Analýza a zpracování signálů. 3. Číselné řady, jejich vlastnosti a základní operace, náhodné signály

Transkript

1 Aalýza a zpracováí sigálů 3. Číselé řady, jejich vlastosti a základí operace, áhodé sigály

2 Diskrétí sigál fukce ezávislé proměé.!!! Pozor!!!! : sigáleí defiová mezi dvěma ásledujícími vzorky ( a eí tam ai ulový). Sigál (posloupost vzorků) může být defiová : jako fukce, apř. [ 4 3 jako tabulka hodot v ostatích případech jakoposloupost [{,,,,, 4,,, } jakoposloupost koečédélky [{3,-, -, 5,, 4,, -}

3 Charakteristiky sigálu: Diskrétí součet Absolutí součet S [ D S [ A Kumulativí součet C [ S [ k k Eergie pro eperiodické sigály je defiováa jako součet okamžitých výkoů pro periodické sigály je eergie ekoečá a eposkytuje žádou užitečou iformaci počítají se průměré hodoty v rámci jedé periody E [ p[

4 Průměrá hodota periodického sigálu av N m N [ m Průměrý výko periodického sigálu P N m N [ m U eperiodických sigálů lze av a Puvažovat jako limití případy: P lim L L L + Sigály s koečou eergií eergetické sigály av lim L + Sigály s koečým průměrým výkoem výkoové sigály U eergie a výkou se při zpracováí diskrétích sigálů obvykle eudávají jedotky [watt a [joule, protože často zpracováváme pouze řadu čísel bezrozměrých) L m L L m L [ m [ m

5 Příklady k procvičeí:. Uvažujme sigál [{,,,,4}. Jaká je eergie [?. Uvažujme sigál [{,,,,,4,,,,,4,,,,,4,,, }.Určete průměrý výko.

6 Základí diskrétí sigály Jedotkový impuls Vlastosti impulsu : [ δ [ [ [ [ [ k k k k δ δ Filtračí vlastosti impulsu (siftig property) Diskrétísigál může být reprezetová jako součet posuutých impulsů vážeých hodotou [k. Toho se využívá při určeí odezvy LTI systému, pokud záme impulsí charakteristiku k k [ [ [ δ impuls propouští pouze hodotu v k k k k [ [ [ δ

7 Jedotkový skok [ [ [ k u u k < δ Lieárí fukce (ramp) [ [ [ [ k k r u r k < δ

8 Diskrétí pulzí sigály Obdélíkový pulz : ostatí pro N N rect Trojúheíkovýpulz : ostatí pro N N N tri

9 Diskrétí fukce sic: π si N si c sic() N π N fukcesic(/n) je rová ule v kn, kde k±, ±, ±3 Obálka fukce sicmá hlaví lalok a klesající postraí laloky. Diskrétí epoeciála: [ α u[ Pro reálou hodotu αepoeciála buď roste ( α>) eboklesá ( α<). Pro kompleí α re jθ [ r [cos(θ) + jsi(θ)u[

10 Diskrétí siusoida Vzikevzorkováímaalogové siusoidy (t)cos(πf t) v okamžicícht S. Vzorkovací frekvece S/t S f s π S [ cos( π f t + Θ) cos(π + Θ) cos( F + Θ) eboobecákompleí siusoida [ jπ F +Θ e cos( π F + Θ) + jsi( π F + Θ) f aalogová frekvece [Hz ω πf -úhlová frekvece [rad F ormalizovaá frekvece Ff/S - tzv číslicová frekvece [cykly/vzorek Ω číslicová úhlová frekvece Ω πf [rad/vzorek

11

12 Aalogová siusoida (t)cos(πf +Θ) má dvě výzamé vlastosti: je periodická v čase pro každou frekveci f je jedozačě určeá svojí frekvecí!!! POZOR!!! Diskrétí siusoidy tyto vlastosti obecě emusí splňovat. Periodicita: [+M [ cos(πf +Θ) cos(π(+n)f +Θ) cos(πf +Θ+πNF ) jsouekvivaletí, pouze pokud je NF rovo celému číslu k F musí být rovo k/n Diskrétísiusoida je periodická pouze tehdy, když je její číslicová frekvece racioálím zlomkem, tj. lze ji vyjádřit jako poměr dvou celých čísel.

13 Neperiodická siusoida Periodická siusoida

14 Uvažujme [cos(πf +Θ) a přidejmecelé číslo mk F [cos(π(f +m)+θ) [cos(πf +Θ+ πm) [ diskrétísiusoidy jsou idetické pro frekvece F + m spektrum diskrétí siusoidy je periodické elze od sebe odlišit vzorky siusoid s frekvecemi F ±m Pro diskrétí siusoidy a harmoické sigály se zavádí tzv. cetrálí perioda (základí rozsah) -.5 F.5 Diskrétí siusoidy mohou být jedozačě idetifikováy pouze pokud mají frekveci v základím rozsahu. Siusoida s frekvecí F větší ež základí rozsah může být reprezetováa jako F a F -M (F a je tzv. alias frekvece).

15 Základí operace se sigály Posu sigálu Otočeí sigálu Decimace Iterpolace Posu sigálu: sigál [ můžebýt posuut (v čase) záměou ezávisle proměé za -k, kde k je celé číslo. k> zpožděí sigálu o k časových jedotek(posu sigálu doprava) k< předsuutí sigálu o k jedotek doleva. Je- li sigál ulože a disku (off-lie zpracováí) jsou možé oba posuy, pro realtimezpracováí, eí možý posu doleva. Při posuu sigálu se posouvá počátek sigálu do hodoty : N ± k

16 Otočeí sigálu : y[[- reprezetuječasověotočeouverzi[( zrcadlový obraz [) okolo počátku. Otočeí sigálu :y[[- reprezetuječasověotočeouverzi[ ( zrcadlový obraz [ ) okolo počátku. Sigál y[ [--k lze získat způsoby: a) [ zpožděí(posu do prava) o kvzorků [-k otočeí [--k b) [ otočeí[- předsuutí (posu doleva) o k vzorků [--k Decimace sigálu [ [ N y -proces který redukuje délku sigálu (zmešuje délku) odstraěím určitých vzorků. Obecě decimace faktorem N zameá, že zvolíme každý N-tývzorek původího sigálu výsledý sigál je N-krát kratší

17 Iterpolace sigálu proces ve kterém prodlužujeme sigál přidáím dalších vzorků. Pro N-ásobou iterpolaci dostáváme N-krát delší sigál (bereme vzorky v N-krát kratším úseku). Pokud záme aalogový sigál (z ěhož vzikul diskrétí sigál y[), ebo umíme vyjádřit y[, pak eí určeí iterpolace problém. Pokud ezáme aalytickou podobu sigálu je uté doplit vzorky: zeroiterpolatio -hodoty přidaých vzorků jsou ulové, tato operace se ozačuje jako up-samplig y [ ( N ) /, ± N, ± N, K step iterpolatio - hodoty přidaých vzorků jsou shodé s předchozí hodotou lieariterpolatio -hodoty přidaých vzorků vytváří lieárí fukci s okolími vzorky iterpolace faktorem N se ozačuje [/N!!! POZOR!! a pořadí prováděých operací decimace a iterpolace emusí to být iverzí operace (viz příklad).

18 Neceločíselé zpožděí (fractioaldelays) v ěkterých praktických případech se požaduje eceločíselé zpožděí (apř. o poloviu vzorku), které lze implemetovat operacemi decimace a iterpolace. M N Př. Chceme vytvořit sigál y [ M N Iterpolace faktorem N [/N Zpožděí o M vzorků [(-M)/N [(-M)/N decimace faktorem N [(N-M)/N

19 Symetrie sigálu Symetrie (sudá symetrie): [ [- Atisymetrie(lichá symetrie): [ -[-

20 Symetrie a atisymetriese vzájemě vylučují. Pokud je sigál vytvoře jako součet symetrickéhoia atisymetrického sigálu, tak výsledý sigál eí ai symetrický, ai atisymetrický. Libovolý esymetrický sigál může být vytvoře jako součet symetrického a atisymetrického sigálu. [ e [ + o [ e [.5[ +.5[- o [.5[ -.5[- + Pokudje sigál[: symetrický - o je ulové atisymetrický - e je ulové

21 Příklady k procvičeí:. Pro sigál [{,3,4,5,6,7} (červeá hodota začí okamžik )určete: a) y[[-3 b) f[ [+ c) g[ [- d) h[ [-+ e) s[ [--. Sigál [{4, -, 4, -6, } dekompoujte a součet symetrického a atisymetrického sigálu 3. Pro sigál [{,,5,-} vytvořte [ a růzé verze iterpolovaého sigálu [/3 4. Pro sigál [{3,4,5,6} určete : (použijte step iterpolaci) a) g[[- a h[[.5- b) y[[/3 5. Pro sigál [{,4,6,8} určete y[[-.5. (Použijte lieárí iterpolaci.)

22 Úvod do áhodých sigálů determiistické sigály (predikovatelé) každá realizace eperimetu (měřeí za stejých podmíek) dává stejé hodoty (stejý sigál) áhodé sigály stejý eperimet dává rozdílé výsledky, opakováím eperimetu dostáváme řadu realizací (sigálů) -tzv. áhodý proces X(t). Výsledek eperimetu lze popsat pravděpodobostě( pravděpodobostí Pr(A) <, >. K úplému popisu áhodého procesu musíme:. Zát rozsah hodot áhodé proměé (může být koečý i ekoečý).. Určit pravděpodobosti s jakými se vyskytují jedotlivé hodoty tzv. distribučí fukci F() <, >. F ( ) Pr( < ) df( ) f ( ) d Pr( ) F( f ( ) F( ) d( ) )

23 Charakteristiky áhodých sigálů Středí hodota (očekávaá hodota): Kvadrát středí hodoty: Momety: -týmomet: E ( ) m f ( ) d m E ( ) f ( ) d f ( ) d Cetrálí momety: µ ( m ) f ( ) d μ -rozptyl : δ ( m ) ( m ) f ( ) d E( ) m ( f ( ) d m E Rozptyl δ určuje podíl střídavé složky sigálu, odmocia rozptylu je tzv. směrodatá odchylka δ -určuje míru ejistoty měřeí sigálu.

24 Pro periodické sigály s periodou T lze rozptyl určit jako: ) ( ) ( T T dt t T dt t T δ celkový výko sigálu výko stejosměré složky Rozptyl ěkterých periodických sigálů: Siusoida: Pilovitý průběh Obdélík: ) cos( ) ( A T t A t + Θ δ π T t T t A t T t T t A t.5.5 ) ( ) ( A δ T t t T t A t < <.5 ) (.5 ) ( 4 A δ

25 Pravděpodobostí rozložeí Rovoměré rozložeí: každá z hodot je stejě pravděpodobá f() je pravoúhlý impuls s jedotkovou plochou defiovaý jako: pro ostatí f ) ( β α α β α +β středí hodota rozptyl: distribučí fukce: ) ( ).5( α β δ β α + b b a a b a F > < ) ( ) ( α

26 Gausovo(ormálí rozložeí): vrchol pro m, sudá symetrie okolo vrcholu m ifleí body v m ±δ f ( ) ( m ep πδ δ ) Vlastosti:. Pokud má ormálí rozložeí a+b, a> má také ormálí rozložeí. Součet sigálů s ormálím rozložeím má také ormálí rozložeí, středí hodota součtuje rová součtu středích hodot dílčích rozložeí, rozptylje rove součtu rozptylů. 3. Poměr (-m ) a δ je pro ormálírozložeí je u ormálího rozložeí lze pracovat s (-m ) místo s δ π 4. Všechy momety vyšších řádů lze pro Gaussovskouproměou určit pouze a základě zalosti prvích dvou mometů. pro liché jsou -té momety ulové pro sudé k je -týcetrálí momet: (k)! k k!

27 Gausovskádistribučí fukce: F( ) ( λ m ) ep δ πδ dλ Stadardí Gausovské rozložeí: středí hodota ulová, rozptyl rove jedé P( ) λ e π dλ Chybová fukce: erf ( ) e λ π d Gausovskou distribučí fukci lze vyjádřit chybovou fukcí: F( ) m P δ erf δ m

28 Pravděpodobost, že leží mezi a lze vyjádřit erffukcí. P m m [ F( ) F( ).5erf erf δ δ

29 Q-fukce: pravděpodobost toho, že áhodá proměá s ormálím rozložeím abývá hodoty > Q( ) λ P( ) e π dλ Q fukci lze vyjádřit chybovou fukcí: Q( ).5.5erf ( ) Pravděpodobost, že leží mezi a lze vyjádřit erffukcí. m δ δ m [ Q Q P

30 Cetrálí limití věta: Součet velkéhopmožství áhodých sigálů s libovolým rozložeím (ale stejým), koečým průměrem (středí hodotou), koverguje k ormálímu rozložeí (má asymptoticky ormálí rozložeí). Věta platí i pro diskrétí áhodé proměé. s i i, >> f ( s) πσ ep ( s m ) σ, >>

31 Náhodé sigály: Stacioárí - pravděpodobostí popis sigálu ezávisí a počátku časové osy Ergodický sigál -áhodý sigál, jehož určitá časová charakteristika má ulový rozptyl (je ergodický vůči této charakteristice) Striktě ergodický stacioárí a ergodický Pseudoáhodý sigál - eí úplě áhodý, je to uměle geerovaý sigál s defiovaým statistickým rozděleím pravděpodobosti. Pseudoáhodý sigál je periodický s velmi dlouhou periodou. V rámci periody splňuje požadovaé vlastosti. Aalýza áhodých sigálů: v prai obvykle ezáme statistický popis áhodé proměé -můžeme staovit odhad parametrů a aměřeých hodot sigálu k, k,,, N. m N N N k, σ k N k ( k m )

32 Poměr sigál šum: Pro zašuměý sigál (t)s(t)+a(t), kdes(t) je užitečýsigál, A(t) je šum (s amplitudou A), lze určit hodotu SNR (sigal-to-oiseratio) jako poměr výkou sigálu σ k výkou šumu A σ udávaý v decibelech (db) SNR log σ s A σ db Zlepšit SNR je obvykle možé metopdou tzv. koheretího průměrováí sigálů.