2 y(t) y(t) -6 t. -6 t

Transkript

1 Teorie sigálů poskyuje společý eoreický základ pro řadu růzých oborů: elekomuikačí echika radioechika akusika seismologie biomedicícké ižeýrsví eergeika chemické echologie elekroické zpracováí řeči, hudby a obrazu

2 Sezam doporučeé lieraury. J. Uhlíř, P. Sovka, Číslicové zpracováí sigálů, ČVUT Praha, 00. J. Pospíšil, Aalýzy a přeosové aspeky sigálů, UP Olomouc (skripum), Yeug, R. W., A Firs Course i Iformaio Theory, Spriger, New York, USA Ago, A., Užiá maemaika pro elekroechické ižeýry, SNTL Praha Youg, P. H., Elecroic commuicaio echiques, Ch.E.Merrill Publ. Comp. ad Bell - Howel Comp. Columbus Eriger, Z., Skleář, J., Sigály a sousavy, VUT Bro (skripum) Levi, B.R., Teorie áhodých procesů a její aplikace v radioechice, SNTL Praha Hoffer, V., Úvod do eorie sigálů, SNTL Praha Bajcsy, J., Víovec, J., Telemeria a preos údajov, Alfa Braislava a SNTL Praha Bogr, J., Čajka, J., Šebesa, V., Teorie přeosu zpráv, SNTL Praha 975

3 Sigál je časový průběh určié deermiovaé ebo áhodé fyzikálí veličiy. Klasifikace: Spojiý sigál je defiová pro všechy hodoy ezávislé proměé Diskréí sigál ezávislá proměá abývá pouze celočíselých hodo y() 0 y() Aalogový sigál je přímým obrazem fyzikálích jevů (apř. sigál z mikrofou) Číslicový (digiálí) sigál sigál vyjádřeý koečou řadou číslic

4 Sigál deermiisický popsá fukcí ebo poslouposí, jejíž každou hodou lze pro daý časový okamžik přesě vypočía (zpravidla podle ějakého maemaického předpisu) Sigál áhodý elze urči, jakých hodo abude v jedolivých časových okamžicích - hodoy jsou ierpreováy jako sousava áhodých proměých ebo je průběh sigálu popsá saisickými charakerisikami (sř. hodoa, sř. kvadraická hodoa, rozpyl, auokorelačí fukce, spekrálí husoa, koherečí fukce) y*si() y() 0 y()

5 Sigály periodické: exisuje T > 0... perioda, y() y(+t) pro všecha základí perioda T 0... ejmeší z period Periodický sigál je součem harmoických sigálů, přičemž poměr libovolých dvou frekvecí je racioálí číslo. možos vyjádřeí pomocí Fourierovy řady Neí-li poměr frekvecí harmoických složek racioálí, jedá se o éměř periodický sigál. y( ) A si(πf + θ ) Sigály s koečou eergií (apř. sigály vziklé vyjmuím jedé periody z periodického sigálu, sigály s koečou dobou rváí) Sigály s ekoečou eergií (apř. áhodé sacioárí sigály, periodické a éměř periodické sigály)

6 Komplexí expoeciála x() Ce a, a, C... komplexí čísla a, C reálá reálá expoeciála (klesající, rosoucí) apř. při popisu přechodých dějů v elekrických obvodech a 0 kosaí sigál a... ryze imagiárí periodický sigál jω ( ) Ce x 0 základí perioda T 0 π/ ω 0, ω 0... základí úhlová frekvece sigálu reálá čás komplexí expoeciály harmoický sigál příklad sigálu s komplexími hodoami a, C: x Ce r ( ) cos( ω + ϕ) - expoeciálě lumeý siusový sigál 0 x() x() Ce ( ) a r x Ce cos( ω + ϕ ).5 0 a -, C x() C, ω 0 π, ϕ π/6, r -0,

7 Jedokový skok (Heavisideova fukce) x() 0 pro 0 x() pro > 0 - eí spojiý v bodě 0 x() Jedokový impulz (Diracova dela fukce) ilusračí graf: δ ( ) 0 pro 0.5 δ ( ) pro 0.5 δ ( ) d x()

8 Jedokový skok (Heavisideova fukce) x[] 0 pro < 0 x[] pro 0 x() Jedokový impuls (Diracova dela fukce) x[] 0 pro 0 x[] pro příklad užií souči sigálu s impulsí fukcí dává hodou sigálu v čase pomocí hodoy v čase ula x[]δ [] x[0]δ []. obecě: x[]δ [- 0 ] x[ 0 ]δ [] př.: vyjádřeí jedokového skoku x [ ] δ [ k] k 0 x()

9 Sigál může slouži k přeosu sděleí (zprávy, isrukce, iformace) sdělovací sigál Sdělovací kaál prosředí, ve kerém probíhá přeos sdělovacího sigálu z vysílače do přijímače Spojeí přeos sděleí od odesílaele k příjemci; spojeí může podléha rušeí a zkresleí Rušeí souhr vějších a viřích rušivých vlivů, včeě šumu, keré působí a sdělovací sousavu sále i za epříomosi sigálu Zkresleí vziká pouze při přeosu sigálu přeosovou sousavou

10 Odesílael působí sděleím a símací měič (apř. mikrofó), jehož výsupem je primárí (ízkofrekvečí) sigál. Vysílač převáří primárí sigál v sekudárí (vysokofrekvečí) sigál vhodý k dalšímu přeosu (modulace, užií kódového klíče). V přijímači se sdělovací sigál převádí zpě a sděleí (demodulace)

11 Sdružovač zařízeí pro uspořádáí jedolivých sděleí ve společý mohocesý sigál Rozdělovač vyčleňuje jedolivá sděleí do pařičých sdělovacích ces Přeslech rušeí sigály sousedích sdělovacích ces ežádoucím přechodem eergie z jedé do druhé sdělovací cesy Teorie sdělováí suduje přeos a zpracováí deermiovaých a áhodých sdělovacích sigálů a při om sleduje hledisko vlivu zkresleí a rušeí.

12 Reálý periodický sigál s() lze rozloži ve Fourierovu řadu: ( ) jω s ae a... komplexí Fourierova ampliuda ω e jω... základí úhlová frekvece... možia orogoálích fukcí a a e jφ a T T T / s ( ) e / jω d a... reálá Fourierova ampliuda φ... Fourierova fáze

13 ( ) cos si B A B s ω ω / / 0 )d ( T T s T B / / d )si ( T T s T A ω / / d )cos ( T T s T B ω Dílčí reálé Fourierovy ampliudy:

14 Reálá periodická fukce s() je schopa Fourierovy aalýzy, jesliže splňuje Dirichleovy podmíky:. s() má ejvýše koečý poče espojiosí. s() má ejvýše koečý poče exrémů 3. je splěa podmíka absoluí iegrovaelosi fukce s() a iervalu (-T /, T /) Sředí výko sigálu P T T T / s / ( )d a a... Fourierovy ieziy; výkoové Fourierovo spekrum

15 Jedorázový impulz - vykazuje koečou eergii: - koečá doba rváí impulzu se evyžaduje s( ) d < - předpokládá se splěí Dirichleových podmíek - limií případ periodického sigálu: a T T / T ( ) s ( ) e / j jω s a e T ω, ω π/ T ω d a( ω) dω, dω ω j ω s( ) e d a a π - přímá Fourierova rasformace j ω e dω π s( ) a ( ω) - Fourierův iegrál - zpěá Fourierova rasformace ( ω) dω

16 Jiý zápis přímé a zpěé Fourierovy rasformace: s( ) [ S ( f )] S ( f ) jπf F e df j π f S( f [ s( ) ] s( ) ) F e d Vlasosi FT:. Liearia (pricip superpozice). Změa měříka času 3. Dualia 4. Posu v čase 5. Posu ve frekvečí oblasi F + F F F F [ ag( ) + bh( ) ] ag( f ) bh ( f ) k f k [ ( )] sk S [ S ( ) ] s( f) ± jπ0f [ s( ± )] S( f e - 0 ) j f [ S π 0 ( f ± f )] s( ) e 0

17 6. Plocha impulzu 7. Plocha spekra 8. Spekrum -é derivace s( )d S S ( f F )df ( f 0) s ( 0) ( ) [ ( )] ( ) s jπf S ( f ) 9. Spekrum komplexě sdružeé fukce [ s ( ) ] S * ( f ) F * 0. Spekrum sudé a liché fukce S ( f ) s( ) cos( πf) d j s( ) si( πf) d

18 Defiičí vzahy pro kovoluci: Kovoluce má výzam při popisu časově ivariaích lieárích sysémů pomocí impulzové odezvy. Kovolučí eorém: ( ) ( ) ( ) ( ) y y x g y h x g x h d [ ] [ ] [ ] [ ] k k y k x y x ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) f H f G h g F ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) f H f G h g F

19 Sředí výko jedorázového impulzu je ulový: P T / lim T s T T / ( ) d 0 Celková eergie impulzu: W P df ( ) d s ( ) d S ( f ) Rayleighův eorém závislos mezi celkovou eergií W a ampliudovým Fourierovým spekrem S ( f ) jedorázových impulzů S ( f )... spekrálí husoa eergie

20 . Jedokový impulz. Jedokový skok (Heavisideova fukce) 3. Obdélíkový impulz 4. Kosaí sigál 5. Gaussovský impulz 6. Harmoický sigál s koečou dobou rváí

21 s s ( ) hcos( πf), pro / ( ) 0, pro osaíhodoy / S ( f ) h si π [ π ( f f )] ( f f ) + si π [ π ( f + f )] ( f + f ) h, f, 0 s() S(f) f

22 ( ) ( ) π cos φ f A s ( ) ( ) ( ) * φ δ δ j e A a f f a f f a f S dva jedokové impulzy ásobeé kosaami - periodický sigál rozložíme ve Fourierovu řadu ( ) ( ) f f a f S δ

23 Posloupos jedokových impulzů opakujících se s periodou T : Čárové spekrum: a T/ jπf ( ) e d T δ T / T ( ) δ ( T ) ( f ) δ ( f f ) S T - ve frekvečí oblasi jde opě o posloupos impulzů

24 s Kovoluce sigálu s() a jedokového impulzu δ( 0 ): ( ) δ ( ) s( τ ) δ ( τ ) dτ s( ) δ ( τ ) τ s( ) d - vede k posuuí sigálu o 0 Kovoluce sigálu s() s ekoečou poslouposí jedokových impulzů v bodech T : s d ( ) ( ) s( τ ) δ ( τ T ) dτ s( τ ) δ ( τ T ) τ s( T ) -kovoluce jedorázového impulzu s poslouposí () jedokových impulzů vede k vyvořeí periodické poslouposi jedorázových impulzů Aplikace: určeí Fourierova spekra periodické poslouposi jedorázových impulzů F [ ( ) ( ) ] S ( f ) F[ ( ) ] S ( f ) δ ( f f ) s T 0

25 - výpoče rasformačího iegrálu - provedeí časových derivací sigálu - využií vzahu mezi Fourierovým spekrem jedorázového impulzu a jeho periodické poslouposi -umerický výpoče diskréí Fourierova rasformace S ( kf ) T s( it ) -rychlá Fourierova rasformace - mohé součiy se během výpoču opakují s s s i 0 ( kt ) f S ( if ) s s i 0 s s e πki j + e T s f s πki j + + Příklad: Fourierova rasformace rojúhelíkového impulzu

26 Korelace je měříkem podobosi mezi dvěma sigály, keré jsou vzájemě posuuy o čas τ Vzájemá korelace (vzájemá korelačí fukce) R gh -obecě eí komuaiví (arozdíl od kovoluce) ( τ ) g( ) h( τ ) d g( + τ ) h( ) Vzájemá korelačí fukce pro dva reálé periodické sigály: R gh d T T / ( τ ) g( ) h( τ ) d g( + τ ) h( ) T/ T T / T/ d Souvislos korelace s kovolucí -položíme-li -y, lze odvodi R gh ( τ ) g( τ) h( τ ) g( τ ) h( τ ) Fourierova rasformace vzájemé korelačí fukce: * [ R gh ( τ )] G( f ) H ( f ) F

27 Auokorelace měříkem rychlosi změ hodo sigálu v čase g() h() R gg ( τ ) g( ) g( τ ) d g( + τ ) g( ) d Plaí - je sudou fukcí R gg ( τ ) R ( 0) g ( ) gg Fourierovo spekrum: d - eí obsažea iformace o fázi F [ R ( )] G( f ) gg τ Auokorelačí fukce je periodická pro periodický sigál (podobě pro vzájemou korelaci)

28 Sdělovací sousava produkuje alespoň jede výsupí sigál jako odezvu a alespoň jede vsupí sigál Přeosové charakerisiky vzahy mezi vsupími a výsupími sigály 4 ypy aalogových přeosových sousav: - s více vsupy a více výsupy - s více vsupy a jedím výsupem - s jedím vsupem a jedím výsupem - s jedím vsupem a více výsupy Charakerisická přeosová rovice sousavy s jedím vsupem a jedím výsupem: b y + b y ( ) ( ) by + by a x + a x ax + ( m) ( m ) m m 0 0 sousava lieárí, elieárí, časově proměá δ ( ) x() H ( f ) h() y() X ( f ) ( f ) Y a x

29 Odezva v časové oblasi je vyjádřea kovolucí impulzí odezvy h() a vsupího sigálu: y ( ) h( τ ) x( τ ) dτ h( τ ) x( τ ) dτ h()... impulzí odezva odezva lieárí přeosové sousavy (LPS) a jedokový impulz δ() Normovací podmíka: ( ) d h τ τ Sabilia LPS: výsupí sigál je ohraičeý, jesliže je ohraičeý vsupí sigál ( ) < h τ dτ

30 Odezva ve frekvečí oblasi Y ( f ) X ( f ) H ( f ) H ( f ) F[ h( ) ]... fukce přeosu, přeosová fukce f H f H f e jθ( ) Expoeciálí var přeosové fukce: ( ) ( ) ( f ) H... modul Θ (f)... fáze Logarimické vyjádřeí fukce přeosu Z ( f ) lh ( f ) lh ( f ) + jθ( f ) a( f ) + jθ( f ) Z ( f )... logarimická míra přeosu a( f )... zisk [ a( f )] log H ( f ) db 0 0

31 Sériové spojeí LPS ( f ) ( f ) H H ( f ) H ( f ) H ( f ) H H ( f ) Paralelí spojeí LPS H ( f ) ( f ) H ( f ) + H ( f ) H

32 Zpěovazebí spojeí H ( f ) H ( f ) H ( f ) H H ( f ) ( f ) H ( f )

33 Lieárí zkresleí Podmíka pro ezkresleý lieárí přeos: y ( ) Kx( τ ) - ve frekvečí oblasi: H H jπτf ( f ) Ke ( f ) K, Θ( f ) f πτ Lieárí zkresleí - ampliudové - fázové H ( f ) kos Θ f ( f ) Korekce ampliudového a fázového zkresleí C H jπτf ( f ) H ( f ) Ke H ( f ) Ke H C jπτf ( f ) kos x ( ) H ( f ) H y( ) C ( f ) X ( f ) Y ( f )

34 - elze zavés fukci přeosu - odezva se saovuje řešeím elieárí charakerisické přeosové difereciálí rovice - umerické řešeí (apř. meoda liearizace) - popis sousavy algebraickou rovicí, převodími charakerisikami - eplaí pricip superpozice Nelieárí zkresleí harmoického sigálu - koeficie harmoického zkresleí k Y + Y Y ebo k Y Y + Y + Y Y i... max. hodoa i-é harmoické složky výsupího sigálu vzájemé působeí více harmoických sigálů iermodulačí zkresleí čásečé polačeí elieárího zkresleí pomocí zv. kompadoru

35 Absoluí úroveň výkou sigálu w db 0log P P 0 w Np l P P 0 P 0 mw... referečí výko Relaiví úroveň výkou sigálu w rel w M w Úlum sousavy Míra zisku b w w b w w

36 Charakerisické fukce a veličiy Disribučí fukce (jedorozměrá, -rozměrá) Husoa pravděpodobosi (jedorozměrá, -rozměrá) Momey áhodého procesu - obecý mome s-ého řádu - sředovaý (cerovaý) mome s-ého řádu Auokorelačí fukce Kovariačí fukce Vzájemá korelačí fukce Vzájemá kovariačí fukce Maice korelačích fukcí Časové paramery realizací áhodých procesů - sředí hodoa v čase - auokorelačí fukce v čase - vzájemá korelačí fukce v čase

37 Sacioaria v užším smyslu disribučí fukce se eměí při změě počáku, od ěhož počíáme čas Sacioaria v širším smyslu sř. hodoa je kosaa a auokorelačí fukce závisí je a časovém posuuí τ Regulárí áhodý proces charakerisické fukce a veličiy (časové paramery) jsou pro všechy realizace sejé Sacioaria a reguláros jsou ezávislé. Ergodicia áhodého procesu sředí hodoa přes soubor realizací je rova časové sředí hodoě -charakerisické fukce a veličiy lze vyšeři aalýzou jedié realizace

38 Spekrálí husoa výkou S xx (f) áhodého procesu X() Spekrálí husoa výkou s xx (f) realizace x() áhodého procesu Sacioárí áhodý proces Wieerovy-Chičiovy rovice

39 Rušeí - diskréí (selekiví) - impulzové - šumové (rušeí flukuačím šumem) - souvislá řada ahodilých impulzů ahodilé ampliudy - souvislé a široké spekrum - projevuje se flukuacemi char. hodo sigálu ) Šumy elekrických obvodů a) Tepelý šum - původ v epelém pohybu elekroů ve vodiči ( ) ktrb u š 4 R rezisace B šířka frekvečího pásma, v ěmž šum sledujeme modelováí áhradí zdroj šumového apěí (sériově) - áhradí zdroj šumového proudu (paralelě) ( ) ktgb i š 4 U 4R š Pš

40 b) Výsřelový šum - v elekrokách, epravidelá emise elekroů z kaody (při ízké eploě) i aš ( ) mei B a - pro diodu i ( ), ktgb aš 4 k i I a... sředí hodoa aodového proudu m... zahruje vliv prosorového áboje v elekroce B... šířka frekvečího pásma - podobě pro riodu, bipolárí razisor ad. ) Gaussovský šum - vykazuje gaussovskou disribuci hodo - uplaěí cerálího limiího eorému - husoa pravd. f ( x) σ x ( x ) m x σ x e π - disribučí fukce F ( x) σ x ( v m ) x x σ π e x dv - vyjádřeí pomocí chybové fukce F ( x) x + erf σx m x erf u ( u) e π 0 v dv

41 3) Bílý šum -sacioárí a ergodický áhodý proces vykazující kosaí spekrálí husou výkou v celém rozsahu frekvecí S xx ( f ) N 0 kos N 0... šumový výko vzažeý k frekvečímu pásmu Hz ekvivaleí eploa šumu Auokorelačí fukce Přeos lieárí přeosovou sousavou T Pš kb Auokorelačí fukce šumu a výsupu ideálí dolí propusosi H H ( f ) pro f B ( f ) 0pro f > B N k e 0 N 0 ( τ ) δ ( τ ) B xx B yy ( τ ) ( f ) H ( f ) S yy N 0 N 0 ( πbτ ) si B πbτ

42 Spolehlivos přeosu - pravděpodobos, že sděleí bude přeeseo bez závad q s s pr s... užiečý provozí čas jakos přeosu evybočí z předem zadaých mezí pr... celkový provozí čas p s q s... pravd. arušeí sděleí Poměr sigálu k šumu S SNR N ( ) P Pš Odsup šumu od sigálu Šumové číslo F r 0log ( SNR) x Sx/ Nx ( SNR) Sy/ Ny y P Pš Průměré zesíleí výkou A S S y x F N y AkTB e

43 Výsledé šumové číslo při sériovém spojeí dvou přeosových sousav F F + F A Výsledé šumové číslo při sériovém spojeí více přeosových sousav F F F + A F3 + AA F4 AAA Ekvivaleí eploa šumu přeosové sousavy T s - eploa fikivího zdroje šumu a vsupu přeosové sousavy Plaí: F + T T s e

44 Číslicový (digiálí) sigál koečá řada číslic vyskyujících se v určiých časových okamžicích T časové iervaly (-)T až T... jedokové iervaly Digiálí sigál je věšiou vyjádře pomocí biárích číslic (biů)... 0 a -velký podíl ízkých frekvecí ve spekru číslicového sigálu sigál eí možé přeáše v jeho základím frekvečím pásmu - posu spekra k vyšším frekvecím pomocí modulace

45 NRZ evracející se k ule - uipolárí - bipolárí RZ vracející se k ule Pseudoerárí sigály mají ři úrově - sequece polariy corol - ime polariy corol Difereciálí sigál

46 -číslicové sigály jsou odolé vůči šumům - přeos prosředicvím číslicových kaálů Volba varu biárího číslicového sigálu - ideálí obdélíkový impulz kosaí doby rváí, vzdáleos mezi impulzy T - spekrum je ekoečě široké - průběh ypu (si x)/x, x π/t - Fourierovo spekrum obdélíkové, v rozsahu B T /(T) - NEVÝHODY: - sigál elze geerova - zv. mezisymbolová ierferece kompromis: lichá symerie spekra vzhledem k bodu f B T

47 Defiováí prahové hodoy pro saoveí hodo 0 a Předp. - sacioárí gaussovský šum o ulové sředí hodoě, popsá prom. v - bipolárí číslicový sigál ypu NRZ, hodoy A, A chyba deekce P 0 P(y < 0), přiom byla vysláa hodoa P 0 A erfc σv π P 0 P 0 - plaos i pro jié reprezeace biárích číslicových sigálů - předpoklad sacioárího gaussovského šumu je příliš silý

48 Auokorelačí fukce ( ) 0 τ > T, R τ xx τ τ, R T xx ( ) τ A T Spekrálí husoa výkou ( f ) S xx si π AT π Tf ( Tf ) - velký podíl malých frekvecí ve spekru

49 Skládá se: kodér, moduláor, číslicový přeosový kaál, demoduláor, obovovací zařízeí, dekodér Chybovos číslicového kaálu se elimiuje kódováím (užií kodéru a dekodéru) - přidáí adbyečých biů - po přeosu je sigál zkresle a obsahuje šum obovovací zařízeí, dekodér maemaický model: chybová posloupos A... odeslaá posloupos B... přijaá posloupos B A E... operace eekvivalece Saoveí přeosem esovací poslouposi

50 . Čeos chyb - může kolísa s časem - shlukováí. Disribučí fukce čeosi chyb - odhaluje příomos shluků 3. Disribučí fukce bezchybých iervalů 4. Koeficie shlukováí 5. Disribučí fukce shluků chyb 6. Sředí asymerie chyb