Diskrétní Fourierova transformace

Transkript

1 Disrétí Fourierova trasformace

2 Záladí idea trasformace x Trasformace Zpracováí v časové oblasti Zpracováí v trasform. oblasti x Iverzí Trasformace

3 Spojitá Fourierova trasformace f j πft x t e dt Disrétí Fourierova trasformace expoeciálí tvar m 1 0 x e j πm/ Disrétí Fourierova trasformace goiometricý tvar m 1 0 x [ cosπm / j siπm / ] m idex DFT ve frevečí oblasti, m1,,,-1

4 Každá hodota m je určeá součtem součiů vstupích vzorů s hodotami omplexí siusoidy cosφ-jsiφ. Přesá frevece siusoidy f a m závisí a počtu vzorů vstupího sigálu a vzorovací freveci f s : fa m mf s Př. Při vzorováí 500 Hz a počtu vzorů 4 jsou frevece f a ásledující: 0 0Hz Hz 6.5 Hz Hz

5 Polárí tvar DFT imag m m real m+j imag m mag Ф real mag mag real m + imag m Φ ta 1 imag real m m PS m mag m real m + imag m

6

7 Při použití polárí reprezetace DFT pozor a ásledující možé problémy : správou overzi fáze - sw většiou vrací fázový úhel v radiáech a to v rozsahu < π/, π/ > při výpočtu fáze pozor a ulovou reálou část přetečeí fáze je v tomto případě ±90º pozor a správou overzi úhlu z itervalu < π/, π/ > a iterval <0, π > fáze u velmi ízých amplitud, teré se ztrácí v šumů může chaoticy mitat oolo ulové hodoty

8 fázová charateristia se opauje s periodou π to způsobuje v ěterých případech espojitost ve fázové charateristice Amplitudová frevečí charateristia je vždy ladá problémy mohou astat poud imagiárí část trasformovaého sigálu je celá ulová -> může docházet e prudé změě ve fázové charateristice mezi π a π

9 Př : Uvažujme sigál xt vzorovaý frevecí 8Hz reprezetovaý 8 vzory x t siπ 1000 t + 0.5siπ 1000 t + 3π 4 x x x x x x x x

10

11 Vlastosti DFT 1. Liearita 1 x 1 + x Periodičost - fuce x a jsou periodicé s periodou P 3. Kruhový časový posu 4. Kruhový frevečí posu celé e x j 0 0, 0 π celé x e j 0 0, 0 π

12 4. Kruhová ovoluce v časové oblasti 5. Kruhová ovoluce ve frevečí oblasti 6. Obraz obráceé poslouposti 7. Vlastosti spetra reálé poslouposti 1 1 x x x x x ] Im[ ] Im[ ] Re[ ] Re[ φ φ

13 8. Vlastosti spetra reálé a sudé poslouposti je-li x reálá a sudá je i reálá sudá 9. Vlastosti spetra reálé a liché poslouposti je-li x reálá a lichá, pa je imagiárí, lichá 10. Alterativí vzorec pro výpočet IDFT x * 1 1 π j * e 0 K výpočtu iverzí trasformace je možé použít algoritmů pro výpočet DFT: ejprve obrátíme zaméa hodot imagiárí části, vypočteme DFT obrátíme zaméa imagiárích částí vypočteých hodot výslede vydělíme

14 Vlastosti fázové charateristiy

15

16 Veliost DFT vzorů Je-li x reálý vstupí sigál složeý ze siusove s odpovídající amplitudou A 0 a celočíselým počtem cylů přes vzorů, je veliost DFT vzoru odpovídající siusovy M r daá vztahem M r A 0 Pro omplexí vstupí sigál s veliostí A 0 tj. A 0 e jπft je výstupí veliost DFT vzorů M r A 0

17 Prosaováí ve spetru Spectrum leaage Prosaováí způsobuje že DFT spetrum je pouze aproximací vstupího spetra a e jeho přesým spetrem. Prosaováí je možé elimiovat, ale elze jej odstrait úplě.

18 Rozlišeí DFT

19 K vysvětleí prosaováí ve spetru se používá Fourierův obraz reálé osiové fuce ] / si[ ] si[ 1 ] / si[ ] si[ 1, / cos ] / [ ] / [ m m e m m e m K x m m j m m j r r π π π π π π π

20

21

22 K omezeí vlivu prosaováí ve spetru se před provedeím DFT ásobí vstupí sigál tzv. oem. w m 1 w x e 0 j πm / Používaá oa: pravoúhlé w 1, pro 1,, -1 trojúhelíové w /, pro 0,1,,/ -/, pro /+1, -1 Haigovo Hammigovo w cosπ/ pro 1,,,-1 w cosπ/ pro 1,,,-1

23