Analýza a zpracování signálů. 3. Číselné řady, jejich vlastnosti a základní operace, náhodné signály

Transkript

1 Aalýza a zpracováí sigálů 3. Číselé řady, jejich vlastosti a základí operace, áhodé sigály

2 Diskrétí sigál fukce ezávislé proměé.!!! Pozor!!!! : sigál eí defiová mezi dvěma ásledujícími vzorky a eí tam ai ulový. Sigál posloupost vzorků může být defiová : jako fukce, apř. [] 4 0 = 3 = v ostatích případech jako tabulka hodot jako posloupost []= {, 0, 0, 0,, 4,, 0, 0 } jako posloupost koečé délky []= {3, -, -, 5, 0, 4,, - }

3 Charakteristiky sigálu: Diskrétí součet S [ ] D Absolutí součet Kumulativí součet S [ ] A Eergie pro eperiodické sigály je defiováa jako součet okamžitých výkoů pro periodické sigály je eergie ekoečá a eposkytuje žádou užitečou iformaci počítají se průměré hodoty v rámci jedé periody S [ k] C k E [ ] p[ ]

4 Diskrétí sigály: levostraé pravostraé kauzálí atikauzálí periodické opakují se po N vzorcích N je perioda, musí to být vždy celé číslo. []=[kn], pro k=,,3, Perioda N součtu periodických diskrétích sigálů je rova ejmešímu společému ásobku dílčích period.

5 Příklady: a Jaká je perioda ásledujícího sigálu? b Jaká je perioda součtu sigálu g[]=[]+y[]? Jaké jsou hodoty vzorků jedé periody sigálu g[]

6 Průměrá hodota periodického sigálu av N m0 N [ m] Průměrý výko periodického sigálu P N m0 N [ m] U eperiodických sigálů lze av a P uvažovat jako limití případy: P lim L L L ml ml Sigály s koečou eergií eergetické sigály av lim L Sigály s koečým průměrým výkoem výkoové sigály L U eergie a výkou se při zpracováí diskrétích sigálů obvykle eudávají jedotky [watt] a [joule], protože často zpracováváme pouze řadu čísel bezrozměrých L [ m] [ m]

7 Příklady k procvičeí:. Uvažujme sigál []={,,0,0,4}. Jaká je eergie []?. Uvažujme sigál []={,,,0,0,4,,,0,0,4,,,0,0,4,,, }. Určete průměrý výko.

8 Základí diskrétí sigály Jedotkový impuls Vlastosti impulsu : Filtračí vlastosti impulsu siftig property Diskrétí sigál může být reprezetová jako součet posuutých impulsů vážeých hodotou [k]. Toho se využívá při určeí odezvy LTI systému, pokud záme impulsí charakteristiku ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ k k k k k k ] [ ] [ ] [ impuls propouští pouze hodotu v =k k k k ] [ ] [ ] [

9 Jedotkový skok Lieárí fukce ramp ] [ ] [ ] [ 0 k u u k ] [ ] [ ] [ ] [ 0 k k r u r k

10 Diskrétí pulzí sigály Obdélíkový pulz : pro ostatí N N rect 0 Trojúheíkový pulz : pro ostatí N N N tri 0

11 Diskrétí fukce sic: si N si c sic0 = N N fukce sic/n je rová ule v =kn, kde k=±, ±, ±3 Obálka fukce sic má hlaví lalok a klesající postraí laloky. Diskrétí epoeciála: u Pro reálou hodotu α epoeciála buď roste α>0 ebo klesá α<0. Pro kompleí α= re jθ []= r [cosθ + jsiθ]u[]

12 Diskrétí siusoida Vzike vzorkováím aalogové siusoidy t=cosf 0 t v okamžicích t S. Vzorkovací frekvece S=/t S f s S cos f t cos cos F ebo obecá kompleí siusoida j F e cos F jsi F f aalogová frekvece [Hz] = f - úhlová frekvece [rad] F ormalizovaá frekvece F=f/S - tzv číslicová frekvece [cykly/vzorek] číslicová úhlová frekvece = F [rad/vzorek]

13

14 Aalogová siusoida t=cosf 0 + má dvě výzamé vlastosti: je periodická v čase pro každou frekveci f 0 je jedozačě určeá svojí frekvecí!!! POZOR!!! Diskrétí siusoidy tyto vlastosti obecě emusí splňovat. Periodicita: [+M] = [] cosf 0 + = cos+nf 0 + = cosf 0 ++NF 0 jsou ekvivaletí, pouze pokud je NF 0 rovo celému číslu k F 0 musí být rovo k/n Diskrétí siusoida je periodická pouze tehdy, když je její číslicová frekvece racioálím zlomkem, tj. lze ji vyjádřit jako poměr dvou celých čísel. Platí, že jeda perioda vzorkovaé diskrétí siusoidy je získáa z k period aalogového sigálu

15 Neperiodická siusoida Periodická siusoida

16 Uvažujme []= cosf 0 + a přidejme celé číslo m k F 0 []= cosf 0 +m+ = []= cosf m = [] diskrétí siusoidy jsou idetické pro frekvece F 0 + m spektrum diskrétí siusoidy je periodické elze od sebe odlišit vzorky siusoid s frekvecemi F 0 m Pro diskrétí siusoidy a harmoické sigály se zavádí tzv. cetrálí perioda základí rozsah -0.5 F 0.5 Diskrétí siusoidy mohou být jedozačě idetifikováy pouze pokud mají frekveci v základím rozsahu. Siusoida s frekvecí F 0 větší ež základí rozsah může být reprezetováa jako F a =F 0 -M F a je tzv. alias frekvece.

17 Základí operace se sigály Posu sigálu Otočeí sigálu Decimace Iterpolace Posu sigálu: sigál [] může být posuut v čase záměou ezávisle proměé za -k, kde k je celé číslo. k>0 zpožděí sigálu o k časových jedotek posu sigálu doprava k<0 předsuutí sigálu o k jedotek doleva. Je- li sigál ulože a disku off-lie zpracováí jsou možé oba posuy, pro realtime zpracováí, eí možý posu doleva. Při posuu sigálu se posouvá počátek sigálu do hodoty : N k

18 Otočeí sigálu : y[]=[-] reprezetuje časově otočeou verzi [] zrcadlový obraz [] okolo počátku. Otočeí sigálu : y[]=[-] reprezetuje časově otočeou verzi [] zrcadlový obraz [] okolo počátku. Sigál y[] = [--k] lze získat způsoby: a [] zpožděí posu do prava o k vzorků [-k] otočeí [--k] b [] otočeí [-] předsuutí posu doleva o k vzorků [--k] Decimace sigálu - proces který redukuje délku sigálu zmešuje délku odstraěím určitých vzorků. Obecě decimace faktorem N zameá, že zvolíme každý N-tý vzorek původího sigálu výsledý sigál je N-krát kratší y N

19 Iterpolace sigálu proces ve kterém prodlužujeme sigál přidáím dalších vzorků. Pro N-ásobou iterpolaci dostáváme N-krát delší sigál bereme vzorky v N-krát kratším úseku. Pokud záme aalogový sigál z ěhož vzikul diskrétí sigál y[], ebo umíme vyjádřit y[], pak eí určeí iterpolace problém. Pokud ezáme aalytickou podobu sigálu je uté doplit vzorky: zero iterpolatio - hodoty přidaých vzorků jsou ulové, tato operace se ozačuje jako up-samplig y / N 0, N, N, 0 step iterpolatio - hodoty přidaých vzorků jsou shodé s předchozí hodotou liear iterpolatio - hodoty přidaých vzorků vytváří lieárí fukci s okolími vzorky iterpolace faktorem N se ozačuje [/N]!!! POZOR!! a pořadí prováděých operací decimace a iterpolace emusí to být iverzí operace viz příklad.

20 Neceločíselé zpožděí fractioal delays v ěkterých praktických případech se požaduje eceločíselé zpožděí apř. o poloviu vzorku, které lze implemetovat operacemi decimace a iterpolace. M N Př. Chceme vytvořit sigál y M N Iterpolace faktorem N [/N] Zpožděí o M vzorků [-M/N] [-M/N] decimace faktorem N [N-M/N]

21 Symetrie sigálu Symetrie sudá symetrie: [] = [-] Atisymetrie lichá symetrie: [] = -[-]

22 Symetrie a atisymetrie se vzájemě vylučují. Pokud je sigál vytvoře jako součet symetrickéhoi a atisymetrického sigálu, tak výsledý sigál eí ai symetrický, ai atisymetrický. Libovolý esymetrický sigál může být vytvoře jako součet symetrického a atisymetrického sigálu. [] = e [] + o [] e [] = 0.5[] + 0.5[-] o [] = 0.5[] - 0.5[-] = + Pokud je sigál []: symetrický atisymetrický - o je ulové - e je ulové

23 Příklady k procvičeí:. Pro sigál []={,3,4,5,6,7} červeá hodota začí okamžik =0 určete: a y[]=[-3] b f[] = [+] c g[] = [-] d h[] = [-+] e s[] = [--]. Sigál []={4, -, 4, -6, 0} dekompoujte a součet symetrického a atisymetrického sigálu 3. Pro sigál []={,,5,-} vytvořte [] a růzé verze iterpolovaého sigálu [/3] 4. Pro sigál []={3,4,5,6} určete : použijte step iterpolaci a g[]=[-] a h[]=[0.5- ] b y[]=[/3] 5. Pro sigál []={,4,6,8} určete y[]=[-0.5]. Použijte lieárí iterpolaci.

24 ..

25 Úvod do áhodých sigálů determiistické sigály predikovatelé každá realizace eperimetu měřeí za stejých podmíek dává stejé hodoty stejý sigál áhodé sigály stejý eperimet dává rozdílé výsledky, opakováím eperimetu dostáváme řadu realizací sigálů - tzv. áhodý proces Xt. Výsledek eperimetu lze popsat pravděpodobostě pravděpodobostí PrA <0, >. K úplému popisu áhodého procesu musíme:. Zát rozsah hodot áhodé proměé může být koečý i ekoečý.. Určit pravděpodobosti s jakými se vyskytují jedotlivé hodoty tzv. distribučí fukci F <0, >. F df f d Pr Pr F f F d

26 Charakteristiky áhodých sigálů Středí hodota očekávaá hodota: Kvadrát středí hodoty: Momety: -tý momet: Cetrálí momety: μ - rozptyl : d f m E d f m d f E d f m m d f m E d f m m E Rozptyl δ určuje podíl střídavé složky sigálu, odmocia rozptylu je tzv. směrodatá odchylka δ -určuje míru ejistoty měřeí sigálu.

27 Pro periodické sigály s periodou T lze rozptyl určit jako: 0 0 T T dt t T dt t T celkový výko sigálu výko stejosměré složky Rozptyl ěkterých periodických sigálů: Siusoida: Pilovitý průběh Obdélík: cos A T t A t T t T t A t T t T t A t A T t t T t A t A

28 Pravděpodobostí rozložeí Rovoměré rozložeí: každá z hodot je stejě pravděpodobá f je pravoúhlý impuls s jedotkovou plochou defiovaý jako: pro ostatí f 0 středí hodota rozptyl: distribučí fukce: 0.5 b b a a b a F 0

29 Gausovo ormálí rozložeí: vrchol pro =m, sudá symetrie okolo vrcholu =m ifleí body v m ±δ f m ep Vlastosti:. Pokud má ormálí rozložeí a+b, a>0 má také ormálí rozložeí. Součet sigálů s ormálím rozložeím má také ormálí rozložeí, středí hodota součtu je rová součtu středích hodot dílčích rozložeí, rozptyl je 3. rove součtu rozptylů. Poměr -m a δ je pro ormálí rozložeí je lze pracovat s -m místo s δ u ormálího rozložeí 4. Všechy momety vyšších řádů lze pro Gaussovskou proměou určit pouze a základě zalosti prvích dvou mometů. pro liché jsou -té momety ulové pro sudé =k je -tý cetrálí momet: k! k k!

30 Gausovská distribučí fukce: F m ep d Stadardí Gausovské rozložeí: středí hodota ulová, rozptyl rove jedé P e d Chybová fukce: - často používaá fukce, tabulky erf fukce jsou rozšířeé, k dispozici i v MATLABU erf. erf e 0 d Gausovskou distribučí fukci lze vyjádřit chybovou fukcí: F P m erf m

31 Pravděpodobost, že leží mezi a lze vyjádřit erf fukcí. 0.5 m erf m erf F F P

32 Q-fukce: pravděpodobost toho, že áhodá proměá s ormálím rozložeím abývá hodoty > Q P e d Q fukci lze vyjádřit chybovou fukcí: Q erf Pravděpodobost, že leží mezi a lze vyjádřit Q - fukcí. m m Q Q P

33 Cetrálí limití věta: Součet velkého možství áhodých sigálů s libovolým rozložeím ale stejým, koečým průměrem středí hodotou, koverguje k ormálímu rozložeí má asymptoticky ormálí rozložeí. Věta platí i pro diskrétí áhodé proměé., ep, m s s f s i i

34 Náhodé sigály: Stacioárí - pravděpodobostí popis sigálu ezávisí a počátku časové osy Ergodický sigál - áhodý sigál, jehož určitá časová charakteristika má ulový rozptyl je ergodický vůči této charakteristice Striktě ergodický stacioárí a ergodický Pseudoáhodý sigál - eí úplě áhodý, je to uměle geerovaý sigál s defiovaým statistickým rozděleím pravděpodobosti. Pseudoáhodý sigál je periodický s velmi dlouhou periodou. V rámci periody splňuje požadovaé vlastosti. Aalýza áhodých sigálů: v prai obvykle ezáme statistický popis áhodé proměé - můžeme staovit odhad parametrů a aměřeých hodot sigálu k, k=,,, N. m N N N k, k0 N k0 k m

35 Šum Šum je defiová jako ežádoucí sigál, který iterferuje s užitečým sigálem aměřeým ebo přeeseým komuikačím kaálem. V závislosti a zdroji může být šum klasifiková do ásledujících kategorii: a Akustický šum - zdrojem je vibrace, pohyb pohyb, srážka objektů atd. klimatizace, vetilátor počítače, pohyb aut vítr, déšť, rozhovor lidí b Elektromagetický šum zdrojem jsou elektrická zařízeí rádio, TV, mobilí telefoy c Elektrostatický šum zdrojem jsou obvykle zářivky, výbojky d Zkresleí přeosového kaálu echo, útlum e Šum vziklý zpracováím kvatizačí šum, ztráta datových paketů při komuikaci

36 V závislosti a frekveci může být šum klasifiková jako: a Šum s uzkým pásmem arrowbad - obvykle 50/60Hz z elektrických zařízeí b Bílý šum čistě áhodý šum s hladkou frekvečí charakteristikou obsahuje rovoměré zastoupeí všech frekvecí c Pásmově omezeý bílý šum - hladká frekvečí charakteristika v pásmu, které je zpracováváo zařízeím d Barevý šum šum, který eí bílý, ebo libovolý širokopásmový šum který emá hladkou frekvečí charakteristiku e Impulzíví šum krátké pulsy s áhodé amplitudou a délkou trváí f Krátkodobý šum - pulzy s delší dobou trváí

37 Bílý šum Nekorelovaý áhodý sigál s rovoměrou výkoovou spektrálí hustotou Čistý bílý šum je teoretický pojem podle defiice má stejý výko ve všech frekvecích v itervalu -, +, cože je v prai erealizovatelé V prai se pracuje s pásmově omezeým bílým šumem má stejý výko ploché spektrum v defiovaém rozsahu frekvecí

38 Libovolý širokopásmový šum, který emá hladké spektrum Jedotlivé typy ejčastěji používaé: Barevý šum a Růžový šum - zámý také jako /f šum, výkoová spektrálí hustota je rova převráceé hodotě frekvece při dvojásobé frekveci klese eergie o 3dB. V logaritmických souřadicích je eergie růžového šumu stejá ve stejě širokých pásmech apř. v oktávách.

39 Hědý šum podobý růžovému šumu ale s výkoovou hustotou sížeou o 6dB za oktávu se zvyšující se frekvecí hustota je úměrá /f. Může být geerová algoritmem, který simuluje Browův pohyb

40 a Modrý azurový šum výkoová spektrálí hustota se zvyšuje o 3dB a oktávu s rostoucí frekvecí hustota je úměrá f b Purpurový fialový šum - výkoová spektrálí hustota se zvyšuje o 6dB a oktávu s rostoucí frekvecí hustota je úměrá f. c Šedý šum používá se v psychoakustice k měřeí křivky hladiy hlasitosti

41 Impulzíví šum Impulzíví šum tvoří krátkodobé impulsy apř. v audiotechice do 3ms, f s =0Khz. Obvyklý zdroj stisk kláves, praskáí u starých gramofoových zázamu apod.

42 Krátkodobý šum Krátkodobý šum tvoří relativě krátký ostrý pulz ásledovaý klesajícími ízkofrekvečími oscilacemi. Příklad: poškrábaé gramofoové desky.

43 Tepelý Johsoův šum Je způsobe áhodým pohybem elektroů v odporových strukturách. Výstřelový Shot šum Vziká apř. áhodou rekombiací párů elektro-díra v polovodičích ebo áhodou změou emise elektroů v elektrokách. Elektromagetický šum Vziká v každém elektrickém zařízeí, které geeruje spotřebovává ebo přeáší elektrickou eergii. Typickými zdroji šumu jsou trasformátory, radiové a televizí vysílače, výbojky, motory, startéry u automobilů apod.

44 Poměr sigál šum: Pro zašuměý sigál t=st+at, kde st je užitečý sigál, At je šum s amplitudou A, lze určit hodotu SNR sigal-to-oise ratio jako poměr výkou sigálu k výkou šumu A udávaý v decibelech db SNR s A 0log db Zlepšit SNR je obvykle možé metodou tzv. koheretího průměrováí sigálů.