Lineární a adaptivní zpracování dat. 8. Modely časových řad I.

Transkript

1 Lieárí a adaptiví zpracováí dat 8. Modely časových řad I. Daiel Schwarz Ivestice do rozvoje vzděláváí

2 Cíl, motivace Popis a idetifikace systémů BLACK BOX

3 Cíl, motivace Popis a idetifikace systémů BLACK BOX

4 Cíl, motivace Popis a idetifikace systémů BLACK BOX

5 Cíl, motivace Popis a idetifikace systémů z z z z c c 2 c q c q + Aalýza, Simulace, Predikce, Moitorig, Diagostika, Řízeí

6 Časové řady Defiice časové řady:?...

7 Časové řady Defiice časové řady: uspořádaá posloupost hodot závislé proměé měřeé v ekvidistatích časových itervalech.

8 Časové řady Defiice časové řady: uspořádaá posloupost hodot závislé proměé měřeé v ekvidistatích časových itervalech kocetrace CO čas

9 Sigály vs. časové řady??? SIGNÁLY ČASOVÉ ŘADY

10 Sigály vs. časové řady D DISKRÉTNÍ SIGNÁLY ČASOVÉ ŘADY

11 Časové řady Defiice časové řady: uspořádaá posloupost hodot závislé proměé měřeé v ekvidistatích časových itervalech. Využití modelů časových řad je dvojí:...? ?...

12 Časové řady Defiice časové řady: uspořádaá posloupost hodot závislé proměé měřeé v ekvidistatích časových itervalech. Využití modelů časových řad je dvojí:. porozuměí procesu, který vyprodukoval pozorovaá data 2. předpovídáí budoucích hodot, případě i jejich ovlivňováí > řízeí

13 Dekompozice časových řad aditiví model X(t)=T(t)+S(t)+C(t)+I(t) Tredová složka Sezóí složka Nesystematická složka Cyklická složka

14 Dekompozice časových řad aditiví model X(t)=T(t)+S(t)+C(t)+I(t) Tredová složka Sezóí složka Nesystematická složka Cyklická složka Časové řady je možé očistit od sezóosti, což umožňuje lépe porovávat tred ěkolika časových řad.

15 Dekompozice časových řad aditiví model X(t)=T(t)+S(t)+C(t)+I(t) Tredová složka Sezóí složka Nesystematická složka Cyklická složka Časové řady lze očistit od tredu, což umožňuje lépe modelovat sezóost, protože charakter sezóosti je výrazější.

16 Dekompozice časových řad aditiví model X(t)=T(t)+S(t)+C(t)+I(t) Tredová složka Sezóí složka Nesystematická složka Cyklická složka S(t) vs. C(t): liší se periodou. S(t): de, týde, měsíc, kvartál, rok C(t): perioda > rok

17 Dekompozice časových řad aditiví model X(t)=T(t)+S(t)+C(t)+I(t) Tredová složka Sezóí složka Nesystematická složka Cyklická složka T(t): tredové fukce: lieárí, kvadratická, expoeciálí, logistická,

18 Stacioarita Stacioarita je obvyklým předpokladem většiy techik aalýzy časových řad. Defiice stacioárího procesu:?..

19 Stacioarita Stacioarita je obvyklým předpokladem většiy techik aalýzy časových řad. Defiice stacioárího procesu: jedá se o áhodý proces jehož rozděleí pravděpodobosti se v čase eměí. V důsledku toho se eměí ai parametry jeho pravděpodobostí fukce (apř. středí hodota, rozptyl). Autokorelačí fukce stacioárího procesu závisí pouze a rozdílu svých argumetů. Předpokladem stacioarity rozumějme ty časové řady či sigály, které jsou bez tredu, mají s měícím se časem stejý rozptyl a stejou podobu autokorelačí fukce.

20 Stacioarita V případě estacioárích časových řad lze provést:. diferecováí dx i = x i x i 2. odstraěí tredu odečteím proložeé tredové fukce (polyom atd.) 3. stabilizace rozptylu logaritmizací čtverce řady.

21 Stacioarita V případě estacioárích časových řad lze provést:. diferecováí dx i = x i x i 2. odstraěí tredu odečteím proložeé tredové fukce (polyom atd.) 3. stabilizace rozptylu logaritmizací čtverce řady.

22 Stacioarita V případě estacioárích časových řad lze provést:. diferecováí dx i = x i x i 2. odstraěí tredu odečteím proložeé tredové fukce (polyom atd.) 3. stabilizace rozptylu logaritmizací čtverce řady. Fuguje dobře je pro lieárí tred

23 Stacioarita V případě estacioárích časových řad lze provést:. diferecováí dx i = x i x i 2. odstraěí tredu odečteím proložeé tredové fukce (apř. polyom atd.) 3. stabilizace rozptylu logaritmizací čtverce řady.

24 Sezóost Sezóí složka popisuje periodické změy v sigálu či časové řadě. Je li sezóí složka v datech přítoma, musí být zahruta do modelu. Detekce periodické složky pomocí:...?....?....?.

25 Sezóost Sezóí složka popisuje periodické změy v sigálu či časové řadě. Je li sezóí složka v datech přítoma, musí být zahruta do modelu. Detekce periodické složky pomocí: sezóí vizualizace v případě, že periodu složky záme autokorelačí fukce sigálu spektra sigálu

26 Sezóost Sezóí složka popisuje periodické změy v sigálu či časové řadě. Je li sezóí složka v datech přítoma, musí být zahruta do modelu. Detekce periodické složky pomocí: sezóí vizualizace v případě, že periodu složky záme autokorelačí fukce sigálu spektra sigálu

27 Sezóost Sezóí složka popisuje periodické změy v sigálu či časové řadě. Je li sezóí složka v datech přítoma, musí být zahruta do modelu. Detekce periodické složky pomocí: sezóí vizualizace v případě, že periodu složky záme autokorelačí fukce sigálu spektra sigálu

28 Sezóost Sezóí složka popisuje periodické změy v sigálu či časové řadě. Je li sezóí složka v datech přítoma, musí být zahruta do modelu. Detekce periodické složky pomocí: sezóí vizualizace v případě, že periodu složky záme autokorelačí fukce sigálu spektra sigálu

29 Sezóost Sezóí složka popisuje periodické změy v sigálu či časové řadě. Je li sezóí složka v datech přítoma, musí být zahruta do modelu. Detekce periodické složky pomocí: sezóí vizualizace v případě, že periodu složky záme autokorelačí fukce sigálu spektra sigálu

30 Sezóost Sezóí složka popisuje periodické změy v sigálu či časové řadě. Je li sezóí složka v datech přítoma, musí být zahruta do modelu. Detekce periodické složky pomocí: sezóí vizualizace v případě, že periodu složky záme autokorelačí fukce sigálu spektra sigálu

31 Sezóost Sezóí složka popisuje periodické změy v sigálu či časové řadě. Je li sezóí složka v datech přítoma, musí být zahruta do modelu. Detekce periodické složky pomocí: sezóí vizualizace v případě, že periodu složky záme autokorelačí fukce sigálu spektra sigálu perioda 2 měsíců perioda 6 měsíců

32 Sezóí diferece Sezóí diferece je diferece mezi okamžiky vzdáleými o celistvý ásobek periody. Diferecí se data zbavují lieárího tredu Sezóí diferecí se data zbavují sezóích vlivů.

33 Expoeciálí vyhlazováí a predikce yˆ ( ) yˆ = y + Vážeé (expoeciálí) průměry Kostata vyhlazováí

34 Expoeciálí vyhlazováí a predikce Expoeciálí filtr : FIR ebo IIR? MA ebo AR? ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y y y y y y y y y y y y i i i + = = = = + + = + = =

35 Expoeciálí vyhlazováí a predikce Klouzavý průměr (MA) s expoeciálím zapomíáím Pokud uměle zkrátíme impulsí charakteristiku, která je pro expoeciálí filtr přirozeě ekoečá. ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y y y y y y y y y y y y i i i + = = = = + + = + = = ( ) i i i y y = = 0 ˆ

36 Expoeciálí vyhlazováí a predikce yˆ = i= 0 ( ) yi i Užívá se jako jedoduchá techika předpovídáí s horizotem predikce m=.

37 Expoeciálí vyhlazováí a predikce yˆ = i= 0 ( ) yi i Užívá se jako jedoduchá techika předpovídáí s horizotem predikce m=. Expoeciálí průměr v čase t je predikcí časové řady v čase t+

38 Expoeciálí vyhlazováí a predikce yˆ = i= 0 ( ) yi i Užívá se jako jedoduchá techika předpovídáí s horizotem predikce m=. Předpovídáí formou korekce chyby predikce yˆ ( ) yˆ ( ˆ ) ˆ ˆ ˆ = y y + y = e + y = y + Predikce a čas + se určí jako součet predikce a čas a ásobku chyby predikce a čas.

39 Expoeciálí vyhlazováí a predikce yˆ = i= 0 ( ) yi i Užívá se jako jedoduchá techika předpovídáí s horizotem predikce m=. Předpovídáí formou korekce chyby predikce yˆ ( ) yˆ ( ˆ ) ˆ ˆ ˆ = y y + y = e + y = y + Predikce a čas + se určí jako součet predikce a čas t a ásobku chyby predikce a čas.

40 Modely časových řad Jakoukoli stacioárí časovou řadu či sigál s áhodou složkou geeruje stochastický proces, kterému lze přiřadit jede z těchto modelů: čistě rekursiví model erekursiví model s klouzavým průměrem kombiovaý model bílý šum AR autoregressive MA movigaverage ARMA ν

41 Bílý šum Náhodý proces ozačujeme za bílý šum, pokud jeho středí hodota a autokorelačí fukce (ACF) splňují tyto podmíky: Diracova distribuce μ = Ε ν = 0, R ν νν { } N 2 0 (, ) = Ε{ ν ( ) ν ( )} = δ ( ) Empirická ACF w() Rww(,2)

42 Bílý šum Bílý šum má rovoměrou spektrálí hustotu výkou. Zdroj: wikipedia.

43 Barevý šum Barvy šumu viz Wikipedia (je zajímavost) Zdroj: wikipedia.

44 8. cvičeí ) Vytvořte aditiví model (fukce v Matlabu) pro áhodý proces geerující časovou řadu která představuje celodeí moitorig krevího tlaku člověka. Měřící zařízeí símá tlak 4x v hodiě. Tlak roste při probouzeí a klesá při usíáí (dippig) zhruba formou cosiusového průběhu. Jako rušivou složku volte bílý šum. Jako parametry modelu volte: Délku výsledých časových řad Průměrý tlak krve za de v mmhg Dippig v procetech Amplitudový poměr sigálu a šumu Poz.: Výstupem fukce bude ideálí časová řada a dále časová včetě rušeí.

45 8. cvičeí 2) Časovou řadu z předchozího příkladu (moitorig TK) zpracujte pomocí kumulačích techik zvýrazňováí sigálu v šumu s cílem získat z moha vygeerovaých repetic (period) jedu průměrou. Jedá se o vizualizaci sezóí složky časové řady a zároveň se jedá o kumulačí zvýrazěí sigálu z šumu.

46 8. cvičeí 3) Na časové řadě vygeerovaé v příkladu (moitorig TK) vyzkoušejte techiku expoeciálí vyhlazováí a predikce. Vyhodoťte kvatitativě kvalitu predikce jedoho ásledujícího vzorku řady z M předchozích.

47 8. cvičeí příklad č. [xclea,x,t]=moitorigtk(2*24*4,00,5,,,); plot(t,x,'c:'), hold o, plot(t,xclea,'k');

48 8. cvičeí příklad č.

49 8. cvičeí příklad č. 2

50 8. cvičeí příklad č. 2

51 8. cvičeí příklad č. 2

52 8. cvičeí příklad č. 3 alfa=0.8

53 8. cvičeí příklad č. 3 alfa=0.4

54 8. cvičeí příklad č. 3

55 ffgf Otázky? 55