Testování hypotéz 4. přednáška 6. 3. 2010
Základní pojmy Statistická hypotéza Je tvrzení o vlastnostech základního souboru, o jehož pravdivosti se chceme přesvědčit. Předem nevíme, zda je pravdivé nebo ne. Nulová hypotéza H 0 Hypotéza, jejíž platnost ověřujeme. Značíme je H 0. Alternativní hypotéza H 1 Říká, co bude platit, když nebude platit nulová hypotéza H 0. Říkáme, že testujeme H 0 proti H 1.
Základní pojmy Testy jednostranné a dvoustranné záleží na formulaci alternativní hypotézy Nulová hypotéza H 0 : A = B Dvourstranná H 1 : Jednostranná H 1 : H 1 :
Základní pojmy Statistický test Jednoznačné pravidlo, které určuje podmínky, za kterých hypotézu H 0 zamítneme nebo nezamítneme. Testovací kritérium (Z) Je funkce náhodného výběru, jejíž tvar je závislý na: testované hypotéze a rozdělení pravděpodobností základního souboru. Kritická oblasti (KO) Je množina hodnot testovacího kritéria, které neptaří do oblasti přípustných hodnot. Oblast přípustných hodnot (OPH) Je množina hodnot testovacího kritéria, které nepatří do kritické oblasti.
Základní pojmy Kritická hranice (KH) Odděluje kritickou oblast od oblasti přípustných hodnot. Hladina významnosti testu Je pravděpodobnost kritické oblasti Postup testování hypotézy 1. získání údajů (například měřením), 2. stanovení statistického testu s příslušnou kritickou oblastí, 3. dosazení údajů do vzorce testovacího kritéria a výpočet hodnoty testovacího kritéria Z 4. zjistíme, kam padla hodnota testovacího kritéria: 5. zda do kritické oblasti nebo 6. do oblasti přípustných hodnot.
Postup testování hypotéz 1. získání údajů (například měřením), 2. stanovení statistického testu s příslušnou kritickou oblastí, 3. dosazení údajů do vzorce testovacího kritéria a výpočet hodnoty testovacího kritéria Z 4. zjistíme, kam padla hodnota testovacího kritéria: zda do kritické oblasti nebo = nulovou hypotézu zamítáme do oblasti přípustných hodnot. = nulovou hypotézu nezamítáme
Postup testování hypotéz Pokud Z KO hypotéza H 0 se zamítá Říkáme: pokud hodnota testovacího kritéria padne do kritické oblasti, hypotézu H 0 zamítáme. Pokud Z KO hypotéza H 0 se nezamítá Říkáme: pokud hodnota testovacího kritéria padne oblasti přípustných hodnot, hypotézu H 0 nezamítáme.
Dělení testů hypotéz podle toho zda známe RP Parametrické testy Rozdělení pravděpodobností základního souboru je známé. Testování se týká pouze hodnot parametrů. Jsou spojovány s testováním parametrů normálního rozdělení pravděpodobností. Neparametrické testy Neznáme rozdělení pravděpodobností
Dělení testů hypotéz Testy významnosti Rozdělení pravděpodobností je známé. Testované hypotézy se týkají pouze parametrů základního souboru. Jednovýb. testy významnosti pro střední hodnotu N-RP Známe δ, Neznáme δ. Jednovýb. Testy významnosti pro rozptyl Testy shody Týkají se typu rozdělení pravděpodobností základního souboru.
Test pro střední hodnotu pokud: známe δ a soubor má normální RP Testovací kritérium = aritmetický průměr náhodného výběru n = rozsah náhodného výběru k = střední hodnota (konstanta) δ = směrodatná odchylka náhodného výběru
Test pro střední hodnotu pokud: známe δ a soubor má normální RP Kritická oblast a) dvoustranná alternativní hypotéza H 0 : EX= k proti H 1 : EX k W =
Příklad Podle jízdního řádu je jízdní doba nedělního posilového spoje číslo 13 mezi Strakonicemi a Prahou 100 minut. Po deset neděl byl sledován příjezd tohoto spoje do Prahy a za předpokladu, že autobus vyjel ze Strakonic včas, byly zaznamenány tyto jízdní doby: Datum 7.3. 14.3. 21.3. 28.3 4.4. 11.4. 18.4. 25.4. 2.5. 9.5. Doba 90 112 103 86 98 100 120 89 95 100 Na hladině významnosti testujete, zda jízdní doba uvedená v jízdním řádu odpovídá skutečnosti, jestliže víte, že hodnoty pocházejí ze základního souboru s normálním rozložením pravděpodobností se směrodatnou odchylkou δ = 10,3.
Test pro střední hodnotu pokud: neznáme δ, studentovo RP Testovací kritérium = aritmetický průměr náhodného výběru n = rozsah náhodného výběru k = střední hodnota (konstanta) s = směrodatná odchylka náhodného výběru (musí se dopočítat)
Test pro střední hodnotu pokud: neznáme δ, studentovo RP Kritická oblast a) dvoustranná alternativní hypotéza H 0 : EX= k proti H 1 : EX k W =
Příklad 10 majitelů vozů Škoda Octavia sledovalo spotřebu paliva, hodnoty jejich měření jsou uvedeny v tabulce. Výrobce udává průměrnou spotřebu tohoto typu automobilu Octavita 8,9 l/100km. Předpokládejme, že spotřeba má normální rozdělení pravděpodobnosti. a) Otestuje na hladině významnosti 0,05, zda se liší spotřeba naměřená majiteli vozů od střední hodnoty dané výrobcem. b) Otestujte na hladině významnosti 0,05, zda je spotřeba naměřená majiteli vozů významně vyšší než hodnota udaná výrobcem. Majitel 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Spotř. 10,0 9,3 8,8 9,0 8,85 9,05 9,05 8,9 8,95 10,2
Test pro rozptyl Testovací kritérium = rozptyl daný v zadání = výběrový rozptyl
Test pro rozptyl Kritická oblast a) dvoustranná alternativní hypotéza H 0 : DX= k 2 proti H 1 : DX k 2 W =
Příklad Automat vyrábí pístové kroužky o daném průměru. Výrobce udává, že směrodatná odchylka průměru kroužků je 0,05 mm. K ověření této informace bylo vybráno náhodně 80 kroužků a vypočtena směrodatná odchylka jejich průměru s = 0,04 mm. Lze tento rozdíl považovat za významný? Na 5% hladině významnosti testujte hypotézu, že směrodatná odchylka průměru kroužků je rovna 0,05 mm.