Lineární a adaptivní zpracovní dat. 5. Lineární filtrace: FIR, IIR

Transkript

1 Leárí a adaptví zpracoví dat 5. Leárí fltrace: FIR, IIR Dael Schwarz Ivestce do rozvoje vzděláváí

2 Opakováí 2 Co je to fltrace? Co je to fltr? A jak ho popsujeme? Jaký je vztah Z trasformace a Fourerovy trasformace? Jak je defováa přeosová fukce dskrétího systému? Jaký je vztah mez přeosovou fukcí systému a jeho frekvečí charakterstkou? Co jsou to ulové body a póly přeosové fukce a jak je vypočítáme? Popšte, co je to stablta systému Jaká pravdla platí pro mpulsí charakterstku a přeosovou fukc stablího dskrétího systému?

3 Leárí fltrace obecě Fltrace=...?... vz 3. předáška o LTI systémech a jejch popsu ve frekvečí oblast

4 Leárí fltrace obecě Fltrace = zpracováí sloužící k výběru jstých složek ze směs více sgálů a k potlačeí složek jých. Složky sgálu =...?...

5 Leárí fltrace obecě Fltrace = zpracováí sloužící k výběru jstých složek ze směs více sgálů a k potlačeí složek jých. Složky sgálu = harmocké kompoety ve frekvečí oblast, jejchž ampltudy a fáze se s fltrací pozměí. Jak vysthujeme tuto změu?...?...

6 Leárí fltrace obecě Fltrace = zpracováí sloužící k výběru jstých složek ze směs více sgálů a k potlačeí složek jých. Složky sgálu = harmocké kompoety ve frekvečí oblast, jejchž ampltudy a fáze se s fltrací pozměí. Jak vysthujeme tuto změu? dvěma frekvečím charakterstkam: ampltudovou a fázovou. Čeho?...?...

7 Leárí fltrace obecě Fltrace = zpracováí sloužící k výběru jstých složek ze směs více sgálů a k potlačeí složek jých. Složky sgálu = harmocké kompoety ve frekvečí oblast, jejchž ampltudy a fáze se s fltrací pozměí. Jak vysthujeme tuto změu? dvěma frekvečím charakterstkam: ampltudovou a fázovou. Čeho? Fltru.

8 Leárí fltrace obecě Fltr=...?...

9 Leárí fltrace obecě Fltr = systém ebo algortmus (program), který měí požadovaým způsobem spektrum vstupího sgálu. Příklady aplkace: potlačeí rušvých vlvů, frekvečí aalýza Pops fltru: frekvečí charakterstka H(f), mpulsí charakterstka h(), dferečí rovce (defce), přeosová fukce H(z). je? vzhledem k dskrétímu charakteru sgálů.

10 Leárí fltrace obecě Fltr = systém ebo algortmus (program), který měí požadovaým způsobem spektrum vstupího sgálu. Příklady aplkace: potlačeí rušvých vlvů, frekvečí aalýza Pops fltru: frekvečí charakterstka H(f), mpulsí charakterstka h(), dferečí rovce (defce), přeosová fukce H(z). je perodcká vzhledem k dskrétímu charakteru sgálů. s perodou..?.. v případě frekvece,?. v případě ormovaé frekvece,..?.. v případě kmtočtu a?. v případě ormovaého kmtočtu.

11 Leárí fltrace obecě Fltr = systém ebo algortmus (program), který měí požadovaým způsobem spektrum vstupího sgálu. Příklady aplkace: potlačeí rušvých vlvů, frekvečí aalýza Pops fltru: frekvečí charakterstka H(f), mpulsí charakterstka h(), dferečí rovce (defce), přeosová fukce H(z). je perodcká vzhledem k dskrétímu charakteru sgálů. s perodou: 1/T s v případě frekvece, 1 v případě ormovaé frekvece, 2π/T s v případě úhlového kmtočtu a 2π v případě ormovaého úhlového kmtočtu.

12 Pops dskrétí soustavy s Z-trasformací Mějme LTI systém s přeosovou fukcí ve tvaru racoálě lomeé fukce: kde A = b 0 /a 0, z jsou...?... a p jsou...? ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = = = = = L M M L L M p z z z A z a z b z X z Y z H

13 Pops dskrétí soustavy s Z-trasformací 13 Mějme LTI systém s přeosovou fukcí ve tvaru racoálě lomeé fukce: H ( z) M M ( ) b z Y z = 0 L M = 1 = = = A z L L X ( z) a z = 0 = 1 ( z ) ( z p ) kde A = b 0 /a 0, z jsou uly a p jsou póly racoálě lomeé fukce.. y a b.z -.z - M L = b. x = 0 = 1 a. y zpětá Z trasformace, věta o leartě a posuu, a 0 =1.

14 Pops dskrétí soustavy s Z-trasformací 14 y M L = b. x = 0 = 1 a. y Iterpretace rovce: dskrétí soustava / systém uchovává v pamět starší vzorky vstupího výstupího sgálu.

15 Pops dskrétí soustavy s Z-trasformací?? Iterpretace rovce: dskrétí soustava / systém uchovává v pamět starší vzorky vstupího výstupího sgálu. = = = L M y a x b y

16 Pops dskrétí soustavy s Z-trasformací 16 y M L = b. x = 0 = 1 a. y Iterpretace rovce: dskrétí soustava / systém uchovává v pamět starší vzorky vstupího výstupího sgálu. Klouzavý průměr MA Autoregresí čle AR

17 Pops dskrétí soustavy s Z-trasformací 17 y M L = b. x = 0 = 1 a. y Iterpretace rovce: dskrétí soustava / systém uchovává v pamět starší vzorky vstupího výstupího sgálu. Klouzavý průměr MA Autoregresí čle AR Ovlvňuje rychlost odezvy, charakter jejího zakáí, stabltu soustavy.

18 Pops dskrétí soustavy s Z-trasformací 18 y M L = b. x = 0 = 1 a. y Realzace soustavy / fltru / programu přímou formou: b 0 b 1 b 2 b M-1 b M -a L -a L-1 -a 1

19 Pops dskrétí soustavy s Z-trasformací 19 y M L = b. x = 0 = 1 a. y Realzace soustavy / fltru / programu přímou formou: Zpožděí o jede vzorek b 0 b 1 b 2 b M-1 b M -a L -a L-1 -a 1

20 Pops dskrétí soustavy s Z-trasformací 20 Další formy realzace fltru / soustavy/ programu: Kaskádí:

21 Pops dskrétí soustavy s Z-trasformací 21 Další formy realzace fltru / soustavy/ programu: Paralelí:

22 Systémy s koečou mpulsí charakterstkou 22 FIR fte mpulse respose M L y = = 0 b. x = 1 a. y pouze čle MA (movg average) erekurzví realzace (většou, ale emusí vždy)

23 Systémy s koečou mpulsí charakterstkou 23 FIR PŘÍKLAD: hraový detektor h [ ] = { δ [ 1 ] 2δ [ ] + δ [ + 1] } FIR PŘÍKLAD: vyhlazovací systém

24 Systémy s koečou mpulsí charakterstkou FIR fte mpulse respose b.z -k = + = = M k k k M M x b x b x b x b x b y 24

25 Systémy s koečou mpulsí charakterstkou 25 FIR fte mpulse respose b.z -k y = b M 1 0. x + b1. x 1 + b2. x bm 1. x M + 1 = bk. k = 0 x k Počet pólů přeosové fukce:...?..., kde?...?... Počet ulových bodů přeosové fukce:...?..., kde?...?...

26 Systémy s koečou mpulsí charakterstkou 26 FIR fte mpulse respose b.z -k y = b M 1 0. x + b1. x 1 + b2. x bm 1. x M + 1 = bk. k = 0 x k Počet pólů přeosové fukce:.m 1, kde?...?... Počet ulových bodů přeosové fukce:m 1, kde?...?...

27 Systémy s koečou mpulsí charakterstkou 27 FIR fte mpulse respose b.z -k y = b M 1 0. x + b1. x 1 + b2. x bm 1. x M + 1 = bk. k = 0 x k Počet pólů přeosové fukce:.m 1, kde? V bodě z=0 (ásobý pól v počátku, který vyjadřuje je fázový posu uto vyjádřt H(z) v kladých mocách z). Počet ulových bodů přeosové fukce:m 1, kde? Kdekol v rově z.

28 Systémy s koečou mpulsí charakterstkou 28 FIR fte mpulse respose b.z -k y = b M 1 0. x + b1. x 1 + b2. x bm 1. x M + 1 = bk. k = 0 x k Počet pólů přeosové fukce:.m 1, kde? V bodě z=0 (ásobý pól v počátku, který vyjadřuje je fázový posu uto vyjádřt H(z) v kladých mocách z). Počet ulových bodů přeosové fukce:m 1, kde? Kdekol v rově z.

29 Fltry s koečou mpulsí charakterstkou 29 FIR fltry mohou mít přesě leárí fáz, a to platí l: osová ebo bodová souměrost mpulsí charakterstky tj. mpulsí charakterstka je symetrcká ebo atsymetrcká. Fltry s leárí fází mají specálí kofgurac ulových bodů obrazového přeosu: Je l H( ) = 0, je také H(1/ ) = 0. Pokud má systém reálé koefcety, platí také: H( *)=H(1/ ). Nulové body se vyskytují ve čtveřcích.

30 Fltry s koečou mpulsí charakterstkou 30 FIR fltry mohou mít přesě leárí fáz, a to platí l: osová ebo bodová souměrost mpulsí charakterstky tj. mpulsí charakterstka je symetrcká ebo atsymetrcká.

31 Fltry s koečou mpulsí charakterstkou 31 FIR fltry mohou mít přesě leárí fáz, a to platí l: osová ebo bodová souměrost mpulsí charakterstky tj. mpulsí charakterstka je symetrcká ebo atsymetrcká.

32 Fltry s koečou mpulsí charakterstkou 32 FIR fltry vlastost: jsou vždy stablí, eboť všechy póly leží v ule (pokud ejsou záměrě realzováy rekurzvím systémem se zpětou vazbou) většou erekurzví realzace možost leárí fázové charakterstky relatvě sadá programová (hardwarová) realzace pro dosažeí strmých charakterstk je třeba použít vyšší stupeň fltru ež u IIR fltrů s rostoucím řádem roste zpožděí ávrh FIR fltru: vzorkováí frekvečí charakterstky váhováí mpulsí charakterstky

33 Fltry s koečou mpulsí charakterstkou 33 Návrh FIR fltru vzorkováím frekvečí charakterstky 1. Zadávají se jedotlvé body (vzorky) ampltudové frekvečí charakterstky. 2. Mmo vzorkovací body se předpokládá chováí lbovolé (zakmtáváí). 3. Impulsí charakterstka se vypočítá pomocí verzí DFT. 4. Fázová charakterstka se zadává ulová, výsledá mpulsí odezva se kauzalzuje pomocí přerováí vzorků (fftshft).

34 Systémy s ekoečou mpulsí charakterstkou 34 IIR fte mpulse respose Autoregresí čle AR y M L = b. x = 0 = 1 a. y Klouzavý průměr MA vždy rekurzví realzace

35 Systémy s ekoečou mpulsí charakterstkou 35 IIR PŘÍKLAD: vyhlazovací systém z -1 H(z) = az/(z a). Pro a>1 je fltr establí.

36 Systémy s ekoečou mpulsí charakterstkou 36 IIR PŘÍKLAD: vyhlazovací systém z -1 H(z) = az/(z a). Pro a>1 je fltr establí. Tp: co lze získat tzv. dlouhým děleím polyomů?

37 Systémy s ekoečou mpulsí charakterstkou 37 IIR : vyžadují alespoň jedu zpětovazebí smyčku, jsou vždy rekurzví přeosová fukce = podíl polyomů

38 Fltry s ekoečou mpulsí charakterstkou 38 IIR fltry vlastost: s fltry IIR lze dosáhout velm strmé přechody mez propustým a epropustým pásmem, a to př malém řádu fltru. fltr je vždy rekurzví (se zpětým vazbam), může být establí (pro ampltudově omezeý vstupí sgál by geeroval sgál s eustále rostoucím ampltudam). Fltr IIR bude stablí, pokud všechy jeho póly leží uvtř jedotkové kružce. Fltry IIR emají leárí průběh fázové charakterstky. poměrě složtý a méě tutví ávrh: rozmsťováí ulových bodů a pólů optmalzačí ávrhy podle frekvečí charakterstky (vedou a řešeí soustavy eleárích rovc) přístupy založeé a podobost s aalogovým systémy

39 Fltry s ekoečou mpulsí charakterstkou 39 IIR fltry vlastost: s fltry IIR lze dosáhout velm strmé přechody mez propustým a epropustým pásmem, a to př malém řádu fltru. vždy rekurzví realzace poměrě složtý a méě tutví ávrh fltr je rekurzví (se zpětým vazbam), může být establí (pro ampltudově omezeý vstupí sgál by geeroval sgál s eustále rostoucím ampltudam). Fltr IIR bude stablí, pokud všechy jeho póly leží uvtř jedotkové kružce. Fltry IIR emají leárí průběh fázové charakterstky.

40 Fltry s ekoečou mpulsí charakterstkou 40 IIR fltry příklad:

41 Termologe: IIR, FIR, MA, AR 41 y = M = 0 b. x L = 1 a. y FIR fltry: a =0, pro všecha. Ozačováy také jako movg average ebo all zero fltry. IIR fltry: a <>0, pro alespoň jedo. Zahrují: autoregresví (AR) fltry movg average, autoregresví (ARMA) fltry

42 Termologe: IIR, FIR, MA, AR 42 y = M = 0 b. x L = 1 a. y FIR fltry: a =0, pro všecha. Ozačováy také jako movg average ebo all zero fltry. IIR fltry: a <>0, pro alespoň jedo. Zahrují: autoregresví (AR) fltry movg average, autoregresví (ARMA) fltry AR fltry: b =0, kromě b 0. Výstup závsí pouze a...?...

43 Termologe: IIR, FIR, MA, AR 43 y = M = 0 b. x L = 1 a. y FIR fltry: a =0, pro všecha. Ozačováy také jako movg average ebo all zero fltry. IIR fltry: a <>0, pro alespoň jedo. Zahrují: autoregresví (AR) fltry movg average, autoregresví (ARMA) fltry AR fltry: b =0, kromě b 0. Výstup závsí pouze a aktuálí hodotě a vstupu a a koečém počtu starších vzorků výstupího sgálu. Ozačováy také jako: all pole, purely recursve, autoregressve

44 Termologe: IIR, FIR, MA, AR 44 y = M = 0 b. x L = 1 a. y FIR fltry: a =0, pro všecha. Ozačováy také jako movg average ebo all zero fltry. IIR fltry: a <>0, pro alespoň jedo. Zahrují: autoregresví (AR) fltry movg average, autoregresví (ARMA) fltry ARMA fltry: a, b eulové Ozačováy také jako: pole zero, autoregressve, movg average

45 Termologe: IIR, FIR, MA, AR 45 y = M = 0 b. x L = 1 a. y DOPORUČENÍ: pro fltry a leárí systémy používat ozačeí FIR, IIR ozačeí AR, MA, ARMA používat pro pops č modely stochastckých procesů, které geerují data áhodé povahy

46 6. cvčeí Je dá systém s přeosovou fukcí Nakreslete rozložeí ulových bodů a pólů. Odhaděte ampltudovou frekvečí charakterstku. Zjstěte dferečí rovc systému. Zjstěte mpulsí charakterstku systému. Na závěr vše ověřte v MATLABu (fvtool, freqz). O jaký fltr jde (FIR, IIR)? O jaký fltr jde (HP, DP, PP)?

47 6. cvčeí Dskrétí soustava má přeosovou fukc H(z): 1/(1 0.5z 1 ). Určete dferečí rovc systému.

48 6. cvčeí Navrhěte FIR fltr pro odstraěí rušvých složek v časové řadě reprezetující sběr údajů o kocetrac toxcké látky v říčím toku. Sběr dat probíhá s hodovou vzorkovací perodou. Změy v kocetracích jsou pozvolé, odehrávají se v týdeím rytmu (provoz chemcké fabrky). Rušvé složky, které je potřeba potlačt, souvsejí se stochastckým procesem (počasí, tj. zejméa srážky, ale teplota), který geeruje sgálové kompoety s ejvyšší perodou okolo 6 h. Zkotrolujte správost vzorkováí v expermetu a pro ávrh fltru volte metodu vzorkováí frekvečí charakterstky. Volte fltr s polyomem 19. řádu.

49 6. cvčeí 49

50 6. cvčeí 50

51 6. cvčeí 51

52 6. cvčeí 3. příklad - fabrka 52 Harmocké kompoety užtečé složky sgálu: f_uzteca_aroud=1/(7*24*3600) Hz. Harmocké kompoety rušvé složky sgálu: f_rusva_m=1/(6*3600) Hz. Vzorkovací frekvece: fs=1/3600 Hz. Vzorkovací věta je splěa, eboť platí, že fs>=2*f_rusva 1.4 G(f) π/2 f MAX Od 19. vzorku se cha perodcky opakuje ( 0.2 π/ vzorků a frekvečí ose

53 6. cvčeí 3. příklad - fabrka 53 G = zeros(1,19); % vzorky jsou v porad 0..N-1 F(1:3)=oes(1,3); % MATLAB dexuje od 1 F(18:19)=oes(1,2); % symetrcká ampltudová frekv. char-ka h = fft(f); % verzí dskrétí fourerova trasformace stem([0:18],h); % mpulsí charakterstka stem([-9:9],h); % mpulsí charakterstka po přerováí

54 6. cvčeí 3. příklad - fabrka 54 freqz(h,1) Neleárí průběh freqz(fftshft(h),1) Leárí průběh

55 ffgf Otázky? 55