Mateatický ois systéů racujících ve sojité čase. Základní ojy, linearita, Lalacova transforace, fory vnějšího oisu lineární dynaické soustavy, Základní inforace Čtenář této lekce by se ěl seznáit se základníi zůsoby oisu zejéna lineárních dynaických soustav. Nejdříve s oise oocí diferenciálních rovnic a oocí řenosové funkce a jejích vlastností. Oba tyto zůsoby sojuje Lalacova transforace, kterou bude třeba zavést, včetně jejích základních vlastností. Posléze se všei dalšíi variantai oisu lineárních systéů. Pokud budee uět vlastnosti a chování reálných systéů osat, res. naodelovat, ak na říklad dokážee ovlivňovat vlastnosti naěřených exerientálních, v čase roěnných veličin. Na říklad dokážee z nich odstranit nežádoucí složky (rušení), jejichž existence kolikuje zracování dat. Dále, a to je obecný rofit z ateatických odelů, dokážee-li definovat či osat ateatický odel časové řady, ravda v toto říadě s oezení na lineární odely, dokážee ledacos dalšího. Můžee odhadovat (redikovat) růběh časové řady do budoucna i do inulosti, dokážee dolnit hodnoty, které z jakéhokoliv důvodu v růběhu časové řady schází. Paraetry odelu ůžee oužít ro klasifikaci tvaru časové řady a s tí související klasifikaci (diagnózu) reálného objektu, který je zdroje dané veličiny. Na základě frekvenčních vlastností lineárního odelu, tedy toho jak se chová vůči haronický růběhů různých frekvencí, ůžee usoudit, jaké cyklické rocesy určují časový růběh dat a z toho dále usuzovat, jaké skutečné děje jsou říčinou tvaru analyzované časové veličiny. Výstuy z výuky seznáit se s a rozuět oju linearita, dokázat rozhodnout o linearitě systéu o zadané řevodní funkci; uvědoit si, že diferenciální rovnice je základní řirozený zůsobe jak ateaticky osat vztah ezi vstue a výstue reálného systéu; seznáit se s definicí Lalacovy transforace a jejíi základníi vlastnosti; uět oužít Lalacovu transforaci ro řevod diferenciální rovnice na oerátorovou (obrazovou) řenosovou funkci; uět vyočítat rozložení nulových bodů a ólů oerátorové řenosové funkce a dokázat je interretovat. uět vysvětlit význa frekvenční charakteristiky lineární soustavy; uět ro danou oerátorovou řenosovou funkci stanovit frekvenční charakteristiky lineární soustavy; rozuět význau časových charakteristik systéu, tj. iulzní a řechodové charakteristice, znát sysl oužití iulzní charakteristiky ro výočet výstuní veličiny systéu.
Doluva na začátek V celé následující textu budee ředokládat neautononí systé, tj. systé, který je ovlivňován (buzen) nějakou externí vstuní veličinou. Mateatici by asi řekli nehoogenní systé, rotože jeho chování ůže být osáno oocí nehoogenní diferenciální rovnice, tj. diferenciální rovnice s ravou stranou. Do jisté íry to ůže být kolikace, ateatický ois a výočet výstuního chování nebude záležet jen na vlastnostech systéu saotného, nýbrž i na to, jaký je zůsob jeho vstuního ovlivnění. Na druhé straně, okud se oezíe, jak jse již několikrát ředeslali, ouze na lineární soustavy, ak ta kolikace nebude zas až tak odstatná. Dokonce by se dalo říct, že v říadě lineárních soustav, by to bez vstuních veličin byla skoro nuda.. Linearita Mnohé základní ojy teorie systéů již byly zavedeny v kaitole očáteční (odkaz na VJ Kaitola očáteční, ka.. Systé). V toto ístě se odrobněji zabýveje linearitou systéů. Linearita je vlastnost v reálné světě ne říliš častá, na druhé straně, okud je systé lineární, velice se jeho ateatický ois zjednoduší, zjednoduší se i jeho analýza. Tyto vyjenované důvody jsou ale jen teoretické. Má linearita i raktický význa, když je, jak je výše uvedeno, v reálné světě tak zřídkavá? Reálné objekty a nejen biologické jsou oravdu ředevší nelineární. Na druhé straně ale zravidla fungují ouze v oezené rozsahu svých ožností a je ke zvážení, zda je ožné v toto oezené rozsahu chování objektu linearizovat. Pokud ano, je to skvělá říležitost ro lineární systéy. Obr.. Scheatické vyjádření vztahů rinciu suerozice Definice. Lineární systé s řevodní funkcí y f(x) je takový, ro nějž latí rinci suerozice, definovaný následujícíi dvěa vztahy (obr..): kde c je konstanta.. f(x ) + f(x ) f(x +x );. c f(x) f(c x), (.) Někdy se lze setkat i s obecný vyjádření rinciu suerozice ve tvaru n n c if (x i ) f cix i, (.) i i
kde c i jsou konstanty. Princi suerozicee ůžee obecně vyložit i tak, že je-li nějaký ko- lexní roblé lineární, ůžee jeho řešení získat váhovaný součte řešení jeho jednotli- vých dílčích částí. Příklad.: Ověřte linearitu systéů s řevodníi funkcei odle obr.... a) b) Obr.. Příklady řevodních funkcí systéů a) lineární funkce rocházející očátke; b) lineární funkce s absolutní člene. a) kde y L rerezentuje výočet dle levé strany rvního definičního vztahu rinciu suerozice, y P dle jeho ravé strany, y L výočet dle levé strany druhého vztahu a y P výočet dle jeho ravé strany. Systé s řevodní funkcí odle obr..a slňuje rinci suerozice, je tedy lineární. b) Systé s řevodní funkcí odle obr...b neslňuje rinci suerozice, tedy lineární není, řestožee jeho řevodní funkce á lineární charakter. Co tedy vylývá z tohoto oznání? Princi suerozice definující linearitu řevodní sou- vzá- stavy je něco trošku jiného než ouhý lineární (tj. říkou či rovinou definovaný) ois jeného vztahu ezi vstuní( (i) a výstuní(i) veličinou(ai) ). Znáe některé ateatické oerace, které jsou lineární z hlediska rinciu suerozice? Určitě ano. Na říklad bude z hlediska dalšího textu užitečné si řioenout, že lineární odle rinciu suerozice jsou derivace i integrace. Vždyť řece ti, kteří o derivování a inte- grování vědí i jen to základní, určitě znají vztahy ro derivaci a ro integraci y L k.x + k.x k.(x +x ) y P ; y L k..(c.x) c.k..x y P, y L k.x -q + k.x -q k.(x +x ) -q k.(x +x )-q y P ; y L k.(c..x) - q ckx - q c.(k..x- q) ckx - cq y P. [f (x)+f (x)] [f (x)] + [f (x)], ří. [f(c.x)] c.[f(x)] ] [ f! (x ) + f(x)] dx f (x) dx A to je řece řesně to jak je definovánn rinci suerozice. + f (x) dx, ří. c. f (x)dx c f (x)dx. 3
Vnější (vstuní/výstuní) ois lineárních systéů Další doluva Hovoříe-li o vnější oisu, zajíá nás jen a ouze, jak vzájeně souvisí veličina ředstavující vstu daného systéu s veličinou výstuní, saozřejě okud systé vstu á. Mezi oběa veličinai se nachází něco (systé), co ze vstuu udělá výstu, co růběh vstuní veličiny řeění na výstuní. To něco je ve své nitru nějak usořádáno, á svou vlastní strukturu, která řídí řevod vstuní veličiny na výstuní. V této kaitole ale nebude důležité, jak to funguje uvnitř systéu, nýbrž ouze jak se systé jeví navenek roto vnější, res. vstuní/výstuní ois.. Lineární diferenciální rovnice Diferenciální rovnice je základní zůsobe oisu jakékoliv soustavy lineární, nelineární, autononí, neautononí,. Je tedy zřejě nejleší títo zůsobe oisu začít. U neautononích systéů racujících ve sojité čase vyjadřuje diferenciální rovnice, jak se ění výstuní veličina a její zěny v závislosti na hodnotách a jejich zěnách vstuní veličiny. Pokud by byl systé autononí, tak diferenciální rovnice oisuje ouze hodnoty a zěny výstuní veličiny, řičež tato dynaika je vyvolána ouze očáteční nastavení soustavy, tj. ateaticky očátečníi odínkai řešení dané diferenciální rovnice. Přioeňe elektrický odel cévního segentu z říkladu v úvodní výukové jednotce (odkaz na VJ řesná secifikace uístění bude dodána ozději), znovu zobrazený na obr... Z. Kirchhoffova zákona, uvádějícího, že součet naětí v obvodové syčce je roven nule, je vstuní naětí obvodu rovno u (t) u R (t) + u L (t) + u C (t). (.) A rotože latí i další vztahy ro naětí na elektrické odoru (Ohův zákon určující naětí na reálné odoru jako součin hodnoty elektrického odoru a roudu odore rotékající u R.i) u R (t) R i R (t) (.) a ro roud cívkou integrální vztah i L (t) u L ( τ) dτ, (.3) L t Obr.. Pasivní sériový RLC obvod jako elektrický odel cévního segentu z čehož lyne, že je též dil(t) ul(t) L L il' (t), (.4) dt tj. naětí na cívce je úěrné zěně roudu cívkou rotékajícího. L je tzv. indukčnost cívky, araetr v reálu určující její elektrické vlastnosti. Mechanicky v odelu cévního úseku re- 4
rezentuje hotu roudící krve sojenou se setrvačností, ateaticky to je vlastně jen konstanta úěry. Poslední užitečný vztah, odobný vztahu (.3), res. (.4) je vztah ro naětí na kondenzátoru, které je dáno kuulací (integrací) elektrického náboje, který řiteče do kondenzátoru za časovou jednotku, tj. elektrického roudu. Tedy latí u C (t) C t i ( τ)dτ i (t) C.u (t), (.5) C - kde C je kaacita kondenzátoru, araetr udávající schonost kondenzátoru ojout elektrický náboj (v té cévní interretaci udávající, kolik krve je cévní segent schoný ojout). Mateaticky oět jen a jen konstanta úěry. Za ředokladu, že je obvod tzv. na rázdno nebo bez zátěže (jinýi slovy z obvodu nic neroudí i, tj. latí, že i i R i L i C i ) ůžee řesat rovnici (.) do tvaru 5 C C R i (t) + L i (t) + u C (t) u (t). (.6) Po záěně ořadí členů na levé straně a o dosazení za roud i(t) a jeho derivaci ze vztahu ezi roude a naětí na kondenzátoru odle (.5) je LCu C (t) + RCu C(t) + uc(t) u(t) (.7) a rotože naětí na kondenzátoru je současně i naětí ezi výstuníi svorkai, tj. u C (t) u (t), lze sát ateatický vztah ezi výstuní u (t) a vstuní naětí u (t) naětí obvodu a nebo ožná lée v norované tvaru LCu (t) + RCu (t) + u (t) u(t) (.8) R (t) + u (t) + u (t) u (t). (.9) L LC LC u Počet akuulačních rvků v systéu určuje řád systéu a tí i jeho odelu, zde diferenciální rovnice. V řešené úloze á obvod dva akuulační rvky (C, L), nejvyšší řád derivace výstuní roěnné je rovněž roven dvěa. Přesto, že jse vyšli ze znalosti vnitřní struktury obvodu, odvozená diferenciální rovnice oisuje ouze vztah ezi výstuní a vstuní veličinou, bez vyjádření hodnot veličin oisujících chování jednotlivých rvků obvodu. Obecně ůžee diferenciální rovnici oisující vlastnosti jakékoliv neautononí lineární časově invariantní soustavy osat ve tvaru y b (n) x (t) + a () n (t) + b y (n ) x (t) + a ( ) n y (t) + b (n ) x (t) +... + a y (t) + a y(t) ( ) (t) +... + b x (t) + b x(t), (.) kde y(t) značí výstuní veličinu, x(t) vstuní veličinu a a i, i,, n a b j, j,, jsou araetry systéu a n a jsou nezáorná celá čísla. Chcee-li získat růběh výstuní veličiny y(t) ze znalosti růběhu vstuní veličiny x(t) a daného systéu, je třeba diferenciální rovnici oisující konkrétní systé vyřešit, obecně její n-násobnou integrací. Pokud je > n, ak v řešení řevažuje ideální derivační složka (ani n-násobná integrace neodstraní všech derivací), jejíž důsledke by ěl nař. být co do velikosti nekonečný iulz v reakci na vstuní jednotkový skok. Nekonečná hodnota je ouze teoretická ožnost, reálné systéy díky různý setrvačnoste, zoždění a jiný oezení nekonečné reakce nedosáhnou, roto reálné systéy se sojitý čase ohou být osány diferenciální rovnicí, ro kterou usí latit n.
Je-li systé autononí, tj. bez vstuu, je diferenciální rovnice hoogenní, s nulovou ravou stranou. V říadě výše uvedeného elektrického obvodu by to znaenalo, že na vstuu nebude žádné naětí (na začátku cévního segentu nebude žádný krevní tlak, žádná krev neřiteče, ouze bude odtékat) a rovnice (.9) bude ve tvaru R (t) + u (t) + u (t),. (.) L LC u jejíž řešení, tj. časový růběh výstuního naětí, budee hledat ouze na základě očátečních odínek u () C, ří. u () C. C a C jsou nějaké syslulné konstanty. Pokud araetry a i a b j nezávisejí na veličinách oisujících chování systéu, tj. buď jsou konstantní, nebo axiálně závisejí ryze na čase, ak je systé lineární. Podle závislosti na čase rozlišujee lineární systéy na časově závislé a časově nezávislé (invariantní). Příklad.: Zdůvodněte, roč je diferenciální rovnice v obecné tvaru odle vztahu (.) lineární, okud jsou araetry a i, b j konstantní. Zůsobů, různě kolikovaných, jak to rokázat, je neochybně více. Zde se okuse ostuovat co nejvíce analyticky. Rozlože si roblé na dílčí eleenty. Pravá i levá strana diferenciální rovnice je dána součte derivací různého stuně výstuní, res. vstuní veličiny. Derivace jsou navíc váhovány araetry a i, b j, které jsou dle zadání konstantní. Derivace, jak jse si řioněli a rokázali v textu o říkladu., je oerací lineární. Znaená to, že jak ravá, tak levá strana rovnice (.) obsahuje ouze součty lineárních funkcí násobených konstantai, což vlastně odovídá obecnéu tvaru rinciu suerozice vyjádřenéu vztahe (.). V říkladu. jse zjistili, že vadí, okud se do funkčního vyjádření řilete absolutní člen, tedy rostá konstanta. Ta se však v rovnici (.) nevyskytuje ani na levé, ani na ravé straně rovnice. 3 Lalacova transforace 3. Zavedení Lalacovy transforace Lalacova transforace je užitečný ateatický nástroj ro transforaci sojitých funkcí času do kolexní roviny. Navzdory skutečnosti, že (jak níže uvidíe) á noho solečného s již dříve zíněnou Fourierovou transforací, neoužíváe ji, tak jak Fourierovu transforaci, k rozkladu sojitých funkcí na jednodušší funkce (i když i takový výklad by byl rinciiálně ožný), nýbrž ředevší ro ois lineárních časově invariantních soustav a ro řešení diferenciálních rovnic, které takovéto soustavy oisují. Z toho důvodu se lze s Lalacovou transforací a její oužití ro řešení diferenciálních rovnic setkat i v toto textu (odkaz na htt://ortal.ateatickabiologie.cz/index.h?ganalyza-a-odelovanidynaickych-biologickych-dat--sojite-deterinisticke-odely-i--lalaceova-transforace). Zde si zavedee Lalacovu transforaci jen v rozsahu nezbytné ro další zůsoby oisu lineárních soustav. Definice 3.: Pierre Sion de Lalace (*749 Beauont-en-Auge, Norandie, Francie; + 87 Paříž, Francie) francouzský ateatik (kroě zavedení uvedené transforace jako nástroje ro řešení diferenciálních rovnic, dokázal teoreticky etodu nejenších čtverců, ůvodně eiricky zavedenou Carle Gausse), statistik, astrono (nař. velice blízko se dostal ke koncetu černých děr), olitik (byl inistre vnitra za Naoleona Bonaarta). 6
Lalacova transforace X & () funkce x(t) je definována vztahe { x t) } X& t ( ) x( t) e dt, L ( (3.) kde σ + jω je kolexní číslo < σ < Re < σ < +. Přito se ředokládá, že ro funkci x(t) latí x ( t) dt < + (3.) a že σ a σ lze volit tak, že ro σ < Re < σ integrál (3.) konverguje. Pokud rozeíšee jádro transforace e -t odle reálné a iaginární složky na e -(σ+jω)t e - σt e -jωt, tj. & σt jωt x(t)e e dt (3.3) X() a ůžee získaný tvar Lalacovy transforace srovnat s definiční vztahe Fourierovy transforace (odkaz na VJ4 Modely veličin sojitých v čase rozklad na haronické složky, ka.). X( & jω) x(t) e která rerezentovala rozklad funkce x(t) na haronické složky charakterizované transforační jádre e -jωt. V souladu s títo oužití Fourierovy transforace ůžee vyložit význa Lalacovy transforace kroě jiného i jako nástroje na rozklad funkce x(t) na eleentární funkce osané funkcei tyu e -(σ+jω)t. Jaký růběh tyto funkce ají? Jak je výše uvedeno, exonenciální funkci transforačního jádra ůžee rozesat na součin e -σt e -jωt, v něž rvní činitel ředstavuje reálnou, ro σ > exonenciálně klesající a ro σ < exonenciálně rostoucí funkci. Druhý činitel v uvedené součinu je kolexní exonenciální funkce, která oisuje haronický růběh, jak jse již dříve seznali v kaitole ojednávající o oisu haronické funkce (odkaz na VJ Modely veličin sojitých v čase funkce sojité v čase, ka...). Součin obou dílčích členů tedy rerezentuje exonenciálně tluené, či zesilované haronické oscilace, řičež rychlost oklesu, či nárůstu je dána araetre σ, který nazýváe koeficiente tluení, res. zesílení. V říadě, že σ, ak součin saozřejě rerezentuje netluený haronický růběh. Takových funkcí je ale nerakticky noho, roto tato yšlenka, na rozdíl od Fourierovy transforace nenalezla ro rozklad sojitých funkcí raktické ulatnění. Proto se dále věnuje rvotníu účelu, ro který byla Lalacova transforace určena, tj. ois lineárních systéů a řešení diferenciálních rovnic. Protože význa ro raktickou analýzu ají výhradně kauzální systéy, oužívá se ro tento účel jednostranná varianta jωt dt, X() & x(t)e dt, (3.4) ůvodní dvoustranné Lalacovy transforace, určená za odobných odínek jako dvoustranná transforace tedy, že x(t) je absolutně integrovatelná v každé konečné intervalu a b < + a že lze zvolit σ ( < σ < Re ) tak, aby integrál (3.4) ro Re > σ konvergoval. 7
Příklad 3.: Určete Lalacovu transforaci jednotkové skokové funkce x(t) σ(t). [ e ]. X& () σ(t)e dt e dt Pokud si vzoenee na říklad, kdy se očítala Fourierova transforace Heavisidovy jednotkové skokové funkce (odkaz na VJ4 Modely veličin sojitých v čase rozklad na haronické složky, říklad.), výsledek byl Ẋ(ω) /jω. Určitě lze ve výsledných obrazových funkcích obou říkladů nalézt analogie. Jak vylývá z rávě řešeného říkladu, lze jednostrannou Lalacovu transforaci vníat jako dvoustrannou transforaci funkce vynásobené jednotkovou skokovou funkcí. Příklad 3.: Určete Lalacovu transforaci jednotkového iulzu x(t) δ(t). S využití vztahu vyjadřující vzorkovací vlastnost jednotkového iulzu (VJ Modely veličin sojitých v čase. Základní ojy, vztah (.3)) je X() & δ(t) e dt e δ(t)dt. Příklad 3.3: Určete jednostrannou Lalacovu transforaci funkce x(t) e -at. (+ a)t [ e ]. X& at (a + )t () e e dt e dt + a + a e at + a Můžee tedy sát, že jednostranná Lalacova transforace funkce e -at je L { }. Tento lalacovský ár si dobře zaaatuje, v raktických alikacích je dost užitečný. Příklad 3.4: Určete jednostrannou Lalacovu transforaci funkce x(t) te -at. Integrací er artes dostáváe X() & te at e dt v e + a (a+ )t u t u t v e + a e (+ a)t dt ( + a) (a+ )t + a (+ a)t [ te ] (+ a)t [ e ] ( + a) + + a e (+ a)t dt 8
3. Důležité vlastnosti Lalacovy transforace Podobně jako u Fourierovy transforace uveďe nyní některé otřebné vlastnosti Lalacovy transforace. Podrobnější rozbor a důkazy jednotlivých vlastností je uveden zde (odkaz na htt://ortal.ateatickabiologie.cz/index.h?ganalyza-a-odelovani-dynaickychbiologickych-dat--sojite-deterinisticke-odely-i--lalaceova-transforace). linearita rinci suerozice Nechť Ẋ () je lalacovský obraze funkce x (t), tj. Ẋ () L{x (t)} a také Ẋ () L{x (t)}. Nechť dále jsou α a β konstanty. Pak L { αx (t) + βx (t)} αx (t) e dt + ( αx (t) + βx (t))e βx (t) e dt α αx& () + βx& () αl dt x (t) e ( αx (t) e dt + β { x (t)} + βl{ x (t)}. + βx (t) e x (t) e dt )dt (3.5) Je-li R oblast konvergence Lalacovy transforace funkce x (t) a R ro říad funkce x (t), ak ro výslednou oblast konvergence R lineární kobinace obou funkcí latí R R R. (3.6) Totéž saozřejě latí i ro jednostrannou Lalacovu transforaci. Tabulka 3. Slovník některých užitečných lalacovských árů určených oocí jednostranné Lalacovy transforace x(t) Ẋ() oblast konvergence δ(t) σ(t) Re() > t Re() > t k k k! + Re() > e -at + a Re() > -Re(a) te -at ( + a) cos(ω t) + ω Re() > -Re(a) Re() > 9
ω sin(ω t) + ω + a e -at cos(ω t) ( + a) + ω ω e -at sin(ω t) ( + a) + ω Re() > Re() > -Re(a) Re() > -Re(a) inverze časové osy zěna časového ěřítka osun v časové oblasti osun v obrazové oblasti x(-t) ~ Ẋ(-); (3.7) x(at) ~.X& ; (3.8) a a τ x(t τ) ~ e.x& ( ); (3.9) t ( ) ~ e x(t) ; X& (3.) derivace v časové oblasti Pro jednostrannou Lalacovu transforaci derivace funkce x(t) je oocí integrace er artes dx(t) dx(t) L e dt [ x(t).e ] + x(t) e dt. (3.) dt dt První člen na ravé straně výrazu je o dosazení ezí roven x() a druhý člen Ẋ(). Z toho lyne, že ro rvní derivaci funkce x(t) je Lalacův obraz roven dx(t) L X() & x() (3.) dt a za ředokladu nulové očáteční odínky L x (t) X( & (3.3) { } ). Pro n-tou derivaci je odobně n d x(t) n n- n- (n-) L X() - x() x () - - x () n &, (3.4) dt res. oět za nulových očátečních odínek je n d x(t) n L X() & n ; (3.5) dt integrace v časové oblasti t x( )d ~ X() & τ τ ; (3.6)
konvoluce v časové oblasti x (t) * x (t) ~ Ẋ () Ẋ (). (3.7) 4 Vnější (vstuní/výstuní) ois - okračování 4.. Obrazová řenosová funkce V ka.. jse dosěli k závěru, že je ožné osat dynaické vlastnosti systéu oocí diferenciální rovnice n-tého řádu vyjadřující vztah ezi vstuní a výstuní veličinou soustavy. Diferenciální rovnice oisující lineární soustavu v obecné tvaru uvádí vztah (.) a je y (n) b (t) + a x () n y (t) + b (n ) (t) + a x ( ) n y (n ) (t) + b (t) +... + a y (t) + a y(t) x ( ) (t) +... + b x (t) + b kde a i a b j jsou buď konstanty, nebo axiálně funkce času. Tuto rovnici se nyní okuse řevést do Lalacovy obrazové oblasti, okud funkce x(t) a y(t) ají své lalacovské obrazy X() a Y(). V lineární říadě a za ředokladu nulových očátečních odínek ůžee s využití (3.4) diferenciální rovnici řesat do obrazového tvaru n Y() + a n- n- Y() + + a Y() + a Y() b X() + b - - X() + + b X(). (4.) Lalacovou transforací jse tedy diferenciální rovnici řevedli na olynoiální algebraickou rovnici, což je současně rvní kroke řešení diferenciálních rovnic oocí Lalacovy transforace. Algebraickou rovnici vyřešíe a získané řešení forálně zětnou Lalacovou transforací řevedee zět do originální doény. My ale nadále sleduje naše secifické zájy. Vytknee-li na říslušných stranách rovnice obrazové funkce Y() a X(), dostanee x(t), ( n + a n- n- + + a + a ) Y() (b + b - - + + b ) X() (4.) a odělíe-li obě strany výraze ( n + a n- n- + + a + a ) X(), áe konečně - Y() (b + b- + + b + b ) H() n n- (4.3) X() ( + a + + a + a ) n- kde funkci H() nazýváe obrazovou řenosovou funkcí soustavy, která je rovna oěru obrazů výstuní a vstuní veličiny (za ředokladu nulových očátečních odínek). Příklad 4.: Určete obrazovou řenosovou funkci zaojení odle obr... Diferenciální rovnici, která oisuje vlastnosti uvedeného náhradního elektrického odelu, jse vyočítali v ka.. a odle vztahu (.9) je R (t) + u (t) + u (t) u (t). L LC LC u Pokud ají funkce u (t) a u (t) Lalacovy obrazy U () a U (), ak za ředokladu nulových očátečních odínek ůžee sát Protože už dobře víe o kolexní charakteru obrazových funkcí, nebudee kvůli ohodlí už dále (až na ojedinělé výjiky) jejich kolexnost tečkou nad označení funkce zdůrazňovat.
R U () + U () + U () U () L LC LC a tedy obrazová řenosová funkce daného obvodu je U () () U() LC R LC + + L LC H. + RC + Příklad 4.: Určete obrazovou řenosovou funkci systéu osaného diferenciální rovnicí y (t) + y(t) 3x (t) 3 H(). + Příklad 4.3: Určete diferenciální rovnicí oisující systé, jehož vlastnosti jsou dány obrazovou řenosovou funkcí + H(). +,8 +,8 y (t) +,8y (t) +,8y(t) x (t) + y(t) 4. Rozložení nulových bodů a ólů oerátorové řenosové funkce Pokud jse obrazovou řenosovou funkci soustavy definovali odle vztahu (4.3) oocí racionální loené funkce roěnné jako H() Y() X() (b n ( + b + a + b + b ) + + a + a ) - - + n- n- ůžee ji vyjádřit i oocí loené funkce součinu kořenových činitelů b ( - z)( - z )...( - z ) H(), (4.4) ( - )( - )...( - ) kde b je reálná konstanta, často označovaná jako koeficient zesílení systéu. Paraetry,,, n jsou kořeny tzv. charakteristické rovnice, kterou vytvoříe oložení olynou ve jenovateli oerátorové řenosové funkce rovno nule n n- + a n- + + a + a n,. (4.5) Tyto kořeny nazýváe óly řenosové funkce. Jsou to hodnoty roěnné, ro něž oerátorová řenosová funkce nabývá liitně nekonečné hodnoty. Naoak araetry z, z,, z jsou kořeny rovnice vzniklé oložení olynou v čitateli oerátorové řenosové funkce rovno nule, tj. b + b - - b + + b b + b. (4.6)
Nazýváe je nulové body oerátorové řenosové funkce. Logicky jsou to hodnoty roěnné, ro něž oerátorová řenosová funkce nabývá nulové hodnoty. Pokud jsou araetry oerátorové řenosové funkce a i, b j reálné, ak jak óly, tak nulové body ohou být reálné i kolexní. Jsou-li kolexní, jsou o dvojicích kolexně sdružené. Příklad 4.4: Určete nulové body a óly oerátorové řenosové funkce 3 + 9 H(). 3 4 Oerátorovou řenosovou funkci ůžee řesat do tvaru 3 + 9 + 3 + 3 H() 3 3. 3 4 ( )( + + ) ( )( + + j)( + j) Z toho lyne, že řenosová funkce á jeden nulový bod z -3, zesílení soustavy je b 3 a jeden reálný ól a dva kolexně sdružené,3 ± j. Co ná tyto hodnoty dále říkají o vlastnostech danou řenosovou funkcí definované soustavy, si uvedee ozději. 4.3 Frekvenční řenosová funkce a frekvenční charakteristiky Jak jse již dříve uvedli, Lalacova roěnná á obecně kolexní charakter a ůžee ji také sát ve tvaru σ + jω, kde σ je koeficient tluení a ω πf je kruhová (úhlová) frekvence haronické funkce. Jak bylo uvedeno výše v kaitole o Lalacově transforaci, funkce e σ+jω, res. e -(σ+jω) á obecně tvar tlueného, res. zesilovaného haronického růběhu. Předokládeje nyní, že koeficient tluení σ. Pak o dosazení za v oerátorové řenosové funkci dostáváe Y(j & ) H(j & ω ω) X(j & ω) H(j & ω).arg(h(j & ω)). (4.7) obrazová řenosová funkce T + T H& (jω) Tuto funkci nazýváe frekvenční řenosovou funkcí lineárního systéu. Protože oět jde o zůsob vnějšího oisu vlastností lineární soustavy, vyjadřuje vztah ezi vstuní a výstuní funkcí soustavy, res. lée ezi haronickýi složkai, ze kterých se obě funkce skládají. Modul frekvenční řenosové funkce říká, jaký je vztah ezi alitudai haronických složek dané frekvence, ze kterých jsou vstuní i výstuní funkce složeny, arguent frekvenční řenosové funkce definuje, jaký je fázový (res. časový) osun ezi T + Obr.4. Příklady frekvenčních charakteristik v kolexní rovině ro vybrané tyy jednoduchých oerátorových řenosových funkcí. 3
haronickýi složkai vstuu a výstuu. Z frekvenční řenosové funkce odvozujee frekvenční charakteristiky systéu. Frekvenční charakteristika je ředevší grafické vyjádření frekvenční řenosové funkce systéu je to geoetrické ísto koncových bodů vektorů řenosu ro frekvence v intervalu ω <. Frekvenční charakteristiky vyjadřujee zravidla dvěa zůsoby: a) frekvenční charakteristika v kolexní rovině; b) odulová a fázová charakteristika. ad a) V toto říadě kreslíe frekvenční charakteristiku v kolexní rovině, do které vynášíe hodnoty frekvenčního řenosu ro úhlovou frekvenci jako araetr; frekvenční vlastnosti systéu vyjadřuje křivka v kolexní rovině, jejíž araetre je kruhová frekvence ω (obr.4. ravý slouec). ad b) Frekvenční vlastnosti systéu určují dvě funkce - závislost odulu frekvenčního řenosu na frekvenci a závislost fáze frekvenčního řenosu na frekvenci (obr.4.). a) b) Obr.4. Modulová a fázová frekvenční charakteristika (s oužití logaritického ěřítka) systéů s oerátorovou řenosovou funkcí a) H() /(+); b) H() /(+), tj. charakteristiky ro systéy s řenosovýi funkcei odle obr.4.5 s T. H (ω) H(ω) a H ϕ (ω) arg[h(ω)] (4.8) Velice raktický nástroje, jak získat orientační ředstavu o tvaru odulové a frekvenční charakteristiky lineární soustavy jsou tzv. Bodeho charakteristiky (odkaz na dolňkový text Bodeho charakteristiky). Příklad 4.5: Ukažte, že frekvenční charakteristika v kolexní rovině systéu s řenosovou funkcí H() á tvar olokružnice o oloěru,5 a střede v bodě (,5+j.), jak je zobrazeno na T + obr.4.. 4
Získeje nejrve orientační ředstavu, kterýi body frekvenční charakteristika rochází. Po dosazení za jω, je H(jω) Nyní určee body kolexní roviny, kterýi + jωt charakteristika rochází, tj. určíe hodnoty H(jω) ro ω, /T a. a) ro ω je H () ; + j..t b) ro ω je H ( ω) li ; ω ω + jωt j c) ro ω /T je H, T + j + j T T což jsou všechno body zobrazené na obr.4.. Nyní usíe ukázat, že funkce H( ω ) je rovnicí kružnice v kolexní rovině s uvedenýi araetry. Tedy ředokládeje, že tou tak je. V to říadě usí latit ( Re( ),5) + I (),5 řičež Re() + ω T a ωt I(). Dosadíe-li za Re() a I() do levé strany + ω T ředcházející rovnice, dostáváe o úravách + ω T,5 ωt + + ω T (,5( ω T )) ( + ω T 4 4 4,5,5. ω T +,5. ω T + ω T,5 +,5. ω T +,5. ω T ( + ω T ) ( + ω T ) což je rávě ravá strana vztahu, který jse chtěli dokázat. 4.4 Iulzní charakteristika ) ω T + ( + ω T 4 ) ( + ω T ),5. ( + ω T ),5 Obrazová řenosová funkce systéu H() je odle vztahu (4.3) definována za ředokladu nulových očátečních odínek jako oěr obrazů výstuní a vstuní veličiny Y() H (). X() Z toho lyne, že obraz výstuního signálu ůžee sočítat, znáe-li řenosovou funkci a obraz vstuního signálu, jako jejich součin, tj. Y () H().X(). (4.9) Dále, ve výukové jednotce Modely veličin sojitých v čase. Binární ateatické oerace (odkaz na VJ3, ka.) jse zavedli oje konvoluce, který vyjadřoval vztah ezi dvěa funkcei téhož arguentu. Podle definičního vztahu konvoluce latí ro funkce x (t) a x (t), že x (t) x (t) x( τ).x (t τ).dτ x(t τ).x ( τ).dτ,, 5
řičež bylo dále uvedeno, že v Lalacově i Fourierově doéně latí res. L(x (t) * x (t)) X () X (), F (x (t) * x (t)) X (ω) X (ω). Tedy, Lalacův, res. Fourierův obraz konvoluce je roven součinu obrazů obou funkcí, které do konvoluce vstuují. Jestliže vztah (4.9) říká, že obraz Y() výstuní veličiny y(t) systéu je dán součine řenosové funkce systéu s obraze vstuníveličiny, ak usí latit, že časový růběh výstuní veličiny ůžee určit oocí konvoluce vstuní funkce s nějakou časovou funkcí, která by dokázala charakterizovat vlastnosti systéu. Otázkou je, jaká je to časová funkce? Předokládeje, že obraze vstuní funkce je X(). V to říadě je Y () H().X() H(). H(). (4.) Z toho dále vylývá, že se řenosová funkce rovná obrazu výstuní funkce systéu vybuzeného funkcí s jednotkový Lalacový obraze (říadně ekvivalentně Fourierový obraze). Takovou funkcí je jednotkový Diracův iulz. Tedy obrazová řenosová funkce sojitého systéu je rovna Lalacově transforaci odezvy h(t) systéu na jednotkový iulz, říadně naoak H() L(h(t)), (4.) h(t) y(t) L - (H()). (4.) Systé tedy ůžee charakterizovat odezvou h(t) na jednotkový iulz, která je určena zětnou Lalacovou transforací obrazové řenosové funkce (zětnou Fourierovou transforací frekvenční řenosové funkce). Protože tato funkce charakterizuje vlastnosti systéu, nazýváe ji iulzní charakteristikou systéu. Na rozdíl ode všech dosud uvedených zůsobů oisu lineárního systéu je iulzní charakteristika funkcí času. Z uvedeného také vylývá, že odezvu systéu na buzení libovolnou vstuní veličinou ůžee očítat jako konvoluci časového růběhu funkce rerezentující vstuní veličinu s iulzní charakteristikou systéu. Je roto t y(t) h(t) x(t) h( τ).x(t τ).dτ h(t τ).x( τ). dτ. (4.3) Jednotkový iulz á nekonečně široké konstantní sektru (jak jse si ukázali dříve odkaz na VJ4, říklad.3), tedy řivedení této funkce na vstu systéu se rovná řivedení úlné sěsi haronických funkcí o frekvencích od do Hz se stejnýi alitudai. Funkci s takový frekvenční sektre ovše není žádný reálný systé schoen řevést bez deforace. Iulzní charakteristiku tedy vníáe jako systée zdeforovaný Diracův iulz a odle růběhu či vlastností takto zdeforovaného signálu ůžee usuzovat na vlastnosti systéu. H(), jakou á iulzní charakteris- T + tiku. Příklad 4.6: Má-li systé obrazovou řenosovou funkci 6 t Časový růběh iulzní charakteristiky je dán zětnou Lalacovou transforací obrazové řenosové funkce. V tab.3. ůžee ezi transforačníi áry nalézt i relaci ezi funkce-
i e /at ~. Pokud zadanou řenosovou funkci řevedee do tvaru s norovaný jenovatele, tj. H(), ůžee odle tab.3. snadno ro iulzní charakteristiku sát + a T + T t T h(t) e. T 4.5 Přechodová charakteristika Podobně jak je iulzní charakteristika odezvou systéu na jednotkový iulz, je ožné osat vlastnosti i oocí odezvy na druhou základní jednorázovou funkci, tj. na jednotkový skok. Tuto odezvu nazýváe řechodovou charakteristikou systéu a označujee ji g(t). Protože Lalacový obraze jednotkového skoku je L(σ(t)) /, je g(t) - H() L. (4.4) 4.6 Vzájené vztahy ezi různýi forai vnějšího oisu lineárního systéu Na obr.4.3 je zobrazeno všech sed dříve uvedených zůsobů vnějšího oisu lineárních systéů. Používané vzájené řevody jsou v obrázku vyznačeny sojnicei ezi jednotlivýi zůsoby oisu, čí jednodušší a oužívanější řevod, tí je sojnice ezi oisy silněji vyznačena. Obecně lze konstatovat, že všechny zůsoby vnějšího oisu lineárních systéů jsou si vzájeně ekvivalentní (kroě rozložení nul a ólů), je jen otázka jak otřeba, jak raktické a jak obtížné jsou vzájené řevody. Mnohé z těchto řevodů jse uvedli v kaitolách ojednávajících o jednotlivých forách oisu. Eleentární a velice často oužívaný je řevod ezi diferenciální rovnicí a Obr.4.3 Vzájené řevody různých fore vnějšího oisu lineárních systéů obrazovou řenosovou funkcí, vycházející z Lalacova obrazu derivace. Podobná situace je řevode obrazové řenosové funkce na frekvenční řenosovou funkci a naoak, res. dále na frekvenční charakteristiky. Obtížnější je určení analytické řenosové funkce (frekvenční, obrazové) z naěřených hodnot frekvenčních charakteristik, většinou se tak děje řibližnou aroxiací, je-li zadán ředokládaný či znáý řád systéu nebo alesoň ožadavek na řesnost aroxiace. Jednoduchý je i řevod ezi časovýi charakteristikai (iulzní charakteristika je derivací řechodové charakteristiky) a řevod ezi časovýi charakteristikai a řenosovýi funkcei. Vztahy ezi frekvenční a časovou oblastí již tak jednoduché nejsou. 7