Analýza a zpracování signálů. 4. Diskrétní systémy,výpočet impulsní odezvy, konvoluce, korelace
|
|
- Dagmar Sedláková
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Aalýza a zpracováí sigálů 4. Diskrétí systémy,výpočet impulsí odezvy, kovoluce, korelace
2 Diskrétí systémy Diskrétí sytém - zpracovává časově diskrétí vstupí sigál ] a produkuje časově diskrétí výstupí sigál y]. ] S y] Kategorie diskrétích systémů: lieárí/elieárí - systém, který splňuje ásledující rovici je lieárí, A B S A y B y 2 2 pokud eí rovice splěa, je systém elieárí.
3 časově ivariatí/variatí : - pokud odezva systému závisí pouze a tvaru vstupího sigálu a e a čase, kdy je a vstup přivede sigál, je systém časově ivariatí m S y m Systémy, který esplňují předchozí vlastost je časově variatí. (apř. adaptiví filtry) Lieárí časově ivariatí systém (LTI) splňuje zároveň podmíku liearity a časové ivariace lze ověřit ásledujícím testem:. Diferečí rovice popisující LTI systém, musí mít kostatí koeficiety a esmí obsahovat kostatí termy. 2. Pokud se v termech vyskytují součiy vstupů s výstupu, popř. rovice obsahuje kostatí termy systém je elieárí. 3. Pokud jsou koeficiety fukcí ebo je ásobea proměá uvitř závorek systém je časově variatí.
4 Př.: a)y]-2y-]=4] LTI b)y]-2y-]=] pouze lieárí c)y]-2y 2 -]=2]-2-] elieárí, ale TI d)y]-2y-]=2 ] ] elieárí, ale TI e)y]-4y]y2]=] elieárí, časově variatí
5 Kauzalita systému u kauzálího systému y] ezávisí a budoucích hodotách ], tj. v rovici se evyskytují termy jako +2] apod., pokud se vyskytují je systém ekauzálí. Typicky kauzálí jsou systémy, které pracují v reálém čase. je kauzálí pro K 0 je kauzálí pro K L Pokud je systém popsá přeosovou fukcí ˇ pak je kauzálí, pokud PQ. ] ] ] ] ] ] ] ] 0 0 L B y A L A y L y K B N y A A y y L N Q Q Q Q P P P P A A A z z A B B B z z B z H 0 0 ) (
6 Statický a dyamický systém pokud odezva systému v čase = 0 závisí pouze a hodotě vstupu v čase = 0 systém je statický, jiak je dyamický. y ] k ] Příklady: y ] 2] ekauzálí, dyamický y 4] y 3] 2] kauzálí, dyamický y ] 2 ] kauzálí, statický kauzálí, dyamický ekauzálí, dyamický y ] 2( ) ] kauzálí, statický, časově variatí
7 Základí stavebí bloky diskrétích systémů Zpožděí: Posu: ] z - -] ] z +] Násobeí: Větveí sigálu: ] A A] ] ] Násobeí sigálů: Součet sigálů: ] ] X y]= ]* 2 ] ] + y]= ]+ 2 ] 2 ] 2 ]
8 Implemetace diskrétích systémů Struktury pro realizaci LTI systému Uvažujme diferečí rovici. řádu y a y b b Přímá forma struktura I 0! Využívá 2 zpožďovací čley jede ve vstupí větvi, druhý ve větvi výstupí () b v() y() z - z - b -a
9 Převod mezi prví a druhou přímou formou Přímá forma I y aw b w b w w o Přímá forma II Přímá forma II se používá v praktických aplikacích - je efektivější, obsahuje pouze jediou zpožďovací liku
10 Převod z přímé formy I do přímé formy II pro diferečí rovici N-tého řádu
11 Příklad: Nakreslete blokové schéma ásledujících systémů: a) y]-0.6y-]=] b) y]-/6y-]-/6y-2]=4]
12 Příklad: c) Určete diferečí rovici systému z ásledujícího obrázku]
13 Aalýza diskrétích systémů V časové oblasti je možé aalyzovat diskrétí systémy ásledujícími modely: Diferečí rovicí - teto model lze aplikovat a lieárí, elieárí a časově variatí systémy. Pro LTI systémy se využívá pricipu superpozice Impulzí odezvou popisuje odezvu ustáleého LTI systému. Výstup systému je možé popsat jako kovolučí součet vstupu a impulsí odezvy h]. Stavové rovice a stavové proměé lze použít pro systém - tého řádu, který popisuje systémem diferečích rovic prvého řádu tzv. stavové rovice. Teto popis je vhodý pro složité a elieárí systémy
14 Číslicové systémy popsaé diferečí rovicí Obecý popis rekurziví filtr N-tého řádu autoregressive movig average (ARMA) filter y A y ] A y N] B B B M N 0 Nerekurziví filtr (FIR) klouzavý průměr movig average (MA) B B B M y M 0 M rekurziví IIR filtr N-tého řádu autoregressive (AR) filter y A y ] AN y N] B0
15 Výpočet odezvy y] diskrétího systému a vstup ] pro erekurziví systémy jedoduché počítáme vážeý součet vstupích hodot pro rekurziví filtr musíme řešit diferečí rovici N-tého řádu - musíme zát počátečí podmíky y-], y-2],, y-n] Příklad: Rekurzíví výpočet diferečí rovice a) y]-a y-]=b 0 u] y-]=0 b) y]-a y-]=b 0 u] y-]=0 c) y]-y-]=]--3] ]=], y-]=0
16
17
18
19 Řešeí rovice: Rekurzivě přímočaré řešeí, postupě počítáme hodoty y0], y], Formálí řešeí diferečí rovice y A y ] AN y N] Řešeí rovice lze rozdělit a dvě části řešeí homogeí rovice y h pravá straa rovice je ulová partikulárí řešeí řešíme rovici s pravou straou Homogeí rovice y A y ] A y N] 0 N Řešeím je lieárí kombiace epoeciálích fukcí, jejichž základy odpovídají kořeům charakteristické rovice z N A z A z A N 2 z 2 A 2 z N 2 A N z N A N 0 0
20 Charakteristická rovice má N kořeů z,z 2,,z N pro reálé růzé kořey, má řešeí diferečí rovice tvar: y H K z K 2 z 2 K N z N pro ásobé a kompleí kořey se výsledek modifikuje podle tabulky 3.2 kostaty K, K 2,, K N se určí a základě počátečích podmíek Partikulárí řešeí y P závisí a tvaru vstupího sigálu tabulka 3. Celková odezva je pak dáa součtem y H +y P pro stabilí systémy určuje y H přechodový stav pro systém s harmoickým vstupem určuje y P ustáleý stav, který je také harmoický
21 Řešeí homogeí rovice
22 Partikulárí řešeí
23 Příklady:. Určete odezvu systému y] z ásledujícího obrázku a vstup ]=(0.4), 0, pro počátečí podmíky y-]=0. 2. Určete odezvu systému y]-0.5y-]=5cos(0.5), 0, y-]=4 3. Určete odezvu systému y]-0.5y-]=3(0.5), 0, y-]=2 4. Určete odezvu systému y] z ásledujícího obrázku a vstup ]=u], pro počátečí podmíky y-]=, y-2]=2
24 Zero-Iput, Zero-State Respose Odezvu y(t) LTI systému je možé zapsat jako součet ZSR (y zsr (t) předpokládáme ulové počátečí podmíky) a ZIR (y zir (t) předpokládáme ulový vstup) Řešeí diferečí rovice: y A y ] AN y N] ) Určíme ZSR při řešeí uvažujeme ulové počátečí podmíky y A y ] AN y N] 2) Určíme ZIR při řešeí uvažujeme zadaé počátečí podmíky y A y ] A y N] 0 N 3) Výsledé řešeí má tvar y]=y ZSR ]+y ZIR ]
25 Řešeí obecé diferečí rovice s využitím Zsr a Zir y A y ] A y N] B B B M N 0 M. Nalezeme Zir uvažujeme ulovou pravou strau a zadaé počátečí podmíky (je shodé s řešeím homogeí rovice) 2. Nalezeme ZSR pro rovici s jedoduchým vstupem y zsr0, uvažujeme ulové počátečí podmíky 3. Superpozicí dostaeme y y A y ] AN y N] y B y B y B y M Zir 0 Zsr0 Zsr 0 M Zsr 0
26 . Určete ZIR a ZSRa celkovou odezvu systému y]-0.6y-]=(0.4), 0, y-]=0
27 Impulsí odezva diskrétího systému Impulsí odezva h] ustáleého LTI systému je odezva a jedotkový impuls ] Výpočet impulsí odezvy:. Pro erekurziví (FIR) filtr délky M+ popsaý rovicí je impulsí odezva h] M+ prvková řada, lze zapsat jako ] ] ] 0 M B B B y M M M B B B B h M B B B h,,,, 2 0 0
28 2. Impulsí odezva systému popsaého diferečí rovicí s jedím vstupem y A y ] AN y N] Abychom alezli impulzí odezvu h], řešíme rovici h A h ] AN h N] Protože vstup ] je ulový pro >0, postačí ajít řešeí homogeí rovice pro počátečí podmíku h0]=. (pro rovice vyšších řádů jsou ostatí podmíky h-]= h-2] =0 h A h ] A h N] 0, h0 N
29 3. Impulsí odezva systému popsaého diferečí rovicí s obecým vstupem y Ay ] A y N] B B B M N 0 M Postup: a) Nalezeme řešeí diferečí rovice s jedím vstupem h 0 ](viz. bod 2) b) Použijeme superpozicia určíme celkovou impulsí odezvu h] jako B h B h B h M h M 0
30 . Určete impulzí odezvu systému, který je popsá diferečí rovicí y]-0.6y-]=], 2. Určete impulzí odezvu systému 2. řádu, který je popsá diferečí rovicí y]- /6y-]- /6y-2]=], 3. Určete impulzí odezvu systém;, který je popsáy diferečími rovicemi y]-0.6y-]=4], y]-0.6y-]=3-] ],
31 Diskrétí kovoluce může být provdea buď v časové ebo frekvečí oblasti používá se k určeí impulsí odezvy ustáleého LTI systému je založea a pricipu liearity a časové ivariace Předpokládejme, že záme impulsí odezvu systému h]. Je-li a vstupu posloupost k k k dostaeme, a výstupu operace kovoluce y k h k h k výstupí odezvu systému je možé popsat jako kovoluci vstupu a impulsí odezvy systému
32 Vlastosti kovoluce Vlastosti jsou založey a liearitě a časové ivariaci. Jsou-li ] a h] posuuté o 0 vzorků, pak je o stejý počet vzorků posuut i výstup 2. Vztah mezi součtem vzorků ], y], h] 3. Pro kauzálí systém h]=0, a kauzálí sigál ]=0, pro <0, je výstup y] také kauzálí y h h k k k k h k h k h h y 0 0 h y
33 Matematicky je kovoluce: komutativí asociativí distributiví a b b a c b a c b a a b a b a b a
34 Kovoluce koečé řady V prai ás obvykle zajímají koečé poslouposti. Kovoluce dvou koečých posloupostí je opět koečá posloupost a platí:. Počátečí ide y] je součet počátečích ideů ] a h], 2. kocový ide y] je součet kocových ideů ] a h], 3. délka L y poslouposti y] je L y =L +L h - Metody výpočtu kovoluce Metoda sčítáí po sloupcích Postup:. Zapsat posloupost ] pod h], 2. každým vzorkem ] ásobit h], zapsat výsledou posloupost pod předchozí (začátek poslouposti je v pozici vzorku) 3. Sečíst sloupce
35 Př: h]={,2,2,3 } ]={ 2,-,3 } h] ] y] y]={2,3,5,0,3,9} = 2δ]+3δ-]+5 δ-2]+0 δ-3]+3 δ-4]+9 δ-5]
36 Metoda slidig-strip Postup:. Překlopíme ] a posueme vzorky tak, aby posledí vzorek byl proti prvímu vzorku h] 2. Posouváme vzorky ] doprava, ásobíme protilehlé vzorky ] a h] a sčítáme Př. h]={ 2,5,0,4 } ]={ 4,,3 } y0] = 4*2=8 y] = 2*+4*5=22 y2]=3*2+*5+4*0= y3] = 3*5+*0+4*4=3 y4] = 3*0+*4=4 y5] = 3*4=2 y]={ 8,22,,3,4,2 }
37 Metoda ásobeí koeficietů polyomu Pricip: Diskrétí kovoluce dvou řad koečé délky ] a h] je ekvivaletí ásobeí dvou polyomů, jejichž koeficiety jsou popsáy polyomy ] a h] Př. h]={2,5,0,4} ]={4,,3} hz]=2z 3 +5z 2 +0z+4 z]=4z 2 +z+3 yz]=8z 5 +22z 4 +z 3 +3z 2 +4z+2 y]={ 8,22,,3,4,2} Impulsí odezva systémů spojeých v kaskádě ] y ] h ] h 2 ] y] h]=h ]*h 2 ] y ]= ]*h ] y 2 ]=y ]*h 2 ]=(]* h ])* h 2 ]=]*(h ]*h 2 ]) obecě : h]=h ]*h 2 ]*h 3 ]* *h ]
38 Impulsí odezva systémů spojeých paralelě ] h ] h 2 ] y y 2 y] h]=h ]+h 2 ] y]=y ]+y 2 ]=]*h ]+]*h 2 ]=]*(h ]+h 2 ]) Obecě : h]= h ]+h 2 ]+h 3 ]+ +h ]
39 Odezva systému a periodický vstup odezva diskrétího LTI systému a periodický vstup s periodou N vzorků je také periodická se stejou periodou Př. ]={,2,-3,,2,-3,,2,-3, } h]={,} ] h] y] tehle vzorek emá správou hodotu y] je periodické s periodou 3 y] odpovídá kovoluci, kromě hodoty prvího vzorku - výpočet lze modifikovat počítáme kovoluci přes jediou periodu a posledí vzorek přičteme k prvímu
40 Př. ]={,2,-3} h]={,} ] 2-3 h] y]={-2, 3, -} jeda perioda výsledku
41 Periodická kovoluce jedá se o kovoluci mezi dvěma periodickými sigály s periodou N, výsledkem je periodický sigál se stejou periodou p ]={,0,, } h p ]={,2,3,} - perioda N=4.Krok výpočet lieárí kovoluce 2. Krok výsledek předchozího kroku rozdělíme a N-tice a N-tice sečteme
42 Periodickou kovoluci je možé počítat také jako maticové ásobeí vytvoří se specíálí matice C (circulat matri), která obsahuje v řádcích posuuté verze sigálu. Touto maticí se pak ásobí vektor h] T a výsledkem je sloupcový vektor, ve kterém jedotlivé prvky odpovídají prkům periodické kovoluce. Př. p ]={,0,2 } h p ]={,2,3}
43 Dekovoluce (idetifikace systému) Záme-li impulsí odezvu systému h], lze určit výstup y]=h]*]. Pokud záme ] a y] jak určit h]? dekovolucí. Výpočet dekovoluce:. Rekurzíví výpočet pro =0 k k k h h y 0 ] ] ] ] ] 0 ] ] ] 0] ] ] ] 0] ] ] ] ] 0] 0] 0] 0] 0] 0] pro k k h y h k k h h k k h y y h h y k k k Potřebujeme vyhodotit M-N+ bodů h], kde M,N, jsou délky y a. Tato metoda se používá zřídka - mohou být problémy se šumem.
44 2. Děleí polyomů - vstupy a výstupy chápeme jako polyomy řádu M, N, impulzí odezvu hw] určíme jako děleí polyomů yw]/w] Příklad: ]={2,5,0,4} y]={8,22,,3,4,2} Určit h] rekurzíví metodou a metodou děleí polyomů.
45 Diskrétí korelace Korelace vyjadřuje míru podobosti mezi dvěma sigály. Diskrétí vzájemá korelace mezi ] a h] je defiováa jako: Vztah mezi kovolucí a korelací: h r N N N h h r h h r h r h h
46 Autokorelace je defiováa jako vzájemá korelace téhož sigálu. Je to sudá fukce s maimem v ń=0 r r r r r 0 Autokorelace se často využívá jako metoda detekce sigálu, který je skryt v šumu. Šum je ekorelovaý se sigálem -> pokud je ve zkoumaých datech přítome užitečý sigál výsledá autokorelace vykazuje ostrý vrchol v ń=0. Periodická diskrétí korelace/autokorelace pro pereodické řady se stejou periodou N je defiováa jako: Postup výpočtu periodické korelace/autkorelace je obdobý jako u periodické kovoluce
47 Korelace se často využívá jako metoda detekce periodicity sigálu poškozeého šumem, popř. v radarové techice pro alezeí cíle apod. Detekce cíle: Radar vyslílá dotazovací sigál ] směrem k cíli. Sigál odražeý od cíle se vrací zpět a radar přijímá sigál s]=-d]+p], kde D je zpžděí sigálu (je úměré vzdáleosti cíle od radaru) a p] je šum. Korelačí přijímač vyhledává v s] dotazovací sigál ] a určuje zpožděí. Určeí periodicity zašuměého sigálu a rekostrukce sigálu: Periodický sigál ] je poškoze šumem a my máme k dispozici pouze zašuměou verzi is]=]+p], kde p] je šum, který obvykle ekoreluje se sigálem. Postup při rekostrukci:. Nejprve určíme periodu N sigálu s] - v periodické autokorelaci sigálu s] se objevují vrcholy v ásobcích periody. 2. Sigál ] určíme jako periodickou vzájemou autokorelaci s] a řady impulsů i] s periodou N tj. i]=(-kn)
48 Detekce cíle
49 Rekostrukce zašuměého periodického sigálu
50 Iverzí systémy Používají se ke korekci poruch, které mohou vzikat apř. během měřeí sigálu. ] y] ] Systém Iverzí systém K alezeí iverzího systémy stačí jedoduše zaměit vstupy a výstupy v diferečí rovici. Impulzí odezva sytému se pak určí z alezeé diferečí rovice. Př. Systém: y]+2y-] = 3]+4-] Iverzí systém: 3y]+4y-] = ]+2-] Aby byl systém ivertibilí musí růzým vstupům odpovídat růzé výstupy (mezi vstupy a výstupy je prosté zobrazeí). Např. systém y]=cos(]) eí ivertibilí.
3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie
3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se
Více1 Základy Z-transformace. pro aplikace v oblasti
Základy Z-trasformace pro aplikace v oblasti číslicového zpracováí sigálů Petr Pollák 9. říja 29 Základy Z-trasformace Teto stručý text slouží k připomeutí základích vlastostí Z-trasformace s jejími aplikacemi
VíceInvestice do rozvoje vzdělávání
Lieárí systémy a modely časových řad Daiel Schwarz Ivestice do rozvoje vzděláváí Cíl, motivace Popis a idetifikace systémů Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses Cíl,
Více11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy.
11. předáška 16. prosice 009 Úvod do komplexí aalýzy. Tři závěrečé předášky předmětu Matematická aalýza III (NMAI056) jsou věováy úvodu do komplexí aalýzy. Což je adeseá formulace eboť časový rozsah ám
VíceAnalýza a zpracování signálů. 3. Číselné řady, jejich vlastnosti a základní operace, náhodné signály
Aalýza a zpracováí sigálů 3. Číselé řady, jejich vlastosti a základí operace, áhodé sigály Diskrétí sigál fukce ezávislé proměé.!!! Pozor!!!! : sigáleí defiová mezi dvěma ásledujícími vzorky ( a eí tam
VíceLineární a adaptivní zpracování dat. 8. Modely časových řad I.
Lieárí a adaptiví zpracováí dat 8. Modely časových řad I. Daiel Schwarz Ivestice do rozvoje vzděláváí Cíl, motivace Popis a idetifikace systémů BLACK BOX Cíl, motivace Popis a idetifikace systémů BLACK
Vícezákladním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n
Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky
VíceLineární a adaptivní zpracování dat. 9. Modely časových řad II.
Lieárí a adaptiví zpracováí dat 9. Modely časových řad II. Daiel Schwarz Ivestice do rozvoje vzděláváí Opakováí K čemu je dobré vytvářet modely procesů geerující časové řady? Dekompozice časový řad: jaké
VíceMatematika I, část II
1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího
VíceKomplexní čísla. Definice komplexních čísel
Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují
Více1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE
1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;
VíceSekvenční logické obvody(lso)
Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách
VíceČíslicové filtry. Použití : Analogové x číslicové filtry : Analogové. Číslicové: Separace signálů Restaurace signálů
Číslicová filtrace Použití : Separace sigálů Restaurace sigálů Číslicové filtry Aalogové x číslicové filtry : Aalogové Číslicové: + levé + rychlé + velký dyamický rozsah (v amplitudě i frekveci) - evhodé
VícePříklady k přednášce 9 - Zpětná vazba
Příklady k předášce 9 - Zpětá vazba Michael Šebek Automatické řízeí 205 6--5 Příklad: Přibližá iverze tak průřezu s výškou hladiy y(t), přítokem u(t) a odtokem dy() t dt + 2 yt () = ut () Cíl řízeí: sledovat
VícePOLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde
POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti
Více1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:
1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí
Více6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI
6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat
VíceS polynomy jste se seznámili již v Matematice 1. Připomeňme definici polynomické
5 Itegrace racioálích fukcí 5 Itegrace racioálích fukcí Průvodce studiem V předcházejících kapitolách jsme se aučili počítat eurčité itegrály úpravou a základí itegrály, metodou per partes a substitučí
Více5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu
5 3.3.8 8:44 Josef Herdla lieárí difereciálí rovice -tého řádu 5. Lieárí difereciálí rovice -tého řádu (rovice s ostatími oeficiety) ( ), a,, a (5.) ( ) ( ) y a y a y ay q L[ y] y a y a y a y, q je spojitá
Vícef x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( )
DSM Cv 9 Vytvořující fukce Vytvořující fukcí ekoečé poslouposti a0, a,, a, reálých čísel mííme formálí ekoečou řadu =. f a i= 0 i i Příklady: f = + = + + + + + ) Platí: (biomická věta). To zameá, že fukce
VíceAritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti
8 Aritmetická posloupost, posloupost rostoucí a klesající Poslouposti Posloupost je fukci s defiičím oborem celých kladých čísel - apř.,,,,,... 3 4 5 Jako fukci můžeme také posloupost zobrazit do grafu:
Více2.4. INVERZNÍ MATICE
24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:
Více1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V
Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být
VíceMATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER
MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem
Více6. Posloupnosti a jejich limity, řady
Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme
VíceSIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY (ČASOVÉ ŘADY)
SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY (ČASOVÉ ŘADY) prof. Ig. Jiří Holčík, CSc. holcik@iba.mui.cz, Kameice 3, 4. patro, dv.č.424 INVESTICE Istitut DO biostatistiky ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ a aalýz IV. FREKVENČNÍ TRASFORMACE
Více1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy
1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá
Více23. Mechanické vlnění
3. Mechaické vlěí Mechaické vlěí je děj, při kterém částice pružého prostředí kmitají kolem svých rovovážých poloh a teto kmitavý pohyb se přeáší (postupuje) od jedé částice k druhé vlěí může vzikout pouze
VíceAplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus
Podklady předmětu pro akademický rok 006007 Radim Faraa Obsah Tvorba algoritmů, vlastosti algoritmu. Popis algoritmů, vývojové diagramy, strukturogramy. Hodoceí složitosti algoritmů, vypočitatelost, časová
VíceIterační metody řešení soustav lineárních rovnic
Iteračí metody řešeí soustav lieárích rovic Matice je: diagoálě domiatí právě tehdy, když pozitivě defiití (symetrická matice) právě tehdy, když pro x platí x, Ax a ij Tyto vlastosti budou důležité pro
Vícemnožina všech reálných čísel
/6 FUNKCE Základí pojmy: Fukce sudá a lichá, Iverzí fukce Nepřímá úměrost, Mociá fukce, Epoeciálí fukce a rovice Logaritmus, logaritmická fukce a rovice Opakováí: Defiice fukce, graf fukce Defiičí obor,
Vícen=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1
[M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti
Více3. Sekvenční obvody. b) Minimalizujte budící funkce pomocí Karnaughovy mapy
3.1 Zadáí: 3. Sekvečí obvody 1. Navrhěte a realizujte obvod geerující zadaou sekveci. Postupujte ásledově: a) Vytvořte vývojovou tabulku pro zadaou sekveci b) Miimalizujte budící fukce pomocí Karaughovy
VíceVYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ ÚZKOPÁSMOVÉ FILTRY PRO SIGNÁLY EKG FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ ÚSTAV RADIOELEKTRONIKY
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ ÚSTAV RADIOELEKTRONIKY FACULTY OF ELECTRICAL ENGINEERING AND COMMUNICATION DEPARTMENT OF
VíceZnegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace:
. cvičeí Příklady a matematickou idukci Dokažte:.! . Návody:. + +. + i i i i + + 4. + + + + + + + + Operace s možiami.
VíceObsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...
Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1
Vícedefinované pro jednotlivé řády takto: ) řádu n nazýváme číslo A = det( A) a a a11 a12
Předáška 3: Determiaty Pojem determiatu se prosadil původě v souvislosti s potřebou řešit soustavy lieárích rovic v 8 století (C Maclauri, G Cramer) Teprve později se pojem osamostatil, zjedodušilo se
VíceČíslicové zpracování signálů - spojité a diskrétní signály
Číslicové zpracováí sigálů - spojité a diskrétí sigály f (t) f (t) k 6 5 4 3 t 2 t Obr. Sigál spojitý a kvatovaý f -T 7 6 5 4 3 2 f (t) T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T Obr.2 Diskrétí sigál t -3-2 - 2 3 4 5 6 Obr.4
VíceAplikace teorie neuronových sítí
Aplikace teorie euroových sítí Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické iforatiky Mateaticko-fyzikálí fakulta Uiverzity Karlovy v Praze Zpracováí časových vzorů (teporal processig) Stadardí algoritus
VíceAnalýza a zpracování signálů. 3. Číselné řady, jejich vlastnosti a základní operace, náhodné signály
Aalýza a zpracováí sigálů 3. Číselé řady, jejich vlastosti a základí operace, áhodé sigály Diskrétí sigál fukce ezávislé proměé.!!! Pozor!!!! : sigál eí defiová mezi dvěma ásledujícími vzorky a eí tam
Více1. Základy měření neelektrických veličin
. Základy měřeí eelektrických veliči.. Měřicí řetězec Měřicí řetězec (měřicí soustava) je soubor měřicích čleů (jedotek) účelě uspořádaých tak, aby bylo ožě split požadovaý úkol měřeí, tj. získat iformaci
Více12. N á h o d n ý v ý b ě r
12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých
VíceIAJCE Přednáška č. 12
Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích
VíceDERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM
Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře
Více2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT
2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic
VíceBudeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)
Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a
VíceP2: Statistické zpracování dat
P: Statistické zpracováí dat Úvodem - Statistika: věda, zabývající se shromažďováím, tříděím a ásledým popisem velkých datových souborů. - Základem statistiky je teorie pravděpodobosti, založeá a popisu
Více3. DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE
3 DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Difereciálí rovice (dále je DR) jsou veli důležitou částí ateatické aalýz, protože uožňují řešit celou řadu úloh z fzik a techické prae Občejé difereciálí rovice: rovice, v íž se
VícePřijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení
Přijímací řízeí akademický rok 0/0 Kompletí zěí testových otázek matematické myšleí Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď. Které číslo doplíte místo otazíku? 6 8 8 6?.
VíceFourierova transformace ve zpracování obrazů
Fourierova trasformace ve zpracováí obrazů Jea Baptiste Joseph Fourier 768-83 6. předáška předmětu Zpracováí obrazů Martia Mudrová 24 Motivace Proč používat Fourierovu trasformaci? základí matematický
Více8.2.1 Aritmetická posloupnost
8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž
VíceNMAF063 Matematika pro fyziky III Zkoušková písemná práce 17. ledna 2019
Jméo: Příklad 2 3 Celkem bodů Bodů 0 8 2 30 Získáo 0 Uvažujte posloupost distribucí {f } + = D (R defiovaou jako f (x = ( δ x m, kde δ ( x m začí Diracovu distribuci v bodě m Najděte limitu f = lim + f
VíceAnalytická geometrie
Alytická geometrie Vektory Prmetrické vyjádřeí přímky roviy Obecá rovice droviy Vektorový prostor Nechť jsou dáy ásledující mtemtické objekty: ) ) ) 4) Číselé těleso T. Neprázdá moži V. Zobrzeí Zobrzeí
VícePřijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika
Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo
VíceKapitola 5 - Matice (nad tělesem)
Kapitola 5 - Matice (ad tělesem) 5.. Defiice matice 5... DEFINICE Nechť T je těleso, m, N. Maticí typu m, ad tělesem T rozumíme zobrazeí možiy {, 2,, m} {, 2,, } do T. 5..2. OZNAČENÍ Možiu všech matic
VíceTento materiál vznikl díky Operačnímu programu Praha Adaptabilita CZ.2.17/3.1.00/33254
Evropský sociálí fod Praha & EU: Ivestujeme do vaší budoucosti Teto materiál vzikl díky Operačímu programu Praha Adaptabilita CZ.2.17/3.1.00/33254 Maažerské kvatitativí metody II - předáška č.1 - Dyamické
VíceDIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. 1) Pojem funkce, graf funkce
DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem ukce, gra ukce De: Fukcí reálé proměé azýváme pravidlo, které každému reálému číslu D přiřazuje právě jedo reálé číslo y H Toto pravidlo začíme ejčastěji
Vícea logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n.
Matematická aalýza II předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Semestr letí 2005 6. Nekoečé řady fukcí V šesté kapitole pokračujeme ve studiu ekoečých řad. Nejprve odvozujeme základí tvrzeí o
VíceL A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATED RA F YZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméo TUREČEK Daiel Datum měřeí 8.11.2006 Stud. rok 2006/2007 Ročík 2. Datum odevzdáí 15.11.2006 Stud.
VíceOdezva na obecnou periodickou budící funkci. Iva Petríková Katedra mechaniky, pružnosti a pevnosti
Odezva a obecou periodickou budící fukci Iva Períková Kaedra mechaiky, pružosi a pevosi Obsah Fourierovy řady Odezva a polyharmoickou fukci Odezva a obecou periodickou fukci Odezva a jedokový skok Příklad
Více8.2.1 Aritmetická posloupnost I
8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu
Více1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie
1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho
VíceNMAF063 Matematika pro fyziky III Zkoušková písemná práce 25. ledna x 1 n
Jméo: Příklad 3 Celkem bodů Bodů 8 0 30 Získáo [8 Uvažujte posloupost distribucí f } D R defiovaou jako f [δ kde δ a začí Diracovu distribuci v bodě a Najděte itu δ 0 + δ + této poslouposti aeb spočtěte
VíceP. Girg. 23. listopadu 2012
Řešeé úlohy z MS - díl prví P. Girg 2. listopadu 202 Výpočet ity poslouposti reálých čísel Věta. O algebře it kovergetích posloupostí.) Necht {a } a {b } jsou kovergetí poslouposti reálých čísel a echt
Více1 Trochu o kritériích dělitelnosti
Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak
Více8. Analýza rozptylu.
8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,
VícePosloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b
Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a
VícePřednáška 7: Soustavy lineárních rovnic
Předáška 7: Soustavy lieárích rovic 7.1. Příklad (geometrie v roviě) Rozhoděte o vzájemé poloze přímky p : x y 1 a přímky a) a : x y 3, b) b : 2x 2y 3, c) c :3x 3y 3. Jak víme ze středí školy, lze o vzájemé
Víceprocesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze
limití Náhodé limití Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Uiverzita Karlova v Praze email: praskova@karli.mff.cui.cz 9.4.-22.4. 200 limití Outlie limití limití efiice: Řekeme, že stacioárí
VíceČíselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1
Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet
VíceLineární a adaptivní zpracování dat. 11. Adaptivní filtrace a predikce II.
Lieárí a adaptiví zpracováí dat 11. Adaptiví filtrace a predikce II. Daiel Schwarz Ivestice do rozvoje vzděláváí Popis a idetifikace systémů BLACK BOX Systém/proces geerující data áhodé povahy Istitute
VíceOKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN
Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,
Více3. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE A POSLOUPNOSTI. 3.1 Základní elementární funkce. Nejprve uvedeme základní elementární funkce: KONSTANTNÍ FUNKCE
ELEMENTÁRNÍ FUNKCE A POSLOUPNOSTI Základí elemetárí fukce Nejprve uvedeme základí elemetárí fukce: KONSTANTNÍ FUNKCE Nechť a je reálé číslo Potom kostatí fukcí rozumíme fukce f defiovaou předpisem ( f
VíceStatistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc
Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se
Víceveličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou
1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i
Více5 PŘEDNÁŠKA 5: Jednorozměrný a třírozměrný harmonický oscilátor.
5 PŘEDNÁŠKA 5: Jedorozměrý a třírozměrý harmoický oscilátor. Půjde o spektrum harmoického oscilátoru emá to ic společého se spektrem atomu ebo se spektrálími čarami atomu. Liší se to právě poteciálem!
VíceSpojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné
Spojitost a limita fukcí jedé reálé proměé Pozámka Vyšetřeí spojitosti fukce je možo podle defiice převést a výpočet limity V dalším se proto soustředíme je problém výpočtu limit Pozámka Limitu fukce v
VíceDETEKCE UŽITEČNÉHO SIGNÁLU V APLIKACI HARMONICKÉHO RADARU S VYUŽITÍM MATLAB
DETEKCE UŽITEČÉHO SIGÁLU V APLIKACI HARMOICKÉHO RADARU S VYUŽITÍM MATLAB R.. Pavlík, V. Poláček VOP-6 Šterberk, s.p., divize VTÚO Bro, Veslařská 3, 637 Bro E-mail: pavlik@vtuo.cz, polacek@vtuo.cz Úvod
VíceIterační výpočty projekt č. 2
Dokumetace k projektu pro předměty IZP a IUS Iteračí výpočty projekt č. 5..007 Autor: Václav Uhlíř, xuhlir04@stud.fit.vutbr.cz Fakulta Iformačích Techologii Vysoké Učeí Techické v Brě Obsah. Úvodí defiice.....
VícePro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.).
STATISTIKA Statistické šetřeí Proveďte a vyhodoťte statistické šetřeí:. Zvolte si statistický soubor. 2. Zvolte si určitý zak (zaky), které budete vyhodocovat. 3. Určete absolutí a relativí četosti zaků,
VíceFourierova transformace ve zpracování obrazů
Jea Baptiste Joseph Fourier 768-83 Fourierova trasforace ve zpracováí obrazů 6. předáška předětu Zpracováí obrazů Martia Mudrová 24 Motivace Proč používat Fourierovu trasforaci? základí ateatický ástroj
VíceDiskrétní Fourierova transformace
Disrétí Fourierova trasformace Záladí idea trasformace x Trasformace Zpracováí v časové oblasti Zpracováí v trasform. oblasti x Iverzí Trasformace Spojitá Fourierova trasformace f j πft x t e dt Disrétí
Více7.2.4 Násobení vektoru číslem
7..4 Násobeí vektor číslem Předpoklady: 703 Tetokrát začeme hed defiicí. Násobek lového vektor číslem k je lový vektor. Násobek elového vektor = B Ačíslem k je vektor C A, přičemž C je bod, pro který platí:
Více7. Analytická geometrie
7. Aaltická geoetrie Studijí tet 7. Aaltická geoetrie A. Příka v roviě ϕ s A s ϕ s 2 s 1 B p s ϕ = (s1, s 2 ) sěrový vektor přík p orálový vektor přík p sěrový úhel přík p k = tgϕ = s 2 s 1 sěrice příkp
Více8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I
8.. Rekuretí zadáí poslouposti I Předpoklady: 80, 80 Pedagogická pozámka: Podle mých zkušeostí je pro studety pochopitelější zavádět rekuretí posloupost takto (sado kotrolovatelou ukázkou), ež dosazováím
VíceZávislost slovních znaků
Závislost slovích zaků Závislost slovích (kvalitativích) zaků Obměy slovího zaku Alterativí zaky Možé zaky Tříděí věcé sloví řady: seřazeí obmě je subjektiví záležitostí (podle abecedy), možé i objektiví
VíceAbstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat
Komplexí čísla Hoza Krejčí Abstrakt. Co jsou to komplexí čísla? K čemu se používají? Dá se s imi dělat ěco cool? Na tyto a další otázky se a předášce/v příspěvku pokusíme odpovědět. Proč vzikla komplexí
Více11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel
KAPITOLA : Číselé řdy MA-8:P.] Ozčeí: R {, +} R R C {} C rozšířeá komplexí rovi evlstí hodot, číslo, bod U ε {x C x < ε } pro C, ε > 0 U K {x C x > K } pro K 0 defiujeme pro C: ±, je pro 0, edefiujeme:
Více(3n + 1) 3n Příklady pro samostatnou práci
... 4. 5. 6. 0 0 0 a q koverguje pro q < geometrická řada diverguje harmoická řada koverguje srovejte s teleskopickou řadou + + utá podmíka kovergece + 4 + + 7 ití srovávací kritérium, srováí s ití podílové
Víceje číselná posloupnost. Pro všechna n položme s n = ak. Posloupnost
Číselé řady Defiice (Posloupost částečých součtů číselé řady). Nechť (a ) =1 je číselá posloupost. Pro všecha položme s = ak. Posloupost ( s ) azýváme posloupost částečých součtů řady. Defiice (Součet
Více= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f
D E R I V A C E F U N KCE Deiice. (derivace Buď ukce,!. Eistuje-li limitu derivací ukce v bodě a začíme ji (. lim ( + lim Deiice. (teča a ormála Přímku o rovici y ( v bodě, přímku o rovici y ( (, kde (
VíceU klasifikace podle minimální vzdálenosti je nutno zvolit:
.3. Klasifikace podle miimálí vzdáleosti Tato podkapitola je věováa popisu podstaty klasifikace podle miimálí vzdáleosti, jež úzce souvisí s klasifikací pomocí etaloů klasifikačích tříd. Představíme si
Více4EK311 Operační výzkum. 4. Distribuční úlohy LP část 2
4EK311 Operačí výzkum 4. Distribučí úlohy LP část 2 4.1 Dopraví problém obecý model miimalizovat za podmíek: m z = c ij x ij i=1 j=1 j=1 m i=1 x ij = a i, i = 1, 2,, m x ij = b j, j = 1, 2,, x ij 0, i
VíceGeometrická optika. Zákon odrazu a lomu světla
Geometrická optika Je auka o optickém zobrazováí. Je vybudováa a 4 zákoech, které vyplyuly z pozorováí a ke kterým epotřebujeme zalosti o podstatě světla: ) přímočaré šířeí světla (paprsky) ) ezávislost
Více8.1.2 Vzorec pro n-tý člen
8 Vzorec pro -tý čle Předpolady: 80 Pedagogicá pozáma: Přílady a hledáí dalších čleů posloupostí a a objevováí vzorců pro -tý čle do začé míry odpovídají typicým příladům z IQ testů, teré studeti zají
VíceOdhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:
Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy
Více6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.
6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola
Více1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha
74 ěžiště, rovovážá poloha Předpoklady: 00703 Př : Polož si sešit a jede prst tak, aby espadl Záleží a místě, pod kterým sešit podložíš? Proč? Musíme sešit podložit prstem přesě uprostřed, jiak spade Sešit
Více6 Stabilita lineárních diskrétních regulačních obvodů
6 Stbilit lieárích diskrétích regulčích obvodů Pro diskrétí systémy pltí stejá defiice stbility jko pro systémy spojité. Systém je stbilí, když se po odezěí vstupího sigálu vrátí zpět do rovovážého stvu.
VíceUžitečné zdroje příkladů jsou: Materiály ke cvičením z Kalkulu 3 od Kristýny Kuncové:
Užitečé zdroje příkladů jsou: Materiály ke cvičeím z Kalkulu 3 od Kristýy Kucové: http://www.karli.mff.cui.cz/~kucova/historie8. php K posloupostem řad a fukcí Ilja Čerý: Iteligetí kalkulus. Olie zde:
Více