Cvičení z termodynamiky a statistické fyziky 1 Matematické základy 1 Parciální derivace Necht F(x,y = xe x2 +y 2 Sočtěte F x, F y, 2 Úlný diferenciál I Bud 2 F x 2, 2 F x y, dω = A(x,ydx + B(x,ydy 2 F y x, 2 F y 2 libovolná diferenciální forma (Pfaffián Ukažte, že v říadě, že dω je úlný diferenciál (existuje funkce F(x,y tak, že dω = df, musí latit a A y = B x, b (b ro každou uzavřenou integrační cestu dω = 0, 3 Úlný diferenciál II Bud dω 1 = (x 2 ydx + xdy Je to úlný diferenciál, je dω 2 =dω 1 /x 2 úlný diferenciál? yočtěte integrál dω mezi body (1,1 a (2,2 odél římek (1,1 (1,2 (2,2 a (1,1 (2,1 (2,2 4 Úlný diferenciál III Je dω = d + d úlný diferenciál? Pokud ano, určete funkci F jejímž úlným diferenciálem je dω Sočtěte integrál dω mezi body ( 1, 1 a ( 2, 2 odél římek ( 1, 1 ( 1, 2 ( 2, 2 a ( 1, 1 ( 2, 1 ( 2, 2 5 Úlný diferenciál I Je dq = cd + R d úlný diferenciál? Sočtěte integrál dω mezi body ( 1, 1 a ( 2, 2 odél římek ( 1, 1 ( 1, 2 ( 2, 2 a ( 1, 1 ( 2, 1 ( 2, 2 Jakou funkcí f (, 1
musíme dq vynásobit, aby součin f dq byl úlným diferenciálem? Určete funkci S ro níž ds = f dq c a R jsou konstanty 6 ztahy mezi arciálními derivacemi Necht x, y a z jsou 3 stavové veličiny, sojené stavovou rovnicí f (x,y,z = 0 Ukažte latnost vztahů ( ( x y 1 =, (1 a ( x y ( x = y z y z = z ( x z x y z ( z y ( ( x x + y w w y, (2 x ( w, (3 y z řičemž dolní index označuje konstantní veličinu a w je další stavovou veličinou, w = w(x,y,z 7 Ověření vzorců ro arciální derivace Stavová rovnice = Nk váže roměnné, a, řičemž N a k jsou konstanty Přímým výočtem ověřte, že ( ( 1 =, ( ( 1 =, ( ( ( = ( 2 Základy termodynamiky ( = ( 1 Stavová rovnice ideálního lynu Stavová rovnice ideálního lynu může být zasána jako = Nk, = n l R, = ρk µ, = nk,, 2
kde,, jsou tlak, objem a telota, N je očet částic, n jejich koncentrace, k je Boltzmannova konstanta (k = 1,38 10 23 m 2 kgs 2 K 1, R je lynová konstanta (R = 8,31Jmol 1 K 1, n l je látkové množství, ρ je hustota lynu a µ molekulová hmotnost Ověřte rozměr k a R Jaký rozměr má n? Ukažte, že jednotlivé rovnice jsou ekvivalentní (N A = 6022 10 23 mol 1 2 ýočet ráce lynu I Při konstantní telotě 20 C se ideální lyn kvazistaticky rozíná ze stavu s tlakem 20 atm do stavu s tlakem 1 atm Jakou ráci vykoná 1 mol lynu? 3 Adiabatická exanze lynu Při kvazistatické adiabatické exanzi 6 litrů hélia o telotě 350K klesá tlak ze 40 atm na 1 atm yočtěte výsledný objem a telotu (ředokládejte latnost stavové rovnice ideálního lynu Získané výsledky srovnejte s hodnotami, které by vyšly ro izotermickou exanzi (κ = 1,63 Předokládejte, že se jedná o ideální lyn 4 ýočet ráce lynu II Sočtěte ráci vykonanou ideálním lynem ři kvazistatické adiabatické exanzi ze stavu charakterizovaného 1, 1 do stavu 2, 2 Určete ráci, kterou lyn vykoná, řechází-li z očátečního do koncového stavu nejdříve izochorickým dějem a oté izobarickým, nebo nejdříve izobarickým dějem a oté izochorickým 3 Alikace termodynamiky: meteorologie 1 Cirkulace vzduchu v troosféře Při výměně vzduchu mezi sodními a horními vrstvami troosféry dochází k exanzi, oř komresi vzduchu: stouající vzduch se rozeíná v oblasti menšího tlaku zhledem k malé teelné vodivosti vzduchu je možno okládat rocesy exanze a komrese za adiabatické yočtěte změnu teloty s výškou následkem těchto rocesů (zduch ovažujte za ideální lyn 2 Letní očasí horkém letním dni těsně řed bouřkou byla ři telotě vzduchu t = 300 C a atmosférickém tlaku = 1000 10 5 Pa naměřena relativní vlhkost vzduchu ϕ = 57 % (a Určete absolutní vlhkost vzduchu za uvedených odmínek, tj hustotu ρ vodních ar v atmosféře (b Určete hustotu ρ vlhkého vzduchu za uvedených odmínek a orovnejte ji s hustotou ρ 0 suchého vzduchu za stejného tlaku a teloty (c Určete ro uvedené odmínky rosný bod, tj telotu, na kterou musíme ochladit těleso, aby se na něm začala srážet vodní ára telotním intervalu od 20 C do 30 C můžeme tlak sytých vodních ar vyočítat s otřebnou řesností omocí vztahu s = At 2 + Bt +C, 3
kde A = 4005 Pa K 2, B = 955 Pa K 1 a C = 922 Pa Molární hmotnost suchého vzduchu je M v = 2896 10 3 kg mol 1, molární hmotnost vodních ar je M = 1802 10 3 kg mol 1, molární lynová konstanta má hodnotu R = 8314 J mol 1 K 1 3 Atmosféra na enuši Předokládejme, že atmosféra lanety enuše obsahuje k 1 = 965 % molekul CO 2 a k 2 = 35 % molekul N 2 Ostatní složky můžeme zanedbat elota atmosféry je t = 464 C a atmosférický tlak na ovrchu enuše obsahuje 0 = 91 MPa Hmotnost lanety je M = 487 10 24 kg a oloměr R = 6052 km (a Určete hustotu ρ 0 atmosféry a gravitační zrychlení g v u ovrchu enuše (b K výzkumu atmosféry lanety oužijeme otevřený horkovzdušný balon (lněný ovšem atmosférou lanety o objemu = 50 m 3 Hmotnost konstrukce je m = 100 kg Na jakou telotu t 1 musíme ohřát lyn v balonu, aby začal stouat nad ovrch lanety? Při které telotě t 2 uvnitř balonu dosáhneme výšky 1 km? Rotaci enuše a okles gravitačního zrychlení ři výstuu balonu zanedbejte elotu atmosféry do výšky 1 km ovažujte za konstantní Molární hmotnosti obou hlavních složek atmosféry enuše jsou M m (CO 2 = 440 10 3 kg mol 1, M m (N 2 = 280 10 3 kg mol 1 4 ermodynamické veličiny 1 Úlný diferenciál Plyn je osán stavovou rovnicí = (, Ukažte římým výočtem, že δq není úlným diferenciálem 2 Částice v otenciálové jámě Energie částice uzavřené v nekonečně vysoké otenciálové jámě s rozměry L x L y L z je dána vztahem ( E = h2 n 2 2m π2 x Lx 2 + n2 y Ly 2 + n2 y Ly 2 Předokládejte, že L x = L y = L z = L Předokládejte, že systém jako celek je charakterizován energií systému Jak je určen mikrostav, jak makrostav? Sočtěte sílu, kterou částice ůsobí na stěny nádoby Určete vztah energie systému a tlaku 3 Odvození vztahu Odvod te z existence stavové rovnice f (,, = 0 vztah α = β κ ( mezi termickým koeficientem roztažnosti α := 1, koeficientem izochorické ( ( rozínavosti β := 1 a koeficientem izotermické komresibility κ := 1 4
4 ýočet arciálních derivací Stavová rovnice má tvar = f ( Dokažte: ( E a = 0 ( E b okud latí a, ak = 0 5 Adiabatické derivace Ukažte, že ro lyn osaný stavovou rovnicí f (,, = 0 latí ( ( c = c ad 6 Mayerova relace Ukažte latnost relace c c = R mezi izobarickým a izochorickým secifickým telem jednoho molu ideálního lynu nitřní energie ideálního lynu nezávisí na jeho objemu 7 Adiabatický děj Ukažte latnost relace κ = konst (κ = c /c je adiabatickým exonentem v kvazistatickém adiabatickém rocesu ideálního lynu Sočtěte κ za ředokladu, že c = 3 2 R 8 Entroie ideálního lynu yočtěte entroii ideálního lynu ři c =konst, c =konst Ukažte, že δq není úlný diferenciál 9 lastnosti lynu Pro lyn bylo exerimentálně zjištěno, že součin tlaku a objemu je funkcí ouze teloty, = f ( a že vnitřní energie závisí také ouze na telotě Jaký tvar má f (? 10 Fotonový lyn U fotonového lynu je hustota energie ouze funkcí teloty a tlak je dán vztahem = 1 3u(, kde u( = E/ Sočtěte (a Funkci u(, (b entroii, (c rovnici izotermy a adiabaty 11 Analogie rvní věty termodynamické v mechanice ( yč je zkroucena momentem síly M o úhel ϕ Najděte vztah mezi M ϕ 12 ýočet entroie soustavy adiab ( a M ϕ izoterm 5
(a 1 kg vody s telotou 0 C je řiveden do teelného kontaktu s velkým rezervoárem s telotou 100 C Sočtěte změnu entroie vody, rezervoáru a celé soustavy o ustavení rovnováhy (b Sočtěte změnu entroie celé soustavy, akliže voda byla nejrve v kontaktu s rezervoárem s telotou 50 a oté s rezervoárem s telotou 100 C (c Jak zajistit, aby se ři ohřevu vody entroie soustavy nezměnila? 13 an der Waalsův lyn I an der Waalsova stavová rovnice ro 1 mol lynu má tvar ( + a 2 ( b = R, (4 kde a, b jsou konstanty Pro dané může mít křivka dva extrémy dané rovnicí ( = 0 kritickém bodě určeném arametry c, c a c navíc latí ( 2 2 = 0 Sočtěte hodnoty c, c a c Zaište stavovou rovnici omocí roměnných = / c, = / c a = / c 14 an der Waalsův lyn II Určete vnitřní energii a entroii an der Waalsova lynu a vyočtěte: (a ráci an der Waalsova lynu ři vratné izotermické exanzi, (b změnu teloty an der Waalsova lynu ři adiabatické exanzi do vakua 15 Rovnice vlnění vzduchu Ukažte, že ro malé odchylky δρ, δ od rovnovážných hodnot hustoty ρ 0 a tlaku 0 je možné šíření zvukových vln osat vlnovou rovnicí kde rychlost zvuku je dána vztahem 2 δ t 2 c = = c 2 2 δ x 2, (5 (, ρ ad 6
ředokládáme-li, že děje jsou natolik rychlé, že nedochází k výměně tela mezi jednotlivými elementy vzduchu Ukažte, že rychlost zvuku může být sočtena také jako c = κ ad /ρ 0, kde adiabatická komresibilita ( κ ad := ad Sočtěte rychlost zvuku ve vzduchu za ředokladu, že vzduch je tvořen ouze molekulami N 2 a že κ = c /c = 7/5 16 olná exanze lynu do vakua Ideální lyn se adiabaticky rozšiřuje z objemu 1 do vakua Sočtěte růst entroie, okud lyn v konečném stavu má objem 2 a dokažte, že roces rozšiřování je nevratný 17 Jouleův-homsonův děj Jouleův-homsonův koeficient je definován ( λ = (a Ukažte, že a α := 1 (b Ukažte, že H dh = ds + d λ = C (1 α ( je koeficientem izobarické roztažnosti λ = ( ( + C ( (c Ověřte, že λ = 0 ro klasický ideální lyn (d Ukažte, že ro an der Waalsův lyn latí λ = 3ab b + 2a 2 ( a + 2ab C 2 3 (e yjádřete rovnici inverzní křivky, která v diagramu ředstavuje rozhraní mezi oblastí λ > 0 a λ < 0 ro říad an der Waalsova lynu 7
5 ermodynamické otenciály 18 Důkaz rovnosti I Ukažte, že termický koeficient roztažnosti α := 1 ( slňuje relaci ( ( S = = α 19 Důkaz rovnosti II Ukažte, že secifické telo ři konstantním tlaku, c, a ři konstantním objemu, c, slňují vztah c c = ( ( = ( S ( S 20 ýočet stavových veličin z volné energie olná energie systému F(, = 1 3 const 4 Určete jeho tlak, vnitřní energii, entroii, entalii a Gibbsův otenciál 6 eelné stroje následujících říkladech sočítejte účinnost teelného stroje omocí vztahu η = W Q + 1 Carnotův cyklus izotermická exanze 2 = konst adiabatická exanze, S = konst izotermická komrese, 1 = konst adiabatická komrese, S = konst ro ideální lyn omocí jeho stavové rovnice 2 Může tento roces být vedený vratně? izotermická exanze 2 = konst 8
izochorické ochlazení 2 = konst izotermická komrese 1 = konst izochorické ohřívání 1 = konst 3 Ottův motor Určete účinkový koeficient (idealizovaného Ottova motoru, který racuje s ideálním lynem o secifickém tele c = 2 5 R/mol ři komresním oměru 10:1 adiabatická komrese, izochorické ohřívání (=sálení aliva, adiabatická exanze (vykonání ráce, ochlazení (=výfuk horkého lynu, nový, studený lyn je nasátý 4 Dieselův cyklus se skládá z těchto částí: adiabatické komrese atmosférického vzduchu, sálení vstříknuté směsi a izobarické exanze, adiabatické exanze a izochorického ochlazení Určete účinkový koeficient cyklu v závislosti na komresním oměru ro ideální lyn 5 Motor automobilu Škoda dokumentaci motoru Škoda 781136 ro automobil Favorit je uveden zdvihový objem válce zdv = 322 cm 3 a komresní oměr ε = 97 (Zdvihový objem válce je rozdíl maximálního objemu max a minimálního objemu min racovního rostoru válce; komresní oměr je jejich odíl Děje robíhající v motoru můžeme modelovat kruhovým dějem ABCD, ři kterém se racovní látka (vzduch s neatrným množstvím benzinu nejrve adiabaticky stlačí z očátečního objemu A = max, očátečního tlaku A = 100 10 5 Pa a očáteční teloty A = 300 K na objem B = min, tlak B a telotu B Následuje zážeh a izochorické shoření malého množství benzinu roztýleného ve vzduchu, ři kterém se telota ve válci zvýší z B na C a tlak z B na C Předokládejte takové množství benzinu, že C = 30 B Pak roběhne adiabatická exanze 9
zahřátého vzduchu se salinami na očáteční objem D = max, ři které se telota zmenší na D a tlak na D, a nakonec se vzduch izochoricky ochladí na očáteční stav (a Určete maximální objem max a minimální objem min racovního rostoru válce ýsledky zaokrouhlete na cm 3 (b Určete látkové množství vzduchu ve válci (c yočtěte zbývající hodnoty stavových veličin v bodech B, C a D Nakreslete ve vhodném měřítku diagram děje Průběhy adiabat nakreslete jen od ruky (d Pro každý z dějů AB, BC, CD a DA určete změnu vnitřní energie, vykonanou nebo sotřebovanou ráci a řijaté nebo odevzdané telo (e Určete celkovou ráci ři jednou roběhnutí cyklu a jeho účinnost (f Motor je čtyřválcový Jaký výkon by měl za uvažovaných ideálních odmínek ři frekvenci otáčení klikového hřídele f = 3000 min 1? zduch v racovním rostoru ovažujte za ideální lyn s dvouatomovými molekulami, ro jehož vnitřní energii latí U = 5 2 nr m Poissonova konstanta má hodnotu se salinami na očáteční objem D se salinami na očáteční objem D κ = 140; R m = 8314 J mol 1 K 1 7 Přístroje 1 Pístový komresor Základním tyem komresoru je ístový komresor, jednoduchým říkladem je hustilka na neumatiky bicyklů a automobilů na obr?? Pracovní objem komresoru je = Sl, objem nádrže (reciientu, jímače, neumatiky je R Z konstrukčních důvodů vzniká ři ravé úvrati ístu škodlivý rostor o objemu S, z něhož už lyn nelze vytlačit Důležitou konstrukční součástí komresoru jsou zákloky Jedna oddělí rostor reciientu od válce o vytlačení objemu Druhá je v ístu a naoak roojí vnitřní rostor válce s okolím ři vracení ístu U hustilky lní funkci této zákloky jednostranně roustný íst s koženou manžetou Dolnění válce hustilky vzduchem v jeho horní úvrati umožňuje otvor o Funkci rvní zákloky u hustilky lní ventilek na duši neumatiky (a Poište roces huštění a určete vzrůst tlaku v nádrži o k-tém racovním zdvihu ístu za ředokladu konstantní teloty a zanedbatelného škodlivého rostoru Počáteční tlak je 0 = a 8 Entroie, druhý a třetí termodynamický rinci 1 Změna entroie systému Jaká je celková změna entroie, když smícháme 2 kg vody o telotě 363 K adiabaticky a ři konstantním tlaku s 3 kg vody o telotě 283 K? (c = 4184J/K kg 10
2 Chladicí stroj Chladnička může za hodinu řeměnit 10 litrů vody o 0 C v led o téže telotě K tomu se musí odevzdat skuenské telo Q = 800 kcal (= 800 1,163 Wh do vzduchu (27,3 C Jaký nejmenší říkon musí chladnička mít? 3 Důsledek 3 termodynamického rinciu Dokažte, že ro 0 neexistuje systém osatelný = const 4 Podmínky rovnováhy dvou odsystémů Uzavřený systém se skládá ze dvou jednoduchých odsystémů, které jsou oddělené ohyblivou stěnou, která umožňuje (a jen výměnu tela, (b jak výměnu tela, tak výměnu hmoty, (c ani výměnu tela, ani výměnu hmoty Jaké jsou odovídající odmínky rovnováhy? 5 Mícháme lyny Dvě stejná množství ideálního lynu se stejnou telotou a různými tlaky 1, 2 jsou od sebe oddělena řeážkou Určete změnu entroie následkem smíšení obou lynů 6 Určete maximální ráci, kterou lze získat ři sloučení stejných množství téhož ideálního lynu se stejnou telotou 0 (a různými objemy oř tlaky 7 Bod tání vody Molární objem vody v (2 = 18cm 3 /mol, molární objem ledu je o 91% větší (ři tlaku 10 5 Pa, molární hmotnost vody je 18g/mol Latentní telo tání ledu je 330 kj/kg Sočtěte změnu bodu tání ři změně tlaku Obrázek 1: Pístový komresor (hustilka 11
9 Maxwell-Boltzmannovo rozdělení 1 Odvození M-B odvození Odvod te tvar Maxwellova-Boltzmannova rozdělení rychlostí molekul lynu ycházejte ouze z ředokladu, že rostor je izotroní a že ohyb molekul lynu v jednotlivých směrech je nezávislý 2 Hledání normovací konstanty Rozdělení hybností atomů je dáno Maxwellovým-Boltzmannovým rozdělením P( = C ex ( 2 2mk Nalezněte hodnotu C 3 Střední hodnoty M-B rozdělení Za ředokladu latnosti Maxwellova-Boltzmannova rozdělení rychlostí molekul lynu sočtěte (a x, (b, (c 2, (d v 2, (e E 2, (f nejravděodobnější velikost hybnosti, (g ravděodobnost toho, že z > 0 10 ermodynamické vlastnosti magnetik 1 eelné kaacity ro magnetika Při změně magnetizace M o dm vykoná systém ráci dw = H dm, kde H je intenzita magnetického ole (Jde o ráci vykonanou jednotkovým objemem; objem = konst = 1 Určete rozdíl teelných kaacit c H c M ři konstantním oli H a ři konstantní magnetizaci 2 Rovnice adiabaty Určete rovnici adiabaty izotroního magnetika 3 ztah mezi magnetizací a ermeabilitou Ukažte, že latí c H c M = χ χ S, kde a χ = χ S = ( M, H ( M H S 12
11 Alikace termodynamiky: astronomie 1 Reakce v ranném vesmíru Sočtěte rovnováhu mezi elektrony, ozitrony a fotony gama záření ři reakcích tyu (µ γ = 0 γ + γ e + e +, 13