VYSOKÉ UENÍ TECHNICKÉ V BN FAKULTA STAVEBNÍ MILOSLAV ŠVEC MATEMATICKÁ KATOGAFIE MODUL 3 KATOGAFICKÉ ZOBAZENÍ STUDIJNÍ OPOY PO STUDIJNÍ POGAMY S KOMBINOVANOU FOMOU STUDIA
Matematická kartografie Modul 3 Miloslav Švec Brno 007 - (15) -
Obsah OBSAH 1 Úvod...5 1.1 Cíle...5 1. Požadované znalosti...5 1.3 Doba potebná ke studiu...5 1.4 Klíová slova...5 Kartografické zobrazení...8.1 Tídní kartografických zobrazení...8. Zobrazení elipsoidu na kouli...9.3 Konformní zobrazení...11.4 Ekvidistantní zobrazení...13.5 Ekvivalentní zobrazení...14.6 Srovnání zobrazení elipsoidu na kouli...15 3 Závr...15 3.1 Shrnutí...15 3. Studijní prameny...15 3..1 Seznam použité literatury...15 3.. Seznam doplkové studijní literatury...15 3..3 Odkazy na další studijní zdroje a prameny...15-3 (15) -
Úvod 1 Úvod 1.1 Cíle Matematická kartografie patí k základním teroretickým pedmtm studijních program geodézie a kartografie. Vytváí pedpoklady pro zvládnutí obecných a praktických úloh jak obecné geodézie tak pedevším obecné kartografie. Moduly pedmtu jsou koncipovány jako ucelené celky. Pesto na sebe teoreticky navazují. Opora Matematická kartografie je tvoena tmito moduly: eferenní plochy a souadnicové systémy Kartografická zkreslení Kartografické zobrazení Jednoduchá zobrazení Nepravá azimutální zobrazení 1. Požadované znalosti Pedmt vyžaduje dobré matematické základy. Jedná se o zvládnutí základ matematické analýzy pedevším diferenciálního potu jedné a více promnných integrálního potu základ diferenciálních rovnic a nkterých partií deskriptivní a diferenciální geometrie. 1.3 Doba potebná ke studiu Pedmt je vyuován jako povinný v prvním roníku navazujícího magisterského studijního programu Geodézie a kartografie v rozsahu hodiny pednášky a 1 hodiny cviení za týden tedy celkem 39 hodin za semestr. Jako u každého teoretického pedmtu se pedpokládá alespo stelná asová zátž pi samostudiu. 1.4 Klíová slova Matematická kartografie referenní plocha zobrazení mapa elipsoid souadnicové soustavy - 5 (15) -
- 7 (15) - Kartografické zobrazení
Matematická kartografie Modul 3 Kartografické zobrazení.1 Tídní kartografických zobrazení Charakteristiky tídní 1. podle vlastností kartografických zkreslení zda se nezkresluje nkterý ze základních prvk délka plocha úhly i. konformní (stejnoúhlá) nezkreslují se úhly mají znaná plošná zkreslení ii. iii. iv. ekvidistantní (stejnodélná) nezkreslují se délky urité soustavy ar nikdy ne všechny délky ekvivalentní (stejnoplochá) nezkreslují se plochy mají znaná úhlová zkreslení koenzaní (vyrovnávací) zkreslení úhlové a plošné je optimalizováno. podle obrazu zeisné sít podle zprostedkující zobrazovací plochy a její polohy i. zobrazení na kulovou plochu ii. iii. iv. jednoduchá zobrazení na rozvinuté plochy kuželová válcová azimutální nepravá zobrazení kuželová válcová azimutální nkteré charakteristiky jednoduchých zobrazení jsou zachovány nkteré jsou zmnny polykónická (mnohokuželová) zobrazuje se na nekonený po- et pláš kužel na každý se zobrazí práv jedna jeho dotyková kivka s referenní plochou v. zobrazení po vymezených ástech násobné opakování jednoduchého zobrazení polyedrické (mnohostnové) vi. neklasifikovaná Poloha zobrazovací plochy a. normální (pólová) osa kužele (válce) je totožná se zemskou osou resp. se zobrazovací rovina dotýká referenní plochy v pólu b. píná (transverzální rovníková ekvatoreální) osa kužele (válce) leží v rovin rovníku resp. dotykový bod zobrazovací roviny je na rovníku c. obecná (šikmá horizontální) - 8 (15) -
Kartografické zobrazení. Zobrazení elipsoidu na kouli Pro mapy velmi malých mítek mžeme elipsoid nahradit koulí pro úkoly geodézie a mapování musíme elipsoid na kouli vhodn zobrazit. Základní podmínka: každá zeisná sí na elipsoidu se musí zobrazit jako zeisná sí na kouli ( ) g( λ) U f V Obrazy rovnobžek a poledník na kouli budou na sebe kolmé urují smr hlavních paprsk. - 9 (15) -
Matematická kartografie Modul 3 du M d mr cosu dv N cos d λ P mr ω sin mr mr + Prosté zobrazení se zachovanými zeisnými souadnicemi U V λ P 3 P 3 P P P 1 P 1 3 U 3 M mr N P MN ω M sin N Všechna zkreslení jsou funkcí zeisné šíky a krom úhlového závisí na zvolené ploše polomru koule. Promítnutí elipsoidu na soustednou kouli + N N P U O - 10 (15) -
Kartografické zobrazení tgu du d a tg β ( 1 e ) cos U ( 1 e ) zkreslení ( 1 e ) cos cos U M cos tg V λ cosu mr N cos ω mr P mr sin mr +.3 Konformní zobrazení Pro konformní zobrazení musí platit Tedy m p m p 0 p r du M d cosu dv N cos d λ p( ) Elipsoid je rotaní má tedy smysl volba Dosazením za M a N a za dostaneme po integraci V αλ α konst. du cosu α dv d λ α ( 1 e ) d ( 1 e sin ) Integrál na pravé stran je izometrická šíka q. Celkem tedy cos - 11 (15) -
Matematická kartografie Modul 3 V αλ U tg o 1 o1 + 45 tg + 45 k 1 α a k jsou integraní konstanty volitelný polomr koule + esin esin e α α cosu α cosu 1 e sin m N cos a cos P m ω 0 α cosu N cos α cosu a cos ( 1 e sin ) Volba konstant zobrazení Nejjednodušší α 1 k 1 a Pak pro je U 0 m 1 - rovník se zobrazí jako rovník všude jinde je 0 m > 1 a bude se vzdáleností od rovníku narstat. Gaussv výpoet Konstanty α k a volíme tak aby délkové a plošné zkreslení bylo v pásu mezi rovnobžkami j a s minimální. Platí tedy m F mo α cosu o 1 o + No coso U Uo + U d m d m d 0! d 0 ( ) F( + ) F( ) + + + o o s o j - 1 (15) -
Kartografické zobrazení Odtud podmínky pro konstanty zobrazení α k a d m d m m o 1 0 d 0 d 0 Výsledky: α 1 + 4 e cos o 1 e sinuo 0 1 sino α k α tg o o1 esin + 45 1 + sin U o tg o + 45 αe o o Kovákovy výpoty pro eskoslovensko Gaussovo konformní zobrazení Besselova elipsoidu na kouli o 49 o 30 100059 74983 7 k 099659 4867 6 380 7036105 m U o 49 o 7 358465 MoNo Délkové zkreslení na severu ech a na jihu Slovenska jen nkolik mm na 1 km délky..4 Ekvidistantní zobrazení Volíme V λ a dále platí du m p 1 du M d U dostaneme ešením rovnice U 0 M d 1 s d U M d U 0 0-13 (15) -
Matematická kartografie Modul 3 kde s 0 je délka oblouku od rovníku po šíku. Pro zkreslení platí 1 mr cosu N cos P ω sin mr mr + Pro zobrazení pruhu území podél rovnobžky U o o No. o je vhodné volit ovnobžka o se nezkresluje rovník se nezobrazí jako rovník protože pro o 0 není U 0. P N o o O e U o O k Pro zobrazení okrouhlého území se stedem v bod P o je vhodné volit kouli o stejné kivosti a spolené normále s elipsoidem v bod P o tedy M o N o. ovnobžka o se bude zkreslovat. Podobn se odvozují ekvidistantní zobrazení v rovnobžkách.5 Ekvivalentní zobrazení Platí P cosu du dv mr 1 V MN cos d d λ λ - 14 (15) -
Kartografické zobrazení Stejným postupem jako výše se odvodí píslušné vztahy pro zkreslení..6 Srovnání zobrazení elipsoidu na kouli U V λ a α k 1 a U β V λ a m p 1 V λ P 1 m p m r U - m U - m p m r U - m r U - m p m r 0 o 10067 10000 0 00 10000 0 00 10000 0 00 09983 0 00 10011 09989 30 o 1004 09991-57 10008-57 10008-8 09987-38 10008 0999 60 o 0999 09975-59 1005-59 1005-9 09996-39 10003 09997 90 o 09966 09966 0 00 10033 0 00 10033 0 00 10000 0 00 10000 10000 3 Závr 3.1 Shrnutí Modul popisuje z obecného hlediska nejastji používaná kartografická zobrazení. Jsou odvozeny základní charakteristiky kartografických zobrazení: kartografické zklreslení a zobrazovací rovnice. 3. Studijní prameny 3..1 Seznam použité literatury [1] Hojovec V. a kol. Kartografie GPK Praha 1987 3.. Seznam doplkové studijní literatury [] Daniš M. Valko J. Matematická kartografia SVŠT Bratislava 1987 [3] Srnka E. Matematická kartografie VAAZ Brno 1977 [4] Böhm J. Matematická kartografie VŠT Brno 1951 3..3 Odkazy na další studijní zdroje a prameny [5] http://dmg.tuwien.ac.at/havlicek/karten.html [6] http://www.3dsoftware.com/ [7] http://mathworld.wolfram.com/mapprojection.html [8] http://en.wikipedia.org/wiki/category:cartographic_projections - 15 (15) -