Fourierova transformace EO Přednáška Pavel Máša
ÚVODEM Známe Fourierovy řady v komplexním tvaru f(t) = 1X k= 1 A k e jk! t Spektrum této řady je diskrétní A k = 1 T Obvody tedy musíme řešit v HUS člen po členu (pracné) Touto řadou můžeme popsat pouze periodické průběhy? Co když obvod vybudíme osamoceným impulsem?? Jak vypočítat výstupní napětí jedním výpočtem, ne pracně krok za krokem, po jednotlivých harmonických? Z T f(t)e jk! t dt
FOURIEROVY ŘADY ROZŠIŘOVÁNÍ PERIODY Co se stane, pokud budeme prodlužovat periodu obdélníkového průběhu? Nebo zužovat obdélníkový impuls? A k = 1 T = U T = U Z t t U e jk! t dt = U T e jk! t jk! t cos( k! t )+jsin( k! t ) cos(k! t ) j sin(k! ) = jk! t sin(k! ) = U t t sin(k! ) t k! T k! = S μ T Sa t k! t t =
Jak v případě zužování impulsu, tak prodlužování periody je obalovou křivkou funkce sin x x Čím větší je poměr periody T k šířce impulsu t, tím více spektrálních čar padne do sin x jedné periody funkce. x Zužování konstantní T, zmenšování t, k reprezentuje stále stejnou frekvenci (frekvenční) vzdálenost sousedních čar se nemění sin x funkce se rozšiřuje směrem k Rozšiřování konstantní t, T roste směrem k, k reprezentuje stále nižší frekvence sin x (frekvenční) vzdálenost sousedních čar klesá k funkce zůstává na místě, klesá ale x amplituda!!! x
PŘECHOD OD FOURIEROVY ŘADY K FOURIEROVĚ TRANSFORMACI Prodloužení periody k T!1 )! = ¼ T! ;! =!! Původně diskrétní frekvence se stává spojitou Amplituda frekvenčního spektra (původně jednotlivých harmonických) se blíží Koeficienty (harmonické) musíme vynásobit periodou T (jinak!) T A k = Z T T f(t)e jk! t dt F(j!)= lim T A k = lim T!1 T!1 Z T T Přímá Fourierova transformace T!1 f(t)e jk! t dt = Z 1 1 f(t)e j!t dt ff(t)g = F(j!)= Z +1 1 f(t)e j!t dt
Časový průběh je vyjádřen řadou f(t) = k= 1 = 1 ¼ Pokud T, pak v této rovnici Zpětná Fourierova transformace ZPĚTNÁ TRANSFORMACE 1X (T A k )e jk! t 1 T = X 1 (T A k )e jk! t 1 ¼ 1X k= 1 k= 1 (T A k )e jk! t! = j! =! j = 1 ¼ 1 ff(j!)g = f(t) = 1 ¼!! d!; Z +1 =! 1X (T A k )e jk! t! k= 1 P R! pokud je to možné, nepoužíváme přímo definiční integrál, ale snažíme se využít vlastností a známých obrazů ze slovníku 1 F(j!)e j!t d!
Funkce musí splňovat Dirichletovy podmínky (Fourierovy řady!) Funkce musí být absolutně integrovatelná Z 1 1 značně omezující podmínka, kdy transformace není použitelná ani na tak běžnou funkci, jakou je jednotkový skok (stejnosměrné napětí / proud) Splňuje podmínku lim t! 1 jf(t)j dt <1 f(t) = PODMÍNKY EXISTENCE Transformace je základním prostředkem pro popis frekvenčních vlastností diskrétních systémů (číslicové zpracování zvuku a obrazu CD, SACD a DVD přehrávače, domácí kina, )
Transformace je prostředkem pro frekvenční analýzu frekvenčního spektra časových průběhů tam, kde má funkce F(jω)maxima, jsou přítomny v časovém průběhu frekvenční složky ju(j!)j u(t) = (sin(¼t)+sin(6¼t)) e ¼t Musí splňovat podmínky existence U(j!)= j e 1 4 Fourierův obraz! +1!¼+36 ¼ ¼ e 6! +e 4!+8 ¼ e!+8 ¼ Funkce je roztažená má omezené frekvenční rozlišení
ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI vlastnost vzor obraz Linearita Posunutí v originále Posunutí v obraze (modulace) Derivace Integrál Změna měřítka Obraz exp. pulsu f(t) =af 1 (t)+bf (t) F(j!)=aF 1 (j!)+bf (j!) f(t) =f 1 (t t ) F(j!)=F 1 (j!)e j!t f(t) =f 1 (t)e j! t F(j!)=F 1 j(!! ) f(t) = dn f 1 (t) dt n f(t) =( t) n f 1 (t) Z t F(j!) =(j!) n F 1 (j!) F(j!) = dn F 1 (j!) d(j!) n f(t) = f 1 (t)dt F(j!) = F 1(j!) 1 j! f(t) =f 1 (at) F(j!)= 1 μ j! jaj F 1 a f(t) =e at F(j!)= 1 j! + a
PŘÍKLAD Vypočítejte Fourierovu řadu obdélníkového průběhu na obrázku. U m = V, T =.1 s, t =.5 s U k = 1 T.4. -. Z t t U m e jk! t dt = U m T e jk! t jk! t t = U t mt sin(k! ) t T k! = k¼ sin k¼ 4-15 -1-5 5 1 15! = ¼ T = ¼ :1 =¼ ) k =16! =16 ¼ =15:31 : s 1
Vypočítejte Fourierovu transformaci obdélníkového průběhu na obrázku. Porovnejte s Fourierovou řadou vypočítanou výše. U m = V, t =.5 s F(j!) = Z t U m e j!t dt = U m t.4. e j!t j! t sin! = U m t! -. -1-8 -6-4 - 4 6 8 1.4. t sin! t = U m t sin :15!! t =:5 :15! transformace řada -. -15-1 -5 5 1 15 Amplituda u Fourierovy řady se mění s periodou!
PŘÍKLAD U U 1 Najděte Fourierův obraz časového průběhu na obrázku. U 1 = 1 V, U = V, t =.5 s Časový průběh můžeme považovat za superpozici dvou průběhů Obdelníka, U m = 1 V Pily, U m = 1 V Řešení pro obdélníkový průběh známe z minulého příkladu, ale musíme ho upravit změnila se amplituda, doba t a průběh je posunut v čase použitou vlastností je změna měřítka, a =.5 a posunutí v originále o -.5 s F 1 (j!)= 1 sin :15! :5 :15! sin :5! e j!:5 =:5 Změna amplitudy Změna časového měřítka posunutí F (j!)= Z t u = t te j!t dt = t u =1 U m v = e j!t v = e j!t = U m t j! t e j!t t :5! e j!:5 e j!t j! ( j!) t = U m e j!t t! (1 + j!t ) 1
Na rozdíl od pracných Fourierových řad (kde je nutno počítat s každou frekvenční složkou samostatně) můžeme hledat průběh výstupního napětí při neharmonickém buzení obdobně, jako v HUS 1. Najdeme Fourierův obraz budícího impulsu. S využitím přenosu (stejný, jako v HUS), najdeme obraz výstupního napětí X (j!)=p(j!)x 1 (j!) 3. Zpětnou Fourierovou transformací najdeme časový průběh Z časových průběhů výstupního a vstupního napětí můžeme určit frekvenční vlastnosti obvodu 1. Najdeme Fourierův obraz budícího impulsu x 1 (t)! X 1 (j!). Najdeme Fourierův obraz výstupního napětí x (t)! X (j!) 3. Určíme přenos obvodu POUŽITÍ V ELEKTRICKÝCH OBVODECH x 1 (t)! X 1 (j!) X (j!)! x (t) P(j!)= X (j!) X 1 (j!)
PŘÍKLAD U m Integrační článek na obrázku je vybuzen obdélníkovým impulsem dle obrázku. Vypočítejte časový průběh výstupního napětí. 1.. 3. U 1 (j!)= Z t e j!t U m e j!t dt = U m j! t Nyní již zbývá pouze zpětná transformace ½Z t ¾ 1 1. Víme, že je obrazem integrálu j! u ( )d = 1 j! U 1 e j!t m 1+j!RC nejdříve najdeme funkci u u (t) a tu následně zintegrujeme t 1 P(j!)= 1+j!RC 1 U (j!)= 1+j!RC U m e j!t 1 j! = U m e j!t 1 j!. Obraz 1 e j!t U m je superpozicí obrazů dvou funkcí, e j!t představuje časové zpoždění t 1+j!RC ½ ¾ 3. 1 1 = 1 1+j!RC RC e 1 RC t ) u (t) = U ³ m e 1 RC t 1(t) e 1 RC (t t) 1(t t ) Z RC t 4. u ( )d = U μz t Z t h i m e 1 RC d RC ( t) d = U m (1 e t RC )1(t) (1 e t t RC )1(t t ) RC Pozn. jde to i lépe Laplaceova transformace... e 1 t t
PŘÍKLAD Na vstup obvodu jsme připojili zdroj s časovým průběhem Na výstupu obvodu jsme naměřili časový průběh napětí u 1 (t) =1e 5t V u (t) =6:¹6(e 5t e t )V Najděte přenos obvodu. Navrhněte vhodné zapojení. 1 U 1 (j!) = j! +5 6:¹6 U (j!) = j! + 5 6: ¹6 j! + = 6: ¹6 6:¹6 5 (j! + 5)(j! + ) = 1 (j! +5)(j! + ) (j!+5)(j!+) P(j!) = U 1 (j!) U 1 (j!) = 1 j!+5 = 1 j! +