na konstrukci Při daném (známém) kinematickému mechanismu kolapsu umíme určit maximální zatížení. Použijeme momentové podmínky rovnováhy. F pl F pl F pl 2 2 = F pl = 4 F pl 2 18
Výpočet mezního zatížení pomocí virtuálních prací Rovnováha na konstrukci se určí pomocí virtuálních prací. Protože se jedná o kinematický mechanismus, je veškerá vnitřní energie soustředěna do plastických kloubů. F pl W ext =F pl 2 W int = 2 Virtuální práce nebudou ve zkoušce z pružnosti. F pl W ext = W int F pl 2 = 2 2 F pl = 4 19
Plastická analýza staticky neurčité konstrukce Kolaps s krát staticky neurčité konstrukce nastane až při vzniku s1 plastických kloubů 3 16 F pl,1 = F pl,1 F pl /2 5 32 F pl,1 /2 Pomocí PVp 4 F pl = 4 2 2 =6 F pl Virtuální práce 2 W ext =F pl 2 W int = 2 =3 F pl 2 =3, F pl = 6 nebudou ve zkoušce z pružnosti. 20
Plastická analýza staticky neurčité konstrukce Určete mezní zatížení f pl,1,2, uvažujte - =M pl 0 f pl,1 f pl,2 f pl,1 2 8 - = - Neznámá poloha 2. plastického kloubu x - f pl,2 2 f pl, 1 = 8 M - pl 2 M x =[ M - pl dm x dx x= 2 f pl, 2 M x = f pl, 2 ] 2 x f pl, 2 x 2 2 =V x =0= M - pl - f pl, 2 2 f pl,2 = 22.5 6 2 f pl, 2 x 11.66 M pl 2 21
Mezní plastický stav při kombinaci ohybu s tahem h A - A h h M N Těžišťová osa N - b h h r - = h 2 h h 2 = h 2 r = h h 2 N b h b d N =N N - b 2h h h = h 2 N 2 0 b h h = h 2 N 2 0 b M =N r N - r - h h b h 2 h h h 2h M bh h h b[ M = h 0 2 b[ M = h2 0 4 N 2 0 b ] [ h 2 N 2 2 0 b M N 2 =1, 4 0 b N ] 2 0 b ] =M N 2 pl 4 0 b M N N pl 2 =1 22
Mezní plastické stavy při ohybu s tahem/tlakem Zde uvedené plastické stavy platí pro obdélníkový průřez M M N N pl 2 =1 N pl Tlak a kladný ohyb Tlak a záporný ohyb Tah a kladný ohyb Tah a záporný ohyb N pl N M N N pl 2 =1 M N N pl 2 =1 23
Mezní pružné stavy při ohybu a tahu/tlaku = N A M I z max = N A M I z max min = 0 = N A M I z min Extrémní hodnoty napětí při namáhání kladným ohybovým momentem Odvození dále pro obdélníkový průřez: bh 2 M el W el 6 = 2I 0 h z max = h 2 N M h =1 N M =1 A 0 2I 0 N pl M el z min = h 2 N M h =1 N M = 1 A 0 2I 0 N pl M el 24
Interakční diagram pro obdélníkový průřez Mezní elastický stav M Mezní plastický stav M M el N N pl =1 N pl Tlak a kladný ohyb Tlak a záporný ohyb M el Tah a kladný ohyb Tah a záporný ohyb N pl M N N N pl 2 =1 M el 25
Příklad určete velikost N v mezním plastickém stavu Průřez je současně namáhán M y =90 knm, f y =230 MPa 0.3 m 90 knm 0.02 m N=? bh 2 0.02 0.32 =230 000 =103.5 knm 4 4 N pl b h=230 000 0.02 0.3=1380 kn M N 2 =1 N pl N =N pl 1 M 90 =1380 1 =±498.4 kn 103.5 0.204 m 90 knm 498.4 kn h = h 2 N 2 0 b =0.15 498.4 2 230000 0.02 =0.204 m 0.096 m 90 knm 498.4 kn h = h 2 N 498.4 =0.15 2 0 b 2 230000 0.02 =0.096 m 26
Příklad určete W el, W elpl se zplastizovanou pásnicí, W pl 0.18 m 0.02 0.15 m T 0.02 0.135 0.065 N.O. 0.481 0.015 1 0.15 N.O. 1 0.165 N.O. I y = 1 12 0.02 0.183 0.15 0.02 3 0.02 0.18 0.045 2 0.15 0.02 0.055 2 =2.6185e-5 m 4 d =I y / z d =1.9396 e-4 m 3 W el 1 1 1 W elpl =0.02 0.15 0.09 2 0.015 0.02 2 0.015 1 0.15 0.02 0.025=3.48 e- 4 m3 3 2 W pl =0.02 0.1652 2 0.020 0.0152 2 0.15 0.02 0.025=3.495e-4 m 3 W pl W el =1.802 27
Určete mezní velikost F při kolapsech prutů 1 3 2 m 2F 1. Síly a kóty vztaženy ke střednici 3. F 2. 2F 0.02 0.18 m 0.15 m T 0 =300 MPa A=0.0066 m 2 W pl =3.495 e-4 m 3 2 m 2 m 0.02 N 2F F Kolaps prutu 1 tlak 2F= 0 A=300 0.0066= 1.98 MN F=990 kn Kolaps prutu 3 ohyb tato síla rozhoduje 8F M 8F= 0 W pl =300 3.495 e-4 8F= 0.10485 MNm F=13.1 kn 4F 28
Určete mezní velikost F při kolapsech prutů 1 3 0.02 0.18 m 0.15 m T 0.02 0.135 0.065 x 0 N.O. N 2-0 F N 1 - N 1 4F F : : N 1 - N 2 - N F=0 M =N 1 - r 1 - N 2 - r 2 - N r N.O. : Kolaps prutu 2 tlak a ohyb F=300 [0.15 0.02 0.02 0.18 x 0.02x ]=1.98 12x, x= 1.98 F 12 [ 0.02 M =4F=300 0.15 0.02 0.18 x 0.01 2 0.18 x 2 0.02x2 ] x 0.135 F 2 M =0.171 0.9x 0.0972 1.08x 3x 2 3x 2 x 0.135 1.98 12x = 6x 2 1.62x 0 M =4F=4 1.98 12x = 6x 2 1.62x 6x 2 49.62x 7.92=0, x 1 =0.1628 m, x 2 =8.107 m F=0.0262 MN, N 1 - =900 kn, N 2 - =103.1 kn, N 1 =976.9 kn, M=104.7 knm 29
Určete mezní zatížení konstrukce při zadaném průřezu 10F 10F 6F Virtuální práce nebudou ve zkoušce z pružnosti. 2 2 3 2 2 3 Kolaps 1. pole 10F 10F 6F 2 W int = W ext 2 1 = 10F 2 F= 3 20 =0.15 Kolaps 2. pole 10F 10F 6F 2 3 5 2 5 3 = 10F 3 2 F= 10 60 0.1667 Kolaps 3. pole 10F 10F 6F Rozhoduje nejmenší zatížení, tj. kolaps 1. pole 3 2 5 3 5 = 6F 2 3 F= 8 36 0.2222 30
Otázky 1. Nakreslete pracovní diagramy materiálu se zpevněním a se změkčením. 2. Vyjádřete křivost prutu při elastoplastickém stavu. Jaká je křivost prutu při mezním plastickém stavu? 3. Jak lze snadno nalézt polohu neutrální osy při mezním plastickém momentu, pokud jsou meze kluzu v tahu i tlaku stejné? 4. Načrtněte tvar plastického kloubu pro I profil při tříbodovém a čtyřbodovém ohybu. 5. Kolik plastických kloubů musí vzniknout u dvakrát staticky neurčité konstrukce, aby došlo k jejímu celému kolapsu? Může na některé části dojít ke kolapsu dříve? 6. Jak zjistit mezní zatížení u konstrukce, kde neznáme počet a polohu plastických kloubů? 7. Může libovolná normálová síla přispívat ke zvětšení? 8. Jaký je rozdíl v mezní únosnosti čistě taženého prutu, pokud použijete teorii pevnosti a pružnoplastický materiál? Vytvořeno 03/2011 v OpenOffice 3.2, Ubuntu 10.04, Vít Šmilauer, ČVUT. Poděkování patří zejména M. Jiráskovi za inspiraci jeho přednáškami. 31