Kmitání mechanických soustav I. část - úvod Iva Petríková Katedra mechaniky, pružnosti a pevnosti
Osah Úvod, základní pojmy Počet stupňů volnosti Příklady kmitavého pohyu Periodický pohy Harmonický pohy, vlastnosti Soustava s 1 stupněm volnosti Volné kmitání netlumené Volné kmitání tlumené Logaritmický dekrement 14.3.16
Úvod, základní pojmy nejvýznamnější část dynamiky -kmitání se zaývá chováním těles za půsoení oscilačních sil všechna hmotná a pružná tělesa jsou způsoilá k viracím průvodní jev při provozu mnoha technických zařízení -příčina poruchy částí strojů, nadměrného opotřeení, nesprávného chodu přístrojů, nadměrného hluku atd dochází ke změně fyzikálních veličin v čase (výchylek, rychlostí, zrychlení, sil, napětí) postup řešení: výpočtový model (fyzikální), matematický model, identifikace parametrů 14.3.16 3
Základní pojmy Kmitavý pohy je periodický opakující se v určitém čase Typy kmitavého pohyu: volné kmitání x vynucené kmitání Volné kmitání kmitání je způsoeno vlastní energií systému, vnější silové účinky na systém nepůsoí Vynucené kmitání způsoené půsoením vnějších sil Kmitající systémy vykazují tzv. tlumení způsoené disipací energie vlivem tření neo jiných odporů 14.3.16 4
Typy prvků modelu, počet stupňů volnosti Typy prvků Diskrétní elementy lineární a torzní pružiny Prvky se spojitě rozloženou hmotou struny, nosníky a desky Počet stupňů volnosti = počet nezávislých souřadnic Soustava se dvěma stupni volnosti Soustava s jedním stupněm volnosti Soustava s nekonečným počtem stupňů volnosti
Periodický kmitavý pohy Periodický pohy a jeho harmonické složky Harmonický pohy Periodický pohy se opakuje po určitém intervalu času Nejjednodušší forma periodického pohyu je harmonický pohy sin, cos
Vlastnosti harmonického pohyu Harmonický pohy je dán funkcí: x, x(t)... výchylka [m] X... amplituda výchylky[m] ( ) ωt + ϕ... fáze ω... úhlová rychlost[s -1 ] x = X t + sin ( ω ϕ ) T... perioda pohyu[s] f... frekvence= počet cyklů za jednotku času, rozměr [s -1 ], jednotka [Hz] Hertz ϕ... fázový úhel π T = ω = π f ω
Rychlost: dx xɺ = = ω X ω t + ϕ dt cos ( ) ωx... amplitudarychlosti[ms -1 ] Zrychlení: d x sin ɺɺ x = = ω X ω t + ϕ dt ( ) -ω X... amplitudazrychlení[ms - ]
Soustava s jedním stupněm volnosti hmota, pružina, tlumič, harmonická udící síla Budící síla harmonické uzení mx ɺɺ + xɺ + kx = F ( t) Volné kmitání tlumené mx ɺɺ + xɺ + kx = Volné kmitání netlumené mx ɺɺ+ kx =
Soustava s jedním stupněm volnosti Základní pojmy:jednohmotový systém, harmonická udící síla mx ɺɺ + xɺ + kx = F ( t) F ( t) = F sin ωt m... hmotnost... součinitel (viskózního) tlumení k... tuhost F... amplituda udící síly ω... udící frekvence kr... součinitel kritického tlumení Ω = ω η = Ω KR = k m ζ = KR km... vlastní úhlová frekvence... součinitel naladění součinitel kritického tlumení poměrný útlum
Řešení diferenciální rovnice. řádu: Předpoklad: Netlumené volné kmitání mx ɺɺ+ kx = i t i t x t = Ae + Be volné kmitání pomocí charakteristická rovnice: ( ) Ω Ω m λ λ λ + k = λ + = λ 1, 1, Ω = k m = k m k = ± i m = ± iω k m vlastní frekvence soustavy s 1 stupněm volnosti k ɺɺ x + x = ɺɺ+ x Ω x = m Konstanty A a B určíme s počátečních podmínek: ( ), ɺ ( ) x = x x = v i ( ) ( Ω t i Ωt = Ω ) xɺ t i Ae Be x = A + B ( ) v = iω A B A B 1 ix Ω + v = 1 ix iω Ω v = iω
Řešení diferenciální rovnice. řádu pomocí charakteristická rovnice: λ + λ + = m k λ 1 4mk m m 1, = ± 4mk k λ1, = ± i i 1 = ± m 4m m m m k m m λ1, = ± iω 1 m km km CR = = ζ poměrný útlum = km součinitel kritického tlumení CR Tlumené volné kmitání mx ɺɺ + xɺ + kx = ( ) ( ζ ζ ) ( ) 1 t ζ ζ 1 + Ω Ω t x t = Ae + Be ζ > 1 ζ < 1 ζ = 1 x( t) x1 ( t ) nadkritické tlumení podkritické tlumení kritické tlumení.4.. Ω 1 ζ = Ω vlastní frekvence tlumené soustavy T ( i ) λ = ζ ± ζ Ω 1, 1.4 5 1 t Netlumené --- a tlumené kmitání ---
Tlumené volné kmitání Nadkritické tlumení: ζ > 1 výchylka je dána součtem dvou exponenciál, pohy je neperiodický, těleso má tendenci vrátit se do rovnovážného stavu APERIODICKÝ POHYB (Or.1) ( ζ ζ ) ( ) 1 t ζ ζ 1 + Ω Ωt x = Ae + Be Podkritickétlumení: ζ < 1 výchylka osciluje s klesající amplitudou (Or.) ζωt x = e [ C e + C e ] = = i 1 ζ Ωt i 1 ζ Ωt 1 ( cos sin ) ζωt e A t B t Ω + Ω = Or. 1 ( ζ t γ ) ζ Ω t = Ce sin 1 Ω + t Kritické tlumení: ζ = 1 x = [ A + Bt] e Ωt Or.
Tlumené volné kmitání Logaritmický dekrement Přirozený logaritmus dvou po soě jdoucích výchylek (Or.3) δ ( ) ( ) t ( cos Ω + sin Ω ) ( t T ) ( cos sin ) x t e A t B t ζω x1 = ln = ln = ln = ζω + x x t + T e A Ω t + B Ωt 1 π πζ = ln = ζω T = ζω = ζωt e Ω T 1 ζ pro << CR δ πζ x( t) ( + nt ) δ = ln π nζ x t Or.3 CR Poměrný útlum
Příklady kmitajících soustav, zajímavé odkazy Most Tacoma Narrows (194) Most přes řeku Volhu, Volgograd (8) Animace některých jevů v kmitání https://www.youtue.com/watch?v=3mclp9qmcgs www.amk.cool/videa/nejnovejsi/detail/11718/3 http://www.acs.psu.edu/drussell/demos.html 14.3.16 15