3.. Rovnice postupného vlnění Předpoklady: 310, 301 Chcee najít rovnici, která bude udávat výšku vlny v libovolné okažiku i libovolné bodě (v jedno okažiku je v různých ístech různá výška vlny). Veličiny popisující vlnění (hodnoty budou pro jedno vlnění stejné pro všechna ísta ve všech okažicích): perioda T, axiální výchylka y, rychlost šíření v, vlnová délka λ. Veličiny popisující ísto a čas, o které se zajíáe (dosadíe je do rovnice, abycho získali konkrétní údaje): čas t, poloha x. Pedagogická poznáka: Při odvozování vzorce je třeba žáků ujasnit, že použitý graf se liší od grafů používaných v kapitole o kitavých pohybech. Někdy ůže být diskuse delší, ale pokud ají studenti pochopit vzorec, je nutné ji neošidit. Vodní hladina v určité okažiku: y[] bod B Zdroj 0 x x[] Každý bod kitá, ale áe ho zachycen v jedno okažiku (na vodorovné ose není čas, ale poloha, jde tedy o fotku ne zachycení zěn v čase jako v grafech, které jse používali u kitavých pohybů, analogií této fotky pro kitající závaží by byl graf s jediný bode). y = y sin ωt (znáe, rovnice kitavého pohybu) Zdroj: ( ) Bod B: kitá stejně jako zdroj, ale o něco později. Tento rozdíl označíe t y = y sin ω ( t t ) ( t jse přidali, protože bod B je pozadu, chvíli trvá než se k něu vlnění dostane). Na če t závisí? rychlost šíření vlnění v, vzdálenost bodu B od zdroje x, x t =, dosadíe do rovnice pro B: y = y sin ω ( t t ) v. x π y = y sin ω t v rozepíšee ω = T 1
π x y = y sin t T v y = y sin π použijee λ = vt T Tv y = y sin π - rovnice postupného vlnění (udává okažitou výchylku v závislosti T λ na čase a poloze). Důležité: t, x - neznáé, za které dosazujee (v jaké okažiku a na které ístě, chcee znát výšku vlny), y, T, λ - paraetry, které jsou pro dané vlnění stále stejné. Poznáka: Nái uvedená rovnice platí pro vlnění, které se šíří ve sěru osy x (od enších hodno ke větší). Pro vlnění opačného sěru je nutno zěnit znaénko před člene x λ y = y sin π + ). T λ Pedagogická poznáka: Předchozí rozlišení neznáých a paraetrů je nutné studentů zdůraznit. Rozdílná role písenek v rovnici je jední z největších probléů při její pochopení. Př. 1: Vysvětli jaký je rozdíl ezi t a T v rovnici postupného vlnění y = y sin π T λ. t čas, ve které chcee zjistit stav vlnění, volíe si ho dle libosti T perioda kitavého pohybu, který vlnění způsobuje. Je pro dané vlnění stále stejná. Jak fungují zloky v závorce? t = k Z (celé číslo) sin t π = sin π k = 0, právě když t = kt - zopakoval se T T určitý počet celých period (a proto začíná vlnění opět s počáteční fází), x = k Z (celé číslo) sin x π = sin π k = 0, právě když x = kλ - posunuli λ λ jse se o určitý počet celých vlnových délek (a proto vlnění kitá v naše bodě se stejnou fází jako v počátku). Př. : -1 Vlnky na vodní hladině se šíří rychlostí 0,1 s s periodou 0,6 sekundy. Napiš rovnici tohoto postupného vlnění, pokud axiální výška vlny dosahuje 3 c. Rovnice postupného vlnění: y = y sin π T λ. Znáe: y = 3c = 0, 03, T = 0,6s.
Musíe určit λ : λ = vt = 0,1 0,6 = 0,06. Dosadíe do rovnice: y = y sin π = 0, 03sin π T λ. Př. 3: Vlnění na vodní hladině je popsáno rovnicí y = 0,0sin π. a) Urči hodnoty y, T, λ, v. b) Nakresli výšku vodní hladiny v oblasti 0 15 c v čase t = 0s. Předpokládej, že v čase 0s jse začali ěřit, ale vlnění se po hladině šířilo již dříve. c) Urči v čase t = 0s výšku vodní hladiny v bodech x = 0; 0, 03; 0, 09; 0,11; 0,13. Získané hodnoty porovnej s výsledky bodu b). d) Nakresli výšku vodní hladiny v oblasti 0 15 c v čase t = 0, 5s. Předpokládej, že v čase 0s jse začali ěřit, ale vlnění se po hladině šířilo již dříve. e) Urči v čase t = 0, 5s výšku vodní hladiny v bodech x = 0; 0, 03; 0, 09; 0,11; 0,13. Získané hodnoty porovnej s výsledky bodu d). a) Urči hodnoty y, T, λ, v. Obecná rovnice: y = y sin π T λ, naše rovnice 0,0sin y = π 0,6 0,1 srovnání získáe: y = 0,0 T = 0,6s λ = 0,1 λ 0,1-1 -1 λ = vt v = = s = 0, s T 0,6 b) Nakresli výšku vodní hladiny v oblasti 0 15 c v čase t = 0s. Předpokládej, že v čase 0s jse začali ěřit, ale vlnění se po hladině šířilo již dříve. V čase t = 0s se bod v počátku nachází na začátku sínusovky s nulovou výchylkou, stejnou fázi bude ít pohyb bodu, který se nachází o jednu vlnovou délku (0,1 ) dále vpravo ůžee nakreslit dvě sínusovky, které této podínce vyhovují. y[c] - - 8 1 16 0 x[c] Vlnění se šíří vpravo, vyznačené body se pohybují sěre nahoru (jsou na začátku periody) správná je zelená křivka. 3
y[c] - - 8 1 16 0 x[c] c) Urči v čase t = 0s výšku vodní hladiny v bodech x = 0; 0, 03; 0, 09; 0,11; 0,13. Získané hodnoty porovnej s výsledky bodu b). do rovnice vlnění dosazujee t = 0s a: 0 0 x = 0 : y = 0,0sin π 0,0sin π 0 = = 0 0,03 x = 0,03 : y = 0,0sin π 0,0sin π 0,0 = = 0 0,09 x = 0,09 : y = 0,0sin π 0,0sin π 0,0 = = 0 0,11 x = 0,11 : y = 0,0sin π 0,0sin π 0,0 = = 0 0,13 x = 0,13 : y = 0,0sin π 0,0sin π 0,0 = = Všechny získané hodnoty ůžee dokreslit do grafu z bodu b) y[c] - - 8 1 16 0 x[c] d) Nakresli výšku vodní hladiny v oblasti 0 15 c v čase t = 0, 5s. Předpokládej, že v čase 0s jse začali ěřit, ale vlnění se po hladině šířilo již dříve. V čas t = 0, 5s uplyne od času t = 0s tři čtvrtě periody vlna se posunu doprava o tři čtvrtě vlnové délky v počátku se zrovna nachází iniu.
y[c] - - 8 1 16 0 x[c] e) Urči v čase t = 0, 5s výšku vodní hladiny v bodech x = 0; 0, 03; 0, 09; 0,11; 0,13. Získané hodnoty porovnej s výsledky bodu d). Do rovnice vlnění dosazujee t = 0, 5s a: 0, 5 0 x = 0 : y = 0,0sin π 0,0sin π 0,0 = = 0,5 0,03 x = 0,03 : y = 0,0sin π 0,0sin π 0 = = 0,5 0,09 x = 0,09 : y = 0,0sin π 0,0sin π 0 = = 0, 5 0,11 x = 0,11 : y = 0,0sin π 0,0sin π 0,035 = = 0, 5 0,13 x = 0,13 : y = 0,0sin π 0,0sin π 0,035 = = Všechny získané hodnoty ůžee dokreslit do grafu z bodu d). y[c] - - 8 1 16 0 x[c] Př. : Vlnění je popsáno rovnicí y 0,3sin ( t 5x) =. Urči hodnoty y, T, λ, v. Obecná rovnice: y = y sin π, naše rovnice ( ) T λ y = 0,3sin t 5x problé: v obecné rovnici je před závorkou vytknuto π usíe v obecné rovnici roznásobit závorku nebo v zadané rovnici vytknout π. sin π y y y sin t π π x = = T λ T λ y = 0,3sin t 5x : srovnáváe ( ) 5
y = 0,3, t T t π x 5x λ = vt π = T = π s = 3,1s, λ = π λ = = 1,3. 5 λ 1,3 v = = s = 0, s T 3,1-1 -1 Př. 5: Vlnění vodní hladiny je popsáno rovnicí y = 0,03sin π. a) Urči výšku vlny v ístě zdroje vlnění v čase t = 1s. b) Urči výšku vlny v ístě vzdálené od zdroje 5,5 c v čase t = 1s. c) Urči poloěr nejenší kružnice, kterou tvoří body kitající se stejnou fází jako zdroj vlnění. a) Urči výšku vlny v ístě zdroje vlnění v čase t = 1s. Do rovnice vlnění dosadíe t = 1s a x = 0 : 1 0 y = 0,03sin π 0,03sin π 0,06 = =. b) Urči výšku vlny v ístě vzdálené od zdroje 5,5 c v čase t = 1s. Do rovnice vlnění dosadíe t = 1s a x = 0,055 : 1 0, 055 y = 0,03sin π 0,03sin π 0,03 = =. c) Urči poloěr nejenší kružnice, kterou tvoří body kitající se stejnou fází jako zdroj vlnění. Se stejnou fází kitají body, které jsou od sebe vzdáleny o celočíselný násobek vlnové délky hledaná kružnice á poloěr 6 c. Dodatek: Použitá rovnice nepopisuje vlnění vodní plochy ve všech sěrech. Popisuje výšku vln pouze na kladné poloose x. Na záporné poloose x se vlnění šíří opačný sěre (a je tedy popsáno rovnicí y = 0,03sin π + ). V ostatních sěrech je rovnice složitější, protože výchylka záleží na druhé souřadnici. Shrnutí: Dosazování za čas a x-ovou souřadnici do rovnice y = y sin π T λ ůžee zjistit okažitou výchylku vlnění v libovolné ístě a čase. 6