Investice do rozvoje vzdělávání

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Investice do rozvoje vzdělávání"

Transkript

1 Lieárí systémy a modely časových řad Daiel Schwarz Ivestice do rozvoje vzděláváí

2 Cíl, motivace Popis a idetifikace systémů Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

3 Cíl, motivace Popis a idetifikace systémů BLACK BOX Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

4 Cíl, motivace Popis a idetifikace systémů z -1 z -1 z -1 z -1 c 1 c 2 c q-1 c q + Aalýza, Simulace, Predikce, Moitorig, Diagostika, Řízeí Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

5 Co ás čeká Systémy obecě a jejich důležité vlastosti. Pricip superpozice, kovoluce, impulsí charakteristika systémů Fourierovy řady, DTFT, frekvečí charakteristika systémů Ztrasformace trasformace, přeosová fukce, ulové body a póly FIR, IIR AR, MA, ARMA a překryvy v termiologii Modely časových řad Boxova-Jekisova metodologie pro tvorbu předpovědí Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

6 ffgf 1. Lieárí systémy 6 Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

7 Systémy: defiice Systém je možiou prvků, které jsou spolu ve vzájemých vztazích a které tvoří určitý celek. vstupí sigál Systém výstupí sigál Za systém považujeme jakoukoli sadu procesů, které ovlivňují povahu sigálu. Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

8 Příklad systému Hraový detektor druhá diferece Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

9 Vlastosti systémů vstupí sigál Systém výstupí sigál kauzálí - ekauzálí časově ivariatí - časově proměé liearí - elieárí Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

10 Vlastosti systémů: kauzalita Systém je kauzálí, pokud jeho výstup závisí pouze a miulých a současých vstupích hodotách. Všechy fyzikálí systémy v reálém čase jsou kauzálí, protože čas běží pouze dopředu. Kauzalita se etýká systémů s prostorově závislými proměými. Kauzalita se etýká systémů zpracovávající ahraé sigály. Poz.: derivace sigálu v čase t je přirozeě ekauzálím výpočtem. Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

11 Vlastosti systémů: kauzalita kauzálí x ekauzálí kauzálí ekauzálí ekauzálí kauzálí Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

12 Vlastosti systémů: časová ivariatost Neformálě: Systém je časově ivariatí (time ivariat - TI), pokud jeho chováí ezávisí a tom, kolik je zrova hodi. Matematicky: Systém x[] -> y[]ječasově ivariatí, když pro jakýkoli vstupí sigál x[] a jakékoli časové posuutí 0 platí: Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

13 Vlastosti systémů: časová ivariatost časově ivariatí x časově proměé systémy : časově ivariatí časově proměý Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

14 Vlastosti systémů: liearita Lieárí systém je takový systém, v ěmž lze uplatit pricip superpozice. Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

15 LTI systémy Lieárí časově ivariatí systémy (LTI): dispoují elegatími matematickými vztahy mezi jejich vstupy a výstupy. lze určit výstupí odezvu systému a jakýkoli vstup lze také určit vstup systému při pozorováí jeho výstupu Selský rozum: Zám-li odezvu LTI systému a velmi krátký vstupí sigál, mohu pomocí těchto velmi krátkých sigálů seskládat libovolý vstupí sigál a odezvu LTI systému a ěj pak seskládat ze zámé odezvy a velmi krátký sigál. Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

16 LTI systémy lieárí systém Hledáme bázové sigály tak, aby: bylo možé reprezetovat libovolé sigály jako lieárí kombiaci těchto bázových sigálů odezva LTI systémů a tyto bázové sigály byla jedoduchá a zároveň ň aby umožňovala dostatečě č ě hluboký vhled Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

17 Reprezetace DT sigálů jedotkovými impulsy Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

18 Reprezetace DT sigálů jedotkovými impulsy Poz.: Filtračí vlastost Diracovy distribuce (jedotkového impulsu): Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

19 Odezva systému a jedotkový impuls x[] LTI systém y[] Lieárí systém: je odezvou systému a: Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

20 Odezva systému a jedotkový impuls x[] LTI systém y[] Lieárí a časově ivariatí systém s odezvou h[] a jedotkový impuls: Lieárí systémy a modely časových řad kovolučí suma Istitute of Biostatistics ad Aalyses

21 LTI systémy: kovoluce x[] LTI systém y[] IMPULSNÍ CHARAKTERISTIKA SYSTÉMU Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

22 Periodické sigály a LTI systémy Fourierova reprezetace diskrétích sigálů x[] periodický sigál se základí periodou N. Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

23 Periodické sigály a LTI systémy zesíleí amplituda fáze LTI systém evytváří ové frekvečí složky, ale pouze zesiluje ebo potlačuje frekvečí kompoety existující ve vstupím sigálu. Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

24 Periodické sigály a LTI systémy Frekvečí charakteristika: G(ω) = je periodická fukce vyjádřea Fourierovou řadou s koeficiety h. Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

25 Frekvečí charakteristika PŘÍKLAD: vyhlazovací systém Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

26 Z trasformace z je komplexí proměá. ejčastěji uvažujeme jedostraou trasformaci: sumace od =0. Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

27 Z trasformace - vlastosti Liearita: Posu: Útlum: Kovoluce: Subst: m=-i Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

28 Z trasformace přeosová fukce pro platí, že H(z) = H(jω) Přeosová (systémová) fukce vyjadřuje a jedotkové kružici z =1 frekvečí charakteristiku diskrétí soustavy. Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

29 Z trasformace přeosová fukce Přeosová (systémová) fukce vyjadřuje a jedotkové kružici z =1 kmitočtovou charakteristiku diskrétí soustavy. Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

30 Z trasformace přeosová fukce H(z) vyjádřeá pomocí racioálě lomeé fukce: b i.z -i a i.z -i, A=b 0 /a 0. z i p i jsou NULY racioálě lomeé fukce jsou PÓLY racioálě lomeé fukce Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

31 Z trasformace přeosová fukce A. vzdáleosti mezi bodem ωt a jedotkové kružici a NULAMI přeosové fukce. r vzdáleosti mezi bodem ωt a kružici i a PÓLY přeosové fukce. A zesíleí systému Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

32 Z trasformace přeosová fukce vzdáleosti mezi bodem ωt a jedotkové kružici a NULAMI přeosové fukce. r vzdáleosti mezi bodem ωt a kružici a PÓLY přeosové fukce.. A Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

33 Z trasformace přeosová fukce Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

34 Popis diskrétí soustavy s Z-trasformací Mějme LTI systém s přeosovou fukcí ve tvaru racioálě lomeé fukce: b i.z -i a i.z -i i kde A = a 0 /b 0, z i jsou uly a p i jsou póly racioálě lomeé fukce. M a b i.z -i i.z -i y = b. x a. y L i i i= 0 i= 1 i i zpětá Z-trasformace, věta o liearitě a posuu, a 0 =1. Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

35 Popis diskrétí soustavy s Z-trasformací y M L = b i. x i i= 0 i= 1 a i. y i Iterpretace rovice: diskrétí soustava / systém uchovává v paměti starší vzorky vstupího i výstupího sigálu. Klouzavý průměr MA Autoregresí čle AR Ovlivňuje rychlost odezvy, charakter jejího zaikáí, stabilitu soustavy. Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

36 Popis diskrétí soustavy s Z-trasformací y M L = b i. x i i= 0 i= 1 a i. y i Realizace soustavy / filtru / programu přímou formou: Zpožděí o jede vzorek b 0 b 1 b 2 b M-1 b M -a L -a L-11 -a 1 Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

37 Systémy s koečou impulsí charakteristikou FIR fiite impulse respose M L b. x i i i= 0 i= 1 y = a. y i i pouze čle MA (movig average) erekurziví realizace (většiou, ale emusí vždy) Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

38 Systémy s koečou impulsí charakteristikou FIR PŘÍKLAD: hraový detektor h [] = { δ [ 1 ] 2δ [] + δ [ + 1] } FIR PŘÍKLAD: vyhlazovací systém Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

39 Systémy s koečou impulsí charakteristikou Systémy s koečou impulsí charakteristikou FIR fiite impulse respose b i.z -k M 1 = + = = k k k M M x b x b x b x b x b y Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

40 Systémy s ekoečou impulsí charakteristikou IIR ifiite impulse respose Autoregresí čle AR y M L = b. x i i i= 0 i= 1 a i. y i Klouzavý průměr MA vždy rekurziví realizace Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

41 Systémy s ekoečou impulsí charakteristikou IIR PŘÍKLAD: vyhlazovací systém z -1 H(z) = az/(z-a). Pro a>1 je filtr estabilí. Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

42 Systémy s ekoečou impulsí charakteristikou IIR : - vyžadují alespoň jedu zpětovazebí smyčku, jsou vždy rekurziví -přeosová fukce = podíl polyomů Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

43 Termiologie: IIR, FIR, MA, AR y M L = b. x i i i= 0 i= 1 a i. y i FIR filtry: a i =0, pro všecha i. Ozačováy také jako movig average ebo all-zero filtry. IIR filtry: a i <>0, pro alespoň ň jedo i. Zahrují: autoregresiví (AR) filtry movig-average, autoregresiví (ARMA) filtry AR filtry: b i =0, kromě b 0. Výstup závisí pouze a aktuálí hodotě a vstupu a a koečém počtu starších vzorků výstupího sigálu. Ozačováy Oačováy také jako: all-pole, purely recursive, autoregressive Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

44 Termiologie: IIR, FIR, MA, AR y M L = b. x i i i= 0 i= 1 a i. y i FIR filtry: a i =0, pro všecha i. Ozačováy také jako movig average ebo all-zero filtry. IIR filtry: a i <>0, pro alespoň ň jedo i. Zahrují: autoregresiví (AR) filtry movig-average, autoregresiví (ARMA) filtry ARMA filtry: a i, b i eulové Ozačováy také jako: pole-zero, ero, autoregressive, movig-average Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

45 Termiologie: IIR, FIR, MA, AR y M L = b. x i i i= 0 i= 1 a i. y i DOPORUČENÍ: pro filtry a lieárí systémy používat ozačeí FIR, IIR ozačeí AR, MA, ARMA používat pro popis či modely stochastických procesů, které geerují data áhodé povahy Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

46 ffgf 2. Modely časových řad 46 Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

47 Časové řady Defiice časové řady: uspořádaá posloupost hodot závislé proměé měřeé v ekvidistatích časových itervalech koce trace CO čas Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

48 Sigály vs. časové řady 1-D DISKRÉTNÍ SIGNÁLY ČASOVÉ ŘADY Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

49 Časové řady Defiice časové řady: uspořádaá posloupost hodot závislé proměé měřeé v ekvidistatích časových itervalech. Využití modelů časových řad je dvojí: 1. porozuměí procesu, který vyprodukoval pozorovaá data 2. předpovídáí budoucích hodot, případě i jejich ovlivňováí -> řízeí Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

50 Stacioarita Stacioarita je obvyklým předpokladem většiy techik aalýzy časových řad. Defiice stacioárího procesu: jedá se o áhodý proces jehož rozděleí pravděpodobosti p se v čase eměí. V důsledku toho se eměí ai parametry jeho pravděpodobostí fukce (apř. středí hodota, rozptyl). Autokorelačí fukce stacioárího procesu závisí pouze a rozdílu svých argumetů. Předpokladem stacioarity rozumějme ty časové řady či sigály, které jsou bez tredu, mají s měícím se časem stejý rozptyl a stejou podobu autokorelačí fukce. Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

51 Stacioarita V případě estacioárích časových řad lze provést: 1. diferecováí dx i = x i -x i-1 2. odstraěí tredu odečteím proložeého polyomu 3. stabilizace rozptylu logaritmizací čtverce řady kocetrace CO čas Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

52 Stacioarita V případě estacioárích časových řad lze provést: 1. diferecováí dx i = x i -x i-1 2. odstraěí tredu odečteím proložeého polyomu 3. stabilizace rozptylu logaritmizací čtverce řady dife erece kocetra ace CO čas Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

53 Stacioarita V případě estacioárích časových řad lze provést: 1. diferecováí dx i = x i -x i-1 2. odstraěí tredu odečteím proložeého polyomu 3. stabilizace rozptylu logaritmizací čtverce řady y = 1.5*x - 2.5e+003 data 1 liear kocetrace CO res sidua kocetrace CO čas čas Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

54 Sezóost Sezóí složka popisuje periodické změy v sigálu či časové řadě. Je-li sezóí složka v datech přítoma, musí být zahruta do modelu. Detekce periodické složky pomocí: sezóí vizualizace v případě, že periodu složky záme autokorelačí fukce sigálu spektra sigálu trace CO 2 koce čas Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

55 Sezóost Sezóí složka popisuje periodické změy v sigálu či časové řadě. Je-li sezóí složka v datech přítoma, musí být zahruta do modelu. Detekce periodické složky pomocí: sezóí vizualizace v případě, že periodu složky záme autokorelačí fukce sigálu spektra sigálu trace CO 2 kocet acf čas Lieárí systémy a modely časových řad zpožděí Istitute of Biostatistics ad Aalyses

56 Sezóost Sezóí složka popisuje periodické změy v sigálu či časové řadě. Je-li sezóí složka v datech přítoma, musí být zahruta do modelu. Detekce periodické složky pomocí: sezóí vizualizace v případě, že periodu složky záme autokorelačí fukce sigálu spektra sigálu cetrace CO 2 residua ko acf čas Lieárí systémy a modely časových řad zpožděí Istitute of Biostatistics ad Aalyses

57 Sezóost Sezóí složka popisuje periodické změy v sigálu či časové řadě. Je-li sezóí složka v datech přítoma, musí být zahruta do modelu. Detekce periodické složky pomocí: sezóí vizualizace v případě, že periodu složky záme autokorelačí fukce sigálu spektra sigálu 4 1 cetrace CO acf residua ko čas Lieárí systémy a modely časových řad zpožděí Istitute of Biostatistics ad Aalyses

58 Sezóost Sezóí složka popisuje periodické změy v sigálu či časové řadě. Je-li sezóí složka v datech přítoma, musí být zahruta do modelu. Detekce periodické složky pomocí: sezóí vizualizace v případě, že periodu složky záme autokorelačí fukce sigálu spektra sigálu perioda 12 měsíců perioda 6 měsíců Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

59 Modely časových řad Jakoukoli stacioárí časovou řadu či sigál s áhodou složkou geeruje stochastický proces, kterému lze přiřadit jede z těchto modelů: čistě rekursiví model erekursiví model s klouzavým průměrem kombiovaý model bílý šum AR autoregressive MA movig average ARMA ν Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

60 Bílý šum Náhodý proces ozačujeme za bílý šum, pokud jeho středí hodota a autokorelačí fukce splňují tyto podmíky: Diracova distribuce = Ε ν t = 0 μ ν R νν { ()}, N0 = Ε ν t1 ν t2 = δ t 2 ( t t ) { ( ) ( )} ( ). 1, 2 1 t2 t) w(t t Lieárí systémy a modely časových řad Rww(t1 1,t2) t1-t2 Istitute of Biostatistics ad Aalyses

61 Autoregresí (AR) model x = a x + a x a x p p + ν x časová řada / sigál ν bílý šum p řád AR modelu a i parametry modelu x kocetrace CO ν + z -1 z -1 z -1 Odhad parametrů a 1 a 2 a p 330 x čas Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

62 (MA) model s klouzavým průměrem x = ν + cν ν... c ν 1 + c q q x časová řada / sigál ν bílý šum q řád MA modelu μ středí hodota áhodého procesu kocetrace CO 2 c i parametry modelu 355 ν z -1 z -1 z -1 z x čas Odhad parametrů c 1 c 2 c q-1 c q + x Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

63 ARMA model ARMA(p, q) kombiuje AR(p) a MA(q) modely. x = a x 1 1 cν 1 + a 2 x cν a p... c ν q x p q + ν Boxova-Jekisoova metodologie zahruje: idetifikaci modelu, Určeí řádů odhad modelu, p, q validaci modelu. Výpočet parametrů a i, c i Kotrola rozložeí residuí Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

64 ARMA model: idetifikace 1. Je časová řada / sigál stacioárí? 2. Vykazuje časová řada / sigál sezóost? ANO NE zjištěí periody T, zahrutí čleu AR(T) ebo MA(T) do modelu, případě sezóí diferece ARIMA (autoregressive itegrated movig average model) Idetifikace, odhad, validace ARMA modelu a diferecovaých datech a ásledá úprava modelu. Př. model AR(2): y = y y = x -x -1 x -x -1 =-0406(x -1 -x -2 )-0.164(x -2 -x -3 ) x =0.594x x x Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

65 ARMA model: idetifikace Určeí řádů p a q a) a základě zkušeosti a experimetováí b) spektrum: každé výrazé maximum v rozsahu <0,f vz /2> vyžaduje jede pár pólů, což zvyšuje řád o 2. c) kritéria a základě autokorelačí fukce (ACF) a parciálí autokorelačí fukce (PACF) Srováváí teoretických průběhů ACF, PACF procesů zámých řádů s ACF, PACF aměřeých řad / sigálů Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

66 ARMA model: idetifikace Příklad: AR(1) proces x x + ax 1 ax = ν = ν ax 1 = = ν = ν a aν ν + x z -1 -a 1 ( ν 1 ax 2 ) = 2 + ( a) ν ( a) ( ν ax ) a= a= x() 0 x() Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

67 ARMA model: idetifikace Příklad: AR(1) proces x x + ax 1 = ν ax = ν ax 1 = a <1: E = ν = ν { x } a aν ( ν 1 ax 2 ) = 2 + ( a) ν ( a) ( ν ax ) ( a) = 1 = μ ν 1+ a, 1 μ ν 1+ a μ { } { 2} 2 ν D x = E x μ =, R xx 0 2 σ 1 a ( ) { } k k E x x = ( a). = k 2 Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

68 ARMA model: idetifikace Příklad: AR(1) proces x + ax = ν ( ) = { } ( ) k 1 R k E x x = a. ax xx = k a=+0.9 a= Rxx(k k) k Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

69 ARMA model: idetifikace Tvar ACF Expoeciála klesající k ule. Změy kladých a záporých hodot, postupý pokles k ule. Jede ebo ěkolik vrcholů, zbytek zaedbatelý, ulový. Průběh klesající až po ěkolika zpožděích Vše zaedbatelé, ulové Vysoké hodoty ve stejých itervalech Neklesá k ule Model AR(p) model. Pro určeí p se vychází z PACF. MA model. Řád odpovídá hodotě zpožděí, od které je ACF ulová. ARMA Data jsou áhodá. Zahrout AR čle s řádem odpovídajícím í periodě. Nejedá se o stacioárí řadu / sigál. Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

70 ARMA model: idetifikace y = 1.5*x - 2.5e+003 data 1 liear kocetrace CO residua kocetrace CO acf čas čas zpožděí Perioda 12 vzorků Zbývá idetifikovat ještě esezóí kompoety sigálu / řady. Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

71 ARMA model: idetifikace Zbývá idetifikovat ještě esezóí kompoety sigálu / řady. Sezóí diferecováí: e 1000 sezóí diferece ad detredovaou řadou ) d12(rx()) čas Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

72 ARMA model: idetifikace Zbývá idetifikovat ještě esezóí kompoety sigálu / řady. Sezóí diferecováí: e 1 Výběrová ACF sezóě diferecovaé řady Rxx k Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

73 ARMA model: idetifikace Zbývá idetifikovat ještě esezóí kompoety sigálu / řady. Sezóí diferecováí: e Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

74 ARMA model ARMA model ARMA(p, q) kombiuje AR(p) a MA(q) modely. q q p p c c c x a x a a x x = ν ν ν ν Odhad parametrů modelu q q p -iteračí algoritmy: - elieárí metoda ejmeších čtverců - odhad a základě maximálí věrohodosti (MLE) odhad a základě maximálí věrohodosti (MLE) Vhodější tvar rovice (pro SW ástroje): c c c x a x a a x x = ν ν ν ν q q p p c c c x a x a a x x = ν ν ν ν Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

75 ARMA model ARMA(p, q) kombiuje AR(p) a MA(q) modely. x = a x 1 1 cν 1 + a 2 x cν a p... c ν q x p q + ν Odhad parametrů modelu -iteračí algoritmy: - elieárí metoda ejmeších čtverců - odhad a základě maximálí věrohodosti (MLE) Výsledý AR(2) model (pro detredovaá a sezóě diferecovaá data) x x x 1 2 = ν Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

76 ARMA modely Validace modelu x x x 2 = ν -Zpěté ověřeí předpokladů kladeých a áhodé chyby, tj. aalýza residuí sezóí diferece ad detredovaou řadou RESIDUA = CHYBY PREDIKCE )) d12(rx( Residua by měla představovat bílý šum čas Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

77 ARMA modely Validace modelu AR(2) x x x 2 1 = ν Validace modelu AR(4) x x x x x 4 = ν Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

78 ARMA modely Validace modelu AR(2) x x x 2 1 = ν Validace modelu ARMA(4,4) x x x x x 4 = = ν ν ν ν ν 4 Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

79 ARMA modely Posouzeí kvality předpovídáí - aplikace modelu a řadu zkráceou o m pozorováí, -předpověď hodot x -m+1, x -m+2,,x - porováí x x x 2 y1. (1-step pred) = ν dat; measured arx2; fit: 82.14% y1model: AR(2) -200 Horizot predikce: Shoda: 82.1 % Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

80 ARMA modely Posouzeí kvality předpovídáí - aplikace modelu a řadu zkráceou o m pozorováí, -předpověď hodot x -m+1, x -m+2,,x - porováí x x x 2 y1. (5-step pred) = ν dat; measured arx2; fit: % y Model: AR(2) Horizot predikce: 5 Shoda: < 1 % Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

81 ARMA modely Posouzeí kvality předpovídáí - aplikace modelu a řadu zkráceou o m pozorováí, -předpověď hodot x -m+1, x -m+2,,x - porováí x x x x x 4 = ν y1. (1-step pred) dat; measured arx4; fit: 91.95% y1model: AR(4) -200 Horizot predikce: Shoda: 92.0 % Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

82 ARMA modely Posouzeí kvality předpovídáí - aplikace modelu a řadu zkráceou o m pozorováí, -předpověď hodot x -m+1, x -m+2,,x - porováí x x x x x 4 = ν y1. (5-step pred) dat; measured arx4; fit: 3.26% y Model: AR(4) Horizot predikce: 5 Shoda: 3.3 % Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

83 ARMA modely Posouzeí kvality předpovídáí - aplikace modelu a řadu zkráceou o m pozorováí, -předpověď hodot x -m+1, x -m+2,,x - porováí x = ν x 1 ν x 2 ν 2 y1. (1-step pred) x ν x 4 ν = dat; measured amx44; fit: 98.55% y1model: 0 ARMA(4,4) -200 Horizot predikce: Shoda: 98.6 % Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

84 ARMA modely Posouzeí kvality předpovídáí - aplikace modelu a řadu zkráceou o m pozorováí, -předpověď hodot x -m+1, x -m+2,,x - porováí x = ν x 1 ν x 2 ν y1. (5-step pred) x ν x 4 ν = dat; measured amx44; fit: 23.86% y Model: ARMA(4,4) Horizot predikce: 5 Shoda: 23.9 % Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

85 LTI systém a jeho popis y = x y y 2 x + y z -1 z Magitude (db) Normalized Frequecy ( π rad/sample) 200 Phase (degrees) Normalized Frequecy ( π rad/sample) Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

86 Shrutí Popis a idetifikace systémů a procesů z -1 z -1 z -1 z -1 c 1 c 2 c q-1 c q + Aalýza, Simulace, Predikce, Moitorig, Diagostika, Řízeí Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

87 ffgf INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ 5. letí škola Matematické biologie je podporováa projektem ESF č. CZ.1.07/2.2.00/ VÍCEOBOROVÁ INOVACE STUDIA MATEMATICKÉ BIOLOGIE Otázky? 87 Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses

Lineární a adaptivní zpracování dat. 9. Modely časových řad II.

Lineární a adaptivní zpracování dat. 9. Modely časových řad II. Lieárí a adaptiví zpracováí dat 9. Modely časových řad II. Daiel Schwarz Ivestice do rozvoje vzděláváí Opakováí K čemu je dobré vytvářet modely procesů geerující časové řady? Dekompozice časový řad: jaké

Více

Lineární a adaptivní zpracování dat. 8. Modely časových řad I.

Lineární a adaptivní zpracování dat. 8. Modely časových řad I. Lieárí a adaptiví zpracováí dat 8. Modely časových řad I. Daiel Schwarz Ivestice do rozvoje vzděláváí Cíl, motivace Popis a idetifikace systémů BLACK BOX Cíl, motivace Popis a idetifikace systémů BLACK

Více

Analýza a zpracování signálů. 4. Diskrétní systémy,výpočet impulsní odezvy, konvoluce, korelace

Analýza a zpracování signálů. 4. Diskrétní systémy,výpočet impulsní odezvy, konvoluce, korelace Aalýza a zpracováí sigálů 4. Diskrétí systémy,výpočet impulsí odezvy, kovoluce, korelace Diskrétí systémy Diskrétí sytém - zpracovává časově diskrétí vstupí sigál ] a produkuje časově diskrétí výstupí

Více

Lineární a adaptivní zpracování dat. 11. Adaptivní filtrace a predikce II.

Lineární a adaptivní zpracování dat. 11. Adaptivní filtrace a predikce II. Lieárí a adaptiví zpracováí dat 11. Adaptiví filtrace a predikce II. Daiel Schwarz Ivestice do rozvoje vzděláváí Popis a idetifikace systémů BLACK BOX Systém/proces geerující data áhodé povahy Istitute

Více

Číslicové filtry. Použití : Analogové x číslicové filtry : Analogové. Číslicové: Separace signálů Restaurace signálů

Číslicové filtry. Použití : Analogové x číslicové filtry : Analogové. Číslicové: Separace signálů Restaurace signálů Číslicová filtrace Použití : Separace sigálů Restaurace sigálů Číslicové filtry Aalogové x číslicové filtry : Aalogové Číslicové: + levé + rychlé + velký dyamický rozsah (v amplitudě i frekveci) - evhodé

Více

Lineární a adaptivní zpracovní dat. 4. Lineární filtrace II: FIR, IIR

Lineární a adaptivní zpracovní dat. 4. Lineární filtrace II: FIR, IIR Leárí a adaptví zpracoví dat 4 Leárí fltrace II: FIR, IIR Dael Schwarz Ivestce do rozvoje vzděláváí Opakováí 2 Co je to fltrace? Co je to fltr? A jak ho popsujeme? Jaký je vztah Z trasformace a Fourerovy

Více

1 Základy Z-transformace. pro aplikace v oblasti

1 Základy Z-transformace. pro aplikace v oblasti Základy Z-trasformace pro aplikace v oblasti číslicového zpracováí sigálů Petr Pollák 9. říja 29 Základy Z-trasformace Teto stručý text slouží k připomeutí základích vlastostí Z-trasformace s jejími aplikacemi

Více

Lineární a adaptivní zpracovní dat. 5. Lineární filtrace: FIR, IIR

Lineární a adaptivní zpracovní dat. 5. Lineární filtrace: FIR, IIR Leárí a adaptví zpracoví dat 5. Leárí fltrace: FIR, IIR Dael Schwarz Ivestce do rozvoje vzděláváí Opakováí 2 Co je to fltrace? Co je to fltr? A jak ho popsujeme? Jaký je vztah Z trasformace a Fourerovy

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

Analýza a zpracování signálů. 3. Číselné řady, jejich vlastnosti a základní operace, náhodné signály

Analýza a zpracování signálů. 3. Číselné řady, jejich vlastnosti a základní operace, náhodné signály Aalýza a zpracováí sigálů 3. Číselé řady, jejich vlastosti a základí operace, áhodé sigály Diskrétí sigál fukce ezávislé proměé.!!! Pozor!!!! : sigáleí defiová mezi dvěma ásledujícími vzorky ( a eí tam

Více

SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY (ČASOVÉ ŘADY)

SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY (ČASOVÉ ŘADY) SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY (ČASOVÉ ŘADY) prof. Ig. Jiří Holčík, CSc. holcik@iba.mui.cz, Kameice 3, 4. patro, dv.č.424 INVESTICE Istitut DO biostatistiky ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ a aalýz IV. FREKVENČNÍ TRASFORMACE

Více

Lineární a adaptivní zpracování dat. 2. SYSTÉMY a jejich popis v časové doméně a frekvenční doméně

Lineární a adaptivní zpracování dat. 2. SYSTÉMY a jejich popis v časové doméně a frekvenční doméně Lineární a adaptivní zpracování dat 2. SYSTÉMY a jejich popis v časové doméně a frekvenční doméně Daniel Schwarz Investice do rozvoje vzdělávání Osnova Opakování: signály a systémy Vlastnosti systémů Systémy

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

P2: Statistické zpracování dat

P2: Statistické zpracování dat P: Statistické zpracováí dat Úvodem - Statistika: věda, zabývající se shromažďováím, tříděím a ásledým popisem velkých datových souborů. - Základem statistiky je teorie pravděpodobosti, založeá a popisu

Více

Lineární a adaptivní zpracování dat. 2. SYSTÉMY a jejich popis v časové doméně a frekvenční doméně

Lineární a adaptivní zpracování dat. 2. SYSTÉMY a jejich popis v časové doméně a frekvenční doméně Lineární a adaptivní zpracování dat 2. SYSTÉMY a jejich popis v časové doméně a frekvenční doméně Daniel Schwarz Investice do rozvoje vzdělávání Osnova Opakování: signály a systémy Vlastnosti systémů Systémy

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

Aplikace teorie neuronových sítí

Aplikace teorie neuronových sítí Aplikace teorie euroových sítí Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické iforatiky Mateaticko-fyzikálí fakulta Uiverzity Karlovy v Praze Zpracováí časových vzorů (teporal processig) Stadardí algoritus

Více

STATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson

STATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson STATISTIKA Statistika se těší pochybému vyzameáí tím, že je ejvíce epochopeým vědím oborem. H. Leviso Charakterizace statistického souboru Statistický soubor Prvek souboru Zak prvku kvatitativí teplota,

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

Lineární a adaptivní zpracování dat. 1. ÚVOD: SIGNÁLY a SYSTÉMY

Lineární a adaptivní zpracování dat. 1. ÚVOD: SIGNÁLY a SYSTÉMY Lineární a adaptivní zpracování dat 1. ÚVOD: SIGNÁLY a SYSTÉMY Daniel Schwarz Investice do rozvoje vzdělávání Osnova Úvodní informace o předmětu Signály, časové řady klasifikace, příklady, vlastnosti Vzorkovací

Více

Fourierova transformace ve zpracování obrazů

Fourierova transformace ve zpracování obrazů Fourierova trasformace ve zpracováí obrazů Jea Baptiste Joseph Fourier 768-83 6. předáška předmětu Zpracováí obrazů Martia Mudrová 24 Motivace Proč používat Fourierovu trasformaci? základí matematický

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

3 - Póly, nuly a odezvy

3 - Póly, nuly a odezvy 3 - Póly, uly a odezvy Michael Šebek Automatické řízeí 5 3--5 Automatické řízeí - Kyberetika a robotika Póly přeosu jsou kořey jmeovatele pro gs () = bs () as () jsou to komplexí čísla si: as ( i) = pokud

Více

Příklady k přednášce 12 - Frekvenční metody

Příklady k přednášce 12 - Frekvenční metody Příklady k předášce 1 - Frekvečí metody Michael Šebek Automatické řízeí 018 8-3-18 Frekvečí charakteristika OL a mez stability CL Pro esoudělý OL přeos Ls () platí: 1) Je-li s C pól CL, pak 1 + Ls () =

Více

procesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze

procesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze limití Náhodé limití Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Uiverzita Karlova v Praze email: praskova@karli.mff.cui.cz 9.4.-22.4. 200 limití Outlie limití limití efiice: Řekeme, že stacioárí

Více

1. Základy měření neelektrických veličin

1. Základy měření neelektrických veličin . Základy měřeí eelektrických veliči.. Měřicí řetězec Měřicí řetězec (měřicí soustava) je soubor měřicích čleů (jedotek) účelě uspořádaých tak, aby bylo ožě split požadovaý úkol měřeí, tj. získat iformaci

Více

Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací

Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací 3. Náhodý výběr Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých realizací

Více

Lineární a adaptivní zpracování dat. 3. SYSTÉMY a jejich popis ve frekvenční oblasti

Lineární a adaptivní zpracování dat. 3. SYSTÉMY a jejich popis ve frekvenční oblasti Lineární a adaptivní zpracování dat 3. SYSTÉMY a jejich popis ve frekvenční oblasti Daniel Schwarz Osnova Opakování: systémy a jejich popis v časové oblasti Fourierovy řady Frekvenční charakteristika systémů

Více

Statistika pro metrologii

Statistika pro metrologii Statistika pro metrologii T. Rössler Teto projekt je spolufiacová Evropským sociálím fodem a státím rozpočtem České republiky v rámci projektu Vzděláváí výzkumých pracovíků v Regioálím cetru pokročilých

Více

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

EKONOMETRIE 9. přednáška Zobecněný lineární regresní model

EKONOMETRIE 9. přednáška Zobecněný lineární regresní model EKONOMETRIE 9. předáška Zobecěý lieárí regresí model Porušeí základích podmíek klasického modelu Metoda zobecěých emeších čtverců Jestliže sou porušey ěkteré podmíky klasického modelu. E(u),. E (uu`) σ

Více

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic Iteračí metody řešeí soustav lieárích rovic Matice je: diagoálě domiatí právě tehdy, když pozitivě defiití (symetrická matice) právě tehdy, když pro x platí x, Ax a ij Tyto vlastosti budou důležité pro

Více

Příklady k přednášce 9 - Zpětná vazba

Příklady k přednášce 9 - Zpětná vazba Příklady k předášce 9 - Zpětá vazba Michael Šebek Automatické řízeí 205 6--5 Příklad: Přibližá iverze tak průřezu s výškou hladiy y(t), přítokem u(t) a odtokem dy() t dt + 2 yt () = ut () Cíl řízeí: sledovat

Více

Analýza a zpracování signálů. 3. Číselné řady, jejich vlastnosti a základní operace, náhodné signály

Analýza a zpracování signálů. 3. Číselné řady, jejich vlastnosti a základní operace, náhodné signály Aalýza a zpracováí sigálů 3. Číselé řady, jejich vlastosti a základí operace, áhodé sigály Diskrétí sigál fukce ezávislé proměé.!!! Pozor!!!! : sigál eí defiová mezi dvěma ásledujícími vzorky a eí tam

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

IAJCE Přednáška č. 12

IAJCE Přednáška č. 12 Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž

Více

Lineární a adaptivní zpracování dat. 2. SYSTÉMY a jejich popis v časové doméně

Lineární a adaptivní zpracování dat. 2. SYSTÉMY a jejich popis v časové doméně Lineární a adaptivní zpracování dat 2. SYSTÉMY a jejich popis v časové doméně Daniel Schwarz Investice do rozvoje vzdělávání Osnova Opakování: signály Systémy: definice, několik příkladů Vlastnosti systémů

Více

Lineární a adaptivní zpracování dat. 1. ÚVOD: SIGNÁLY, ČASOVÉ ŘADY a SYSTÉMY

Lineární a adaptivní zpracování dat. 1. ÚVOD: SIGNÁLY, ČASOVÉ ŘADY a SYSTÉMY Lineární a adaptivní zpracování dat 1. ÚVOD: SIGNÁLY, ČASOVÉ ŘADY a SYSTÉMY Daniel Schwarz Investice do rozvoje vzdělávání Osnova Úvodní informace o předmětu Signály, časové řady klasifikace, příklady,

Více

Fourierova transformace ve zpracování obrazů

Fourierova transformace ve zpracování obrazů Jea Baptiste Joseph Fourier 768-83 Fourierova trasforace ve zpracováí obrazů 6. předáška předětu Zpracováí obrazů Martia Mudrová 24 Motivace Proč používat Fourierovu trasforaci? základí ateatický ástroj

Více

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU)

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) Základy teorie pravděpodobosti měřeí chyba měřeí Provádíme kvalifikovaý odhad áhodá systematická výsledek ejistota výsledku Základy teorie pravděpodobosti

Více

Lineární a adaptivní zpracování dat. 1. ÚVOD: SIGNÁLY, ČASOVÉ ŘADY a SYSTÉMY

Lineární a adaptivní zpracování dat. 1. ÚVOD: SIGNÁLY, ČASOVÉ ŘADY a SYSTÉMY Lineární a adaptivní zpracování dat 1. ÚVOD: SIGNÁLY, ČASOVÉ ŘADY a SYSTÉMY Daniel Schwarz Investice do rozvoje vzdělávání Osnova Úvodní informace o předmětu Signály, časové řady klasifikace, příklady,

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a) Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a

Více

Měřící technika - MT úvod

Měřící technika - MT úvod Měřící techika - MT úvod Historie Už Galileo Galilei zavádí vědecký přístup k měřeí. Jeho výrok Měřit vše, co je měřitelé a co eí měřitelým učiit platí stále. - jedotá soustava jedotek fyz. veliči - símače

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

13 Popisná statistika

13 Popisná statistika 13 Popisá statistika 13.1 Jedorozměrý statistický soubor Statistický soubor je možia všech prvků, které jsou předmětem statistického zkoumáí. Každý z prvků je statistickou jedotkou. Prvky tvořící statistický

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo

Více

Přijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení

Přijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení Přijímací řízeí akademický rok 0/0 Kompletí zěí testových otázek matematické myšleí Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď. Které číslo doplíte místo otazíku? 6 8 8 6?.

Více

Pravděpodobnostní modely

Pravděpodobnostní modely Pravděpodobostí modely Meu: QCEpert Pravděpodobostí modely Modul hledá metodou maimálí věrohodosti (MLE Maimum Likelihood Estimate) statistický model (rozděleí) který ejlépe popisuje data. Je přitom k

Více

Závislost slovních znaků

Závislost slovních znaků Závislost slovích zaků Závislost slovích (kvalitativích) zaků Obměy slovího zaku Alterativí zaky Možé zaky Tříděí věcé sloví řady: seřazeí obmě je subjektiví záležitostí (podle abecedy), možé i objektiví

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy.

11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy. 11. předáška 16. prosice 009 Úvod do komplexí aalýzy. Tři závěrečé předášky předmětu Matematická aalýza III (NMAI056) jsou věováy úvodu do komplexí aalýzy. Což je adeseá formulace eboť časový rozsah ám

Více

K čemu slouží regrese?

K čemu slouží regrese? REGRESE K čemu slouží regrese? C = Ca + c. Y C = 00 + 0,6. Y + e Budeme zjišťovat jak jeda proměá (ezávislá) Ovlivňuje jiou proměou (závislou) C Y 950 1000 910 150 1130 1500 1150 1750 1475 000 1550 50

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 6. KAPITOLA CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTA 6.11.2017 Opakováí: Čebyševova erovost příklad Pravděpodobost vyrobeí zmetku je 0,5. Odhaděte pravděpodobost,

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. 1) Pojem funkce, graf funkce

DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. 1) Pojem funkce, graf funkce DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem ukce, gra ukce De: Fukcí reálé proměé azýváme pravidlo, které každému reálému číslu D přiřazuje právě jedo reálé číslo y H Toto pravidlo začíme ejčastěji

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem. z k k!. ( ) e z = k=0

I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem. z k k!. ( ) e z = k=0 8. Elemetárí fukce I. Expoeciálí fukce Defiice: Pro komplexí hodoty z defiujeme expoeciálí fukci předpisem ) e z = z k k!. Vlastosti expoeciálí fukce: a) řada ) koverguje absolutě v C; b) pro z = x + jy

Více

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být

Více

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké

Více

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti Pozámky k předmětu Aplikovaá statistika, 8 téma 8 Odhady parametrů rozděleí pravděpodobosti Zaměříme se a odhad středí hodoty a rozptylu a to dvěma způsoby Předpokládejme, že máme áhodý výběr X 1,, X z

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t.

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t. Techická aalýza Techická aalýza z vývoje cey a obchodovaých objemů akcie odvozuje odhad budoucího vývoje cey. Dalšími metodami odhadu vývoje ce akcií jsou apř. fudametálí aalýza (zkoumá podrobě účetictví

Více

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie 1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho

Více

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

NEPARAMETRICKÉ METODY

NEPARAMETRICKÉ METODY NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost

Více

Matematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti

Matematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Ivaa Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n 8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Opakováí z miulé hodiy: 8 Hodoty poslouposti + se pro blížící se k ekoeču blíží k a to tak že mezi = posloupostí a číslem eexistuje žádá mezera říkáme že

Více

4. Návrh číslicových filtrů s nekonečnou impulzní odezvou

4. Návrh číslicových filtrů s nekonečnou impulzní odezvou P.Skalický- Digitálí filtrace a sigálové procesory Praha - /995 4. Návrh číslicových filtrů s ekoečou impulzí odezvou Návrh číslicových filtrů můžeme rozdělit do těchto tří fází:. Určeí vlastostí avrhovaého

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

KONEČNĚ ROZDĚLENÁ ZPOŽDĚNÍ. POLYNOMICKY ROZDĚLENÉ ZPOŽDĚNÍ.

KONEČNĚ ROZDĚLENÁ ZPOŽDĚNÍ. POLYNOMICKY ROZDĚLENÉ ZPOŽDĚNÍ. KONEČNĚ ROZDĚLENÁ ZPOŽDĚNÍ. POLYNOMICKY ROZDĚLENÉ ZPOŽDĚNÍ. Teto text je zaměře a modely koečě zpožděí, podroběji je pak rozebráo polyomicky rozděleé zpožděí. Občas bývá rozumé zahrout do modelu eje současé,

Více

Elementární zpracování statistického souboru

Elementární zpracování statistického souboru Elemetárí zpracováí statistického souboru Obsah kapitoly 4. Elemetárí statistické zpracováí - parametrizace vhodými empirickými parametry Studijí cíle Naučit se výsledky měřeí parametrizovat vhodými empirickými

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a itervalové odhady Nechť X je áhodá proměá, která má distribučí fukci F(x, ϑ). Předpokládejme, že záme tvar distribučí fukce (víme jaké má rozděleí) a ezáme parametr

Více

Diskrétní Fourierova transformace

Diskrétní Fourierova transformace Disrétí Fourierova trasformace Záladí idea trasformace x Trasformace Zpracováí v časové oblasti Zpracováí v trasform. oblasti x Iverzí Trasformace Spojitá Fourierova trasformace f j πft x t e dt Disrétí

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

Abstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat

Abstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat Komplexí čísla Hoza Krejčí Abstrakt. Co jsou to komplexí čísla? K čemu se používají? Dá se s imi dělat ěco cool? Na tyto a další otázky se a předášce/v příspěvku pokusíme odpovědět. Proč vzikla komplexí

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

I. TAYLORŮV POLYNOM ( 1

I. TAYLORŮV POLYNOM ( 1 I. TAYLORŮV POLYNOM Připomeňme si defiice elemetárích fukcí: a si( = 2+ = ( (2+! b cos( = 2 = ( (2! c e = =!. Dokažte, že Taylorův polyom k-tého řádu v bodě pro fukce f je rove polyomu P : (tyto výsledky

Více