DISPERZNÍ KŘIVKY V DESCE S KUBICKOU ANIZOTROPIÍ

DISPERZNÍ KŘIVKY V DESCE S KUBICKOU ANIZOTROPIÍ P. Hora, O. Červená Ústav termomechaniky AV ČR Příspěvek vznikl na základě podpory grantu cíleného vývoje a výzkumu AV ČR č. IBS276356 Ultrazvukové metody vyšetřování mechanických vlastností kompozitních materiálů používaných v letectví (řešitel Ing. M. Landa, CSc.) a záměru ÚT AV ČR AVZ276514. VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / 7. - 9. listopadu 25

nekonečná tlustá deska volné okrajové podmínky kubická anizotropie orientace (1) Úvod VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / 7. - 9. listopadu 25 1

Úvod nekonečná tlustá deska volné okrajové podmínky kubická anizotropie orientace (1) metoda parciálních vln získání disperzních vztahů vyčíslení disperzních vztahů pro měď porovnání s výsledky Mindlinovy teorie oddělených módů VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / 7. - 9. listopadu 25 1

Metoda parciálních vln Ke studiu šíření napěťových vln v izotropních deskách se používají dvě analytické metody: 1. metoda založená na potenciálech s následnou separací proměnných, 2. metoda parciálních vln, u které se řešení skládá z jednoduchých vln exponenciálního typu, které putují mezi okraji desky. VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / 7. - 9. listopadu 25 2

Metoda parciálních vln Ke studiu šíření napěťových vln v izotropních deskách se používají dvě analytické metody: 1. metoda založená na potenciálech s následnou separací proměnných, 2. metoda parciálních vln, u které se řešení skládá z jednoduchých vln exponenciálního typu, které putují mezi okraji desky. Výhody metody parciálních vln: vede k řešení rychleji přináší lepší náhled do fyzikální povahy vlnového šíření VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / 7. - 9. listopadu 25 2

SH 1 (1) l z 1 l(2) z Parciální vlny v nekonečné izotropní desce VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / 7. - 9. listopadu 25 3

SH SV 1 l (3) z 1 l (4) z 1 (1) l z 1 l(2) z Parciální vlny v nekonečné izotropní desce VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / 7. - 9. listopadu 25 3

SH SV P 1 l (3) z 1 l (4) z 1 (1) l z 1 l(2) z 1 l(5) z l z (6) Parciální vlny v nekonečné izotropní desce VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / 7. - 9. listopadu 25 3

z Ústav termomechaniky AV ČR Anizotropní deska pouze metoda parciálních vln Z y X Y d d x VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / 7. - 9. listopadu 25 4

z Ústav termomechaniky AV ČR Anizotropní deska pouze metoda parciálních vln Předpokládané řešení u = u exp [i (k x x + k y y + k z z ωt)], kde Z y X d Y d u = ˆxα x + ŷα y + ẑα z x VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / 7. - 9. listopadu 25 4

z Ústav termomechaniky AV ČR Anizotropní deska pouze metoda parciálních vln Předpokládané řešení u = u exp [i (k x x + k y y + k z z ωt)], kde Christoffelova rovnice kde ( kiicij k Jj ρω 2 δ ij ) uj =, k x k z k y k ii = k y k z k x k z k y k x Z y X Y u = ˆxα x + ŷα y + ẑα z d d x VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / 7. - 9. listopadu 25 4

Princip metody spočívá ve vazbě parciálních vln na ostatní vlny přes odrazy na okrajích desky. Každá parciální vlna musí mít stejnou hodnotu k x (k x = k = ω/v, kde v je fázová rychlost vlny v desce). VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / 7. - 9. listopadu 25 5

Princip metody spočívá ve vazbě parciálních vln na ostatní vlny přes odrazy na okrajích desky. Každá parciální vlna musí mít stejnou hodnotu k x (k x = k = ω/v, kde v je fázová rychlost vlny v desce). Řešení přejde na tvar u j = α j exp [ik(x + l z z)], kde j = x, y, z a l z = k z /k x Substituce tohoto vztahu do Christoffelovy rovnice Soustava tří homogenních lineárních rovnic pro α x, α y a α z Koeficienty soustavy jsou funkcemi ρ, c IJ a ω/k = v. Netriviální řešení determinant soustavy je roven nule Polynom šestého řádu pro l z šest kořenů l (n) z, n = 1,... 6 Řešení odpovídá šesti dopadajícím a odraženým vlnám. VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / 7. - 9. listopadu 25 5

Vztahy pro parciální vlny u j = 6 n=1 Okrajové podmínky C n α (n) j exp [ ] ik(x + l z (n) z), (j = x, y, z). T xz = T yz = T zz =, pro z = ±d. Substituce předpokládaného řešení do okrajových podmínek Soustava šesti homogenních lineárních rovnic Koeficienty soustavy C n jsou funkcemi ρ, c IJ, ω/k = v a kd. Netriviální řešení determinant soustavy je roven nule Disperzní vztah mezi ω a k VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / 7. - 9. listopadu 25 6

SH-módy Izotropní deska (Nπ) 2 = (2dω/v S ) 2 (2dk) 2, kde N =, 1, 2,... a v S je fázová rychlost příčných vln. Symetrické (dilatační) módy Antisymetrické (ohybové) módy V těchto rovnicích platí tan(dk is ) tan(dk il ) = 4k2 k il k is (k 2 is k2 ) 2 tan(dk is ) tan(dk il ) = (k2 is k2 ) 2 4k 2 k il k is (2dk is ) 2 = (2dω/v S ) 2 (2dk) 2, (2dk il ) 2 = (2dω/v L ) 2 (2dk) 2, kde v L je fázová objemová rychlost podélných vln. VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / 7. - 9. listopadu 25 7

ω d /c2 [-] Disperzní křivky izotropní desky pro Poissonovo číslo,31 14 SH módy 12 1 8 6 4 2 1 2 3 4 5 6 k d [-] VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / 7. - 9. listopadu 25 8

ω d /c2 [-] Disperzní křivky izotropní desky pro Poissonovo číslo,31 14 SH módy 12 1 8 6 4 2 1 2 3 4 5 6 ω d /c2 [-] 14 symetrické módy 12 1 8 6 4 2 1 2 3 4 5 6 k d [-] k d [-] VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / 7. - 9. listopadu 25 8

ω d /c2 [-] Disperzní křivky izotropní desky pro Poissonovo číslo,31 14 12 1 8 6 4 2 SH módy 1 2 3 4 5 6 ω d /c2 [-] 14 12 1 8 6 4 2 symetrické módy antisymetrické módy 1 2 3 4 5 6 k d [-] k d [-] VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / 7. - 9. listopadu 25 8

Mindlinova metoda oddělených módů zavedení speciálních okrajových podmínek: T xz =, u z = nebo T zz =, u x =. VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / 7. - 9. listopadu 25 9

Mindlinova metoda oddělených módů zavedení speciálních okrajových podmínek: T xz =, u z = nebo T zz =, u x =. Tyto okrajové podmínky nelze realizovat v praxi. namazané tuhé poloprostory mikroskopický řetízek VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / 7. - 9. listopadu 25 9

Mindlinova metoda oddělených módů zavedení speciálních okrajových podmínek: T xz =, u z = nebo T zz =, u x =. Tyto okrajové podmínky nelze realizovat v praxi. namazané tuhé poloprostory Degenerace symetrických a antisymetrických módů do oddělených SV a P-módů mikroskopický řetízek (Nπ) 2 = (2dω/v S ) 2 (2dk) 2, (Mπ) 2 = (2dω/v L ) 2 (2dk) 2. VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / 7. - 9. listopadu 25 9

ω d /c2 [-] Mindlinovy a disperzní křivky izotropní desky 14 oddělené SV módy 12 1 8 6 4 2 1 2 3 4 5 6 ω d /c2 [-] 14 12 oddělené P módy 1 8 6 4 2 1 2 3 4 5 6 k d [-] k d [-] VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / 7. - 9. listopadu 25 1

ω d /c2 [-] 14 12 1 8 6 4 2 Mindlinovy a disperzní křivky izotropní desky oddělené SV módy oddělené P módy 1 2 3 4 5 6 ω d /c2 [-] 14 12 1 8 6 4 2 oddělené SV módy oddělené P módy 1 2 3 4 5 6 k d [-] k d [-] VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / 7. - 9. listopadu 25 1

ω d /c2 [-] 14 12 1 8 6 4 2 Mindlinovy a disperzní křivky izotropní desky symetrické módy oddělené SV módy oddělené P módy 1 2 3 4 5 6 ω d /c2 [-] 14 12 1 8 6 4 2 antisymetrické módy oddělené SV módy oddělené P módy 1 2 3 4 5 6 k d [-] k d [-] VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / 7. - 9. listopadu 25 1

Ústav termomechaniky AV ČR Deska s kubickou anizotropií Pomalostní plochy a křivky VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / 7. - 9. listopadu 25 11

Ústav termomechaniky AV ČR Deska s kubickou anizotropií Pomalostní plochy a křivky kz /ω qsv SH qp θ kx /ω 1=v VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / 7. - 9. listopadu 25 11

Orientace (1) a směr šíření (1) analytické vyjádření VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / 7. - 9. listopadu 25 12

Orientace (1) a směr šíření (1) analytické vyjádření Christoffelova rovnice c 11 + c 44 l z (n)2 ρv 2 (c 12 + c 44 ) l z (n) c 44 (1 + l z (n)2 ) ρv 2 (c 12 + c 44 ) l z (n) c 44 + c 11 l z (n)2 ρv 2 kde α x (n), α y (n) a α (n) z jsou složky polarizace n-té parciální vlny. α x (n) α y (n) α (n) z =, VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / 7. - 9. listopadu 25 12

Orientace (1) a směr šíření (1) analytické vyjádření Christoffelova rovnice c 11 + c 44 l z (n)2 ρv 2 (c 12 + c 44 ) l z (n) c 44 (1 + l z (n)2 ) ρv 2 (c 12 + c 44 ) l z (n) c 44 + c 11 l z (n)2 ρv 2 kde α x (n), α y (n) a α (n) z Determinant soustavy se rozdělí na a jsou složky polarizace n-té parciální vlny. c 44 (1 + l (n)2 z ) ρv 2 = α x (n) α y (n) α (n) z =, (c 11 + c 44 l (n)2 z ρv 2 )(c 44 + c 11 l (n)2 z ρv 2 ) (c 12 + c 44 ) 2 l (n)2 z =. VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / 7. - 9. listopadu 25 12

SH-módy Dva kořeny l (n) z (n = 5, 6) Parciální vlny SH l (n)2 z = (ρv 2 /c 44 ) 1 l (5) z = [(ρv 2 /c 44 ) 1] 1 2 α (5) = 1 l (6) z = l (5) z α (6) = α (5) kde v = ω/k, jsou horizontálně polarizované. Okrajové podmínky l (5) z = Nπ/2kd pro N =, 1, 2,... Jedná se o čistě SH-módy stejně jako v izotropním případě. VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / 7. - 9. listopadu 25 13

Symetrické a antisymetrické módy Čtyři kořeny l (n) z (n = 1, 2, 3, 4) kde l (n)2 z = B ± [B2 A] 1 2 2c 11 c 44, A = 4c 11 c 44 (c 11 ρv 2 )(c 44 ρv 2 ), B = (c 11 ρv 2 )c 11 + (c 44 ρv 2 )c 44 (c 12 + c 44 ) 2 Parciální vlny typu P a SV. Znaménko plus kvazipříčné vlny (n = 1, 2) Znaménko mínus kvazipodélné vlny (n = 3, 4) VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / 7. - 9. listopadu 25 14

SV P l (1) z = [ B + (B 2 A) 1 2 2c 11 c 44 ]1 2, α (1) = l (2) z = l (1) z, α (2) = l (3) z = [ B (B 2 A) 1 2 2c 11 c 44 ]1 2, α (3) = l (4) z = l (3) z, α (4) = α x (1) α y (1) α (1) z α x (1) α (1) z α x (3) α y (3) α (3) z = α x (3) α (3) z = (c 12 + c 44 )l (1) z c 11 + c 44 l (1)2 z ρv 2 (c 12 + c 44 )l (3) z c 11 + c 44 l (3)2 z ρv 2 VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / 7. - 9. listopadu 25 15

Z okrajových podmínek plyne nebo ( tan ( tan ( tan ( tan l z (1) l (3) z l z (1) l (3) z ) kd ) = kd ) kd ) = kd ( c 12 α x (1) + c 11 α z (1) l z (1) ( c 12 α x (3) + c 11 α z (3) l z (3) ( c 12 α x (3) + c 11 α z (3) l z (3) ( c 12 α x (1) + c 11 α z (1) l z (1) ) ( ) α x (3) l z (3) + α z (3) ) ( ) α x (1) l z (1) + α z (1) ) ( ) α x (1) l z (1) + α z (1) ) ( ). α x (3) l z (3) + α z (3) Tyto rovnice představují disperzní závislosti pro symetrické resp. antisymetrické módy. VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / 7. - 9. listopadu 25 16

Disperzní křivky pro kubickou desku ω d [1 4 m/s] 5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1.5 SH módy 2 4 6 8 1 k d [-] VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / 7. - 9. listopadu 25 17

Disperzní křivky pro kubickou desku ω d [1 4 m/s] 5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1.5 symetrické, SH módy 2 4 6 8 1 k d [-] VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / 7. - 9. listopadu 25 17

Disperzní křivky pro kubickou desku ω d [1 4 m/s] 5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1.5 antisymetrické, symetrické, SH módy 2 4 6 8 1 k d [-] VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / 7. - 9. listopadu 25 17

Mindlinovy křivky pro kubickou desku Z Mindlinových okrajových podmínek plyne nebo T xz =, u z = resp. T zz =, u x = ( sin ( sin l (1) z l (3) z ) ( kd cos ) ( kd cos l (1) z l (3) z ) kd ) kd ( = sin ( = sin 2l (1) z 2l (3) z ) kd ) kd = =. VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / 7. - 9. listopadu 25 18

ω d [1 4 m/s] 5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 Mindlinovy a disperzní křivky pro kubickou desku ω d [1 4 m/s].5 oddělené SV módy.5 oddělené P módy 2 4 6 8 1 2 4 6 8 1 5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 k d [-] k d [-] VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / 7. - 9. listopadu 25 19

ω d [1 4 m/s] 5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1.5 Mindlinovy a disperzní křivky pro kubickou desku oddělené SV módy oddělené P módy 2 4 6 8 1 ω d [1 4 m/s] 5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1.5 oddělené SV módy oddělené P módy 2 4 6 8 1 k d [-] k d [-] VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / 7. - 9. listopadu 25 19

ω d [1 4 m/s] 5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1.5 Mindlinovy a disperzní křivky pro kubickou desku symetrické módy oddělené SV módy oddělené P módy 2 4 6 8 1 ω d [1 4 m/s] 5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1.5 antisymetrické módy oddělené SV módy oddělené P módy 2 4 6 8 1 k d [-] k d [-] VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / 7. - 9. listopadu 25 19

Pravidla Jestliže si jednotlivé křivky pro SV módy označíme indexy N =, 1, 2, a křivky pro P módy M =, 1, 2,, pak: Antisymetrické módy začínají pro kd = stejně jako SV křivky, kde je N liché, a jako P křivky, kde M je sudé. VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / 7. - 9. listopadu 25 2

Pravidla Jestliže si jednotlivé křivky pro SV módy označíme indexy N =, 1, 2, a křivky pro P módy M =, 1, 2,, pak: Antisymetrické módy začínají pro kd = stejně jako SV křivky, kde je N liché, a jako P křivky, kde M je sudé. V limitě, kdy kd, se symetrické módy blíží SV módům pro N liché. VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / 7. - 9. listopadu 25 2

Pravidla Jestliže si jednotlivé křivky pro SV módy označíme indexy N =, 1, 2, a křivky pro P módy M =, 1, 2,, pak: Antisymetrické módy začínají pro kd = stejně jako SV křivky, kde je N liché, a jako P křivky, kde M je sudé. V limitě, kdy kd, se symetrické módy blíží SV módům pro N liché. Antisymetrické a symetrické disperzní křivky se protínají: VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / 7. - 9. listopadu 25 2

Pravidla Jestliže si jednotlivé křivky pro SV módy označíme indexy N =, 1, 2, a křivky pro P módy M =, 1, 2,, pak: Antisymetrické módy začínají pro kd = stejně jako SV křivky, kde je N liché, a jako P křivky, kde M je sudé. V limitě, kdy kd, se symetrické módy blíží SV módům pro N liché. Antisymetrické a symetrické disperzní křivky se protínají: v průsečících dvou SV módů, pro které jsou indexy módů N oba sudé nebo oba liché, VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / 7. - 9. listopadu 25 2

Pravidla Jestliže si jednotlivé křivky pro SV módy označíme indexy N =, 1, 2, a křivky pro P módy M =, 1, 2,, pak: Antisymetrické módy začínají pro kd = stejně jako SV křivky, kde je N liché, a jako P křivky, kde M je sudé. V limitě, kdy kd, se symetrické módy blíží SV módům pro N liché. Antisymetrické a symetrické disperzní křivky se protínají: v průsečících dvou SV módů, pro které jsou indexy módů N oba sudé nebo oba liché, v místech, kde se protínají P a SV módy, pokud jsou oba indexy M a N sudé nebo liché. Výjimka: antisymetrické módy neprochází průsečíky přímky M = se sudými indexy N módů SV. VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / 7. - 9. listopadu 25 2

Pravidla Jestliže si jednotlivé křivky pro SV módy označíme indexy N =, 1, 2, a křivky pro P módy M =, 1, 2,, pak: Antisymetrické módy začínají pro kd = stejně jako SV křivky, kde je N liché, a jako P křivky, kde M je sudé. V limitě, kdy kd, se symetrické módy blíží SV módům pro N liché. Antisymetrické a symetrické disperzní křivky se protínají: v průsečících dvou SV módů, pro které jsou indexy módů N oba sudé nebo oba liché, v místech, kde se protínají P a SV módy, pokud jsou oba indexy M a N sudé nebo liché. Výjimka: antisymetrické módy neprochází průsečíky přímky M = se sudými indexy N módů SV. Dva módy se shodnou symetrií se oddělují: VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / 7. - 9. listopadu 25 2

Pravidla Jestliže si jednotlivé křivky pro SV módy označíme indexy N =, 1, 2, a křivky pro P módy M =, 1, 2,, pak: Antisymetrické módy začínají pro kd = stejně jako SV křivky, kde je N liché, a jako P křivky, kde M je sudé. V limitě, kdy kd, se symetrické módy blíží SV módům pro N liché. Antisymetrické a symetrické disperzní křivky se protínají: v průsečících dvou SV módů, pro které jsou indexy módů N oba sudé nebo oba liché, v místech, kde se protínají P a SV módy, pokud jsou oba indexy M a N sudé nebo liché. Výjimka: antisymetrické módy neprochází průsečíky přímky M = se sudými indexy N módů SV. Dva módy se shodnou symetrií se oddělují: v průsečíku dvou SV módů, jejichž indexy N jsou jeden sudý a druhý lichý, VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / 7. - 9. listopadu 25 2

Pravidla Jestliže si jednotlivé křivky pro SV módy označíme indexy N =, 1, 2, a křivky pro P módy M =, 1, 2,, pak: Antisymetrické módy začínají pro kd = stejně jako SV křivky, kde je N liché, a jako P křivky, kde M je sudé. V limitě, kdy kd, se symetrické módy blíží SV módům pro N liché. Antisymetrické a symetrické disperzní křivky se protínají: v průsečících dvou SV módů, pro které jsou indexy módů N oba sudé nebo oba liché, v místech, kde se protínají P a SV módy, pokud jsou oba indexy M a N sudé nebo liché. Výjimka: antisymetrické módy neprochází průsečíky přímky M = se sudými indexy N módů SV. Dva módy se shodnou symetrií se oddělují: v průsečíku dvou SV módů, jejichž indexy N jsou jeden sudý a druhý lichý, v průsečíku SV a P módů, jejichž indexy N a M nejsou oba sudé nebo oba liché. VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / 7. - 9. listopadu 25 2

ω d [1 4 m/s] 5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1.5 sudé SV módy sudé P módy 2 4 6 8 1 k d [-] VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / 7. - 9. listopadu 25 21

ω d [1 4 m/s] 5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1.5 liché SV módy sudé SV módy liché P módy sudé P módy 2 4 6 8 1 k d [-] VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / 7. - 9. listopadu 25 21

ω d [1 4 m/s] 5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1.5 antisymetrické liché SV módy sudé SV módy liché P módy sudé P módy Začátky antisymetrických módů: jako liché SV ( ) a sudé P (- -) módy 2 4 6 8 1 k d [-] VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / 7. - 9. listopadu 25 21

ω d [1 4 m/s] 5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1.5 symetrické antisymetrické liché SV módy sudé SV módy liché P módy sudé P módy Křížení módů: v místech, kde se kříží dva sudé nebo dva liché oddělené módy. Výjimka: antisymetrické módy neprochází průsečíky přímky M = se sudými SV módy. 2 4 6 8 1 k d [-] VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / 7. - 9. listopadu 25 21

ω d [1 4 m/s] 5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1.5 symetrické liché SV módy sudé SV módy liché P módy sudé P módy Oddělování symetrických módů: v místech, kde se kříží jeden lichý a druhý sudý oddělený mód. 2 4 6 8 1 k d [-] VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / 7. - 9. listopadu 25 21

ω d [1 4 m/s] 5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1.5 Oddělování křivek antisymetrických módů antisymetrické módy oddělené SV módy oddělené P módy 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 k d [-] VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / 7. - 9. listopadu 25 22

Materiálové konstanty pro Cu použité ve výpočtech c 11 [GPa] 171 c 12 [GPa] 122 c 44 [GPa] 69,1 ρ [kg/m 3 ] 893 VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / 7. - 9. listopadu 25 23

Závěr Obecný princip získání disperzních vztahů pro nekonečnou tlustou anizotropní desku s volnými okrajovými podmínkami. Odvození analytických vztahů disperzních závislostí pro desku s kubickou anizotropií, orientací (1) a směrem šíření (1). Při odvození analytických disperzních vztahů byl použit symbolický toolbox Matlabu. Vyčíslení disperzních závislostí pro měděnou desku s výše uvedenou orientací a směrem šíření. K odvození disperzních závislostí bylo použito metody parciálních vln. Získané disperzní křivky byly porovnány s výsledky Mindlinovy teorie oddělených módů. VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / 7. - 9. listopadu 25 24

Závěr Obecný princip získání disperzních vztahů pro nekonečnou tlustou anizotropní desku s volnými okrajovými podmínkami. Odvození analytických vztahů disperzních závislostí pro desku s kubickou anizotropií, orientací (1) a směrem šíření (1). Při odvození analytických disperzních vztahů byl použit symbolický toolbox Matlabu. Vyčíslení disperzních závislostí pro měděnou desku s výše uvedenou orientací a směrem šíření. K odvození disperzních závislostí bylo použito metody parciálních vln. Získané disperzní křivky byly porovnány s výsledky Mindlinovy teorie oddělených módů. Inverzní algoritmus pro stanovení elastických konstant Výpočet jednotlivých složek posuvů a napětí VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / 7. - 9. listopadu 25 24

OBSAH Úvod Metoda parciálních vln Parciální vlny v izotropní desce Parciální vlny - odvození Izotropní deska Disperzní křivky izotropní desky pro Poissonovo číslo,31 Mindlinova metoda oddělených módů Mindlinovy a disperzní křivky izotropní desky Deska s kubickou anizotropií Disperzní křivky pro kubickou desku Mindlinovy křivky pro kubickou desku Mindlinovy a disperzní křivky pro kubickou desku Pravidla (limity, křížení a oddělování křivek) Materiálové konstanty pro Cu použité ve výpočtech Závěr VÝPOČTOVÁ MECHANIKA 25 / 7. - 9. listopadu 25 25