Tento materiál vznikl díky Operačnímu programu Praha Adaptabilita CZ.2.17/3.1.00/33254

Transkript

1 Evropský sociálí fod Praha & EU: Ivestujeme do vaší budoucosti Teto materiál vzikl díky Operačímu programu Praha Adaptabilita CZ.2.17/3.1.00/33254

2 Maažerské kvatitativí metody II - předáška č.1 - Dyamické programováí

3 Úvod: Dva hráči hrají hru se 30 sirkami. Střídavě odebírají 1, 2 ebo 3 sirky. Na koho zbude posledí prohrál! Jak postupovat? Od koce! Zbude-li a soupeře 1, prohrál. Zbude-li a soupeře 5, prohrál. Odebere-li 1, já 3. Odebere-li 2, já 2. Odebere-li 3, já 1. Zbude-li a soupeře 9, prohrál Odebere-li 1, já 3 a zbude 5. Odebere-li 2, já 2 a zbude 5. Odebere-li 3, já 1 a zbude 5.

4 Zbude-li a ěj 13, prohrál Odebere-li 1, já 3 a zbude 9. Odebere-li 2, já 2 a zbude 9. Odebere-li 3, já 1 a zbude 9. Zbude-li a soupeře: 1 prohrál 2, 3, 4 vyhrál 5 prohrál 6, 7, 8 vyhrál 9 prohrál 10, 11, 12 vyhrál 13 - prohrál

5 Totéž platí pro 17, 21, 25, 29, Dyamické programováí Strategie hráče, který začíá: Odebírat sirky tak, aby a soupeře zbylo 29, 25, 21, 17, 13, 9, 5 sirek! Co je typické a příkladu? 1. Postup od koce 2. Rozhodováí v etapách

6 50.léta: Problémy řízeí procesů s klesající účiostí v čase Katalytické procesy - Jak rozhodovat? Měit techické parametry (p, T, ástřik)? Zastavit výrobu, vyměit katalyzátor? Ale kdy? Rozhodutí závisí a okamžitém stavu, který se měí v čase! Aalogie u filtrace! Údržba a obova výrobího zařízeí - opět klesá účiost a je třeba rozhodovat v každém roce, zda provést: běžou údržbu, rekostrukci či obovu ÚLOHY O VÝMĚNĚ

7 Katalýza Filtrace p výměa ebo promýváí Produktovod Výměa zařízeí VZ běžá údržba BÚ rekostrukce REK obova OB Fiace p 1? p p 2? p 3? Extrakce Δc S s 1? s 2? s 3?

8 Omezeé ivestice Jak rozdělit a divize? Omezeé suroviy Jak rozdělit a liky? Jak rozdělit Δp a produktovodu? ÚLOHY O ROZDĚLENÍ OMEZENÝCH ZDROJŮ 50.Léta Bellmaova formulace dyamického programováí Základí pricip: Proces rozdělit a etapy Optimalizovat e jedorázově, ale po etapách podle dosažeého stavu Nejvíce se uplatilo diskrétí dyamické programováí Koečý počet etap Koečá možia možých stavů systému

9 Základí pojmy: Etapa uceleá část řízeého systému Časové úseky (roky, měsíce, dy, hodiy, ) Věcé formy etapy (reaktory, lokality, potrubí úseky, ) Počet etap i = 1, 2, (-koečě diskrétí dy.prog.) Stav systému diskrétí možia stavových veliči Počátečí stav Koečý stav 1 ik Strategie možia strategií xi ( xi, xi 2,... x ij x i1 x i - způsob převodu z ) je koečý stav předchozí etapy je počátečí stav avazující etapy x i 1 x i

10 Příos, efekt, v i-té etapě z závislý a x z ( x, ) Celkový příos i i1, ij i i1 ij z i1 z i ( x i 1, ij ) ADITIVITA! Teoretické účiosti MULTIPLICITA! 0,9 0,6 0,8 z z z z z 1 z 2 z 3 z 1 i1 log z z 2 i i1 3 log z i

11 i-tá etapa x i-1,1 x i-1,2 ij i x i,1 x i,2 x i-1,k xi1 x i1 ij možiy stavu x i,k xi xi

12 Cíl: převést systém z efektu: Dyamické programováí max(mi) z x0 x x, tak, abychom dosáhli požadovaého vhodou volbou strategie 0 x ij Etapa Stav Strategie Příos 1 2 i počátek x0 x1 xi1 x1 koec x1 x2 xi x 1 j 2 j ij j z1 x0,1 j z2 x1, 2 j z i xi1, z ij x 1, j,... 1 j, 2 j j

13 Postup: Dyamické programováí 1. Nejčastěji se optimalizuje -tá etapa! Neproběhe-li optimálě, eí optimálí celý proces! Problém: Nezáme x1 (závisí a dosavadím systému řízeí) Proto je třeba ajít optimálí strategii pro všechy možé výchozí stavy! Pro každé 1 z x1 hledáme strategii pro které bude efekt x z x 1, j max(mi) z x1, j, j j j j x1, j j

14 x? 1 j? x (většiou záme) x 1 x 2 x x k

15 Postup: 2. Předposledí (-1). etapa Dyamické programováí Aby byl optimálí celý proces, musí být optimálí i posledí 2 etapy Nezáme x 2, j x2, j x, Pro každé 2 j proto hledáme takové pro které bude z 1 x2, j, z x1, j x2, j 1, max(mi) z 1 1, j, 1, j optimum posledích dvou etap = příos předposledí etapy + podmíěý opt. příos posledí etapy

16 Postup: Dyamické programováí 3. Posledí dvě etapy = 1 posledí etapa a přejdeme k (-2). etapě opět optimalizace posledích 2 etap. Zobecěí a optimalizaci -i+1 etap z xi1, j, z xi, j xi1, j i, max(mi) zi i, j i1,, i, j 1.etapa Většiou je jede výchozí stav!

17 Od 1.etapy ve výpočtové tabulce hledáme posloupost i Pro počátečí stav x 0 1 převod a x 1 x 1 2 -II- x 2 x 2 3 -II- x 3 x1 -II- x

18 APLIKACE OBNOVA ZAŘÍZENÍ Etapy: roky provozu 1, 2, Stav systému: stáří zařízeí v letech 0, 1, 2, Strategie: P (poechat v provozu, pouze běžá údržba) / V (vyměit, předpokládáme a počátku daého roku) Formulace kriteriálí fukce: T(t) tržby v t-tém roce N(t) áklady v t-tém roce S(t) zůstatková hodota v t-tém roce J(i) jedorázové áklady a výměu a počátku i-tého roku

19 APLIKACE OBNOVA ZAŘÍZENÍ Jedoetapový proces Tt Nt... P T0 N0 Ji St... V Víceetapový proces Tt Nt Zi 1, t 1... P T0 N0 Ji St Z 1... V i1, Stáří (t) T(t) N(t) S(t) Rok (i) J(i) Rok - t=1 T T 1 N1 Z2, P 0 N0 J1 S1 Z V 2,5 5.Rok pro i=5, apř. t=2 T T 2 N P 0 N0 J5 S V 4.Rok - t=3 T T 3 N3 Z P 0 N0 J4 S3 Z V 5

20 Stáří (t) T(t) N(t) S(t) Rok (i) J(i) Z5 P Z5 V Z45 P Z45 V Z35 P Z35 V Z25 P Z25 V Z15 P Z15 V

21 Již rozděleo[mil. Kč] Dyamické programováí APLIKACE ALOKACE ZDROJŮ Etapy: divize 1, 2, 3 Stav systému: Již rozděleo 0, 2, 4, 6 mil.kč Kriteriálí fukce: zisk Etapa

22 Posledí etapa divize 3 výchozí stav optimálí strategie D 2 -ic erozděleo max (0,6; 1,2; 2,4) = (2,4) C 2 -rozděley 2mil.Kč max (0,6; 1,2; 0) = (1,2) B 2 -rozděley 4mil.Kč max (0 0,6) = (0,6) A 2 -rozděleo 6mil.Kč max (0) = (0)

23 APLIKACE ALOKACE ZDROJŮ Předposledí etapa divize 2 výchozí stav optimálí strategie D 1 -ic erozděleo 0 + (2,4) = 2,4 max 1,1 + (1,2) = 2,3 1,8 + (0,6) = 2,4 = 2,4 2,4 + (0) = 2,4 C 1 -rozděley 2mil.Kč 0 + (1,2) = 1,2 max 1,1 + (0,6) = 1,7 1,5 + (0) = 1,5 = 1,7 B 1 -rozděley 4mil.Kč 0 + (0,6) = 0,6 max 1,1 + (0) = 1,1 = 1,1 A 1 -rozděleo 6mil.Kč max 0 + (0) = 0

24 APLIKACE ALOKACE ZDROJŮ Prví etapa divize 1 výchozí stav optimálí strategie D 0 -ic erozděleo 0 + (2,4) = 2,4 max 0,9 + (1,7) = 2,6 1,2 + (1,1) = 2,3 2 + (0) = 2 = 2,6 Výsledek: 1.divize - 2mil.Kč 2.divize - 2mil.Kč celkový zisk 2,6 mil Kč!!!! 3.divize - 2mil.Kč

25 APLIKACE NEJKRATŠÍ CESTA Etapy: jedoduché spojeí Jedoetapový proces z 5 = 5 žádá cesta dál evede z i, 5 ij z j, z 2 z4,5 mi 45 5 z z z 3,5 2,5 1,5 mi mi mi z z z z z z cesta 4 5 = 3 cesta 3 4 = 6 cesta 2 3 = 7 cesta 1 4 optimum: 1 4-5

26 APLIKACE LOKALIZACE KAPACIT DO DISKRÉTNÍHO MNOŽSTVÍ MÍST Etapy: lokality Stav systému: lokalizovaé kapacity Kriteriálí fukce: celkové jedorázové a provozí áklady Požadavek: lokalizovat celkem K Omezeí: v jedotlivých lokalitách maximálě K Diskrétí programováí K k, 2k, 3k, Jedoetapový proces LOKALITA K L1 L2 L3 k áklady 2k 3k omezeí

27 APLIKACE LOKALIZACE KAPACIT DO DISKRÉTNÍHO MNOŽSTVÍ MÍST Víceetapový proces zi, mi z i K z K K i i1, i 2 lokality do lokality do lokality 2 0 k 2k (K 1 +K 2 +K 3 ) max k 2k mi

28 APLIKACE LOKALIZACE KAPACIT DO DISKRÉTNÍHO MNOŽSTVÍ MÍST Víceetapový proces 3 lokality do lokality do lokality 3 0 K k 2k 3k (K 1 +K 2 ) max miima z předchozí tabulky 2k 3k mi

29 APLIKACE LOKALIZACE KAPACIT DO DISKR. MNOŽ. MÍST Kapacita v L 1-2 Lokalita Kap v L Kapacita Kapacita v L 1-3 Kap v L

30 Evropský sociálí fod Praha & EU: Ivestujeme do vaší budoucosti Teto materiál vzikl díky Operačímu programu Praha Adaptabilita CZ.2.17/3.1.00/33254