Viskoelasticita - teorie, měření, aplikace. Stanislav Ďoubal, Petr Klemera, Jan Ďoubal

Transkript

1 Viskoelasticita - teorie, měření, alikace Stanislav Ďoubal, Petr Klemera, Jan Ďoubal DELTER v. o. s 04

2 Obsah Úvod Teoretická část. Mechanické chování viskoelastických těles ři statickém namáhání.. Základní ojmy a veličiny.. Pracovní (zatěžovací) diagramy..3 Hookeův zákon, dokonale ružné těleso. Dynamické chování viskoelastických těles.. Základní diferenciální rovnice ro lineární viskoelastické systémy.. Disiace energie u viskoelastických těles..3 Tlumení sil a deformací v soustavách viskoelastických těles..4 Odezvy lineárních mechanických systémů na jednorázové zatěžování..5 Odezvy lineárních mechanických systémů na cyklické zatěžování.3 Modely lineárních mechanických systémů se soustředěnými arametry.3. Základní reologická tělesa.3. Klasické modely se soustředěnými arametry.3.3 Modely s vlivem setrvačných sil.4 Reologické modely s rozloženými arametry.4. Analýza adekvátnosti klasických modelů.4. Teorie modelů s rozloženými arametry.4.3 Princiy očítačové simulace.5 Řešení inverzního roblému.5. Úvod.5. Identifikace modelu a výočet arametrů frekvenční charakteristiky.5.3 Identifikace modelu a výočet arametrů imulsní charakteristiky.5.4 Identifikace modelu a výočet arametrů řechodové charakteristiky.5.5 Určení arametrů Voigtůva modelu z Lissajouxových obrazců.5.6 Identifikace modelů na základě rezonančních maxim deformace.5.7 Řešení inverzního roblému ro modely s rozloženými arametry Praktická část. Přístroje o statická měření (trhací stroje). Přístroje ro dynamická měření (creeoměry, dynamické elastometry).3 Přístroje DELTER.4 Výočty arametrů modelů se soustředěnými arametry metodou nucených oscilací

3 .4. Namáhání v tahu.4. Namáhání v ohybu.4.3 Namáhání v torzi.4.4 Měření mechanických vlastností ovrchu těles 3 Příklady měření viskoelasticity 3. Omezení adekvátnosti modelů se soustředěnými arametry 3.. Cíl okusu 3.. Materiál: 3..3 Přístroje: 3..4 Metoda statické měření 3..5 Výsledek statické měření 3..6 Metoda dynamické měření 3..7 Výsledky dynamických měření 3..8 Závěry: 3. Rychlost šíření mechanické vlny ve viskoelastickém rostředí 3.. Cíl okusu 3.. Materiál 3..3 Přístroje 3..4 Viskoelastické arametry odle Voigtova modelu oscilační měření 3..5 Měření rychlosti šíření vlny 3..6 Závěry: 3.3 Určení rozdílu mezi normálovou a tečnou viskozitou 3.3. Cíl okusu 3.3. Teorie Princi měření Materiál Přístroje Měření v tahu Měření v torzi Závěry 4 Dodatky 4. Mechanické chování elastické trubice 4.. Namáhání v obvodovém směru 4.. Namáhání v odélném směru 4.. Namáhání výdutí (Lalaceův zákon). 4.3 Lalaceova a Fourierova transformace 4.3. Lalaceova transformace

4 4.3. Fourierova transformace Vybraná část oerátorového slovníku 4.4 Harmonická analýza 4.5 Fázory 4.6 Poissonovo číslo a materiálové konstanty Závěr Literatura

5 Úvod Dynamické namáhání reálných těles Dynamické namáhání reálných těles je vždy rovázeno určitými ztrátami energie. Názorně se tato skutečnost rojevuje tím, že vlastní kmity i zdánlivě elastických těles jsou vždy do jisté míry tlumené. V oisu závislostí mezi silami a deformacemi se ztráty energie rojevují existencí viskózní složky chování. Dá se tedy konstatovat, že všechna reálná tělesa jsou do jisté míry tělesa viskoelastická. V raxi za viskoelastická tělesa ovažujeme tělesa v situaci, kdy viskózní složka mechanického chování je nezanedbatelná roti složce elastické a setrvačné. Je také zřejmé, že viskózní složka chování se neulatňuje v ustálených stavech a není ji tedy otřeba brát v úvahu ři analýze statického namáhání těles. Viscoelasticita Viscoelasticita se zravidla definuje jako vlastnost materiálů (a těles), sočívající v tom, že deformační odezva na vnější síly je jak elastická, tak i viskózní. Souvislost s často oužívanými reologickými modely je zřejmá. Prakticky je velmi důležité, že viskoelasticita se rojevuje ouze ři dynamickém zatěžování. V ustálených stavech (tj. ři statickém zatěžování) se viskoelastická tělesa i materiály chovají elasticky. Oačně také latí, že reálná tělesa se ři dynamickém namáhání chovají vždy více či méně viskoelasticky. Při oisu dynamického mechanického chování reálných těles roto nevystačíme ouze s elastickými charakteristikami, jako jsou naříklad moduly ružnosti. Reologie Reologie je obor mechaniky, zabývající se řetvářením, deformacemi a tokem materiálu. Jedná se o obor, který bere v úvahu, že v mechanickém chování reálných těles a materiálů se ulatňují současně vlastnosti evných ružných těles i kaalin. Historie reologie Robert Hooke formuloval zákon oisující vztah mezi silou F a deformací ΔL u ružných (elastických) těles již v roce 660. Původní formulace Hookeova zákona byla F H L, kde H je konstanta. Tento vztah oisuje chování lineárně elastického tělesa. Jinak řečeno, lineárně elastické těleso se chová jako ružina.

6 V současné době se častěji uvádí Hookeův zákon ro lineárně elastické materiály. Jedná se o relace mezi mechanickým namáháním (σ) a relativní deformací (ε). Při namáhání v tahu latí vztah: E, kde E je Youngův modul ružnosti. Koncem devatenáctého a začátkem dvacátého století se fyzikové (Kelvin, Maxwell, Boltzmann a další) zabývali existenci toku (creeu) u kovů, gumy a skla. Ukázalo se, že ři dynamickém namáhání je třeba brát v úvahu i tzv. viskózní vlastnosti těles res. materiálů. Jako aroximaci dynamického chování viskoelastických těles byl navržen tzv. Voigtův model (Kelvinovo těleso), osaný rovnicí: dl F H L N, dt kde N je tzv. Newtonův koeficient. Tento vztah oisuje za určitých odmínek mechanické chování některých lineárně viskoelastických těles. Pro materiály se jako Voigtův model ři namáhání v tahu a v tlaku označuje vztah: d E, dt kde η je viskózní koeficient, často označovaný jako viskozita. Viskózní koeficient však není totožný s viskozitou odle Newtonova vztahu ro viskozitu, rotože namáhání je v normálovém směru (nikoli tečné, jako u klasické definice viskozity). Voigtův model se však ři odrobnějším studiu chování viskoelastických těles ukázal málo univerzální. Mechanické chování řady těles se lišilo od chování Voigtova modelu. Byla roto ostuně navržena řada dalších tzv. reologických modelů. Vždy se jednalo o kombinace tzv. Hookeových těles (chovajících se jako ružiny) a Newtonových těles (chovajících se jako tlumiče). Význam studia viskoelasticity Vliv viskózní složky a setrvační složky chování vzrůstá s frekvencí zatěžování. Viskózní síly závisí na frekvenci lineárně, setrvačné síly kvadraticky. V mnoha situacích, naříklad ve strojírenství či stavebnictví, jsou tělesa zatěžována silami, které se v čase mění relativně omalu a viskózní i setrvačné síly jsou roti elastickým silám zanedbatelné. Při harmonickém růběhu namáhání to nastává tehdy, okud jsou časové konstanty tělesa mnohem menší než erioda harmonického namáhání. V těchto říadech je možné tělesa až do meze ružnosti ovažovat za elastická. Pokud je závislost mezi namáháním a deformací lineární (do namáhání menší, než je mez linearity), lze za dostatečnou informací nutnou ro ois relací namáhání-deformace ovažovat moduly ružnosti. Moduly ružnosti jsou v těchto říadech materiálové konstanty.

7 V mnoha dalších situacích však toto zjednodušení není možné. Zejména u těles vyrobených z lastických materiálů, gumy, textilií, u biologických struktur a odobně, je v reálných odmínkách zatěžování vliv viskózní i setrvačné složky významný. V těchto říadech je nutné se zabývat viskoelastickým chováním takovýchto těles. V této ráci se budeme zabývat viskoelastickým chováním těles, která se chovají lineárně. Jinými slovy situacemi, kdy relace mezi namáháním a deformací je možno osat lineárními diferenciálními rovnicemi, nebo jsou lineární alesoň o úsecích. Relace mezi silami a deformacemi ovšem mohou být nelineární. Nelineární vztahy se obecně ulatňují zejména ři velkých relativních deformacích. S významně nelineárním chováním se často setkáváme zejména u biologických struktur. Problematika nelineárních systémů je obecně mnohem komlikovanější, než roblematika systémů lineárních. Z raktického hlediska je důležité, že i nelineární systémy je často možné ovažovat za řibližně lineární ro malé změny namáhání a deformací. Nelineární systémy lze tedy často ovažovat za lineární o úsecích a ro řešení roblematiky nelineárních systémů využít teorií systémů lineárních. Orávněnost linearizace je ovšem třeba kriticky analyzovat. Nelineární chování těles ři statickém zatěžování lze vcelku snadno osoudit na základě tzv. racovních diagramů, které vyjadřují závislost mezi relativní deformaci a mechanickým naětím v ustálených stavech. Při dynamickém zatěžování je ověřování orávněnosti linearizace obtížnější a je nutno ostuovat říad od říadu na základě hlubší analýzy situace. Jak již bylo řečeno, ři dynamickém namáhání ří zatěžování vyššími frekvencemi, res. okud jsou změny zatěžování rychlé, ulatňuje se viskózní složka chování těles. Mechanické chování je také ovlivňováno setrvačnosti těles. Dynamická tuhost těles je určena nejen statickou tuhostí a viskózní i setrvačnou složkou chování. Dynamická tuhost je často významně odlišná od běžné (statické) tuhosti. Rozdíly mezi statickou a dynamickou tuhostí jsou značné zejména tzv. viskoelastických těles, zejména lastů, gumy, textilií a biologických struktur, a to i ři běžných fyziologických odmínkách zatěžování. Pokud usilujeme o dostatečně úlný ois mechanického chování těles, je znalost kvantitativního oisu dynamiky mechanického chování odstatná. Je důležitá naříklad ro osouzení mechanické komatibility navzájem sojených materiálů. V biomechanice se s roblematikou mechanické komatibility setkáváme v řirozených situacích i ři sojení biologických struktur a struktur umělých. Mechanická komatibilita je důležitá i ro umělé mechanické systémy. Pokud jsou ve vzájemném kontaktu dvě nebo více těles s rozdílnými mechanickými vlastnostmi, jsou rozhraní mezi nimi namáhána dodatečnými silami a v místech kontaktu hrozí zvýšené nebezečí orušení celistvosti mechanické soustavy. Informace o viskoelastických arametrech biologických materiálů jsou významné naříklad ro osuzování zdravotního stavu organismu nebo ro hodnocení růběhu hojení a regenerace. Mimořádně důležitá, a bohužel málo robádaná, je také roblematika evnosti viskoelastických materiálů ři dynamickém namáhání. V tomto říadě je zcela zřejmá role viskózní složky chování.

8 Dynamická tuhost viskoelastických materiálů totiž roste s rychlostí zatěžování. Při stejném namáhání klesá deformace s viskozitou a frekvencí. Důsledkem je větší evnost viskoelastických materiálů ři dynamickém zatěžování. V tomto kontextu je třeba zdůraznit, že ozornost by měla být věnována nejen evnosti mechanicky homogenních těles, ale i otázkám šíření namáhání a deformací ve strukturovaných systémech. Pokud je těleso zatěžováno na jednom konci namáháním, ak se toto namáhání šíří v tělese určitou rychlostí a odléhá jistému útlumu. Rychlost šíření vzruchu i jeho tlumení závisí u viskoelastických těles na hustotě, modulu ružnosti, viskozitě. Velmi významně závisí také na mechanické imedanci navazujících struktur. Tato roblematika je zatím v současné literatuře řešena ouze okrajově. Pokrok v této oblasti by neochybně znamenal řínos zejména ro sortovní a úrazovou medicínu. Řešení této zajímavé a důležité roblematiky závisí na dostunosti vhodné měřicí metodiky a na existenci odovídající teorie. Jedním z cílů této ublikace je usnadnit řešení tohoto okruhu roblémů. Zásadním úkolem v exerimentálním výzkumu je řešení tzv. inverzního roblému. Velmi často stojíme řed situací, kdy otřebujeme zobecnění, tedy ois modelu a určení jeho arametrů, na základě dílčích měření. Jinými slovy - rvní krok ři řešení inverzního roblému ředstavuje oužití vhodné metodiky měření dynamické odezvy viskoelastických těles. Dynamika deformačních odezev se měří omocí viskoelastometrů či řístrojů označovaných jako DMA (Dynamic Mechanical Analyzer). Komerčně dostuné řístroje jsou však obvykle rimárně určeny ro růmyslové oužití, jsou drahé a málo vhodné ro laboratorní měření v biomechanice. Pro výzkumně orientované laboratoře je určena skuina dynamických elastomerů, která byla vyvinuta ve soluráci Farmaceutické fakulty UK v Hradci Králové a firmy DELTER, která umožňuje mimo jiné určovat mechanickou imedanci těles a dynamickou tuhost těles. Dalším nezbytným krokem ři řešení inverzního roblému je vývoj vhodné teorie. Tato ublikace má oskytnout čtenáři co nejucelenější a rakticky oužitelnou teorii mechanického chování viskoelastických struktur a nástin metodiky měření viskoelasticity. Zabývá se řevážně lineárními viskoelastickými systémy, jejichž mechanické chování je možné osat lineárními diferenciálními rovnicemi s konstantními koeficienty. Ve většině říadů se zabývá zatěžováním v jednom směru (jednoosým namáháním), s tím, že ro řechod od namáhání v jedné ose do namáhání v rostoru je rinciiálně možný. Praxe ukazuje, že chování většiny materiálů je možné ovažovat za lineární v běžném rozsahu zatěžování, res. že jejich chování je o úsecích linearizovatelné. Zvláštní ozornost je věnována viskoelastickým modelům s rozloženými arametry a jejich očítačové simulaci. Ukazuje se totiž, že klasické viskoelastické modely se soustředěnými arametry (Voigtův, Maxwellův i další) neoisují adekvátně chování reálných těles, ve kterých jsou viskoelastické arametry rozloženy v celém objemu tělesa. Na druhou stranu je mechanické chování biologických materiálů obecně nelineární a v některých říadech může být možnost linearizace omezená (nař. u Binghamovy nebo St Venantovy látky, těles v oblasti kluzu či v blízkosti meze evnosti, u těles s hysterezním chováním, u těles vykazujících

9 únavu materiálu aod.). V těchto říadech je ois chování i řešení inverzního roblému náročnější než u systému lineárních. Lze ostuovat naříklad metodou stavového rostoru, která je osána naříklad v monografii Nelineární dynamické systémy (Kotek 974). Ve fyziologických odmínkách zatěžování biologických struktur však obvykle s lineární teorií vystačíme a mnohé zdánlivě odstatně nelineární chování lze vysvětlit vhodným lineárním modelem (naříklad i některé tyy hysterezí). Současná biomechanika oužívá řadu metodik, vycházejících zejména z teorie mechaniky kontinua a řešícím roblematiku namáhání a deformací v rostoru. Často je využívána teorie konečných rvků. Podrobnější informace nalezne čtenář v říslušné literatuře, naříklad v monografiích (Valenta 985, 993).. Teoretická část.. Mechanické chování viskoelastických těles ři statickém namáhání.. Základní ojmy a veličiny Ze statických měření vychází řevážná část teorie ružnosti a evnosti. Statická měření dávají do relací síly a deformace v ustálených stavech. Tato měření neoskytují informace o růběhu deformace ři měnícím se namáhání ani disiaci energie během dynamického děje a nelze z nich určit viskózní arametry. Podle reologických axiomů je však v každém tělese v nějaké míře obsažena viskózní složka chování. Pois mechanického chování těles jen na základě statických měření vyhovuje jen tehdy, když časové konstanty deformační reakce těles na namáhání jsou mnohem kratší, než jsou časové konstanty změn namáhání. Jinými slovy, těleso reaguje na namáhání téměř okamžitě a je zanedbatelný vliv viskozitních i setrvačných sil. Prakticky to znamená, že těleso musí být relativně krátké a s velmi malým odílem viskózní složky chování. Reálně tato situace nastává u neříliš dlouhých (řesně řečeno neříliš rozměrných) těles z kovů, keramiky, betonu aod. v situacích, kdy změny namáhání nejsou říliš rychlé. Se statickými charakteristikami se v některých situacích vystačí ve strojírenství a stavebnictví. Avšak i u těles z těchto materiálů je statický ois nedostatečný, okud se jedná o dlouhé objekty, jako jsou lana, mosty aod., nebo ři vysokých frekvencích namáhání. U biologických struktur je situace jiná. Namáhání biologických těles je zravidla dynamické a časové odezvy jsou relativně omalé. Je tedy zřejmé, že ois relací mezi namáháním a deformací ouze na základě statických charakteristik je u biologických struktur vhodný jen ve velmi omezené míře. Podobné závěry latí i ro další viskoelastická tělesa, jako jsou tělesa vyrobená z lastů nebo gumy. Podmínky oužitelnosti statických charakteristik vylývají z teorie, která bude uvedena v dalších částech. Mechanické chování oisujeme relacemi mezi namáháními a deformacemi. Je třeba rozlišovat ois chování tělesa jako celku a ois chování materiálu.

10 Tělesa jako celek: Statické mechanické chování tělesa oisujeme relacemi mezi namáháními a deformacemi v ustálených stavech. U těles jako celku nás rimárně zajímají relace mezi silami, ůsobícími na těleso, a odovídajícími změnami rozměru tělesa. Obvyklé je za namáhání tělesa ovažovat alikovanou sílu a za deformační odezvu absolutní deformaci. Tedy absolutní změnu délky v říadě namáhání v tahu či tlaku, změnu objemu v říadě namáhání ve všestranném tlaku, změnu úhlu ři namáhání ve smyku či torzi. Relaci mezi namáháním a deformací ři jednoosém namáhání těles chovajících se jako lineární systémy lze osat jedním arametrem - tuhostí. Pokud nulové síle odovídá nulová deformace je tuhost S oměr mezi namáháním (F) a deformací (D). F S D. () Pokud se namáhání mění mezi dvěma hladinami, latí ři lineární závislosti mezi silou a deformací. F S D, () kde ΔF je rozdíl ustálených hladin namáhání a ΔD je rozdíl ustálených hladin deformace. U nelineárních systémů není ois jedním arametrem možný, oužíváme roto diferenciální tuhost (Sd), určovanou v daném bodě zatěžovacího diagramu: Materiály (materiálové konstanty): df S d dd. (3) Materiálové konstanty oisují vlastnosti materiálu. Z materiálových konstant musí být možno osat chování tělesa libovolných rozměrů. V mechanice se ro ois mechanických vlastností materiálů oužívají následující veličiny. a) Normálové naětí σ: F, (4) A N kde A N je normálová locha k vektoru síly. b) Normálové smluvní (Kirchhoffovo) naětí σ s : kde A N0 je očáteční (klidová) normálová locha ři nulové síle. c) Tečné naětí τ: F s, (5) A N 0

11 F, (6) A T kde A T je tečná locha k vektoru síly. d) Relativní deformace ři namáhání v tahu a tlaku ε: l, (7) l 0 kde Δl je změna délky, l 0 je ůvodní délka tělesa (ři nulové síle). d) Relativní deformace ři namáhání ve smyku se nazývá zkos γ: u, (8) b kde Δu je smykový osun koncové lochy tělesa, b je tloušťka tělesa. Obr. Ilustrace k ojmu zkos. Pokud je závislost mezi mechanickým naětím a relativní deformací lineární (viz Hookeův zákon, část0, lze ji osat jedním arametrem modulem ružnosti. e) Modul ružnosti v tahu (a tlaku) E: f) Modul ružnosti v smykug: E s (9) G. (0)

12 Pracovní (zatěžovací) diagramy Pracovní diagramy jsou charakteristiky udávající závislost mezi namáháním a deformací. Obvykle se udávají ro materiály jako závislost mechanického naětí na relativní deformaci. V jednoduchých říadech je z nich možné určit závislosti mezi absolutními deformacemi a deformujícími silami ro konkrétní tělesa. Pokud deformace během měření dosahuje ustálených hodnot, jsou zatěžovací diagramy statické charakteristiky. Taková situace je nejběžnější, závislosti je nutno měřit bod o bodu, v ustálených stavech. Pokud však se zatěžující diagramy neurčují z ustálených stavů, je u viskoelastických těles jejich růběh závislý na dynamice zatěžování. Některé trhací stroje měří závislost mezi namáháním a deformací tak, že vstuní veličina (naětí či deformace) lineárně vzrůstá (Obr. ), říadně se mění skokově mezi dvěma zvolenými hladinami, nebo je zatěžování rováděno v cyklech. V těchto říadech je měření rováděno v dynamickém režimu, tedy získáváme dynamické charakteristiky. Výsledky měření ve statickém režimu a dynamickém režimu se mohou u viskoelastických těles významně lišit. Deformační odezva na časově roměnné zatěžování je v těchto říadech ovlivňována energetickými ztrátami během zatěžování, jinými slovy viskózní složkou chování viskoelastických těles. Nutno zdůraznit, že i mechanické chování materiálů, běžně ovažovaných za čistě elastické, je ve větší či menší míře ovlivňováno energetickými ztrátami. síla síla čas čas Obr. Lineárně rostoucí zatěžování Obr. 3 Zatěžování o skocích

13 síla T T síla T T čas čas Obr. 4 Zatěžování ilovým růběhem síly Obr. 5 Zatěžování trojúhelníkovým růběhem síly Hookeův zákon, dokonale ružné těleso Deformační síly či mechanická naětí u dokonale ružného tělesa nezůsobují žádné trvalé deformace. Zároveň je ři dostatečně malých deformacích závislost mezi silami a deformacemi lineární či blízká lineární závislosti (0). Lineární závislost mezi mechanickým naětí σ a relativní deformací se označuje jako Hookeův zákon. Pro namáhání v tahu je formulace Hookeova zákona (viz naříklad Horák96) následující: kde E je modul ružnosti v tahu (Youngův modul). E ().. Dynamické chování viskoelastických těles.. Základní diferenciální rovnice ro lineární viskoelastické systémy x (t) T y (t) namáhání transformace deformace Obr. 4 Ilustrace k základní rovnici ro ois lineárních mechanických systémů

14 U lineárních systémů je transformace T (Obr. 4) mezi namáháním a deformací dána lineární diferenciální rovnicí s konstantními koeficienty. Rovnice, která oisuje vztahy mezi vstuem a výstuem má následující tvar: n k m ( k ) ( l) a0 y ak y b0 x bl x () kde a a b jsou koeficienty, k a l jsou stuně derivace, x je vstuní veličina, y je výstuní veličina. Výše uvedená rovnice ředstavuje úlnou informaci o dynamickém chování lineárních systémů a umožňuje i řešení inverzního roblému. Neoskytuje však jednoduchý a názorný rostředek k hodnocení dynamického chování ani k řešení inverzního roblému. Poznámka: Podstata řešení inverzního roblému sočívá v tomto říadě v určení růběhu výstuní veličiny, naříklad deformace, ři znalosti růběhu vstuní veličiny, naříklad síly. Jinými slovy, je třeba určit koeficienty a v levé části rovnice () za situace, kdy máme k disozici růběh vstuní veličiny x. Tento úkol je sice řešitelný, ale náročný teoreticky i rakticky. Praktičtější je řevést vztah () s oužitím Lalaceovy transformace (viz nař. Kubík968) na vztah (3) l n m k l a0 ak Y( ) b0 bl X (3) i l kde je nová roměnná (místo času t ) a Y(), X() jsou Lalaceovy obrazy veličin y(t), x(t). Poznámka: Rovnice (3) je algebraická rovnice, jejíž řešení je na rozdíl od diferenciální rovnice () snadnější. Další usnadnění umožňuje volba vhodného růběhu vstuní veličiny, tedy měření vhodné charakteristiky. Naříklad imulsní charakteristika je odezva na imuls vstuní veličiny. Lalaceův obraz imulsu je konstanta (viz část 0) V tomto říadě, jak lyne z rovnice (3), je obraz výstuní veličiny racionální lomená funkce, kterou lze omocí metody arciálních zlomků řevést na součet zlomků tyu a, a,, (viz část 4.) o nichž víme, že v časové oblasti odovídají exonenciálním a harmonickým růběhům. Z toho vylývá, že odezva na imuls je tvořena součtem exonenciálních růběhů a tlumených harmonických růběhů. Koeficienty rovnice () a (3) lze relativně snadno určit na základě arametrů exonenciálních růběhů a tlumených harmonických růběhů (určených z imulsní charakteristiky). Výše uvedené latí i ro řechodovou charakteristiku. Příklad oužití rovnice (3) ro řešení římého roblému: Přeokládejme, že ro dané těleso chceme vyočítat růběh deformace (y) ro konkrétní růběh namáhání (x), naříklad chceme určit růběh deformace ro změnu namáhání skokem (řechodovou

15 charakteristiku). Postuujeme tak, že zjistíme (výočtem nebo ze slovníku Lalaceovy transformace) Lalaceův obraz X() vstuní veličiny x(t). Naříklad ro jednotkový skok je X() = / (viz 0). Dosadíme X() do algebraické rovnice (3) a řešíme ji ro Y(). V jednoduchých říadech řešení není roblém. Po určení Y() nalezneme omocí tabulek (0) časový růběh y(t). V některých říadech, zejména tehdy, když chceme určit frekvenční charakteristiky nebo analyzovat energetické ztráty, je výhodnější oužít Fourierovou transformaci (0.). V tomto říadě ostuujeme shodně, formálně se nová roměnná nahradí roměnnou iω (kde i je imaginární jednotka, ω je úhlová rychlost) latí: n m k l a0 ak ( i) Y( i) b0 bl ( i) X ( i) k l () Pro řešení inverzního roblému lze ostuovat i oačně v tom smyslu, že jako vstuní veličinu oužijeme deformaci a měřením určujeme sílu, otřebnou k deformaci. Postu je shodný jako v ředchozí situaci. Princi suerozice U lineárních systémů vylývá z rovnice () tzv. rinci suerozice, který významně zjednodušuje řadu odvození a výočtů. Podle tohoto rinciu je celková odezva výstuní veličiny na více vstuních veličin dána součtem odezev na jednotlivé vstuní veličiny samostatně. Platí: y ( x x...) y ( x ) y ( x )... kde y je výstuní veličina (odezva), x je vstuní veličina (stimul). (3) V matematice se tento rinci označuje též jako rinci aditivity. V mechanice lineárních systému tedy latí, že výsledná deformační odezva na více namáhání (sil, tlaků) je součet deformačních odezev na jednotlivá namáhání. Odvozené veličiny Oerátorová mechanická imedance ( ) je oměr Lalaceových obrazů F() síly a rychlosti v() deformace F( ) ( ) v ( ) (4) Mechanická imedance Z(iω) (někdy označovaná také jako komlexní mechanická imedance), je oměr fázorů sily F(iω) a rychlosti v(iω) deformace. F( i) Z( i) v ( i) (5)

16 kde ω je úhlová rychlost. Pro ω latí: ω = πf, kde f je frekvence. Oerátorová dynamická tuhost () je oměr Lalaceových obrazů síly F() a deformace L () F( ) ( ) L( ) (6) Oerátorová dynamická tuhost n rvků sojených se solečnou sílou (tzv. sériové sojení) se vyočte: n CS i i (7) Oerátorová dynamická tuhost n rvků sojených se solečnou deformací (tzv. aralelní sojení) se vyočte: CP n i i (8) Dynamická tuhost S(iω), někdy označovaná také jako komlexní dynamická tuhost, je oměr fázorů sily F(iω) a deformace L(iω): F( i) S( i) L( i) (9) kde i je imaginární jednotka. Absolutní hodnota dynamické tuhosti je S ( i) Re Im (0) kde Re je reálná část dynamické tuhosti a Im je imaginární část dynamické tuhosti. Dynamická tuhost n rvků sojených se solečnou sílou (tzv. sériové sojení) se vyočte: n S ( i ) S ( i) () CS j j

17 Odvození vztahu (3) neohyblivé okolí F S(iω) L(iω) S(iω) L(iω) S(iω) n L(iω) n V situaci odle Obr. 5 máme viskoelastickou tyč složenou z n úseků. Tyto úseky se vzájemně liší dynamickou tuhostí. Za ředokladu, že síla (namáhání) je v každém místě růřezu tyče stejná, v souladu z definicí () latí: F( i) LCS ( i), S ( i) Zároveň latí: L CS n j CS ( i ) L ( i) j a také: F( i) L j ( i). S ( i) j Sojením ředchozích vztahů dostáváme: F( i) S ( i) CS n F( i). j S j ( i) Z ředchozího vztahu již lyne vzorec (3).

18 neohyblivé okolí F S(iω) L(iω) S(iω) L(iω) S(iω) n L(iω) n Obr. 5 Ilustrace k odvození vztahů ro sériové řazení dynamických tuhostí a mechanických imedancí Analogickým ostuem lze dosět ke vztahu ro výočty tuhosti v ustálených situacích. Platí, že řevrácená hodnota výsledné tuhosti segmentů sojených sériově je rovna součtu řevrácených hodnot tuhostí dílčích úseků: n SCS i, S i kde S je oměr mezi sílou a absolutní deformací v ustáleném stavu. Komentář Pro latnost vztahu (3) je klíčová odmínka shodností sil ve všech místech růřezu tělesa. V odmínkách dynamického zatěžování se však síly i deformace šíří odél tělesa konečnou rychlostí a s jistým útlumem (viz část.4.). Aby byly odmínky ro latnost vztahu slněny, musí být rychlosti šíření dostatečně vysoké, tak aby čas nutný ro šíření změn síly odél tělesa byl mnohem kratší, než jsou časové konstanty tělesa. To je slněno ro malé délky těles. Orientačně těmto ožadavků vyhovují tělesa s délkou menší než 0, m. Pro řesné výočty je však nutná odrobná analýza chyb. Podobně nastává u viskoelastických těles i jistý útlum síly. Pokles sil odél tělesa oět záleží na délce tělesa a je zanedbatelný jen ři malých délkách. Útlum sil roste také s viskozitou materiálu (viz částchyba! Nenalezen zdroj odkazů.).

19 Dynamická tuhost j rvků sojených se solečnou deformací (tzv. aralelní sojení) se vyočte: S CP n ( i ) S j ( i) () j Veličiny (6) až () lze odvodit z rovnice (). Dynamická tuhost je názorná a často nejvhodnější ro raktické oužití. Odvození vztahu (4) V situaci odle Obr. 6 máme viskoelastickou tyč složenou z n aralelních úseků. Tyto úseky se vzájemně liší dynamickou tuhostí. Za ředokladu, že délka úseků je v každém místě růřezu tyče stejná, v souladu z definicí () latí: F CS ( i) L( i) S ( i). Zároveň latí: F CS n j CS ( i ) F ( i), j a také: F ( i) L( i) S ( i). i i Sojením ředchozích vztahů dostáváme: L( i ) S ( i) L( i) S ( i) CP n j Z ředchozího vztahu již lyne vzorec (4). j

20 neohyblivé okolí L(iω) S(iω) S(iω) S(iω) n F F F n Obr. 6 Ilustrace k odvození vztahů ro aralelní řazení dynamických tuhostí a mechanických imedancí Analogickým ostuem lze dosět ke vztahu ro výočty tuhosti v ustálených situacích. Platí, že hodnota výsledné tuhosti segmentů sojených aralelně je rovna součtu hodnot tuhostí dílčích úseků: S n ( i ), CS S i kde S je oměr mezi sílou a absolutní deformací v ustáleném stavu. Výše uvedené veličiny oisují chování těles jako celku. Pro materiály se oužívají následující veličiny. Oerátorový modul ružnosti E() je oměr Lalaceových obrazů naětí σ() a relativní deformace ε(). ( ) E( ) ( ) (3) Komlexní modul ružnosti E(iω) je oměr fázorů naětí σ(iω) a relativní deformace ε (iω). ( i) E( i) ( i) (4)

21 Imaginární složka komlexního modulu ružnosti se nazývá loss modulus E L (ztrátový modul a určuje energii, která se ři zatěžování harmonickým mechanickým namáháním o frekvenci ω řemění v telo (disiativní část energie, odst.chyba! Nenalezen zdroj odkazů.). imaginární osa E (iω) E L (iω) d = E(iω) φ E S (iω) reálná osa Z Obr. 7 lyne vztah: ( i) E L sin ( i) (5) kde úhel φ je fázový osun mezi harmonickými růběhy naětí a relativní deformace. Platí také: E L 0 sin 0, (6) kde σ 0 a ε 0 jsou amlitudy harmonických růběhů naětí a deformace. Reálná část komlexního modulu ružnosti se nazývá storage modulus E S (konzervativní modul), který určuje konzervativní energii, která se transformuje mezi elastickou a setrvačnou složku energie bez ztrát. Platí, analogicky jako u ztrátového modulu: ( i) E S cos ( i) (7) a také:

22 E S 0 cos 0 (8) imaginární osa E (iω) E L (iω) d = E(iω) φ E S (iω) reálná osa Obr. 7 Komlexní modul ružnosti.. Disiace energie u viskoelastických těles Předokládáme, že těleso je mechanická soustava, obsahující jistou vnitřní energii U. Tato vnitřní energie je rinciiálně tvořena veškerou energií obsaženou v tělese. Pokud je do soustavy vnesena energie E, ak odle zákona o zachování energie latí: E du W (9) kde W je mechanická ráce vykonaná soustavou. Pro mechanickou ráci latí: W dv (30) kde V je objem soustavy. Pro těleso tvaru tyče a za ředokladu, že se locha růřezu tyče významným zůsobem nemění, lze vztah (3) dále uravit: W FdL, (3)

23 kde F je deformační síla, L je změna délky (absolutní deformace) tělesa. Mechanická ráce W má disiativní charakter a odovídá energetickým ztrátám během deformačního děje. U viskoelastických těles je za disiaci energie zodovědná viskózní složka chování tělesa. Konzervativní složka obsahuje energii ohybovou a energii elastickou. Další formy vnitřní energie ovažujeme během deformačního děje za neměnné. U izolovaného tělesa bez disiativních ztrát (u elastického tělesa) zůstává během deformačního děje konzervativní energie v tělese uchována. Konzervativní energie může být u tělesa sojeného s dalšími strukturami ředávána dále do navazujících struktur. E E E = ΔW E deformace l Obr. 8 Ilustrace k vysvětlení vztahů mezi konzervativní a disiativní energii Pokud je do tělesa vložena energie E, rozdělí se na změnu vnitřní energie tělesa ΔW, na energii ředanou navazujícím strukturám E (Obr. 8). Změna vnitřní energie obsahuje složku konzervativní a složku disiativní. Konzervativní složku tvoří v naší situaci energie kinetická a energie elastická. Disiativní energie odovídá ráci vykonané tělesem během ohybu, řeměňuje se na teelnou energii. Při jednorázovém dodání energie do tělesa je během řechodového děje u viskoelastických těles veškerá vnitřní energie transformována do disiativní složky, konzervativní část energie je na konci řechodového děje nulová. U čistě elastických těles jsou však teoreticky disiativní ztráty nulové, vnitřní energie je v tělese uchovávána ve formě energie kinetické a elastické. Je zřejmé, že v říadě, kdy by těleso nebylo v kontaktu s okolím, vedla by tato situace k netlumeným kmitům. Pokud je do tělesa energie dodávána trvale (naříklad harmonickým buzením) a těleso ředává část energie navazujícím strukturám, ak v ustáleném stavu je do navazujících struktur dodáván výkon odovídající rozdílu mezi dodávaným výkonem a výkonem ztraceným vlivem disiace.

24 V dalších úvahách budeme ředokládat, že síly a deformace mají v tělese stejný směr (jednoosé namáhání). Disiativní energie odovídá ráci vykonané tělesem ři ohybu. Je dána skalárním součinem vektoru síly (F) a dráhy (l). Při osunutí tělesa odél elementární dráhy dl, dostáváme ro elementární ráci vztah: dw = F. dl. (3) Celková ráce je dána křivkovým integrálem: W F dl C, (33) kde C je růběh křivky, o níž ohyb robíhal... Disiace energie u viskoelastických těles Disiativní ztráty energie u řechodových dějů Vztah (35) je ro raktické oužití často říliš obecný, rotože vyžaduje znalost matematického oisu růběhu síly i dráhy (deformace). Při konstantní síle je však situace jednoduchá. Celková ráce je v tomto říadě nezávislá na dráze a je dána jen očátečním a koncovým bodem dráhy, tedy součinem síly a deformace. Během řechodového děje ostuně ubývá složka konzervativní, rotože musí být konstantní celková energie a rotože další energetické řesuny neředokládáme. Příklad: Předokládejme, že jsme zjistili, že danému vzorku vyhovuje Voigtův model (ka..3..) s arametry H = 000 N/m, N = kg/s. Přechodová charakteristika (odezva na skok síly o konstantní velikosti) má ro jednotkový skok růběh odle Obr. 9. V ustáleném stavu je deformace F L0 H, celková roztýlená energie F E D F L 0 a také E D. H V našem říadě se během řechodového děje uvolnila energie mj.

25 Obr. 9 Disiativní a konzervativní část energie u řechodové charakteristiky říklad Při konstantní síle je disiativní část energie součinem síly a deformace. V našem říadě je síla jednotková. Na začátku děje nedošlo k žádné disiaci, v čase ms byla roztýlená energie cca 0,63 mj. Na konci děje byla veškerá energie ( mj) řeměněna v telo. Disiativní ztráty energie u frekvenčních charakteristik a u složitějších růběhů namáhání U složitějších růběhů sil je výhodné rozložit růběhy omocí Fourierovy řady do součtu harmonických složek (část 0). Podle rinciu suerozice (vztah 5) je celková disiační energie dána součtem energii roztýlených v dílčích harmonických složkách. V říadě, že síla má sinusový růběh, je u lineárních systémů deformace rovněž sinusová, avšak je fázově osunutá roti růběhu síly. Průměrný výkon N roztýlené energie ři harmonickém zatěžování je dán vztahem T N F v dt T 0 (34) kde T je doba jedné eriody, v je rychlost deformace.

26 Poznámka Pokud má síla a deformace stejnou fázi (fázový osun je nulový), ak veškerá dodaná energie řechází do ráce vykonané tělesem, tedy na disiativní ztráty energie. Pokud je fázový osun síly a deformace 0 res. k.π, je disiativní energie nulová a dodaná energie řechází celá do konzervativní složky. Pro F F sin t a ro L L sin( t ) je l cos ( t ) 0 Po dosazení do (4) dostáváme: 0 v. 0 N T T 0 F L sint cos ( t dt 0 0 ) (35) Po úravě: T N F L t t dt T 0 0 sin sin ( ) 0 F0 L N T Dostáváme: 0 T 0 (sin t cos ( ) sin tcos tsin ( )) dt T F0 L0 N dt T cos ( ) (36) Disiativní výkon ři harmonickém buzení je následně dán vztahem: F 0 L N 0 sin (37) ro orovnání viz vztah (7). Tento výkon musí dodávat zdroj energie, aby se udržely ustálené harmonické kmity. Úhel φ je úhel mezi reálnou osou a vektorem dynamické tuhosti () a také úhel mezi reálnou osou a vektorem 0

27 komlexního modulu ružnosti viz vztah (6) a imaginární osa E (iω) E L (iω) d = E(iω) φ E S (iω) reálná osa Obr. 7. Pro úhel φ latí tg Im Re kde Im je imaginární část dynamické tuhosti, Re je její reálná část. (38) Pro F F sin t a ro L L sin( t ) je oměr amlitudy síly (F 0 ) a deformace (L 0 ) roven 0 0 absolutní hodnotě dynamické tuhosti a latí tedy: S( i F 0 ) (39) Pokud známe dynamickou tuhost, je možno disiativní výkon vyočítat odle vztahu: S( i) L 0 N sin, (40) nebo odle vztahu: F0 N sin (4) S( i) Disiativní energie ři harmonickém buzení: t t L 0 W N dt (4)

28 Disiativní energie ři ustáleném harmonickém buzení o dobu T: kde N je disiativní výkon. W N. T Konzervativní energii ři ustáleném harmonickém buzení o dobu T lze vyočítat analogicky kde P je konzervativní výkon. Konzervativní výkon ři harmonickém buzení je dán vztahem: (ro orovnání viz vztah 9) (43) W S P. T (44) F L 0 0 P cos (45)..3 Tlumení sil a deformací v soustavách viskoelastických těles Relace mezi disiativní energií, silami a deformacemi Prakticky se často setkáváme se situací, kdy dvě nebo více viskoelastických struktur je ve vzájemném kontaktu. Tyto struktury jsou namáhány dynamicky, změny sil i deformací se šíří odél těchto struktur konečnou rychlostí s nezanedbatelným útlumem. Na kontaktu struktur s rozdílnými mechanickými imedancemi dochází ke vzniku dodatečných namáhání. Tyto jevy ovlivňují riziko orušení těchto struktur. V této kaitole se budeme věnovat roblematice útlumu sil a deformací ve viskoelastických tělesech. Disiace energie vede k tlumení tlaků i deformací. Pokud máme tyč z homogenního materiálu, evně ukotvenou v bodě (Obr. 0) na kterou ůsobí v bodě síla F, ak se v místě ukotvení objeví síla F s jistým zožděním a jistým útlumem. Síly a deformace v místech uvnitř tyče jsou mezi hodnotami ro tyto krajní body. V říadě, že tyč je relativně krátká, ak je F F, rotože časové zoždění a útlum jsou zanedbatelné. Pokud je tyč v bodě evně ukotvena, je deformace v bodě nulová. Pokud délka tyče není zanedbatelná, je třeba očítat s útlumem i s konečnou rychlostí šíření sil i deformací odél tyče. Určení rychlosti šíření sil a deformací je závislé na struktuře viskoelastického modelu tělesa s rozloženými arametry a je náročné teoreticky i výočetně. Podrobněji je tato roblematika analyzována v části 0.

29 L = 0 F bod - uevnění L i F i L F bod - ůsobiště síly Obr. 0 Síly a deformace odél evně ukotvené tyče Útlum sil a deformací lze však určit i jiným, komlementárním zůsobem. Výočty lze rovést na základě znalosti dynamických tuhostí. neohyblivé okolí bod 3 F navazující struktury S(iω) 3 síla nebo deformace v bodě bod S(iω) 3 viskoelastické těleso S(iω) síla nebo deformace v bodě bod Obr. Útlum ve viskoelastických strukturách

30 V celé struktuře (viskoelastické těleso lus navazující struktury odle Obr. dochází k disiaci energie. Pro harmonické růběhy sil a deformací latí ro disiativní výkon vztah (39). Tento výkon odovídá energii ztracené v tělese vlivem disiace energie za jednotku času. V naší situaci je energie N 3 ztracená v celé struktuře za jednotku času dána vztahem, oisující situaci v bodě : N F 3 sin L 3 kde F je amlituda deformující síly v bodě, l je amlituda deformace v bodě, φ 3 je fázový osun mezi růběhem síly a deformace. Vzhledem k tomu, že ro dynamickou tuhost latí S 3 F ( i) ( i) L ( i) (viz též část Chyba! Nenalezen zdroj odkazů.), lze ředchozí vztah lze dále uravit: F N3 sin S 3 3 Pro energii ztracenou mezi body a 3 (energie ztracená v navazujících strukturách) latí analogicky: F N 3 sin S 3 3 kde F je amlituda deformační síly v bodě. Pro energii ztracenou mezi body a (energie ztracená v tělese) latí oět analogicky: N ( F F sin S Zároveň latí: N 3 N N 3 ) Útlum sil ve viskoelastickém tělese. Na základě výše uvedených úvah lze nalézt vztah ro útlum sil v tělese (tedy mezi body a ). F F T F. (46) Pro jednoduchost budeme ředokládat, že F =, v tomto říadě ro tlumení u lineárních systémů latí: T F F Pro usořádání odle Obr. lze odvodit:

31 T sin S sin S sin S sin S sin S 3 3 sin 3 S 3 sin S sin S 3 3 (47) Útlum deformací v tělese. Útlum deformací lze určit z útlumu síly a dynamické tuhosti: TF TL (48) S ( i )..4 Odezvy lineárních mechanických systémů na jednorázové zatěžování Imulsní charakteristiky Jedná se o odezvu výstuní veličiny na vstu trvající o velmi krátkou dobu. Exerimenty mohou být v zásadě usořádány dvěma zůsoby. Buď může být výstuní veličina deformace a vstuní veličina deformující síla či mechanické naětí, nebo tomu může být naoak (výstuní veličina je deformující síla či mechanické naětí a vstuní veličina je deformace). Teoreticky by mělo být vstuní ůsobení nekonečně krátké, rakticky řádově kratší, než jsou časové konstanty systému. Mírou velikosti imulsu je locha imulsního časového růběhu. Princi sočívá v tom, že systém se imulsem uvede rychle do ohybu, o ukončení imulsu se deformace systému dále mění, dynamika deformace je v tomto říadě závislá ouze na arametrech systému. Prakticky však bývá roblém zajistit definovaný růběh vstuního imulsu (definovanou velikost a krátké trvání). Tato metoda se roto oužívá hlavně ři měření rezonančních a ři měření vlastních tlumených kmitů systému. Poznámka: Imulsní charakteristika je derivace řechodové charakteristiky. Ukázka určení imulsní charakteristiky z konstitutivní rovnice. Příklad našeho ostuu: Vycházíme z teorie v části.. Předokládejme oět, že jsme zjistili, že danému vzorku vyhovuje Voigtův model (viz..3.), jehož arametr H = 000 N/m a N = kg/s. V části.3. je odvozena diferenciální rovnice, ro naše arametry má tvar F = 000.L +. dl/dt. V Lalaceově transformaci na základní rovnice (3) tvar: F( ) (000 ) L( ), (49) rotože vstuní veličina s v rovnici (3) odovídá síle a výstuní veličina odovídá změně délky L. Pro imuls velikosti Δ latí (viz Dodatek 4.3.3): F( ) (50)

32 Imulsní charakteristika, jako odezva na imuls síly k má následující růběh: L( t). e N H. t N (5) Přechodové charakteristiky V nejjednodušší formě se jedná o deformační odezvu na vstuní deformující ůsobení ve formě velmi rychlé změny vstuu z nulové úrovně na konstantní nenulovou hladinu. Pokud je vstuní veličina síla, ak toto měření někdy označuje jako měření tzv. creeu (Brož 975). Počáteční hladina namáhání však musí v mnoha říadech být různá od nuly. Jedná se o situaci, kdy je materiál v klidovém stavu vystaven jistému namáhání, což je běžné zejména u biologických materiálů. Obecně je nutnou výchozí hladinu volit různou od nuly a řechodovou charakteristiku měřit jako odezvu na skok mezi dvěma konstantními hladinami vstuu. V této situaci je však třeba značná oatrnost ři výočtech materiálových konstant na základě těchto měření. Pro řešení inverzního roblému je tato metoda často rakticky schůdnější než měření imulsních nebo frekvenčních charakteristik. Kromě určení arametrů lineárních systémů lze tuto metodu alikovat i u systémů nelineárních. Proměřením odezvy na skoky mezi vhodně volenými hladinami vstuu lze zjistit, zda se systém chová lineárně a v říadě nelineárního chování lze charakterizovat a osat nelinearity. Poznámka: Přechodová charakteristika je integrál imulsní charakteristiky. vstuní veličina čas Obr. Průběh vstuní veličiny ro měření řechodové charakteristiky.

33 Ukázka určení řechodové charakteristiky z konstitutivní rovnice Pokud je ro konkrétní těleso známa konstitutivní rovnice () res. (3), lze s oužitím Lalaceovy transformace snadno odvodit růběh řechodové charakteristiky. Jedná se o řešení tzv. římého roblému. Pro ilustraci uvedeme dále konkrétní ostu těleso chovající se odle Voigtova modelu. Předokládejme tedy, že jsme zjistili, že danému tělesu vyhovuje Voigtův model, jehož arametry jsou: H = 000 N/m a N = kg/s. V části.3.. je odvozena diferenciální rovnice, ro naše arametry má tvar F = 000.L +.dl/dt. Lalaceova forma konstitutivní rovnice () má v tomto říadě tvar: F( ) (000 ) L( ), vstuní veličina odovídá síle a výstuní veličina odovídá změně délky L. Pro skok síly o velikosti ΔF latí (viz 0): F F( ) (5) Na Obr. 3 je uveden růběh ro ΔF =. H F.t N L( t).( e ) (53) H Obr. 3 Příklad růběhu řechodové charakteristiky Voigtova tělesa

34 Křivky toku Křivky toku jsou deformační odezvy na obdélníkový imuls deformujícího (vstuního) silového ůsobení (Obr. 4). V souladu s obvyklou terminologií odovídá růběh křivky toku v časovém intervalu mezi vstuní a závěrnou hranou vstuního imulsu tzv. creeu. Průběh křivky o ukončení vstuního imulsu (za závěrnou hranou) odovídá tzv. zětnému toku (zětnému creeu). Pokud křivka toku dosáhne v růběhu trvání vstuního imulsu konstantní úrovně, lze ji ovažovat za složení dvou řechodových charakteristik. Tato situace je tyická ro řadu viskoelastických materiálů ři relativně malých zatíženích a dostatečně dlouhém trvání vstuního imulsu. síla +k -k 0 T čas Obr. 4 Průběh vstuní veličiny ro měření křivky toku. Ukázka určení křivky toku z konstitutivních rovnic () a (3). Lze oět vycházet z teorie v části.3.. Lalaceův obraz obdélníkového imulsu (viz 3.) je T e F( ) k, (54) kde k je velikost imulsu, T je doba trvání imulsu. Při určení deformační odezvy je možné vycházet z oerátorové dynamické tuhosti (8). Pro deformaci l() tedy latí:

35 F( ) L( ) ( ) (55) kde F() je Lalaceův obraz síly Γ() je oerátorová dynamická tuhost systému. V říadě zatěžování obdélníkovými imulsy síly (Obr. 4) je růběh síly tvořen dvěma skoky síly, rvní skok je o velikosti +k, druhý skok má velikost k, osunutý o T. Lalaceův obraz skoku nahoru je tedy Lalaceův obraz skoku dolů je tedy Obraz celé deformační odezvy je: F F n k ( ), k d T ( ) e (viz 0). k T L( ) ( e ) (56) ( ) Při výočtu odezvy v časové oblasti je třeba ostuovat člen o členu, s tím, že násobení F( ) znamená v časové oblasti integraci. Pokud má funkce f(t) obraz F(), ak obrazu F( ) odovídá v časové oblasti funkce t g( t) f ( u) du. Čili g( t) f ( u) du F( t) F(0) 0 konstanty). t, kde t) 0 F ( f ( t) dt (bez integrační Výraz e -t odovídá v časové oblasti osunu o t. Převody do časové oblasti je třeba rovádět o jednotlivých časových úsecích, ve kterých je ři integraci třeba samostatně určovat očáteční odmínky. Výsledný časový růběh je součet dílčích časových růběhů. V řadě říadů jsou časové konstanty viskoelastického tělesa mnohem kratší, než je doba trvání T obdélníkového imulsu. Odezva je až do času T shodná s řechodovou charakteristikou a odovídá odezvě na skok o velikostí +k z nulové hladiny. Odezva ro čas t > T je odezva na skok o velikostí k, z hladiny odovídající ustálenému stavu, tedy +k. Jinými slovy, křivka toku je tvořena dvěma řechodovými charakteristikami, které jsou až na znaménko shodné, ale osunuté o T. V říadě často oužívaného Voigtova modelu je jeho časová konstanta dána oměrem N/H. Je-li tedy naříklad H = 000 N/m a N = kg/s (jako v ředchozím říkladu), je časová konstanta ms. Reálně ředstavitelné doby trvání T jsou řádově vyšší. Takže v tomto říadě nastává ředchozí situace. Pokud jsou ovšem časové konstanty tělesa blízké nebo vyšší než doba T, je nutno řešit růběh křivek toku řešit obecněji.

36 Příklad: Předokládejme, že viskoelastické těleso mělo chování odle Voigtova modelu, arametr H = 000 N/m a N = 00 kg/s. Časová konstanta je τ = H/N, v tomto říadě τ = 0,s. Na Obr. 5. je růběh odovídající křivky toku ro dobu trvání imulsu T = 5τ, tedy 0,5 s. Obr. 5 Ukázka křivky toku Voigtova modelu ro T = 5τ. Na Obr. 6 je ro srovnání růběh deformace ro stejnou časovou konstantu, ale dobu trvání imulsu T = τ, tedy 0, s.

37 Obr. 6 Ukázka křivky toku Voigtova modelu ro T = τ. Komentář. Určení arametrů modelu a výočet materiálových konstant z měření křivek toku je odmíněno znalostmi reologického modelu. Je třeba ostuovat ad hoc, metodami osanými výše a v částech 0 a.3. Obecně je řešení inverzního roblému rozsáhlá a dosud ne zcela zvládnutá roblematika. Proto se v tomto komentáři budeme zabývat jednodušší situací, a to analýzou chování těles, osatelným s dostatečnou řesností Voigtovým modelem. Pokud máme k disosici výsledky měření toku, mohou v říadě alikovatelnosti Voigtova modelu nastat dvě situace. V rvním, jednodušším říadě dosahuje deformace v růběhu trvání vstuního imulsu deformace (téměř) ustálené hodnoty. Rovnice oisující tuto část růběhu je v čase t < T je L ( t).( e H H. t N v souladu se vztahem V čase t T je růběh deformace:. t N L ( t).( e ). H H Tedy ) H L ( t) H e H. t N.

38 Celá křivka toku sestává z dvou o sobě jdoucí a časově osunutých řechodových charakteristik, jejichž ustálené hodnoty jsou stejně velké, ale s oačným znaménkem. Časové konstanty jsou shodné. Při určení arametru H lze vycházet z maximální deformace F L MAX H. V říadě odle Obr. 3, kdy ΔF = a latí L MAX = /H. Parametr N modelu lze určit na základě měření časové konstanty, ro kterou latí: τ = N/H. Takto lze určit oba arametry Voigtova modelu, konstitutivní diferenciální rovnici, dynamickou tuhost či mechanickou imedanci. Jiná situace nastane, okud doba trvání vstuního imulsu je srovnatelná nebo kratší než je časová konstanta. Na Obr. 7 je ro ilustraci uveden říklad růběhu ro T = τ. V tomto říadě růběh nedosahuje ustáleného stavu a ři výočtu arametru H není možné vycházet z maximální hodnoty deformace dosažené ři měření. Výočty arametrů jsou složitější a vzniká nebezečí chyb. Při určování arametrů H a N dooručujeme ostuovat takto: a) Z odezvy na výstuní hranu obdélníkového imulsu (Obr. 7) určíme časovou konstantu τ odle vztahu: L ( t L ) max e t b) Z odezvy na výstuní hranu obdélníkového imulsu (Obr. 7) určíme koeficient H. Pro odezvu na vstuní hranu latí: k L ( t). H t e k L max ( t). H T e k H. Lmax T e c) Z časové konstanty a H určíme koeficient N. N H

39 Obr. 7 Ilustrace k výočtu arametrů H a N z křivek toku ro Voigtův model Ramové charakteristiky (odezva na lineárně rostoucí namáhání) V tomto říadě je zatěžování rováděno lineárně rostoucí silou. Určení deformační odezvy je oět možné z konstitutivní rovnice a z teorie v části0. Lalaceův obraz lineárně rostoucí funkce je (viz. 0.): k F( ), (57) kde k je směrnice grafu lineárně rostoucí síly Poznámka: Ramová charakteristika je integrál řechodové charakteristiky. Pilové charakteristiky Pilové charakteristiky atří mezi cyklické funkce. Jedná se o odezvy na ilový růběh namáhání (Chyba! Nenalezen zdroj odkazů.). Tento růběh lze ovažovat za složení střídavě o sobě jdoucích ramových funkcí a odezev na skok na nulovou hladinu. Odezvu lze určit výočtem o částech, o jednotlivých úsecích. Podrobněji o roblematice cyklického zatěžování ojednáme v další části. Uozornění: Někdy se s označením ilový růběh míní série o sobě jdoucích ramových funkcí s neurčitou či nulovou rodlevou T. Pokud je doba rodlevy T = 0, je odezva u viskoelastických těles tvořena součtem odezev na dílčí ramové úseky. Pokud je T 0, je ro korektní interretaci třeba, aby doba rodlevy byla řesně definována.

40 Trojúhelníkové charakteristiky V tomto říadě se jedná se o odezvu na trojúhelníkový růběh namáhání (Chyba! Nenalezen zdroj odkazů.). U řady komerčně vyráběných měřicích aaratur, určených ro měření viskoelastických materiálů, se jako vstuní veličina oužívá trojúhelníkový růběh deformace. Výstuní veličina je síla, kterou tato deformace vyvolá...5 Odezvy lineárních mechanických systémů na cyklické zatěžování Frekvenční charakteristiky Frekvenční charakteristiky jsou odezvy na harmonický růběh vstuní veličiny. U lineárních systémů latí, že odezva na harmonický růběh stimulu má rovněž harmonický růběh o stejné frekvenci. Měření frekvenčních charakteristik se rovádí zravidla tak, že vstuní veličina (síla res. deformace) má sinusový růběh o stálé amlitudě a fázi. V růběhu měření se mění její frekvence. Měří se amlituda a fáze výstuní veličiny (deformace res. síly). V mechanice se frekvenční charakteristiky oužívají zejména ro určování tzv. komlexního modulu ružnosti E(i) nebo dynamické tuhosti S(iω). Znalost analytického vyjádření komlexního modulu ružnosti nebo dynamické tuhosti umožňuje naoak rekonstruovat frekvenční charakteristiku. Komlexní imedance, dynamická tuhost i komlexní modul ružnosti oskytují informace o chování systému ři harmonických růbězích vstuní a výstuní veličiny. Na jejich základě lze však určit, jak mechanický systém deformačně reaguje na jakýkoli (i neharmonický) růběh těchto veličin. Průběhy je totiž možno rozložit do harmonických složek (u lineárních fyzikálně reálných systémů latí tzv. Fourierův teorém, z kterého lyne, že u fyzikálních systémů je každý eriodický růběh možno ovažovat za součet harmonických růběhů). Tento rozklad je možno rovést i ro neeriodické růběhy. V klasické formě jsou frekvenční charakteristiky oužívány ro zjištění relací mezi harmonickými vstuy a výstuy. Pro názornost je na Obr. 8 růběh namáhání sinusově se měnící silou. Střední hodnota je nulová. Deformační síla má rovněž harmonický růběh se střední hodnotou oět nulovou. Pokud je vzorek trvale ředejat konstantní silou F 0, je odezva osunuta o konstantní deformaci odovídající tomuto ředětí.

41 Obr. 8 Harmonické namáhání. Často se však setkáváme se situacemi, kdy změna vstuní veličiny (nař. síly) je kombinací více složek. Pro řešení v těchto říadech využíváme rinci suerozice (5). Obr. 9 Kombinace harmonického namáhání s trvalým ředětím.

42 Obr. 0 Kombinaci harmonického namáhání a skoku ro Voigtův model. Na Obr. 0 je růběh deformace jako odezvy na kombinaci harmonického namáhání a skoku ro Voigtův model. Zdůrazněme, že v čase menším než nula bylo namáhání (ředětí) nulové, v čase 0 byl na vstu řiveden růběh s nenulovou střední hodnotou lus harmonický růběh Ukázka určení frekvenční charakteristiky z konstitutivní rovnice. Průběh frekvenční charakteristiky je dán konstitutivní rovnicí () res. rovnicemi (6) až (8). Jinými slovy, známe-li rovnici () či (6) nebo (7) a (8), můžeme růběh frekvenční charakteristiky doočítat. Což je často důležité. Platí to také oačně, ze změřeného růběhu frekvenční charakteristiky lze rinciiálně určit koeficienty rovnic () res. (3), jinými slovy lze řešit inverzní roblém. Prakticky je ovšem řesnost tohoto určení omezená řesnosti měření a nutnosti mít frekvenční charakteristiku změřenou ro velké množství různých frekvencí. Tento řístu k řešení inverzního roblému je v mechanice občas oužíván, ale je technicky náročný a často nevhodný. Je-li to možné, je raktičtější ostuovat tak, že z řechodových či imulsních charakteristik (viz níže) určíme rovnici () a ak frekvenční charakteristiku doočítáme. Příklad: Na základě měření řechodové charakteristiky jsme zjistili, že danému vzorku vyhovuje Voigtův model, jehož arametr H = 000 N/m a N = kg/s. V části.3.. je odvozena diferenciální rovnice ro Voigtův model, ro naše arametry má tvar F = 000.L +.dl/dt. Dynamická tuhost je tedy odle rovnice () S( i) 000 i

43 Tento vztah již oisuje frekvenční charakteristiku. Často ostačí konstruovat tzv. amlitudovou frekvenční charakteristiku, což je závislost absolutní hodnoty dynamické tuhosti na frekvenci. GS ( ) Re Im S( ) Na Obr. je růběh amlitudové frekvenční charakteristiky ro náš říklad. Je vidět, že viskózní složka chování se začíná významněji ulatňovat až ři vyšších frekvencích. Pro nižší frekvence (ro chybu menší než %, frekvence od cca Hz) je dynamická tuhost téměř shodná se statickou tuhosti (H = 000). Obr. Ilustrace k výočtu frekvenční charakteristiky Odezvy na obdélníkové imulsy

44 síla T T +k -k t n t d t n t d čas Obr. Cyklické zatěžování obdélníkovými imulsy Při určení deformační odezvy je možné vycházet z oerátorové dynamické tuhosti (8). Pro deformaci L() tedy latí: F( ) L( ) (58) ( ) kde F() je Lalaceův obraz síly Γ() je oerátorová dynamická tuhost systému. V říadě cyklického zatěžování obdélníkovými imulsy síly (Obr. ) je růběh síly tvořen skoky síly střídavě o velikostí +k a k, ostuně osunuté o T, T, T +T, T +T, atd. n k t Lalaceovy obrazy skoků nahoru jsou tedy F ( ) e n n k t, F ( ) e n atd. d k t Lalaceovy obrazy skoků dolů jsou tedy F ( ) e d d k t, F ( ) e d atd. (viz část 4.3). Obraz deformační odezvy je tedy: l ) k e e e e tn td tn td (... ( ) Při výočtu odezvy v časové oblasti je třeba ostuovat člen o člen, s tím, že násobení F( ) znamená v časové oblasti integraci. Pokud má funkce f(t) obraz F(), ak obrazu F( ) odovídá (59)

45 t v časové oblasti funkce g( t) f ( u) du. Čili g( t) f ( u) du F( t) F(0) 0 t, kde ( t) 0 F f ( t) dt (bez integrační konstanty). Výraz e -t znamená v časové oblasti osun o t. Převody do časové oblasti je třeba rovádět o jednotlivých časových úsecích, ve kterých je ři integraci třeba samostatně určovat očáteční odmínky. Výsledný časový růběh je součet dílčích časových růběhů. Příklad: Předokládejme, že viskoelastické těleso mělo chování odle Voigtova modelu, jehož arametr H = 000 N/m a N = 00 kg/s. Na Obr. 3 je deformační odezva tohoto tělesa na obdélníkové imulsy o trvání 0,5 s, oakované s rodlevou 0, s. Na Obr. 4 je růběh deformační odezvy ro čas očítaný od začátku vstuní hrany imulsu. Obr. 3 Příklad deformační odezvy na cyklické zatěžování obdélníkovými imulsy

46 Obr. 4 Příklad odezvy na vstuní hranu imulsu ři cyklickém zatěžování obdélníkovými imulsy Odezvy na ilové imulsy síla T T k d t n t d t n t d čas Obr. 5 Cyklické zatěžování ilovými imulsy Při určení deformační odezvy lze ostuovat analogicky, jako v ředchozím říadě. Vycházíme oět z oerátorové dynamické tuhosti (8).

47 V říadě cyklického zatěžování ilovými imulsy síly (Obr. 5) je růběh síly tvořen v lichých úsecích silou lineárně rostoucí se směrnicí k = a v sudých úsecích skokem o velikosti d = k/(t di t ni ). Při eriodickém zatěžování je d=k/t. Lalaceovy obrazy ramové funkce jsou: F k n k tn, F ( ) e atd. (viz část 4.3.3). n tn ( ) e Lalaceovy obrazy skoků dolů jsou tedy: F d d ( ) e t d, F d d ( ) e t d atd. Obraz deformační odezvy je tedy: L ) k T T tn td tn td ( e e e e... ( ) Při výočtu odezvy v časové oblasti je třeba oět ostuovat člen o člen, s tím, že násobení F( ) znamená v časové oblasti integraci. Pokud má funkce f(t) obraz F(), ak obrazu F( ) odovídá v časové oblasti funkce F ( t) f ( t) dt (bez integrační konstanty). t g( t) f ( u) du. Čili g( t) f ( u) du F( t) F(0), kde 0 Výraz e -t odovídá v časové oblasti osunu o t. Převody do časové oblasti je třeba rovádět o jednotlivých časových úsecích, ve kterých je ři integraci třeba samostatně určovat očáteční odmínky. Výsledný časový růběh je součet dílčích časových růběhů. Odezvy na trojúhelníkové imulsy t 0 (60) síla t n t d čas Obr. 6 Cyklické zatěžování trojúhelníkovými imulsy

48 Při určení deformační odezvy lze ostuovat analogicky jako v ředchozím říadě. Vycházíme oět z oerátorové dynamické tuhosti (8). V říadě cyklického zatěžování ilovými imulsy síly (Obr. 6) je růběh síly tvořen v lichých úsecích silou lineárně rostoucí se směrnicí k a v lichých úsecích, v sudých úsecích silou lineárně klesající se směrnicí -k. Jedná se tedy o o sobě jdoucí ramové funkce. n k tn n k tn Lalaceovy obrazy ramové funkce nahoru jsou F ( ) e, F ( ) e atd. (viz. Dodatek 4.). n k tn n k tn Lalaceovy obrazy ramové funkce dolů jsou F ( ) e, F ( ) e atd. Obraz deformační odezvy je tedy: L ) k tn td tn td ( e e e e... ( ) Při výočtu odezvy v časové oblasti je třeba oět ostuovat člen o členu, s tím, že násobení F( ) znamená v časové oblasti integraci. Výraz e -t odovídá v časové oblasti osun o t. Převody do časové oblasti je třeba rovádět o jednotlivých časových úsecích, ve kterých je ři integraci třeba samostatně určovat očáteční odmínky. Výsledný časový růběh je součet dílčích časových růběhů. (6) Poznámka I v tomto říadě lze ři jistém oměru časových konstant tělesa a eriody imulsů ozorovat hysterezi v grafech síla-deformace..3 Modely lineárních mechanických systémů se soustředěnými arametry.3. Základní reologická tělesa Hokeovo těleso Klasické modely se soustředěnými arametry vycházejí z ředstavy, že chování těles lze nahradit chováním systému složeného z ružin a ístů. Pružiny se nazývají Hookeova tělesa nebo Hookeovy rvky a rerezentují elastickou složku chování tělesa. Síla zůsobí v Hookeově tělese deformaci L.

49 H. L F Obr. 7 Hookeovo těleso: symbol a základní rovnice mechanického chování Mechanické chování Hookeova tělesa ři namáhání v tahu se často vyjadřuje formou materiálových konstant odle vztahu (9): E (6) kde σ je normálové naětí, E je modul ružnosti v tahu, ε je relativní rodloužení. Jedná se o vztah odovídající Hookeově zákonu ro namáhání v tahu; analogické vztahy latí i ro další tyy namáhání (v tlaku, ve smyku, torzi, ohybu). Meze alikovatelnosti Hookeova modelu Chování ružného (Hookeova) tělesa jako celku se aroximuje chováním ružiny: kde F je síla, H je Hookeův koeficient, L je deformace. F H L (63) l = l 0 + Δl l= l 0 +Δl L = L=Δl Obr. 8 Nahrazení mechanického chování ružného tělesa chováním ružiny

50 Předokládá se, že ve výchozím (klidovém) stavu těleso není zatíženo, výchozí délka je klidová délka tělesa l 0 ři nulové deformační síle. U biologických materiálů i v řadě dalších říadů však situaci komlikuje fakt, že ve výchozím stavu je těleso zatíženo jistou výchozí silou (ředětím). Vyvstává ak otázka, jak srávně určit modul ružnosti. Je také zřejmé, že okud by latil Hookeův zákon v souladu s definicí (64), ve které je relativní rodloužení dáno vztahem (7) a modul E je konstantní, ak závislost absolutní deformace na síle (vztah 65) není lineární. Oačně latí také, že v říadě lineární závislosti síly na deformaci, nemá materiál Hookeovské vlastnosti. Dále se budeme touto roblematikou zabývat odrobněji. V říadě latnosti Hookeova zákona je normálové namáhání odle vztahu 4) římo úměrné relativní deformaci ε. σ Δσ Δε ε Obr. 9 Namáhání versus relativní deformace odle Hookeova zákona odle definičního vztahu (64) Za ředokladu, že latí definiční vztah (64) latí také: d E d dl d l 0 l l kde l je délka tělesa, l 0 je délka tělesa ři nulovém namáhání Dále latí (viz vztah 4): F A N kde A N je locha růřezu tělesa ři nulovém namáhání. l 0 0 Koeficient H, který určuje tuhost tělesa jako celku. Vztah mezi koeficientem H, a arametrem E vylývá ze vztahů (64) a (65):

51 H l0 E (64) A N Komentář Vztah (65) latí ro Poissonova čísla blízká nule, tedy ro elastická tělesa. V raxi ovšem neznáme římo naětí a relativní deformace, je nutné je stanovit exerimentálně. Hodnotu modulu E tedy musíme určit z měření sil a absolutních deformací u konkrétních těles (musíme řešit inverzní roblém). Často nemáme k disosici ani klidovou délku l 0. tělesa (bez zatížení). Prakticky se tedy ostuuje takto: Vyočte se diferenciální modul E * tak, že těleso o délce l, která odovídá výchozí síle F, se zatíží silou F + ΔF a měří se rodloužení Δl. Určí se relativní rodloužení ε *, očítané vzhledem k výchozí délce l. Pro výočty se oužívají vztahy: E * F A N l l V diferenciální formě: d E d Pro namáhání dostáváme: d E dl l Pro sílu tedy latí: d dl l. dl df AN E (67) l Tento ostu vede k následujícím roblémům: ) Diferenciální relativní rodloužení dε, které je dáno vztahem dε*= dl/l, závisí na délce. Bez další analýzy však není jasné, kdy můžeme oložit ε * = ε a vyočítat E klasicky odle vztahů (65 a 66), aniž by to vedlo ke vzniku významné chyby. ) Pro řesné výočty je u větších relativních deformací třeba řeočítávat lochu s ohledem na říčné zúžení (nař. s využitím Poissonova čísla), což dále komlikuje výočty E. Poznámka: Ve fyziologických odmínkách u biologických struktur, ale i v řadě raktických růmyslových alikací, jsou tělesa zatěžována v okolí středních (nenulových) namáhání. Naříklad stěny cév jsou namáhány v důsledku měnícího se tlaku uvnitř cév. Tento tlak se mění v okolí střední úrovně, mezi minimální a maximální velikostí tlaku. Minimální hladina je řitom významně větší než nula. Pro

52 analýzu vztahů mezi silami a deformacemi je tedy třeba vycházet z deformací v okolí těchto racovních bodů a ro výočty jsou ak relevantní diferenciální moduly E *. Vztah mezi diferenciálním modulem E* a klasickým modulem ružnosti E elastického tělesa. Mezi silami a deformacemi je vztah (67). Pokud by modul E * byl nezávislý na délce a okud by locha A N byla nezávislá na síle, ak lze rovnici (67) uravit takto: F 0 df A l N l 0 E dl l o integraci dostáváme l F A E ln, l N 0 kde l l l0 l, takže latí 0 l0 F AN E * ln ( ) kde l 0 je klidová délka tělesa ři nulovém namáhání. Předchozí vztah lze aroximovat mocninou řadou: F A N E ln ( ) A N E 3 4 ( 3 4 Porovnání s Hookeovým zákonem ( F A malých relativních deformací. Podmínka dobré shody obou výrazů je obecně: N...) E ) ukazuje, že jde o zřejmý sor. Shoda nastává jen u. Pro odchylku menší než 0% musí latit řibližně ε < 0,, tedy relativní deformace od 0 % ůvodní délky (viz též Chyba! Nenalezen zdroj odkazů.). Při deformacích menších než 0 % bude také zanedbatelné říčné zúžení růřezu a diferenciální modul bude s řesností leší než 0 % shodný s klasicky definovaným modulem ružnosti.

53 Obr. 30 Nelineární závislost namáhání (síly) na délce tělesa ři konstantním diferenciálním modulu. Poměr mezi diferenciálním modulem a Youngovým modulem na deformaci oměr (%) relativní deformace (%) Obr. 33 Poměr mezi diferenciálním modulem a Youngovým modulem v závislosti na relativní deformaci Newtonovo těleso Písty (někdy se oužívá termín tlumič, anglicky dash ot) se nazývají Newtonova tělesa či Newtonovy rvky. Rerezentují viskózní složku chování tělesa.

54 N dl/dt = F Obr. 3 Newtonovo těleso: symbol a základní rovnice mechanického chování Mechanické chování Newtonova tělesa ři namáhání v tahu se často vyjadřuje formou materiálových konstant takto: d N, (65) dt kde σ je normálové naětí, η N je normálová viskozita, ε je relativní rodloužení. Chování viskózního (Newtonova) tělesa jako celku se aroximuje chováním ístu: kde F je síla, N je Newtonův koeficient, L je deformace, t je čas. Komentář Vztah (68) řiomíná Newtonův zákon ro viskozitu F T dl, S x dt dl F N (66) dt kde τ je namáhání v tečném směru vzhledem k směru síly, S je tečná locha, η T je dynamická tečná viskozita, x je vzdálenost ohybujících se vrstev, dl/dt je vzájemná rychlost ohybu vrstev. V Newtonově definici viskozity ůsobí síla v tečném směru k loše, kdežto ři namáhání v tahu je síla v normálovém směru vzhledem k loše. Uvnitř viskoelastických těles namáhaných silou v normálovém směru se vyskytují i tečná namáhání. Tato namáhání se rojektují do sil v normálovém směru. Podrobnější informace nalezne čtenář naříklad v knize Mechanika kontinua (Brdička 005). I v normálovém namáhání se tak objevují u viskoelastických těles síly úměrné rychlosti změn deformace. Pokud vztah (68) uravíme, dostáváme: N l 0 čili také: dl dt,

55 N F S l 0 dl dt Vztah mezi veličinami N a η N je tedy následující: N l0 N S. (67) Normálová viskozita η N není totožná s viskozitou odle Newtonovy definice. Liší se odstatným zůsobem od dynamické ( tečné ) viskozity v klasickém Newtonově ojetí. Tečná viskozita se ulatňuje ři namáhání v tečném směru, naříklad ři měření ve smyku nebo torzi. Jinými slovy, normálovou viskozitu η N lze určit z měření v tahu nebo tlaku, tečnou viskozitu η T ak z měření v torzi nebo smyku. V části (0) je také exerimentálně demonstrován rozdíl obou viskozit na orovnání měření stejného tělesa v tahu a v torzi. Podmínka dobré shody výrazů (68) a (69) je oět :. Setrvačné těleso Při analýze dynamického mechanického chování viskoelastických těles je nezbytné brát v úvahu i setrvačné síly. M d L/dt = F Obr. 3 Setrvačné těleso: symbol a základní rovnice mechanického chování Mechanické chování tělesa vychází z druhého Newtonova zákona: d LT F M (68) dt

56 kde F je síla, M je hmotnost, L T je oloha těžiště, t je čas. Mechanické chování ři namáhání v tahu lze vyjádřit formou materiálových konstant. Pokud je jeden konec tělesa evný (bez ohybu) a deformaci cháeme jako změnu délky tělesa, ak je vztah mezi setrvačnou silou a deformací možno osat takto: d L F M k dt, kde M je hmotnost tělesa, k je koeficient, který vyjadřuje oměr mezi olohou těžiště a délkou tělesa, L je deformace. Pokud je těžiště urostřed tělesa, je k = 0,5. Platí tedy také: F V k d L dt kde V je objem tělesa, ρ je hustota materiálu, V d L k A dt N kde S je locha růřezu tělesa. Dále latí: L l 0, kde l 0 je klidová délka tělesa. Po dosazení dostáváme vztahy: V d k l 0 A dt N Při konstantní loše růřezu je V = A N.(l 0 + L), ři malých deformacích V A N.l 0. k l 0 d dt. Pro tyč jednotkové délky je l 0 = a k = 0,5 (růřez tyče ředokládáme o celé délce stejný) lze ředchozí vztah zjednodušit a ro materiálové konstanty dostáváme: d 0,5 dt (69) Komentář Klasické reologické modely nezahrnují vliv setrvačných sil, které závisejí na hmotnosti tělesa: d L F M dt T. Pokud má těleso tvar tyče, ak latí:

57 d LT F l0 AN, dt kde ρ je hustota materiálu, l 0 je klidová délka, A N je locha růřezu tělesa, L T je oloha těžiště, t je čas. Pokud se mění jen délka tělesa, vliv setrvačných sil s délkou roste. Elastické síly závisejí na tuhosti H tělesa (L je absolutní deformace): F H L. Pokud má těleso tvar tyče, ak latí: H a také: E A l 0 N E AN F L. l 0 Pokud se mění jen délka tělesa, vliv elastických sil s délkou klesá. Viskózní síly závisejí na viskozitě tělesa: dl F N dt Pokud má těleso tvar tyče, ak latí: N a také: N AN l 0 N A F l 0 N dl dt Pokud se mění jen délka tělesa, vliv viskózních sil s délkou klesá. Při harmonickém namáhání setrvačné síly rostou se čtvercem frekvence namáhání, viskózní síly rostou úměrně s frekvencí a síly elastické na frekvenci nezávisí. Závěr: Vliv setrvačných sil je výraznější u vyšších frekvencí a u dlouhých objektů (tyčí).

58 .3. Klasické modely se soustředěnými arametry Voigtův model Obr. 33 Voigtův model (Kelvinovo těleso) Voigtův model (Obr. 33) je tvořen aralelní kombinací Hookeova a Newtonova tělesa. Nebere v úvahu vliv setrvačných sil. Obě základní tělesa se deformují stejným zůsobem (deformace je solečná). Celková deformující síla je rovna součtu sil u obou těles. dl F H L N (70) dt V Lalaceově transformaci: F( ) ( H N) L( ) (74) Oerátorová dynamická tuhost Voigtova tělesa: ( ) H N (7) Dynamická tuhost Voigtova tělesa: S( i) H i N (7) Komlexní modul ružnosti Voigtova tělesa: E( i) E i (73) Výočet materiálových konstant Parametry H a N charakterizují chování konkrétního tělesa. V řadě říadů je však třeba určit materiálové konstanty, které by nebyly závislé na tvaru a velikosti tělesa. Pokud se těleso chová odle Voigtova modelu, lze z arametrů H a N určit konstanty E a η N, které by teoreticky měly být materiálovými konstantami. Pro Voigtův model ři namáhání v tahu či tlaku (normálová namáhání) latí. N

59 AN H E (74) l 0 AN N (75) N l 0 kde l 0 je délka tělesa bez namáhání. Analogické vztahy latí i ro další tyy namáhání (v tlaku, ve smyku, torzi, ohybu). Amlitudová frekvenční charakteristika Amlitudová frekvenční charakteristika Voigtova tělesa se určí na základě vztahu () res. (76) jako závislost absolutní hodnoty dynamické tuhosti na frekvenci. A( ) N H (76) Imulsní charakteristika Imulsní charakteristika je obecně odezva výstuní veličiny na imuls vstuní veličiny. V říadě Voigtova tělesa lze realizovat imulsní charakteristiku jako odezvu deformace na imuls deformující síly. Výočet růběhu imulsní charakteristiky lze nejsnadněji rovést s využitím Lalaceovy transformace (viz část 0 a 0). Imuls o velikosti má v Lalaceově transformaci obraz F() =. Pro Voigtovův model tedy latí:: L N. H Odovídající růběh imulsní charakteristiky v časové oblasti je: H. t N L( t). e (77) N Z raktického hlediska je důležité, že obvykle není řesně známa velikost imulsu (). Na základě měření imulsní charakteristiky lze tedy zravidla solehlivě určit ouze oměr N/H. Tento oměr vyjadřuje časovou konstantu τ Voigtova tělesa. V říadě Voigtova tělesa latí ro časovou konstantu také: N. (78) H kde η N je normálová viskozita, E je modul ružnosti v tahu. N (79) E Přechodová charakteristika

60 Přechodová charakteristika je obecně odezva výstuní veličiny na skok vstuní veličiny. V říadě Voigtova tělesa lze realizovat řechodovou charakteristiku jako odezvu deformace na skok deformující síly. Výočet růběhu řechodové charakteristiky lze oět nejsnadněji rovést s využitím Lalaceovy transformace. Skok o velikosti F má v Lalaceově transformaci obraz F() = ΔF/. Pro Voigtovův model tedy latí:: L F ( N. H) Průběh řechodové charakteristiky v časové oblasti má následující tvar: nebo také: H F.t N L( t).( e ) (80) H E.t N ( t).( e ). (8) E Poznámka: Měřit imulsní a řechodové charakteristiky u Voigtova modelu inverzně, to je tak, že bychom jako vstuní veličinu oužili imuls nebo skok deformace a měřili jako výstuní veličinu odezvu síly, není vhodné. Newtonovo těleso má ři rychlých změnách deformace velkou absolutní hodnotu dynamické tuhosti (ři imulsu či skoku dynamická tuhost roste teoreticky nade všechny meze) a imuls či skok deformace nelze v tomto říadě dost řesně realizovat. Maxwellův model Obr. 34 Maxwellův model Maxwellův model je tvořen sériovou kombinací Hookeova a Newtonova tělesa (Obr. 34). Na obě tělesa ůsobí shodné síly, Celková deformace je rovna součtu deformací obou těles.

61 V Lalaceově transformaci (a o úravě): L F H N F dt C (8) L( ) ( ) F( ) (83) H N Oerátorová dynamická tuhost Maxwellova tělesa: N H ( ) (84) H N Dynamická tuhost Maxwellova tělesa i N H S( i) (85) H i N Amlitudová frekvenční charakteristika Amlitudová frekvenční charakteristika Maxwellova modelu se určí oět na základě vztahu () nebo (89) jako závislost absolutní hodnoty dynamické tuhosti na frekvenci. Imulsní charakteristika Imulsní charakteristika je obecně odezva výstuní veličiny na imuls vstuní veličiny. V říadě Maxwellova tělesa lze realizovat imulsní charakteristiku jako odezvu síly na imuls deformace, říadně jiným zůsobem vnesení energie do tělesa. Postu ři odvození teoretického růběhu takto definované imulsní charakteristiky je analogický k ostuu ro Voigtovo těleso. Přechodová charakteristika Přechodová charakteristika je obecně odezva výstuní veličiny na skok vstuní veličiny. V říadě Maxwellova tělesa lze realizovat řechodovou charakteristiku ouze jako odezvu síly na skok deformace. Postu ři odvození teoretického růběhu takto definované řechodové charakteristiky je analogický k ostuu ro Voigtovo těleso. Komentář. )Měřit imulsní charakteristiky je sorné, rotože je obtížné realizovat imuls o definované velikosti. Výsledky u Maxwellova (i Voigtova) modelu jsou roto obvykle neřesné. Pro řešení inverzního roblému je roto vhodnější oužívat řechodové charakteristiky. )V reálných situacích nelze oužít ro řešení inverzního roblému odezvy deformace na skok síly a současně vycházet z Maxwellova modelu. Důvodem je, že u Maxwellova modelu jsou odle definice síly u obou základních těles stejné jako vstuní síla a v říadě takto definované řechodové charakteristiky by měla mít charakter skoku i síla v Newtonově členu. Toho je možno dosáhnout jen

62 okamžitou změnou (skokem) rychlosti deformace a tedy nekonečně velkým zrychlením v na očátku řechodového děje. Toho v reálných situacích nelze dosáhnout. Problémem, z metrologického hlediska, je také trvalý tok Newtonova tělesa, který může vést k situaci, kdy se měřicí zařízení dostane mimo rozsah měřitelných délek. Analogicky nelze oužít ro řešení inverzního roblému odezvu síly na skok deformace a současně vycházet z Voigtova modelu. Další klasické reologické modely se soustředěnými arametry Prakticky se nejčastěji aroximuje chování reálných těles Voigtovým modelem. Přesnější měření však vedou k větším či menším odchylkám mezi reálným chováním a modelem. Aby se tento rozor řekonal, byla navržena řada dalších modelů (Manas 998), které jsou ve své odstatě kombinace Voigtových a Maxwellových modelů. Jedná se však vždy o modely se soustředěnými arametry, které nemohou resektovat skutečnost, že reálná tělesa jsou systémy s arametry rozloženými. Všechny klasické reologické modely také ovažují vliv setrvačných sil za zanedbatelný. Ukážeme dále, že v řadě reálných situací není tento ředoklad slněn..3.3 Modely s vlivem setrvačných sil Voigtův model se setrvačným členem F N N H F EXT F H F M M Obr. 35 Voigtův model (Kelvinovo těleso) se setrvačným členem Teorie

63 Voigtův model (Obr. 35) se setrvačným členem je tvořen aralelní kombinací Hookeova, Newtonova a setrvačného tělesa. Bere v úvahu vliv setrvačných sil. Celková deformující síla je rovna součtu sil všech tří těles. Hookeovo a Newtonovo těleso se deformují stejným zůsobem (deformace je solečná), tedy obvykle shodně s ohybem ohyblivého konce soustavy. Setrvačné těleso se ohybuje solečně s těžištěm soustavy (!). Teorie Rovnováha sil: d L dl mk N H L, (86) d t d t F C kde m je hmotnost tělesa, k je koeficient, který vyjadřuje oměr mezi olohou těžiště a délkou tělesa, L je absolutní deformace. Pokud je těžiště urostřed tělesa, je k = 0,5. Pro jednoduchost označíme k.m = M. d L dl M N H L d t d t F C (87) Oerátorová dynamická tuhost Voigtova tělesa se setrvačným členem: ( ) H N M (88) Dynamická tuhost Voigtova tělesa se setrvačným členem:: S( i) H i N M (89) Imulsní charakteristika Řešení vychází z rovnice (9). Protože Lalaceův obraz imulsu je konstanta, je Lalaceův obraz deformace možno z rovnice (9) jednoduše vyočítat. Postuuje následujícím zůsobem. Nejrve určíme kořeny a této kvadratické rovnice. Pak s omocí slovníku Lalaceovy transformace (viz část 4. ) nalezneme růběh deformace v časové oblasti. Pro kořeny rovnice (9) v této situaci latí: N N M 4M. H Z hlediska imulsní (i řechodové) charakteristiky jsou významná dvě řešení aeriodické a eriodické. a) Aeriodická situace N 4MH (kořeny a jsou reálná záorná čísla). Průběh v časové oblasti je aeriodický, bez kmitů. Imulsní charakteristika má ro aeriodické řešení tvar: (90)

64 ).( ) (.. t t I e e M I t L (9) kde ΔI je velikost imulsu. b) Periodická situace N 4MH (kořeny a rovnice (9) jsou komlexně sdružená komlexní čísla), systém tlumeně kmitá. Imulsní charakteristika má ro eriodické řešení tvar: ). sin ( ) (. 0 t e L t L t a I (9) kde a je reálná část kořenů rovnice (9), ω je imaginární část kořenů této rovnice. M N a (93) M N M H. 4 (94) Přechodová charakteristika Pro skok jako vstu (tedy ro řechodovou charakteristiku) latí, že časová odezva je integrál odezvy na imuls (imulsní charakteristiky). t I P dt L t L 0 ) (. tedy: C e A e A t L t t P.. ) ( ) ( ) ( (95) kde je v absolutní hodnotě menší než absolutní hodnota. První exonenciála klesá omaleji, než druhá, je kladné. Pro leší ředstavu zavedeme ) ( ) ( A C a A C kde C a C jsou kladná čísla, C e C C e t L t t P.. ) ( ) ( ) (.. t t P e C C e C C C t L Všechna C lze určit z okrajových odmínek. Okrajové odmínky: L P0 = 0 (deformaci řed skokem okládáme nulovou), L je rovna velikosti skoku L max. Přechodová charakteristika má ro aeriodické řešení tvar: ) ( ) (.. max t t P e K e K L t L (96)

65 C kde K C K C a C a latí K = K -. Analogicky ostuujeme i ro odvození řechodové charakteristiky ro eriodickou situaci. Přechodová charakteristika má ro eriodické řešení tvar: F a. t LP ( t).( e.cos. t ) (97) H kde a je reálná část kořenů (97), ω je imaginární část kořenů (98). Maxwellův model se setrvačným členem F F M N F L-L L H L Obr. 36 Maxwellův model se setrvačným členem Teorie: Odvození rovnice ro chování Maxwellova tělesa se setrvačným členem: Podle Obr. 36 latí: d L F M d t dl F N d t F H L F F F dl N dt

66 d L dl dl F M N N d t dt dt d L F M H L d t df 3 d L dl M H 3 dt d t dt 3 N df M N d L dl N 3 H dt H d t dt 3 N df M N d L dl dl F M N 3 H dt H d t dt dt V Lalaceově transformaci: F N M N F( ) H H 3 L( ) M L( ) N L( ) N M N F( ) L( ) M L( ) N L( ) (98) H H Imulsní charakteristiky ro aeriodické řešení Imulsní a řechodové charakteristiky ro aeriodické řešení ro Maxwellův model se setrvačným členem není vhodné oužívat, rotože je rakticky nemožné vytvářet definovaný imuls a skok síly. Lze však měřit odezvy inverzně. Tedy odezvy síly na imuls či skok deformace. Postu je v tomto říadě analogický k ostuu ro Voigtův model. Imulsní charakteristika ro eriodické řešení V této situaci uvedeme těleso do ohybu velmi krátkým imulsem, těleso se ak ohybuje vnitřní dynamikou, čili vnější síly jsou nulové. Předchozí ohybová rovnice má v tomto říadě tvar: Kořeny rovnice jsou: ( M N H M N) L( ) 0 (99) M M N M 4. N H MN H (00) Tlumení kmitů a určuje reálná část kořenů: H a (0) N Frekvenci ω imaginární část: H H (0) M 4N

67 Přechodovou charakteristiku ro eriodické řešení získáme jako integrál imulsní charakteristiky..4 Reologické modely s rozloženými arametry.4. Analýza adekvátnosti klasických modelů Charakteristika roblematiky Mechanické chování viskoelastických těles je určeno ružnými, viskózními a setrvačnými vlastnostmi materiálu a závisí na tvaru a velikosti těles. V reálných situacích je ovlivňováno také okolím, naříklad sojením s jinými tělesy. V celé šíři je ovšem roblematika mechanického chování obtížně zvládnutelná a roto se ro její zjednodušení oužívají modely. Klasické modely jsou uvedeny v části 0. Tyto modely jsou založeny na ředokladu, že reálný systém, u kterého jsou elastické, viskózní a setrvačné arametry rozloženy v celém tělese, je možné nahradit modelem s arametry soustředěnými do několika základních těles. Matematický ois těchto modelů je jednoduchý a řehledný a umožňuje i relativně jednoduché řešení inverzního roblém. Zásadní roblém je míra adekvátnosti těchto modelů. Exerimentální ověřování chování modelů se soustředěnými arametry a reálných těles i odrobná teoretická analýza ukazují, že klasické reologické modely jsou velmi často neadekvátní a že na jejich základě nelze bez další analýzy s dostatečnou jistotou a řesností určit materiálové konstanty. Meze oužitelnosti klasických modelů se soustředěnými arametry Elastický model, odovídající Hookeovo tělesu, je rinciiálně vhodný ro analýzu chování těles ři statickém zatěžování, s výhradami uvedenými v části.. Často se tento model oužívá i ro výočty mechanického chování reálných těles ři dynamickém zatěžování. Chování reálného tělesa se nahrazuje chováním Hookeova tělesa, viz Obr. 7, což může vést, jak ukážeme dále, k významným chybám. Voigtův a Maxwellův model jsou kombinace Hookeova (H) a Newtonova (N) tělesa viz Obr. 33, a Obr. 34. Složitější klasické reologické modely (naříklad Manas 998) sestávají z kombinací elastických a viskózních těles. Setrvačný člen se v těchto modelech nevyskytuje, vliv setrvačných sil je tedy imlicitně ovažován za zanedbatelný. Analýza systematických chyb ři alikaci klasických reologických modelů vliv setrvačných a viskózních sil Síla vznikající v Hookeově (elastickém) tělese je dána definičním vztahem (65): F H H L. Síla vznikající v Newtonově (viskózním) tělese je dána vztahem: d L F N N d t

68 Síla vznikající v setrvačném tělese je dána. Newtonovým zákonem, ro těžiště urostřed tělesa latí: F M 0,5 M d L d t Ve Fourierově transformaci latí: F H F N F M ( i) H L( i) ( i) i N L( i) ( i) 0,5 M L( i) Protože síla F M roste se čtvercem frekvence, kdežto síla F N roste s frekvencí lineárně a síla F H na frekvenci nezávisí, lze vždy nalézt frekvenci, kdy setrvačná síla bude nezanedbatelná. Jinými slovy, ro rychlé změny deformace nelze na obecné rovině vliv setrvačnosti zanedbávat, rotože jakékoli těleso má jistou hmotnost a lze roto vždy nalézt frekvence, u kterých se již vliv setrvačnosti začíná významně ulatňovat. Obecně je tedy nutno dolnit klasické reologické modely o setrvačné členy. Interval frekvencí ro zanedbatelnost viskózních sil u elastického modelu Viskózní síly budou zanedbatelné ři statickém namáhání a ro dynamická namáhání až do jisté limitní frekvence. Pokud růběh dynamického namáhání rozložíme do jednotlivých harmonických složek, lze nalézt kritérium ro zanedbatelnost viskózních sil roti silám elastickým. Podmínkou je slnění nerovnosti: F N ( i) F ( i) H Pokud do ředchozí nerovnosti dosadíme vztahy ro síly v Hookeově a Newtonově tělese ro harmonické změny a okud ředokládáme, že deformace v obou tělesech budou solečné, dostáváme odmínku ro zanedbatelnost vlivu viskozity ro namáhání se solečnou deformací: H, (03) N kde H je Hookeův koeficient, N je Newtonův koeficient. U Voigtova modelu latí odobně: E kde E je modul ružnosti, η je viskozita. Příklady: ) Modul elasticity stěny aorty (v říčném směru) byl u rasat středního věku 0,5 MPa, normálová viskozita byla kpa.s. Pro zanedbání vlivu viskozity zde vychází: 500Hz res. f 80Hz. Prakticky lze elastické chování očekávat ro frekvence od 8 Hz, okud absolutní hodnota viskózní síly má být menší než 0 % síly elastické.

69 ) Modul elasticity gumy byl nalezen,3 MPa, normálová viskozita byla,38 kpa.s. Pro zanedbatelnost vlivu viskozity tedy vychází: 80Hz res. f, 7Hz. Prakticky lze elastické chování očekávat ro frekvence od,3 Hz, okud absolutní hodnota viskózní síly má být menší než 0 % síly elastické. 3) Modul elasticity olyetylenu byl nalezen 50 MPa, normálová viskozita byla 3 MPa.s. Pro zanedbatelnost vlivu viskozity tedy vychází: 6,7Hz res. f, 65Hz. Prakticky lze elastické chování očekávat ro frekvence od 0,6 Hz, okud absolutní hodnota viskózní síly má být menší než 0 % síly elastické. Interval frekvencí ro zanedbatelnost setrvačných sil u elastického modelu Pro zanedbatelnost vlivu setrvačnosti u elastického modelu (viskózní síly zanedbatelné) musí být slněna nerovnost H (04) M S využitím vztahu (78) a vztahu ro hmotnost tyče M = ρ l 0 S, lze nerovnost (08) řesat do tvaru: E (05) l 0 Příklad: Mějme elastický materiál o hustotě ρ 0 3 kg m -3, modulu ružnosti E 0,5 MPa a nulové viskozitě. Hledáme odmínky zanedbatelnosti setrvačných sil (hustoty) vzhledem k tuhosti odle (09). Podmínka zanedbatelnosti ro vzorek o délce 0 cm: Úhlová rychlost ω H < 36 Hz frekvence f H < 50,4 Hz Podmínka zanedbatelnosti ro vzorek o délce 00 cm: Úhlová rychlost ω H < 3,6 Hz frekvence f H < 5,04 Hz Vliv setrvačné síly tedy roste s frekvencí, res. s rychlostí změn deformace. Čím větší je délka tělesa, tím větší je vliv setrvačnosti a tím nižší jsou frekvence, ro které je vliv setrvačnosti zanedbatelný. Interval frekvencí ro zanedbatelnost setrvačných sil u Voigtova modelu. Pro zanedbatelnost vlivu setrvačnosti u Voigtova modelu musí být současně slněny nerovnosti (09) a (). Podmínka zanedbatelnosti setrvačných sil vzhledem viskozitě je: N (06) M Vztah (0) lze řesat do tvaru ():

70 (07) l 0 Příklad: Mějme viskoelastický materiál o hustotě ρ 0 3 kg m -3, modulu ružnosti E Pa a viskozitě η 0,5 kpa.s. Jedná se o hodnoty blízké gumě a některým měkkým tkáním. Určíme frekvence ro odmínky zanedbatelnosti vlivu setrvačnosti ro vzorky tvaru tyče o růřezu mm. Délka jednoho vzorku je 0 cm, druhého 00 cm. Předokládejme latnost Voigtova modelu. Podmínka zanedbatelnosti setrvačných sil k viskózním silám ro vzorek o délce 0 cm Pro úhlovou rychlost ω N < 00 Hz, ro frekvenci f N < 5,9 Hz Podmínka zanedbatelnosti setrvačných sil k viskózním silám ro vzorek o délce 00 cm: Úhlová rychlost ω N < Hz, odovídající frekvence f N < 0,59 Hz. Podmínka zanedbatelnosti setrvačných sil vzhledem k ružnosti je zde stejná jako u elastického tělesa v ředchozím říkladu, tedy: Podmínka zanedbatelnosti setrvačných sil vzhledem k ružnosti ro vzorek o délce 0 cm Úhlová rychlost ω H < 36 Hz frekvence f H < 50,4 Hz Podmínka zanedbatelnosti setrvačných sil vzhledem k ružnosti ro vzorek o délce 00 cm Úhlová rychlost ω H < 3,6 Hz frekvence f H < 5,04 Hz Závěry: Vliv setrvačné síly oět roste s frekvencí, tedy s rychlostí změn deformace. Čím větší je délka tělesa, tím větší je vliv setrvačnosti. Na ( Obr. 37) je ukázka závislosti mezní frekvence na viskozitě ro hodnoty běžné u měkkých tkání o hustotě blízké 000 kg/m 3.

71 frekvence (Hz) frekvence (Hz) Mezní frekvence ro zanedbatelný vliv setrvačnosti , l = 0,0 m l = 0, m 0, viskozika (Pas) Obr. 37 Maximální frekvence ro setrvačné síly 0x menší než síly viskózní ro různé délky tělesa z materiálu o hustotě 000 kg/m 3. Obr. 38 je závislost mezní frekvence na viskozitě ro materiály s hustotou blízkou 000 kg/m 3 (hodnota řibližně odovídající hustotě kostí). Na Mezní frekvence ro zanedbatelný vliv setrvačnosti l = 0,0 m 0 0, l = 0, 0, viskozika (Pas) Obr. 38 Maximální frekvence ro setrvačné síly 0x menší než síly viskózní ro různé délky tělesa z materiálu o hustotě 000 kg/m 3. Analýza systematických chyb ři alikaci klasických reologických modelů vliv rozloženého charakteru arametrů

72 Vliv setrvačných sil není jedinou říčinou neadekvátnosti klasických modelů se soustředěnými arametry. Toto tvrzení je možné doložit teoreticky i exerimentálně. Příklad: Běžně se ředokládá, že guma je materiál, který se chová odle Voigtova modelu. Přechodové charakteristiky gumových materiálů lze totiž oměrně řesně aroximovat v souladu se vztahem (84). V části 3.. jsou uvedeny výsledky dynamického měření vzorku gumy o různých délkách. Byly určeny Hookeovy (H) a Newtonovy (N) koeficienty. Podle definice Voigtova modelu latí ro řeočet mezi modulem E ružnosti a H vztah (66): E H l 0 S. Analogicky latí vztah (70) ro řeočet mezi viskozitou η N a viskózním koeficientem N: N N l 0 S. S oužitím těchto vztahů byly určeny moduly ružnosti a viskozity ro různé délky vzorku ( Tab. ). l 0 (cm) E (MPa) η N (kpa) 7,8,38,73 6,5,46,80 47,5,48 5,83 Tab. Zdánlivé moduly ružnosti a viskozity ro různě dlouhé vzorky viskoelastického materiálu vyočtené na základě hyotézy o latnosti Voigtova modelu Modul ružnosti a viskozita by však měly být materiálové arametry, nezávislé na rozměrech tělesa. Z Tab. však lyne, že výočty modulů na základě hyotézy o latnosti Voigtova modelu nevedou k určení materiálových arametrů v tomto smyslu, zde ředevším u arametru η N. Obdobné závěry latí i ro další modely se soustředěnými arametry..4. Teorie modelů s rozloženými arametry

73 Charakteristika roblematiky Přesnější modely by měly reflektovat fakt, že elastické, viskózní i setrvačné složky jsou rozrostřeny v celém objemu tělesa. Na této myšlence stojí koncece modelů s rozloženými arametry. Princiiálně je možné systémy s rozloženými arametry osat formou diferenciálních rovnic, tedy vytvořit matematický model, a hledané mechanické vlastnosti odvodit analyticky. Analyticky byl odvozen naříklad vztah ro šíření mechanické vlny (Horák 99, Ďoubal 005) nebo tzv. telegrafní rovnice (Thomson 885, Heaviside 97, Trnka 97). Univerzálnější a raktičtější rostředek ro řešení roblematiky systému s rozloženými arametry oskytuje očítačová simulace. Struktura modelů s rozloženými arametry Základní myšlenka modelů s rozloženými arametry je založena na fragmentaci tělesa na velký očet elementárních segmentů. Pro matematickou analýzu je očet segmentů n, a jejich délka se blíží k nule. Pro očítačovou simulaci ostačí, aby očet segmentů byl dostatečný ro srávný výočet arametrů. Segmenty solu interagují (Obr. 39). Každý segment lze ovažovat za dělič síly. Vstuní síla (namáhání) Fi segmentu i se dělí na sílu ΔF i sotřebovanou na vlastní ohyb segmentu a sílu F i+, která se řenáší na navazující segment. F i segment i F i+ ΔFi Obr. 39 Základní struktura modelů s rozloženými arametry Mechanická imedance, dělící oměr a fázový osun v modelech s rozloženými arametry Přehlednou analýzu situace odle Obr. 39 a jednoduché výočty umožňuje oužívání mechanické imedance (7): F( i) Z( i). v ( i) Mechanická imedance vyjadřuje relace mezi silami a rychlostmi deformací v závislosti na frekvenci harmonických změn. Deformace lze ak určit jako integrál rychlostí deformací. Vztahy mezi silami a

74 deformacemi ro neharmonické růběhy lze určit s oužitím rozkladu do Fourierových řad. Pokud oužijeme mechanickou imedanci, lze oměry v systému s rozloženými arametry řehledně zachytit schématem odle Obr. 43. Obr. 40 Síly a imedance v elementárním segmentu. Z im je imedance ohybující se části segmentu, Z it je imedance části segmentu, řenášející síly na další segment, Z R je imedance celé navazující části tělesa. Pro zjednodušení dalších vztahů zavedeme imedanci Z : Z ( Z it Z R ) (08) a imedanci Z : Z Z im Z (09) Sojením ředchozích dvou vztahů dostáváme vztah ro celkovou imedanci Z Z ( im ZiT ZR ) (0) Elementární segment dělí síly v dělícím oměru A: F A F i i Z Z () Útlum na elementárním segmentu je dán vztahem: A F i F i Z Z () Fázový osun harmonických sil na elementárním segmentu je dán vztahem: Im A arctg Re A, (3)

75 kde Im A je imaginární část A, Re A je reálná část A. Výše uvedené vztahy lze oužít ro výočty imedance celého tělesa Je třeba rovádět výočty od segmentu, který je navazuje na zakončení tělesa, s ostuným řiřazováním vlivů ředcházejících segmentů. Výočty je nutno rovádět omocí očítačové simulace, s cyklickým oakováním a ro dělení tělesa na dostatečně velký očet segmentů. Pro simulační rogram je třeba oužít jako vstuní informaci imedance Z im and Z it a imedanci Z 0 zakončení. Výše uvedený model umožňuje vyočítat nejen celkovou imedanci a tedy relace mezi silami a deformacemi, ale i tlumení sil a rychlost šíření mechanického naětí odél tělesa (rychlost šíření mechanické vlny). Lze jej také oužít ro korektní určení materiálových konstant. Mechanické chování modelů s rozloženými arametry a) Model ideálně elastického tělesa a) b) c) Obr. 4 Izolovaný elastický segment (a), sojení elastického segmentu do elastického tělesa (b), vztahy mezi silami a imedancemi (c) V čistě elastickém materiálu jsou nulové viskózní síly. Jeho mechanické chování je určováno ouze elastickými a setrvačnými silami. Předokládejme, že každý izolovaný elementární segment elastického tělesa má strukturu odle Obr. 4a. V celém tělese (elastické tyči) interagují segmenty odle Obr. 4b. Pro imedance v elastickém segmentu (Obr. 4c) latí: Z im i M (4) H Z it (5) i

76 Z im i S l (6) Z it S E (7) i l kde S je locha růřezu segmentu, l je délka segmentu. Pro imedanci Z R+i (řed segmentem, viz obr. Obr. 4c) latí: H Z R j Z R i i M (8) H Z R j Vlnová imedance ro elastické těleso Vlnová imedance Z 0 je mechanická imedance velmi (nekonečně) dlouhé tyče. Stejné mechanické chování jako velmi dlouhá tyč má tyč konečné délky, ale ukončená imedancí, která je stejná jako vlnová imedance. Jinými slovy, okud je tyč ukončena vlnovou imedancí, jakékoli rodloužení či zkrácení tyče neovlivní její celkovou imedanci. Je zřejmé, že i řidání jednoho segmentu neovlivní imedanci tyče a latí tedy. Sojením rovnic (3) a () dostáváme ro vlnovou imedanci vztah: Z R = Z R+i (9) Z0 S E (0) Počítačová simulace rovedená na základě rinciů uvedených v 0 vede ke shodě s výše uvedeným vztahem. Rovnice (4) vyjadřuje odmínku ro mechanické řizůsobení těles. V této situaci nenastává na rozhraní těles odraz sil ani energie. Je třeba zdůraznit, že vlnová imedance je u elastických materiálů reálné číslo. Při harmonickém zatěžování je v říadě mechanického řizůsobení elastického tělesa fázový osun mezi silami a rychlostmi nulový a mezi silami deformacemi je 90. Vlnová rovnice ro velmi dlouhou elastickou tyč analytické odvození V tomto jednoduchém říadě lze vlnovou rovnici snadno odvodit analyticky, ouze na základě analýzy vztahů mezi mechanickými imedancemi.

77 P Z it P- dp v v- dv Z R x dx Obr. 4 Ilustrace ro odvození vlnová rovnice ro velmi dlouhou elastickou tyč. Místo sil zde budeme očítat s tlaky, v souladu se zvyklostmi v akustice. Prodloužení tyče o dx vede k následujícím změnám v tlaku a rychlosti: P v P ( P dx) dx () x t v P v ( v dx) dx () x E t Sojením (5) a (6) dostáváme: v v x E t (3) P P x E t (4) Z výše uvedených vlnových rovnic lyne, že rychlost šíření vlny tlaku i deformace v elastické tyči je: E c (5) To je v souladu s odvozením akustické vlny, rovedeným klasicky (Horák 96). Počítačová simulace vede ke shodě se vztahem (9) vztahem. Výše uvedené vztahy latí ro velmi dlouhou elastickou tyč nebo ro elastickou tyč ukončenou vlnovou imedancí. Pokud je ukončení jiné, naříklad fixní, je analytické řešení obtížnější a ve zcela obecné rovině nerealistické. V těchto říadech je nezbytné oužít očítačovou simulaci. b) Modely viskoelastických těles Chování modelů s rozloženými arametry závisí na vztazích mezi setrvačnými, elastickými a viskózními složkami u elementárních segmentů. Pokud vyjdeme z ředokladu, že setrvačné síly

78 ůsobí na sérioaralelní kombinaci Hookeových a Newtonových členů, ak je relativně obecná struktura elementárního segmentu odle Obr. 43. V nejjednodušším říadě řechází tato struktura odle na redukovanou strukturu odle Obr. 44. V říadě jednoduché struktury odle Obr. 44 jsou ro roojení elementárních segmentů v tělese teoreticky možné tři varianty (viz.obr. 45). Obr. 43. Struktura izolovaného viskoelastického segmentu Obr. 44 Redukovaná struktura izolovaného viskoelastického segmentu

79 a b c Obr. 45 Příklady možných zaojení viskoelastického segmentu do viskoelastického tělesa Imedance v segmentu odle Obr. 45a jsou: Z im i M N (6) H Z it i (7) Imedance segmentu odle Obr. 45b jsou: Z im i M (8) Z it H N i (9) Imedance segmentu odle Obr. 45c jsou: Z im i M N (30) Z it H i N (3).4.3 Princiy očítačové simulace S využitím vztahů uvedených v ředchozí části lze simulovat chování celého tělesa s libovolným zakončením ro zvolený či identifikovaný model. Výočty se rovádějí ro jednotlivé frekvence změn sil (a deformací). Takto lze, mimo jiné, vyočítat útlum sil a deformací v celé tyči i v jednotlivých místech tyče. Podobně lze určit i namáhání a deformaci na rozhraní mezi tyčí a navazujícími strukturami. Dále lze vyočítat časové zoždění vlny v tyči, růměrnou rychlost šíření vlny a vlnovou

80 imedanci. Je třeba zdůraznit, že výočty latí ro harmonické růběhy sil (i deformací). Tlumení, rychlost šíření vlny i vlnová mechanická imedance jsou u viskoelastických těles (na rozdíl od čistě elastických těles) frekvenčně závislé. Vlnová imedance je u viskoelastických těles komlexní číslo. Pokud je mechanická vlna složitější, to je okud je složena z více harmonických složek, lze vyočítat změnu tvaru čela vlny v jednotlivých místech tyče, tedy zkreslení vlny. Rychlost šíření složitější vlny není možno u viskoelastických těles jednoznačně určit, rotože jednotlivé harmonické složky se šíří různými rychlostmi. Ze stejných důvodů nelze ro složitější vlnu ve viskoelastických tělesech jednoznačně určit ani vlnovou imedanci. Vztahy ro simulaci Útlum tyče:: n A n A i k (3) Fázový osun v celé tyči: n n i i (33) Časový osun v segmentu: t i (34) Časový osun v tyči: n t n t i i (35) Rychlost šíření v segmentu: c i l n, (36) kde l je celková délka tyče. Celková střední rychlost šíření odél tyče c l t n (37)

81 .5 Řešení inverzního roblému.5. Úvod Ve svém celku je roblematika řešení inverzního roblému velmi rozsáhlá. V naší situaci se jedná o výběr (identifikaci) nejvhodnějšího modelu a výočet jeho arametrů u lineárních systémů. Tato oblast je již teoreticky dobře zvládnutá, řesto její raktická alikace není triviální. Vyžaduje ředevším ečlivou analýzu latnosti ředokladů, na nichž jsou oužívané modely založeny, dále je třeba vycházet ze srávně rovedených a solehlivých měření. Podmínkou sine qua non je dostunost vhodné měřicí aaratury. Pokud je možno oužít modely se soustředěnými arametry, znamená to odstatné zjednodušení roblematiky řešení inverzního roblému. Viskoelastická tělesa v této situaci ovažujeme za systémy složené z kombinací tří tyů základních reologických těles (viz kaitola 0). Řešení inverzního roblému vychází zravidla z měření vhodně vybraných charakteristik..5. Identifikace modelu a výočet arametrů frekvenční charakteristiky Znalost frekvenční charakteristiky je mimořádně důležitá ro určení deformační reakce daného tělesa či materiálu ro libovolný růběh deformující síly, ro výočty energetických ztrát, mechanické imedance aod. Je-li známa amlitudová frekvenční charakteristika ro dostatečný očet frekvencí, lze tyto a odobné roblémy relativně snadno řešit. Po raktické stránce je však římé měření frekvenčních charakteristik mechanických systémů ro větší očet frekvencí obtížné, drahé a často i málo řesné. Pokud to situace umožňuje, je roto výhodnější určit nejrve dynamickou tuhost viz vztah () nebo komlexní modul ružnosti viz vztah (6) z jiných charakteristik, a frekvenční charakteristiku (viz dále) ak doočítat. Frekvenční charakteristiku ro omezený očet frekvencí lze také získat z měření vnucených oscilací..5.3 Identifikace modelu a výočet arametrů imulsní charakteristiky Výhodou imulsních charakteristik je rychlé, jednoduché, citlivé a relativně řesné měření u systémů, které se chovají eriodicky (kmitají). Prakticky však mají ohybové rovnice měřených těles často aeriodické řešení (zejména měkké tkáně), nebo je chování v blízkosti hranice mezi eriodickým a aeriodickým. Konstitutivní rovnice ro Voigtův či Maxwellův model (bez vlivu setrvaných sil) mají dokonce výhradně aeriodické řešení, u reálných těles se však s rostoucí délkou začíná ulatňovat setrvačná složka chování. Pro řešení inverzního roblému ředstavuje komlikaci fakt, že ředem nemusí být jasné, zda těleso bude mít imulsní odezvu eriodickou či aeriodickou. Další komlikace sočívá v neurčitosti olohy těžiště tělesa, která závisí na řesnosti změření tvaru tělesa.

82 Řešení výše uvedených roblémů sočívá ve využití metody měření omocí vnucených oscilací. Periodického řešení se v tomto říadě dosahuje sojením měřeného tělesa se setrvačníkem (setrvačným členem) o dostatečně velké hmotnosti, tak aby odezva byla eriodická a zároveň aby byla zanedbatelná hmotnost vlastního tělesa. V tomto usořádání je ůsobiště setrvačných sil shodné s ůsobištěm elastických a viskózních sil (tj. na konci tělesa). Na metodě nucených oscilací (viz část 0) je založena skuina dynamických viskoelastometrů fy DELTER..5.4 Identifikace modelu a výočet arametrů řechodové charakteristiky Měření řechodových charakteristik je relativně jednoduché, rychlé a často rakticky oužívané. Jeho variantou je měření křivek toku. Pro aeriodické řešení konstitutivních rovnic lze u Voigtova modelu vycházet z teorie uvedené v odstavci 0. Na základě řechodových charakteristik lze identifikovat strukturu modelu i vyočítat jeho arametry. Lze také určit, zda se těleso chová lineárně. Pokud existují odmínky ro řijetí lineárních modelů, je řechodová charakteristika tvořena součtem exonenciálních a harmonických růběhů. Je-li možno zanedbat vliv hmotnosti, ak se ulatňují ouze klesající exonenciální složky, jejichž očet odovídá očtu sériově zaojených Voigtových struktur. Hookeovy a Newtonovy koeficienty lze ak snadno vyočítat. Přesnost takto rovedené identifikace modelu a odhadu jeho arametrů závisí na kvalitě exerimentálních dat. Kritická je ředevším dobrá citlivost měřicí aaratury, ředevším ve smyslu dostatečného odstuu užitečného signálu od šumu. Vliv šumu totiž limituje do jakého stuně konstitutivní diferenciální rovnice () lze určit její koeficienty. Naříklad řístroje DELTER umožňují identifikovat až třetí stueň konstitutivní rovnice, tedy identifikovat až tři Voigtovy nebo Maxwellovy složky modelu. Poznámka: Pokud je ředem jasné, že těleso se chová s dostatečnou řesností odle jednoduchého Voigtova nebo Maxwellova modelu, je řesnější, rychlejší a citlivější metoda odhadu arametrů omocí metody nucených oscilací..5.5 Určení arametrů Voigtůva modelu z Lissajouxových obrazců Jedná se o seciální metodu, umožňující výočet arametrů Voigtůva modelu na základě měření závislosti deformace na síle (mechanickém naětí) v cyklickém režimu. Vstuní síla má obvykle harmonický růběh, i když varianty ro jiné růběhy cyklického zatěžování jsou také možné. Teorie ro určení arametrů z Lissajouxových obrazců Oerátorová dynamická tuhost Voigtova modelu: S( i) H in S e j S e N j H

83 Pokud je odle ředokladu růběh síly harmonický, ak latí: F t) F sin t (38) ( 0 Deformační odezva u lineárních systémů je rovněž harmonická a latí: L L ( t) 0 sin t L0 sin( t ) (39) S S H N (40) L(t) F(t) Obr. 46 L-F graf ro harmonické růběhy u Voigtova modelu L(t) F(t) Pro bod ( Obr. 46) latí: F F 0,

84 tedy ω t = π / Pro bod latí: ω t = 0 L F0 N L sin L0 cos (4) G H F0 N sin L0 sin L0 sin G H (4) Výočet arametrů Varianta :. krok: Určíme oměr L L N tg H (43) a ro známé ω vyočteme oměr N / H. krok: Určíme L 0, buď římo z grafu, nebo ze vztahů (43) nebo (44), vyočteme F G L 0 0 G H N (44) Výše uvedené vztahy umožňují určení arametrů H i N. Poznámka: Problém je, že ro určení L 0 musíme mít řesně kalibrováno měření deformace. Možným řešením je rovést měření na dvou známých frekvencích (odle varianty ). Varianta :. krok: Pro frekvenci ω určíme. krok: Pro frekvenci ω určíme L L L N tg (45) H L Z těchto vztahů vyočteme N i H, bez nutnosti kalibrace. N tg (46) H

85 .5.6 Identifikace modelů na základě rezonančních maxim deformace Teorie Deformace je u harmonických růběhů dána vztahem: F( i) L( i) S( i) Poměr amlitud deformace a síly je dán vztahem (viz Dodatek 4. 5): L F S( i) Frekvenční charakteristika dosahuje na rezonančních frekvencích maximálních hodnot. Tato maxima odovídají minimům funkce ro absolutní hodnoty dynamické tuhosti. Protože funkci oisující dynamickou tuhost jednotlivých modelů lze odvodit, lze také získat vztahy ro frekvence f R. a deformace L R ři rezonancích. Následně ak, ři znalosti hmotnosti vzorku, lze určit i arametry H a N ro říslušný model. Pro Voigtův model se setrvačností latí: L F ( H M ) i N (47) L F (48) ( H M ) N Rovnice (5) dosahuje maxima, okud jmenovatel je dosahuje minima. Maximum L R nastává ři rezonanční frekvenci f R ři slnění odmínky: M H N 0 (53) Při slnění odmínky (53) latí ro frekvenci odovídající maximu deformace (rezonanci) vztah: f R H M N (54) M Dosazením vztahu (54) do (5) lze určit deformaci L R ro rezonanční frekvenci f R. Na základě měření amlitudové frekvenční charakteristiky, tj. na základě zjištění f R. a L R a ři znalosti M lze tedy určit arametry H a N. Pokud známe rozměry vzorku, lze určit arametry E a η. Poznámky. Použitelnost a řesnost této metody závisí na následujících faktorech: a) Musí být slněna odmínka (53). Čím větší je hodnota výrazu H N M, tím řesněji lze určit rezonanční frekvenci (viz říklad dále). Pokud arametry vzorku nevedou ke slnění odmínky (53),

86 deformace (mm) je možné slnění této odmínky dosáhnout zvolením větší délky vzorku nebo umělým zvětšením hmotnost řidáním setrvačného tělíska ke vzorku. b) Výsledky jsou velmi citlivé na řesné stanovení hmotnosti. c) Pro složitější reologické modely je analytické vyjádření otřebných vztahů obtížné a je třeba využívat metod výočetní techniky. Příklad závislosti růběhů deformací na frekvenci ro Voigtův model: a) Vzorek materiálu měl následující arametry: E = MPa. η = kpa, hustota vzorku ρ = 000 kg/m 3. Pokud je délka vzorku 0 mm, šířka 3 mm, tloušťka 3 mm a okud se vzorek chová odle Voigtova modelu se setrvačností, je H = 450 N/m, a N = 0,9 kg/s. Podmínka ro rezonanci není slněna ( M H N 0, 7 ). Průběh deformace ro harmonické zatěžování silou o jednotkové amlitudě je na Obr. 47.,5,5 0, frekvence (Hz) Obr. 47. Ukázka růběhu deformace na frekvenci bez rezonance ro Voigtův model se setrvačným členem. Vzorek materiálu má arametry: E = MPa. η = kpa, délka vzorku 0 mm, šířka 3 mm, tloušťka 3 mm, hustota vzorku 000 kg/m 3. b) Vzorek ze stejného materiálu a stejných říčných rozměrech, ale o délce 00 mm se chová odle Obr. 48. Ukázka růběhu deformace na frekvenci s rezonancí. Vzorek materiálu má arametry: E = MPa. η = kpa, délka vzorku 00 mm, šířka 3 mm, tloušťka 3 mm, hustota vzorku 000 kg/m3.podmínka rezonance je v tomto říadě slněna.

87 deformace (mm) deformace (mm) frekvence (Hz) Obr. 48. Ukázka růběhu deformace na frekvenci s rezonancí. Vzorek materiálu má arametry: E = MPa. η = kpa, délka vzorku 00 mm, šířka 3 mm, tloušťka 3 mm, hustota vzorku 000 kg/m 3. Porovnání Obr. 47a Obr. 48 ukazuje, že zvětšování délky vzorků vede k slnění odmínky ro rezonanci a k větším hodnotám maximální deformace. c) Vzorek materiálu se arametry E = MPa. η = kpa,délka vzorku 0 mm, šířka 3 mm, tloušťka 3 mm, hustota vzorku 000 kg/m 3 s řídavnou hmotností 5g má růběh deformace v závislosti na frekvenci odle Obr. 49. Podmínka rezonance je slněna frekvence (Hz) Obr. 49 Ukázka růběhu deformace na frekvenci s rezonancí. Vzorek materiálu má arametry: E = MPa. η = kpa.s, délka vzorku 0 mm, šířka 3 mm, tloušťka 3 mm, řídavná hmotnost je 5 g. Průběh s řídavnou hmotností 0g je na Obr. 50. Podmínka rezonance je slněna.

88 deformace (mm) frekvence (Hz) Obr. 50. Ukázka růběhu deformace na frekvenci s rezonancí. Vzorek materiálu má arametry: E= MPa. η = kpa.s, délka vzorku 0 mm, šířka 3 mm, tloušťka 3 mm, řídavná hmotnost je 0 g. Z orovnání Obr. 47 až Obr. 50 je zřejmá citlivost měření na hmotnosti. S rostoucí hmotností roste amlituda deformace, klesá rezonanční frekvence a zřesňuje se její určení..5.7 Řešení inverzního roblému ro modely s rozloženými arametry V tomto říadě je cílem zjistit strukturu elementárních segmentů. U homogenních těles v jednoosém namáhání budou struktury všech segmentů shodné. Pokud se těleso skládá z více vzájemně rozdílných, ale homogenních částí, je nutno ostuovat krok za krokem, nejlée od zakončení tělesa. Obecně latí, že je třeba identifikovat model elementárního segmentu a následně určit materiálové konstanty, v tomto říadě moduly ružnosti a viskozity odovídající elastickým a viskózním rvkům modelu segmentu. Hustota materiálu je obvykle známá nebo ji lze snadno změřit. Tyto arametry musí být nezávislé na rozměrech tělesa a musí být také frekvenčně nezávislé. Vycházet je možno z měření mechanických imedancí tělesa ři různých frekvencích a omocí simulačního rogramu ak iteračně hledat nejleší shodu modelu s reálným chováním tělesa. K zrychlení a zřesnění výočtů může řisět měření rychlosti šíření mechanické vlny v tělese v závislosti na frekvenci. Pokud je k disosici vhodná měřicí aaratura, výsledky frekvenční závislosti rychlosti šíření mechanické vlny v tělese usnadní zejména identifikaci modelu elementárního segmentu. Frekvenční závislosti šíření mechanické vlny jsou totiž kvalitativně i kvantitativně citlivé na volbu vhodného modelu. Praktická část

89 . Přístroje o statická měření (trhací stroje) Pro raktické oužití v růmyslu jsou ro stanovení mechanických vlastností nejrůznějších materiálů oužívány univerzální testovací řístroje. Základním rinciem je určování závislostí mezi silami a deformacemi. Konstrukční řešení a rinci měření je u těchto testovacích řístrojů v zásadě obdobný u různých výrobců: vzorek se une do řístroje, je odroben namáhání a omocí snímače síly a měření deformace jsou jeho vlastnosti vyhodnoceny, obvykle omocí software v řiojeném, či integrovaném očítači. Výrobci nabízejí univerzální řístroje ve více kategoriích odle vyvozované síly, či řesnosti. Přístroj je ak možné obvykle osadit říravky ro uínání různých vzorků, kdy se bere v úvahu materiál vzorku, říadně jeho tvar, či ožadavek na ty měření v tahu (trhací stroje), ohybu, tlaku, či smyku. Obr. 54 Základní rovedení testovacího stroje

90 Obr. 55 Testování v ohybu Obr. 56 Čelisti ro unutí vzorku Jako říslušenství jsou nabízeny ředevším klimatické komory, resektive komory simulující říadné ožadované rostředí, v němž se očekává oužití měřeného materiálu, či římo výrobku,

91 odrobovanému testování. Univerzálnost řístrojů umožňuje jejich nasazení ro nejrůznější materiály a výrobky, od kovových, řes ryžové, či textilní, o rozmanité tyy umělých hmot. Pro různé obory růmyslu, medicíny, či biomechaniky, je ak oužití testovacích řístrojů nezbytné, aby materiály a výrobky z nich dostály ožadavkům norem (ISO, EN) a zákonných i oborových ředisů, a tyto řístroje jsou tedy nasazeny nejen v oblastech vědy, výzkumu či růmyslu, ale i ve zkušebních a kontrolních ústavech a normalizačních institucích. Současné testovací stroje využívají ro velkou část rocesů měření automatiku, říravky ro unutí měřeného vzorku mají odobu hydraulických čelistí, ůsobící síly zaznamenávají tenzometry, deformace jsou sledovány automatickými růtahoměry a kamerami ro měření zúžení.. Přístroje ro dynamická měření (creeoměry, dynamické elastometry) Dynamická měření jsou klíčová ro stanovení vlastností širokého množství výrobků a materiálů. Je nutno vzít v úvahu, že v medicínských a biomechanických oborech je stanovení srávného materiálu či vhodného výrobku faktorem, který může mít vliv na zdravotní stav člověka, a roto je mu řikládána atřičná důležitost a to nejen stanovením říslušných norem (systémy ISO, EN a jiné), ale i jejich alikací do zákonů a vyhlášek. Standardizace a normalizace tedy není realitou jen v oblasti růmyslu, ale také v oblasti zdravotnictví (a říbuzných oborech), kde je oužití testovacích řístrojů nezbytné a rozsah zákonných ožadavků ro materiály a výrobky obvykle definovaný v normách (ISO, EN) je enormní. Zahrnuje totiž nejen samotné testování mechanických vlastností, ale také jejich změny v souvislosti s dynamickým zatěžováním, říadně v souvislosti s rostředím, únavou, či stárnutím materiálu.

92 Obr.Obr. 57 Testovací aaratura MTS v laboratoři ČVUT) Přístroje ro dynamická měření DMA (Dynamical Mechanical Analyzer) - jsou součástí výrobního rogramu ředních světových výrobců testovacích řístrojů a nabízejí širokou variabilitu tyů měření a oborového oužití, výrobci nabízejí modely stolní i volně stojící, ro rozsáhlá měření jsou k disozici celé soustavy měřících aaratur, tak by bylo možné měřit velké soubory vzorků, s maximálním využitím automatizace. Standardem je automatické řízení a velká variabilita ve vyhodnocování získaných dat omocí firemních software.

93 Obr. 58 Uínání MTS v laboratoři ČVUT) U řístrojů tyu DMA ředního výrobce firmy Perkin Elmer (USA) existuje celá řada variant řístrojů, včetně komaktních modelů. Testování vzorků je možné rovádět v kontrolovaném rostředí (telota, vlhkost) a současně se stanovením mechanických vlastností je tak možné získat dolňující informace o deformacích, únavě materiálu atd..

94 Dalším významným výrobcem je solečnost Instron (USA) s širokým ortfoliem řístrojů ro oužití v biomechanice a medicíně, ro měření vlastností v odstatě libovolného materiálu či výrobku, včetně řešení ro testování dle ožadavků norem ISO a EN a souvisejících ředisů a zákonů. Výrobou univerzálních testovacích řístrojů se zabývají, vedle zmíněných solečností Instron a Perkin Elmer, i další firmy s globální ůsobností, některé z nich mají i obchodní zastouení v České reublice: Zwick (Německo) s ortfoliem ro růmysl i další obory (Environmental Universal Testing Machine), Göttfert (Německo, s řístrojem Viscoelastograh), Hysitron (USA, s řístrojem Tribointender, který je možné dolnit analytickým software ro viskoelastické materiály), Schimadzu (Jaonsko, s řístrojem Autograh AG-X), Anton Paar (Rakousko, s testovacím zařízením Dynamic-Mechanical Thermal Analysis (DMTA)). Obr. 59 Hysitron Tribointender v laboratoři ČVUT)

95 .3 Přístroje DELTER Přístroj Delter je viskoelastometr vyvinutý na katedře biofyziky Farmaceutické fakulty UK v Hradci Králové. Jedná se o variabilní zařízení ro stanovení ředevším dynamických vlastností biologických materiálů a lastických a ryžových materiálů s širokou možností alikací v oborech biomechaniky, medicíny a růmyslu. Obr. 60 Prezentace viskoelastometru Delter

96 Originální software vyvíjený solu s řístroji umožňuje měření na základě nejnovějších oznatků v teorii chování materiálů, zejména z hlediska jejich viskoelastických vlastností tak, aby bylo možné měřené hodnoty co nejvíce alikačně řiblížit reálnému chovaní vzorků. U řístrojů je oužita klasická koncece, obdobná u většiny zkoušecích řístrojů, tvořená mechanickou částí ro unutí a měření vzorku, elektronikou ro zracování signálu a očítačem vybaveným říslušným software. Obr. 6 Sestava viskoelastometru Delter ro měření v tlaku s mechanickou částí, elektronikou a očítačem vybaveným originálním software Viskoelastometr Delter je vyvíjen od roku 00 a z očátku byl zamýšlen ro měření in vivo arametrů lidské kůže, ozději se řidaly alikace ro měření tkání a biologických materiálů in vitro, a oužití řístroje bylo následně rozšířeno na všeobecné a univerzální měření vzorků a materiálů v tlaku, tahu, ohybu a exerimentálně i krutu.

97 Obr. 6 Sestava viskoelastometru Delter ro měření v tahu s mechanickou částí, elektronikou a očítačem vybaveným originálním software Současně s rozvojem využití řístroje byl modifikován a uravován software, tak aby byl snadno a řehledně oužitelný ro jednotlivé tyy měření. Jednotlivé druhy měření a jejich rinciy jsou uvedeny v rámci této ráce: viz kaitola. 4. Vývoj řístroje se nyní soustředí na vylešení software, ověření funkčnosti ro různé vzorky a odmínky měření, ředevším ale směřuje k univerzálnímu stanovování dynamické tuhosti (dynamic stiffness) a odle ožadavků u konkrétních vzorků a materiálů ro určení dalších odvozených veličin ři dynamickém zatěžování, jako je mechanická imedance, storage a loss moduly a ztráty energie. Přínosem viskoelastometru Delter je ak relativně snadné určování namáhání a deformací vzorků v závislosti na frekvenci zatěžování, včetně soustav těles, určování mechanické komatibility těles z různých materiálů a také zjištění rizika oruchy (nař. řetržení) ro různé rychlosti zatěžování. Persektivní je využití v kontrole kvality a v řadě dalších alikací. U řístroje okračuje inovace konstrukčního řešení mechaniky, včetně oužití klimatické komory ro kontrolovaná měření vzorků, aby bylo možné vyhovět konkrétním ožadavkům, řičemž univerzální konstrukce umožní snadné změny v uínání vzorků. V říadě otřeby bude vhodné uvažovat o zvýšení automatizace rocesu měření ro snadnější oužití v růmyslové oblasti.

98 Obr. 63 Detail sondy a uchycení vzorku ro měření dynamické tuhosti V růběhu zkoušek a testovacích měření v raxi očekáváme další konkrétnější alikace viskoelastometru Delter. Vedle výše uvedených možností se uvažuje o roojení informací získaných na základě měření dynamické tuhosti se současnými oznatky v oblasti modelování dynamiky deformací v 3D metodou konečných elementů, což by mohlo výrazně řisět k zřesnění a vylešení modelovacích technologií, oužívaných v růmyslových oborech..4 Výočty arametrů modelů se soustředěnými arametry metodou nucených oscilací.4. Namáhání v tahu Měření sočívá ve sojení vzorku s tělískem (setrvačným členem) odle Obr. 65. Hmotnost setrvačného členu se volí tak, aby byla dostatečně velká ro slnění odmínky ro vznik vlastních kmitů soustavy vzorek-setrvačný člen. Zároveň se hmotnost setrvačného členu volí řádově větší, než je hmotnost samotného vzorku. V situaci, kdy chování vzorku odovídá Voigtovu modelu, je ohybová rovnice soustavy: