Charakteristika tělesa

16 6 Konečná tělesa V této kapitole budeme pod pojmem těleso mít na mysli vždy konečné komutativní těleso, tedy množinu s dvěma binárními operacemi (T, +, ), kde (T, +) je komutativní grupa s neutrálním prvkem 0, (T {0}, ) je komutativní grupa s neutrálním prvkem 1, přičemž 1 0, a násobení je distributivní vůči sčítání. Charakteristika tělesa 6.1 Definice Nechť (T, +,, 0, 1) je konečné těleso. Nejmenší přirozené číslo r > 0 takové, že 1 + 1 +... + 1 = 0, r-krát se nazývá charakteristika tělesa T. Značíme char T. (Charakteristika tělesa je vlastně řád prvku 1 v grupě (T, +) - viz následující kapitola.) 6.2 Tvrzení Charakteristika konečného tělesa je vždy prvočíslo. Důkaz Kdyby char T = r bylo složené číslo, r = ab pro 1 < a b < r, pak by bylo platilo: 0 = 1 + 1 +... + 1 = (1 + 1 +... + 1) +... + (1 + 1 +... + 1) r-krát a-krát a-krát b-krát = (1 + 1 +... + 1) a-krát (1 + 1 +... + 1) b-krát (Při úpravách používáme toho, že sčítání je asociativní, 1 je neutrální prvek vůči násobení, násobení je distributivní vůči sčítání.) Protože těleso nemá dělitele nuly, musí být buď 1 + 1 +... + 1 = 0 nebo 1 + 1 +... + 1 = 0, a-krát b-krát což je spor s tím, že r je nejmenší takové číslo. Tudíž r je prvočíslo. 6.3 Příklad Zřejmě char Z p = p. Nechť T = Z p [x]/q(x), kde q(x) je ireducibilní nad Z p, pak char T = p. Aneb každé rozšíření T tělesa Z p vytvořené jako faktorový okruh polynomů nad Z p modulo ireducibilní polynom, má charakteristiku p. 6.4 Ukážeme, že char T = p právě, když těleso T je rozšířením tělesa Z p. V následující části opět 1 značí neutrální prvek vůči násobení a 0 značí neutrální prvek vůči sčítání v tělese T. Množina P = {1, 1 + 1, 1 + 1 + 1,..., 1 + 1 +... + 1 = 0} p-krát má p různých prvků a tvoří podgrupu grupy (T, +) generovanou prvkem 1. Množina P je uzavřená i vůči násobení (součin dvou prvků z P se dá přepsat podle distributivního zákona na součet 1, což je prvek z P ), a snadno se odvodí, že P tvoří podtěleso tělesa T. Podle tvrzení o řádech prvků je k 1 = 1 + 1 +... + 1 = 0 právě, když p k, tedy v tělese P se počítá stejně k-krát jako v tělese Z p. Zobrazení 1 + 1 +... + 1 k k-krát je tudíž tělesový izomorfismus, skrze který můžeme ztotožnit těleso (P, +, ) s tělesem (Z p, +, ) a psát Z p T. Těleso T charakteristiky p lze považovat za rozšíření tělesa Z p. 6.5 Tvrzení Každé konečné těleso má p k prvků, pro nějaké prvočíslo p a nějaké přirozené číslo k. Důkaz Těleso T charakteristiky p lze považovat za lineární prostor nad tělesem Z p (násobení skaláry ze Z p je realizováno jako násobení v tělese T, neboť Z p T ). Jelikož je T konečné těleso, tak musí mít jakožto lineární prostor konečnou bázi, označme dim T = k. Každý prvek z lineárního prostoru T je lineární kombinací k bázických prvků s koeficienty ze Z p, těchto kombinací je právě p k. Aneb na šestiprvkové množině není možné definovat operace sčítání a násobení tak, aby byly splněny vlastnosti požadované pro komutativní těleso. Alena Gollová: TIK 16 30. dubna 2013

17 6.6 Tvrzení Nechť T je těleso charakteristiky p. Pak pro každé a, b T platí: (a + b) p = a p + b p Důkaz Podle binomické věty je p ( ) (a + b) p p = a p k b k k k=0 ( ) ( ) ( ) p p p p! Přitom = = 1 a pro 1 k (p 1) je = 0 p k k!(p k)! = p (p 1)... (p k+1) 1 2 3... k. V čitateli je součin k po sobě jdoucích přirozených čísel a ten je vždy dělitelný číslem k!. Zlomek lze zkrátit ( tak, ) že ve jmenovateli p bude 1, přičemž p je prvočíslo, takže p v čitateli zůstane. Pro 1 k (p 1) je tedy = p l, pro l N. ( ) k p V tělese charakteristiky p je = p l = 0, všechny mezičleny vypadnou a zůstane (a + b) k p = a p + b p. 6.7 Důsledek Nechť T je těleso charakteristiky p, a nechť m N. 1. Pro každé a, b, T je (a + b) (pm) = a (pm) + b (pm). 2. Pro všechny a 1,..., a n T je (a 1 + a 2 +... + a n ) (pm) = a (pm ) 1 + a (pm ) 2 +... + a (pm ) n. Důkaz Lze dokázat z předchocího tvrzení konečnou indukcí dle m, resp. dle n. 6.8 Tvrzení Pro polynomy nad Z p platí: 1. x p 1 = (x 1) p, tedy prvek 1 Z p je p-násobný kořen polynomu x P 1. 2. x (pm) 1 = (x 1) (pm), tedy prvek 1 Z p je p m -násobný kořen polynomu x (pm) 1. 3. x p 1 1 = (x 1)(x 2)... (x (p 1)), tedy všechny prvky 0 a Z p jsou kořenem polynomu x p 1 1. Důkaz 1. Protože char Z p = p, lze dokázat obdobně jako v předchozím tvrzení, že (x 1) P = x p +( 1) p. Ale ( 1) p = 1, neboť prvočíslo p je liché (kromě p = 2, ale v Z 2 je 1 = 1). 3. Z Malé Fermatovy věty každé 0 a Z p splňuje a p 1 = 1 v Z p, je tedy kořenem polynomu x p 1 1. Primitivní prvek tělesa Nejdříve bude třeba připomenout některé výsledky z teorie konečných grup, jako např. pojmy řád prvku v grupě, generátor cyklické grupy, Lagrageovu větu a Eulerovu větu pro konečné grupy. Tyto výsledky ponecháme většinou bez důkazu. 6.9 Věta (Eulerova) Nechť (G,, 1) je konečná grupa o n prvcích. Pro každé a G platí: a n = 1 v G. Důkaz (pro komutativní grupu G) Levá translace prvkem a G definovaná předpisem l a : G G : l a (x) = a x je v grupě vzájemně jednoznačné zobrazení. Tudíž součin všech prvků z grupy G = {x 1, x 2,..., x n } je možné napsat dvěma způsoby: n n s = x i = (a x i ) Díky komutativitě dostáváme i=1 s = a n i=1 n x i = a n s, a vynásobíme-li rovnost prvkem s 1, který v grupě existuje, získáme dokazovaný vztah 1 = a n. i=1 6.10 Věta (Malá Fermatova) Pro každé a 0 je a p 1 = 1 v Z p. 6.11 Věta (Euler-Fermatova) Pro každé a nesoudělné s n je a ϕ(n) = 1 v Z n. Alena Gollová: TIK 17 30. dubna 2013

18 6.12 Uvědomme si, že obě tyto věty jsou speciální verzí Eulerovy věty pro grupu invertibilních prvků v Z n. Grupu invertibilních prvků v monoidu (Z n, ) značíme Z n a invertibilní jsou právě prvky nesoudělné s n: Z n = {a Z n ; a je nesoudělné s n} Počet prvků této grupy Z n = ϕ(n), kde ϕ je Eulerova funkce: ϕ : N N : ϕ(n) = počet čísel mezi 0 až (n-1) nesoudělných s n Pro výpočet Eulerovy funkce platí následující vzorce, na základě kterých umíme spočítat ϕ(n), kdykoli známe prvočíselný rozklad čísla n. ϕ(p) = p 1 pro p prvočíslo ϕ(p k ) = p k p k 1 pro p prvočíslo a k přirozené číslo ϕ(n m) = ϕ(n) ϕ(m) pro n, m navzájem nesoudělná přirozená čísla Například Z 9 = {1, 2, 4, 5, 7, 8, }, Z 9 = ϕ(9) = 6, všechny prvky a Z 9 splňují a 6 = 1 v Z 9. Ovšem číslo 6 není vždy ten nejmenší exponent, na který je třeba umocnit, aby vyšlo 1, třeba 8 2 = 1 a 4 3 = 1 v Z 9. Tento fakt vede k následující definici. 6.13 Definice Nechť (G, ) je konečná grupa s neutrálním prvkem 1, a G. Nejmenší přirozené číslo r > 0 takové, že a r = } a a {{... a } = 1 se nazývá řád prvku a v grupě G. Značíme r(a) = r. r-krát Takové r > 0, že a r = 1, v grupě G určitě existuje. V konečné grupě se musí výsledky mocnin opakovat, a k = a l pro nějaké k < l. Vynásobíme-li rovnost inverzním prvkem k prvku a k, který v grupě musí existovat, dostaneme 1 = a l k. Definice pojmu řád prvku a je smysluplná. 6.14 Tvrzení Nechť (G,, 1) je konečná grupa, a G. Je-li r(a) = r, pak množina P = {a, a 2, a 3,..., a r = 1} tvoří r-prvkovou podgrupu grupy G, tzv. cyklickou podgrupu generovanou prvkem a, značíme ji P = a. 6.15 Věta (Lagrangeova) Počet prvků libovolné podgrupy P (v grupě G) je dělitelem počtu prvků grupy G. 6.16 Důsledek Řád prvku a v grupě G je dělitelem počtu prvků grupy G. 6.17 Definice Grupa (G,, 1) o n prvcích se nazývá cyklická grupa, pokud G = a = {a, a 2, a 3,..., a n = 1}. Prvek a je tzv. generátor grupy G. 6.18 Tvrzení Prvek a je generátor grupy (G,, 1) o n prvcích právě, když r(a) = n. To nastane právě, když je splněna kterákoliv z následujících podmínek: a r 1 pro každé r < n, kde r n a r 1 pro každé r = n p, kde p je prvočíslo a p n 6.19 Příklad Chceme najít generátor grupy Z 19, která má ϕ(19) = 18 prvků. Možné řády jsou dělitelé čísla 18 = 2 3 2, přičemž maximální dělitelé jsou 6 a 9. Zkusíme a = 2 a spočteme 2 6 = 7 1 a 2 9 = 1 1. Prvek 2 tedy je generátor a grupa Z 19 je cyklická. 6.20 Tvrzení Nechť (G,, 1) je konečná grupa, a G. Pak a k = 1 v grupě G právě, když r(a) k. 6.21 Tvrzení Nechť r(a) = r v grupě G, pak r(a k r ) = gcd(k,r) Speciálně, pokud r(a) = ks, pak r(a k ) = s. v grupě G. 6.22 Nechť G = a je cyklická grupa o n prvcích. Nechť r n, tehdy a jen tehdy platí: 1. V grupě G lze nalézt prvek řádu r, například prvek b = a k, kde n = kr. 2. Prvků řádu r je v grupě G celkem ϕ(r) a jsou tvaru b j pro všechna j nesoudělná s r, 0 j < r. Alena Gollová: TIK 18 30. dubna 2013

19 3. Rovnice x r = 1 má v grupě G právě r řešení - jsou to všechny prvky z podgrupy b generované prvkem řádu r. (Tyto prvky jsou tvaru b i, 0 i < r, tudíž řeší danou rovnici: (b i ) r = (b r ) i = 1 i = 1, a fakt, že v cyklické grupě žádná další řešení nejsou, plyne z následujícího bodu.) 4. V grupě G je právě jedna podgrupa o r prvcích a to podgrupa P r = b, kde b = a k pro k = n r. Pro obecné r (tedy i když r n platí: 1. Rovnice x r = 1 má právě d = gcd(r, n) řešení v grupě G (a to všechny prvky z podgrupy P d, aneb rovnice se redukuje na x d = 1). A teď už zpět ke konečným tělesům: 6.23 Věta Nechť (T, +,, 0, 1) je konečné těleso o n prvcích. Grupa invertibilních prvků v tělese, tedy grupa (T = T {0}, ), je vždy cyklická. Důkaz První část důkazu se opírá o vlastnosti řádů prvků. Řád prvku je dělitelem počtu prvků grupy, tedy r(a) (n 1). Chceme najít prvek, jehož řád je n 1. Označíme jako m největší řád prvků v grupě T. Dokážeme, že pak řád libovolného prvku v T dělí toto m (což dá trochu práce - musíme dokázat, že existuje-li v grupě prvek řádu r a prvek řádu s, pak v ní existuje i prvek řádu lcm(r, s)). Tudíž každý prvek v T splňuje a m = 1 a je kořenem polynomu x m 1. Druhá část důkazu se opírá o fakt, že v tělese může mít polynom nejvýše tolik kořenů, kolik je jeho stupeň. Odtud m = n 1 a každý prvek, který má tento řád m, je generátorem grupy T. 6.24 Definice Nechť (T, +,, 0, 1) je konečné těleso, jakýkoliv generátor grupy (T = T {0}, ) se nazývá primitivní prvek tělesa T. 6.25 Tvrzení Nechť T je konečné těleso o n prvcích. Polynom x r 1 má v tělese T celkem r různých kořenů právě, když r (n 1). Důkaz Grupa (T, ) je cyklická grupa o (n 1) prvcích. V ní existuje prvek β řádu r právě, když r (n 1). Tento prvek je kořen polynomu x r 1, neboť splňuje β r = 1. Podgrupa generovaná prvkem β má r prvků tvaru β i, 1 i r, a každý z nich je kořenem polynomu x r 1, neboť (β i ) r = (β r ) i = 1 i = 1. Více kořenů polynom stupně r mít v tělese nemůže. (Aneb kořeny polynomu x r 1 jsou právě všechna řešení rovnice x r = 1 v cyklické grupě T.) Pokud r (n 1), pak má rovnice x r = 1 v cyklické grupě pouze gcd(r, n 1) < r řešení, tedy polynomu x r 1 má méně než r kořenů. 6.26 Věta Fermatova: Nechť T je konečné těleso o n prvcích. Pak každý prvek tělesa je kořenem polynomu x n x, tj. pro každý a T platí a n = a. Důkaz Každý nenulový prvek tělesa T je kořenem polynomu x n 1 1, neboť je tvaru α i pro primitivní prvek α tělesa T (r(α) = n 1) - viz předchozí tvrzení. Tudíž každý (i nulový) prvek je kořenem polynomu x n x. 6.27 Důsledek Nechť T je konečné těleso charakteristiky p (aneb rozšíření tělesa Z p ), a prvek a T. Pak vztah a p = a platí v tělese T právě, když a Z p. Důkaz Prvky a Z p tento vztah splňují dle Fermatovy věty, tvoří tedy celkem p kořenů polynomu x p x. A více kořenů tento polynom stupně p v tělese T mít nemůže. 6.28 Příklad Těleso GF (8) sestrojené jako T = Z 2 [x]/q(x), kde q(x) = x 3 + x + 1 je ireducibilní nad Z 2, je těleso T = {aα 2 + bα + c, a, b, c Z 2, α 3 = α + 1}. T = 7, možné řády prvků r 7, tedy kromě a = 1 (který má řád r(1) = 1) je každý nenulový prvek primitivním prvkem tělesa T. Použijeme prvek α a napíšeme každý nenulový prvek v T jako mocninu prvku α. α 1 = α, α 2 = α 2, α 3 = α + 1, α 4 = α 2 + α, α 5 = α 2 + α + 1, α 6 = α 2 + 1, α 7 = 1. Tuto tabulku můžeme použít pro násobení v tělese T. Např. (α 2 + 1) (α 2 + α) = α 6 α 4 = α 10 = α 7 α 3 = 1 α 3 = α + 1 Alena Gollová: TIK 19 30. dubna 2013

20 6.29 Třetí pohled na násobení v konečném tělese T o n prvcích: Nalezneme primitivní prvek β tělesa T a vytvoříme tabulku délky (n 1), v níž je každý nenulový prvek napsán jako mocnina primitivního prvku β. Pak můžeme prvky násobit jako mocniny β k β l = β k+l, přičemž v exponentu počítáme modulo r(β) = n 1. 6.30 Příklad Těleso GF (9) sestrojené jako T = Z 3 [x]/q(x), kde q(x) = x 2 + 1 je ireducibilní nad Z 3, je těleso komplexních čísel nad Z 3, T = {a i + b, a, b Z 3, i 2 = 1}. T = 8, možné řády prvků r 8. Přitom i 4 = 1, tedy r(i) = 4, ale (i + 1) 4 1, tedy r(i + 1) = 8 a (i + 1) je primitivním prvkem tělesa T. Polynom x 4 1 má v tělese T všechny čtyři kořeny a jsou to prvky ±1 a ±i tedy prvky podgrupy i. 6.31 Poznámka Vždy lze setrojit těleso GF (p k ) tak, aby kořen ireducibilního polynomu byl zároveň primitivním prvkem v tomto tělese. Aneb pro konstrukci tělesa T = Z p [x]/q(x), lze zvolit ireducibilní polynom q(x) stupně k tak, aby - napíšeme-li prvky tělesa T jako polynomy v proměnné z a počítáme dle pravidla q(z) = 0 - prvek z byl primitivním prvkem tělesa T. 6.32 Příklad Těleso GF (9) sestrojené jako T = Z 3 [x]/q(x), kde q(x) = x 2 + x + 2 je ireducibilní nad Z 3, aneb těleso T = {a z + b, a, b Z 3, z 2 = 2z + 1}. z 4 = (2z + 1) 2 = z 2 + z + 1 = 2 1, tedy r(z) = 8 a z je primitivním prvkem tělesa T. Alena Gollová: TIK 20 30. dubna 2013

21 7 Polynomy nad Z p a jejich kořeny v tělese T charakteristiky p Těleso T charakteristiky p lze považovat za rozšíření tělesa Z p, tj. Z p T. Pak každý polynom nad Z p lze přirozeně považovat za polynom nad T a lze hledat jeho kořeny v tělese T. V předchozí kapitole jsme se dozvěděli, že každý prvek tělesa je kořenem polynomu x n x, kde n = T (Fermatova věta), a že polynom x r 1 má v tělese r různých kořenů právě, když r n, a jsou tvaru β i, kde β je prvek řádu r. Nyní budeme zkoumat libovolné celočíselné polynomy s koeficienty v Z p a jejich kořeny v tělese T. 7.1 Tvrzení Nechť q(x) je celočíselný polynom nad Z p a nechť T je těleso charakteristiky p. Má-li polynom q(x) kořen c v tělese T, pak má také kořen c p v tělese T. Důkaz Označme q(x) = a n x n +... + a 1 x + a 0, kde a i Z p. Víme, že c je kořen polynomu q(x), tedy q(c) = 0. Potom 0 = 0 p = [q(c)] p = a p n (c n ) p +...+a p 1 cp +a p 0, neboť char T = p. V důsledku Malé Fermatovy věty platí pro všechny prvky ze Z p, že a p i = a i. Můžeme tedy dále upravit naši rovnost 0 = a n (c p ) n +... + a 1 c p + a 0 = q(c p ) a dostáváme, že c p je také kořen polynomu q(x). 7.2 Důsledek Nechť q(x) je celočíselný polynom nad Z p a nechť T je těleso charakteristiky p. Má-li polynom q(x) kořen c v tělese T, pak má také kořeny c p, c (p2), c (p3),... v tělese T. Tvorba kořenů se zastaví nejpozději po k krocích, kde T = p k. Pro prvek c z tělesa T totiž platí c (pk) = c podle Fermatovy věty. 7.3 Poznámka Podobnou situaci s kořeny v nadtělese známe u reálných polynomů a jejich komplexních kořenů. I zde je jistý vztah mezi kořeny, konkrétně má-li reálný polynom komplexní kořen c = α + βi, pak musí mít i komplexně sdružený kořen c = α βi. 7.4 Příklad Mějme těleso GF (8) vyrobené takto: T = Z 2 [x]/q(x), kde q(x) = x 3 +x+1 je ireducibilní polynom nad Z 2. Prvky tělesa označíme jako polynomy v proměnné α, tedy T = {aα 2 + bα + c, a, b, c Z 2, α 3 = α + 1}. Polynom q(x) = x 3 + x + 1 je ireducibilní nad Z 2, nemá tedy žádný kořen v tělese Z 2. V tělese T ale platí, že q(α) = α 3 + α + 1 = 0, protože polynom q(x) má nulový zbytek po dělení q(x). Prvek α je tedy kořenem polynomu q(x) v tělese T. Charakteristika tělesa char T = 2, další kořeny polynomu q(x) jsou α 2, α 4 = α 2 + α - můžeme to ověřit dosazením. Více kořenů není, neboť polynom stupně 3 může mít v tělese nejvýše tři kořeny - skutečně vyrábění dalších kořenů umocňováním na druhou se už zacyklí, α 8 = α, protože T = 8. 7.5 Tvrzení Nechť q(x) je ireducibilní polynom nad Z p stupně k. Pak v tělese GF (p k ) tvaru T = Z p [x]/q(x) má polynom q(x) celkem k různých kořenů a polynom q(x) se rozkládá na součin lineárních polynomů nad T. Důkaz T = {a k 1 z k 1 +... + a 1 z + a 0, a i Z p, q(z) = 0} Jedním kořenem polynomu q(x) je prvek z a další kořeny vzniknou umocňováním na char T = p, tedy z p, z p2,..., z pk 1 jsou také kořeny polynomu q(x). Zbývá dokázat, že jsou navzájem různé. To vyplývá z následujícího pojmu mininální polynom. Pokud by se výroba kořenů zacyklila dříve než u z (pk) = z, pak by minimální polynom pro kořen z byl polynom nad Z p stupně menšího než k a tento minimální polynom by dělil beze zbytku polynom q(x), což by byl spor s ireducibilitou polynomu q(x) nad Z p. 7.6 Definice Nechť T je konečné těleso charakteristiky p a prvek c T. Minimální polynom nad Z p pro prvek c je nenulový celočíselný polynom nad Z p co nejmenšího stupně, který má kořen c v tělese T. Označíme jej m c (x). Takový polynom vždy existuje, neboť prvek c T je dle Fermatovy věty kořenem celočíselného polynomu x (pk) x, kde p k = T. Mezi všemi nenulovými celočíselnými polynomy nad Z p s kořenem c T lze najít nějaký nejmenšího stupně. Zřejmě jeho konstantní násobek bude mít kořen c a bude téhož stupně - ukážeme, že minimální polynomy pro prvek c jsou navzájem asociované a jako m c (x) budeme značit ten, který má vedoucí koeficient roven 1 (monický minimální polynom pro prvek c). Alena Gollová: TIK 21 30. dubna 2013

22 7.7 Tvrzení Nechť T je konečné těleso charakteristiky p a nechť c c p, c (p2),..., c (pl) jsou všechny různé prvky vzniklé umocňování prvku c T na p-tou. Pak minimální polynom pro prvek c je polynom: m c (x) = (x c)(x c p )... (x c (pl) ) Důkaz Každý celočíselný polynom nad Z p musí mít s kořenem c T také všechny tyto kořeny tvaru c (pi). Jejich přidání je tedy nutné, dokážeme, že je i postačující. Označme a i koeficienty výše vytvořeného polynomu m c (x). Spočítáme dvěma způsoby polynom (m c (x)) p. Jelikož char T = p, platí: m m (m c (x)) p = ( a i x i ) p = a p i (xp ) i i=0 (m c (x)) p = (x c) p (x c p ) p... (x c (pl) ) p = m = (x p c p )(x p c (p2) )... (x p c (pl+1) ) = m c (x p ) = a i (x p ) i Využili jsme toho, že c pl+1 = c. Z rovnosti polynomů plyne, že a p i = a i pro všechna 0 i m. To je možné jen, když všechna a i Z p, polynom m c (x) je tedy celočíselný. i=0 i=0 7.8 Tvrzení Nechť m c (x) je minimální polynom nad Z p pro prvek c T, char T = p. Pak platí: 1. m c (x) je ireducibilní polynom nad Z p 2. polynom f(x) nad Z p má kořen c T právě, když m c (x) f(x) nad Z p Důkaz 1) Kdyby m c (x) = a(x)b(x) byl netriviální rozklad nad Z p, pak by prvek c musel být kořenem polynomu a(x) nebo b(x) (neboť těleso nemá dělitele nuly), což by byl spor s tím, že m c (x) je celočíselný polynom nejmenšího stupně s kořenem c. 2) Celočíselný polynom f(x) nad Z p musí mít s kořenem c T také všechny kořeny tvaru c (pi), musí být tedy dělitelný všemi lineárními polynomy tvary (x c (pi) ). Proto je f(x) dělitelný polynomem m c (x). 7.9 Důsledky 1. f(x) je minimální polynom pro prvek c právě, když f(x) je ireducibilní nad Z p a f(c) = 0 v tělese T. 2. Monický m c (x) je určen jednoznačně. 3. m c (x) (x n 1) právě, když r(c) n. Důkaz 1) f(x) musí být dělitelný polynomem m c (x), ale protože f(x) je ireducibilní nad Z p, tak f(x) = a m c (x) pro a Z p, tudíž f(x) je také minimálním polynomem pro prvek c. 2) Minimální polynomy pro c se musí dělit navzájem (být asociované), monický je tedy jen jeden. 3) m c (x) (x n 1) právě, když c je kořenem polynomu x n 1, aneb c n = 1 v T. To nastane právě, když r(c) n - r(c) je řád prvku c v grupě T. 7.10 Příklad Těleso GF (8) sestrojené jako T = Z 2 [x]/q(x), kde q(x) = x 3 + x + 1 je ireducibilní nad Z 2, aneb T = {aα 2 + bα + c, a, b, c Z 2, α 3 = α + 1}. Najdeme minimální polynomy pro všechny prvky. Minimální polynom pro prvky ze Z 2 jsou lineární: m 0 (x) = x, m 1 (x) = x 1. Minimální polynom pro kořen α je polynom q(x) = x 3 + x + 1, neboť q(α) = 0 v tělese T a q(x) je ireducibilní nad Z 2. Tento polynom je také minimálním polynomem pro prvky α 2 a α 4 = α 2 + α. Najdeme minimální polynom pro kořen α + 1 v tělese T. Další nutné kořeny jsou (α + 1) 2 = α 2 + 1, (α + 1) 4 = α 2 + α + 1 a minimální polynom (pro tyto tři prvky) bude: m α+1 (x) = (x (α + 1))(x (α 2 + 1))(x (α 2 + α + 1)) = x 3 + x 2 + 1 Alena Gollová: TIK 22 30. dubna 2013

23 Můžeme to ověřit roznásobením, anebo odvodit následující úvahou: Víme, že má vyjít ireducibilní polynom stupně 3. Tyto polynomy jsou nad Z 2 pouze dva, x 3 +x+1 a x 3 +x 2 +1. První je roven polynomu q(x) = m α (x) a nemá kořen α + 1, takže m α+1 (x) = x 3 + x 2 + 1. Podle Fermatovy věty je každý prvek tělesa GF (8) kořenem polynomu x 8 x, tudíž minimální polynom každého prvku musí dělit polynom x 8 x. A skutečně, rozložíme-li tento polynom na ireducibilní polynomy nad Z 2, získáme x 8 x = x(x 7 1) = x(x 1)(x 3 + x 2 + 1)(x 3 + x + 1). Minimálních polynomů se využívá k důkazu faktu, že každé konečné komutativní těleso je Galoisovo. 7.11 Věta Nechť T je konečné komutativní těleso charakteristiky p. Pak T je izomorfní s Galoisovým tělesem Z p [x]/q(x), kde q(x) je minimální polynom pro primitivní prvek tělesa T. Důkaz Hlavní myšlenka důkazu (detaily ponecháme čtenáři): Buď α primitivní prvek tělesa T a m α (x) jeho minimální polynom, st(m α ) = k. Pak každý nenulový prvek tělesa T je tvaru β = α i. Podělíme-li se zbytkem polynom x i polynomem m α (x) v Z p [x], dostaneme x i = q(x)m α (x) + t(x) a st(t(x)) < k. Můžeme tedy každý prvek zapsat ve tvaru polynomu v proměnné α stupně nejvýše k 1, β = α i = 0 + t(α). Přitom různé polynomy v proměnné α stupně nejvýše k 1 určují různé prvky tělesa T : kdyby t 1 (α) = t 2 (α), pak by (t 1 t 2 )(α) = 0, ale α nemůže být kořenem žádného polynomu stupně menšího než k kromě nulového polynomu, tudíž t 1 (x) = t 2 (x). Máme tedy vzájemně jednoznačné zobrazení mezi nenulovými prvky tělesa T a nenulovými polynomy nad Z p stupně nejvýše k 1. Prvku 0 přiřadíme nulový polynom. Toto zobrazení je tělesovým izomorfismem mezi tělesem T a tělesem Z p [x]/m α (x) - sčítání a násobení je respektováno, protože těleso T má charakteristiku p a protože je v něm m α (α) = 0, 0 a 1 jsou respektovány zřejmě. Alena Gollová: TIK 23 30. dubna 2013