Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 27. září 2018
Teorie pravděpodobnosti Teorie pravděpodobnosti je odvětvím matematiky, které studuje matematické modely náhodných pokusu, tedy zabývá se jevy, které nastávají při hromadných dějích náhodné povahy.
Základní pojmy Pokus - je to realizace určitého komplexu podmínek. Deterministický pokus Za určitých počátečních podmínek se dostaví vždy stejný výsledek. Náhodný pokus (stochastický) Je to takový pokus, jehož výsledek není jednoznačně určen podmínkami pokusu, za kterých probíhá.
Náhodný pokus Náhodný pokus - existuje množina možných výsledků, přičemž jeden z nich nastane. Příklady: Hod kostkou Hod mincí Sejmutí karty z balíčku Losování sportky Stanovení množství cholesterolu v krvi Pokusy, které nemůžeme považovat za náhodné: zfialovění fenolftaleinu v zásaditém prostředí zapálení sirky vhozené do ohně zničení auta, které narazí v plné rychlosti do stěny
Co potřebujeme na prozkoumání náhodného pokusu? = musíme znát všechny možné výsledky, kterými pokus může dopadnout a které splňují dvě podmínky: navzájem se vylučují (nemohou nastat dva současně), jeden z nich nastane vždy. Základní prostor (Ω) - je to neprázdná množina všech možných výsledku náhodného pokusu. Prvek základního prostoru se nazývá elementární jev (ω) (nelze jej vyjádřit jako sjednocení dvou různých jevů) Odtud Základní prostor = Prostor elementárních jevů. Příklady: Hod mincí: Ω = {L, R} Hod mincí než padne poprvé líc: Ω = {L, RL, RRL, RRRL,... } Vyberte libovolné reálné číslo: Hod kostkou: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Ω = R
Úkol: Sestavte množinu všech možných výsledků náhodného pokusu hod třemi mincemi. První přístup: mince jsou stejné a nerozlišujeme je: Ω = {(3R), (2R, L), (R, 2L), (3L)} Druhý přístup: všímáme si, na které z mincí, co padlo, tj. rozlišujeme mince mezi sebou: Ω = {(R, R, R), (R, R, L), (R, L, R), (L, R, R), (R, L, L), (L, R, L), (L, L, R), (L, L, L)} Ačkoliv se zdá, že první přístup je bližší skutečnosti, v počtu pravděpodobnosti je daleko výhodnější druhý postup, protože všechny možnosti jsou v něm rovnocenné ( stejně pravděpodobné ). Možnosti (2R, 1L) a (1R, 2L) jsou praděpodobnější mohou nastat třemi způsoby. Jevy, které nejsou elementární, označujeme jako jevy složené. Příklady: Hod kostkou: padne sudé číslo (skládá se z elementárních jevů padne číslo 2, padne číslo 4 a padne číslo 6 ).
Základní pojmy Náhodný jev (A) tvrzení o výsledku náhodného pokusu. O pravdivosti tohoto tvrzení lze po ukončení pokusu rozhodnout. Matematicky: je to libovolný prvek potenční množiny základního prostoru. Příklady: Hod mincí:, {L}, {R}, {R, L}. Hod mincí než padne poprvé líc:, {L}, {RL}, {L, RL},... Klasifikace náhodných jevu: 1 jev nemožný ( ) - jev, který za daných podmínek nikdy nenastane, nebo neobsahuje žádný možný výsledek náhodného pokusu. 2 jev možný - jev, který při realizaci určitého pokusu nastat muže, ale nemusí. 3 jev jistý (I) - jev, který nastane při každém provedení určitého pokusu (souhrn všech možných výsledku náhodného pokusu).
Pravidla pro práci s jevy Budeme říkat, že při realizaci náhodného pokusu nastal (nastoupil) jev A, jestliže nastal elementární jev ω Ω, takový, že ω A. Elementární jev ω potom nazýváme také výsledek příznivý jevu A. Jednotlivé jevy mezi sebou vstupují do vzájemných vztahů. Vzhledem k tomu, že jev je jen jiné označení pro podmnožinu množiny, můžeme zavést relace mezi jevy, které odpovídají množinovým relacím. Vztahy (relace) mezi jevy vyjadřujeme pomocí množinových inkluzí.
Jev A je podjevem jevu B, Jev A je podjevem jevu B, značíme A B Znamená to, že jev A má za následek jev B (tj. nastane-li jev A, nastane taktéž jev B). A B (ω A ω B) B A Ω Příklad: Hod kostkou: Jev A: padne číslo 2, Jev B: padne sudé číslo. Potom jev A je podjevem jevu B.
Rovnost jevů Rovnost jevů, značíme A = B. Znamená to, že jev A má za následek jev B a naopak jev B má za následek jev A, tedy A B B A. Příklad: Hod kostkou: Jev A: padne sudé číslo, Jev B: padne číslo dělitelné dvěma. Jev A je pak roven jevu B.
Disjunktní jevy A, B Dva jevy A, B nemohou nastat současně, nemají-li společný žádný elementární jev (společný výsledek). Takovéto jevy budeme nazývat jevy disjunktní (neslučitelné). A B Příklad: Hod kostkou: Jev A: padne sudé číslo, Jev B: padne číslo jedna nebo pět. Tyto jevy nemají žádný možný společný výsledek. Jestliže nastane jev A, nemůže zároveň nastat i jev B a naopak. Obdobně lze říci, že náhodné jevy A i, i = 1, 2,... jsou vzájemně ( po dvou ) disjunktní, jestliže jsou disjunktní všechny dvojice náhodných jevu A i, A j pro i j. Ω
Doplněk jevu A v Ω Opačným jevem (doplňkovým) k jevu A v Ω budeme rozumět jev A, který nastane právě tehdy, když nenastane jev A. A A Ω Příklad: Hod kostkou: Jev A: padne sudé číslo = Jev A: padne liché číslo.
Průnik jevů Průnik jevu, značíme A B. Průnik jevů je jev, který nastane, když nastanou jevy A a B současně (čteme A průnik B nebo A a zároveň B nastává totiž jak jev A tak i jev B současně). A A B B Příklad: Hod kostkou: Jev A: padne číslo 2 nebo 3 nebo 4, Jev B: padne sudé číslo. Potom jev A B = {2, 4}. Obdobně lze říci, že náhodné jevy n i=1 A i a i=1 A i nastanou, jestliže nastanou všechny jevy A i. Ω
Sjednocení jevů Sjednocení jevů značíme A B. O sjednocení jevů A a B mluvíme tehdy, jestliže nastává jev A nebo jev B. Slovo nebo znamená, že muže nastat pouze jeden z těchto jevů, že mohou nastat oba jevy zároveň. Tedy nastane alespoň jeden z těchto jevů. A B A B Příklad: Hod kostkou: Jev A = {1, 3, 4}, Jev B: padne sudé číslo. Potom jev A B = {1, 2, 3, 4, 6}. Obdobně lze říci, že náhodné jevy n i=1 A i a i=1 A i nastanou, jestliže nastane alespoň jeden jev A i. Ω
Rozdíl jevů Rozdíl jevů značíme A\B nebo A B. Rozdílem jevů A a B budeme chápat jev, který nastává právě tehdy, nastane-li jev A a současně nenastane jev B. A\B = A B A\B = {ω ω A ω B} A B A\B Příklad: Hod kostkou: Jev A: padne číslo větší než dvě, Jev B: padne sudé číslo. Rozdíl jevů A a B je pak jev A\B = {3, 5}. Ω
Vlastnosti operací s náhodnými jevy Nechť A, B, C Ω, potom 1 A B = B A, A B = B A, 2 A (B C) = (A B) C, A (B C) = (A B) C, 3 A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C), 4 A A = A, A A = A, 5 A = A, A = 6 A Ω = Ω, A Ω = A, 7 (A) = A,
1. de Morganův zákon A B = A B A B A B Ω
2. de Morganův zákon A B = A B A B A B Ω
Množiny náhodných jevů V teorii pravděpodobnosti se setkáváme se dvěma význačnými množinami náhodných jevů: úplná množina vzájemně disjunktních jevů, jevové pole.
Úplná množina vzájemně disjunktních jevů úplná množina vzájemně disjunktních jevů - je to množina po dvou disjunktních jevů {A 1, A 2,... A n } s nenulovou pravděpodobností výskytu (P(A i ) > 0), jejichž sjednocení tvoří množinu Ω. Zapsáno symbolicky Ω = n A i, i=1 kde P(A i ) > 0, A i A j =, pro i j, i, j = 1, 2,..., n. Říkáme, že základní prostor je složen z úplné množiny vzájemně disjunktních jevu. A1 A2 A5 A4 A3 A6 Ω
Jevové pole Často se setkáváme s případy, kdy ne všechny podmnožiny mohou nastávat, hovoříme pak o jevovém poli Jevové pole A (σ-algebra na Ω) je systém podmnožin základního prostoru obsahující Ω a uzavřený vůči doplňku a vůči sjednocení. Vzhledem k definici jevového pole A platí: 1 Ω A, tj. základní prostor, je jevem. 2 A A : A A, 3 {A i } i=1 A i=1 A i A, (uzavřenost jevového pole vůči sjednocení, tzv. σ aditivita).
Příklad 1 Náhodný pokus spočívá v jednom hodu klasickou hrací kostkou se stěnami očíslovanými od 1 do 6. Náhodný jev A nastane, jestliže padne liché číslo a náhodný jev B nastane, jestliže padne číslo menší než 4. Určete Ω, A, A, A, B, A B, A B, A\B, B\A. Řešení: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Příslušné jevové pole A je množinou všech podmnožin základního prostoru: A = {, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {1, 2}, {1, 5},..., {5, 6},..., {2, 3, 4, 5, 6}, Ω}. Jevy A a B jsou jevy složené A = {1, 3, 5}... padne liché číslo, B = {1, 2, 3}... padne číslo menší než 4. A = Ω A = {2, 4, 6}... padne sudé číslo, B = Ω B = {4, 5, 6}... padne číslo vetší než 3, A B = {1, 2, 3, 5}... padne liché číslo nebo 2, A B = {1, 3}... padne 1 nebo 3, A\B = {5}... padne číslo 5, B\A = {2}... padne číslo 2.
Příklad 2 Necht základní prostor Ω = {a, b, c, d}. Máme náhodné jevy A = {a} a B = {c, d}. Doplňte náhodné jevy A a B tak, abyste dostali co nejmenší jevové pole. Řešení: Jevové pole musí obsahovat: a Ω. S každým jevem obsahuje také jeho doplněk, tj. opačný jev: A = {b, c, d}, B = {a, b}. S každými náhodnými jevy obsahuje jejich prunik a sjednocení: A B = C = {a, c, d}. S náhodným jevem C obsahuje i opačný jev: C = {b}. Pomocí opačného jevu, sjednocení a pruniku již nedostaneme žádný další náhodný jev. Tedy A = {, {a}, {b}, {a, b}, {c, d}, {b, c, d}, {a, c, d}, Ω}
Pravděpodobnost Co je to pravděpodobnost? Číselné vyjádření šance, že při náhodném pokusu daný jev nastane. Jak pravděpodobnost definovat?
Klasická (Laplaceova) definice pravděpodobnosti 1812 - Pierre Simon de Laplace Předpokládejme, že pokus má n možných výsledků (množina Ω má n prvku) a že všechny výsledky jsou stejně pravděpodobné ( 1 n ). Dále předpokládejme, že A je náhodný jev a z n výsledku je jich m příznivých jevu A (neboli množina A má m prvku). Potom pravděpodobnost, že při realizaci náhodného pokusu jev A nastane se definuje jako podíl počtu výsledku (elementárních jevů) příznivých jevu A ku počtu všech možných výsledku, tj. Příklad: Hod kostku: P(A) = m n. Jaká je pravděpodobnost, že padne číslo 4? Řešení: Označme: A... jako jev, že padne číslo 4, potom P(A) = 1 6.
Klasická (Laplaceova) definice pravděpodobnosti - příklad Příklad: Ve třídě 20-ti chlapců a 12-ti dívek jsou losem určeni dva mluvčí. Jaká je pravděpodobnost, že oba mluvčí budou různého pohlaví? Protože výběr mluvčích je prováděn losem, má každý z žáků třídy stejnou šanci stát se mluvčím. klasická definice pravděpodobnosti. počet všech možných pokusů...... C 2 (32) = ( ) 32 2 počet příznivých pokusů............ C 1 (20) C 1 (12) = 20 12 = 240 P(A) = 240 C 2 (32) = 240 ) = 240 ( 32 2 32! (32 2)! 2!. = 0.484
Geometrická definice pravděpodobnosti Zobecnění klasické pravděpodobnosti pro případ, kdy počet všech možných výsledku náhodného pokusu je nespočetný. Definice je založena na porovnání objemu, obsahu nebo délek geometrických útvaru. V rovině (případně na přímce nebo v prostoru) je dána určitá oblast Ω a v ní další uzavřená oblast A. Pravděpodobnost jevu A, který spočívá v tom, že náhodně zvolený bod v oblasti Ω leží i v oblasti A je P(A) = A Ω. Příklad: Jaká je pravděpodobnost, že meteorit dopadl na pevninu?
Geometrická pravděpodobnost - příklad Příklad: Hodiny, které nebyly včas nataženy, se po určité době zastaví. Jaká je pravděpodobnost, že se velká ručička zastaví mezi trojkou a šestkou? y ϕ x ω Pravděpodobnost jevu A, který spočívá v tom, že se velká ručička zastaví uvnitř daného oblouku na obvodu číselníku je úměrná délce oblouku ω. 0 1 2 π π 3 2 π 2π P(A) = 1 2 πr 2πr = 1 4 ω
Další příklady: Tramvaj jezdí v 10 minutových intervalech. Jaká je pravděpodobnost, že Petr, který nezná jízdní řád, bude na tramvaj čekat déle než 3 minuty? Dva známí se domluví, že se sejdou na určitém místě mezi 15. a 16. hodinou, přičemž doba čekání je 20 minut. Jaká je pravděpodobnost, že se při této dohodě setkají? Jaká je pravděpodobnost, že součet dvou kladných čísel menších než 1 bude nejvýše 1 a zároveň jejich součin bude menší než 2 9?
Statistická definice pravděpodobnosti 1919 - publikuje své první práce z teorie pravděpodobnosti Richard von Mises. Jeho přístup k pravděpodobnosti je založen na empirickém zkoumání, které vede k pozorování stability relativních četností. Provedeme-li n realizací náhodného pokusu, přičemž n(a) realizací je příznivých jevu A, pak pravděpodobnost jevu A můžeme odhadnout poměrem n(a) P(A) = lim x n. Tento odhad je tím přesnější, čím je počet realizací náhodného pokusu vyšší. Příklad: Jaká je pravděpodobnost padnutí 6 na hrací kostce, nevíme-li, zda je tato kostka férová?
Relativní četnost jevu padne číslo 6.
Relativní četnost jevu padne 6 na nepoctivé kostce.
Kolmogorovova definice pravděpodobnosti 1933 - popisuje přiřazení pravděpodobnosti náhodnému jevu a využívá k tomu abstraktní množinu Ω vybavenou σ-algebrou A, spolu s konečnou mírou P definovanou na A. Je-li A jevové pole, pak pravděpodobnost na jevovém poli A je reálná funkce, pro kterou platí tzv. Kolmogorovovy axiomy pravděpodobnosti: 1 Pravděpodobnost každého jevu A A je nezáporné reálné číslo (P(A) 0). 2 Pravděpodobnost jistého jevu je rovna jedné (P(Ω) = 1). 3 Pravděpodobnost sjednocení spočetného počtu vzájemně disjunktních (neslučitelných) jevů je rovna součtu jejich pravděpodobností. A i A, i 1, i j : A i A j = P ( ) A i = P(A i ) i=1 i=1
Vlastnosti pravděpodobnosti Nechť jevy A, B A, potom 1 0 P(A) 1, 2 P( ) = 0, 3 P(A) = 1 P(A), 4 A B P(A) P(B), 5 P(B A) = P(B) P(A B), speciálně A B P(B A) = P(B) P(A), 6 P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) speciálně A B = P(A B) = P(A) + P(B), 7 P(A B) = 1 P(A B) = 1 P(A B), 8 P(A B) = 1 P(A B) = 1 P(A B).
Děkuji za pozornost!!!