Jea Baptiste Joseph Fourier 768-83 Fourierova trasforace ve zpracováí obrazů 6. předáška předětu Zpracováí obrazů Martia Mudrová 24 Motivace Proč používat Fourierovu trasforaci? základí ateatický ástroj ve zpracováí digitálích obrazů detekce hra a segetace obrazu úprava kvality obrazu rekostrukce obrazu koprese obrazu (forát.jpg) detekce objektů atd. M. Mudrová, 24 2 Mateatické iiu převod ezi časovou t) a frekvečí X(f) oblastí Základí defiice: příá spojitá FT: X ( f ) t...časová (prostorová oblast) t) X ( f ) + i πtf t ) e 2 dt Požadavky a f(t) : po částech spojitá M. Mudrová, 24 itegrovatelá x ( t) dt zpětá spojitá FT: t) < f...frekvečí oblast + + i πtf X ( f ) e 2 df 3
Příklad spojité FT Jak vypadá FT periodických fukcí? t) si(2π ft) X ( f ) ( δ ( f f) δ ( f + f) ) 2 i t) M. Mudrová, 24 Def. FT: ± i 2πf Eulerovy vzorce: t e cos( 2πf t) ± i si(2πf t) Časová (prostorová) oblast t) T/f 2T 3T + i πtf X ( f ) t) e 2 dt t X(f) -f f d(f) Diracova fukce Spektru X(f) (aplitudová fr. charakt.) f f f 4 ) Od spojité k diskrétí FT Co je diskrétí FT? Příá diskrétí FT: X ( k) Diskretizace v čase: ty t Y i ) e k 2π - 2 4 6 M. Mudrová, 24 Diskrétí Fourierova trasforace + ) X ( k) X(k) Diskretizace ve frekveci: f Y f k Y k 5.57.25 Zpětá diskrétí FT: ) k X ( k ) e + i k 2π 3 k...idex 63 3.4 ω k...kruhová frekvece.5 f oralizovaá frekv. 5 Oezeí vzorové fukce v čase (prostoru) Fukce s koečou délkou... váhováí apodizace M. Mudrová, 24 ) ) ) Periodický sigál a jeho spektru - 2 3 4 5 6 Obdelikové oko a jeho spektru.5.5 2 3 4 5 6 Oezeý sigál a jeho spektru - X(ω) X(ω) X(ω) 4 3 2.5.5 2 2.5 3 ω od do π 4 3 2.5.5 2 2.5 3 ω od do π 4 3 2.5.5 2 2.5 3 ω od do π 6
X Do dvou diezí ( k, l) ) Příá 2D DFT: 64 M. Mudrová, 24 M, M - 2 3 4 5 6 -> [, ] k-> [k, l] 2D DFT i e, ) k l 2π ( + M 64 ) X(k) 5 3, X ( k, l) 64, ) 64 f l k 63 Zpětá 2D DFT: M, X ( k, l) k l X(f k,f l ) - - f k k l + i 2π ( + M e ) 7 Příklad 2D DFT reálého obrazu, Syetrie 27 366 - - M. Mudrová, 24 8 Pricip číslicové filtrace Co se stae při úpravě spektra? prostorová oblast ). periodická fukce 2. áhodý šu 3..+2. 4. po úpravě spektra M. Mudrová, 24 spektru X(k) 9
M. Mudrová, 24 2D filtrace Pricip diskrétí kovoluce Co se při úpravě spektra děje v prostorové oblasti? Spektrálí oblast: Prostorová oblast: M. Mudrová, 24 y( ) ) * ) Y ( k) X( k). H( k) pro k Kde: j j) j) Souči Kovoluce y() žádaý tvar fukce )...daý (poškozeý) tvar fukce )...číslicový filtr Příklad diskrétí kovoluce Jaký á výza kovoluce? Příklad: ) ; 2; 3; 4; 5 ),5;,5 y( ) )* ) j M. Mudrová, 24 j) j) j f().).,5 5 y() 5 j f().-).,5 5 j f().-) 2.,5 y()5+ 5 2 j f().2-) edef. j f().2-) 2.,5 j2 f(2).2-2) 3.,5 5 y(2)+5 25 3 j f().3-) edef. j f().3-) edef. j2 f(2).3-2) 3.,5 5 j3 f(3).3-3) 4.,5 2 y(3)5+2 35 4 j,,2 edef. j3 4.,5 f(4).4-3) 2 y() 5; 5; 25; 35; 45 (Klouzavý průěr) j4 f(4).4-4) 5.,5 25 y(4)25+2 45 2
2D diskrétí kovoluce Jak vypadá 2D kovoluce? y(,, *, Prvek počítaý a pozici(, M. Mudrová, 24-4 j j2 j, j ) j, j ) 2 2 atice filtru, atice obrázku, 3 Aplikace I detekce hra Úloha detekce hra (>segetace obrazu) Hraa áhlá zěa obrazové fukce Pricip: Aplikace hraových detektorů horopropustých filtrů Příklad atice filtru, (filtr Prewittové) M. Mudrová, 24 Příklad spektra filtru H(k,l) Origiálí obraz Obraz po detekci hra 4 Aplikace II potlačeí šuu Úprava obrazu Pricip: Potlačeí vysokofrekvečích složek aplikací dolopropustého filtru M. Mudrová, 24 Spektru filtru H(k,l) Origiálí obraz Obraz po úpravě 5
Aplikace III ostřeí Úloha rekostrukce poškozeého obrazu Pricip: Iverzí filtrace Wieerova filtrace Typ poškozeí: Rozostřeí pohybe objektu (objektivu) Špaté zaostřeí objektivu Turbulece atosféry atd. M. Mudrová, 24 Poškozeý obraz Obraz po rekostrukci 6 Aplikace IV detekce objektů Úloha detekce polohy objektu Pricip: Výpočet korelačí fukce kovoluce v prostor. oblasti Zrychleí výpočtu aplikací algoritu FFT ve 2D -> souči ve frekvečí oblasti M. Mudrová, 24 Filtr, Obraz, Korelačí fukce, 7 Pokročilejší etody zpracováí obrazů Short-tie Fourier trasfor krátká FT - Koprois ezi časový (prostorový a frekvečí rozlišeí Wavelet trasforace vlková trasforace - používá časová (prostorová) okéka s proělivou délkou (wavelet fukce) - Aplikace v aalýze obrazu, potlačeí šuu, kopresi dat, Radoova trasforace (p. Rado české árodosti) - koverze z cylidrických souřadic -aplikace předevší v bioedicíě (PET, SPECT, CT, ) M. Mudrová, 24 8